vec to

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.94 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bµi 1. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BD=DE=EC
a. Chứng minh: ⃗AB+⃗AC=⃗AD+⃗AE

b. TÝnh vÐct¬: ⃗AS=⃗AB+⃗AD+⃗AC+⃗AE theo AI
c. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Đặt AB=u;AC=v

a. Gi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính ⃗AP theo ⃗u ;⃗v ?
b. Qọi Q và R là hai điểm định bởi: ⃗AQ=1

2⃗AC;⃗AR=
1

3⃗AB . TÝnh ⃗RP;⃗RQ theo ⃗u ;⃗v .
c. Suy ra P, Q, R thẳng hàng.

16. Cho 4 điểm A, B, C, D tháa 2 AB→ + 3 AC→ = 5 AD
CMR : B, C, D thẳng hàng.

17. Cho ABC, lÊy M, N, P sao cho MB→ = 3 MC→ ; NA→ +3 NC→ = ⃗0 vµ PA→ + PB→ =
⃗

a/ TÝnh PM→ , PN→ theo AB→ vµ AC→
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả mÃn: MA+MB=0;3AN2AC=0;PB=2PC
Chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Bi 7. Cho tam giỏc ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của
tam giác ABC. CMR: O, G, H thẳng hàng.

Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: ⃗MB−3⃗MC=⃗0 , ⃗AN=3⃗NC ,
⃗

PA+⃗PB=⃗0

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ:

a. §iĨm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hµng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA=3

√

5 .
Bài 2. Cho A(2;1); B(6;-1). Tỡm to :

a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA=2

√

5
Câu 3: Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn BM = BC



– 2AB
⃗

và N thỏa CN = xAC
⃗

– BC
⃗

a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số
Câu 5 :

Cho hình bình hành ABCD tâm O, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , I là trung điểm cña AG
1) Chøng minh : a) ⃗AB+⃗AC+⃗AD=4⃗OC

b) ⃗AB+⃗AC+6⃗GI=⃗0

2) Xác định vị trí điểm K sao cho ⃗KC+3⃗KD+2⃗KB=⃗o

3) Gäi ®iĨm M thc ®o¹n AC sao cho AC = 5AM ,chøng minh ba điểm B, I, M thẳng hàng
65.Cho tam giỏc ABC cú trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi:

= 2 ; 5 = 2

a)Tính và theo và

b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng

c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x
Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng

66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và K là các điểm đối xứng

với A qua B

a)Chứng minh rằng: 3= 5 –
b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2

c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng

67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là điểm sao cho = x . Xác 
định x để M,N,L thẳng hàng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số

69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa
= –

a)Chứng minh rằng : = –

b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng
c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài tốn

70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F là điểm trên cạnh AC sao 
cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng hàng

Câu 5 :

Cho hình bình hành ABCD tâm O, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , I là trung điểm cña AG
2) Chøng minh : a) ⃗AB+⃗AC+⃗AD=4⃗OC

b) ⃗AB+⃗AC+6⃗GI=⃗0

2) Xác định vị trí điểm K sao cho ⃗KC+3⃗KD+2⃗KB=⃗o

3) Gäi ®iĨm M thc ®o¹n AC sao cho AC = 5AM ,chøng minh ba điểm B, I, M thẳng hàng
34.Cho 3 im phõn bit A, B, C.

a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho
= t+ (1 – t) thì  điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)

b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t)  A, B, C thẳng hàng

33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K là điểm nằm trên cạnh 
AB sao cho AB = 5AK

a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và

b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng

Chứng minh các đẳng thức véctơ

Bµi 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2⃗IA+3⃗IC=⃗0 , 2⃗JA+5⃗JB+3⃗JC=⃗0
a. CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC.

b. CMR: J là trung điểm của BI.

Bi 5. Cho tam giác ABC. I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. CM: a IA b IB c IC.  .  . 0
   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Bài 7. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:

AD BD AC BC    MN
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC. Chứng
minh rằng:

a) ⃗HA+⃗HB+⃗HC=2⃗HO b) ⃗HG=2⃗GO

Bài 9. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần l ợt là hình
chiếu của nó trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: MD+ME+MF=3

2MO

Bài 10. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chøng
m×nh: ⃗RF+⃗IQ+⃗PS=⃗0

Bài 12. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM:
a. ⃗AH=2

3⃗AC−
1

3⃗AB ; ⃗CH=−
1

(

⃗AB+⃗AC

)

b. M lµ trung ®iĨm cđa BC. CM: ⃗MH=1

6⃗AC−
5
6⃗AB

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a)Chứng minh rằng AB + CD



= 2IJ



b)Xác định điểm M sao cho MA
⃗

+ MB
⃗

+ 2MC
⃗

= 0
⃗

Câu 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : AM

⃗

= AB
⃗

+ AC
⃗

Bµi 6/ Cho tg ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là 1 điểm trên AC sao cho CN 2NA
⃗ ⃗

; K là trg
điểm của MN.

a) Phân tích véc tơ AK
⃗

theo các véc tơ AB AC,
⃗ ⃗

b) b/ Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh:

1 1

4 3

KD AB AC

⃗ ⃗ ⃗

Bai 1:Cho ABC víi trung tuyÕn AM. Gäi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2 IA + IB→ + IC→ = ⃗0

b/ Víi 1 ®iĨm O bÊt kú. CMR : 2 OA→ + OB→ + OC→ = 4 OI

c) Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng t©m ABC.
a/ CMR : 2 AI→ = 2 AO→ + AB→

b/ CMR : 3 DG→ = DA→ + DB→ + DC→

Xác định điểm

Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a. Xác định điểm K sao cho: 3⃗AB+2⃗AC−12⃗AK=⃗0

b. Xác định điểm D sao cho: 3⃗AB+4⃗AC−12⃗KD=⃗0

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: 3⃗AM=⃗AB+⃗AC+⃗AD

Bài 10. Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh ⃗a=⃗MA+4⃗MB−5⃗MC khơng phụ thuộc vị trí của
điểm M.

Bµi 11. Cho tø gi¸c ABCD. Chøng minh chØ cã mét ®iĨm M tho¶ m·n hệ thức:
2MA+3MB5MC+MD=0

Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả mÃn: IA=2IB ; 3JA+2JC=0
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. LÊy c¸c ®iĨm I, J tho¶ m·n:
3⃗JA+2⃗JC−2⃗JD=⃗0;⃗JA−2⃗JB+2⃗JC=⃗0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi 1. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A1BC; B1AC;C1AB sao cho: ⃗AA1+⃗BB1+⃗CC1 .
Chøng minh r»ng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm.

Bài 2. Cho tø gi¸c låi ABCD. Gäi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng
hai tam giác ANP và CMQ có cùng träng t©m.

Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho ⃗AE=2⃗BC
b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c. Tìm tập hợp điểm M biết:

|

2(MA+MB)3MC

|

MBMC

|

Bài 8. Cho ®iĨm A(3;1)

a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vng và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vng OABC.

Cõu 4: Trong mp toạ độ oxy cho 3 điểm A(-2;1), B(-4;5), C(2;3)
a) Tìm toạ độ đỉnh thứ t D của hình bình hành ABCD

b) Tìm toạ độ điểm N thuộc trục ox để tứ giác ABNO là hình thang đáy AO

Bµi 1. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mÃn:
a.

|

⃗MA+⃗MB+⃗MC

|

=3

|

⃗MB+⃗MC

|

|

⃗MA+3⃗MB−2⃗MC

|

=

|

2⃗MA−⃗MB−⃗MC

|

Bài 2. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: véctơ v=3MA5MB+2MC khụng i.

b. Tìm tập hợp những điểm M tho¶ m·n:

|

3⃗MA+2⃗MB−2⃗MC

|

=

|

⃗MB−⃗MC

|

74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa

a) = b) + 2 – 3 =

18.Cho ABC. T×m tËp hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA = MB→

b/ MA→ + MB→ + MC→ = ⃗0

c/  MA→ + MB→  =  MA→  MB→ 
d/  MA→ + MB→  =  MA→  +  MB→ 
e/  MA→ + MB→  =  MA→ + MC→ 
21.Cho tam giác ABC

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2|

Bµi 5. Trong mp Oxy cho ABC cã A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC c©n. TÝnh chu vi ABC.

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : ABC vng. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D (3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng trịn đó.

Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). HÃy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông
tại M.

Bài 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ HÃy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.

b/ Tớnh din tớch ABC. c/ Tỡm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vng cân. d/ Tính diện tích ABC.

Câu 1Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD

a)Chứng minh rằng AB + CD



= 2IJ



b)Xác định điểm M sao cho MA
⃗

+ MB
⃗

+ 2MC
⃗

= 0
⃗

Câu 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : AM

⃗

= AB
⃗

+ AC
⃗

Câu 3: Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn BM
⃗

= BC
⃗

– 2AB
⃗

và N thỏa CN
⃗

= xAC
⃗

– BC
⃗

a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xỏc định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tớnh tỉ số
Cõu 4: Trong mp toạ độ oxy cho 3 điểm A(-2;1), B(-4;5), C(2;3)

c) Tìm toạ độ đỉnh thứ t D của hình bình hành ABCD

d) Tìm toạ độ điểm N thuộc trục ox để tứ giác ABNO là hình thang đáy AO
22.Cho hai điểm phõn biệt A,B

a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả:
2 + 3 = ; – 2 + = ; – 3 =

b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng :
= + ; = 2– ;= – +

27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I và J 
lần lượt là trung điểm của MP và NQ

Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm

29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. 
Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm

30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng :
a) + + =

b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau:
= 3 ; = 3 ; = 3

a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – O

b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : = +

35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng minh rằng điểm M d
 có số  sao cho: = + (1 – )

Với điều kiện nào của  thì M  đoạn thẳng AB

36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số m, n, p
 1. Chứng minh rằng :

a)M, N, P thẳng hàng  m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt)

b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song  m.n.p = – 1(định lý Xêva)

37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K 
là trung điểm của MN

a)Chứng minh rằng : = +

b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = +

38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ
= – 3+ 2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho
BM = MC , CN = NA , AP = BP

a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ )
= (2+ )

b)Chứng minh rằng : + + =

40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng 
+ + + + =

41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính 
các vectơ ; ; theo các vectơ và

42* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n. Gọi I là giao điểm của A’B 
và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và

43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b

a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ và
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :

a + b+ c=

44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng 
AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng
= . Suy ra hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau

45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm 
M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB
47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là 
hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng :

+ + =

48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý

a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M

b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng
+ 2 = và = 3

49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác , gọi D là điểm đối 
xứng của A qua tâm O

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

và + + =

c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3
Kết luận gì về ba điểm O, H ,G

50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng minh rằng trực tâm của ba
tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng

51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi :
= + 3

Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định
52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi:
= k ; = k ; = k (k  1)

a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3

b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý
c)Chứng minh rằng  k  1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định bởi + k = ; + k = (k 
– 1).Gọi O là trung điểm MN

a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + )

b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ?
c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k =

Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ

54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ 
= + + 2có độ dài nhỏ nhất

55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho 
= kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN

56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng :
a) + + = b) = (+ )

57.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và 
+ + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA

58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’
a)Chứng minh rằng : + + = 3

b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , =

Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm

59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB,BC,CA theo cùng một tỉ
số k  1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 =

và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t  R,lấy các điểm A’, B’ ,C’ sao cho = t, = t, =
t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t thay đổi

62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng điểm M ta ln ln tìm được 3 số
, ,  sao cho:  +  +  = 1 và

= + + .Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số , ,  bằng bao nhiêu?
63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các
tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’

Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3

64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích theo và 
71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng minh rằng :

a) tanB. + tanC. = 0
b) tanA. + tanB. + tanC. =

72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3 = ,
2 =

a) Tính theo và

b) Gọi I và J là hai điểm thỏa =  , = 
Tính , theo ,  , 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tọa độ Oxy
1.Cho = (1;3), = (2;– 5), = (4;1)

a)Tìm tọa độ vectơ = 2 – + 3
b)Tìm tọa độ vectơ sao cho + = –
c)Tìm các số k và h sao cho = k + h

2.Cho = 2– 3 và = k + 4. Tìm các giá trị của k để hai vectơ và cùng phương
3.Cho các vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo và

4.Cho 3 vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4).
Tìm m để + cùng phương với

5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương khơng?Nếu cùng phương thì có cùng hướng khơng?
a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15)

c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3)
e) = (0;5) , = (3;0)

6.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1)
Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 =
7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2).
a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành
8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1)

a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình hành

9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox. 
Tìm toạ độ đỉnh C

10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC là 
E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C

11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng
12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng
13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng

14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 
15.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD 
song song

16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)

a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho = – 3 +

c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE

17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2)
a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C

b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau

Đề kiểm tra

Đề 1(CB)

1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau:
a) + + + b) + + c) –

2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC ,CD ,DA. Chứng minh
rằng:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,BC ,CA. Chứng minh
rằng: + + =

4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng khơng: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5)

Đề 2(CB)

1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O
a) Chứng minh rằng: =

b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = + 0

2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI
Chứng minh rằng: = +

3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A là
điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B

Đề 3 (NC)

1. Cho hai hình bình hành ABCD

và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng :
a) + =

b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A và B cắt trục Ox tại M
và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN

Đề 4(NC)

1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; =
a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và

b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng

2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A  Ox và điểm B  Oy sao cho G là trọng
tâm tam giác OAB

Tích vơ hướng
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :

(

|

⃗a+ ⃗b

|

2−

|

a⃗

|

2−

|

⃗b

|

)

(

|

⃗a

|

2+

|

⃗b

|

2−

|

⃗a−⃗b

|

)

(

|

⃗a+ ⃗b

|

2−

|

a −⃗ ⃗b

|

)

2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vơ hướng .( + ) và suy ra góc giữa hai vectơ và + 
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính

a) . b). c) .

4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính:
a). b). c) .

5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính .

6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o
a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .
7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 
a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A

b)Tính .

c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .
8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o

Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvng góc nhau

9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M và đặt = k.Tìm k để BM
vng góc với trung tuyến AD của tam giác ABC

10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vng góc nhau . Tính cosA
11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11

a)Tính .

b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4.Tính .
12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

13.Cho hình vng ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .
và .

14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :
a) . = IA2 – IB2

b) . = (AB2 + AC2 – BC2)

c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)

15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
a) . b). c) . + . + .

d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2)
e)Tính AG theo a ,b ,c

17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
. + . + .= 0

18.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN. 
Chứng minh rằng :

a) . = .
b) . = .
c) . + .= 4R2

19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý
a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0

b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui

20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu của H trên AC, M là 
trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM BD

21.Cho hình vng ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. Chứng minh rằng : AN 

22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên AC, M và N lần lượt là trung 
điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM  MN

23.Cho hình thang ABCD vng tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện giữa a 
,b ,h để

a) AC  BD b) IA  IB với I là trung điểm CD

24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường phân giác trong của góc A
a)Tính .

b)Tính theo và  độ dài của AL

c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL  BM
25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o

a) Tính BC và .

b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x
c)Tìm x để AN  BM

26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: 
AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2.

27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng : . = BC2

28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực tâm của các tam giác

ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.

Chứng minh rằng HK  IJ

28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB.
chứng minh rằng: SM  A’B’

29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : 
a) . = .

b) MA2 + . + . = 0
c) MA2 = .

d) (+ ).(+ ) = 0
e) ( – ).(2 – ) = 0

30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng , H là hình chiếu của A trên .Với mỗi điểm M trên
, ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ tích các điểm N

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chứng minh rằng MP  BC  .= .

32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
(.) + (.) +(.) =

33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = 
N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân

34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên dây cung đó. Chứng 
minh rằng 2.= MA(MA – MA’)

35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các góc AMB ,BMC ,CMA 
đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh
rằng:

MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’

36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M là
trung điểm cạnh CB

a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vng tại D.Tính diện tích tam
giác đó.

b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M.Tính diện tích tam
giác đó.

c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD

37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
a) + = +

b) . = .

c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2
d) MA2 + . = 2.

38.Cho tam giác ABC và các hình vng ABED, ACHI ,BCGH
Chứng minh rằng :

a) (+ ).= 0
b) (+ + ).= 0

c) + + =

d) + + =
39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N 
là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN

a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và

b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM  CN

40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn
. Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2

b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh

41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường
trịn đó. Chứng minh rằng :

a) cos MO A^

1 + cos MO A^ 2 + …+ cos MO A^ 6 = 0
b) MA12 + MA22+ …+ MA62 là một hằng số ( = 12R2)

42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất kỳ trên đường tròn 
a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2

b)Chứng minh rằng : MA2 + 2. = 3R2

c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC

43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC
a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A
44*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng:

(.)+ (.)+ (.) =

45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi D là trung
điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC

a)Tính .

b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và
c)Chứng minh rằng IE  CD

46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD. 
Đặt = , = , =

a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – )

b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB  CD.Điều ngược lại có đúng khơng?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành
b)Tính . theo a ,b ,c

c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng :

MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2

d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức
MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất

48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý

a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2.

c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2

49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A

50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H

51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2). Chứng minh 
rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân

52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác

b)Tính góc B của tam giác ABC

53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục 
hồnh.Tìm giá trị nhỏ nhất của

54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng minh rằng: tứ giác

ABCD nội tiếp được trong một đường tròn

55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). Chứng minh rằng: tứ giác 
ABCD nội tiếp được trong một đường trịn

Bµi 1/ Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC và

3
4

NA AC

. Gọi G là
trọng tâm của tam giác AMN. Cmr: 7GA 2GB 3GC0

Bµi 2/ Cho tam giác vng ABC, cạnh huyền BC a 5, AB=a.
a) M là điểm bất kỳ, đặt v⃗3MA 2MB MC

⃗ ⃗ ⃗

. Cmr v
⃗

là véc tơ không đổi. Vẽ AD v
⃗ ⃗

suy ra v
⃗

b) Gọi I là điểm trên đoạn BC và

1
3

IB BC

, và K là trung điểm của AI, cmr:

3KA2KB KC 0

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Bµi 3/ Cho hbh ABCD với O là tâm.

a/ Xđ điểm M thỏa AB AC AD  3AM
⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b/ Cm: AO3OM
⃗ ⃗

c/ Tính AB AD
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
theo
OM⃗

Bµi 4/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC; I và J lần lượt là trung 
điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh:

a)AB DC 2MN
⃗ ⃗ ⃗

b)AB CD 2IJ
⃗ ⃗ ⃗

Bµi 5/ Cho tam giác ABC.Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC. Cminh:

1 2

3 3

AM  AB AC

⃗ ⃗ ⃗

Bµi 7/ Cho tam giác ABC. Đặt AB u AC v ; 
⃗ ⃗ ⃗ ⃗

a/ Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính AP theo u v,
⃗ ⃗⃗

b/ Gọi Q và R là hai điểm định bởi

1
2

AQ AC

⃗ ⃗
;

1
3

AR AB

⃗ ⃗

. Tính RP RQ;
⃗ ⃗

theo u v;
⃗ ⃗

. Suy ra P, Q, R
thẳng hàng.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) BiÓu diÔn ⃗AG theo ⃗AB , ⃗AC . b) BiĨu diƠn ⃗AG theo ⃗CA ,

⃗

CB .

c) §Ỉt ⃗a = ⃗BA , ⃗b = ⃗BC . BiĨu diƠn ⃗AG theo ⃗a , ⃗b .

Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là điểm xác định bởi ⃗IA = 2 ⃗IB , J là
điểm trên BC sao cho ⃗JB = x ⃗JC .

a) Biểu diễn ⃗CI , ⃗CJ theo ⃗CA , CB⃗ . b) Biểu diễn ⃗IJ theo ⃗CA , ⃗CB . c)
Tìm x IJ // CG .

Bài 10: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IA + 2 IB = O , J là điểm trên BC sao cho ⃗JB = x
⃗

JC .

a) BiĨu diƠn ⃗CI , ⃗CJ theo ⃗CA , CB⃗ . b) BiĨu diƠn ⃗AI , ⃗AJ theo ⃗AB ,
⃗AC .

c) Biểu diễn ⃗IJ , ⃗IG theo ⃗AB , ⃗AC . d) Tìm x để I, J, G thẳng hàng.
Bài 11 : Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài của các véctơ sau:
a) ⃗AB + ⃗AC b) ⃗AB - ⃗AC c) ⃗AB - ⃗CA d) ⃗AB

-⃗BC e) ⃗GB + ⃗GC

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Tính độ dài của các véctơ sau:

a) ⃗AB + ⃗AC b) ⃗AB - ⃗AC c) ⃗AB - ⃗CA d) ⃗AB
-⃗BC e) ⃗GB + ⃗GC

Bài 13 : Cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a, H là trung điểm của BC. Tính độ dài của các véctơ 
sau:

a) ⃗GB + ⃗GC b) 2 ⃗AB + ⃗AC c) 2 ⃗AB - ⃗AC d)
⃗

CA - ⃗HC

Bài 14 : Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm, M là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng với B qua 
G. CMR:

a) ⃗AH = 2

3 ⃗AC
-1

3 ⃗AB b) ⃗CH 
=-1

3 ⃗AB
-1

3 ⃗AC c)
⃗MH = 1

6 AC
-5

6 AB

Bài 15: Cho tam giác ABC.

a) Gi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính ⃗AP theo ⃗AB , ⃗AC
b) Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi : ⃗AQ = 1

2 ⃗AC vµ ⃗AR =
1

3 ⃗AB . TÝnh ⃗RP ,
⃗RQ theo ⃗AB , AC

c) CMR: P, Q, R thẳng hàng.

Bài 16: Cho tam giác ABC và hai điểm I, F cho bởi: ⃗IA +3 ⃗IC = ⃗O ;FA+2 ⃗FB +3 ⃗FC = O .
CMR: I,F,B thẳng hàng.

Bài 17: Cho tam giác ABC.

a) Xác định vị chí điểm M sao cho: ⃗MA +2 ⃗MB = ⃗O 
b) Xác định vị chí điểm N sao cho: ⃗NA + 2 ⃗NB = ⃗CB

19.Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a/ TÝnh  AB→ −AC→  b/ TÝnh  BA→  BI→ 
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3 GH→

20. Cho tg ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kÐo dµi sao cho

5JB = 2JC.

a) TÝnh AI AJ theo AB AC, ,

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . TÝnh AG



theo AI



vµ
AJ

⃗

21.Cho ABC cã M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN→ =
1

2 NC

→

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a/ CMR : AK→ = 1

4 AB

→

+ 1

6 AC

→

b/ CMR : KD→ = 1

4 AB

→

+ 1

3 AC

→

22.Cho ABC. Trªn hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD→ = 2 DB→ , CE→ = 3 EA→ .
Gäi M lµ trung ®iĨm DE vµ I lµ trung ®iĨm BC. CMR :

a/ AM→ = 1

3 AB

→

+ 1

8 AC

→

b/ MI→ = 1

6 AB

→

+ 3

8 AC

→

23. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm
đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

24. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui

b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
25. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :

a/ MA MB
⃗ ⃗

b/ MA MB MC O  
⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c/ |      C
⃗ ⃗ ⃗ ⃗

C 

      


⃗ ⃗ ⃗ ⃗

e/ |      C

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

26.Trong mp Oxy cho ABC cã A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC c©n. TÝnh chu vi ABC.

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

27.Trong mp Oxy cho ABC cã A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vu«ng. TÝnh diƯn tÝch ABC.

b/ Gäi D(3; 1). CMR : 3 ®iĨm B, C, D thẳng hàng.

c/ Tỡm ta im D t giỏc ABCD là hình bình hành.
28.Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng trịn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng trịn đó.

29.Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). HÃy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại
M.

30. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ HÃy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
31.Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

32. Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC→ = 3 BN→ . TÝnh AN→ theo AB→ và
AC

33. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR : AI→ = 1

2 ( AD
→

+ 2 AB→ )
b/ CMR : OA→ + OI→ + OJ = 0

c/ Tìm điểm M tháa : MA→  MB→ + MC→ = ⃗0

Bài 1. Cho tam giác đều ABC cnh a, trng tõm G.

a. Tính các tích vô híng ⃗AB .⃗CD;⃗AB .⃗BC b. Gọi I là điểm thoả mÃn IA2IB+4IC=0 . Chøng
minh r»ng:

BCIG là hình bình hành từ đó tính ⃗IA

(

⃗AB+⃗AC

)

;⃗IB .⃗IC;⃗IA .⃗IB
Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.

a. Tính ⃗AB .⃗AC từ đó suy ra: ⃗AB .⃗AC+⃗BC.⃗CA+⃗CA .⃗AB

b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và
cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.

Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng trịn nội tiếp hình vng, N là
điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính:

a. ⃗MA .⃗MB+⃗MC .⃗MD b. ⃗NA .⃗NB c. NO.BA

Bµi 4. Cho ba vÐc t¬ ⃗a ;b ;⃗ c⃗ thoả mÃn điều kiện |a|=a ;

|

b

|

=b ;|c|=c vµ ⃗a+ ⃗b+3⃗c=⃗0 . TÝnh:
A=⃗a⃗b+ ⃗bc⃗+ ⃗c⃗a

Bài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH

a. Tính các tích vô hớng AB .HC b.

(

⃗AB−⃗AC

)

.

(

2⃗AB+⃗BC

)

Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC cã AB=6, AC=8, BC=10

a. TÝnh ⃗AB .⃗AB b. Trªn AB lấy M sao cho AM=2; trên cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4. TÝnh
⃗AM .⃗AN

Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2
Tính các tích vơ hớng ⃗AB .⃗CD;⃗BD .⃗BC;⃗AC .BD

Bài 8. Cho ba véc tơ a ;b ; c thoả mÃn điều kiện |⃗a|=3;

|

b⃗

|

=2;|⃗c|=1 vµ ⃗a+ ⃗b+3⃗c=⃗0 . TÝnh:
A=⃗a⃗b+ ⃗bc⃗+ ⃗c⃗a

Chứng minh đẳng thức về tích vơ hớng hay về độ dài

Bµi 9. Cho hai điểm A và B, O là trung điểm cđa AB vµ M là một điểm tuỳ ý. Chøng minh r»ng:

⃗MA .⃗MB=OM2

−OA2

Bài 10. Cho MM1 là đờng kính của đờng trịn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và OA=d. Giả sử AM
cắt (O) tại N.

a. Chøng minh r»ng tÝch v« híng ⃗AM .⃗AM

1 có giá trị không phụ thuộc M.
b. CMR: AM . AN có giá trị không phụ thuộc M.

Bài 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E. 
Chứng minh rằng: AE . AC+BE. BD=AB2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a. ⃗MH .⃗MA=1
4. BC

b. MH2+MA2=AH2+1
2BC

Bµi 13. Cho bèn ®iÓm tuú ý M, A, B, C. Chøng minh r»ng: ⃗AM .⃗BC+⃗MB.⃗CA+⃗MC.⃗AB=0
Chøng minh tÝnh vu«ng gãc - thiÕt lËp ®iỊu kiƯn vu«ng gãc

Bài 14. Chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.

Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngồi các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD, ACE.
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: AMDE

Bµi 16. Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: ABCD ⇔AC2+BD2=AD2
+BC2

Bài 17. Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao
cho:

a. BDCI b. ACDI c.BMCN víi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
Bài 18. Cho tø gi¸c ABCD biÕt ⃗AB .⃗AD+⃗BA .⃗BC+⃗CB.⃗CD+⃗DC.⃗DA=0 . Tứ giác ABCD là hình gì?
Vì sao?

im tho món ng thức về tích vơ hớng hay độ dài

Bài 19. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
⃗MA .⃗MB+⃗MB .⃗MC+⃗MC.⃗MA=a

2
4

Bµi 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

(

⃗MA+⃗MB

)

.

(

⃗MA+⃗MC

)

=0 b. 2 MB2+MB.MC=a2 với BC=a.
Bài 21. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a. AM .AB=AC .AB b. MA2-MB2+CA2-CB2=0

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.

Bài 4. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)

Bài 5. Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và
B sao cho:

a. DiÖn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c. 1
OA2+

OB2 nhá nhÊt.
Bµi 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.

Bài 8. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)

Bài 9. Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)

Bài 10. Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và

B sao cho:

a. DiƯn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c. 1
OA2+

OB2 nhỏ nhất.
Bài 12. Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và
B sao cho:

a. DiƯn tÝch OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c. 1
OA2+

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17></div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

34. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD→ = 2 AB→ , AE→ = 2
5
AC→

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.

35.Cho ABC. Gi D là điểm xác định bởi AD→ = 52 AC→ và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính AM→ theo AB→ và AC .

b/ AM cắt BC tại I. Tính IB
IC và

AM
AI

36. Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).

a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích  OAB

c/ Tìm tọa độ trong tõm OAB.

d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số
nào ?

e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.

Ch¬ng I

VEC TƠ

A. Khái niệm véc tơ

1. Cho ABC. Cú th xác định đợc bao nhiêu vectơ khác ⃗0
2. Cho t giỏc ABCD

a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung ®iĨm AB, BC, CD, DA.

CMR : MQ→ = NP→

3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN→

b/ Xác định các vect bng NP

2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD

CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

3. Cho hỡnh thang ABCD cú hai ỏy l AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI→ = DA→ . CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI→ = CB→

b/ AI→ = IB→ = DC→

4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm cña BC, CA, AD. Dùng MK→ = CP→ vµ KL→ =
BN→

a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL→ = ⃗0

B. PhÐp to¸n véc tơ

1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC→ + BD→ = AD→ + BC→

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

CMR : AB→ + CD→ + EA→ = CB→ + ED→

6. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F.

CMR : AD→ + BE→ + CF→ = AE→ + BF→ + CD→

7. Cho 8 ®iĨm A, B, C, D, E, F, G, H.

CMR : AC→ + BF→ + GD→ + HE→ = AD→ + BE→ + GC→ + HF

8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB→

b/ OD→ + OC→ = BC→

c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0

d/ MA→ + MC→ = MB→ + MD (với M là 1 điểm tùy ý)

9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung ®iÓm AB.
CMR : OD→ + OC→ = AD→ + BC→

10. Cho ABC. Tõ A, B, C dùng 3 vect¬ tïy ý AA→' , BB→' , CC→'
CMR : AA→' + BB→' + CC→' = BA→' + CB→' + AC' .

11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB +AD theo a

12. Cho hình chữ nhật ABCD, biÕt AB = 3a; AD = 4a.
a/ TÝnh  AB→ +AD→ 

b/ Dùng ⃗u = AB→ +AC→ . Tính u

13. Cho ABC vuông tại A, biÕt AB = 6a, AC = 8a
a/ Dùng ⃗v = AB→ +AC→ .

b/ TÝnh  ⃗v .

14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA OB OC OD, , ,
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD  

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = ⃗0

b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→

15. Cho ABC cã träng t©m G. Gäi MBC sao cho BM→ = 2 MC→
a/ CMR : AB→ + 2 AC→ = 3 AM→

b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3 MG

16. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung ®iĨm cđa EF.
a/ CMR : AD→ + BC→ = 2 EF→

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4 MO→ (víi M tïy ý)

d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA−→ + MB−→ + MC−→ + MD− → nhỏ nhất

17. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF + BG→ + CH→ + DE→ = ⃗0

b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→
c/ CMR : AB→ +AC→ + AD→ = 4 AG→ (víi G là trung điểm FH)

18. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.

CMR : AD→ + BE→ + CF→ = 3 GH

19. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0

b/ EA→ + EB→ + 2 EC→ = 3 AB→
c/ EB→ + 2 EA→ + 4 ED→ = EC→

3. Cho 4 ®iĨm A, B, C, D. CMR : AB→  CD→ = AC→ + DB→

20. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F. CMR :

a/* CD→ + FA→  BA→  ED→ + BC→  FE→ = ⃗0
b/ AD→  MB→  EB→ = MA→  EA→  FB→

c/ MA→  DC→  FE→ = CF→  MB→ + MC→

21. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA→  MB→ + MC→ = ⃗0

b/ MB→  MC→ + BC→ = ⃗0
c/ MB→  MC→ + MA→ = ⃗0
d/ MA→  MB→  MC→ = ⃗0

e/ MC→ + MA→  MB→ + BC = 0

22. Cho hình chữ nhật ABCD cã AB = 3a, AD = 4a.
a/ TÝnh  AD→  AB→ 

b/ Dựng ⃗u = CA→  AB→ . Tính  ⃗u 
23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a/ TÝnh  AB→ −AC→ 
b/ TÝnh  BA→  BI→ 

24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.
TÝnh  AB→ −AC→ 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = ⃗0

b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→
5. Cho ABC cã träng t©m G. Gäi M  BC sao cho BM→ = 2 MC→

a/ CMR : AB→ + 2 AC→ = 3 AM→

b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = 3 MG→

25. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC→ = 2 EF→

b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0

c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4 MO→ (víi M tïy ý)

26. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = ⃗0

b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→
c/ CMR : AB→ + AC→ + AD→ = 4 AG→ (víi G là trung điểm FH)

27. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.

CMR : AD→ + BE→ + CF = 3 GH

28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0

29. Cho tam gi¸c ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dµi sao

cho 5JB = 2JC.

a) TÝnh AI AJ theo AB AC, ,

   

  

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG

theo AI

và AJ

6. Cho ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN→ =
1

2 NC

→

. Gäi K lµ trung ®iĨm cđa MN.
a/ CMR : AK→ = 1

4 AB

→

+ 1

6 AC

→

b/ CMR : KD→ = 1

4 AB

→

+ 1

3 AC

→

30. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D vµ E sao cho AD→ = 2 DB→ , CE→ = 3 EA→ .
Gäi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :

a/ AM→ = 1

3 AB

→

+ 1

8 AC

→

b/ MI→ = 1

6 AB

→

+ 3

8 AC

→

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

32. Cho ABC, lÊy M, N, P sao cho MB→ = 3 MC→ ; NA→ +3 NC→ = ⃗0 vµ PA→ + PB→ =
⃗

a/ TÝnh PM→ , PN→ theo AB→ vµ AC→
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

33. Cho tam giỏc ABC.Gi A là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm
đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

34. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui

b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giỏc ABC

35. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các ®iĨm M tho¶ m·n tng ®tỊu kiƯn sau :
a/ MA MB

⃗ ⃗
.

b/ MA MB MC O  
⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c/ |      C

   

C 

      


⃗ ⃗ ⃗ ⃗

|

     C

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

C. Trục

–

Toạ độ trên trục:

7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của AB→ .

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA→ + 5 MB→ = ⃗0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1

36. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA→ + MB→  MC→ = ⃗0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA→  3 NB→ = NC→

37. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB

38. Trªn trơc x'Ox cho 4 ®iĨm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : 1

AC +
1
AD =

2
AB

b/ Gäi I là trung điểm AB. CMR : IC .ID=IA2
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AC . AD=AB. AJ

D. Toạ độ trên mặt phẳng:

8. Viết tọa độ của các vectơ sau : ⃗a = ⃗i  3 ⃗j , ⃗b = 12 ⃗i + ⃗j ; ⃗c =  ⃗i + 32 ⃗j
; ⃗d = 3 ⃗i ; ⃗e = 4 ⃗j .

39. ViÕt díi d¹ng ⃗u = x ⃗i + y ⃗j , biÕt r»ng :
⃗

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

40. Trong mp Oxy cho ⃗a = (1; 3) , ⃗b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ ⃗u = 3 ⃗a  2 ⃗b

b/ ⃗v = 2 ⃗a + ⃗b
c/ ⃗w = 4 ⃗a  1

2 ⃗b

41. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB→ , AC→ , BC→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM→ = 2 AB→  3 AC→

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN→ + 2 BN→  4 CN→ = ⃗0

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

43. Trong mp Oxy cho ABC cã A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vu«ng. TÝnh diƯn tÝch ABC.

b/ Gäi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.

c/ Tỡm ta độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

44. Trong mp Oxy cho ABC cã A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.

b/ Tỡm ta trng tõm G ca ABC.

c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng trịn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng trịn đó.

45. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H·y t×m trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông t¹i
M.

46. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ HÃy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.

c/ Tỡm ta độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

47. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hµng.

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vng cân.

d/ TÝnh diƯn tÝch ABC.

9. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2 IA→ + IB→ + IC→ = ⃗0

b/ Víi 1 ®iĨm O bÊt kú. CMR : 2 OA→ + OB→ + OC→ = 4 OI→

48. Cho h×nh bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2 AI→ = 2 AO→ + AB→

b/ CMR : 3 DG→ = DA→ + DB→ + DC→

49. Cho ABC. LÊy trªn cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN→ . TÝnh AN→ theo AB và
AC

50. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung ®iĨm cđa BC, CD.
a/ CMR : AI→ = 1

2 ( AD
→

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

b/ CMR : OA→ + OI→ + OJ→ = 0

c/ Tìm điểm M thỏa : MA→  MB→ + MC→ = 0

51. Cho ABC và 1 điểm M tùy ý.

a/ Hóy xác định các điểm D, E, F sao cho MD→ = MC→ + AB→ , ME→ = MA→ + BC→ và
MF→ = MB→ + CA→ . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.

b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MD→ + ME→ + MF→

52. Cho ABC. T×m tËp hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA = MB→

b/ MA→ + MB→ + MC→ = ⃗0

53. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD→ = 2 AB→ , AE→ = 2
5
AC→

a/ TÝnh AG→ , DE→ , DG→ theo AB→ vµ AC→
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.

54. Cho ABC. Gi D l im xác định bởi AD→ = 2

5 AC

→

và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính AM theo AB→ vµ AC→ .

b/ AM cắt BC tại I. Tính IB
IC và

AM
AI

55. Trªn mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).

a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích  OAB

c/ Tìm tọa độ trong tâm  OAB.

d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số
nào ?

e/ Phõn giỏc trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.

Câu 3: Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn BM = BC



– 2AB
⃗

và N thỏa CN = xAC
⃗

– BC
⃗

a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số

65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi:

= 2 ; 5 = 2

a)Tính và theo và

b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng

c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x
Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng

34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C.

a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho
= t+ (1 – t) thì  điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)

b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t)  A, B, C thẳng hàng

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a)Chứng minh rằng: 3= 5 –
b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2

c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng
68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x – 
a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng

b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số
Bµi 1. Cho A(0;4); B(3;2).

a. Chøng minh A , B , C biÕt C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi
ABD.

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; 3
2 )

a. CM: ABC vuông b. Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC.
c. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

|

2⃗MA+2⃗MB−3⃗MC

|

=

|

⃗MA−⃗MC

|

Bài 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ ca:

a. Trọng tâm G của tam giác b. VÐc t¬ trung tuyÕn øng víi c¹nh BC

c. Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. d. Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e. Điểm M biết: ⃗CM=2⃗AB−3⃗AC f. Điểm N biết: ⃗AN+2⃗BN−4⃗CN=⃗0
Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ của:

a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp c. Điểm M biết 2⃗AM−3⃗CM=⃗AB

</div>

vec to

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

(

)

<sub>|</sub>

|

|

|

|

<sub>|</sub>

|

|

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>(</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

Ch¬ng I

VEC TƠ

<b>A. Khái niệm véc tơ</b>

<b>B. PhÐp to¸n véc tơ</b>

|

<b>C. Trục </b>

–

<b> Toạ độ trên trục:</b>

<b>D. Toạ độ trên mặt phẳng:</b>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về