DapanTuonggiaodothihamso

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (583.83 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 6: Tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa đảm bảo – Thầy Phương

HDG CÁC BTVN PH

Ầ

N T

ƯƠ

NG GIAO C

Ủ

A

ðỒ

TH

Ị

HÀM S

Ố

Câu 1: Cho hàm số (C): 3 2
3

y=x − mx −mx và ñường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d:

1.1. Tại ñúng 2 ñiểm phân biệt.

1.2. Tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
 1.3. Tại 3 ñiểm phân biệt lập thành cấp số nhân

Lời giải: 
 1.1. Xét phương trình hồnh độ giao ñiểm:

( )

3 2

2
2

3 2

x x

x mx mx x f x m

x x

− −

− − = + ⇔ = =

Ta có:

( )

(

)

4 3 2

2
2

3 2 3 12 2

' 0 3 2 3 12 2 0 ...

x x x x

f x x x x x

x x

+ + + +

= = ⇔ + + + + = ⇔

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x), từđó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán
 1.2. Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

x3−3mx2−mx=x+2⇔g x

( )

=x3−3mx2−

(

m+1

)

x−2=0

Hàm số (C) cắt ñường thẳng d tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

⇔g'

( )

x =0 có 2 nghiệm phân biệt và ñiểm uốn của ñồ thị hàm số y=g x

( )

nằm trên trục
hoành Ox.

- Phương trình

( )

(

)

' 3 6 1 0

g x = x − mx− m+ = có ∆ =' 9m2+3m+ >3 0 nên ln có 2 nghiệm phân biệt 
với mọi m

- Hàm y=g x

( )

có ñiểm uốn là U m

(

; 2− m3−m2−m−2

)

∈Ox khi và chỉ khi:

3 2

(

)

(

)

2m m m 2 0 m 1 2m m 2 0 m 1

− − − − = ⇔ + − + = ⇔ = −

Vậy m= −1

1.3. ðk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x x x1; 2; 3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi
đó ta có: g x

( ) (

= x−x1

)(

x−x2

)(

x−x3

)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 6: Tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa ñảm bảo – Thầy Phương

Suy ra:

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

1
2

x x x m

x x x x x x m

x x x

+ + =




+ + = − −




=


Vì 2 3 3

1 3 2 2 2 2 2

x x =x ⇒x = ⇒x = nên ta có: 3

5
1 4 2.3

3 2 1

m m m

− − = + ⇔ = −
+

ðk ñủ: Với

5
3 2 1

m= −

+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.

Vậy

5
3 2 1

m= −
+

Câu 2: Cho hàm số y=x4−2

(

m+1

)

x2+2m+1

2.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
 2.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hơn 3.

Lời giải:

Xét phương trình hồnh ñộ giao ñiểm: x4−2

(

m+1

)

x2+2m+ =1 0; (1)
ðặt t= x t2, ≥0 thì (1) thành: 2

(

)

( ) 2 1 2 1 0

f t =t − m+ t+ m+ = .

2.1. ðiều kiện ñể hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

(

)

' 0 1

2 1 0 2

0
2 1 0

m

S m

m

P m

∆ = > 
> −

 

⇔ = + > ⇔

  ≠

= + >


(*)

Với (*), gọi t1<t2 là 2 nghiệm của f(t), khi đó hồnh độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là:

1 2; 2 1; 3 1; 4 2
x = − t x = − t x = t x = t

Các giao ñiểm lập thành cấp số cộng ⇔ x2−x1=x3−x2=x4−x3 ⇔t2 =9t1

(

)

(

)

1 9 1

5 4 4

5 4 1 4

5 4 4

m m m m

m

m m

m m m

⇔ + + = + −

=

= +

 

⇔ = + ⇔ ⇔

− = + = −




Vậy 4; 4

9
m= − 

 

2.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hơn 3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 6: Tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa ñảm bảo – Thầy Phương 
⇔ f t

( )

có 2 nghiệm phân biệt t t1; 2 sao cho: 1 2

1 2

0 3

t t

= < <




< < ≤


(

)

( )

(

)

2 ' 0

' 0

3 4 4 0 1

(0) 2 1 0 1

2 1 0

2 1 3

2 1 0

∆ = >
∆ = > 

= − ≤

 

⇔ = + =  ⇔ = − ∨ ≥
= + >

 

= + <

 

= + >


m
m

f m

f m m m

S m

P m

đáp số 1 1

m= − ∨m≥ .

Câu 3: Cho hàm số 1
2 1

x
y

x
− +
=

+ (C)

Tìm m để (C) cắt đường thẳng

(

dm

)

:y=mx+2m−1 tại 2 ñiểm phân biệt A, B:

a. Thuộc 2 nhánh của ñồ thị (C)

b. Tiếp tuyến tại A, B vng góc với nhau
c. Thỏa mãn ñiều kiện 4OA OB. =5

Giải:

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

( )

(

)

1

2

1

5

1

2

0

2

1 x

mx

m

f x

mx

m

x

m

x

− +

=

+

− ⇔

=

+

−

+

−

=

+

với

1

2 x

≠ −

( )

C

cắt

(

d

m

)

tại 2 ñiểm phân biệt A, B⇔ f x

( )

=0 có 2 nghiệm phân biệt khác
1

−

0

17

2

9

0

6

1

3

0

2

4

2 m

f

m





≠





≠



⇔ ∆ =



−

+

>

⇔



≠ −













−



= −

−

≠

 





(*)

a. Hai ñiểm A, B thuộc 2 nhánh của ñồ thị

⇔

f x

( )

=

0

có 2 nghiệm phân biệt

x x

1

;

2 mà 1 2

1

2 x

< −

<

x

1

3

0

6

2

4

2 m

mf

m

>











⇔



−



=



−



<

⇔



< −











b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 6: Tương giao của đồ thị hàm số - Khóa ñảm bảo – Thầy Phương

( )

(

)

(

)

(

)

3 '

;

'

2

1

2

1

A A B B

A B

k

y x

k

y x

x

−

=

+

(

) (

)

3 .

0

2

1

2

1

A B

k k

x

⇒

=

>

+

nên hai tiếp tuyên tại A, B khơng thể vng góc với nhau. Vậy khơng tồn tại m thảo mãn bài toán.
c. Gọi x x1; 2 là 2 nghiệm của f(x). Giả sử

A x mx

(

1

;

1

+

2 m

−

1 ;

)

B x mx

(

2

;

2

+

2 m

−

1 )

Theo viet ta có:

1 2

5

1

2 m

x

m

x x

m

−



+

= −





−



=



Có: 4 . 5 . 5 0
4
OA OB= ⇔OA OB− =

(

)(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

1 2 1 2

2
2

1 2 1 2

2
2

2
3 2

2 1 2 1 0

1 2 1 2 1 0

4
5

1 2 2 2 1 5 1 2 1 0

3 3 1 3

4 2 0 2 1 0

4 4 2 4

⇔ + + − + − − =

⇔ + + − + + − − =

⇔ + − − − − + − − =

−
 

⇔ − − + = ⇔ −  + = ⇔ = ∨ =
 

x x mx m mx m

m x x m m x x m

m m m m m m m

đáp số:

1 ;

3 2 4

m

=





−









Câu 4: Cho hàm số

(

)

3

2

1 x

y

x

−

+

−

=

−

(1)

a. Tìm m ñểñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m đểđường thẳng d:

y

=

m x

(

−

2 )

+

3

và đường cong (1) cắt nhau tại

A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung ñiểm của AB.
 Giải:

a) Xét phương trình hồnh độ giao ñiểm:

(

)

( )

(

)

3

2

3 3 2

0

2

1 x

m

f x

x

m

x

m

x

−

+

−

=

⇔

=

+

−

+ −

=

−

; với

x

≠

1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 6: Tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa ñảm bảo – Thầy Phương

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y = m tại 2 ñiểm phân biệt⇔ f x

( )

=0 có 2

nghiệm phân biệt khác 1

(

)

(

)

( )

3

2

3 4 3 2

0 2

1

0

2 m

f

m



>



∆ =

−

>





⇔



⇔



≠





< −



(*)

Với ñiều kiện (*), gọi

x x

;

2 là nghiệm củaf x

( )

=0. Theo viet có:

1 2

3 2
3 2

x x m

x x m

+ = −




= −



Tọa ñộ A, B là:

A x m B x m

(

1

;

)

;

(

2

;

)

. Ta có:

AB

=

2 ⇔

(

x

1

−

x

2

)

=

2 ⇔

(

x

1

+

x

2

)

−

4 x x

1 2

=

2 (

3 2

)

4 3 2

(

)

2

4

5

0

1

6

2 m

±

⇔

−

=

⇔

−

− =

⇔

=

đáp số: 1 6

2
m= ±

a. Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

3

2

3

2

1 3 1 2

4

3

0

2

1 x

m x

f x

m

x

m x

m

x

−

+

−

=

−

+ ⇔

=

+

−

+

− =

−

; với x≠1

ðể hàm số (1) cắt ñường thẳng y=m x

(

−2

)

+3 tại 2 ñiểm phân biệt⇔ f x

( )

=0 có 2
nghiệm phân biệt khác 1

(

)

(

)(

)

( )

7 2 7

2

1

0 7 2 7

9 1 2

4 2

1 4

3

0

2

1

0

1

2 m

m

f

m



+

>



+ ≠









−

⇔ ∆ =



−

+

−

>

⇔



<





≠





≠ −





Với ñiều kiện trên, gọi

x x

1

;

2 là nghiệm của

f x

( )

=

0

1 2

(

)

3 1 2

2

1 m

x

m

−

⇒

+

= −

+

Gọi 2 giao ñiểm là

A x m x

(

1

;

(

1

−

2 )

+

3 ;

)

B x m x

(

2

;

(

2

−

2 )

+

3 )

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 6: Tương giao của ñồ thị hàm số - Khóa đảm bảo – Thầy Phương

ðiểm M

(

2;3

)

∈d là trung ñiểm của AB 1 2

4 3 1 2

(

)

4

7

2

1

2 m

x

m

−

⇔

+

=

⇔ −

=

⇔

= −

+

Vậy

7

2 m

= −

Câu 5: Cho hàm số y

(

m 1

)

x m
x m
− +
=

−

(

Cm

)

Dựa vào ñồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

a. 2 3 1 log2
3

x

m
x

+
− =

−

b. 2 3 2 1 0

3
x

m
x

− + =

−

Giải:

Số nghiệm của phương trình f x

( )

=g m

( )

là số giao ñiểm của ñường cong y= f x

( )

và
ñường thẳng y=g m

( )

song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa ñộ Oxy.

a) Vẽñồ thị hàm số

( )

: 2 3
3
x

C y

x

+
=

− như sau:

- Giữ nguyên phần ñồ thị nằm trên trục hồnh Ox của

(

C3

)

- kí hiệu là

( )

Ct
- Lấy ñối xứng phần đồ thị dưới trục hồnh Ox qua Ox – kí hiệu

( )

t

C

⇒

( )

C

=

( )

C

t'

∪

( )

C

t (Các bạn tự vẽ hình)

Kết luận:

1

2 m

≤

phương trình vơ nghiệm

1 ; 2

2 m

=













phương trình có nghiệm duy nhất

1 ; 2

(

2;

)

2 m

∈









∪

+∞





phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Vẽñồ thị hàm số

( )

' :

2

3 x

C

y

x

+

=

−

như sau:

- Giữ nguyên nhánh phải của

(

C3

)

- kí hiệu là

( )

C

p

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 6: Tương giao của đồ thị hàm số - Khóa đảm bảo – Thầy Phương 
- Lấy

( )

p

C ñối xứng nhánh trái của

(

C3

)

qua trục hoành Ox

⇒

( )

C

=

( ) ( )

C

p'

∪

C

p (Các bạn tự vẽ hình)

Kết luận: 1. 1
2

m≤ − phương trình vơ nghiệm

2. 1 3
2 m 2

− < ≤ phương trình có nghiệm duy nhất

3. 3
2

m≥ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

……….Hết……….

Nguồn: hocmai.vn

</div>

DapanTuonggiaodothihamso

HDG CÁC BTVN PH

Ầ

<b>N T</b>

ƯƠ

<b>NG GIAO C</b>

Ủ

<b>A </b>

ðỒ

<b> TH</b>

Ị

<b> HÀM S</b>

Ố

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( ) (

)(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

2

1

5

1

2

2

0

2

1

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>m</i>

<i>f x</i>

<i>mx</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

− +

=