<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

(TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM)
A. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

1. Mơđun của số phức:Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ
dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu _{z = a + bi = a + b}2 2

 Tính chất

 _z _ _a2__b2 _ _zz _ _OM _ _z _{  }_0, _z __, _z _{  }₀ _z ₀

 . 'z z  z z. '  , ' 0





' '

z z

z

z  z   z z'  z z'  z z'
 kz  k z k. , _

 Chú ý: _z2 _ _a2__b2_₂_abi _ ₍_a2__b2 2₎ _₄_{a b}2 2 __a2__b2_ _z2 _ _z2 __{z z}_. _.

Lưu ý:

 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z₁kz k₂



0



 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



.

 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



 z₁z₂2 z₁z₂2 2



z₁2 z₂2



 z2  z z  z2  z _

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M
axby c 0 (1)

z a bi    z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0
(2) Đường trung trực đoạn AB với

   



A a b B c d, , ,





_{x a}_

 

2_ _{y b}_



2 __R2_hoặc

z a bi  R

Đường tròn tâm I a b

 

; , bán kính R



 

2



2 ₂

x a  y b R hoặc
z a bi  R

Hình trịn tâm I a b

 

; , bán kính R



 

2



2

2 2

r  x a  y b R hoặc
r  z a bi R

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường trịn
đồng tâm I a b

 

; , bán kính lần lượt là r R,





2

2 0

y ax bx c
c
x ay by c

   



 _ _ _



Parabol



 

2



2

_{ }

2 2 1 1

x a y c

b d

 

  hoặc

1 1 2 2 2

z a b i z a b i  a

 

1 Elip

 

2 Elip nếu 2a AB A a b,



1, 1

 

,B a b2, 2



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang 2



 

2



2

2 2 1

x a y c

b d

 

  Hypebol

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm z_Min. Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y

 

; biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a b

 

;



2 2
0

1 1

2 2

2 2
Min

z z a b

a b

z i

 _ _ _



  


TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di. Tìm z_min. Ta có

 Quỹ tích điểm M x y

 

; biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a b B c d

   

; , ;









 



2 2 2 2

2 2

,

2
Min

a b c d

z d O AB

a c b d

  

 

  

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài tốn thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ
bản.

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di. Khi đó ta biến đổi
.

z a bi    z c di   z a bi   z c di

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi    z c di. Khi đó ta biến đổi
.

a bi c di

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

   

              

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0



z z ₀ R



. Tìm z_Max, z_Min. Ta có
 Quỹ tích điểm M x y

 

; biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I a b

 

; bán kính R



2 2

0
2 2

0

Max

Min

z OI R a b R z R

z OI R a b R z R

 _ _{ } _ _{ } _




      



Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

i i

 

      (Chia hai vế cho i)
z b ai R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi     R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện





2 2

a bi R R

c di z a bi R z

c di c di _c _d

 

       

  _

Hay viết gọn 1

0 1

0 0

z R

z z z R z

z z

     (Chia cả hai vế cho z₀ )

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c   z c 2 ,a a c







Khi đó ta có
 Quỹ tích điểm M x y

 

; biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

2 2 2 1

x y

a a c 


2 2

Max

Min

z a

z a c

 




 



TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z ₁  z z₂ 2a
Thỏa mãn 2a z1z2 .

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có

Khi đề cho Elip dạng khơng chính tắc z z ₁  z z₂ 2 ,a



z₁z₂ 2a



và z z1, 2   c ci, ). Tìm

Max, Min của P z z₀ .
Đặt 1 2

2 2 2

2

z z c

b a c

  




 



Nếu 1 2

0 0

2
z z

z    Max

Min
P a
P b


 _

 (dạng chính tắc)

Nếu





1 2
0

0 1 0 2

2
z z

z a

z z k z z

 _  _


   


1 2
0
1 2
0
2
2
Max
Min

z z

P z a

z z

P z a

 _ _  _

 _
 _ _ _


Nếu





1 2
0

0 1 0 2

2
z z

z a

z z k z z

 _  _



   

1 2
0 ₂
Max
z z
P  z   a

Nếu z₀z₁  z₀z₂ ₁ ₂

0 ₂

Min

z z
P  z   b
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho số phức zthoả mãn z 2 3i 1. Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i.

A. 13 3 . B. 13 5 . C. 13 1 . D. 13 6 .

Lờigiải
ChọnC

Ta có 1  z 2 3i2



z 2 3 .i

 

z 2 3i

 

 z 2 3i z



 2 3i









1 z 2 3i z 2 3i z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1(*)

                .

+Đặt w  z 1 i, khi đó  w 3 2  i 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang 4
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z 1 i là đường tròn

 

I;1 và w là khoảng cách từ
gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường trịn. Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ

2 2
max

w 1 3 2 1 13

      .

Nhận xét: Ở đây ta sử dụng kiến thức sau: z z.  z2, z z₁. ₂  z z₁. ₂

Câu 2: (ChuyênHạLong2019) Cho số phức z thỏa mãn z   6 z 6 20. Gọi M , n lần lượt là
môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M n

A. M n 2. B. M  n 4. C.

M n

 

7

. D. M n 14.
Lờigiải

Gọi , . Theo giả thiết, ta có z   6 z 6 20.

6 6 20

x yi x yi

       _



_x_₆



2__y2 _



_x_₆



2_ _y2 _₂₀

 

_ _.
Gọi M x y



;



, F1

 

6;0 và F2



6;0



.

Khi đó

 

 MF₁MF₂20F F_{1 2} 12 nên tập hợp các điểm E là đường elip có hai
tiêu điểm F₁ và F₂. Và độ dài trục lớn bằng 20 .

Ta có c6; 2a20 a 10 và b2a2 c2 64 b 8.
Do đó, phương trình chính tắc của là

2 2

1
100 64

x _ y _
.

Suy ra _max _z __{OA OA}_ ' _₁₀_khi_z _{ }₁₀_và_min _z __{OB OB}_ ' _₈_khi_z_{ }₈_i_.

Vậy M  n 2.

* Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng được phưng trình elip

Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi



a b

,







thỏa mãn z 4 3i  5. Tính

P a b khi z    1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất.

A. P 8 B. P10 C. P4 D. P 6

Lờigiải
ChọnB

Gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có: z 4 3i  5



a4

 

2 b3



2 5 Tập hợp điểm biểu diễn số
phức z là đường tròn tâm

I

 

4;3

bán kính R 5

Gọi:









1;3

1 3 1

1; 1
A

Q z i z i MA MB

B
 

 _{   } _{   } _

 _



z x yi 



x y, _



 

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường trịn tại D
Ta có: _Q2__MA2__MB2_₂_{MA MB}_.





2 2 2 2 2 ₂ 2 2

Q MA MB MA MB MA MB

      

Vì MElà trung tuyến trong MAB

2 2 2 2

2 2 2 ₂ 2

2 4 2

MA MB AB AB

ME  MA MB ME

      

2

2 _{2 2} 2 ₄ 2 2

2
AB

Q  ME  ME AB

  _  _ 

  . Mặt khác ME DE EI ID   2 5 5 3 5

 

2

2 _{4. 3 5} _{20 200}
Q

   

 

10 2 10 2

4 2( 4) 6

2 6; 4 10

2 2( 3) 4

max
D D

D D
MA MB
Q Q
M D
x x

EI ID M P a b

y y


    _{ }


  
 
  _ _     
  
 
 

Cách2:Đặtz a bi  . Theo giả thiết ta có:



a4

 

2 b5



2 5.

Đặt 4 5 sin

3 5 cos

a t
b t
  



 

 . Khi đó:



 

2



2



 

2



2

1 3 1 1 3 1 1

Q      z i z i a  b  a  b





2 ₂



 

2



2

5 sint 5 5cos t 5 sint 3 5 cost 4

      





30 10 5 sint 30 2 5 3sint 4 cost

    

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:













2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2

Q  t t    

10 2 _max 10 2

Q Q

   

Dấu bằng xảy ra khi

2
sin
6
5
10.
1 4
cos
5
t
a

P a b
b
t
 _
 _ _
 _ _{   }
 _{ }


 _


Câu 4: (Đề ThamKhảo2017) Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2. Gọi , m M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A. 5 2 2 73

2

P  B. P5 2 73 C. 5 2 73
2

P  D. P 13 73
Lờigiải

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang 6
Gọi

A

là điểm biểu diễn số phức z, E



2;1 ,

  

F 4;7 và N



1; 1 .



Từ AE A F      z 2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF.
Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có 3 3;

2 2
H_ _

 . Suy ra

5 2 2 73
.

2
P NH NF   

Câu 5: (THPTCẩmGiàng22019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1. Số phức z i có mơđun
nhỏ nhất là:

A. 5 2 . B. 5 1 . C. 5 1 . D. 5 2 .

Lờigiải

Cách1:

Đặt w z i    z w i.

Gọi M x y

 

; là điểm biểu diễn hình học của số phức w.
Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

2 2 1

w i   i     w 2 i 1



x 2

 

y1



i 1



 

2



2

2 1 1

x y

     .

Suy ra tập hợp những điểm M x y

 

; biểu diễn cho số phức w là đường tròn

 

C có tâm

 

2;1

I bán kính R1.

Giả sử OI cắt đường tròn

 

C tại hai điểm A B, với A nằm trong đoạn thẳng OI.
Ta có w OM

Mà OM MI OI  OM MI OA AI   OM OA
5

8

6

4

2

2

H

E

N

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Nên w nhỏ nhất bằng OA OI IA   5 1 khi M A.

Cách2:

Từ z 2 2i 1



 

2



2

2 2 1

a b

     với z a bi a b 



, _



2 sin ; 2 cos

a  x b  x   a 2 sin , x b 2 cosx

Khi đó: z i  2 sinx



2 cos x i i







 

2



2

2 sinx 1 cosx

   





6 4sinx 2cosx

  



2 2



2 2



6 4 2 sin x cos x

     6 2 5 



5 1



2  5 1

Nên z i nhỏ nhất bằng 5 1 khi 4 cos 2sin

4sin 2cos 2 5

x x

x x






  



2 5
sin

5
5
cos

5
x

x


 


 



 _



Ta được 2 2 5 2 5

5 5

z_    _{ }  _i

   

Cách3:

Sử dụng bất đẳng thức z₁  z₂  z₁z₂  z₁  z₂



2 2

 

2



2 2 2 5 1

z i  z  i     i z i   i 

Câu 6: (THPTGiaLộcHảiDương2019) Gọi M _vàm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của P 2z i

z



 với z_{là số phức khác 0 và thỏa mãn} z 2. Tính tỉ số M
m .

A. M 3

m  . B.

4
3
M

m  . C.

5
3
M

m  . D. 2

M
m  .
Lờigiải

Ta có 2 2 2 2 2 1 2 1 3 5

2 2

z i z i z i

z i

P P P P

z z z z z z

  



             .

Vậy 5

3
M

m  .

Câu 7: Xét tất cả các số phức z_{thỏa mãn} z  3i 4 1. Giá trị nhỏ nhất của _z2_{ }_{7 24}_i_{nằm trong}

khoảng nào?

A.



0;1009



. B.



1009;2018



. C.



2018;4036



. D.



4036;



.
Lờigiải

Chọn B

Ta có 1   z 3i 4 z   3i 4 z       5 1 z 5 1 4 z 6.

Đặt 2

0 4 3 0 5, 0 7 24

z   i z  z   i.

Ta có 2 _{7 24} 2 2 22



2 2





2 2



o o o

A z   i  z z  z z z z 4 4





2 2

. . 2 .

o o o o

z z z z z z z z

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Trang 8
Mà



z z _o





z z _o



 1 z z. _oz z_o.  1 z2 z_o2

Suy ra





2
2

4 4 2 2 4 2

1 2 . 2 2 1201

o o o

A z  z   z  z  z z  z  z  .

Hàm số _y_₂_t4_₂_t2_₁₂₀₁_{đồng biến trên}

 

_4;6 _nên_A__2.44__2.42__{1201 1681}_ _.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4

4 3 1

z

z i

 



  

 .

Do đó _z2_{ }_{7 24}_i_{nằm trong khoảng}



_1009;2018



_.

Câu 8: (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z 4. Gọi M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 2 2i. Đặt A M m  . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?

A. A



34;6



. B. A



6; 42



. C. A



2 7; 33



. D. A



4;3 3



.
Lờigiải

Chọn A

Giả sử: z x yi x y  , ,



_



N x y

 

; : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ
Oxy.

Ta có:

• z z     z z 4 x y  2 N thuộc các cạnh của hình vng BCDF (hình vẽ).

• P  z 2 2i  P



x2

 

2 y2



2  P d I N



;



với I

 

2;2
Từ hình ta có: E

 

1;1

2 2

max 4 2 2 5

M P ID   và m P _min IE



2 1

 

2 2 1



2  2
Vậy, A M m   2 2 5



34;6



.

Câu 9: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và
w 2 z 1 i. Khi đó wcó giá trị lớn nhất bằng

x
y

1
1

-2 2

-2
2

O

D

F
C

I
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A. 4 74. B. 2 130. C. 4 130. D. 16 74.
Lờigiải

Chọn C

Theo bất đẳng thức tam giác ta có



 



w  2z  1 i 2z 6 8i  7 9 i  2z 6 8i 7 9i  4 130.
Vậy giá trị lớn nhất của w là

4



130

.

Câu 10: (THPTQuangTrungĐốngĐa HàNội2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có
điểm biểu diễn là

M

và

M



. Số phức z



4 3 i



và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn
là

N

và

N

. Biết rằng

M

,

M



,

N

,

N

 là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 5
z i .

A.

5

34

. B.

2

5

. C.

1

2

. D.

4

13

.
Lờigiải

Chọn C

Gọi z x yi, trong đó ,x y_. Khi đó

z x yi

 

, M x y

 

; , M x y



;



.

Ta đặt w z



4 3 i

 

 x yi



4 3 i

 

 4x3y

 

 3x4y i



N



4x3 ;3y x4y



. Khi đó



4 3

 

4 3

 

3 4





4 3 ; 3 4



wz  i  x y  x y iN x y  x y .

Ta có

M

và

M



;

N

và

N

 từng cặp đối xứng nhau qua trục

Ox

. Do đó, để chúng tạo thành

một hình chữ nhật thì

y

M



y

N hoặc

y

M



y

N. Suy ra y3x4y hoặc y 3x4y. Vậy tập

hợp các điểm

M

là hai đường thẳng:

d x y

1

:

 

0

và

d

2

:3

x



5

y



0

.
Đặt P   z 4i 5



x5

 

2 y4



2 . Ta có

P MA



với A



5; 4



.





min min ; 1

P MA MA d A d hoặc MA d A d



; 2



. Mà



1



1

;

2

d A d



,



2



5

;

34

d A d



,

vậy min



1



1

;

2

P



d A d



.

Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn

iz

   

3

z

2

i

và z có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z

bằng:

A. 2

5. B.

1

5. C.

2
5

 . D. 1

5
 .
Lờigiải

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Trang 10
Đặt z x yi  (

x

,

y



_

).

Khi đó

3

2

iz

   

z

i

₂





2



 

2



2

3 2 1

x y x y

         x 2y 1 0   x 2y 1

 

1

.
Lại có _z _ _x2__y2

 

₂

_.

Thay

 

1

vào

 

2

ta được:
2 2

z  x y





2 2

2y 1 y

   

_

₅

_y

2

_

₄

_y

_

₁

2

2

1

5

5

5

5

5

y







_



_

 





Dấu đẳng thức xảy ra khi

2

0

5

y

 

2

5

y

  

.

Thay

2

5

y

 

vào

 

1

suy ra 1
5
x  .

Vậy phần thực của số phức z là 1
5
 .

Câu 12: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương-2019) Xét các số phức z_{thỏa mãn} z 1 3i 2. Số phức

z mà z1 nhỏ nhất là

A. z 1 5i. B. z 1 i. C. z 1 3i. D. z 1 i.
Lờigiải

Gọi z x yi  , ,x y_. Khi đó M x y

 

; là điểm biểu diễn của số phức z.
Theo bài ra ta có z 1 3i  2



x1

 

2 y3



24.

Suy ra tập hợp điểm M _{là đường tròn tâm}I

 

1; 3 bán kính R2.
Khi đó _z_{ }₁



_x_₁



2__y2 __{I M}_ _với_I_

 

_{1; 0} _.

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Phương trình đường thẳng II là x1.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R2 là M₁

 

1; 1 và

 

1 1; 5

M .

Thử lại ta thấy M1

 

1; 1 thỏa mãn. Vậy z 1 i.

Câu 13: (Chuyên PhanBội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z 4. Gọi M m, lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 2 2 .i Đặt A M m  . Mệnh đề nào sau
đây là đúng?

A. A



34;6



. B. A



6; 42



. C. A



2 7; 33



. D. A_{ }4;3 3



.
Lờigiải

Chọn A

Đặt z x iyvà gọi M x y

 

; là điểm biểu diễn của z x iy
ta có: z z    z z 4 x  y 2

Gọi A

 

2;2 và PMA

* Theo hình vẽ, minP d A



,



, với : x y 2
và min 2 2 2 2

2

P   

2 2

maxP AE  2 4 2 5, với E



0; 2



Vậy M m  2 2 5 5,88 _

Câu 14: (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Trong các số phức z thỏa mãn z    1 i z 1 2i ,
số phức z có mơ đun nhỏ nhất có phần ảo là

A. 3

10. B.

3

5. C.

3
5

 . D. 3

10

 .
Lờigiải

Gọi z x yi,



x y, _



được biểu diễn bởi điểm M x y



;



.



 





 



1 1 2 1 1 1 2

z    i z i  x  y i  x  y i



 

2



2



 

2



2 3

1 1 1 2 4 2 3 0 2

2

x y x y x y y x

                .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Trang 12

2 2

2 2 2 ₂ 3 ₅ 2 ₆ 9 ₅ 3 9 3 5_,

2 4 5 20 10

z  x y  x   _ x _  x  x  _x _   x

    .

Suy ra 3 5

10

min z  khi 3; 3

5 10

x  y  .

Vậy phần ảo của số phức z có mơ đun nhỏ nhất là 3
10
 .
Cách2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng
: 4 2 3 0

d x y  .

Ta có z OM. z nhỏ nhất OM nhỏ nhất  Mlà hình chiếu của O trên d.
Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vng góc với d là: x2y0.

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

3

4 2 3 0 ₅

2 0 3

10
x
x y
x y
y
  

  
 _
 _ _ 
 _{  }

3 3
;
5 10

M 

 _  _

 . Hay

3 3

5 10
z   i.

Vậy phần ảo của số phức z có mơ đun nhỏ nhất là 3
10
 .

Nhậnxét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:









1 1 2 1 1 2

z    i z i   z i    z i

 

*

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A



1; 1



biểu diễn số phức 1i, điểm B



 1; 2



biểu
diễn số phức 1 2  i.

Khi đó

 

* MA MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực của
đoạn thẳng ABcó phương trình d: 4x2y 3 0.

Câu 15: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn 1 2

1 2

1; 2

2 3 1

z i z i

z i z i

 

 

    . Giá trị nhỏ nhất của z1z2 là

A. 2 2 . B. 2. C. 1. D. 2 1 .

Lờigiải
Chọn A

Giả sử z₁ x₁ y i₁ với x y₁; ₁_. Khi đó:







 



1

1 1 1 1 1 1

1

1 2 3 1 2 3

2 3
z i

z i z i x y i x y i

z i


            
 







 



1

2 2 2

2

1 1 1 2 1 3 1 2 3 0

x y x y x y

           .

 Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z₁ là đường thẳng :x y  3 0.
Giả sử z₂x₂y i₂ với x y₂; ₂_. Ta có:







 



2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 1 1 2 1 1

1

z i

z i z i x y i x y i

z i



            

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>





2



 

2



2

2 2 2

2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4 2 2 2 3 0

x y x y x y x y

             .

 Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z₂ là đường tròn

 

_{C x}_: 2__y2_₄_x_₂_y_{ }_{3 0}_{có tâm}



2; 1



I  và bán kính _R_ ₂2_{ }

 

₁ 2_{ }₃ ₂_.

Khoảng cách từ I đến  là:





 

 

2
2

2 1 3

; 3 2

1 1

d I       R

   đường thẳng  và đường

trịn C khơng có điểm chung.

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z₁z₂ là đoạn thẳng MN.  z₁z₂ nhỏ nhất khi và chỉ
khi MN nhỏ nhất.

Dễ thấy MN_min 3 2 2 2 2 .

Câu 16: (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức

z

thỏa mãn z 1 34 và

1 2

z mi   z m i, (trong đó m_). Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S sao cho z1z2
lớn nhất, khi đó giá trị của z1z2 bằng

A. 2 B. 10 C. 2 D. 130

Lờigiải
ChọnA

Đặt z x yi  ,



x y, _



. Khi đó

1 34

z 

_

_

2 2

1 34

x y

    ; z 1 mi   z m 2i 2



m1



x2 2



m y



 3 0.
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

z

là giao điểm của đường tròn

  



2 2

: 1 34

C x y  và đường thẳng d: 2



m1



x2 2



m y



 3 0.
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 và z2. Suy ra

 

C  d

 

A B, .

Mặt khác z₁z₂  AB2R2 34 do đó max z₁z₂ 2 34 AB2RI

 

1;0 d.

Từ đó ta có 1
2

m  nên d x:3 5y 3 0 1
2

6 3
4 3

z i

z i

 


  _{  }

 .

Vậy z1z2 2.

N

M
I

N'

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Trang 14

Câu 17: Cho hai số phức ,z w thỏa mãn z3 2  2, w4 2i 2 2. Biết rằng z w đạt giá trị
nhỏ nhất khi z z 0, w w 0. Tính 3z0w0 .

A. 2 2. B. 4 2. C. 1. D. 6 2.

Lờigiải

Ta có: + z3 2  2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường trịn có
tâm I



3 2 ;0



, bán kính r 2.

+ w4 2i 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm



0; 4 2



J , bán kính R2 2.
Ta có minz w minMN.

+ IJ 5 2;IM  r 2;NJ  R 2 2.

Mặt khác IM MN NJ IJ   MN IJ IM NJ   hay MN5 2 2 2 2 2 2  .
Suy ra minMN2 2 khi , , ,I M N J thẳng hàng và M N, nằm giữa ,I J (Hình vẽ).
Cách1:

Khi đó ta có: 3z₀w₀  3OM ON  và IN 3 2 1 ; 3

5 5

IM IJ IN IJ
   .
Mặt khác ON OI IN    3

5
OI IJ

  ; 3OM3



OI IM 



 3 1 3 3

5 5

OI IJ OI IJ

 _ _ _

 

 

   

.
Suy ra 3z₀w₀  3OM ON  3 3 3 2

5 5

OI IJ OI IJ OI

  _  _ 

 

    

6 2

 .

Cách2:

Ta có IN3IM3IM IN   0.

Do đó 3z₀w₀  3OM ON   3



OI IM 

 

 OI IN 



 2OI 2.OI2.3 2 6 2.

Cách3:

+) 0

12 2

1 5 12 2 4 2

5 _{4 2} 5 5

5
M

M
x
IM

IM IJ IM IJ z i

IJ

y





   _   

 _



   

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

+) ₀
6 2

3 5 6 2 12 2

5 _{12 2} 5 5

5
N

N
x
IN

IN IJ IN IJ w i

IJ

y





   _   

 _



   

.

Suy ra 3z₀w₀  6 2 6 2.

Câu 18: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z2w 8 6i và z w 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức
z w bằng

A. 4 6. B. 2 26. C. 66. D. 3 6.

Lờigiải
ChọnC

Giả sử M N, lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra OM ON   OF 2OI,
4

z w MN   và OF2OI 10.

Đặt ; .

2
a

z ON  w OM b Dựng hình bình hành OMFE

Ta có

2 2 2

2 2

2 2 2

25

264

2 4 ₂

3
16

2 4

a b ME

a b

b ME a

  _ _

 _ _ _




 _ _







2 2



₂ ₂



1 1

2 66

2 4 2

a

z  w _ b_  a  b _  _

   

Suy ra a b  66, dấu “=” xảy ra khi 2 66.
3
a b 
Vậy



a b



_max  66.

Câu 19: Cho số phức

z

thoả mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức _P_{  }_z ₁ _z2_{ }_z ₁_{. Tính}_{M m}_.

A. 13 3

4 . B.

39

4 . C. 3 3. D.

13
4 .
Lờigiải

Chọn A

Thay z21 vào P ta có

a

b
I

F
E

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Trang 16

2

1 1

P  z z  z _{  }_z ₁ _z2_{ }_z _z2 _{  }_z ₁ _z2_{ }_{z z z}_. _{  }_z ₁ _{z z z}_{ }₁

1 1

z z z

     .

Mặt khác z12 



z1



 

z   1 2 z z.
Đặt t z z  do z 1 nên điều kiện t 



2; 2



.
Suy ra P t  2 t 1.

Xét hàm số f t

 

 t  2 t 1 với t 



2; 2



.

 

1 1

2 2

f t

t

  

 với t1. Suy ra f t

 

0 với t1.

 

1 1

2 2

f t

t

  

 với t1. Suy ra f x

 

0

7
4
x 
  .
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra 13
4

M  tại 7

4

t  và m 3 tại t2.

Vậy . 13 3

4
M m .

Câu 20: (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z và



 a bi thỏa mãn

5 5 6

z  z  ; 5a4b20 0 . Giá trị nhỏ nhất của z



là
A. 3

41. B.

5

41. C.

4

41. D.

3
41.
Lờigiải

Chọn A

Đặt F1



 5 ; 0



, F2



5 ;0



, vì 5 3 nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip

có 3 2 2 2 ₄

5
a

b a c

c



 _ _ _ _




 suy ra

 

2 2

: 1

9 4

x y

E   .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Đường thẳng d song song với  có dạng : 5d x4y c 0,



c 20



.
d tiếp xúc với

 

E khi và chỉ khi 2 _{5 .9}2

 

_{4 .4 289}2 17

17
c
c

c




    _{ }

 

 .

Với c17





 

2
2

20 17 37

,

41

5 4

d d  

   

  .

Với c 17





 

2
2

20 17 3

,

41

5 4

d d  

   

  .

Vậy min





3
41

MN  .

Câu 21: (KTNLGVTHPTLýTháiTổ2019) Gọi z a bi 



a b, 



là số phức thỏa mãn điều kiện

1 2 2 3 10

z    i z i  và
có mơ đun nhỏ nhất. Tính S 7a b ?

A. 7. B. 0. C. 5. D. 12.

Lờigiải
ChọnA

Gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn số phức z a bi 

 

1;2

A là điểm biểu diễn số phức



1 2 i





2;3



B  là điểm biểu diễn số phức



_{ }_{2 3}_i



_,AB 10
4

2

2

4

O
M

H
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Trang 18
1 2 2 3 10

z  i z   i  trở thành MA MB AB 

, ,
M A B

 thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình

 

AB x: 3y 7 0,

 

OH : 3x y 0
Tọa độ điểm 7 21;

10 10
H_ _

 , Có

3 1_;

10 10
AH  _ _

 



, 27; 9

10 10
BH _  _

 



và BH 9AH
Nên H thuộc đoạn AB

z nhỏ nhất OM nhỏ nhât, màMthuộc đoạn AB

7 21_;
10 10

M H 

 _{ } _

 

Lúc đó 7 49 21 7

10 10
S a b    .

Câu 22: (KTNLGVThuậnThành2BắcNinh2019) Cho số phức thỏa mãn

. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Giải:
ChọnD

Gọi z x yi x y  , , _, ta có 2 8 2 4 4

2

x

z z z z x y

y

 


      _{   }

 , tập hợp

 

;

K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ.
đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi
K  D hay K



4;0



suy ra M  49 9  58

đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi
K F (F là hình chiếu của E trên AB.

Suy ra F

 

2;1 do AE AB nên F là trung điểm của AB.
Suy ra m 1 4  5. Vậy M m  58 5

Câu 23: (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1
P z  z z  z .

z z z 2z z 8

,

M m P   z 3 3i M m

10 34 2 10 10 58 5 58

3 3

P   z i

3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

A. 13

4 B. 3 C. 3 D.

11
4
Lờigiải

ChọnA

2 2 ₁ ₁ 2 ₁ ₁ 2 ₁

P z  z z   z z z  z     z z z  z
Do z 1 nên ta đặt zcosx i .sinx. Khi đó







 



2

2 ₂ 2 2

2

1 1 cos .sin 1 cos 2 sin 2 cos sin 1

cos 1 sin cos 2 cos 1 sin 2 sin

2 2cos 3 4cos 2cos 2

2 2cos 4 cos 4cos 1

2 2cos 2cos 1

P z z z x i x x i x x i x

x x x x x x

x x x

x x x

x x

            

       

    

    

   

Đặt tcos ,x t 



1;1



. Xét hàm y 2 2 t 2 1t

Với 1

2

t  thì 2 2 2 1, ' 1 2

2 2

y t t y

t


     



1 7

' 0 2 0

8
2 2

y t

t



     



 

1 3; 7 13

8 4

y  y _{ }

  ;

1 ₃

2
y_ _

 

Với 1

2

t  thì 2 2 2 1, ' 1 2

2 2

y t t y

t


     



1 1

' 0 2 0 2 2

2
2 2

y t

t

 

      

 (phương trình vơ nghiệm)

 

1 3

y   ; 1 3

2
y_ _

 
Vậy

 1;1

13
max

4
y

  . Do đó giá trị lớn nhất của

2 2 ₁

P z  z z  z là 13
4 .

Câu 24: (ChuyênĐạiHọcVinh-2019) Giả sửz z₁, ₂là hai trong các số phức thỏa mãn



z6 8





zi



là
số thực. Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

A. 5 21 B. 20 4 21 C. 20 4 22 D. 5 22
Lờigiải

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Trang 20
Giả sửz x yi, x y, _.Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1, 2. Suy ra

1 2 4

AB z z  .

* Ta có



z6 8





zi



_



x 6



yi_{ } . 8



y



xi_ _



₈_x_₆_y_₄₈



_



_x2__y2_₆_x_₈_{y i}



_.

Theo giả thiết



z6 8





zi



là số thực nên ta suy ra

x

2

  

y

2

6

x

8

y



0

. Tức là các điểm
,

A B thuộc đường tròn

 

C tâm I

 

3; 4 , bán kính R5.

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA  3MB 0 OA 3OB4OM.Gọi Hlà trung điểm
AB. Ta tính được_HI2__R2__HB2 __21;_IM _ _HI2__HM2 _ ₂₂_{, suy ra điểm}_M_thuộc
đường tròn

 

C tâm I

 

3; 4 , bán kính r 22.

* Ta có z₁3z₂  OA 3OB  4OM 4OM, do đó z13z2 nhỏ nhất khi OMnhỏ nhất.
Ta có



OM



min OM0 OI r  5 22.

Vậy z₁3z₂_min 4OM₀ 20 4 22 .

Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 có hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z1z2 1. Giá trị

nhỏ nhất của z12 z22 bằng

A. 10 B.  4 3 5 C. 5 D.  6 2 5

Lờigiải
ChọnA

Đặt z1 x1 y i x y1,



1, 1



và z2  x2 y i x y2,



2, 2



.

Khi đó



 





 



2 2

1 1

2 2

2 2

3 4 4

3 4 4

x y

x y

 _ _ _ _




   

 và



 



2 2

1 2 1 2 1

x x  y y  .

Ta có



x13

 

2 y14

 

2 x23

 

2 y23



2







 



2 2 2 2

1 1 2 2 6 1 2 8 1 2

x y x y x x y y

        .

Suy ra 2 2



 





2 2





 

2



2

1 2 2 3 1 2 4 1 2 2. 3 4 1 2 1 2 10

z  z  x x  y y   _ x x  y y _  .

Do đó 2 2

1 2

10 z z 10

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z z₁, ₂ thoả mãn

1 2 1 4 7 6 2

z   i z   i  và iz2 1 2i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z1z2 .

A. 2 1 . B. 2 1 . C. 2 2 1 . D. 2 2 1 .

Lờigiải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z₁ và A



2;1



; B

 

4;7 lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số
phức 2 i, 4 7 i. Ta có AB6 2. Phương trình đường thẳng AB là d x y:   3 0.
+) z₁  2 i z₁ 4 7i 6 2 MA MB 6 2 MA MB  AB. Do đó tập hợp các
điểm biểu diễn số phức z₁ là đoạn thẳng AB.

+) iz2 1 2i  1 iz2 1 2i i      1 z2 2 i 1.

Gọi N là điểm biểu diễn số phức z₂ và I

 

2;1 là điểm biểu diễn số phức 2i. Ta có IN 1
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z2 là đường tròn

 

C có phương trình:



 

2



2

2 1 1

x  y  .



,



2 2 1

d I AB   , suy ra AB không cắt đường trịn.

Gọi K là hình chiếu của I

 

2;1 lên AB. Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.
Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường trịn

 

C .

Ta có z₁z₂ MN KH d I AB



,



 R 2 2 1 .
Suy ra min z₁z₂ 2 2 1.

Câu 27: (ChuyênNguyễnTất ThànhYênBái2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z 2i . Giá trị
nhỏ nhất của z 1 2i   z 1 3i là

A. 5 2 . B.

13

. C.

29

. D.

5

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Trang 22
Ta có: _z _{ }_z ₂_i _ _a2__b2 _ _a2_{ }



_b ₂



2 _₄_b_{    }_{4 0} _b ₁

z a i

   .

Xét: z 1 2i   z 1 3i      a 1 i a 1 2i _



₁__a



2_{ }₁2



₁__a



2_₂2_.

Áp dụng BĐT Mincôpxki:





2 ₂





2 ₂



 

2



2

1a  1 1a 2  1  a 1 a  1 2



4 9

 

13

.
Suy ra: z 1 2i   z 1 3i đạt GTNN là

13

khi 2 1





1 1

3

a a a

     .

Nhậnxét: Bài tốn trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài tốn hình học phẳng.
Câu 28: (ChuyênHạLong-2018) Cho các số phức z₁  2 i, z₂ 2 i và số phức z thay đổi thỏa

mãn z z ₁2 z z₂216. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z.
Giá trị biểu thức _M2__m2_bằng

A. 15 . B. 7 . C. 11. D. 8 .

Lờigiải
Giả sử z x yi x y 



, _



.

Ta có: z z ₁2 z z₂216 2 2

2 2 16

x yi i x yi i

         ₂





2

1 4

x y

    .

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I

 

0;1 bán kính R2
.

Do đó m1, M 3.
Vậy _M2__m2_₈_.

Câu 29: (ChuyênQuangTrung-2018) Cho số phức z thỏa mãn z2i  z 4i và z 3 3i 1. Giá
trị lớn nhất của biểu thức P z 2 là:

A. 13 1 . B. 10 1 . C. 13. D. 10.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Gọi M x y

 

; là điểm biểu diễn số phức z ta có: z2i  z 4i





2





2

2 ₂ 2 ₄

x y x y

     

3
y

  ; z 3 3i  1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I

 

3;3 và bán kính bằng 1. Biểu
thức P  z 2 AM trong đó A

 

2;0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z 2 đạt

được khi M

 

4;3 nên maxP



4 2

 

2 3 0



2  13.

Câu 30: Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P     z 1 i z 5 2i
bằng

A. 1 10. B. 4. C. 17 D. 5.

Lờigiải

Gọi M x y



;



là điểm biểu diễn số phức z. Do z 2 2i 2 nên tập hợp điểm M là đường
tròn

  

C : x2

 

2 y2



2 4.

Các điểm A

 

1;1 , B

 

5;2 là điểm biểu diễn các số phức 1i và 5 2 i. Khi đó, P MA MB  .
Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn

 

C còn điểm B nằm ngồi đường trịn

 

C , mà

17

MA MB AB   . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với

 

C .
Ta có, phương trình đường thẳng AB x: 4y 3 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Trang 24



 

2



2



 

2



2

2 2 4 4 5 2 4

4 3 0 4 3

x y y y

x y x y

 _ _ _ _  _ _ _ _

 _

 

    

 

 

Ta có



 



 

 

2 2 2

22 59

17

4 5 2 4 17 44 25 0

22 59

17

y N

y y y y

y L

 _ 




        

 _




Vậy minP 17 khi 37 4 59 22 59

17 17

z    i

Câu 31: (SGDCầnThơ-2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22 z i2. Môđun của số phức w M mi 
là

A. w 3 137. B. w  1258. C. w 2 309. D. w 2 314.

Lờigiải

Chọn B

- Đặt z x yi  , với x y, _.

Ta có: z 3 4i  5 



x 3

 

y4



i  5



 

2



2

3 4 5

x y

     , hay tập hợp các
điểm biểu diễn số phức z là đường trịn

 

C có tâm I

 

3; 4 , bán kính r 5.

- Khi đó : P z 22 z i2





2 ₂ ₂





2

2 1

x y x y

      4x2y3
4x 2y 3 P 0

     , kí hiệu là đường thẳng .

- Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  cắt đường tròn

 

C



;



d I r

   23 5

2 5
P


   P23 10 13 P 33
Suy ra M 33 và m13  w 33 13 i.

Vậy w  1258.

Câu 32: (THPTHậuLộc2-2018) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  1 i 2 và z2 iz1. Tìm giá
trị nhỏ nhất m của biểu thức z₁z₂ ?

A. m 2 1 . B. m2 2. C. m2. D. m2 2 2 .
Lờigiải

ChọnD

Đặt z1 a bi a b; ,     z2 b ai



 



1 2

z z a b b a i

      .

Nên z₁z₂ 



a b

 

2 b a



2  2.z₁
Ta lại có 2 z1  1 i z1   1 i z1  2

1 2 2

z

   . Suy ra z1z2  2.z1 2 2 2 .

Dấu " " xảy ra khi 0

1 1

a_ b _

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Vậy mmin z₁z₂ 2 2 2 .

Câu 33: (SGDBắcGiang-2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn 3 2 1

w 1 2 w 2

z i

i i

   




    

 . Tìm giá trị

nhỏ nhất P_min của biểu thức P z w .

A. _min 3 2 2
2

P   . B. P_min  2 1 . C. _min 5 2 2
2

P   . D. _min 3 2 2
2

P   .

Lờigiải
Chọn C

Giả sử z a bi 



a b, _



, w x yi



x y, _



.

3 2 1

z  i 



 

2



2

3 2 1

a b

     (1)

w 1 2  i  w 2 i



 

2

 

2

 

2



2

1 2 2 1

x y x y

        .

Suy ra x y 0.



 

2



2



 

2



2

w

P z  a x  b y  a x  b x .

Từ (1) ta có I

 

3; 2 , bán kính r1. Gọi H là hình chiếu của I trên d y:  x.
Đường thẳng HI có PTTS 3

2

x t

y t

 

  

 .



3 ; 2



MHIM t t

 

₂ 2 ₁

M C  t 

1
2

1
2
t
t
 




  


1 1

2 3 ; 2

2 2

t M_   _

 ,

5 2

2
MH  

1 1

3 3 ;2

2 2

t M_   _

 ,

5 2

2
MH  
Vậy min

5 2 2
2

P   .

Câu 34: (ChuyênLêHồngPhong-TPHCM-2018) Cho số phức z thỏa z 1. Gọi m, M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức _P_ _z5__z3_₆_z _₂ _z4_₁_{. Tính}_{M m}_ _.

A. m 4, n3. B. m4, n3 C. m 4, n4. D. m4, n 4.
Lờigiải

Vì z 1 và z z.  z2 nên ta có z 1
z

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Trang 26
Từ đó, _P_ _z5__z3_₆_z _₂ _z4_₁ _ _{z z}4__z4_{ }_{6 2} _z4_₁ _ _z4__z4_{ }_{6 2}_z4_₁_.

Đặt _z4 _{ }_{x iy}_{, với}_{x y}_, ___{. Do} _z _₁_nên _z4 _ _x2__y2 _₁_và_{ }₁ _{x y}_, _₁_.

Khi đó P     x iy x iy 6 2 x iy 1 _ ₂_x_{ }_{6 2}



_x_₁



2__y2

2x 6 2 2x 2

    



2x 2 1



23.

Do đó P3. Lại có 1  x 1 0 2x 2 2  1 2x  2 1 1 P 4.
Vậy M 4 khi _z4_{ }₁_và_m_₃

khi z4  1₂ ₂3i. Suy ra M m 1.

Câu 35: (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn w i 3 5
5

  và







5w 2 i z4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 1 2i   z 5 2i bằng
A. 6 7. B. 4 2 13 . C. 2 53. D. 4 13.

Lờigiải
Chọn C

Gọi z x y  i, với x y, _. Khi đó M x y

 

; là điểm biểu diễn cho số phức z.

Theo giả thiết, 5w



2 i



z4



5 w i



 

 

2 i



z 4



5i



2 i w i



   



z 3 2i
3 2i 3

z

    . Suy ra M x y

 

; thuộc đường tròn

  

C : x3

 

2 y2



29.
Ta có P  z 1 2i  z 5 2i MA MB , với A

 

1; 2 và B

 

5;2 .

Gọi H là trung điểm của AB, ta có H

 

3;2 và khi đó:
P MA MB  _ ₂



_MA2__MB2



_hay_P_ ₄_MH2__AB2 _.

Mặt khác, MH KH với mọi M

 

C nên _P_ ₄_KH2__AB2





2 ₂

4 IH R AB

  

2 53

 .

Vậy P_max 2 53 khi M K
MA MB




 _

 hay z  3 5i và

3 11

w i

5 5

  .

Câu 36: (KimLiên -Hà Nội - 2018) Xét các số phức z a bi  (a b, _) thỏa mãn z 3 2i 2.
Tính a b khi z 1 2i 2 z 2 5i đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

A. 4 3. B. 2 3. C. 3 . D. 4 3.
Lờigiải

Cách 1:

Đặt z  3 2i w với w x yi 



x y, _



. Theo bài ra ta có _w _{ }₂ _x2__y2_₄_.

Ta có _P_{  }_z _{1 2}_i _₂ _z_{ }_{2 5}_i _ _w_{ }_{4 2}_w_{ }_{1 3}_i _



_x_₄



2__y2 _₂



_x_₁

 

2_ _y_₃



2



 

2



2



 

2



2

20 8x 2 x 1 y 3 2 5 2x 2 x 1 y 3

           



 





₂ ₂ 2 2









2 ₂



 

2



2



2 x y 2x 1 x 1 y 3 2 x 1 y x 1 y 3

              





2 y y 3 2 y 3 y 6

       .





2 2

1

1

6 3 0

3
4

x

x

P y y

y
x y

  

 


 

 _   _



  



.

Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2



2 3



i.
Cách 2:

3 2 2

z  i  MI2M

 

I;2 với I

 

3; 2 .

1 2 2 2 5 2

P  z i z  i MA MB với A

 

1; 2 , B

 

2;5 .

Ta có IM 2; IA4. Chọn K

 

2; 2 thì IK 1. Do đó ta có _{IA IK}_. __IM2 IA IM

IM IK

 

IAM

  và IMK đồng dạng với nhau AM IM 2

MK IK

    AM 2MK .

Từ đó P MA 2MB 2



MK MB



2BK.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K, B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK.
Từ đó tìm được M 



2; 2 3



.

Cách 3:

Gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn số phức z a bi  . Đặt I 

 

3; 2 , A



1; 2



và B

 

2;5 .

Ta xét bài tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn

 

C có tâm I, bán kính R2 sao cho biểu thức
2

P MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Trang 28









2 2 ₂ _. ₄ 2 2 ₂ _. ₂ ₄ ₃ 2 ₄ 2 2

MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA

               

 

* .

 

* luôn đúng

 

₂ 4 ₂0 ₂

3 4 0

IA IK

M C

R IK IA

  



  _{ }

  



  

.









4 3 4 2

4 0

2

4 2 0

x x

IA IK

y

y

  

  



  _ _{ }

  _



  

.

Thử trực tiếp ta thấy K

 

2; 2 thỏa mãn ₃_R2_₄_IK2__IA2_₀_.

Vì _BI2_{ }₁2 ₃2_₁₀__R2 _₄_nên _B _{nằm ngồi}

 

_C _.

Vì _KI2 _{ }₁ _R2_₄_nên_K_{nằm trong}

 

_C _.

Ta có MA2MB2MK2MB2



MK MB



2KB.

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK.
Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của

 

C và đoạn thẳng BK.
Phương trình đường thẳng BK x: 2.

Phương trình đường tròn

  

C : x3

 

2 y2



24.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ



 

2



2

2 2

3 2 4 2 3

x x

x y y



  

 _

 _ _ _ _  _{ }



 

 hoặc

2

2 3

x
y





 

 .

Thử lại thấy M



2; 2 3



thuộc đoạn BK.
Vậy a2, b 2 3    a b 4 3.

Câu 37: (Liên Trường -Nghệ An - 2018) Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 4i 1 và
2

1
3 4i

2

z    . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a2b12. Giá trị
nhỏ nhất của P z z₁  z 2z₂ 2 bằng:

A. _min 9945
11

P  . B. P_min  5 2 3. C. _min 9945

13

P  . D. P_min  5 2 5.
Lờigiải

Chọn C

Gọi M₁, M₂, M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z₁, 2z₂, z trên hệ trục tọa độ Oxy.
Khi đó quỹ tích của điểm M1 là đường tròn

 

C1 tâm I

 

3; 4 , bán kính R1;

quỹ tích của điểm M₂ là đường

 

C₂ trịn tâm I

 

6;8 , bán kính R1;
quỹ tích của điểm M là đường thẳng d: 3x2y12 0 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Gọi

 

C₃ có tâm ₃ 138 64;
13 13
I _ _

 , R1 là đường tròn đối xứng với

 

C2 qua d. Khi đó



1 2





1 3



min MM MM 2 min MM MM 2 với M₃

 

C₃ .

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I_{1 3} với

 

C₁ ,

 

C₃ . Khi đó với mọi điểm

 

1 1

M  C , M₃

 

C₃ , Md ta có MM₁MM₃ 2 AB2, dấu "=" xảy ra khi

1 , 3

M A M B. Do đó P_min  AB 2 I I_{1 3} 2 2 1 3

9945
13
I I

  .

Câu 38: (ChuyênLêQuýĐôn–ĐiệnBiên-2019) Trong các số phức thỏa mãn: z  1 i z 1 2i

, số phức z có mơ đun nhỏ nhất có phần ảo là

A.

3

10

. B.

3

5

. C.

3

5



_. _D.

3

10



_.

Lờigiải

ChọnD

+ Gọi số phức cần tìm là z a bi a b, ( , _).

 z  ab i

+ z  1 i z 1 2i

1

1 2

       

a bi

i

a bi

i









1 1 1 2

 a  b i   a b i .



 

2



2



 

2



2

1

1

1

2



a



 

b



a



 

b

4

3

3

4

2

3 0

2

2

2



      

a

b

b

a

  

a

+

2

2 2 2

₂

3

₅

2

₆

9

₅

2

6

9

9

2

4

5

25

20

















_



_





 

_





_











z

a

b

a

a

a

a

a

a

2

3 9 9 3 5
5

5 20 20 10

 

 _  _   

a 

z

nhỏ nhất bằng

3 5

10

khi

3

3

5

10

   

a

b

.

Câu 39: (ChuyênBắcGiang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị lớn nhất của _P_ _z5__z3_₆_z _₂_z4_₁_{. Tính}_{M m}_ _.

I3
I2

I1 _M

8

6
4

3

O

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Trang 30

A. M m 1. B. M m 7. C. M m 6. D. M m 3.
Lờigiải

ChọnA

Ta có: zz z2 1 z 1
z

    .

Suy ra 5 4 8 4 4 8 4 4

3
3

1 1

6 2 1 1 6 2 1 6 1 2 1

P z z z z z z z z z

z _z

              

Đặt _{w z}_ 4_ _w _₁_{, ta được}_P_ _w2_₆_w_{ }_{1 2}_w_₂_.

Gọi w x yi  , vì ₁ 2 2 ₁ 1

1
x

w x y

y
 


   _{  }


 .









2 ₆ ₁ 2 ₂ ₃ ₂ ₁ ₂ 2 ₆ ₂ ₃ ₂ ₁

P x  x y  y x i  x yi  x  x y x i  x yi











2 ₂





2 x 3 x yi 2 x 1 y 2 x 3 x yi 2 2x 2

          





2 x 3 2 2x 2

   

Xét hàm số f x

  

2 x 3



2 2x2 trên đoạn

 

1;1 .

 

2 2 1 ;

 

0 2 2 1 0 2 2 1 1

2

2 2 2 2

f x f x x x

x x

             

  .

Ta có:

 

1 4; 1 3;

 

1 4
2

f   f_ _ f 

 

Vậy M 4,m 3 M m 1.

Câu 40: (BìnhGiang-HảiDương2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 1

   

P z z bằng

A. 6 5. B. 4 5. C. 2 5. D. 5.

Lờigiải
ChọnC

Gọi z x yi  ; ;



x y_



.





2 2 2 2

1 1 1 1;1 .

         

z x y y x x

Ta có: _P_{  }₁ _z _{3 1}_{ }_z



₁__x



2__y2 __{3 1}



__x



2__y2 _ _{2 1}



__x



__{2 2 1}



__x



_.

Xét hàm số f x

 

 2 1



x



2 2 1



x



; x 



1;1 .



Hàm số liên tục trên

 

1;1 và với x 



1;1



ta có:

 









1 2

.

2 1 2 1

  

 

f x

x x

 













1 2 3

0 0 1;1 .

5

2 1 2 1

         

 

f x x

x x

 

1 2;

 

1 4; 3 2 5
5

 

   _ _

 

f f f .

 1;1

 

max 2 5

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 z 3 1z bằng 2 5 khi 3
5
 

x , 4

5
 

y .

Câu 41: (SGDHưngYên 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

1 1

P  z z  z . Tính M m.
A. 13 3

4 . B.

39

4 . C. 3 3. D.

13
4 .
Lờigiải

ChọnA

Thay z2 1 vào P ta có

2

1 1

P  z z  z _{  }_z ₁ _z2_{ }_z _z2 _{  }_z ₁ _z2_{ }_{z z z}_. _{  }_z ₁ _{z z z}_{ }₁

1 1

z z z

     .

Mặt khác z12 



z1



 

z   1 2 z z.
Đặt t z z  do z 1 nên điều kiện t 



2; 2



.
Suy ra P t  2 t 1.

Xét hàm số f t

 

 t  2 t 1 với t 



2; 2



.

 

1 1

2 2

f t

t

  

 với t1. Suy ra f t

 

0 với t1.

 

1 1

2 2

f t

t

  

 với t1. Suy ra f x

 

0

7
4
x 

  .

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra 13
4

M  tại 7

4

t và m 3 tại t2.

Vậy . 13 3

4
M m .

Câu 42: (Chuyên-KHTN-HàNội-2019) Cho số phức

z

thỏa mãn : z  z 2i. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P   z i z 4 là

A. 5. B. 4. C. 3 3. D. 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Trang 32
Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có z  z 2i   y 1 0,tức biểu diễn hình học
của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y 1 0. Xét điểm A(0;1) và B(4;0) thì

4 .

P    z i z MA MB Dễ thấy A B, cùng phía với đường thẳng y 1 0 nên MA MB
nhỏ nhất bằng BA trong đó A (0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y 1 0.

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng BA 5.

Câu 43: (SGDBến Tre2019) Cho các số phức z1 1 3i, z2  5 3i. Tìm điểm M x y



;



biểu diễn

số phức z₃, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x2y 1 0 và mô
đun số phức w3z₃ z₂ 2z₁ đạt gí trị nhỏ nhất.

A. 3 1;

5 5
M_ _

 . B.

3 1

;
5 5
M_ _

 . C.

3 1

;

5 5

M_  _

 . D.

3 1

;

5 5

M_  _
 .
Lờigiải

ChọnA

Trắcnghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa
ta được đáp án A

Tựluận:

Ta có w3z₃ z₂ 2z₁3z₃  3 3i 3



z₃  1 i



w 3z₃  1 i 3AMvới A



1;3





;



M x y biểu diễn số phức z₃ nằm trên đường thẳng d x: 2y 1 0 và A



1;3



d.
Khi đó w 3 z₃  1 i 3AMđạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất  AM d

AM d nên AM có phương trình: 2x y  1 0.
Khi đó M  AMd nên 3 1; .

5 5
M_ _

  .

Câu 44: (SGDCầnThơ2019) Cho số phức

z

thoả mãn z 1 2i  5. Giá trị lớn nhất của z 1 i
bằng

A. 5. B. 5 2. C. 20. D. 2 5.

Lờigiải
ChọnD

Cách1.

Ta có z         1 i z 1 2i 2 i z 1 2i   2 i 2 5.
Đẳng thức xảy ra khi z 3 3i.

Vậy max z  1 i 2 5.
Cách2.

M'
A

B

A'

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Đặt z x yi x y  , ,



_



thì từ điều kiện ta có:



x1

 

2 y2



2 5.

Gọi M x y

 

; là điểm biểu diễn cho z và A



 1; 1



là điểm biểu diễn cho số phức  1 i, khi
đó z  1 i AM với M thuộc đường trịn

 

C tâm I



1; 2



bán kính R 5.

Dễ thấy A

 

C , do đó AM 2R2 5.

Suy ra max z  1 i 2 5, đẳng thức xảy ra khi M K.
Cách3.

1 2 5

  
z i

 

*

Đặt z x yi 



x y, _



, khi ấy, ta có

 

*    x yi 1 2i  5 



x 1

 

y2



i  5



 

2



2

1 2 5

 x  y  .
Đặt 1 5 sin

2 5 cos
  


 

x a

y a. Ta có z  1 i



x 1

 

y1



i



 



2 2

1 1

 x  y



 

2



2

5 sin 2 5 cos 1

 a  a  10 4 5 sin a2 5 cosa

2 5 5

10 10 sin cos

5 5

 

  _  _

 a a  10 10sin



a



với

2 5
cos
5
5
sin
5




 _



.

Vì  1 sin



a





1với mọi

a

;





_

 10 10    z 1 i 10 10

0 1 2 5

    z i .

Vậy giá trị lớn nhất của z 1 i là 2 5. Dấu " " _{xảy ra khi}sin



a





1 2

2
   a   k 
5

cos cos 2 sin

2 5

2 5

sin sin 2 cos

2 5
 _ _
      
  
  
_ 
 
 _ _ _ _ _
 
 _ _

a k
a k
 _{ } _
 _{ } _

1 5 sin
2 5 cos

  


 

x a
y a
1 2
2 1
 

  _{  }

x
y
3
3


  _{ }

x
y
3 3

  z i.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Trang 34

A. 1. B. 2 5

5 . C. 2. D.

5
5 .
Lờigiải

ChọnD

Giả sử z x yi



x y, _



. Ta có



2i z

 

 2 i z



2i 



2i x yi





 

 2 i x yi







2i



2x y

 

2y x i





2x y

 

2y x i



2i

    _     _ 



4y2x i



2i 4y2x2

2 1

x y
   .

Do đó





2

2 2 2 ₂ ₁ 2 2 ₅ 2 ₄ ₁ ₅ 2 1 1_, _.

5 5

5

z x y  y y  y  y _ y _    y

  

Suy ra min 1 5

5 5

z   khi 2

5

y , 1
5
x  .

Câu 46: (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn
2 3i z z i

     là
A. 6 3

5 5 i. B.

3 6

5 5 i. C.

3 6

5 5 i. D.

6 3
5 5 i.
Lờigiải

ChọnC

Đặt z x yi x y  , ;



_



  z x yi.

Khi đó      2 3i z z i



x 2

 

y3



i  x



y1



i



_x ₂

 

2 _y ₃



2 _x2



_y ₁



2 _x ₂_y _{3 0}

           .

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng  :x 2y 3 0.

Ta có min z d



O,



. Gọi d là đường thẳng qua O và vng góc với d: 2x y 0.

Gọi : 2 0 3; 6

2 3 0 5 5

x y

H d H H

x y

 

  

    _  _  _

    

 .

Khi đó z có mơđun nhỏ nhất thoả mãn có điểm biểu diễn là H, tức là 3 6
5 5
z  i.

Câu 47: (SởGDNamĐịnh-2019) Trong các số phức z thỏa mãn



12 5



17 7 13
2

i z i

z i

  



  . Tìm giá

trị nhỏ nhất của z.

A. 3 13

26 . B.

5

5 . C.

1

2. D. 2.

Lờigiải
ChọnA

Điều kiện: z 2 i.

Phương trình đã cho 12 5 . 17 7 13 2 1 2

12 5
i

i z z i z i z i

i



           

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Gọi M x y



;



là điểm biểu diễn số phức z x yi  . Vì z 2 i nên M N

 

2;1 .

Khi đó,

  

1  x1

 

2 y1

 

2  x2

 

2 y1



2 6x4y 3 0.

Ta thấy đường thẳng : 6d x4y 3 0 không đi qua điểm N

 

2;1 nên tập hợp điểm M là
đường thẳng d.

Ngoài ra, z OM nên z nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất, tức là





₂3 ₂ 3 13

d ,

26

6 4

OM  O d  

 .

Vậy min 3 13
26

z  .

Câu 48: (ChuyênNguyễnHuệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn _z2_₂_z_{ }₅



_z_{ }_{1 2}_{i z}



_{ }_{3 1}_i



. Tính min w, với w z  2 2i.

A. min 1

2

w  . B. minw 1. C. min 3
2

w  . D. min w2.
Lờigiải

ChọnB

Theo giả thiết, _z2_₂_z_{ }₅



_z_{ }_{1 2}_{i z}



_{ }_{3 1}_i





z 1 2i z



1 2i

 

z 1 2i z



3 1i



         





1 2 . 1 2 1 3 0

z i z i z i

        

 

 

1 2 0 1

1 2 1 3 2

z i

z i z i

   
 

    

 .

 

1       z 1 2i 0 z 1 2i. Khi đó, w    1 2i 2 2i 1

 

3 .

Đặt z x yi  ( , x y_). Khi đó,

 

2 



x 1

 

y2



i 



x 1

 

y3



i



 

2

 

2

 

2



2



 

2



2 1 1

1 2 1 3 2 3

2 2

x y x y y y y z x i

                  .





3





2 9 9 3

2 2

2 4 4 2

w x i x

          x _.

 

4 .

Từ

 

3 và

 

4 min w1.

Câu 49: (KimLiên-HàNội2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2i   z 3 i 3 5. Gọi M,
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 2 z 1 3i . Tìm M ,
m.

A. M  17 5; m3 2. B. M  26 2 5 ; m 2.
C. M  26 2 5 ; m3 2. D. M  17 5; m 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Trang 36
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, F₁



3;2



, F₂



3; 1



, A



2;0



và B

 

1;3 .

Ta có z 3 2i    z 3 i 3 5 và F F1 23 5 MF1MF2F F1 2.

Do đó tập hợp các điểm M là đoạn thẳng F F1 2.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

+ M Pmax M A M B2  2  26 2 5 .
+ m P min M A M B AB1  1  3 2.
Vậy M  26 2 5 ; m3 2.

Câu 50: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Xét các số phức

z

thỏa mãn z 1 3i 2. Số phức
z mà z1 nhỏ nhất là

A. z 1 5i. B. z 1 i. C. z 1 3i. D. z 1 i.
Lờigiải

ChọnB

Giả sử z x yi x y  ;



_



.

Ta có z 1 3i 2



 

2



2

1 3 2

x y

     _

_

_x_₁

_

2 _{ }_y2_₆_y_₅

Vì



_x_₁



2_{  }₀ _y2_₆_y_{    }_{5 0} ₁ _y ₅





2 2

1 1 6 5

z  x y  y

Vì 1   y 5 1 6y 5 25   1 z 1 5
Vậy z1 nhỏ nhất khi 1

1
x
y




 

 khi đó z 1 i

Câu 51: (Chuyên NgữHàNội 2019) Cho các số phức z z z, ,_{1 2} thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:
iz_{  }_{2 4 3}i , phần thực của z₁ bằng 2, phần ảo của z₂ bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức T  z z₁2 z z₂2.

A. 9. B. 2. C. ₅. D. 4.

Lờigiải
ChọnD

Đặt z x yi x y, , , ta có M z

 

M x y

 

;

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>



x

 

y



 2 2 4 29

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn

 

C tâm I



2 4;



, bán kính R_₃.

Mặt khác: z₁  2 bi A z

 

₁ A

 

2;b  Tập hợp điểm A là đường thẳng d₁: x_₂.

 

 

;

z₂  a i B z₂ B a1  Tập hợp điểm B là đường thẳng d₂: y1.
Giao điểm của d₁ và d₂ là P

 

2 1; .

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d₁ và d₂.

Ta có: T _{ }z z₁2_{ }z z₂2_MA2_MB2_MH2_MK2_MP2.

T đạt giá trị nhỏ nhất khi A H B_ , _K và I M P, , thẳng hàng (theo thứ tự đó).
Phương trình đường thẳng IP: x t M



t; t



y t

  

 _ _ _

  


2 4 _{2 4 1 3}

1 3 (vì M IP).

Mà M 

 

C nên ta có



 







t

t t t

t
 


         

 



2 2 2

2

9 5

4 4 3 3 9 1

8
25

5

- Với t  M_ ; __

 

8 22 29

5 5 5 (loại)

- Với t_{  }M_ ; ___{  }z i_{  }z i z, _{ }i.

  1 2

2 2 11 2 11 ₂ 11 2

5 5 5 5 5 5 5

Suy ra MP_min _{ }IP IM _{  }IP R ₄2_{ }

 

₃2_{ }_{3 2}.
Vậy T_min 22 4 khi z_{ }2 11i z, ₁_{ }₂ 11i z, ₂_{ }2 i.

5 5 5 5

Câu 52: (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 và biểu thức

2 2

2

P z  z i đạt giá trị lớn nhất. Tính z i .

A. 5 3. B. 41. C. 61. D. 3 5.

Lờigiải
ChọnC

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Trang 38
+) Ta có: z 3 4i  5



x3

 

2 y4



2 5

 

1 .

+) _P_{ }_z ₂2_{ }_{z i}2 _



_x_₂



2__y2 _ _x2_



_y_₁



2_₄_x_₂_y_₃

   



 





₂ ₂





 

2



2

4 x 3 2 y 4 23 4 2  x 3 y 4  23 33

       _    _  .



  

3 4

33 3 2 4 2

4 2

x y

P       x y .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra 5
5
x
y



 

 hoặc
1

3
x
y



 

 .

Với 5 33

5
x

P
y



 _{ }

 

 ; Với

1

13
3

x

P

y



 _{ }

 

 .

Vậy số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 và biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn nhất là
5 5

z  i. Khi đó z i  61.

Câu 53: (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z a bi a b 



, _



thỏa mãn

1 1

z  i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a b 5 là

A.

3



2

. B. 2 2. C.

3 2 2



. D.

2



2

.
Lờigiải

ChọnA
Cách1:

Theo giả thiết ta có z   1 i 1



a1

 

2 b1



2 1.
Đặt a 1 sin ,t b 1 cos 0t



 t 2





.

Khi đó 5 sin cos 3 2 sin 3 3 2 sin

4 4

P   a b t t  _t



_   _t



_

   .

Ta có: 1 sin 1 2 2 sin 2 3 2 3 2

4 4

t  t  P

   

  _  _     _  _     

    .

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 3 2.
Cách2:

Theo giả thiết ta có z   1 i 1



a1

 

2 b1



2 1 a b, 

 

0; 2 .
Khi đó P       a b 5 5 a b 3 _



a 1

 

b1



_.

Theo BĐT Bunhia ta có:



_a_{   }₁

 

_b ₁





₁2__{1 .}2







_a_₁

 

2_{ }_b ₁



2 _ ₂

 

Do đó P 3 2.

Câu 54: (ĐạihọcHồng Đức–ThanhHóa 2019) Cho số phức z a bi  (a, b) thỏa mãn z 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  z 2 2 z2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Lờigiải
ChọnB

Ta có: _z_₂2 _



_a_₂



2__b2_; _z_₂2 _



_a_₂



2__b2_.

Suy ra: z22 z 22 _₂



_a2__b2



_₈ _₂ _z2_₈_₁₀_.

Ta có: _A2 _



_z_{ }_{2 2} _z_₂



2_



₁2_₂2





_z_₂2_{ }_z ₂2



_₅₀_.

Vì A0 nên từ đó suy ra A 50 5 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 .

Câu 55: (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn





2 ₁ ₁ ₂

z i a

a a i
a




 

 . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng
cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I



3;4



(khi a thay đổi) là

A. 6. B. 5. C. 4. D.

3

.

Lờigiải
ChọnC

Ta có:









_



_



2
2

2 2 2

1 2

1 2

1 1 1

i a a ai

z i a z

a a i

a a a

  



  

 

  









3 2

2

2 2 2

1

1.

1 1 1

a a a i

z a i

z z

a a a

   _

     

  

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O bán kính R1.

Ta có: OI 5. Do đó: OMmin OM1OI R   5 1 4.

Câu 56: (ChuyênLêHồngPhong-NamĐịnh- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  5. Gọi a
và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z. Giá trị biểu thức _a2__b2_bằng

A.

40

. B. 4 5. C. 20. D. 2 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Trang 40
ChọnA

Gọi M x y



;



là điểm biểu diễn số phức z x yi  với ,x y_.

Ta có z 2 4i  5



x2

 

2 y4



2 5 tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một
đường trịn có tâm I

 

2;4 và bán kính R 5.

Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm O và I cắt đường tròn tại 2 điểm M và N như hình vẽ.
2 2

2 4 2 5

OI   ; IM IN  R 5.
Từ hình vẽ ta thấy:

min 2 5 5 5

z OM OI IM     b.

max 2 5 5 3 5

z ON OI IN     a.
Vậy _a2__b2 _₄₀_.

Câu 57: (HậuLộc2-ThanhHóa- 2019) Cho z z₁, ₂ là hai trong các số phức thỏa mãn z 3 3i 2
và z1z2 4. Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng

A. 8. B. 4 3. C. 4 . D. 2 2 3 .

Lờigiải
ChọnA

GọiM N, lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2.

Do 1 2

1 2

3 3 3 3 2

4

z i z i

z z

      




 

 nên

  



₂





2 ₂

, N : 3 3 2

4 2.2

M C x y

MN

 _ _ _ _ _




  



.

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Ta có









2

2 2 2

1 2 1 1 2 2O 8

2
MN
z  z OM ON   OM ON  _ I  _

  .

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi OM ON MN là đường kính của

 

C vng góc với OI.
Câu 58: (ChunĐạihọc Vinh-2019) Giả sử z z1, 2 là hai trong các số phức thỏa mãn



z6 8





zi



là số thực. Biết rằng z₁z₂ 4. Giá trị nhỏ nhất của z₁3z₂ bằng

A. 5 21. B. 20 4 21 . C. 20 4 22 . D. 5 22.
Lờigiải

ChọnC

Giả sử số phức z x yi  thỏa mãn



z6 8





zi



là số thực. Ta có:



z6 8





zi







x yi 6 (8







x yi i



)



x6 8



y



8xy _ 8x x



6



y



8y i



_
Để là



z6 8





zi



số thực thì _₈_{x x}



_₆



__y



₈__y



_{ }₀



_x_₃

 

2_ _y_₄



2_₅2

Vậy điểm biểu diễn số phức z z₁, ₂ thuộc đường tròn tâm I

 

3, 4 , bán kính R5

Giả sử z1 x1 y i1 có điểm biểu diễn A x y



1, 1



; z2 x2 y i2 có điểm biểu diễn B x y



2, 2



.

Vì z₁z₂  4



x₁x₂

 

2 y₁y₂



2  4 AB4
Ta xét z₁3z₂  OA3OB

Gọi H là trung điểm AB, K là trung điểmHB, khi đó ta có:





1 3 2 3 2 4 4

z  z  OA  OB  OH OB   OK  OK

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Trang 42
Suy ra z₁3z₂ 4OK 20 4 22

Câu 59: (ChunHồngVănThụ-HịaBình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn _z2_{ }_{1 2} _z_gọi

1

z
và z₂ lần lượt là các số phức có mơđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z₁2 z₂2
bằng

A. 6. B. _{2 2.} C. 4 2. D. _2.

Lờigiải
ChọnA

Áp dụng bất đẳng thức mô đun : z₁z₂  z₁  z₂ . Dấu bằng xảy ra z₁kz₂,



k0 .



Ta có: 2 z  z2 1 z2   1 2 z  z2  1 2 z

Với _z2 _{ }_{1 2} _z _ _z2 _₂ _z _{  }_{1 0} _z _{ }₁ ₂

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:





max 2

2

3 2 2

1 2

1 2

1 2

k
z

z z

z i

z k

   
  

 _ _ _{ } _

  _{  }



 

 _

Với _z2 _{  }₁ ₂ _z _ _z2 _₂ _z_{  }_{1 0} _z _{  }₁ ₂

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:





min 1

2

3 2 2
2 1

2 1
2 1

m
z

z z

z i

z m

   

  

 _ _ _ _{ }

  _{ } _



 

 _

Vậy z₁2 z₂2 



2 1

 

2 2 1



2 6.

Câu 60: (SGDĐàNẵng 2119) Gọi z là số phức có mơđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z 2 8i  17
. Biết

z a bi a b

 



,



_



, tính _m_₂_a2_₃_b

A. m 18. B. m54. C. m 10. D. m14.

Lờigiải
ChọnC

Gọi

M a b

 

;

là điểm biểu diễn số phức

z a bi a b

 



,



_



.

Ta có: z 2 8i  17 



a2

 

2 b8



2  17 IM  17với

I

 

2;8

.
Suy ra: M thuộc đường trịn

 

C

có tâm I bán kính R 17.

Lại có:

OI



2

2



8

2



2 17



R

nên O nằm ngồi

 

C

.
GTNN của mơđun z là

z

_min



OM

min OI R  17

 

1

.
Đẳng thức xảy ra khi

M OI





 

C

và M nằm giữa O và I

 

2

.
Từ

 

1

và

 

2

ta có M là trung điểm OI nên

M

 

1;4

.

Suy ra a1;b4. Khi đó: _m_₂_a2_₃_b_{ }_{2 12}_{ }₁₀_.

Câu 61: (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét các số phức z a bi a b 



, _



thỏa mãn
2 3 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

A. P3. B. P 3. C. P1. D. P7.
Lờigiải

ChọnB

Đặt A



 1; 6 ,

  

B 7; 2 AB

 

8;8 và trung điểm của AB là K



3; 2



.

Gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn số phức

z

ta có:



a2

 

2 b 3



2 8.

M

 thuộc đường trịn

 

C có tâm I



2;3



, bán kính R 8.

Ta thấy IK



5; 5 



 IK AB.  0 I nằm trên đường thẳng trung trực của AB.
Xét tam giác

2

2 2 ₂ 2

2
AB
MABMA MB  MK  .



₂ ₂



₂ ₂





2 ₂ ₂

2 MA MB 4MK AB MA MB MA MB 4MK AB

          .

Ta có z 1 6i   z 7 2i là tổng khoảng cách từ điểm M trên đường tròn

 

C tới hai điểm
A và B.

Vậy MA MB lớn nhất khi:

max
MA MB

MK





 . Điều này xảy ra khi M là giao điểm của IK với
đường tròn

 

C và M nằm ngoài đoạn IK.

Ta có phương trình của đường thẳng : 2
3

x t

IK

y t

  


  

 .

Tọa độ giao điểm của IK với đường tròn

 

C là nghiệm của hệ:



 



2

2 2

2

3 2 8 2

2 3 8

x t

y t t t

x y

   

 _{ } _ _{   }



 _ _ _ _



.

Vậy điểm M cần tìm ứng với t 2 khi đó



4;5



4 2 8 5 3

5
a

M P a b

b

 


 _{ }        



Câu 62: (SGDBắcNinh2019) Cho số phức zthỏa mãn



1i z



 1 3i 3 2. Giá trị lớn nhất của biểu
thức P   z 2 i 6 z 2 3i bằng

A. 5 6. B. 15 1



 6



. C. 6 5. D. 10 3 15 .
Lờigiải

ChọnC

(C)

A

B
I

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Trang 44
Cách1



1i z



 1 3i 3 2 1 1 3 3 2
1

i
i z

i


   

   z



1 2i



3 1

 

.

Gọi OM



x y;



, OI

 

1; 2 là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z x iy, w 1 2  i.
Từ

 

1 có OM OI  3MI3.

Suy ra M thuộc đường tròn

 

C tâm I

 

1;2 bán kính R3,

  

C : x1

 

2 y2



39
Gọi OA  



2; 1



, OB

 

2;3 lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a  2 i, b 2 3i.
Có IA  



3; 3



, IB

 

1;1 . Suy ra IA 3IBIA  3IB0.

Lúc đó P MA  6MB MA  2. 3MB _ ₃



_MA2_₃_MB2



_.

Có _MA2_₃_MB2_



 _{IA IM}_

 

2_₃  _{IB IM}_



2 _₄_IM2__IA2_₃_IB2_.

Có _IM2_₉_,_IA2 _₁₈_,_IB2_₂_{, nên}_MA2_₃_MB2 _₆₀_.

Suy ra P 3.60 6 5 .

Có P6 5 3

1 2

MA MB

  .

Vậy giá trị lớn nhất của P là P6 5.
Cách2.

Giả sử M x y

 

; là điểm biểu diễn của số phức z khi đó



₁__{i z}



_{ }_{1 3}_i __{3 2}_{   }_{x y} ₁



_{x y}_{ }₃



_i __{3 2}__x2__y2_₂_x_₄_y_{ }_{4 0}



 

2



2

1 2 9

x y

     . Do đó M thuộc đường trịn tâm I

 

1;2 , bán kính R3.

Đặt 1

2
a x

b y

 

  

 Ta có

2 2 ₉

a b  . Gọi A  



2; 1



, B

 

2;3



 

2



2



 

2



2

2 6 2 3 6 2 1 6 2 3

P   z i z  i MA MB x  y  _ x  y _



 

2



2



 

2



2





 



3 3 6 1 1 6 27 6 2 11

a b  a b  a b a b

     _    _       





 









6 a b 27 2 6 a b 33 1 2 27 33 6 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Câu 63: (Lômônôxốp-HàNội2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1 i 3. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A2z    4 5i z 1 7i bằng a b (với a b, là các số nguyên tố). Tính

S a b?

A. 20 . B. 18 . C. 24 . D. 17.

Lờigiải
ChọnB

Gọi z x yi x y  ,



, _



.
Ta có:



 

2



2

 

1 3 1 1 9

z   i x  y  C ;

Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn

 

C , có tâm là I



1;1



và
bán kính R3.

Ta có:



 

2



2



 

2



2

2 4 5 1 7 2 4 5 1 7

A z  i   z i  x  y  x  y



 

2



2



 

2



2





 

2



2



2 x 4 y 5 x 1 y 7 3 x 1 y 1 9

            



 

2



2 ₂ ₂

2 x 4 y 5 4x 8x 4y 20y 29

        



 

2



2 2 2 29

2 4 5 2 2 10

4

x y x x y y

        



 

2



2





2 5 2

2 4 5 1

2

x y x y

 _ _ 

 

      _  _

   

 

.

Gọi M x y



;

  

 C .



 



2 4 5 1 7 2 , 4; 5 ; 1;7

A z i z i MA MB A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Trang 46





5

2 2 , 1;

2

A MA MB MA MC C 

     _ _

 .

Ta có: 0;3 3 _{ }

2 2 C

IC_ _ IC  R

 

 

.
Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn

 

C .

Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn

 

C tại hai điểm.

Do đó, để A2



MA MC



đạt giá trị nhỏ nhất thì Mphải nằm giữa hai điểm A và C.





5 13

2 2 ,

2

A MA MC AC AC

     .

5 13

A a b

   .

Vậy, a b 18.

Câu 64: (NguyễnHuệ-Ninh Bình- 2019)Cho z z₁, ₂ là nghiệm phương trình 6 3 i iz  2z 6 9i
và thỏa mãn ₁ ₂ 8

5

z z  . Giá trị lớn nhất của z₁z₂ bằng

A. 56

5 . B.

28

5 . C. 6. D. 5.

Lờigiải
ChọnA

Gọi z₁ x₁ y i z₁, ₂ x₂ y i₂ , với x y x y₁, , ,₁ ₂ ₂_.

Do ₁ ₂ 8

5

z z 



1 2

 

1 2



8
5

x x y y i

    



 

2



2

1 2 1 2

8
5

x x y y

    

Gọi M x y₁



₁; ₁



, M₂



x y₂; ₂



1 2



1 2

 

2 1 2



2

8
5

M M x x y y

      .

Mà z₁ là nghiệm phương trình 6 3 i iz  2z 6 9i



6 y1

 

x1 3



i



2x1 6

 

2y1 9



i

       



 

2



2



 

2



2

1 1 1 1

6 y x 3 2x 6 2y 9

        2 2

1 1 6 1 8 1 24 0

x y x y

     





1 1; 1

M x y

  đường tròn _{( ) :}_{C x}2__y2_₆_x_₈_y__{24 0}_ _.

Tương tự M₂



x y₂; ₂

  

 C .

Đường trịn ( )C có tâm I

 

3; 4 , bán kính R1.
Goị M là trung điểm M M₁ ₂ IM M M1 2,

2

2 2

1

4 3
1

5 5

IM  R M M   _{ } 

  , và

1 2 2

z z  OM.

Mà OM OI IM , dấu bằng xảy ra khi O I M, , thẳng hàng. Khi đó OM  M M₁ ₂, và
28

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

 z₁z₂ đạt giá trị lớn nhất bằng 2



OI IM



, bằng 56
5 .

Hoặcđánhgiáchọnđápánnhưsau:

Gọi N



x₂;y₂



NM1



x1x2

 

2 y1y2



2  z1z2

Và Nđối xứng với M₂qua gốc tọa độ O, Nđường tròn 2 2
1

( ) :C x y 6x8y24 0 .

1

( )C có tâm I1



 3; 4



, bán kính R11, ( )C1 đối xứng với

 

C qua gốc tọa độ O.

Có I I₁ 10 I I R R1   18.

Nhận xét: với mọi điểm M1

 

C , N

 

C1 thì M N I I R R1  1   1. Loại các đáp án B,C,D
 z₁z₂ M N₁ đạt giá trị lớn nhất bằng 56

5 .

Câu 65: Cho các số phức z và w thỏa mãn



3



1
1
z

i z i

w

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Trang 48

A. 2

2 . B.

3 2

2 . C. 2. D.

1
2.
Lờigiải

ChọnB



3



1

1
z

i z i

w

   

 1 3 1 1





z

z z i

w

    





 



2 2

3 1 1 .

1
z

z z

w

    

 .

Đặt t z ; t0 (vì z 0 khơng thỏa phương trình trên).
(1) trở thành:



3 1

 

2 1



2

1
t

t t

w     1 ₁₀ 2 ₈ ₂.

t
w

t t

  

  .
2

2

1 1 1

1 ; 0.

8 2 ₁ 2

10 ₂ ₂ ₂

w t

t _t _t

      

 

  _ _ _ _

 

.

Ta ln có: 1 1 1 2

2

w i     w i  3 2.

2
w i

   .

Dấu = xảy ra





1
2

1 1

3 2
2
t z

w k i

w i



 



_   



  


1
2

3 1
2 2
z i

w i

 

 

  


.

Vậy: Giá trị lớn nhất của 3 2.
2
T  .

Câu 66: Cho các số phức z thỏa mãn z 2  z 2 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 3 3 3 2 3

P z    i z  i  z i .

A. 12. B. 6. C. 8. D. 10.

Lờigiải

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Gọi M x y

 

; , F₁



 2;0



, F₂

 

2;0 , lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z x yi  ,

2
 , 2.

Có z 2  z 2 2 3 MF MF₁ ₂ 2 3, có 2 3F F_{1 2} 2 2.

Suy ra M x y

 

; chạy trên

 

E có tiêu cự 2c2 2, độ dài trục lớn 2a2 3, độ dài trục nhỏ

2b2 và phương trình chính tắc của

 

E là 2 2 1

3 1

x _y _ _.

Có

   

; 3 3

1 1

x
M x y E

y
  

 _{ }

  

 .

Có P z 2 3  i z 3 3 2 i  z 3i .





2

 

₂





2





₂





₂

2

2 3 1 3 3 2 3

x y x y x y

           .





 













 x2 3 2 y12  3 3x 2 y2 2  y3 2.





2





₂

 

2 3 3 3 2 3 3 1

x x y y

        (Bất đẳng thức tam giác).

2

4y 12y 84 3 y

     .

Đặt _{f y}

 

_₂ _y2_₃_y__{21 3}_{ }_y_{, với}_{  }₁ _y ₁_.
Có

 

2

2 3 ₁
3 21
y
f y
y y

  
  .

 

0

f y   _y2₃_y_{21 2} _y_{3 1}

 

_,

Cĩ    1 y 1

 

1 _₃_y2__{9 12 0}_y_ _





 

1 nhận
4 loại
y
y
 


 
 .

Có f

 

  1 4 2 19, f

 

1 12 .

Suy ra

 

 

 _1;1_ 12

yMin f y P12.

Đẳng thức

 

1 xảy ra khi

0, 1

2 3 _{1 0}
2
3 3
x y
x y
y
x
  

  _  _
 _


0, 1
x y
   .
Thử lại: Khi x0,y1 có P12.

Vậy MinP12 khi x0,y1.

Câu 67: Cho số phức z x yi, x y,  thỏa mãn _z2_₃_y2_₁₆_{. Biểu thức}_P_{   }_{z i} _z ₂ _{đạt giá}
trị lớn nhất tại



x y0; 0



với x0 0,y00. Khi đó:

2 2
0 0
x y bằng

A. 20 3 6
2


. B. 20 3 7

2


. C. 20 3 6

2


. D. 20 3 7

2


</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

Trang 50
ChọnD

Ta có: _z2_₃_y2 _₁₆__x2_₄_y2_₁₆_.





2





2





2



  

2 2

2 ₁ ₂ 2 2 ₁ ₂

P x  y  x y  x  y  x  y



 

2



2

2 1 5

x x y y

       .

  











  







  











  

2 2

max ₂ ₂

2 2

2 2

. 2 1 2 2 0

2 0 2 2 4 16 0

. 2 0

1 . 0 2 0

1 . 0

5

4 16 1 . 0

4 16
0
0 0
0
0 0
x y

x y x y x y

x x y y

x x

y y x x

y y

P

x y y y

x y
x
x x
y
y y
 


        

 _ _  _ _ _ _ _ _

 

 _ _{ } _{ } _{ } _ _
  
 _ _ _
    
 
  
 _  _  _
  
     
 
0
2 2
0 0
0
1 7
1 7

20 3 7

2 ₁ ₇

2

1 7 ₂

x
y
x y
y
x

 _   

 
_ _ _   

 _{ } 
 
.
Nhậnxét: Bài này ta dùng bất đẳng thức véc tơ như sau
Cho a



a a₁; ₂



,b



b b₁; ₂



  a b 



a₁b a₁; ₂b₂



, ta có:



 

2



2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

a b   a  b  a b  a b  a a  b b .
Dấu “ = ” xãy ra a b , ngược hướng

1 2 2 1
1 1
2 2

0
0
a b a b
a b
a b



_ 
 _

.

Câu 68: Cho số phức z a bi 



a b, _



thỏa mãn z   4 z 4 10 và z6 lớn nhất. Tính S a b 
.

A. S11. B. S 5. C. S 3. D. S5.

Lờigiải
ChọnB

Trong mp tọa độ Oxy, Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức:
z x yi  là M x y



;



; z  4 0i là F₁



4;0



; z 4 0i là F₂

 

4;0 .
Ta có: z   4 z 4 10MF₁MF₂ 10. (1)









2

2 2

1 2 2

1 2 1 2

2
2 2
2
4 ₈
16
5
4

MF x y _x

MF MF x MF MF

MF x y

 _ _ _

 _ _ _ _ _ _



  

 .(2)

Từ (1) và (2), suy ra ₁ 5 4
5

x
MF   .

Mặt khác 2





2 2

1 4

MF  x y





2 2 2

2 ₂

4

5 4 1

5 25 9

x x y

x y

 

_  _      

  .

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn z   4 z 4 10 là Elip có phương
trình

 

2 2

: 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc

 

E sau cho z6 lớn nhất.

Ta gọi các điểm biểu diễn số phức: z 6 0i là A

 

6;0 ; z a bi  là M a b

   

;  E ;
5 0

z   i là C



5;0



.

Do đó, z6 lớn nhất khi và chỉ khi MA lớn nhất.

Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để MA lớn nhất khi M C



5;0



  a 5;b   0 S 5.
Câu 69: Cho số phức z a bi a b  ,



_



thỏa z   4 z 4 10 và z6 lớn nhất. Tính S a b  ?

A. S 3. B. S5. C. S 5. D. S11.

Lờigiải
ChọnC

Gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn số phức z a bi a b 



, _



.













2 2





2 2

 

4 4 10 4 4 10

4 4 10 *

z z a bi a bi

a b a b

          

      

Xét F1



4;0



và F2

 

4;0 . Khi đó

 

* MF MF1 2 10

Suy ra M thuộc Elip có 4 2 2 3

2 10 5

c

b a c

a a




   

 _ _{ }



Ta có: _z_{ }₆



_a_₆



2__b2 __{IM I}_,

 

_{6; 0} _{, suy ra}_max _z ₆ _IA_{hay điểm}



5;0



5 0 5

MA        z i S .

Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn z 1, M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A  1 z 2 1z . Giá trị của biểu thức M m bằng

A. 2 5 2 . B. 6. C. 2 5 4 . D. 7.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Trang 52
ChọnA

Gọi z x yi  với x y, _. _z _{ }₁ _x2__y2 _{ }₁ _x2__y2_₁





2 2





2 2

1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2

A z z x y x y x x

               .

Xét hàm số f x

 

 2 2 x2 2 2 x với x 



1;1



.

Hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



1;1



và

 



2



1 2 1 2 1

2 2 2 2 _{2 1}

x x

f x

x x _x

  

   

  _ .

 

0 1 2 1 0 3



1;1



5

f x    x       x x .
Khi đó f

 

 1 4; 3 2 5

5
f_ _

  ; f

 

1 2.

Do đó

1;1

 

 1;1

 

 

3

max 2 5 ; min 1 2

5

M f x f m f x f




 

  _ _   

  . Suy ra M m 2 5 2 .

Câu 71: Xét tập hợp S các số phức z x yi x y 



, _



thỏa mãn điều kiện 3z z 



1i



2 2 i



.
Biểu thức Q z z



2x



đạt giá trị lớn nhất là Mvà đạt được tại z₀ x₀y i₀ ( khi z thay
đổi trong tập S ). Tính giá trị 2

0 0

. .

T M x y

A. 9 3

2

T   . B. 9 3

4

T  . C. 9 3

2

T  . D. 9 3

4
T  .
Lờigiải

ChọnD

Ta có: ₃_{z z}_{ }



₁__i



_{2 2}_ _i



_₄_x2_₁₆_y2_₁₆_ _x2_₄_y2_{ }₄ ₄_y2 _{ }₄ _x2

Do đó, _Q_{ }_{z z}



₂__x



_ ₄_y2



₂__x



_ ₄__x2



₂__x



_ _{f x}

  

_, _{  }₂ _x _{2 .}



 





 

_

_

2

2

2 2 4_{, 2} _{2 .}

4
1

0 1.

2 2 ; 2

x x

f x x

x
x

f x x

x

 

    


 


  _{   }   



Mặt khác, f

 

 2 0, 2f

 

0, f

 

 1 3 3.
Suy ra M 3 3_tại 2

0 0

3

1, .

4
x   y 

Vậy 9 3.

4
T 

Câu 72: (THPT Hậu Lộc 2 2019) Cho z z₁, ₂ là hai trong các số phức thỏa mãn z 3 3i 2 và

1 2 4

z z  . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Lờigiải
ChọnA

GọiM N, lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z z₁, ₂.

Do 1 2

1 2

3 3 3 3 2

4

z i z i

z z

      




 

 nên

  



₂





2 ₂

, N : 3 3 2

4 2.2

M C x y

MN

 _ _ _ _ _




  



.

Như vậy MN là đường kính của đường trịn

 

C với tâm I



3; 3



, bán kính R2, do đó I
là trung điểm MN, OI  12.

Ta có









2

2 2 2

1 2 1 1 2 2O 8

2
MN
z  z OM ON   OM ON  _ I  _

  .

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi OM ON MN là đường kính của

 

C vng góc với OI.
Câu 73: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn

1 2 1 4 7 6 2

z   i z   i  và iz2 1 2i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1z2 .
A. 2 2 1 . B. 2 1 . C. 2 2 1 . D. 2 1 .

Lờigiải
ChọnC

Trên mặt phẳng Oxy, gọi M a b

 

; là điểm biểu diễn cho số phức z₁; A



2;1



, B

 

4;7 lần lượt
là điểm biểu cho các số phức  2 i và 4 7 i AB6 2.

Từ đó ta được MA MB 6 2AB nên tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z1 là đoạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Trang 54

2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1

iz   i     iz i   z   i . Gọi N c d

 

; là điểm biểu diễn cho z₃;

 

2;1

I là điểm biểu diễn cho số phức 2i, khi đó IN 1 nên tập hợp các điểm biểu diễn cho số
phức z₃ là đường tròn

  

C : x2

 

2 y1



2 1.

1 2 1 3

z z  z z MN.

Dễ thấy hình chiếu vng góc của điểm I

 

2;1 trên đường thẳng

 

d là điểm K

 

0;3 thuộc
đoạn AB suy ra MN KH với H là giao điểm của IK với

 

C và thuộc đoạn IK.

Do đó minMN KHd I AB



,



 R 2 2 1 . Vậy min z₁z₂ 2 2 1

Câu 74: (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z z z, ,₁ ₂ thỏa mãn z₁ 4 5i  z₂ 1 1 và
4 8 4

z i   z i . Tính z1z2 khi P   z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ nhất

A. 8 B. 6. C.

41

. D.

2 5

.

Lờigiải
ChọnD

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z₁. Suy ra A thuộc đường tròn

 

C1 tâm

 

1 4;5 , 1

I R .

Gọi B là điểm biểu diễn của số phức z₂. Suy ra B thuộc đường tròn

 

C2 tâm I2

 

1;0 ,R1.

Gọi M x y

 

; là điểm biểu diễn của số phức z x yi

Theo giả thiết z4i   z 8 4i   x y 4. Suy ra M thuộc đường thẳng

 

d x y  4 0
Gọi

 

C₂' có tâm I₂' 4; 3 ,







R1 là đường tròn đối xứng với đường tròn

 

C₂ tâm

 

2 1; 0 , 2 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A B I I M, ', , ',₁ ₂ thẳng hàng. Khi đó 1 1 2
1

'
8
I A I I

 

suy ra A

 

4;4 và

2 2 1

1

' '

8
I B  I I

 

suy ra B' 4; 2



 



B

 

2;0 _.AB2 5.
Vậy z₁z₂ 2 5 _.

Câu 75: (ChuyênĐHVinh- 2019) Cho các số phức zvà



thỏa mãn



2 i z



z 1 i.



    Tìm giá trị
lớn nhất của T   1 i

A. 4 2

3 B.

2

3 C.

2 2

3 D. 2

Lờigiải
ChọnA











 





 



 





 





 

2

2 2

2

2 2

2 ₂ 2

2 1 2 1 .

2 1 1 2 1 1

5 2 2

2 4

0 ' ' 0 0 2

5 2 2 ₅ ₂ ₂

z z

i z i i z i

z

z z

z z i z z

z z

t t t

f t t f t f t t t

t t _t _t

 



 

        

           

 

 

         

  _ _

Bảng biến thiên

Ta có 1 1 2 2 4 2

9 3

T    i z   i  

Câu 76: Cho số phức

z

và gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình _z2_{ }₈_i ₀₍

1

z có phần thực

dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

1 2 2 1

2
z

P  z z z   z z z  được viết dưới dạng
m np q (trong đó n p, _; m,

q

là các số nguyên tố). Tổng m n p q   bằng

A. 3 . B. 4. C. 0 . D. 2.

Lờigiải
ChọnA

2 ₈ ₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Trang 56

1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

P z z  z  z z  z  z  z z  z z  z z z MA MB M  C.

Trong đó , A



2; 2



, B



2;2



, C



 3; 3



lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

z

, z₁

, z₂, 2

1

2 3 3

2 i

z z



      .

Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên OC.

Ta có MA MB HA HB    MA MB MC  HA HB HC  .

Do đó P_min 



MA MB MC 



_min HA HB HC 

M H



 M OC y x :  .
Gỉa sử M x x

 

;



x 



3;0





 _{P MA MB MC}_ _ _ _ ₂



_x_{ }₃



_{2 2}



_x2_₄





2
2 2 2.

4
x
P

x

  

  P  0





2 3

3;0
3

x    .

Vậy

2
min

2 3 2 3

2 3 2 2 4 2 6 3 2

3 3

P  _  _ _ _    

 

  _  _ .

Suy ra m2, n6, p3, q2 m n p q   3.
Câu 77: Trong các số phức z thỏa mãn _z2_{ }₁ ₂ _z _gọi

1

z và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ
nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z12 z2 2 bằng

A. 6. B. 2 2. C. 4 2. D. 2.

Lờigiải
ChọnA

Đặt z a bi a b  ; , _.





2

2 ₁ 2 2 _{1 2} 2 2 ₁ ₄ 2 2

z   a b   abi  a b   a b ; ₂ _z _₂ _a2__b2_.

Ta có _z2_{ }₁ ₂ _z _



_a2__b2_₁



2_₄_{a b}2 2 _₄



_a2__b2





₂ ₂



2 _{2 2}



₂ ₂





₂ ₂





₂ ₂



2 ₂ ₂

4 2 1 4 0 2 6 1 0

a b a b a b a b a b a b

              



₂ ₂

 

2 ₂ ₂



₂

6 1 4

a b a b a

       .

Vì _₄_a2_{  }_0, _a __nên



_a2__b2

 

2_₆ _a2__b2



_{   }_{1 0} _{3 2 2}__a2__b2 _{ }_{3 2 2}_.

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Suy ra _{2 1} 2 2 _{2 1} 2 1 2 2 _6.

2 1
m

a b m M

M
  

     _   
 







2 2
0
0

2 1 .

1 2

3 2 2
a
a
M
b
a b



 
   _{   }
  
 _





2 2
0
0

2 1 .

2 1
3 2 2

a
a
m
b
a b



 
  _ _{  }

  
 _

Câu 78: (SởNamĐịnh-2019) Xét các số phức w, z thỏa mãn w 3 5
5
i

  và 5w 



2 i z



4



.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P    z 2i z 6 2i.

A. 7 . B. 2 53 . C. 2 58 . D.

4 13

.

Lờigiải
ChọnC

Cách1.

Ta có: 5w 



2 i z



 4



5w  5i



2 i z



 4



5i













5w 5i 2 i z 4 5i 5w i 1 2i z 4 1 2i 5 z 3 2i

               

3 5

5. 5 3 2 3 2 3

5 z i z i

        .

Ta có:





2 2 2 2

1 1 2 1 ; , 1

z z  z z  z  z z z . (1)





2

2 2 1

1 ; , 1

2
z z

z  z   z z . (2)

Ta có: P z 2i   z 6 2i        z 3 2i 3 z 3 2 3i .
Áp dụng (1) và (2), ta có:





2 2 2

3 2 3 3 2 3 2 3 2 9

z  i    z i  z  i  .



 

2



2

2 2 3 2 3 3 2 3 2 6 2

3 2 3 3 2 3

2 2

z i z i z i z i

z  i    z i             

.

Vậy, ta có:





2

_

_

_

_

_

_

2

2 2

2 6 2

2 3 2 9 2 6 2 4 3 2 9

2

z i z i

z i z i z i z i

   

             .



2



2 ₄ _{3 2} ₉

P z i

     .

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

Trang 58





2 _{4 7}2 ₉ ₂₃₂ _{2 58}

P P

      .

Cách2.

Ta có: 5w 



2 i z



4



thay w 3 5
5
i

 

3 2 3

z i

    .

Suy ra, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

  

C : x3

 

2 y2



29.
Gọi M

 

C .

Ta có: P z 2i   z 6 2i AM BM A ;

   

0;2 ,B 6;2 .

Suy ra _P_ ₂



_AM2__BM2



_.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

Ta có:





2

2 2 2 2 2

2 2 2 4

2
AB

P AM BM  _ MH  _ MH AB

  .

Vậy, P    z 2i z 6 2i đạt giá trị lớn nhất khi _MH2_{đạt giá trị lớn nhất.}

Dựa vào hình vẽ sau

Suy ra, _MH2_{đạt giá trị lớn nhất khi}_M __M_'__P2_₂₃₂_{ }_P _{2 58}_.

Câu 79: Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1  z2  z3 1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

1 2 2 3 3 1

P z z  z z  z z .

A. P9. B. P10. C. P8. D. P 12.

Lờigiải
ChọnA

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

vì z1  z2  z3 1 suy ra A; B; C thuộc đường trịn tâm O bán kính bằng 1.
Ta có z₁z₂ AB; z₂z₃ BC z₃z₁ AC.

Suy ra P z₁z₂2 z₂z₃2 z₃z₁2 __AB2__BC2__AC2



 

2

 

2



2

AO OB BO OC AO OC

          6 2



OA OB OB OC OA OC     .  .  .







2

9 OA OB OC

       9

 

3OG 2_{ }₉ _OG2_₉_{( với}_G_{là trọng tâm tam giác}_ABC_).

Dấu “ = “ xảy ra khi G O , hay ABC đều.

Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3z z 2z z 12.Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của

z

 

4 3 .

i

Giá trị của

M m

.

bằng:

A. 28. B. 24. C. 26 . D. 20.

Lờigiải
ChọnB

Gọi

z x yi

 

;

x y

;



_

.

Xét 3 z z 2 z z 123 x 2 y 6. (1)
Ta có:

P

  

z

4 3

i





x



4

 

2



y



3



2

 

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Trang 60
P đạt min, max khi bán kính đường trịn đạt min, max khi xét sự tương giao với miền hình thoi

.

ABCD

Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm nhất khi đường tròn tiếp xúc cạnh CD:
3x2y 6 0tương ứng có

2 2

3.4 2.3 6

12

.

13

3

2

m











Điểm giao xa nhất là đỉnh

A

 

0;3

của hình thoi. Do đó

M



4

2



6

2



2 13.

.

24.

M m

</div>

<!--links-->