Phương trình lượng giác chứa căn và giá trị tuyệt đối
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.38 KB, 13 trang )
CHƯƠNG VII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN
Cách giải : Áp dụng các công thức
A 0B
AB
0
A BA
≥≥
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
B= =
⎩⎩
2
B0
AB
A B
≥
⎧
=⇔
⎨
=
⎩
Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng
giác nên ta xử lý điều kiện
B
bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ
0
≥
các bài toán quá phức tạp.
Bài 138 : Giải phương trình
( )
5cos x cos2x 2sin x 0 *−+=
()
* 5cos x cos2x 2sin x⇔−=−
2
sin x 0
5cos x cos 2x 4 sin x
≤
⎧
⇔
⎨
−=
⎩
()(
22
sin x 0
5cosx 2cos x 1 4 1 cos x
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
−−=−
⎪
⎩
)
=
2
sin x 0
2cos x 5cosx 3 0
≤
⎧
⇔
⎨
+−
⎩
()
sin x 0
1
cosx cosx 3 loại
2
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=∨ =−
⎪
⎩
≤
⎧
⎪
⇔
π
⎨
=± + π ∈
⎪
⎩
π
⇔=−+ π∈
sin x 0
xk2,k
3
xk2,k
3
Bài 139 : Giải phương trình
333 3
sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + =
Điều kiện :
cos x 0
sin 2x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
sin 2x 0
≠
⎧
≠
⎧
⎪
≠⇔ ⇔ >
⎨⎨
≥
⎩
⎪
≥
⎩
Lúc đó :
()
332 2
* sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + =
()( )
22
sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x⇔+++=
( )
()
22
sin x cos x sin x cos x 2sin 2x
⇔+ + =
()
2
sin x cos x 0
sin x cos x 2sin 2x
+≥
⎧
⎪
⇔
⎨
+=
⎪
⎩
()
sin x 0
2sin x 0
4
4
sin2x 1 nhận do sin2x 0
1 sin 2x 2sin 2x
⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
+≥
+≥
⎪⎪
⎜⎟
⎜⎟
⇔⇔
⎝⎠
⎝⎠
⎨⎨
⎪⎪
= >
+=
⎩
⎩
()
⎧π ⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
πππ
⎪⎪
=+π∈ =+ π∨= + π ∈
⎪⎪
⎩⎩
sin x 0 sin x 0
44
5
xk,k xm2x m2loại,m
444
π
⇔=+ π ∈xm2,m
4
Bài 140 : Giải phương trình
()
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
2
1 8 sin 2x. cos 2x 2 sin 3x *
4
+
Ta có : (*)
22
sin 3x 0
4
1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x
4
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
+
()
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎡ ⎤
⎪
++=−+
⎢ ⎥
⎪
⎣ ⎦
⎩
sin 3x 0
4
14sin2x1cos4x 21cos(6x )
2
()(
sin 3x 0
4
1 4 sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x
⎧π
⎛⎞
+≥
⎪
⎜⎟
⇔
⎝⎠
⎨
⎪
++ −=+
⎩
)
⎧π⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
ππ
⎪⎪
= = +π∨ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩
sin 3x 0 sin 3x 0
44
15
sin 2x x k x k , k
21212
So lại với điều kiện
sin 3x 0
4
π
⎛⎞
+ ≥
⎜⎟
⎝⎠
Khi x k thì
12
π
•=+π
sin 3x sin 3k cos k
42
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
+= +π=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
π
()
( )
()
()
⎡
=
⎢
−
⎢
⎣
1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại
π
•=+π
5
Khi x k thì
12
ππ π
⎛⎞⎛ ⎞⎛
+= +π= −+π
⎜⎟⎜ ⎟⎜
⎝⎠⎝ ⎠⎝
3
sin 3x sin 3k sin k
42 2
⎞
⎟
⎠
( )
()
−
⎡
=
⎢
⎢
⎣
1, nếu k chẵn loại
1, nếu k lẻ nhận
Do đó
() ()
ππ
⇔ =+π∨=+ +π∈
5
*x m2x 2m1,m
12 12
Bài 141 : Giải phương trình
()
1sin2x 1sin2x
4cosx *
sin x
−++
=
Lúc đó :
()
* 1 sin 2x 1 sin 2x 2sin 2x⇔− ++ =
( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )
22
2 2 1 sin 2x 4sin 2x
sin 2x 0
⎧
⎪
+− =
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
22
1 sin 2x 2sin 2x 1
sin 2x 0
⎧
⎪
−=
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
−
242
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1
sin 2x
2
sin 2x 0
⎧
−= −
⎪
⎪
⇔≥
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
+
()
22
sin 2x 4 sin 2x 3 0
1
sin 2x
2
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
⎧
−
=∨ =
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
33
sin 2x sin 2x
22
2
sin 2x
2
3
sin 2x
2
⇔=
ππ
⇔ =+π∨ = +π∈
2
2x k2 2x k2 , k
33
ππ
⇔ = +π∨ = +π ∈
xkxk,k
63
Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối
()
≠
⎧
⎪
⇔
⎨
−++=
⎪
⎩
⇔−++=
sin x 0
*
cosx sinx cosx sinx 2sin2x
cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x
Bài 142 : Giải phương trình
()
+++=
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 *
Đặt
sin
3
tsinx 3cosxsinx cosx
cos
3
π
=+ =+
π
1
tsinx2sinx
33
cos
3
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔= + = +
⎜⎟ ⎜⎟
π
⎝⎠ ⎝⎠
()
+=*thành t t 2
⇔=−
−≥ ≤
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
=− + − +=
⎩⎩
≤
⎧
⇔⇔=
⎨
=∨=
⎩
22
t2t
2t 0 t 2
t44tt t 5t40
t2
t1
t1t4
Do đó
()
*
πππ ππ
⎛⎞
⇔ + =⇔+=+π += +π∈
⎜⎟
⎝⎠
15
sin x x k2 hay x k2 , k
32 36 36
ππ
⇔=−+ π∨=+ π∈
xk2xk2,k
62
Bài 143
: Giải phương trình
()( ) ( )
++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x *
Chia hai vế của (*) cho
cos x 0
≠
ta được
() ()( )
* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+
Đặt
utgx1vớiu=+ ≥0
x
Thì
2
u1tg
−=
(*) thành
()( )
22
3u u 1 5 u 2
+= +
32
3u 5u 3u 10 0
⇔ − +−=
()
( )
2
u23u u5 0
⇔− ++=
( )
2
u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔=∨ ++=
Do ủoự
()
* tgx 1 2+=
tgx 1 4
+=
tgx 3 tg vụựi
22
== <<
,xkk
=+
Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh
()
()
1
1 cos x cos x cos2x sin 4x *
2
+ =
()
()
* 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x
+ =
+
=
cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x
cos 2x 0
=
=+
+ =
2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
2x k , k
2
12(1cosx)cosxsin2x
=+
+ =
2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
xk,k
42
12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP)
= + = +
=
=
2
cos x 0
cos x 0
sin 2x 0
hay
5
xhhayx h,h
sin 2x 1
44
(1 cosx)cosx 0
=+
==
= = ===
xh,h
4
sin 2x 1 sin 2x 1
hay hay
cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0)
=+ xh,h
4
Baứi 145
: Giaỷi phửụng trỡnh
( ) ( ) ( )
33
sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ +=
()
33
sinx cosx cosx sinx
*sinx cosx 2sinxcos
sin x cos x
++
+=
x
()
()
22
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + =
sin x cos x 0
1 sin 2x 2sin 2x
+
+=
+
+
=
= +
sin x 0
sin x cos x 0
4
sin 2x 1
xk,k
4
