LTDHPT luong giac 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.41 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

- Trang 1-

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

I. Góc và cung lượng giác:

1. Giá trị lượng giác của một số góc:

α 0



sinα 0 1

2 1

cosα 1 3

2
2

2 0

tanα 0 3

3 1 3 

cotα  3 1 3

3 0

2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) 
–x  – x



– x + x
2



+ x

sin –sinx sinx cosx –sinx cosx
cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx
tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx
cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx
II. Công thức lượng giác:

1. Công thức cơ bản:

2 2

sin acos a1
tan a.cot a1

2
1
1 tan a

cos a

 

2
1
1 cot a

sin a

 

2. Công thức cộng:

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
sin( ) sins .cos cos .sin

tan tan
tan( )

1 tan . tan
tan tan
tan( )

1 tan . tan

        

        

        

        

  

   

  

  

   

  

3. Công thức nhân đôi, nhân ba:

2 2 2 2

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin

(cos sin )(cos sin )

          

      

s in2 2 sin .cos 

cos 3 4 cos  3cos
3
sin 3 3sin 4 sin 
4. Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2x 2

cos x 1 sin x

(1 cos x)(1 cos x)



  

  

2 1 cos 2x 2

sin x 1 cos x

(1 cos x)(1 sin x)



  

  

5. Công thức biến đổi tổng thành tích:

x y x y

cos x cos y 2 cos cos

2 2

x y x y

cos x cos y 2 sin sin

2 2

x y x y

sin x sin y 2 sin cos

2 2

x y x y

sin x sin y 2 cos sin

2 2

 

 

 

  

 

  

 

 

6. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:













cos cos cos( ) cos( )

2
1

sin sin cos( ) cos( )

2
1

sin cos sin( ) sin( )

         

          

         

 Một số chú ý cần thiết:

4 4 2 2

sin xcos x 1 2.sin x.cos x

6 6 2 2

sin xcos x 1 3.sin x.cos x

8 8 4 4 2 4 4

2 2 2 4 4

4 2

sin x cos x (sin x cos x) 2 sin x.cos x
(1 2 sin x.cos x) 2sin x.cos x

sin 2x sin 2x 1
8

   

  

  

Trong một số phương trình lượng giác, đơi khi

ta phải sử dụng cách đặt như sau:
Đặt ttan x

Khi đó:

2 2

2t 1 t

sin 2x ; cos 2x

1 t 1 t



 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Trang 2-

B. BÀI TẬP

1. Dạng cơ bản:

 sin x sin x k2 k

x k2

   



   

     





 cos x cos x k2 k

x k2

   



   

   





 tan xtan  x   k k
 cot xcot x   k k

Trường hợp đặc biệt:

 sin x0 x k , k

 sin x 1 x k2 k



     

 sin x 1 x k2 k



       

 cos x 0 x k k

2


     

 cos x1 xk2 k

Cách giải:

- Biến đổi đưa về dạng phương trình cơ bản
đã nêu.

- Phương pháp này thường được kết hợp với
cung liên kết.

Giải các phương trình: 
1. 2 sin x 30



 0



 2 
2. 2 2 sin 2x 2 0

 

 

 

 

 

3. cos x 1

3 2



 

 

 

 

4. 2 3cos 3x 3 0



 

  

 

 

5. 6cos 4x 3 3 0
5



 

  

 

 

6. tan 2x 15



 0



 1 0

7. 3 tan 2x 3 0

3


 

  

 

 

8. 3cot 3 x 3 0

2


 

  

 

 

9. sin 2x cos x 2

3 3

 

   

  

   

   

10. sin x



450



cos2x

11. sin 3x cos x 2 0

4 3

 

   

   

   

   

12. sin 2x cos x 2
3



 

   

 

13. sin 2x cos2x
3



 

 

 

 

14. tan 2xcot 3x0

15. tan 3x .cot 5x 0

2 4

 

   

  

   

   

16. tan 6 3x .cot 2x 0

5 4

 

   

  

   

   

17. tan 3x . cos2x 1





0
2



 

  

 

 

18. cos 3x 1 .sin x 0

2 5

     

   

   

 

   

 

2. Dạng bậc 2 hay bậc n của một hàm lượng 
giác:

 2

a sin xb s inx c 0(1)

 a cos x2 b cosx c 0(2)

 a tan x2 b tan x c 0(3)

 2

a cot xa cot x c 0(4)
Cách giải:

- Đặt t là một trong các hàm lượng giác.
- Giải phương trình theo t và dễ dàng tìm

được nghiệm của phương trình đã cho.
- Nếu đặt t = sinx (hay cosx) thì nhớ kèm

theo điều kiện   1 t 1
Giải các phương trình:

1. 2 sin x 3s inx 52   0
2. 6cos x cosx 1 02   
3. 2cos 2x2 cos2x0

4. 2





tan x 3 1 tan x  30

5. cot 2x2 3cot 2x20

6. 2

6cos x 5s inx 7  0
7. cos2xcosx 1 0

8. 2

3sin 2x7 cos 2x 3 0
9. cosx 3cosx 2 0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Trang 3-
10. cos2x 3cosx 4cos2 x

 

11. cos 2x3sin x2
12. 6sin x2 2 sin 2x2 5
13. 6 sin 3x cos12x2  4

14. cos 2x sin x 2 2 cos x 1 0 
15. 2cos 2x2 2



3 1 cos2x



2 30
16. 5 1 cos x







 2 s in x4 cos x4
17. tan xcotx2

18. 42 t anx 7

cos x 

19. tan xcot x2

20. cos 2 x 4 cos x 5

3 6 2

 

   

   

   

   

3. Dạng 3: a.sin xb.cos xc
Cách giải:

- Nếu 2 2 2

a b c : phương trình vơ nghiệm
- Nếu 2 2 2

a b c : Ta chia hai vế của
phương trình cho a2b2 . Pt trở thành:

2 2 2 2 2 2

a b c

sin x cos x

a b a b a b

 

  

2 2

c
cos .sin x sin .cos x

a b

    



2 2

sin(x )

a b

   


- Ta dễ dàng giải được.
Lưu ý:

2 2 2 2

b a

sin ;cos

a b a b

 

   

 

 

 

Dạng biến thể:

a.sin xb.cos xc sin y d cos y
Trong đó: 2 2 2 2

a b c d

a.sin xb.cos xc sin y(có thể c.cos y )
Trong đó: a2b2 c2

Giải các phương trình: 
1. sin 3x cos 3x 3

 

2. 3 sin 5xcos 5x0
3. sin x 3 cos x1

4. 4 sin xcos x4
5. sin 2xcos 2x1
6. 3 sin 3xcos 3x 2
7. sin x2 sin 2x3cos x2
8. sin xcos x2 2 sin x cos x
9. 4(sin x4 cos x)4  3 sin 4x2

10. tgx 3 1

cos x

 

11. cos x sin 2x2 3
2 cos x sin x 1





 

12. sin 8x cos 6x  3 sin 6x



cos 8x



13. 3 cos 2x sin 2x 2 sin 2x 2 2



 

    

 

14. 2 3 sin 2x cos 2x2 cos 2x2  3 1

15. 2 sin17xsin 5x 3 cos 5x0

4. Dạng 4:

2 2

a.sin xb.sin x.cos xc.cos xd
Cách giải:

Cách 1:

- Xét cos x 0 x k2 , k
2



     

Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận

có nhận nghiệm cos x0hay không?) 
- Xét cos x 0 x k2 , k



     

Chia hai vế của phương trình cho cos x2 . Pt trở
thành: a.tan x2 b.tan x c d(1 tan x) 2
Đặt ttan x ta dễ dàng giải được được pt.
Cách 2:

Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình
dạng 3.

- Chú ý:đối với dạng phương trình 
thuần nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos
ta cũng có cách giải hồn tồn tương tự.

Giải các phương trình:

1. 2 cos x 5sin x cos x2  6 sin x 1 02  
2. cos x2  3 sin 2xsin x 12  0

3. 2 2

cos x sin x cos x 2 sin x 1 0 
4. cos x2  3 sin x cos x 1 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Trang 4-
6. 4 sin x 3 3 sin 2x2  2 cos x2 4

7. 3sin x 5 cos x2  2 2 cos 2x4 sin 2x
8. 3sin x2  3 sin x cos x2 cos x2 2
9. tan xcot x2 sin 2x



cos 2x



10. 3cos x4 4 sin x cos x sin x2 2  4 0
11. 4 cos x3 2 sin x 3sin x3  0

12. 3 2 2

cos x4 sin x sin x 3 cos x sin x
13. cos x sin x3  3 cos x sin x 
14. sin x 3sin x cos x 1 02   
15. cos x sin x 3sin x cos x3   2 0

16. 4 sin x 3cos x 3sin x3  2  sin x cos x2
17. 2 cos x3 sin 3x

5. Dạng 5:

a(sin xcos x) b.sin x.cos x  c 0
Cách giải:

Đặt tsin xcos x

Điều kiện: t 2 Do t 2 sin x
4

   

     

 

Ta có: t2 sin x2 cos x2 2 sin x.cos x
2

t 1

sin x.cos x
2



 

Pt trở thành:

t 1

a.t b c 0

2


  

Ta dễ dàng giải được.

Chú ý: đối với dạng phương trình
a(sin x cos x) b.sin x.cos x c   0
Bằng cách đặt t sin x cos x 2 sin x



 

     

 

ta sẽ giải được với cách giải hoàn toàn tương tự
như trên

Giải các phương trình:

1. 2 sin x



cos x



6 sin x cos x 2 0
2. sin xcos x4 sin x cos x 1 0
3. sin x cos x 2 sin x



cos x



 1 0
4. 6 sin x



cos x



 1 sin x cos x
5. sin xcos x2 6 sin x cos x
6. 2 2 sin x cos x







3sin 2x

7. 2 sin 2x 3 3 sin x cos x







 8 0
8. sin x 2 sin 2x 1 cos x

  

6. Dạng 6: A.B0
Cách giải:

- Dùng các công thức biến đổi đưa về
dạngA.B0

A 0

A.B 0

B 0




  




Giải các phương trình: (dạng tích)
1. sin xs in2xs in3x0

2. cos xcos 3xcos 5x0

3. 1 2 sin x cos 3x2 cos x.cos 2x
4. cos 2xcos8xcos 6x1
5. 2 sin x.cos 2x2 cos 2x 1 sin x
6. sin 2x4 s inx cos x2 2 sin x
7. 4 sin x 3 2 s in2x3  8s inx
8. 7 cos x4 cos x3 4 sin 2x
9. sin x 1 sin x







cos x cos x 1







10. sin x2 cos xcos 2x2 sin x cos x0
11. sin x3 2 cos x 2 sin x2 0

12. sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2
Giải các phương trình: (hạ bậc)

1. sin x sin 2x sin 3x2 2 2 1
2

  

2. sin x4 5cos x4 1
3

 

3. sin x sin 2x sin 3x sin 4x2  2  2  2 2
4. 2 sin x6 cos x cos 2x4  0

5. sin x6 cos x6 sin x4 cos x4

6. sin x 2 tanx 0

  

7. s in2xcos 2xtan x2
8. 2 cos x sin x6  4 cos 2x0

 Một sốlưu ý khi giải các bài toán lượng 
giác trong các đềthi đại học:

 Xuất hiện 3nghĩ đến phương trình III.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Trang 5-

 Ngồi hai trường hợp nhận dạng trên thì từ
giả thiết cố gắng đưa bài tốn về chung một góc.

 Xuất hiện góc lớn thì dùng cơng thức tổng
thành tích đểđưa về các góc nhỏ.

 Xuất hiện các góc có cộng thêm
k , k , k , k ,...

4 2 3

  

 thì có thể dùng cơng thức

tổng thành tích, tích thành tổng hoặc cung liên kết,
hoặc công thức cộng để làm mất các

k , k , k , k ,...

4 2 3

  



 Xuất hiện 2thì nghĩ đến phương trình III
hoặc cũng có khảnăng là các vế cịn lại nhóm
được (sin x cos x) để triệt 2 vì

t sin x cos x 2 sin x

4


 

     

 

 Khi đã đơn giản các góc, mà chưa đưa về
được phương trình quen thuộc thì nghĩ ngay đến
khảnăng “nhóm nhà, nhóm cửa”. Lưu ý, khảnăng
tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) về

tích hai phương trình bậc nhất.

Chú ý: Góc lớn là góc có sốđo lớn hơn 2x.
Ta chỉ sử dụng công thức nhân ba khi đã đưa bài
toán về sinx, 2

sin x hoặc cosx, 2
cos x.

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Đề 2002:

1. 5 sin x cos 3x sin 3x cos 2x 3

1 2 sin 2x


 

  

 



 

2. 2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.

3. cos 3x4 cos 2x3cos x 4 0 
4.

2
4

(2 sin 2x) sin 3x
1 tan x

cos x


 

5.

4 4

sin x cos x 1 1

cot 2x

5sin 2x 2 8sin 2x



 

6. tan x cos x cos x2 sin x 1 tan x. tanx
2

 

     

 

7. 12 sin x

8 cos x 

Đề 2003:

8. cos 2x 2 1

cot x 1 sin x sin 2x

1 tan x 2

   



9. cot 2x tan x 4 sin 2x 2
sin 2x

  

10. sin2 x . tan x2 cos2 x 0

2 4 2



   

  

   

   

11. 3 tan x tan x



2 sin x



6 cos x0 
12. cos 2xcos x 2 tan x 1



2 



2 
13. 3cos 4x 8 cos x 6 2 cos x 32  0

14.





2 x
2 3 cos x 2 sin

2 4

1
2 cos x 1



 

    

  



15.









cos x cos x 1

2 1 sin x
cos x sin x



 



Đề 2004:

16. cot x tan x 2 sin 4x
sin 2x

 

17.





5sin x 2 3 1 sin x tan x

18.



2 cos x -1 2 sin x



cos x



sin 2x - sin x
19. sin 4x .sin 7xcos 3x .cos 6x

20. 1 sin x  1 cos x 1

21.



2 cos x 1 2 sin x



cos x



sin 2x sin x

22. 4 sin x



3 cos x3



cos x 3sin x
23. sin x sin 2x  3 cos x



cos 2x



Đề 2005:

24. cos 3x cos 2x cos x2   2 0

25.1 sin x cos xsin 2xcos 2x0

26. cos x4 sin x4 cos(x ) sin(3x ) 3 0

4 4 2

 

     

27. 4 sin2 x 3 cos 2x 1 2 cos2 x 3

2 4



 

     

 

28. 2 2 cos3 x 3cos x sin x 0
4



 

   

 

 

29. tan x 3 tan x2 cos 2x 12

2 cos x

 

 

  

 

 

30. sin x cos 2xcos x tg x 12



2 



2 sin x3 0
31. sin 2xcos 2x3sin xcos x 2 0
32. tg 3 x sin x 2.

2 1 cos x



 

  

 



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Trang 6-
Đề 2006:

33.

6 6

2(sin x cos x) sin x cos x

0
2 2 sin x

 




34. cot x sin x(1 tan x tan )x 4
2

  

35. cos 3xcos 2xcos x 1 0

36. cos 3x cos x sin 3x sin x3 3 2 3 2
8


 

37. 2 sin 2x 4 sin x 1 0

6


 

   

 

 

38.



2 sin x 1 tg 2x2 



2 3 2 cos x 1



2 



0
39. cos 2x



1 2 cos x



sin xcos x



0

40. 3 3 2

cos xsin x2 sin x1

41. 4 sin x3 4 sin x 3sin 2x2  6 cos x0
Đề 2007:

42.



1 sin x cos x 2







1 cos x sin x 2



 1 sin 2x

43. 2

2 sin 2x sin 7x 1 s inx  
44.

x x

sin cos 3cosx=2

2 2

 

 

 

 

45. sin 2x sin x 1 1 2 cot g2x
2 sin x sin 2x

   

46. 2 cos x2 2 3 sin x cos x 1





3 sin x 3 cos x

 

47. sin 5x cos x 2 cos3x

2 4 2 4 2

 

   

   

   

   

48. sin 2x cos 2x tgx cot gx
cos x  sin x  

49. 2 2 sin x cos x 1
12



 

 

 

 

50.



1 tgx 1 sin 2x







 1 tgx
Đề 2008:

51. 1 1 4 sin 7 x

sin x 4

sin x



 

    



    

 

 

52. 3 3

sin x 3 cos x

2 2

sin x cos x 3 sin x cos x

 

53. 2 sin x 1 cos 2x







sin 2x 1 2 cos x
54.tanx = cotx + 4cos22x

55. sin 2x sin x 2

4 4 2

 

   

   

   

   

56. 2 sin x sin 2x 1

3 6 2

 

   

   

   

   

57. 3sin x cos 2x sin 2x 4sin x cos2x
2

  

58. 4 4

4(sin xcos x)cos 4xsin 2x0

Đề 2009:

59.











1 2 sin x cos x

3
1 2 sin x 1 sin x





 

60. sin xcos x sin 2x 3 cos 3x





2 cos 4x sin x

 

61. 3 cos 5x - 2 sin 3x cos 2x - sin x0
Đề 2010:

62.

(1 sin x cos 2x) sin x

1
4

cos x

1 tan x 2



 

    

  



</div>

LTDHPT luong giac 2

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC </b>

<b>A. LÝ THUYẾT </b>













<b>B. BÀI TẬP </b>













<sub></sub>

<sub></sub>

















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<b>CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC </b>





















<sub></sub>

<sub></sub>

































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











