Ths
Ths
Ths
.
.
.
Nguyễn
Nguyễn
Nguyễn
Công
Công
Công
Tr
Tr
Tr
í
í
í
Copyright 2001
Copyright 2001
Copyright 2001
Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I L
I L
Ư

Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
VA
VA
Ø
Ø
CA
CA
Ù
Ù
C LUA
C LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á

Á
T
T
1.
1.
Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I L
I L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
(XEM)
(XEM)
2.
2.
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO

T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T RƠ
T RƠ
Ø
Ø
I RA
I RA
Ï
Ï
C
C
(XEM)
(XEM)
3.
3.
HA
HA
Ø
Ø
M PHÂN PHO

M PHÂN PHO
Á
Á
I CU
I CU
Û
Û
A
A
Đ
Đ
LNN
LNN
(XEM)
(XEM)
4.
4.
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA

C SUA
Á
Á
T LIÊN TU
T LIÊN TU
Ï
Ï
C
C
(XEM)
(XEM)
5.
5.
BIE
BIE
Å
Å
U DIỄN
U DIỄN
Đ
Đ
O
O
À
À
THỊ
THỊ
CU
CU
Û

Û
A
A
Đ
Đ
LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C
C
(XEM)
(XEM)
6.
6.
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À

À
NG THƠ
NG THƠ
Ø
Ø
I
I
(XEM)
(XEM)
7.
7.
Đ
Đ
LNN
LNN
Đ
Đ
O
O
Ä
Ä
C LA
C LA
Ä
Ä
P
P
(XEM)
(XEM)
8.

8.
BA
BA
Ø
Ø
I TA
I TA
Ä
Ä
P
P
(XEM)
(XEM)
CHƯƠNG 2
ThsThs. . NguyễnNguyễn CôngCông TrTríí
q
q
Gia
Gia
û
û
s
s
ử
ử
trong
trong
không
không
gian

gian
mẫu
mẫu
ta
ta
ga
ga
ù
ù
n
n
cho
cho
mỗi
mỗi
pha
pha
à
à
n
n
t
t
ử
ử
mẫu
mẫu
mo
mo
ä

ä
t
t
con
con
so
so
á
á
,
,
sau
sau
đ
đ
o
o
ù
ù
ta
ta
đ
đ
ònh
ònh
ngh
ngh
ó
ó
a

a
mo
mo
ä
ä
t
t
ha
ha
ø
ø
m
m
trên
trên
không
không
gian
gian
mẫu
mẫu
na
na
ø
ø
y
y
th
th
ì

ì
ha
ha
ø
ø
m
m
na
na
ø
ø
y
y
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i
la
la
ø

ø
đ
đ
a
a
ï
ï
i
i
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
ng
ng
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
(hay
(hay
bie
bie
á
á
n

n
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
)
)
hay
hay
ch
ch
í
í
nh
nh
xa
xa
ù
ù
c
c
hơn
hơn
la
la
ø
ø
ha
ha
ø

ø
m
m
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
.
.
Th
Th
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
ky
ky
ù
ù
hie
hie
ä
ä
u
u
Đ

Đ
LNN
LNN
ba
ba
è
è
ng
ng
mẫu
mẫu
t
t
ự
ự
in
in
hoa
hoa
,
,
cha
cha
ú
ú
ng
ng
ha
ha
ï

ï
n
n
X, Y hay Z.
X, Y hay Z.
X:
X:
Ω
Ω
→
→
ℜ
ℜ
A
A
→
→
X(A)
X(A)
q
q
No
No
ù
ù
i
i
chung
chung
,

,
mo
mo
ä
ä
t
t
Đ
Đ
LNN
LNN
ch
ch
ỉ
ỉ
ra
ra
mo
mo
ä
ä
t
t
y
y
ù
ù
ngh
ngh
ó

ó
a
a
va
va
ä
ä
t
t
ly
ly
ù
ù
,
,
h
h
ì
ì
nh
nh
ho
ho
ï
ï
c
c
hay
hay
mo

mo
ä
ä
t
t
y
y
ù
ù
ngh
ngh
ó
ó
a
a
na
na
ø
ø
o
o
đ
đ
o
o
ù
ù
.
.
Đ

Đ
A
A
Ï
Ï
I L
I L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
q
q
V
V
Í
Í
DU
DU
Ï
Ï
2.1.
2.1.
Tung
Tung
mo

mo
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
xu
xu
hai
hai
la
la
à
à
n
n
,
,
ta
ta
co
co
ù

ù
không
không
gian
gian
mẫu
mẫu
Ω
Ω
= {NN, NS, SN, SS}
= {NN, NS, SN, SS}
.
.
Go
Go
ï
ï
i
i
X
X
la
la
ø
ø
so
so
á
á
la

la
à
à
n
n
ma
ma
ë
ë
t
t
ng
ng
ử
ử
a
a
xua
xua
á
á
t
t
hie
hie
ä
ä
n
n
,

,
vơ
vơ
ù
ù
i
i
mỗi
mỗi
pha
pha
à
à
n
n
t
t
ử
ử
mẫu
mẫu
ta
ta
co
co
ù
ù
the
the
å

å
ga
ga
ù
ù
n
n
mo
mo
ä
ä
t
t
so
so
á
á
cho
cho
X
X
nh
nh
ư
ư
sau
sau
:
:
Ba

Ba
û
û
ng
ng
2
2
-
-
1
1
q
q
Mo
Mo
ä
ä
t
t
Đ
Đ
LNN
LNN
nha
nha
ä
ä
n
n
ca

ca
ù
ù
c
c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
h
h
ư
ư
õu
õu
ha
ha
ï
ï
n
n
hay
hay
ca
ca
ù
ù
c

c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
vô
vô
ha
ha
ï
ï
n
n
đ
đ
e
e
á
á
m
m
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c

c
th
th
ì
ì
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i
la
la
ø
ø
Đ
Đ
LNN
LNN
rơ
rơ
ø

ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
;
;
mo
mo
ä
ä
t
t
Đ
Đ
LNN
LNN
nha
nha
ä
ä
n
n
ca
ca
ù

ù
c
c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
vô
vô
ha
ha
ï
ï
n
n
không
không
đ
đ
e
e
á
á
m
m
đư
đư
ơ

ơ
ï
ï
c
c
th
th
ì
ì
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i
la
la
ø
ø
Đ
Đ
LNN

LNN
không
không
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
0
0
1
1
1
1
2
2
X
X
SS
SS
SN
SN
NS

NS
NN
NN
Pha
Pha
à
à
n
n
t
t
ử
ử
mẫu
mẫu
(
(
→
→
)
)
(
(
→
→
VD2.2)
VD2.2)
Đ
Đ
A

A
Ï
Ï
I L
I L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
TR
TR
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï
P
P
Đ
Đ
LNN RƠ

LNN RƠ
Ø
Ø
I RA
I RA
Ï
Ï
C
C
q
q
Go
Go
ï
ï
i
i
X
X
la
la
ø
ø
bie
bie
á
á
n
n
ngẫu

ngẫu
nhiên
nhiên
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
.
.
Gia
Gia
û
û
s
s
ử
ử
ca
ca
ù
ù
c

c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
cu
cu
û
û
a
a
X
X
la
la
ø
ø
x
x
1
1
, x
, x
2
2
,
,
…

…
,
,
x
x
K
K
,
,
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
xe
xe
á
á
p
p
theo
theo
mo
mo
ä
ä
t

t
th
th
ứ
ứ
t
t
ự
ự
na
na
ø
ø
o
o
đ
đ
o
o
ù
ù
va
va
ø
ø
ca
ca
ù
ù
c

c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
cu
cu
û
û
a
a
X
X
co
co
ù
ù
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t

t
nh
nh
ư
ư
sau
sau
P(X =
P(X =
x
x
k
k
) =
) =
f(x
f(x
k
k
), k = 1, 2,
), k = 1, 2,
…
…
(1)
(1)
Hay
Hay
P(X = x) =
P(X = x) =
f(x

f(x
)
)
(2)
(2)
q
q
Va
Va
ä
ä
y
y
f(x
f(x
)
)
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
xa
xa
ù

ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
khi
khi
1)
1)
f(x
f(x
)
)
≥
≥
0
0
va
va
ø
ø
2)
2)
QUY LUA
QUY LUA
Ä

Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T
T
f(x
f(x
kk
)
)
...
... f(x
f(x
22
)
)
f(x
f(x
11
)

)
f(x
f(x
)
)
x
x
kk
...
...
x
x
22
x
x
11
X
X
( )
1
x
fx=
∑
q
q
V
V
Í
Í
DU

DU
Ï
Ï
2.2.
2.2.
T
T
ì
ì
m
m
lua
lua
ä
ä
t
t
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
xa
xa
ù
ù
c

c
sua
sua
á
á
t
t
vơ
vơ
ù
ù
i
i
đ
đ
a
a
ï
ï
i
i
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
ng

ng
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
X
X
cu
cu
û
û
a
a
v
v
í
í
du
du
ï
ï
2.1
2.1
.
.
Gia
Gia
û
û
s

s
ử
ử
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
xu
xu
công
công
ba
ba
è
è
ng
ng
,
,
ta
ta
co
co
ù
ù
P(NN) =

P(NN) =
¼
¼
, P(SN) =
, P(SN) =
¼
¼
, P(NS) =
, P(NS) =
¼
¼
, P(SS) =
, P(SS) =
¼
¼
th
th
ì
ì
P(X = 0) = P(SS) =
P(X = 0) = P(SS) =
¼
¼
P(X = 1) = P(SN
P(X = 1) = P(SN
∪
∪
NS
NS
) = P(SN) + P(NS) =

) = P(SN) + P(NS) =
½
½
P(X = 2) = P(NN) =
P(X = 2) = P(NN) =
¼
¼
Lua
Lua
ä
ä
t
t
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á

á
t
t
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
cho
cho
bơ
bơ
û
û
i
i
Ba
Ba
û
û
ng
ng
2
2
-
-
2

2
¼
¼
½
½
¼
¼
f(x
f(x
)
)
2
2
1
1
0
0
X
X
(
(
→
→
bt
bt
15.)
15.)
(
(
→

→
VD 2.3)
VD 2.3)
QUY LUA
QUY LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T
T
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho

pho
á
á
i
i
t
t
í
í
ch
ch
lũy
lũy
,
,
go
go
ï
ï
i
i
ta
ta
é
é
t
t
la
la
ø

ø
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
đ
đ
a
a
ï
ï
i
i
l

l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
ng
ng
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
X
X
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
đ
đ
ònh
ònh
ngh
ngh
ó

ó
a
a
nh
nh
ư
ư
sau
sau
F(x
F(x
) = P(X
) = P(X
≤
≤
x)
x)
(3)
(3)
trong
trong
đ
đ
o
o
ù
ù
x
x
la

la
ø
ø
so
so
á
á
th
th
ự
ự
c
c
,
,
ngh
ngh
ó
ó
a
a
la
la
ø
ø
-
-
∞
∞
< x <

< x <
∞
∞
.
.
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
F(x
F(x
)
)
co
co
ù
ù
ca
ca
ù

ù
c
c
t
t
í
í
nh
nh
cha
cha
á
á
t
t
sau
sau
:
:
1.
1.
F(x
F(x
)
)
la
la
ø
ø
ha

ha
ø
ø
m
m
không
không
gia
gia
û
û
m
m
ngh
ngh
ó
ó
a
a
la
la
ø
ø
,
,
F(x
F(x
)
)
≤

≤
F(y
F(y
)
)
ne
ne
á
á
u
u
x
x
≤
≤
y
y
.
.
2.
2.
.
.
3.
3.
F(x
F(x
)
)
la

la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
pha
pha
û
û
i
i
Ngh
Ngh
ó
ó
a
a
la

la
ø
ø
, ,
, ,
vơ
vơ
ù
ù
i
i
mo
mo
ï
ï
i
i
x].
x].
HA
HA
Ø
Ø
M PHÂN PHO
M PHÂN PHO
Á
Á
I CU
I CU
Û

Û
A
A
Đ
Đ
LNN
LNN
( )
lim0
x
Fx
→−∞
=
( )
lim1
x
Fx
→∞
=
( ) ( )
0
lim
h
FxhFx
+
→
+=
Nguyen Cong Tri
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

______________________________
______________________________
Ths. Nguyễn Công Trí
______________________________


q
q
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
Đ
Đ

LNN
LNN
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
X
X
co
co
ù
ù
the
the
å
å
thu
thu
đư
đư
ơ
ơ

ï
ï
c
c
t
t
ừ
ừ
ha
ha
ø
ø
m
m
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
cu
cu
û
û

a
a
no
no
ù
ù
ba
ba
è
è
ng
ng
ca
ca
ù
ù
ch
ch
,
,
vơ
vơ
ù
ù
i
i
mo
mo
ï
ï

i
i
x
x
trong
trong
khoa
khoa
û
û
ng
ng
(
(
-
-
∞
∞
,
,
∞
∞
),
),
(4)
(4)
Ne
Ne
á
á

u
u
X
X
la
la
ø
ø
ca
ca
ù
ù
c
c
gia
gia
ù
ù
trò
trò
h
h
ư
ư
õu
õu
ha
ha
ï
ï

n
n
x
x
1
1
, x
, x
2
2
, . . . ,
, . . . ,
x
x
n
n
,
,
th
th
ì
ì
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân

pho
pho
á
á
i
i
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
xa
xa
ù
ù
c
c
đ
đ
ònh
ònh
bơ
bơ
û
û
i
i

bie
bie
å
å
u
u
th
th
ứ
ứ
c
c
(5)
(5)
( ) ( ) ( )
ux
FxpXxfu
≤
=≤=
∑
()
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
112
1223
12
0
nn

xx
fxxxx
fxfxxxx
Fx
fxfxfxxx
−∞<<


≤<


+≤<
=



+++≤<∞


MM
L
HA
HA
Ø
Ø
M PHÂN PHO
M PHÂN PHO
Á
Á
I CU

I CU
Û
Û
A
A
Đ
Đ
LNN
LNN
q
q
V
V
Í
Í
DU
DU
Ï
Ï
2.3.
2.3.
(a)
(a)
T
T
ì
ì
m
m
ha

ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
đ
đ
a
a
ï
ï
i
i
l
l
ư

ư
ơ
ơ
ï
ï
ng
ng
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
X
X
trong
trong
v
v
í
í
du
du
ï
ï
2.2
2.2
. (b)
. (b)
hãy
hãy
vẽ

vẽ
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
X.

X.
q
q
(a)
(a)
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
Đ
Đ
LNN X
LNN X
()

00
1
01
4
3
12
4
12
x
x
Fx
x
x
−∞<<



≤<

=


≤<


≤<∞

HA
HA
Ø

Ø
M PHÂN PHO
M PHÂN PHO
Á
Á
I CU
I CU
Û
Û
A
A
Đ
Đ
LNN
LNN
q
q
Đ
Đ
o
o
à
à
thò
thò
ha
ha
ø
ø
m

m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
X.
X.
HA
HA
Ø
Ø
M PHÂN PHO
M PHÂN PHO
Á
Á
I CU
I CU
Û
Û
A

A
Đ
Đ
LNN
LNN
TR
TR
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï
P
P
Đ
Đ
LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C
C
q
q
Đ

Đ
LNN
LNN
không
không
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
X
X
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï

ï
i
i
la
la
ø
ø
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
,
,
ne
ne
á
á
u
u
ha
ha
ø
ø
m
m
phân

phân
pho
pho
á
á
i
i
cu
cu
û
û
a
a
no
no
ù
ù
co
co
ù
ù
the
the
å
å
đư
đư
ơ
ơ
ï

ï
c
c
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
nh
nh
ư
ư
sau
sau
(7)
(7)
q
q
Trong
Trong
đ
đ
o
o
ù
ù
ha

ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
f(x
f(x
)
)
co
co
ù
ù
t
t
í
í
nh

nh
cha
cha
á
á
t
t
:
:
§
§
f(x
f(x
)
)
≥
≥
0
0
§
§
q
q
Theo
Theo
kha
kha
ù
ù
i

i
nie
nie
ä
ä
m
m
trên
trên
,
,
ne
ne
á
á
u
u
X
X
la
la
ø
ø
Đ
Đ
LNN
LNN
liên
liên
tu

tu
ï
ï
c
c
th
th
ì
ì
P(X = x) = 0
P(X = x) = 0
va
va
ø
ø
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
cu
cu
û

û
a
a
X
X
∈
∈
(a,b
(a,b
)
)
la
la
ø
ø
(8)
(8)
QUY LUA
QUY LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA

C SUA
Á
Á
T
T
()
1fxdx
∞
−∞
=
∫
( ) ( ) () ( )
x
FXPXxfudux
−∞
=≤=−∞<<∞
∫
( ) ()
b
a
PaXbfxdx<<=
∫
q
q
V
V
Í
Í
DU
DU

Ï
Ï
2.4.
2.4.
Cho
Cho
ï
ï
n
n
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
mo
mo
ä
ä
t
t
ng
ng
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
i
i

t
t
ừ
ừ
mo
mo
ä
ä
t
t
nho
nho
ù
ù
m
m
go
go
à
à
m
m
ca
ca
ù
ù
c
c
qui
qui

ù
ù
ông
ông
,
,
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
chie
chie
à
à
u
u
cao
cao
X
X
cu
cu

û
û
a
a
ng
ng
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
i
i
na
na
ø
ø
y
y
ch
ch
í
í
nh
nh
xa
xa
ù
ù

c
c
68 inches
68 inches
th
th
ì
ì
ba
ba
è
è
ng
ng
không
không
.
.
Tuy
Tuy
nhiên
nhiên
,
,
co
co
ù
ù
mo
mo

ä
ä
t
t
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
cu
cu
û
û
a
a
chie
chie
à
à
u
u
cao
cao

X
X
na
na
è
è
m
m
gi
gi
ư
ư
õa
õa
67,000
67,000


inches
inches
va
va
ø
ø
68,500
68,500


inches
inches

sẽ
sẽ
la
la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t
t
so
so
á
á
d
d
ư
ư
ơng
ơng
.
.
q
q
Mo
Mo
ä
ä

t
t
ha
ha
ø
ø
m
m
f(x
f(x
)
)
tho
tho
û
û
a
a
t
t
í
í
nh
nh
cha
cha
á
á
t
t

1
1
va
va
ø
ø
2
2
ơ
ơ
û
û
trên
trên
sẽ
sẽ
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i

la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
va
va
ø
ø
công
công
th
th

ứ
ứ
c
c
t
t
í
í
nh
nh
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
sẽ
sẽ
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï

c
c
t
t
í
í
nh
nh
theo
theo
bie
bie
å
å
u
u
th
th
ứ
ứ
c
c
(8).
(8).
QUY LUA
QUY LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO

Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T
T
q
q
V
V
Í
Í
DU
DU
Ï
Ï
2.5.
2.5.
(a)
(a)
T
T
ì
ì

m
m
ha
ha
è
è
ng
ng
so
so
á
á
c
c
sao
sao
cho
cho
ha
ha
ø
ø
m
m
la
la
ø
ø
ha
ha

ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
, (b)
, (b)
t
t
í
í
nh
nh
P(1 < X < 2).
P(1 < X < 2).
(a)
(a)
f(x
f(x

)
)
tho
tho
û
û
a
a
t
t
í
í
nh
nh
cha
cha
á
á
t
t
1
1
khi
khi
c
c
≥
≥
0,
0,

đ
đ
e
e
å
å
f(x
f(x
)
)
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o

ä
ä
th
th
ì
ì
f (x)
f (x)
pha
pha
û
û
i
i
tho
tho
û
û
a
a
t
t
í
í
nh
nh
cha
cha
á
á

t
t
2.
2.
Ta
Ta
co
co
ù
ù
f(x
f(x
)
)
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t

đ
đ
o
o
ä
ä
th
th
ì
ì
9c = 1
9c = 1
⇒
⇒
c = 1/9.
c = 1/9.
(b)
(b)
()
2
03
0
cxx
fx
khac

<<
=



()
3
3
3
2
0
0
9
3
cx
fxdxcxdxc
∞
−∞
===
∫∫
()
2
3
2
2
1
1
1817
12
927272727
x
PXxdx<<===−=
∫
QUY LUA
QUY LUA

Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T
T
Nguyen Cong Tri
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
______________________________
______________________________
Ths. Nguyễn Công Trí
______________________________


q
q
V
V
Í

Í
DU
DU
Ï
Ï
2.6.
2.6.
(a)
(a)
T
T
ì
ì
m
m
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
cu

cu
û
û
a
a
đ
đ
a
a
ï
ï
i
i
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
ng
ng
ngẫu
ngẫu
nhiên
nhiên
trong
trong
V

V
Í
Í
DU
DU
Ï
Ï
2.5.
2.5.
(b)
(b)
Du
Du
ø
ø
ng
ng
ke
ke
á
á
t
t
qua
qua
û
û
câu
câu
(a)

(a)
t
t
ì
ì
m
m
P(1 < x
P(1 < x
≤
≤
2
2
).
).
(a)
(a)
Ta
Ta
co
co
ù
ù
Ne
Ne
á
á
u
u
x < 0,

x < 0,
th
th
ì
ì
F(x
F(x
) = 0.
) = 0.
Ne
Ne
á
á
u
u
0
0
≤
≤
x < 3,
x < 3,
th
th
ì
ì
Ne
Ne
á
á
u

u
x
x
≥
≥
3,
3,
th
th
ì
ì
Va
Va
ä
ä
y
y
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i

i
ca
ca
à
à
n
n
t
t
ì
ì
m
m
la
la
ø
ø
() ( ) ()
x
FxPXxfudu
−∞
=≤=
∫
() ()
3
2
00
1
927
xx

x
Fxfuduudu===
∫∫
  
33
2
0303
1
01
9
xx
Fxfudufuduududu

()
3
00
03
27
13
x
x
Fxx
x
<



=≤<



≥


QUY LUA
QUY LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA
Á
Á
T
T
(b)
(b)
Ta
Ta
co
co
ù
ù
Ta

Ta
co
co
ù
ù
ke
ke
á
á
t
t
qua
qua
û
û
gio
gio
á
á
ng
ng
nh
nh
ư
ư
trong
trong
v
v
í

í
du
du
ï
ï
2.5
2.5
q
q
Chu
Chu
ù
ù
y
y
ù
ù
.
.
Trong
Trong
tr
tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng

ng
hơ
hơ
ï
ï
p
p
f(x
f(x
)
)
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
,
,
ne
ne
á
á
u
u
không
không
co

co
ù
ù
mo
mo
ä
ä
t
t
pha
pha
ù
ù
t
t
bie
bie
å
å
u
u
na
na
ø
ø
o
o
kha
kha
ù

ù
c
c
, P(X = x)
, P(X = x)
= 0. Do
= 0. Do
đ
đ
o
o
ù
ù
ta
ta
co
co
ù
ù
the
the
å
å
thay
thay
the
the
á
á
mo

mo
ä
ä
t
t
hoa
hoa
ë
ë
c
c
ca
ca
û
û
hai
hai
ky
ky
ù
ù
hie
hie
ä
ä
u
u
“
“
<

<
”
”
trong
trong
công
công
th
th
ứ
ứ
c
c
(8)
(8)
bơ
bơ
û
û
i
i
“
“
≤
≤
”
”
.
.
V

V
ì
ì
va
va
ä
ä
y
y
,
,
trong
trong
v
v
í
í
du
du
ï
ï
2.5,
2.5,
ta
ta
co
co
ù
ù
( ) ( ) ( )

() ()
33
1221
21
217
272727
PXPXPX
FF
<≤=≤−≤
=−
=−=
( ) ( ) ( ) ( )
7
12121212
27
PXPXPXPX≤≤=≤<=<≤=<<=
QUY LUA
QUY LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I XA
I XA
Ù
Ù
C SUA
C SUA

Á
Á
T
T
q
q
Ne
Ne
á
á
u
u
f(x
f(x
)
)
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä

t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
cu
cu
û
û
a
a
Đ
Đ
LNN
LNN
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
X
X
th
th

ì
ì
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
y =
y =
f(x
f(x
)
)
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
nh
nh
ư
ư
H
H

ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
2.
2.
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
2
2
q
q
Do
Do
f(x
f(x
)
)

≥
≥
0,
0,
nên
nên
đư
đư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
cong
cong
luôn
luôn
bên
bên
trên
trên
tru
tru
ï
ï
c
c
x.
x.

Toa
Toa
ø
ø
n
n
bo
bo
ä
ä
die
die
ä
ä
n
n
t
t
í
í
ch
ch
giơ
giơ
ù
ù
i
i
ha
ha

ï
ï
n
n
bơ
bơ
û
û
i
i
đư
đư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
cong
cong
va
va
ø
ø
tru
tru
ï
ï
c
c

x
x
ba
ba
è
è
ng
ng
1.
1.
Ve
Ve
à
à
y
y
ù
ù
ngh
ngh
ó
ó
a
a
h
h
ì
ì
nh
nh

ho
ho
ï
ï
c
c
,
,
P(a
P(a
<X < b)
<X < b)
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
bơ
bơ

û
û
i
i
die
die
ä
ä
n
n
t
t
í
í
ch
ch
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
tô
tô
đ
đ
a
a

ä
ä
m
m
trong
trong
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
2.
2.
BIE
BIE
Å
Å
U DIỄN
U DIỄN
Đ
Đ
O
O
À
À

THỊ CU
THỊ CU
Û
Û
A
A
Đ
Đ
LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C
C
q
q
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i

F(x
F(x
) = P(X
) = P(X
≤
≤
x)
x)
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
đ
đ
ơn
ơn
đ
đ
ie
ie
ä
ä
u
u

tăng
tăng
.
.
F(x
F(x
)
)
tăng
tăng
t
t
ừ
ừ
0
0
đ
đ
e
e
á
á
n
n
1
1
va
va
ø
ø

đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
bơ
bơ
û
û
i
i
đư
đư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng

cong
cong
nh
nh
ư
ư
trong
trong
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
3.
3.
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-

3
3
BIE
BIE
Å
Å
U DIỄN
U DIỄN
Đ
Đ
O
O
À
À
THỊ CU
THỊ CU
Û
Û
A
A
Đ
Đ
LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C
C
1.
1.

TR
TR
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï
P
P
Đ
Đ
LNN RƠ
LNN RƠ
Ø
Ø
I RA
I RA
Ï
Ï
C.
C.
Ne
Ne
á
á

u
u
X
X
va
va
ø
ø
Y
Y
la
la
ø
ø
hai
hai
Đ
Đ
LNN
LNN
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï

c
c
. Ta
. Ta
đ
đ
ònh
ònh
ngh
ngh
ó
ó
a
a
ha
ha
ø
ø
m
m
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á

t
t
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
cu
cu
û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y
Y

nh
nh
ư
ư
sau
sau
P(X= x, Y= y) =
P(X= x, Y= y) =
f(x
f(x
, y)
, y)
(13)
(13)
trong
trong
đ
đ
o
o
ù
ù
1.
1.
f(x,y
f(x,y
)
)
≥
≥

0
0
2.
2.
q
q
Gia
Gia
û
û
s
s
ử
ử
X = {x
X = {x
1
1
, x
, x
2
2
,...,
,...,
x
x
m
m
}
}

va
va
ø
ø
Y = {y
Y = {y
1
1
, y
, y
2
2
,...,
,...,
y
y
n
n
}
}
th
th
ì
ì
xa
xa
ù
ù
c
c

sua
sua
á
á
t
t
cu
cu
û
û
a
a
bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
X =
X =
x
x
j
j
va
va

ø
ø
Y =
Y =
y
y
k
k
cho
cho
bơ
bơ
û
û
i
i
bie
bie
å
å
u
u
th
th
ứ
ứ
c
c
P(X=
P(X=

x
x
j
j
, Y=
, Y=
y
y
k
k
) =
) =
f(x
f(x
j
j
,
,
y
y
k
k
)
)
(14)
(14)
LUA
LUA
Ä
Ä

T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø
Ø
I
I
( )
,1
xy
fxy=
∑∑
q
q
Ha
Ha
ø
ø
m

m
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
cu
cu
û

û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y.
Y.
q
q
Ha
Ha
ø
ø
m
m
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t

t
biên
biên
(
(
le
le
à
à
)
)
cu
cu
û
û
a
a
X,
X,
cu
cu
û
û
a
a
Y;
Y;
ha
ha
ø

ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
đ
đ
o
o
à
à
ng

ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
cu
cu
û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y
Y
la
la
ø
ø
To
To
å
å
ng

ng
1
1
f
f
22
(y
(y
nn
)
)
...
...
f
f
22
(y
(y
22
)
)
f
f
22
(y
(y
11
)
)
To

To
å
å
ng
ng
co
co
ä
ä
t
t
f
f
11
(x
(x
mm
)
)
f(x
f(x
mm
,y
,y
nn
)
)
f(x
f(x
mm

,y
,y
22
)
)
f(x
f(x
mm
,y
,y
11
)
)
x
x
mm
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…
…
f
f

11
(x
(x
22
)
)
f(x
f(x
22
,y
,y
nn
)
)
...
...
f(x
f(x
22
,y
,y
22
)
)
f(x
f(x
22
,y
,y
11

)
)
x
x
22
f
f
11
(x
(x
11
)
)
f(x
f(x
11
,y
,y
nn
)
)
...
...
f(x
f(x
11
,y
,y
22
)

)
f(x
f(x
11
,y
,y
11
)
)
x
x
11
To
To
å
å
ng
ng
do
do
ø
ø
ng
ng
y
y
nn


...

...
y
y
22
y
y
11
Y
Y
X
X
( ) ( ) ( )
1
1
,;
n
jjjk
i
PXxfxfxy
=
===
∑
( )()
( )
2
1
,
m
kkjk
j

PYyfyfxy
=
===
∑
( ) ( ) ( )
,,,
uxvy
FxyPXxYyfuv
≤≤
=≤≤=
∑∑
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø

Ø
I
I
Nguyen Cong Tri
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
______________________________
______________________________
Ths. Nguyễn Công Trí
______________________________


2.
2.
TR
TR
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï
P
P
Đ
Đ

LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C.
C.
Ca
Ca
û
û
hai
hai
Đ
Đ
LNN
LNN
đ
đ
e
e
à
à
u
u
liên
liên
tu
tu
ï
ï

c
c
,
,
t
t
ư
ư
ơng
ơng
t
t
ự
ự
nh
nh
ư
ư
tr
tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
hơ
hơ

ï
ï
p
p
rơ
rơ
ø
ø
i
i
ra
ra
ï
ï
c
c
,
,
ta
ta
thay
thay
ky
ky
ù
ù
hie
hie
ä
ä

u
u
to
to
å
å
ng
ng
ba
ba
è
è
ng
ng
ky
ky
ù
ù
hie
hie
ä
ä
u
u
t
t
í
í
ch
ch

phân
phân
.
.
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t

đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
cu
cu
û
û
a
a
hai
hai
Đ
Đ
LNN X
LNN X
va
va
ø
ø

Y (
Y (
co
co
ø
ø
n
n
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø

m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
cu
cu

û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y)
Y)
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
xa
xa
ù
ù
c
c
đ
đ
ònh
ònh

bơ
bơ
û
û
i
i
1.
1.
f(x,y
f(x,y
)
)
≥
≥
0
0
2.
2.
q
q
Trên
Trên
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò

z =
z =
f(x,y
f(x,y
)
)
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
mo
mo
ä
ä
t
t
ma
ma
ë
ë
t
t
,
,
đư
đư

ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï
i
i
la
la
ø
ø
ma
ma
ë
ë
t
t
xa
xa
ù
ù
c
c
sua
sua

á
á
t
t
,
,
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
minh
minh
hoa
hoa
ï
ï
trong
trong
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2

-
-
4.
4.
( )
,1fxydxdy
∞∞
−∞−∞
=
∫∫
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø
Ø

I
I
H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
4
4
q
q
Toa
Toa
ø
ø
n
n
bo
bo
ä
ä
the
the
å
å

t
t
í
í
ch
ch
giơ
giơ
ù
ù
i
i
ha
ha
ï
ï
n
n
bơ
bơ
û
û
i
i
ma
ma
ë
ë
t
t

na
na
ø
ø
y
y
va
va
ø
ø
ma
ma
ë
ë
t
t
pha
pha
ú
ú
ng
ng
xy
xy
th
th
ì
ì
ba
ba

è
è
ng
ng
1.
1.
q
q
Xa
Xa
ù
ù
c
c
sua
sua
á
á
t
t
cu
cu
û
û
a
a
X
X
∈
∈

(a
(a
, b)
, b)
khi
khi
Y
Y
∈
∈
(
(
c,d
c,d
)
)
trên
trên
đ
đ
o
o
à
à
thò
thò
la
la
ø
ø

the
the
å
å
t
t
í
í
ch
ch
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
tô
tô
đ
đ
a
a
ä
ä
m
m
trong
trong

H
H
ì
ì
nh
nh
. 2
. 2
-
-
4.
4.
q
q
To
To
å
å
ng
ng
qua
qua
ù
ù
t
t
,
,
ne
ne

á
á
u
u
A
A
la
la
ø
ø
mo
mo
ä
ä
t
t
bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
th
th
ì
ì

to
to
à
à
n
n
ta
ta
ï
ï
i
i
mo
mo
ä
ä
t
t
mie
mie
à
à
n
n


A
A
cu
cu

û
û
a
a
mp
mp
xy
xy
t
t
ư
ư
ơng
ơng
ứ
ứ
ng
ng
vơ
vơ
ù
ù
i
i
A,
A,
( ) ( )
,,
bd
xayc

PaXbcYdfxydxdy
==
<<<<=
∫∫
( ) ( )
,
A
PAfxydxdy
ℜ
=
∫∫
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø

Ø
I
I
q
q
Ha
Ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø

ø
i
i
cu
cu
û
û
a
a
X, Y
X, Y
trong
trong
tr
tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
hơ
hơ
ï
ï
p
p
na

na
ø
ø
y
y
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
đ
đ
ònh
ònh
ngh
ngh
ó
ó
a
a
nh
nh
ư
ư
sau
sau
(22)

(22)
Ta
Ta
co
co
ù
ù
(23)
(23)
T
T
ừ
ừ
(22)
(22)
ta
ta
co
co
ù
ù
la
la
à
à
n
n
l
l
ư

ư
ơ
ơ
ï
ï
t
t
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
biên
biên
(
(
ha
ha
ø
ø
m

m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
le
le
à
à
)
)
cu
cu
û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y.
Y.
(24)

(24)
(25)
(25)
( ) ( ) ( )
,,,
xy
uv
FxyPXxYyfuvdudv
=−∞=−∞
=≤≤=
∫∫
( )
2
,
F
fxy
xy
∂
=
∂∂
( ) () ( )
1
,
x
uu
PXxFxfuvdudv
∞
=−∞=−∞
≤==
∫∫

( ) () ( )
2
,
y
uu
PYyFyfuvdudv
∞
=−∞=−∞
≤==
∫∫
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø
Ø

I
I
q
q
La
La
á
á
y
y
đ
đ
a
a
ï
ï
o
o
ha
ha
ø
ø
m
m
cu
cu
û
û
a
a

(24)
(24)
đ
đ
o
o
á
á
i
i
vơ
vơ
ù
ù
i
i
x
x
va
va
ø
ø
(25)
(25)
đ
đ
o
o
á
á

i
i
vơ
vơ
ù
ù
i
i
y
y
th
th
ì
ì
la
la
à
à
n
n
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
t
t

ta
ta
co
co
ù
ù
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
biên
biên
(
(
ha
ha

ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
le
le
à
à
)
)
, hay
, hay
đ
đ
ơn
ơn
gia
gia

û
û
n
n
la
la
ø
ø
ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
cu
cu
û
û

a
a
X
X
va
va
ø
ø
cu
cu
û
û
a
a
Y
Y
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
cho
cho
bơ
bơ
û
û

i
i
bie
bie
å
å
u
u
th
th
ứ
ứ
c
c
(26)
(26)
() ( )
1
,
v
fxfxvdv
∞
=−∞
=
∫
() ( )
2
,
u
fyfxudu

∞
=−∞
=
∫
LUA
LUA
Ä
Ä
T PHÂN PHO
T PHÂN PHO
Á
Á
I
I
Đ
Đ
O
O
À
À
NG THƠ
NG THƠ
Ø
Ø
I
I
1.
1.
TR
TR

Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï
P
P
Đ
Đ
LNN RƠ
LNN RƠ
Ø
Ø
I RA
I RA
Ï
Ï
C.
C.
Ne
Ne
á
á
u
u

bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
X= x
X= x
va
va
ø
ø
bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
Y= y
Y= y
la
la

ø
ø
ca
ca
ù
ù
c
c
bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
đ
đ
o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä

p
p
vơ
vơ
ù
ù
i
i
mo
mo
ï
ï
i
i
x
x
va
va
ø
ø
y,
y,
th
th
ì
ì
ta
ta
no
no

ù
ù
i
i
X
X
va
va
ø
ø
Y
Y
la
la
ø
ø
ca
ca
ù
ù
c
c
Đ
Đ
LNN
LNN
nhiên
nhiên
đ
đ

o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä
p
p
.
.
Trong
Trong
tr
tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø
ng
ng
hơ
hơ
ï
ï

p
p
nh
nh
ư
ư
va
va
ä
ä
y
y
th
th
ì
ì
P(X= x, Y = y) = P(X =
P(X= x, Y = y) = P(X =
x)P(Y
x)P(Y
= y)
= y)
(27)
(27)
hay
hay
f(x
f(x
, y) = f
, y) = f

1
1
(x)f
(x)f
2
2
(y)
(y)
(28)
(28)
q
q
Ng
Ng
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
la
la
ï
ï
i
i
,
,

vơ
vơ
ù
ù
i
i
mo
mo
ï
ï
i
i
x
x
va
va
ø
ø
y,
y,
ha
ha
ø
ø
m
m
xa
xa
ù
ù

c
c
sua
sua
á
á
t
t
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
f(x,y
f(x,y
)
)
co
co
ù
ù

the
the
å
å
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
qua
qua
t
t
í
í
ch
ch
cu
cu

û
û
a
a
mo
mo
ä
ä
t
t
ha
ha
ø
ø
m
m
theo
theo
bie
bie
á
á
n
n
x
x
va
va
ø
ø

mo
mo
ä
ä
t
t
ha
ha
ø
ø
m
m
theo
theo
bie
bie
á
á
n
n
y
y
th
th
ì
ì
X
X
va
va

ø
ø
Y
Y
la
la
ø
ø
đ
đ
o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä
p
p
.
.
Ne
Ne
á
á
u
u

f(x,y
f(x,y
)
)
không
không
the
the
å
å
bie
bie
å
å
u
u
diễn
diễn
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
nh
nh
ư
ư

va
va
ä
ä
y
y
th
th
ì
ì
X
X
va
va
ø
ø
Y
Y
đư
đư
ơ
ơ
ï
ï
c
c
go
go
ï
ï

i
i
la
la
ø
ø
phu
phu
ï
ï
thuo
thuo
ä
ä
c
c
.
.
Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I L
I L
Ư
Ư
Ơ
Ơ

Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
Đ
Đ
O
O
Ä
Ä
C LA
C LA
Ä
Ä
P
P
2.
2.
TR
TR
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
NG HƠ
NG HƠ
Ï
Ï

P
P
Đ
Đ
LNN LIÊN TU
LNN LIÊN TU
Ï
Ï
C.
C.
Ne
Ne
á
á
u
u
X, Y
X, Y
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
,
,
ta
ta

no
no
ù
ù
i
i
X, Y
X, Y
đ
đ
o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä
p
p
ne
ne
á
á
u
u
ca
ca

ù
ù
c
c
bie
bie
á
á
n
n
co
co
á
á
X
X
≤
≤
x
x
va
va
ø
ø
Y
Y
≤
≤
y
y

đ
đ
o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä
p
p
vơ
vơ
ù
ù
i
i
mo
mo
ï
ï
i
i
x
x
va
va

ø
ø
y. Ta
y. Ta
co
co
ù
ù
P(X
P(X
≤
≤
x, Y
x, Y
≤
≤
y) = P(X
y) = P(X
≤
≤
x)P(Y
x)P(Y
≤
≤
y)
y)
(29)
(29)
hay
hay

F(x
F(x
, y)
, y)
=
=
F
F
1
1
(x)F
(x)F
2
2
(y)
(y)
(30)
(30)
trong
trong
đ
đ
o
o
ù
ù
F
F
1
1

(x)
(x)
va
va
ø
ø
F
F
2
2
(y)
(y)
la
la
à
à
n
n
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
t
t
la
la

ø
ø
ca
ca
ù
ù
c
c
ha
ha
ø
ø
m
m
phân
phân
pho
pho
á
á
i
i
(
(
biên
biên
)
)
cu
cu

û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y.
Y.
q
q
Vơ
Vơ
ù
ù
i
i
ca
ca
ù
ù
c
c
Đ
Đ
LNN
LNN

đ
đ
o
o
ä
ä
c
c
la
la
ä
ä
p
p
liên
liên
tu
tu
ï
ï
c
c
co
co
ù
ù
ha
ha
ø
ø

m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
đ
đ
o
o
à
à
ng
ng
thơ
thơ
ø
ø
i
i
f(x,y
f(x,y

)
)
=
=
f
f
1
1
(x)f
(x)f
2
2
(y)
(y)
th
th
ì
ì
ca
ca
ù
ù
c
c
ha
ha
ø
ø
m
m

f
f
1
1
(x), f
(x), f
2
2
(y)
(y)
la
la
à
à
n
n
l
l
ư
ư
ơ
ơ
ï
ï
t
t
la
la
ø
ø

ha
ha
ø
ø
m
m
ma
ma
ä
ä
t
t
đ
đ
o
o
ä
ä
biên
biên
(
(
le
le
à
à
)
)
cu
cu

û
û
a
a
X
X
va
va
ø
ø
Y.
Y.
Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I L
I L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
NG NGẪU NHIÊN
NG NGẪU NHIÊN
Đ
Đ

O
O
Ä
Ä
C LA
C LA
Ä
Ä
P
P
Nguyen Cong Tri
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
______________________________
______________________________
Ths. Nguyễn Công Trí
______________________________

CHƯƠNG 2
ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ
LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ĐLNN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1. Giả sử tung một cặp xúc xắc công bằng và gọi đại lượng ngẫu nhiên X là tổng số
điểm trên hai mặt xuất hiện của cặp xúc xắc. Tìm luật phân phối xác suất của X.
Hướng dẫn:
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f (x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2.2. Tìm luật phân phối xác suất của con trai và con gái trong một gia đình có 3 con,
giả sử xác suất sinh con trai và con gái bằng nhau.
Hướng dẫn:

X 0 1 2 3
f (x) 1/8 3/8 3/8 1/8
HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC
2.3. (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.1, (b) hãy
vễ đồ thò của phân phối này.
2.4. (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.2, (b) hãy
vễ đồ thò của phân phối này.
ĐLNN LIÊN TỤC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.5. Một đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = c/(x
2
+ 1), trong đó - < x < .
(a) Tìm giá trò của hằng số c. (b) Tìm xác suất của X
2
nằm giữa 1/3 và 1.
Đs: (a) c = 1/ , (b) 1/6.
2.6. Tìm hàm phân phối ứng với hàm mật độ của bài tập 2.5.
Đs: ½ + (1/ )tan
-1
x
2.7. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là
2
1,
0, 0
x
ex
Fx
x
0
Tìm (a) hàm mật độ, (b) xác suất của X > 2 và (c) xác suất của 3 < X 4.
Đs: (b) e

-4
LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI VÀ ĐLNN ĐỘC LẬP
2.8. Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X và Y là
f(x,y)= c(2x + y), trong đó x và y đều là số nguyên sao cho 0 x 2, 0 y 3û và
ngược lại f(x,y) = 0.
Nguyen Cong Tri
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CHƯƠNG 2: ĐLNN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
______________________________
______________________________
Ths. Nguyễn Công Trí
______________________________