BAI GIAI TICH PHAN XAC DINH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.36 KB, 62 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I. TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Bài 1. Tính các tích phân sau :





2
2
1

. 2 1

a



x  x dx

2 3 1

. x

b x e dx

x


 

 

 

 



2
2
1

1
. x

c dx

x





2
2
1

x

d dx

x











1
2
2

4
. x

e dx

x








2 2

1 1
.

e

f x x dx

x x

 

  

 

 





 



. 1 1

g



x x x dx





2 3

h



x x x x dx





3 4

. 2 4

i



x x x dx

2 2

3
1

2
. x x

k dx

x





2 5 7
.

e

x x

l dx

x

 



3 2

. 4

m x dx

x

 



 

 



GIẢI





2 3 2

1 8 1 19

. 2 1 4 2 1 1

3 3 3 3

a x  x dx x x x         

     



2 7 4

2 3 1 3 3 1 7 4

1
1

3 1 1 8 1 1 7 3

. 3ln 3ln 2 3ln 2

3 3 3 3 3 3 3

x x e e

b x e dx x x e e e

x

  

       

            

       

       



2 2

1 1

1 1 1 1 1 1

. ln ln 2 1 ln 2

2 2

x

c dx dx x

x x x x

    

           

   











2 2

2
2

2 2 1

1 1

1 1 1 1 1

. ln 2 ln 6 ln 3 ln 2

2 2 2 2 2 2 2

d x
x

d dx x

x x 

 



     

 







2 1

1 1 8 4 1

6 2 7 3

2 2 2

4 8 16 16 1

. 8 4 16ln

x x x

e dx dx x x dx x x x

x x x



  



  

      

          

   



2 2 3 2

1
1

1 1 1 1 1 2

. ln

3 3 3

e
e

e

f x x dx x x x e

x x x e

   

          

   

   





 







2 2 5

3 2

1 1 1

2 8 2 3

. 1 1 1

5 5

g x x x dx x  dx x x  

 







2 2 3 1 5 4 3

2 3 2 2 3 3 2 3

1 1 1

1 2 3 71 8 2 9 3
.

3 5 4 60 5 4

h x x x x dx x x x dx x  x  x    

   







4 4 1 1 1 3 4 5

3 4 2 3 4 2 3 4

1 1 1

2 3 16

. 2 4 2 4 2.

3 4 5

i x x x dx x  x  x dx x  x  x  

   



2 2 2

3 2

1 11

2 1 2 2

. x x ln ln 2 3

k dx dx x

x x x x

    

        

   







1 1

2 5 7 2 5

. 7 4 5ln 7 4 7 8

e e e

x x

l dx dx x x x e e

x x x

   

          

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

8 8 2 1
2

3 3

3 2

1 1

1 1 1

. 4 4 2 125

3 3

m x dx x x dx x x

x



     

     

     

   

 



Bài 2. Tính các tích phân sau

. 1

a



x dx

2 2

dx

b

x  x







2 3

c



x x x x dx

2
0

.
1

xdx
d

x





2 2

3 3

. x

e dx

x



4
2
0

. 9

f



x x  dx

GIẢI

















2 2 1 3

2 2

1 1

2 2

. 1 1 1 1 3 3 2 2

3 3

a



x dx



x d x  x  

















5 5 3 3

2 2

1 1 2 1

. 2 2 2 2 7 7 3 3 8

4 4 3 6

2 2

dx

b x x dx x x

x x

 

            

    







2 2 3 1 5 4

2 3 2 2 3 3 2 3 3

1 1 1

1 2 3 7 7 8 2 3

. 2

3 5 4 3 20 5 2

c x x x x dx x x x dx x  x  x     

   





 



1 1 1

2 2

2 0

0 0

. 1 1 1

xdx

d d x x

x      







 



2 2 2 22 3

3 3 3 3 3 3

3 3 0

0 0

1 9 1

. 1 1 1

2 2

x

e dx x d x x

x



     











 



4 4 34

2 2 2 2

0 0

1 2

. 9 9 9 9

3 3

f



x x  dx



x  d x   x  

Bài 3. Tính các tích phân sau

. sin 2
6

a x dx



 



 

 







. 2sin 3cos

b x x x dx



 







. sin 3 os2x

c x c dx







4
2
0

t anx
.

cos

d dx

x




3
2

. 3tan

e xdx









4
2

. 2 cot 5

f x dx







1 sinx

dx
g







1 osx
.

1+cosx

c

h dx







2 2

. sin cos

i x xdx









. t anx-cotx

k dx








sin
4
.

sin
4

x

l dx

x






 



 

 

 



 

 



4
0

. os

m c xdx





GIẢI





0
0

1 1

. sin 2 os 2 3 3 0

6 2 6 2

a x dx c x




 

   

     

   

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>





2 2

2
3
3

1 3 3
. 2sin 3cos 2cos 3sin 6

2 2 18

b x x x dx x x x

 






 

         

 







6 6

0
0

1 1 2 3

. sin 3 os2x os3x+ sin 2

3 2 4

c x c dx c x

 



 

    

 















4 4 1 3

2 2 4

2 0

0 0

t anx 2 2

. t anx t anx t anx

cos 3 3

d dx d

x

 



  







3 3

2 3

4 4

. 3tan 3 1 3 t anx-x 3 3 3

os 4

e xdx dx

c x

 




 



 

       

 











4 4 4

2 4

2 2

6 6 6

1 2

. 2cot 5 2 1 5 3 3 cot 3 1

sin sin 4

f x dx dx dx x x

x x

  




  



      

               

   

 



2 2

0 0

1 2

. = . tan 1

x
1 sinx x 2 1 t an

1 t an 2

dx x

g d



   

 

 

   

 

       



   

 



2 2 2 2

2 2 0

0 0 0

2sin

1 osx 2 1 4

. 1 2 tan

1+cosx 2cos os 2 2

2 2

x

c x

h dx dx dx x

x x

c

   



 

 

   

        

 

 

 



2 2 2 2

2 2 2

0 0 0

1 1 1 os4x 1 1 1 1

. sin cos sin 2 sin 4

4 4 2 8 4 8 2 4

c

i x xdx xdx dx x x

   




     

           

     











3 3 3

3
6

6 6 6

sin 2
2 os2x

. t anx-cotx ln sin 2 0
sin 2 sin 2

d x

c

k dx dx x

x x

  




   

  



    







2 2 2

2
2

2 2 2

sin

osx+sinx
osx-sinx

. ln osx+sinx ln 2

osx+sinx osx+sinx
sin

x

d c
c

l dx dx c

c c

x

  




  



 

  

 



 

 

     

 

    

 

 











3 4 4

0 0

1 1 1 1 3 1 1

. os 3 4cos 2 os4x 3 2sin 2 sin 4 2 3 7

8 8 4 8 4 4 32

m c xdx x c dx x x x

  



   

             

   



Bài 4. Tính các tích phân sau :





1 1 1 2

0 0

. ln ln

x x

x x x x

d e e

e e e

a dx e e

e e e e e






 



 

   

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









2 2 2

1 1 1 1

ln
1

. ln ln ln 2 ln 2

ln ln ln

x

d x x

x x

b dx dx x x

x x x x x x x






     

  





 











1 2 1 1 1

0 0 0

2 2
4

. 2 2 3

2 2

x x

x

x x

e e

e

c dx dx e dx e x e

e e

 



      

 







ln 2 ln 2

ln 2
0

0 0

. ln 1 ln 3 ln 2

1 1

x
x

x

x x

d e
e

d dx e

e e



    

 







2 2

2 2

1 1

. 1 ln ln 2

x

x e x x

e e dx e dx e x e e

x x



   

       

   

 



1 1

0 0 0

. 1

2 2 2 2

x x

x
x

e e e e

f dx   dx    

    











2 2

osx osx osx 2

0 0

. c sinxdx=- c osx c 1

g e e d c e e

 



  



 





4 4 4

2
1

1 1

. 2 2 2

x

x x

e

h dx d e e e e

x    



















1 1

1 ln 2 2

. 1 ln ln 1 1 ln 2 2 1

3 3

e e

e

x

i dx x d x x

x



      











1 1

ln 1 1

. ln ln ln

2 2

e e

e

x

k dx xd x x

x   



 





2 2

1 1

0
0

1 1

. 1

2 2

x x

l



xe dx e  e









1 1 1

1
0

0 0 0

1 2

. 1 ln 1 1 ln 1 ln 2 1 ln

1 1 1 1

x x x

x

x x x

e e e

m dx dx dx x e e

e e e e

   

             

     



II. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1. Dạng 1

.( Đặt ẩn phụ )

Bài 1. Tính các tích phân sau









1 1

19 19 20 21

0 0

1 1 1 1 1

. 1 1

20 21 20 21 420

a x  x dx x  x dx x  x    

 







1 3

3
2
0

.
1

x

b dx

x





. Đặt :









1 2 2

3 3 2

0 1

1 1 1 1 7

1 2

2 2 2 16

t
x xdx

t x dt xdx dt

t t t

x

  

          

 





1 5 1 4

2 2

0 0

1 1

x x xdx

c dx

x  x

 



. Đặt :





2 2

1 1

1 2 ; 1.

1 1 1 1 1 2ln 2 1

2 2 ln

2 2 2 2 4

x t dt xdx x t

t dt

t dt t t t

t t

     

     

           

   

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 1

xdx
d

x



. Đặt :

1 1

2 1 . 1 1; 1 3

2 1

t

t x dt dx x x t x t

x



           



Do đó :





1 3

3
1

0 1

1 1 1 1
.

2 2 3 3

2 1

t
xdx

d dt t t

x

  

     

  



2
0

. 1

e



x  x dx

. Đặt :

t 1 x2  x2  1 t2  xdxtdt x;  0 t1;x 1 t0

Do đó :

1 0 1

2 2 2 3

0 1 0

1 1
. 1

3 3

e x  x dx t dt t dt t  

 



3 2

. 1

f



x  x dx

. Đặt :

t 1 x2  x2  1 t2  xdxtdt x;  0 t1;x 1 t0

Vậy :









1 1 0 1

3 2 2 2 2 3 2 4

0 0 1 0

1 1 1

2 4 4

x  x dx x  x xdx  t tdt t t dt  t  t  

 



2 3 2 3

2 2 2

5 5

4 4

dx xdx

g

x x   x x 



. Đặt :

2 4 2 2 4; ; 5 3; 2 3 4

t  x   x  t  xdx tdt x   t x  t

Vậy :





2 3 4 4

2 2

3 3

1 1 1 1 1 1 3 2 1 9
ln ln ln ln
2 1 1 2 1 2 5 3 2 10
1

xdx tdt t

dt

t t t

t t

x x



   

         

  

    





3 5 3

2
0

2
.

x x

h dx

x






. Đặt :

t 1x2  x2  t2 1; xdx tdt x .  0 t1;x 3 t2

Vậy :







 



2 2 2 2

3 5 3 3 2 2

3 4

2 2

0 0 1 1 1

2 1 1

2 1 1 15

ln ln 2

4 4

1 1

x x xdx t t

x x

dx dt t dt t t

t t

x x

  

    

          

   

 







ln 2 ln 2

ln 2
0

0 0

. ln 1 ln 3 ln 2

1 1

x
x

x

x x

d e

e

i dx e

e e



    

 



















ln 3

ln 3 ln 3 1 1

2 2

0 0 0

. 1 1 2 1 4 2 2

1
x

x x x

x

e dx

k e d e e

e

  

      

 





2 ln
.

2
e

x

l dx

x





. Đặt :

2 ln 2 ln ; 2 dx; 1 2, 3

t x t x tdt x t x e t

x

            

Vậy :

3
3

3
2

1 2

2 ln 1 3 3 2 2
.

2 3 3

e

x

dx t tdt t

x

   

   

 



1 3ln

. ln

e

x

m xdx

x





. Đặt :

2 3

1 3ln 1 3ln ; 2 dx; 1 1; 2

t x t x tdt x t x e t

x

           

Vậy :





2 2 2

4 2 5 3

1 1 1 1

1 3ln 1 2 2 2 1 1 116

ln ln . 1 3ln .

3 3 9 9 5 3 135

e e

x dx t

xdx x x t tdt t t dt t t

x x

   

         

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 2

sin 2
.

os 4sin

x

n dx

c x x







. Đặt :

2 2 2 2 2

os 4sin os 4sin ; 2 3sin 2 ; 0

0; 2

t c x x t c x x tdt xdx x

x x  t

       

    

Vậy :

2 2

0 0 1

sin 2 2 1 2 2 4
.

3 3 3 3

os 4sin

x

dx tdt dt t

t

c x x



 

    

 





3
2

2
0

osxsin

1 sin

c x

o dx

x






. Đặt :

2 2

1 sin sin 2 ;sin 1; 0 1; 2
2

t  x dt xdx x t  x  t x  t

Vậy :









2 2

3 2

2 2

0 0 1 1 1

osxsin 1 sin .sin 2 1 1 1 1 1 ln 2

1 ln

1 sin 2 1 sin 2 2 2 2

t dt

c x x xdx

dx dt t t

x x t t

 

   

        

   



2 2

sin 2
.

2sin os

xdx
p

x c x







. Đặt :

2 2 5

2sin os sin 2 ; 0 1;

6 4

t x c x dt xdx x  t  x  t

Vậy :

6 4 5

2 2 1

0 1

sin 2 5

ln ln

2sin os 4

xdx dt

t

x c x t



  





2.Dạng 2.

Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp dổi biến số dạng 2

1
2

2
0

.
1

dx
a

x





. Đặt :

2 2

sin ostdt;x=0 t=0;x= ; 1 1 sin ost
2 6

x t dx c   t  x   t c

.( Do

 

6 6

6
0
2

0 0 0

ostdt
0;

6 1 cost 6

dx c

t dt t

x

 



 

 

      

 







.

1 3

2
0

.
4

x

b dx

x





Đặt :

2sin 2cos ; 0 0; 1 ; 4 2cos
6

x t dx tdt x  t x  t  x  t













1 3 6 6 6 6

2 2 3

0 0 0 0

2sin .2cos 1 2

8 sin sin 8 1 os ost 8 os cos 3 3

2cos 3 3

t tdt

x

dx t tdt c t d c c t t

t
x

   

 

           

 





2 2

. 4

c



x  x dx

.



Đặt :

2sin 2cos ; 1 ; 2 ; 4 2cos

6 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



Vậy :





2 2 2 2 2

2 2 2 2

6 6 6

1 2 3

4 4sin .2cos .2cos 4sin 2 2 1 os4t 2 sin 4

2 3 2

x x dx t t tdt tdt c dt t t

   



  



 

         

 



3
2
0

dx
d

x 





Đặt :





2 2

3 tan 3 ; 0 0; 3 ; 3 3 1 tan

os 3

x t dx dt x t x t x t

c t



           







3 3 3 3

2 2 2

0 0 0 0

3 3 3 3

3 os 3 1 tan 3 3 9

dx dt

dt t

x c t t

  



 

    

 

   





 



 

1 1

2 2

0 0

1 1

. 1

1 2
1 2

dx

e dx I J

x x

 

     

 

   





Tính :

1
2

0 1

dx
I

x






. Đặt :





 

2 2

4 4

4
0

2 2

0 0

tan ; 0 0, 1 ;1 1 tan

os 4

4
os 1 tan

x t dx dt x t x t x t

c t

dt

J dt dt t

c t t

 



           

    







Tính :

1
2

0 3

dx
J

x






. Đặt :

3 tan 3 os2 . 0 0; 3 3

dt

x t dx x t x t

c t



        



Vậy :





1 3 3 3

2 2 2

0 0 0 0

3 3 3 3

3 os 3 1 tan 3 3 9

dx dt

I dt t

x c t t

  



 

     

 

   





Do đó : I-J=

3
4 9

 



4 2

xdx

x x 



.



Đặt :

1 1

4 2 2

0 0

1 1

2 ; 0 0; 1 1

1 2 1 2

xdx dt

x t dt xdx x t x t I

x x t t

           

   





Tính :

2
2

1
1 3
2 2

I dt

t



 

   

 

   



. Đặt :

1 3 3

tan

2 2 2 os

t u dt du

c u

   







2
2

1 3 3

1 tan ; 0 ; 1

2 2 4 6 3

t   u t u  t u 

 

             

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>







3 3 3

2 2

6 6

3 2 3 2 3 3

3 3 3 9

2 os 1 tan
4

I du du u

c u u

  



 



 

    

 





0
2
1

2 2

dx
g

x x





 

.



Ta có :





2
2

2 2 1 1 1 tan ; 1 0; 0

os 4

dt

x x x x t dx x t x t

c t



               



Vậy :

0 4 4 4

2 2 2 2 2

1 0 0 0

1 1

ost

2 2 os 1 tan 1 tan os
2
2

dx dt dt

dt

t
t

c

x x c t t c

  



  

 

   

 

 





4
4

tan 1
tan 1

1 1 2 8

2 tan 2ln 2ln 2ln tan 0

2 4

tan 1 tan 1 tan 1 tan 1

2 2 2 8

t
t

d

t t t



 




 



   

         

 

     

 



2 2

3
1

1
. x

h dx

x







Đặt :

2
2

1 ost 2 ost

; 1

sin sin sint

x t

c c

x dx dt x

t t

x t






  



      

   



.

t 4 2; sin , ost>0t c

 

 

  

 



Vậy :

2 2 2 2 2

3 2

4 4

1 ost 1 ost 1 os2t 1 1 2

. . sin 2

sint 1 sin 2 2 2 8

sin

x c c c

dx dt dt t t

x t

t

  



 



    

       

 

 

 

 







3
2
0

dx
i

x







Đặt :





2 3

0 0

tan ; 1

os 1 os

x t

dt

x t dx x

c t x t  c t

  




     

   












1 4 4

2 0

3
2

0 0 0

1 2

. ost sin
1

os 2

dx dt

c dt t

c t

x

c t

 



    





2
3

2
2

dx
k

x x 





Đặt :

2
2

1 ost 6 ost

; ; 1

sin sin sint

3
3

x t

c c

x dx dt x

t t x t






  




     

   

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



Vậy :

 

3 3 3

3
2

6
2

6 6

1 ost

1 ost sin 3 6 6
1 .

sin sint

dx c

dt dt t

c t

x x

t

 




 

  

 

        

 





2
2
2

2
0

x

l dx

x





.



Đặt :

x=0 t=0

sin ostdt 2 ; 1 ost
x=

2 4

x t dx c x c

t 





     

  





Vậy :

2 2

2 4 4 4

0 0 0

sin 1 os2t 1 1 2
ostdt= sin 2

ost 2 2 2 8

x t c

dx c dt t t

c
x

  



   

     

 









2 2

2
2

0 0

. 2 1 1

m



x x x dx 



x  x dx



Đặt :

1 sin 2

1 sin ; 2 ost

ostdt

x t

x t x x c

dx c

x t






  



 



        



    

















2 2 2 2

2 2 3

0

-2

2 2

1 os2t 1 1 1 2

1 1 1 sin ost.costdt= os ost sin 2 os

2 2 2 3 3

c

x x dx t c c td c t t c t

  



  



  

   

           

   



III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài 1. Tính các tích phân sau

. sin 2

a x xdx









2
0

. sin osxdx

b x x c







2
2
0

. osxdx

c x c





. os x

d xc dx





3
2

. tan

e x xdx









. 2 x

f



x e dx

ln 2

. x

g



xe dx

. ln
e

h



x xdx





3
2
2

. ln

i



x  x dx

2
3
0

. xsin 5

k e xdx





2
osx
0

. c sin 2

l e xdx





. ln

e

m



xdx

3 2

. ln
e

o



x xdx 2

ln
.

e

x

p dx

x





2 3



. x 1

q x e x dx



 



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

. sin 2

a x xdx







Đặt :

4 4

4
0

0 0

1 1 1 1

sin 2 os2x 4 os2xdx= sin 2
1

2 2 4 4

sin 2 os2x 0

u x du dx

x xdx xc c x

dv xdx v c

 



  



    

   









 

2 2 2

2 2 3

0 0 0

1 1

. sin osxdx cos sin osxdx=I+ sin 2 1

3 3

b x x c x xdx xc x I

  



    



Ta có :





2 2 2

0 0 0

cos s inx sin 2 sinxdx= osx 2 1

2 2

0 0

I x xdx xd x x c

  

 









 



  

Thay vào (1) :





2
0

1 2
sin osxdx 1

2 3 2 3

x x c



 

     



2
2
0

. osxdx

c x c













2 2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0 0

2 2

osxdx sinx sinx 2 sin 2 osx 2 cos osxdx

0 0

x c x d x x xdx xd c x x c

        

       

 

 







2 2 sinx 2 2 0 4
0



  

 

      

 

. os x

d xc dx







Đặt :

2 . 0 0;

4 2
2

t x dt dx tdt dx x t x t

x

 

          



Vậy :





2 2

4 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

os x 2 ostdt= 2 sin 2 sin 2 4 sin sin (1)
2 2 2

xc dx t c t d t t t t tdt J J

   



  

      





Tính :





2 2 2

0 0 0

4 sin 4 ost 4 cos 2 ostdt 4 0 sin 2 4

0 0

J t tdt td c t t c t

  

 

 

   

 

   

          

 

   

   





Vậy thay vào (1) ta có :

2
4

os x 4
2

xc dx



 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

3
2

. tan

e x xdx







Đặt :









3 3

2
2

4 4

3
3

tan t anx-x t anx-x (1)
4

tan t anx-x

u x du dx

x xdx x dx J

dv xdx v

 






  



    



  







Tính









3 3 3 3

4 4 4 4

osx 1

3 3

t anx-x t anxdx- tan

osx 2

4 4

d c

dx xdx x x x

c

   

 

    







2 2 2

1 3 1

3 ln osx 3 ln 2

4 2 3 4 4 24 2

c



    

 



 

         

 

Vậy thay vào (1) thì :

2
3

3 1

tan 3 ln 2

4 4 24 2

x xdx



  



 

      

 











 





1 1 1

2 2 2 2 2 2

0 0 0

1 1

1 1 1 1

. 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

x x x x x

f x e dx x d e  x e e dx  e e 

            

   

 







2 2

1 1 5 1

1 1

2 4 4 2 4

e
e

e e

      

 

ln 2 ln 2 ln 2

0 0 0

ln 2 ln 2

. 2ln 2 2ln 2 2 1 2ln 2 1

0 0

x x x x x

g



xe dx



xd e xe 



e dx  e     

 

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

. ln ln ln

1 1

2 2 2 2 4

e e e e e

e

h x xdx xd x x x x dx e x

x

    

         

   

 



2
3
0

. xsin 5

k e xdx







Đặt :

3 3

3x 3

1 3 1

os5x.e 2 os5x= (1)

1 5 5 5

sin 5 os5x 0

x x

x

u e du e

I c e c J

dv xdx v c



   

    

   







Đặt :

3 3

2 3

3 3 2

' ' 3

1 3 1

sin 5 2 sin 5 (2)

1 5 5 5

' os5 ' sin 5 0
5

x x

u e du e

J e x e xdx e I

dv c xdx v x



   

     

   







Từ (1) và (2) ta có hệ :

3
2
3

1
5

10
1

I J

e
I

I J e





 

 



 



  


</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 2

osx osx

0 0

. c sin 2 2 c sinx.cosxdx

l e xdx e

 







Đặt :

osx cosx osx

osx osx

osx sinx

2 osx 2 2 sinxe 2 2 2 2

sinx 0 0

c c

u c du dx

I e c dx e e

dv e dx v e



 

  



     



  





. ln
e

m



xdx



Đặt :

2
3

3 2

3ln
ln

ln 3 ln 3 (1)
1

e

x e

u x du dx

I x x xdx e J

x

dv dx v x



  

     



  







Đặt :

2ln
' ln '

ln 2 ln 2 (2)

' '

e

x e

u x du dx

J x x xdx e K

x

dv dx v x



  

    



  







Đặt :

'' ln ''

ln 1

1 1

'' ''

e

dx

e e

u x u

K x x dx e x

x

dv dx v x



  

      



  







Thay các kết quả vào (1) ta có :

I e  3



e 2.1



 6 2e

3 2

. ln
e

o



x xdx



Đặt :

4 2 3

3 4 1

2ln

1 1 1

ln ln (1)

1 4 2 4 2

e

x

u x du dx e

e

x I x x x xdx J

dv x dx v x



  



    



   







Đặt :





4 4 4

4 3 4 4

3 4 1

' ln '

1 1 1 1 1 3 1

ln . 1

1 1

1 4 4 4 4 4 4 16 16

' '

e

dx

u x du e e

e e e

x J x x x dx x e

dv x dx v x



  

 

        



   







Thay các kết quả vào (1) ta có :

4 1 3 4 1 4 1

4 2 16 32

e e e

I      

 

2
1

ln
.

e

x

p dx

x





Đặt :

2
1
2

1 1 1 1 2

ln 1 1

e

dx e e

u x du

x I x dx e

dx x x e x e

dv v e e

x x



  

  

       

  

 

   









0 0 0

2 3 2 3

1 1 1

. x 1 x 1 (1)

q x e x dx xe dx x x dx I K

  

      

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>



Đặt :

 

0 2

2 2 2

2 2

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2

1 1

2 2 2 4 2 4 4

x x x

x x

u x u dx

e

I xe e dx e

e e e

dv e dx v e 

  





 

         

 

       







Đặt :

3
3

1 1 ; 1 0; 0 1

x t

x t t x x t x t

dx t dt

  

            







Vậy :









1 1

3 2 6 3 7 4

0 0

1 1 1 1 9

1 .3 3 3 3

7 4 7 4 28

I  t  t t dt t  t dt   t  t     

   



IV. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1. Tính các tích phân sau

. 2

a



x dx

2
3
0

b



x  x dx

2
2
0

. 2 3

c



x  x dx

3
2
3

. 1

d x dx









. 2 2

e x x dx



  



. 2x 4

f



 dx

4
2
1

. 6 9

g



x  x dx

3 2

. 4 4

h



x  x  dx

. 4

i x dx





GIẢI

Bài 1.

. 2

a



x dx

. Do :

x



0; 2



 x 2 0,  x 2  2 x



Vậy :





2
0

2
1

2 2 4 2 2

0
2

I   x dx x x    

 



2
3
0

b



x  x dx

. Do :

f x( )x3 x x x



21



 0 x0,x1;x1



 f x( ) 0  x



1;2 ; ( ) 0



f x   x



0;1





Vậy :









1 2

3 3 2 4 4

0 1

1 2

1 1 1 1 5

0 1

2 4 4 2 2

I  x x dx  x  x dx x  x   x   

   



2
2
0

. 2 3

c



x  x dx

. Vì :

f x( )x22x 3 0  x1,x 3 f x( ) 0  x



1; 2 ; ( ) 0



f x   x



0;1











1 2 1 2

2 2

0 1 0 1

( ) ( ) 3 2 2 3

I f x dx f x dx x x dx x x dx

  











  



 

2 1 3 1 1 3 2 2 1 8 1

3 3 3 1 4 6 1 3 5

0 1

3 3 3 3 3

x x x x x x  

         

                   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3
2
3

. 1

d x dx





.

- Vì :

f x( )x21 0  x1;x 1 f x( ) 0   x



3; 1

 

 1;3 ; ( ) 0



f x    x



1;1



- Vậy :













1 1 3

2 2 2 3 3 3

3 1 1

1 1 3

1 1 1

3 1 1

3 3 3

I x dx x dx x dx x x x x x x



 



     

               

 

     



20 4 16 40
3 3 3 3

I

    





. 2 2

e x x dx



  



.

- Lập bảng xét dấu :

f x( ) 4   x



2;2 ; ( ) 2



f x  x x 



2;5



-Vậy :

5 2 5

2 2 2

2 5

( ) 4 2 4 16 32 4 44
2 2

f x dx dx xdx x x

 

        





. 2x 4

f



 dx

- Nhận xét :

2x 4 0  x2. f x( ) 0  x



2;3 ; ( ) 0



f x   x



0; 2



- Vậy :









2 3

0 2

2 3

1 1 3 4 1

4 2 2 4 4 2 2 4 8 4 4

0 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x x x

I   dx  dx x    x      

       



4 4

1 1

. 6 9 3

g



x  x dx



x dx

- Ta có :

x 3 0  x



3; 4 ;



x 3 0  x



1;3



-Vậy :









3 4

2 2

1 3

3 4

1 1 1 5

3 3 3 3 2

1 3

2 2 2 2

I   x dx x sx x x   x  x   

   



3 3

3 2

0 0

. 4 4 2

h



x  x  xdx



x xdx

-Vì :

f x( ) 0  x



2;3 ; ( ), 0



f x   x



0;2



-









2 3

0 2

2 2

I x xdx x xdx

 



 



 













2 2 4

4 2

2 2 4 2
0 0; 2 2

2 ; ( )

2 4
3 3

t t tdt t t dt

x t x t

t x t x dx tdt f x dx

t t dt

x t

   

      



       

 

  

 

- Vậy :









2 3

2 4 4 2 2 5 5 2

0 2

2 2 2 18 3 16 2

4 2 2 4 2 2 2

5 0 5 2 5 5

I  t  t dt t  t dt t  t   t  t    

   



1 0 1

1 1 0

. 4 4 4 (1)

i x dx xdx xdx J K

 

      

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Tính :

4 ;

J xdx









Đặt :

t 4x  t2  4 x,dx2 ;tdt x 1 t 3,x 0 t2

- Vậy :

2 2

2 3

3 3

0
1

.2 2 2 2 3
3 3

J 



t tdt



t dt t 

.

- Tính :

K 



 xdx

. Đặt :

t 4 x  t2  4 x 2tdtdx x.  1 t 3;x 0 t2.

Vậy :

3 2

2 3

2
2 16

.2 2 3

3 3 3

K 



t tdt



t dt t  

Do đó :

16 16
2 3 3 3 3

3 3

I  J K     

Bài 2. Tính các tích phân sau

. 1 os2x

a c dx







. 1 sin 2

b xdx







. sinx

c dx








. 1 sinx

d dx










. 1 os2x

e c dx







. 1 os2x

f c dx







2 2

. tan cot 2

g x x dx



 



. osx cosx-cos

h c xdx








. 1 sinx

i dx







GIẢI

Bài 2.

2 2 2

0 0 0

. 1 os2x 2sin 2 sinx

a c dx xdx dx

  

  



-Do :

x



0;



 sinx>0. sinx =sinx ;x



 ;2



 sinx<0 sinx =-sinx

Vậy :





2 sinxdx+ sinxdx 2 osx osx 2 1 1 1 1 4 2
0

I c c

 



 



 

          





  





0 0 0 0

. 1 sin 2 osx-sinx osx-sinx 2 os x+
4

b xdx c dx c dx c dx

   



 

     

 



Do :

cos x 4 0 x 4 2 x 4. cos x 4 0 x 4 2 k 0 x 4

       

 

   

                

   

   

2 os x+ os x+ 2 sin 4 sin x+ 2 2

4 4 4 0 4

I c c dx x



 

   



   

       

   

                

 

       

   

 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

. sinx

c dx








- Do :

sinx<0 x - ;0 ;sinx>02 x 0;2

 

   

     

   

- Vậy :





0 2

0
2

sinxdx+ sinxdx=cosx osx 2 1 0 0 1 2

- 0

I c
















     

. 1 sinx

d dx










Vì :

x x

1 sinx= cos -sin 1 sinx 2 os

2 2 2 4

x

c 

   

        

   

Mặt khác :

os 0 ; 2

2 4 2 4 2 2 4 2

x x

c       k  k  x k 

 

Vậy :

x x

2 os 2 os 2 2 sin 2 2 2 sin 4 2

2 4 2 4 2 4 2 4

x x

I c dx c dx



 

   






       

                

        



. 1 os2x

e c dx







Vì :

1cos2x=2cos2x 1cos2x  2 osx ;c

Do đó :

2 2

0 3

2 2

2
3

2 osxdx+ 2 osxdx+ 2 osxdx= 2 sinx 2 sinx sinx 4 2
3

0 2

I c c c

 



 



 




 

 

     

 

 



0 0

. 1 os2x 2 osxdx- osxdx 2 sinx 2 sinx 2 2
0 2

f c dx c c



 



 



   

   

      

 

 



2 2

. tan cot 2

g x x dx



 



- Vì :

2 2 2 2

4cos 2 os2x

tan cot 2 tan cot 2 2 ; ; 2 ;2

sin 2 sin2x 6 3 3 3

x c

x x x x x x

x

   

   

           

   

3
4

6 4

2cos 2 2cos 2 ln sin 2 4 ln sin 2 3 ln3 ln 3 2ln 2

sin 2 sin 2 4

6 4

x x

I dx dx x x

x x




 

 

 

        

 

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

. osx cosx-cos

h c xdx








Vì :

cosx c os3x c osx 1-cos



2x



cosxsin2x cosx c os3x s inx cosx

0 2

0
2

sinxcosx cosx sinxcosx cosx

I dx dx J K






 



 



 

* Tính J: Đặt :

osx osx 2tdt=-sinxdx
x=- 0; 0 1; 0

2 2

t c t c

t x t x t

 

    



        



Do đó :

1 1

2 4 5

0 0

1
2 2
.2 2

0
5 5

J 



t t tdt



t dt t 

* Tính K. Giống như trên ,ta có :

0 1

5 5 5

1 0

2 2

2 2 0

5 5

K 



t dt



t dt  t   I  J K 

V. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ

* Trước khi làm bài tập , tổng hợp cho HS các phương pháp phân tích đã hướng dẫn .

Bài 1. Tính các tích phân sau

3
3
1

. dx

a

x x



1
2
0

5 6

dx
b

x  x



3 3

2
0

2 1

x dx
c

x  x







3
0

1 2

x

d dx

x









3 2

9
2

.
1

x dx
e

x









4
2

dx
f

x x







dx
g

x x







1
2
0

4 11
.

5 6

x dx

h

x x



 



1 3

1
.

x x

i dx

x

 




0 3 2

2
1

2 6 9 9
.

3 2

x x x

k dx

x x



  

 



3 2

3
2

3 3 3
.

3 2

x x

l dx

x x

 

 







1 2

3
0

3 1

x

m dx

x



GIẢI

3
3
1

. dx

a

x x





Phân tích :













3 2 2 2

1 1

( )

1 1

A B x Cx A

A Bx C
f x

x x x x x x x x

  



    

   



Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :

0 1

0 1 ( )

1 0

A B A

x

C B f x

x x

A C

  

 

 

     

 



   

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>







3 3

2
2

1 1

1 1 3 ln 3 ln 2

( ) ln ln 1

1 2 1 2

x

f x dx dx x x

x x



   

         



   



1
2
0

5 6

dx
b

x  x





Phân tích :



 



1 1 1 1

( )

5 6 2 3 3 2

f x

x x x x x x

   

     



Vậy :





1 1

0 0

1
1 1

( ) ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3
0

3 2

f x dx dx x x

x x

 

         

 

 



3 3

2
0

2 1

x dx
c

x  x



.



Phân tích :





2 2 2

5 2 5 2 2 3

( ) 2 2

2 1 2 1 2 2 1 1

x x x

f x x x

x x x x x x x

   

        

        



Vậy :





3 3

2
2

0 0

5 2 2 3
( ) 2

2 2 1 1

x

I f x dx x dx

x x x

    

       

      

 









2 3

1 5 3 3

2 ln 1 10 ln 2
0

2x x 2 x x 1 4

 

        



 





3
0

1 2

x

d dx

x





.



Phân tích :





















3 3 2 3

4 2 4
( )

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

Cx B C x A B C

x A B C

f x

x

x x x x

    

    



   



Đồng nhất hệ số hai tử số :









1
2
4 0

1 1 1

2 4 1 ( )

2 2 1 2 2 1 2

0 0

A
C

B C B f x

x x

A B C C






 

 

      

 

 

    

  






Vậy :













1 1

3 2 2

0 0

1 1 1 1 1

( )

0
2(1 2 9
2 1 2 2 1 2 4 1 2

I f x dx dx

x

x x x

   

        

       

   







3 2

9
2

.
1

x dx
e

x





.



Phân tích :

































2
2

9 9 9 8 9 8

1 1 1 1 1 2 1

( )

1 1 1 1 1 1

x x

f x

x x x x x x

    

     

     



Vậy :

























3 3

9 8 7 8 7 6

2 2

1 2 1 1 2 1

( )

1 1 1 8 1 7 1 6 1

I f x dx dx

x x x x x x

   

          

         

   

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>





4
2
1

dx
f

x x



.



Phân tích :

















2 2 2

1 Ax+B
( )

1 x 1 1

A C x A B x B

C
f x

x x x x x

   

   

  



Đồng nhất hệ số hai tử số :

2 2

0 1

1 1 1 1 1
0 1 ( )

1 1

A C A

x

A B B f x

x x x x x

B C

  

 

 

 

         

 

 

   

 



Vậy :

4 4

1 1

1 1 1 1 3

( ) ln ln 1 ln 5 3ln 2
1

1 4

I f x dx dx x x

x x x x

   

              



   







4 4

2 2

1 1 1 3

. ln ln ln 3 ln 2

1 1 2

dx x

g dx

x x x x x



 

       

   







1
2
0

4 11
.

5 6

x dx

h

x x



 



.



Phân tích :







 



2 2 2

2 2 5 1

4 11 2 5 1

( ) 2

5 6 5 6 5 6 2 3

x

x x

f x

x x x x x x x x

 

   

       



Vậy :

1 1

2
2

0 0

2 5 1 1 2 1

( ) 2 2ln 5 6 ln ln 2

5 6 2 3 3 2

x x

I f x dx dx x x

x x x x x

 

 

          

    

 



1 3

1
.

x x

i dx

x

 




.



Phân tích :













2 2 2

1 1 1

( ) 1 1 1 2

1 1 1 1

x x x

f x x x x x x x

x x x x

 

             

   



Vậy :

1 1

2 3 2

0 0

1 1 1 11

( ) 2 2 ln 1 ln 2

1 3 2 6

I f x dx x x dx x x x x

x

   

              



   



0 3 2

2
1

2 6 9 9
.

3 2

x x x

k dx

x x



  

 



.



Phân tích : f(x)=



 



3 2

2 2

2 6 9 9 5 9 5 9

2 2

3 2 3 2 1 2

x x x x x

x x

x x x x x x

    

   

     



Phân tích :



 









 



2
5 9

1 2 1 2 1 2

A B x B A

x A B

x x x x x x

  



  

     



Đồng nhất hệ số hai tử số :

5 14 19 14

( ) 2

2 9 19 2 1

A B A

f x x

B A B x x

  

 

    

 

     

 



Vậy :





0 0

1 1

0
19 14

( ) 2 19 ln 2 14ln 1 32ln 2 19ln 3 1
1

2 1

I f x dx x dx x x x

x x

 

 

             



 

 



3 2

3
2

3 3 3
.

3 2

x x

l dx

x x

 

 



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>



Phân tích :



 











2 2

3 3 3 3 3 3
( )

3 2 1 2 1 1 2

x x x x A B C

f x

x x x x x x x

   

     

      













 



2 2 2

1 2

B C x B C A x A B C

x x

      

 

. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có :











3 3

3 2 1

2 3 2 ( )

1 2
1

2 2 3 1

B C A

A B C B f x

x x

x

A B C C

  

 

 

        

 

 



     

 



Vậy :









3 3

2 2

3 2 1 3 3

( ) 2ln 1 ln 2 ln 5

1 2 1 2

I f x dx dx x x

x x x

x

   

              

       

 







1 2

3
0

3 1

x

m dx

x



.



Phân tích :













3 3 2

( )

3 1
3 1 3 1 3 1

x A B C

f x

x

x x x

    



  











9 3 6
3 1

Cx B C x A B C

x

    



. Đồng nhất hệ số hai tử số :















1
9
9 1

2 1 2 1

3 6 0 ( )

9 9 3 1 9 3 1 9 3 1

0 1

A
C

B C B f x

x

x x

A B C

C






 

 

       

 



 

    

 







Vậy :













1 1

3 2

0 0

1 2 1

( )

9 3 1
9 3 1 9 3 1

I f x dx dx

x

x x

 

     

    

 













1 3 2 3 1 2 1

ln 3 1 ln 2
0

18 3x 1 9 3x 1 9 x 9 96

 

       

   

 

Bài 2. Tính các tích phân sau :

2
2
0

1
.

2 2

a dx

x  x







2
3

2
0

3 2
.

x

b dx

x






2 3 2

2
0

2 4 9
.

x x x

c dx

x

  







 



2 2

1
.

2 3

d dx

x x



1 3

2
0

1
.

x x

e dx

x

 




1
4
0

x

f dx

x 







4
1

1
.

g dx

x x







2 2008

2008
1

1
.

x

h dx

x x










3 4

2
2
2

x

i dx

x 



2
2
0

1
.

k dx

x





2 2

4
1

1
.

x

l dx

x






1 4

2
0

2
.

x

m dx

x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

GIẢI

2
2
0

1
.

2 2

a dx

x  x





Phân tích :





2
2

1 1 os

( ) 1 tan

2 2 1 1 0 , 2

4 4

dx dt

c t

f x x t

x x x x t  x t 





      

       

  





Vậy :





2 4 4

2 2

4 4

4
( )

2
os 1 tan

dt

I f x dx dt t

c t t

 





 

    











3
2

3 2
.

x

b dx

x






.



Phân tích :

2 2

3 2 1
( ) 3

1 1

x
f x

x x



  

 



Vậy :

3 3 3

0 0 0

( ) 3 3 3 3 (1)

1 0

dx

I f x dx dx x J J

x

      







Tính :

3
2
0 1

dx
J

x






. Đặt :

1
os
tan

0 0, 3

dx dt

c t

x t

x t x t 





  

      





Do đó :





3 3 3

2 2 2

0 0 0

3 3
3

1 os 1 tan 0 3 3

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 



2 3 2

2
0

2 4 9
.

x x x

c dx

x

  





.



Phân tích :

3 2

2 2

2 4 9 1

( ) 2

4 4

x x x

f x x

x x

  

   

 



Vậy :

2 2

2
2

0 0

1 1

( ) 2 2 6 (1)

0
4 2

I f x dx x dx x x J J

x

   

           



   





Tính :

2
2
0

1
4

J dx

x






. Đặt :

2
os
2 tan

0 0, 2

dx dt

c t

x t

x t x t 





  

      









4 4

2 2

0 0

1 1 1

4
4 4 16
os .4 1 tan 0

J dt dt t

c t t

 




    





. Thay vào (1) :

I 6 16

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>



 



2 2

1
.

2 3

d dx

x x



.



Phân tích :



 





 





 





 





 



2 2 2 2 2 2

3 2

1 1 1

( )

2 3 2 3 3 2 2 3

x x

f x J K

x x x x x x x x

  

     

       



Tính :



 



1
3 2

J

x x



 

. Phân tích :



 







3 2

3 2 2

A B C

x x

x x      x





 

















 



2 2 2

4 5 4 6 3
1

( )

3 2

3 2 2 3 2

A B x A B C x A B C

A B C

g x

x x

x x x x x

      

    

 

    



Đồng nhất hệ số hai tử số :





0 1

1 1 1
4 5 0 1 ( )

3 2 2
4 6 3 1 1

A B A

A B C B g x

x x x

A B C C

  

 

 

        

 

  

     

 



Vậy :





1 1

0 0

1 1 1 1 2

( ) ln 3 ln 2 3ln 2 2ln 3
0

3 2 2 2 3

J g x dx dx x x

x x x x

   

              

       

 



Tính :



 



2
0

1
2 3

K dx

x x



 





Phân tích :



 





 













 



2 2 2

6 5 9 6 2
1

( )

2 3

2 3 3 2 3

A B x A B C c A B C

A B C

h x

x x

x x x x x

      

    

 

    



Đồng nhất hệ số hai tử số :



 



0 1

1 1 1

6 5 0 1 ( )

2 3 3

9 6 2 1 1

A B A

A B C B h x

x x x

A B C C

  

 

 

        

 

  

     

 





 



1 1

0 0

1 1 1 1 1

( ) ln 2 ln 3 2ln 3 3ln 2
0

2 3 3 3 12

K h x dx dx x x

x x x x

   

              

       

 



Do đó : I=

2
3ln 2 2ln 3

 

-(

1
2ln 3 3ln 2

 

)=

7
12



1 3

2
0

1
.

x x

e dx

x

 




.



Phân tích :

2 2

1 1
( )

1 1

x x

f x x

x x

 

  

 



Do đó :

1 1

2
2

0 0

1 1 1

( ) (1)

1 2 2

I f x dx x dx x J J

x

 

        



 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>



Tính :

2
01

dx
J

x






. Đặt :

1
os
tan

0 0, 1

dx dt

c t

x t

x t x t 





  

      





Do đó :





1 4 4

2 2 2

0 0 0

1 1

1 os 1 tan 0 4 2 3

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 



1
4
0

x

f dx

x 



.



Đặt :

2
2

1
2cos
tan

0 0; 1

xdx dt

t

x t

x t x t 





  

      





Vậy :





1 4 4

4 2 2

0 0 0

1 1 1

4
1 2cos 1 tan 2 2 0 8

x

dx dt dt t

x t t

 




   

 







4
1

1
.

g dx

x x



.



Phân tích :

















4 4 4 4 4

1 1

( )

1 1 1

d x

x dx

f x dx dx

x x x x x x



  

  



Do đó : Đặt :





4 4

1 ( )

4 1
1 2, 2 5

dt x dx dt

t x f x dx

t t

x t x t

 

     



     









2 5 5

1 2 2

1 1 1 1 1 3ln 2 ln 5

( ) ln

4 1 4 1 4 4

dt t

I f x dx dt

t t t t t

   

 

          

     







2 2008

2008
1

1
.

x

h dx

x x






.



Phân tích :















 



2008 2008 2007 2007

2008 2008 2008 2008 2008 2008

1 1

( )

1 1 1 1 1

x x x x

f x

x x x x x x x x x



    

    



Vậy :





2 2007 2 2007 2 2007

2008

2008 2008

1 1 1

1 1

ln 1

1 2007 1 2007

x x x

I dx dx J dx J x

x x

       

 





Tính :





2 2007

2008 2008

1 1

x

J dx

x x









Đặt :





2007
2008

2008 1 1 1 1

( )

2008 1 2008 1
1 1, 2 2

dt x dx dt

t x f x dx dt

t t t t

x t x t

   

        

 

       





Vậy :





8 8

2 8

9ln 2 ln 1 2
2

1 1 1 1
ln

2008 1 2008 1 1 2008

t

J dt

t t t

 

 

       

 

   

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Cho nên :









9ln 2 ln 1 2 ln 1 2 ln 2
2008 2007

I      





3 4

2
2
2

x

i dx

x 





Phân tích :













4 4 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1

( ) 1

1 1

1 1 1 1

x x x

f x J K

x x

x x x x

x

  

        

   

   

 

 

Tính

1 1 1

1 ln 1 ln 2 ln 3
2

1 1 1

x

J dx x

x x x

  

 

          

  

   



Tính :





2
2
2

1
1

K dx

x








Phân tích :







 





 





 







1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1 1 1 1

g x h x p x

x x x x x x

x

 

       

       

  

















 



2 2

2
( )

1 1 1 1 1

A B x C A x A C B

A B C

h x

x x x x x

     

   

    



Đồng nhất hệ số hai tử số :













4
0

1 1 1 1

2 0 ( )

4 4 1 4 1 2 1

1 1

A
A B

C A B h x

x x x

A C B

C





 

 

 

       

 

  

    

 







Vậy :

















3 3

2 2

1 1 1 1 1 1 1

( ) ln 1 ln 1

4 1 4 1 2 1 4 4 2 1

h x dx dx x x

x x x x

   

           

   

   

 



Cho nên :

ln 2 ln 3 1
( )

h x dx  



















 



2 2

2
( )

1 1 1 1 1

A B x C A x A C B

A B C

p x

x x x x x

     

   

    



Đồng nhất hệ số hai tử số :













1
4
0

1 1 1 1

2 0 ( )

4 4 1 4 1 2 1

1 1

A
A B

C A B h x

x x x

A C B

C





 

 

 

       

 

  

    

 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>



















3 3

2 2

1 1 1 1 1 1 1

( ) ln 1 ln 1

4 1 4 1 2 1 4 4 2 1

p x dx dx x x

x x x x

   

           

   

   

 



Cho nên :

ln 2 ln 3 1
( )

4 12

p x dx  



Vậy :

1 ln 2 ln 3 1 ln 2 ln 3 1 1

2 4 4 12 3

I         

 

2
2
0

1
.

k dx

x







Đặt :





2 2

1
2

2 1

2 tan ( )

os .4 1 tan

0 0, 2

dx dt

dt

c t

x t f x dx dt

c t t

x t x t 





     



      





Vậy :

2 4

0 0

1 1

( ) 4

2 2 0 8

I f x dx dt














 

2 2

4
1

1
.

x

l dx

x








Phân tích :

2 2

2
2

1
1
1

( )

1
1

dx

x x

f x dx dx

x x

x

 



 

  

 

  



 

 



Đặt :

2 2

1 1

1 ; 2

1 1 1 1

( )

2 2 2 2 2
5

1 2, 2

dt dx t x

dt

x x

t x f x dx dt

x t t t

x t x t

  

     

  

 



        

  

  

     





Vậy :

5
2

1 1 1 1 2 1 6 2

ln 2 ln

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2

t

I dt

t t t

     

 

         

   

     



1 4

2
0

2
.

x

m dx

x








Phân tích :

4 4

2 2 2

2 1 1 1

( ) 1

1 1 1

x x

f x x

x x x

  

    

  



Vậy :





1 1

2 3

0 0

1 1 2

1 3 3

I dx x dx J x x J

x

 

        

  





Tính :

1
2
01

dx
J

x






. Đặt :

1
os
tan

0 0, 1

dx dt

c t

x t

x t x t 





  

      

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>



Do đó :





1 4 4

2 2 2

0 0 0

1 2

1 os 1 tan 0 4 4 3

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 



VI. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

* Nhắc nhở học sinh :



Thuộc cơng thức lượng giác : Cơng thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba ,hạ bậc



Thuộc các công thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ hơn kém nhau

1góc bẹt .



Lẻ sin thì đặt cosx=t , và lẻ cos thì đặt sinx=t . Cịn chẵn sin,chẵn cos thì đặt

tanx =t



Đặc biệt chú ý đến hai cận để có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng

1 

Ngồi ra cịn chú ý đến một số cơng thức tính tích phân như :

2 2

0 0

(sinx)dx= ( osx)dx

f f c

 



,

0 0

( ) ( )

b b

f x dx f b x dx



MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các tích phân sau :

. sin 2 cos

a x xdx





. t anxdx

b




sinx
.

1+3cosx

c dx





2
3
0

. sin

d xdx





. sin

e xdx





. os 3

f c xdx





GIẢI

4 4

0 0

sin 3 sinx 1 1 2 1
. sin 2 cos os3x+cosx 4

2 2 3 0 2 3

x

a x xdx dx c

 



  

     

 







4 4 4

0 0 0

osx

sinx ln 2

. t anxdx ln osx 4
cosx osx 0 2

d c

b dx c

c

  



    







2 2

0 0

1 3cos

sinx 1 1 2ln 2

. ln 1 3cos 2

1+3cosx 3 1 3cos 3 0 3

d x

c dx x

x

 




   

















2 2 2

3 2 2 3

0 0 0

1 2

. sin 1 os sinxdx= os 1 osx os osx 2

3 0 3

d xdx c x c x d c c x c

  



 

      

 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>





0 0

1 1 1

. sin 1 os2x sin 2
0

2 2 2 2

e xdx c dx x x

 



 

      

 







0 0

1 1 1

. os 3 1 os6x sin 6
0

2 2 6 2

f c xdx c dx x x

  



 

      

 



Bài 2. Tính các tích phân sau :

2 4

. sin cos

a x xdx





2 3

. sin cos

b x xdx





4 5

. sin cos

c x xdx









3 3

. sin os

d x c x dx







sin 2 cos
.

1 osx

x x

f dx

c






GIẢI

2 4

. sin cos

a x xdx











2 4 1 2 2 1 1 os4x 1 os2x 1

( ) sin cos sin 2 . os . 1 os4x+cos2x-cos4xcos2x

4 4 2 2 16

c c

f x  x x x c x     c



Do đó :





( ) 2 2cos 4 cos 2 os6x
32

f x   x x c







2 2

0 0

1 1 1 1 1

( ) 2 os6x-2cos4x+cos2x 2 sin 6 sin 4 2 2

32 32 6 2 2 0 32

I f x dx c dx x x x sin x

 




 

         

 











2 2

2 3 2 2 3 5

0 0

1 1 2

. sin cos sin 1 sin sinx sin sin 2
3 5 0 15

b x xdx x x d x x

 



 

     

 



















2 2 2 2

4 5 4 2 4 6 8

0 0 0

. sin cos sin 1 sin sinx sin 2sin sin sinx

c x xdx x x d x x x d

  

    



Vậy :

5 7 9

1 1 1 1 2 1 48

sin sin sin 2

5 7 9 0 5 7 9 315

I x x x



   

       

   









2 2 2

3 3

0 0 0

os3x+3cosx 3sin sin 3 1

. sin os os3x-sin3x+3cosx-3sinx

4 4 4

c x x

d x c x dx dx c dx

  



 

     

 



1 1 1 4

sin 3 os3x+3sinx-3cosx 2
4 3 x 3c 0 3



 

    

 

3
2

osx+1

c x

e dx

c


</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>







3 3

os os 1 1 1 3 os2x-2cosx 1

( ) os osx+1

osx+1 osx+1 osx+1 osx+1 2 osx+1

c x c x c

f x c x c

c c c c c

 

       



2 2

0 0

3 os2x-2cosx 1 1 1 3 4

3 sin 2 2sin 2

2 osx+1 2 2 0 4

c

I dx dx x x x J J

c

 



 

   

            

   



Tính :

2 2 2

0 0 0

1 1 3 8

tan tan 2 1;

osx+1 2cos 2 2 0 4
2

x x

J dx dx d I

x
c

  



 

 

       

 



sin 2 cos
.

1 osx

x x

f dx

c












2 2

sin 2 cos 2sin cos 2cos 2 2 2

( ) .s inx= 2 cosx-1 sinx

1 osx 1 osx 1 osx 1 osx 1 osx

x x x x x

f x

c c c c c

    

       

        















2 2

0 0

osx 2 2

2cos 2 2 2sin 2 2ln 1 osx 2 2 2ln

1 osx 0 2

d c

I x dx x x c

c

 



   

           

  



Bài 3. Tính các tích phân sau :

4
3
0

. tan

a xdx





3
4

. tan

b xdx





sinxcos

dx
c

x






3
2

2
0

sin
.

1 os

x

d dx

c x







3
2

os
.

1 osx

c x

e dx

c






3
4

sin . osx

dx
f

x c






GIẢI

4
3
0

. tan

a xdx







2 2

2 2 3

sin sinx 1 os sinx sinx sinx

tan . .

os cosx os cosx cos cosx

x c x

x

c x c x x



   











4 4

3 2

0 0

osx osx 1 3 ln 2
ln osx 4

os osx 2 os 0 2

d c d c

I c

c x c c x

 



   

      

 



3
4

. tan

b xdx





.











2 2 4

4 2

4 4 2 2

1 os 1 2 cos os 1 2

tan 1 tan 1

os os os os

c x x c x

x x

c x c x c x c x

  

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>















3 3 3

2 3

4 4 4

1 3 2

1 tan t anx 2 t anx t anx+ tan 2 tan

3 3

I x d d dx x x x

  







 

         

 



3
4

sinxcos

dx

c

x
















3 2 2

1 1 1 1 1 tan 1

. . t anx t anx t anx
s inx.cos t anx os os t anx t anx

x

dx dx d d

x c x c x

  

    

 







1 1 3 ln 3 2

t anx t anx ln t anx tan

t anx 2 2

I d x





   

        

   



3
2

2
0

sin
.

1 os

x

d dx

c x







.











3 2

2 2 2 2

d cosx

sin 1 os 2

.s inxdx= 1 sinxdx=d cosx 2.

1 os 1 os 1+cos 1 os

x c x

dx

c x c x x c x

  

    

    



2 2

0 0 0

d(cosx)

d(cosx)-2 osx 2 2 1 2
1+cos 0 1

dt

I c J

x t

 



     





Tính :

1 1

2 2

0 0

1
1 1

dt

J dx

t x

 

 





Tính :

1
2
01

dx
J

x






. Đặt :

1
os
tan

0 0, 1

dx dt

c t

x t

x t x t 





  

      





Do đó :





1 4 4

2 2 2

0 0 0

1
4

1 os 1 tan 0 4 2

dx

J dt dt t I

x c t t

 



 

       

 



3
2

os
.

1 osx

c x

e dx

c






.



3 3

os cos 1 1 1 1 os2x 1

dx= os osx+1-

osx+1-1 osx 1 osx 1 osx 1+cosx 2 1+cosx

c x x c

c x c c

c c c

 

    

  







2 2

0 0

1 1 1 1 3

3 os2x+2cosx dx- 3 sin 2 2sin 2 tan 2

2 2cos 2 2 0 2 0 4

x

I c dx x x x

x

 



 

         

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3
4
6

sin . osx

dx
f

x c






.











4 4 2 4 2

osx
1 osxdx dt

3 1

sin . osx sin 1 sin t 1 x= t= ;x=

6 2 3 2

t c
c

x c x x t   t





  



    

















2 2

4 4 2 2 4 2

4 2 4 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1

1 1 1

t t

t t t t t t t t

t t t t t t

   

           

  

    



1
2

4 2 3

3
2

1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 1 1 3 2 1 3

t

I dt

t t t t t t t

     

            

  

 

   





14 ln 3 8 3 2 3 1 3 2
ln

3 2 27 3 2 3 2

I   

       



 

Bài 4. Tính các tích phân sau .

3 5

. 1 os sinxcos

a c x xdx







1 sin 2 os2x
.

sinx+cosx

x c

b dx



 



2
4

t anx
.

cosx 1+cos

c dx

x










4 4

. os2x sin os

d c x c x dx











sinx
0

. t anx+e osx

e c dx









2 3

2
0

. 1 sin sin 2

f x xdx







GIẢI

3 5

. 1 os sinxcos

a c x xdx







.



1 cos s inxcos3x 5xdx 1 cos cos3x 3xcos sin2x xdx



Đặt :

3 2 3 3 2

2 3cos sin
1 os 1 os os 1

0 0, 1

tdt x xdx

t c x t c x c x t

x t x  t

 



        

      





Vậy :









1 1

2 2 4 3 5

0 0

2 2 2 1 1 2 1 1 4
1

3 3 3 3 5 3 3 5 45

I  t  t tdt t  t dt  t  t     

   



1 sin 2 os2x
.

sinx+cosx

x c

b dx



 



.





osx+sinx





os2 sin2



1 sin 2 os2x

2cos
sinx+cosx osx+sinx

c c x x

x c

x
c

 

 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>



2
2cos 2sin 1

I xdx x



 



 





3 3 3

2 2

4 4 4

t anxd tanx
t anx tan xdx

cosx 1+cos cos 1 2 tan
os

c dx

x x x

c x

  

 








Đặt :

1; 3

4 3

t anx

( )

x t x t

t

tdt
f t dt

t

 



     




  

 

 





Đặt :

2 2 2

1 1

1 2, 3 2

tdt udu

u t u t

t u t u




      

     





Vậy :

2 2

2 2
2

udu

I du u

u









  





4 4

. os2x sin os

d c x c x dx









Vì :

4 4 1 2 1 1 os4x 3 1

sin os 1 sin 2 1 os4x

2 2 2 4 4

c

x c x  x     c



2 2

0 0

3 1 7 1 7 1

os4x os2xdx os2x+ os6x sin 2 sin 6 2 0

4 4 8 8 16 48 0

I c c c c dx x x

 



     

           

     







4 4 4

sinx sinx

0 0 0

. t anx+e osx t anxdx+ osxdx

e c dx e c

  







Vậy :













1 2

sinx sinx 2

0 0

osx

sinx ln osx 4 ln 2 1

osx 0

d c

I e d c e e

c




 







     





2 3

2
0

. 1 sin sin 2

f x xdx







.



Vì :





1 sin x ' 2sin . osx=sin2x x c



Vậy :



 







2 3 4

2 2 2

1 sin 1 sin 1 sin 2 4

4 0

I x d x x







    

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>





. s inxln cosx

a dx









3
4

2 5

sin
.

tan 1 os

x

b dx

x c x







2 2

1
.

sin 9 cos

c dx

x x



 



1
.

sinx

d dx





2 osx

dx
e

c






2 osx

dx
f

c






GIẢI







 



3 3

0 0

. s inxln cosx ln osx osx

a dx c d c

 







Đặt :

1
osx 0 1;

3 2

t c  x  t x  t







1 1

2 2

1 1

ln 2 1
ln ln ln 1 ln 1

2 2

I tdt tdt t t dt t t t 

 







 



  













3 3

4 4

2 2

2 5 2

0 0

sin tan

. t anx

tan 1 os tan 1

x x

b dx d

x c x x

 



 





Đặt :









3 2

2 2

t anx f(x)dx= . 0 0; 1
4

1 1

t

t dt tdt x t x t

t t



        

 



Đặt :

2 2 2

1 1

0 1; 1 2

du tdt

u t t u

t u t u




      

     





Vậy :

2 2

1 1

2
1 1 1 1 1 1 1 1

ln ln 2
1

2 2 2 2

u

I du du u

u u u u

    

         

   







3 3

2 2 2

3 3

1 1

. t anx

sin 9 cos tan 9

c dx d

x x x

 

 



 





Đặt :

3
2
3

t anx x=- 3; 3

3 3 9

dt

t t x t I

t

 



        







Đặt :





2 2

3 , 9 9 1 tan
os

3tan

3 , 3

3 3

dt du t u

c u

t u

t u  t u 



   



  

      





Vậy :





3 3

2 2

3 3

1 1 1 3 2

9 9 27
os .9 1 tan

I du du u

c u u

 





 

   





</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2 2

2 2 2

3 3 3

os sin os sin

1 2 2 1 2 1 2 x 2 1

. ln sin os ln tan ln 3

x x x

sinx 2sin os 2 sin 2 os 2 2 2 2

2 2 2 2 3

x x x

c c x x

d dx dx dx lm c

x

c c

  



 

  

 

        

 

 

 



2 osx

dx
e

c








Đặt :

2 2

1 1-t 1 3

tan 0 0, 1; ; 2

osx=2-2 2 2 os 1 1

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c




 

           

 






Vậy :





1 1

2
2

0 0

2 2

1 3
1 3

I dt dt

t
t

t

 



  

  



 





Đặt :

1
3 os
3 tan

0 0, 1

dt du

c u

t u

t u t u 






 



     









3 3

2 2

0 0

2 2 2

3
3 os 1 tan 3 3 0 3 3

I du du u

c u u

 




    





2 osx

dx
f

c








Đặt :

2 2

1 1-t 3

tan 0 0, 1; ; 2 osx=2+

2 2 2 os 1 1

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c




 

           

 






Vậy :





1 1

2
2

0 0

2 2

3
3

I dt dt

t
t

t

 



  

  



 





Đặt :

os
3 tan

0 0, 1

dt du

c u

t u

t u t u 






 



     









6 6

2 2

0 0

2 3 3

2 3 2 3 6
3

os 1 tan 0

I du du u

c u u

 




    





</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

osx
.

1+cosx

c

a dx





osx
.

2-cosx

c

b dx





sinx
.

2+sinx

c dx





1
.

sinx+cosx+1

d dx





sinx-cosx+1
.

sinx+2cosx+3

e dx








osx.cos x+
4

dx

f

c


   

 

 



GIẢI

2 2 2

0 0 0

osx 1 1

. 1 1 tan 2 1

1+cosx 1 osx 2cos 2 0 2
2

c x

a dx dx dx x

x
c

  




 

 

   

            



     

 



2 2 2 2

0 0 0 0

osx 2

. 1 2 2

2-cosx 2 osx 2 osx 2

c dx

b dx dx dx J

c c

   



 

       

 

 



Tính :

02 osx

dx
J

c









Đặt :

2 2

1 1-t 1 3

tan 0 0, 1; ; 2

osx=2-2 2 2 os 1 1

x t

t x t x t dt dx c

x t t

c




 

           

 






Vậy :





1 1

2
2

0 0

2 2

1 3
1 3

J dt dt

t
t

t

 



  

  



 





Đặt :

1
3 os
3 tan

0 0, 1

dt du

c u

t u

t u t u 






 



     









3 3

2 2

0 0

2 2 2 2

2
3 os 1 tan 3 3 0 3 3 3 3

J du du u I

c u u

 



  

       





2 2 2

0 0 0

sinx 2

. 1 2 2 2

2+sinx 2 sinx 2 sinx 2
0

dx

c dx dx x J

  



 

       

 

 



Tính :

02 sinx
dx
J



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>



Đặt :

2 2

2
1

tan ( )

2 1 1 3

0 0; 1

2 2 2

dt
dx

x t dt dt

t f x dx

t t

x t x  t t




 

     

   

        

   

  

  

 



Đặt :

1 3 3

tan 0 ; 1

2 2 2 os 6 3

t u dt t u t u

c u

 

          







3 3

2 2

6 6

3 du 2 3 2 3 3 3 2 3

2 cos . 1 tan 3 3 9 2 9

4 6

I du u I

u u

 



  



       





1
.

sinx+cosx+1

d dx





.



Đặt :





2
2

2 2

2
1

tan ( )

2 0 0; 1 2 1 1

1 1

2 1 1

dt
dx

x t dt dt

t f x dx

t

t t

x t x t t

t t






 

     



  

           

    



Vậy :

1
ln 1 ln 2

0
1

dt

I t

t

   





sinx-cosx+1
.

sinx+2cosx+3

e dx








.

Phân tích :



osx-2sinx







sinx+ 2A+B osx+ 3A+C









sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

B c C A B c

A 

   

Đồng nhất hệ số hai tử số :

2 1 1

osx-2sinx 4
2 1 1 ( ) 1

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

3 1 4

A B A

c

A B B f x

A C C

  

 

 

       

 

    

 

Vậy :





ln sinx+2cosx+3 4 ln 2 4
sinx+2cosx+3

dx

I x J








       





Tính :

sinx+2cosx+3

dx
J










</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>



Đặt :













2
2

2 2

tan ( )

2 2 2 1 1 4

1; 1 1 3

2 2 1 1

dt
dx

x t dt dt

t f x dx

t
t

t

x t x t t

t t






 

     

    

           

    

 



Đặt :









2 2

1 0; 1

1 4

1 2 tan

1 4 4 1 tan

t u t u

t u dt du

c u

t u




     



     

    





Vậy :





4 4

2 2

0 0

2 1 1 4

ln 2 4 ln 2
4

2 2 8 8 2

os .4 1 tan 0

du

J du I J

c u u

 



  



          





osx.cos x+
4

dx
f

c


   

 

 



.

Phân tích :

sin sin osx-sinx.cos x+
4

1 1 4 4

.
sin

osx.cos x+ osx.cos x+ osx.cos x+
4

4 4 4

x x x c

c c c

  



  

       



     

 

 

     

 

     

     

     

sin sin

sinx 2 sinx 2

4 4 3

( ) ln osx ln os x+

cosx 2 cosx 2 4

os os

4 4 6

x x

f x I dx c c

c x c x



  



  

 

   

 

         

     

           

           

     

     



osx 3 2 2 3

2 ln 2 ln ln 2 ln 3
2 6 6 2

cos x+
4 6

c
I



 

 

     

 

     

 

 

Bài 7. Tính các tích phân sau :













2
0

1 sinx osx
.

1 sinx 2 os

c

a dx

c x





 



sinx.cos x+
4

dx

b dx



  

 

 



sinx.sin x+
6

dx
c



   

 

 







. 2 1 osxdx

d x c







1 os2x

xdx
e

c






3
2
0

xdx
f

c x





GIẢI













2
0

1 sinx osx
.

1 sinx 2 os

c

a dx

c x





 



</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>























2 2

1 sinx 1

( ) s inx ; sinx. x=0 0, 1

2
1+sinx 1 sin 1 1

t

f x dx d dt t t x t

x t t



 

        

  



Phân tích :

















2 2

( )

1 1 1 1

A B t B C t A C

A Bt C

f t dt

t t t t

    



  

   



Đồng nhất hệ số hai tử số :

0 1

1
1 1 ( )

1 1

1 0

A B A

t

B C B f t dt dt

t t

A C C

  

 

   

      

   

 

 

    

 



Vậy :





2
2

1 1 1

ln 1 ln 1 ln 2
0

1 1 2 2

t

I dt t t

t t

   

         

 

   



sinx.cos x+
4

dx

b dx



   

 

 



.



Phân tích :

os os osx+sinx.sin x+
4

1 1 4 4

. 2

sinx.cos x+ sinx.cos x+ sinx.cos x+
4

4 4 4

c x x c x c

c

  



  

       



     

 

 

     

 

     

     

     



sin sin

osx 4 osx 4 osx 3

( ) 2 2 2 ln

sinx os x+ sinx os x+ cos x+

4 4 4 4

x x

c c c

f x I dx

c c



  

   

     

 

    

 

    

 

       

      

 

      

      

   





Vậy :

2
ln 3
2

I 

sinx.sin x+
6

dx
c



   

 

 



.



Phân tích :

sin sin osx-sinx.cos x+
6

1 1 . 2 6 6

sin

sinx.sin x+ sinx.sin x+ sinx.sin x+
6

6 6 6

x  x x  c 



  

        



     

    

      

 

       

       

       



os x+ os x+

osx 6 osx 6 sinx 3 3

( ) 2 2ln 2ln

sinx sin sinx sin sin x+ 2

6 6 6 6

c c

f x I dx

x x



  

   

 

   

    

    

       

      

 

      

      









 







2 2 2

0 0 0

. 2 1 osxdx 2 1 sinx 2 1 sinx 2 2sin 2 1 sinx 2cos 2 1

0 0

d x c x d x xdx x x

  

 



           

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>





4 4 4 4

0 0 0 0

1 1 1 1

. . t anx tan 4 t anxdx= tan ln osx 4 ln 2

1 os2x 2cos 2 0 2 2 0 8 4

xdx xdx

e x d x x x x c

c x

   

 



        













3 3 3

0 0 0

3
. t anx t anx 3 t anxdx= xtanx+ln cosx 3 ln 2

os 0 0 3

xdx

f xd x

c x

  

 



    



Bài 8. Tính các tích phân sau :

2
3
0

. sin

a xdx





2
2
0

. osxdx

b x c





2 1
0

. sin 2 . x

c x e dx











. os lnx

d



c dx





3
2
6

ln s inx
.

e

c x









2
0

. 2 1 os

f x c xdx







GIẢI

2
3
0

. sin

a xdx





. Đặt :

3 2

3 , 3 . 0 0; 3

2 2

t x  t  x dx t dt x  t x  t 



Vậy :





3 3 3 2

2 2

2 2 2

0 0

2 cos
2

3 sin 3 ost 3 ost
0

t tdt

I t tdt t d c t c



      

 

    

     

 

   

   

 









3 3 3 3 3

3 os 6 sin ln ost 2 3 os 6 sin ln os

2 2 2 2 2 2 2

I c t t c c c



      

     

          

     





2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

. osxdx sinx s inx 2 2 sin 2 . osx 2 osxdx sinx 2 1

4 4 4

0 0 0

b x c x d x x xdx x c c

   

  

         



2 1
0

. sin 2 . x

c x e dx







.



Đặt :

2 1 2 1

2 1 2 1 1

os2x 2 os2xdx
1

sin 2 os2x 0

x x

u e du e dx

I e c e c e e J

dv xdx v c



 

  

   

      

   







Đặt :

2 1 2 1

' ' 2

sin 2 2 sin 2
1

' os2xdx v'= sin 2 0
2

x x

u e du e dx

J e x e xdx I

dv c x



 

   

    

  



</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>



Vậy ta có hệ :

1
1

2
_

I J e e

I

I J e e







 

 

 



 







. os lnx

d



c dx

.



Đặt :

ln ; . 1 0; 2 ln 2

t dx t

t x x e dt dx e dt x t x t

x

            



















ln 2 ln 2 ln 2

0 0 0

ln 2

ostdt int sin ostdt=2sin ln2 2 2sin ln 2 sin ln 2
0

t t t t

I e c e d s e t e c I I I

 







 



    





3
2
6

ln sinx
.

e

c x





.



Đặt :









2 6

osx
ln sinx

osx

sinx t anx.ln sinx 3 t anxdx=

1 sinx

t anx

os 6

c

u du dx

c
I

dv dx v

c x






  



  



   







3 1 1 3 3 3ln 2
3 ln ln ln 3

2 3 2 2 3 6

I x






 

       

 

 













2 2 2 2

0 0 0 0

1 os2x 1 1

. 2 1 os 2 1 2 1 os2xdx

2 2 2

c

f x c xdx x dx x dx x c

   



   

          

   





Tính :

2
2

2
0

1 1 1 1

2 2 2 0 2 4 2

x dx x x



 

 

   

      

   

     





Tính :

















2 2 2 2

0 0 0 0

1 2 1

2 1 os2xdx= 2 1 sin 2 sin 2 2 2 sin 2 0 os2x

2 2 0

x

x c x d x x xdx d c

   




     





Vậy :

os2x 2 2
0

I c



 

Bài 9. Tính các tích phân sau :

2 2

. xsin

a e xdx





4
2
0

. tan

b x xdx





. sin os

c x xc xdx





sin 3

. xsinx.cos

d e xdx









. ln 1 t anx

e dx







4
4
0

dx
f

c x



</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

GIẢI

2 2

. xsin

a e xdx





. Sử dụng công thức hạ bậc :







2 2 2

0 0

1 1 1

os2xdx= 1

2 2 2

x x

I e dx e c e J

 











 

Tính :









2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1

os2xdx sin 2 sin 2 2 sin 2 0 os2x
0

2 4 4 4

x x x x x

J e c e d x e x e xdx e d c

      

       

 

 





2 2

2 2 2

1 1 1 1 1

os2x 2 os2xdx 2 3
0

4 4 4 4 12

x x e e

J e c e c e J J J

  



   

          









Vậy :

2 1 2 1 5 2 7

2 12 12

e e e

I

  

  

  

4 4 4 4

2 2

0 0 0 0

1 1

. tan 1 4

os os 2 0 32

xdx

b x xdx x dx xdx J x J

c x c x

   



 

         

 



Tính :

4 4 4

0 0 0

1
. (t anx)=xtanx 4 t anxdx= ln osx 4 ln 2

os 0 4 0 4 2

dx

J x xd c

c x

  

 













  

Vậy :

1
ln 2
4 2 32

I    

2
0

. sin os

c x xc xdx





.







3 2









0 0 0

1 1 1 1

os cos os cos 1 sin sinx
0

3 3 3 3 3

I xd c x x x c x xdx x d

   



 



 



 







Vậy :





1 1 1

sinx- sin 0 0
0

3 3 3 3 3 3

I    x    

 

.





. ln 1 t anx

e dx







.

Đặt :

t 4 x dt dx x 0 t 4;x 4 t 0

  

          









0 4 4 4

0 0 0

1 tan 2

ln 1 tan ln 1 ln ln 2 ln 1 tan
4 1 tan 1 tan

ln 2 4
0

t

I t dt dt dt t dt

t t

t I

  



     

              

 

   

 

 

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Vậy :

2I 4ln 2 I 8ln 2

 

  

4
4
0

dx
f

c x





.



Phân tích :

2 2

4 4 2 2

1 sin os 1 1
tan .

os os os os

x c x

x

c x c x c x c x



  



Vậy :









4 4

2 3

0 0

1 4

tan . t anx t anx tan t anx 4

3 0 3

I x d d x

 



 

     

 



VII. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ -LOGARIT

* Nhắc nhở HS :



Thuộc các công thức nguyên hàm sau :

ax 1 ax ; 1

x x

e dx e C a dx a C

a a

   





Sử dụng thành thạo các cách tính tích phân : Đổi biến số , từng phần

.

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các tích phân sau :

.
1

x

e dx
a

e





ln 2

5
x

dx
b

e 



4
x

dx
c

e 



ln8

ln 3

1
x
x

e

d dx

e 



ln8

2
ln 3

. x 1 x

e



e  e dx

ln 2

1
.

1
x
x

e

f dx

e






GIẢI









1 1

0 0

1 1

. ln 1 ln 1 ln 2
0

1 1

x
x

x

x x

d e

e dx

a e e

e e



     

 



ln 2

5
x

dx
b

e 



.



Đặt :

. 0 1; ln 2 2

x x dt

t e dt e dx dx x t x t

t

           



Vậy :





2 2

1 1

1 1 1 1 1 2 1 1 12
ln ln ln ln

5 5 5 5 5 5 7 6 5 7

dt t

I dt

t t t t t

   

         

      



4
x

dx
c

e 





Đặt :

. 0 1; 1

x x dt

t e dt e dx dx x t x t e

t

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>



Vậy :





1 1 1 1 1 1 1 5

ln ln ln ln
1

4 4 4 4 4 4 4 5 4 4

e e e

dt t e e

I dt

t t t t t e e

   

         

        



ln8

ln 3

1
x
x

e

d dx

e 



.



Đặt :

8 8

3 3

2 2

1 1 2 2 10

3
ln 3 3; ln 8 8

x

x x tdt e dx tdt

t e t e I dt t

t

x t x t

 

           

     





ln8

2
ln 3

. x 1 x

e



e  e dx

.



Đặt :

2 2

1 1

ln 3 3; ln 8 8
x

x x tdt e dx

t e t e

x t x t

 

       

     





Vậy :









8 88 3 3

2 4 2 5 3

3 3

1 1 374.8 32.3
. 1 .2 2 2

5 3 15

I  t t  tdt  t  t dt  t  t   

 







ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

0 0 0 0

2 1
1

. 2 2 ln 2

1 1 1

x
x

x x x

e

e dx

f dx dx dx J

e e e

 



    

  



Tính :

ln 2

0 1

x

dx
J

e






.



Đặt :





2 2

1 1

2
1

1 ln 1 ln 2
1

1 1

0 1; ln 2 2
x

x

dt

dt e dx dx tdt

t e t J dt t t

t t

x t x t



    



           

    

     







Vậy :

I 2 1 ln 2







 ln 2 2 3ln 2 

Bài 2. Tính các tích phân sau :

1
.

1 x

a dx

e





1
x

x

e

b dx

e 



1
x
x

e

c dx

e











ln
.

ln 1
e

x

d dx

x x



1 2

1
x
x

e

e dx

e







ln3

1
f.

x dx

e 



GIẢI













2 2 2

1 1 1

1 2

. ln 1 ln 1 ln 1

1 1 1

x
x

x

x x x

d e

e

a dx dx e e e

e e e



       

  











2 2

0 0

1 2

. ln 1 ln 1 ln 2

0
1 1

x
x

x

x x

d e

e

b dx e e

e e



     

 



1 1

0 0

1 1
x

x x

e dx

c dx

e e



 

 

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>



Đặt :





1 1

1 ln 1 1 2

1 1

0 1; 1

x e e

x

dt

e

dt e dx dx tdt

t e t J dt t t e e

t t

x t x t e



    



              

    

     









ln
.

ln 1
e

x

d dx

x x



.



Đặt :





1 1

2 2

0 0

1 0 1

1 1 2 1

d t

x t tdt

t x I

x e t t t



  



      

    







Vậy :





2 1

1 1

ln 1 ln 2
0

2 2

I  t 





1 2 1

0 0

1 1

x

x x x

e dx

e e e



  











1 1

0 1; 1

x e

x

dt

dt e dx dx dt

t e t I

t t

x t x t e



  



   

 

     







Phân tích :

















2 2 2

1 1 1

A C t A B t B

A B C

t t t t t t t

   

   

  



Đồng nhất hệ số hai tử số :

0 1

1 1 1
0 1 ( )

1 1

A C A

A B B f t

t t t

B C

  

 

 

       

 



   

 



Vậy :

1 2

1 1 1 1 1 1

ln ln 1 ln
1

1 2

e e

e e

I dt t t

t t t t e

 

     

             



     



ln3

1
f.

x dx

e 



.



Đặt :

1 2

1 2 2 1

0 2; ln 3 2
x

x

e dx t tdt

dt dx dx

t e t t t

x t x t

 

   



   



      





Vậy :



 







2 2 2

2 1 1 1 1 1 2 1

. 2 ln ln

1 1 1 1 1 1 2 3 2 1

tdt t

I dt dt

t t t t t t t

 

 

       

        



Bài 3. Tính các tích phân sau :

2
x
0

. sinx

a e dx





2
2
0

. . x

b



x e dx

. . x

c x e dx







. x osx osxdx

d e c c











. ln 1

e



x x dx

1 ln
.

e

x

f dx

x

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

GIẢI





2 2 2

0 0 0

. sinx osx osx 2 osxdx
0

x x x

a e dx e d c e c e c e J

  



 

 

     

 

 









2 2

0 0

sinx sinx 2 sinxdx=e
0

x x x

J e d e e I I J e

 







 



   



Vậy ta có hệ :

2
2

e e

I J e I

I J e




 

    



  



 

2 2 2

2 2 2 2 2 4 2

0 0 0

2 2

1 1 1 1 1 1

. . . . .

0 0

2 2 2 2 4 4

x x x x x x

b x e dx x d e  x e  e dx  x e  e   e e 

 

 

 







1 1 11

0 0 0

1 1

. . . 1 2

0 0

x x x x x x

c x e dx x d e x e e dx  x e e e

 

          

 

 







2 2 2

0 0 0

. x osx osxdx x osxdx+ os

d e c c e c c xdx J K

  

   













2 2 2 2

0 0 0 0

osxdx= sinx sinx 2 sinxdx=e osx
0

x x x x x

J e c e d e e e d c

   







 









2 2

2 2 2

1
osx 2 osxdx=e 1 ; 2 1

2
0

x x e

J e e c e c J J e J

 

   



   



      



2 2

0 0

1 os2x 1 1

os sin 2 2

2 2 2 0 4

c

K c xdx dx x x

 




  

      

 



. Vậy :

2 1

2 4

e
I






 

.







 



1 1

0 0

. ln 1 ln 1 1

e



x x dx



x d x

.



Đặt :

t  1 x x 0 t1;x 1 t 2 f t dt( ) lntdt







2 2

1 1

2 2

ln ln ln 2ln 2 1

1 1

I tdt t t dt t t t

 



 



   

1 ln
.

e

x

f dx

x





.



Đặt :

2 2 2

2ln
2

1 ln 1 ln

1 1; 2

xdx
tdt

x

t x t x

x t x e t



 



     



     

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 4. Tính các tích phân sau

ln ln(ln )
.

e

x x

a dx

x





. ln

ln 1

e x

b x dx

x x

 



 



 



ln(ln )
.

e
e

x

c dx

x



2
2
1

ln
. x

d dx

x



3
2
6

ln(s inx)
.

e dx

c x





ln( 1)
.

x

f dx

x





GIẢI

2 2 2 2

ln ln(ln ) ln ln(ln ) 1 1

. ln ln(ln ) (ln )

2 2

e e e e

e

x x x x

a dx dx dx x x d x J

x x x



     





Tính :

ln(ln ) (ln )
e

e

J 



x d x

. Đặt :

2
2

ln 1; 2 ln

t x x e  t x e  t  J 



tdt







2 2

ln ln 2ln 2 2 1 2ln 2 1

1 1

J t t dt t t t

  



      

2 2

1 1 1

ln ln

. ln ln

ln 1 ln 1

e e e

x x

b x dx dx xdx J K

x x x x

 

    

 

 

 



-Tính J. Đặt :

2 2
2

2 1

ln 1 ln 1 2

1 1; 2

dx

tdt t

x

x t x t J tdt

t

x t x e t



 



       



     





Do đó :





2 3

1 2 4

2 1 2 2

3 1 3

J  t  dt  t  t  

 



- Tính K .





1 1 1

ln 2 .ln . ln ln ln 1

1 1 1

e e e

e dx e e

K x x x x e xdx e x x dx e x x x e

x

 

            

 



- Vậy :

4 1

2 1 2

3 3

I    e   e

ln(ln )
.

e
e

x

c dx

x





Đặt :

2 3

ln 2; 3 ln

t x x e  t x e  t  J 



tdt











3 3

ln ln 3ln 3 3 2ln 2 2 3ln 3 2ln 2 1

2 2

J t t dt t t t

  



        

2 2 2

2 2

1 1 1

2 2

ln 1 ln 1 ln 1 1 ln 2
. ln .

1 1 2 2

x x x

d dx x d dx

x x x x x x

 

   

           

     

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>





3 3 3

6 6 6

ln(sinx) 3 cosx 3

. ln(sinx).d(tanx)=tanx.ln(sinx) t anx. t anx.ln(sinx )

os sinx

6 6

e dx dx x

c x

  

 

   



Vậy :

3 ln 3 2ln 2
2 3 6

I    

.

1 1 1

0 0 0

ln( 1) 1

. 2 ln( 1). ( 1) 2 1.ln( 1) 2 2 ln 2 2
0 1

x x

f dx x d x x x dx J

x
x

 

 

          



  



-Tính J;





1
1

2 1 2 2. 2 2 ln 2 2.2 2 2 2 ln 2 2
0

J dx x I

x

        





VIII. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

Dạng 1.



Nếu hàm f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên



a b;



thì :

( ) 0
a

a

f x dx






.



Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên



a b;



thì :

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx







Vì các tính chất này khơng có trong SGK nên khi tính tích phân có dạng này ta có thể

chứng minh như sau :

Bước 1: Phân tích

( ) ( ) ( )

a a

I f x dx f x dx f x dx J K

 













 

Bước 2. Tính tích phân

( )
a

J f x dx







bằng phương pháp đổi biến số . Đặt t=-x

- Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J=-K suy ra I=J+K=0

- Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J=K suy ra I= J+K=2K

Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên R thì :

( )

( )
1

a a

x
a

f x

dx f x dx

a







Để chứng minh tính chất này ta cũng làm tương tự như trên :

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

;

1 1 1 1 1

x x x x x

f x f x f x f x f x

I dx dx dx J dx K dx

a a a a a

  

  

 

      

      



Để tính J ta cũng đặt x=-t

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên

0;2



 

 

 

thì

:

2 2

0 0

(sinx)dx= ( osx)dx

f f c

 



Để chứng minh tính chất này ta đặt :

t 2 x



 

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=f(x) hoặc f(a+b-x)=-f(x) thì đặt : t=a+b-x

Đặc biệt , nếu : a+b=



thì đặt t=



-x

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Dạng 5 . Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để tính nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm

của các hàm số f(x)



g(x) dễ xác định hơn so với f(x) . Từ đó suy ra nguyên hàm

của hàm f(x) . Ta thực hiện các bước sau :

Bước 1

. Tìm hàm số g(x)

Bước 2

. Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)



g(x), tức là :

 

1
2

( ) ( ) ( )

*
( ) ( ) ( )

F x G x A x C

F x G x B x C

  




  



Bước 3

. Từ hệ (*) ta suy ra





( ) ( ) ( )
2

F x  A x B x C

, là nguyên hàm của f(x) .

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1.

7 5 3

4
4

1
.

x x x x

a dx

c x






   







. osx.ln x+ 1+x

b c dx








1
2

1-x
. osx.ln

1+x

c c dx



 

 

 







2
1

. ln 1

d x x dx



 



4 2

x dx
e

x x





 

1 4

2
1

sinx
.

x

f dx

x







GIẢI

7 5 3 7 5 3 7 5 3

4 4

4 4 4

4 4

1 1 1

os os os

x x x x x x x x x x x x

a dx dx dx J K

c x c x c x

 

 

           

   





Tính :

0 7 5 3

4
4

1
os

x x x x

J dx

c x




   





. Đặt : t = -x , suy ra dt=-dx và :



0 7 5 3 4 7 5 3 4

4 4 4

0 0

1 1 2

os os os

t t t t x x x x

J dt dx J K dx

c t c x c x

 




         









  





Vậy :









4 4

2 3

0 0

2 1 2

2 1 tan t anx 2 tan 4

os 3 0 2 3

I J K dx x d x x

c x

 




 

          

 















2 2

2 2 2

2 2

. osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x

b c dx c dx c dx J K

 

 

   

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>



Tính :





osx.ln x+ 1+x

J c dx








. Đặt : t = -x suy ra dt =- dx .















0 2 2

2 2 2

0 0

os-t.ln -t+ 1+t ost ln 1 cosxln x+ 1+x

J c dt c t t dt dx K

 







 



  







Vậy : I= J+K =0 .

1 1

2 2

1 1 0

2 2

1-x 1-x 1-x

. osx.ln osx.ln osx.ln

1+x 1+x 1+x

c c dx c dx c dx J K

 

     

   

     

     





Tính :

1
2

1-x
osx.ln

1+x

J c dx



 

  

 



. Đặt : t = -x suy ra : dt =- dx , cho nên :



1 1

0 0 2 2

1 1 0 0

2 2

1-x 1+t 1-t 1-x

osx.ln os(-t).ln ost.ln osx.ln

1+x 1-t 1+t 1+x

J c dx c dt c dt c dx K



       

             

       





Vậy :

 I  J K 0













1 0 1

2 2 2

1 1 0

. ln 1 ln 1 ln 1

d x x dx x x dx x x dx J K

 

         





Tính :





2
1

ln 1

J x x dx







 

. Đặt : t = -x , suy ra : dt = - dx . Cho nên :















0 0 1 1

2 2 2 2

1 1 0 0

ln 1 ln( 1 ) ln 1 ln 1

J x x dx t t dt t t dt x x dx K







  



    



  



  



Vậy :

I  J K 0

.

1 0 1

4 2 4 2 4 2

1 1 0

1 1 1

x dx x dx x dx

e J K

x x x x x x

 

   

     





Tính :

4 2

1 1

x dx
J

x x





 



. Đặt : t = -x , suy ra : dt = -dx . Cho nên :



0 0 1 1

4 2 4 2 4 2 4 2

1 1 1 1 0 1 0 1

x dx t dt t dt x dx

J K

x x t t t t x x



    

       





Vậy : I=J+K=2K=

4 2

x dx

x  x 



. Đặt :

1 1

2 2

0 0

2 1 1

0 0; 1 1 2 1 2 1 3

2 2

du xdx du du

u x K

x u x u u u

u




     

         

  

  

 

   

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>



Đặt :





6
2

2 2

1 3 2 os 1 3

tan

2 2 2 2 os . 1 tan

0 ; 1 4

6 6

du dt

c t

u t K dt

c t t

u t u t



 








     

 

     







Vậy :

1 2 3 3 6 3

2 3 3 6

K dt t









  





. Do đó :

3
2

I  K 

1 4 0 4 1 4

2 2 2

1 1 0

sinx sinx sinx
.

1 1 1

x x x

f dx dx dx J K

x x x

 

  

   

  





Tính :

0 4

2
1

sinx
.
1

x

J dx

x









Đặt : t = -x , suy ra : dt = -dx



Do đó :

0 4 0 4 1 4

2 2 4

1 1 0

sinx sint sinx
.

1 1 1

x t x

J dx dt dx

x t x



  

  

  





1 4 1 4 1 1 2 1

4 4 4 4 2

0 0 0 0 0

sinx sinx 2

1 1 1 1 1

x x x dx dt

J K dx dx dx H

x x x x t

 

       

    





Đặt :





4 4

2 2

0 0

tan 4

4
os 1 tan 0
0 0; 1

du
dt

du

c u

t u H du u

c u u

t u t u



 









       



      







Vậy :

I 4



Bài 2. Tính các tích phân sau :

5
2

sin
.

1 osx

x

a dx

c




 



2
2

4 sin

xdx
b

x




 



2
2

osx
.

4-sin

x c

c dx

x










1 4

2x 1

x

d dx







1 2

1
.

1 2x

x

e dx










 



2
1

1 1
x

dx
f

e x





 

GIẢI

5 5 5

2 2

sin sin sin
.

1 osx 1 osx 1 osx

x x x

a dx dx dx J K

c c c

 

 

   

  





Tính :

0 5

sin
1 osx

x

K dx

c








</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>



 

0 5 0 2 5 2 5

0 0

2 2

sin

sin sin sin

1 osx 1 os 1 ost 1 osx

t

x t x

K dx dt dt dx K

c c t c c

 



    

    





Vậy : I=J+K =0

2 2

2 2 2

2 2

4 sin 4 sin 4 sin

xdx xdx xdx

b J K

x x x

 

 

   

  





Tính :

2
2

4 sin

xdx
J

x









. Đặt t = -x suy ra : dt = -dx , cho nên



0 2 2

2 2 2

0 0

0
4 sin 4 sin 4 sin

tdt tdt xdx

J K I J K

t t x

 



 

       

  



2 2

2 2 2

2 2

osx osx osx
.

4-sin 4-sin 4-sin

x c x c x c

c dx dx dx J K

x x x

 

 

  

   





Tính :

2
2

osx
4-sin

x c

J dx

x










. Đặt t = -x suy ra : dt = -dx , cho nên



0 2 2

2 2 2

0 0

os(-t) ost osx
( )

4 sin ( ) 4-sin 4-sin

t c t c x c

J dt dt dx

t t x

 



     

   

 



.







2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

sinx

osx osx 2 osx 1 (sinx 1 2
ln 2
4-sin 4-sin 4 sin 2 2 sinx 2+sinx 2 2 0

d

x c x c c d x

J K dx dx dx

x x x x

   



 

   

       

    





Vậy : I=

1 4
ln
2 4








1 4 0 4 1 4

1 1 0

2x 1 2x 1 2x 1

x x x

d dx dx dx J K

 

   

  





Tính :

0 4

12 1

x

J dx








. Đặt : t = -x suy ra : dt = -dx , cho nên



0 4 0 4 1 4 1 4

1 1 0 0

( ) 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

t x

x t t x

J dx  dt dt dx



    

   





1 4 1 4 1

4 5

0 0 0

2 1 1

2 1 2 1 5 5

x

x x

I  J K  dx dx x dx x 

 



1 2 0 2 1 2

1 1 0

1 1 1

1 2x 1 2x 1 2x

x x x

e dx dx dx J K

 

  

   

  

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>



Tính :

0 2

1
1 2x

x

J dx










. Đặt t = -x , suy ra : dt = -dx . Cho nên



0 2 0 0 2 1 0 2

1 1 1 0 1

1 ( )

1 2 1

1 2 1 2 1 2

x

x t x

t

x x

J dx J  dt J dx

  

 

    

  





1 2 1 2 1

0 0 0

2 1 1

1
1 2 1 2

x

x x

I J K  dx  x dx

      

 



* Ta có thể tính :

2
0

1 x dx



bằng cách :



Đặt :





2 2 2

2 2

0 0

ostdt;1-x 1 sin os

sin os 1 os2t

2
x=0 t=;x=1 t=

dx c t c t

x t I c tdt c dt

 



    



     

  







Vậy :

1 1

sin 2 2
2 2 0 4

I t t




 

    

 



 





 





 



1 0 1

2 2 2

1 1 0

1 1 1 1 1 1

x x x

dx dx dx

f J K

e x e x e x

 

   

     





Tính :



 



1 x 1 1

dx
J

e x





 



. Đặt : t = -x ,suy ra : dt = -dx. Cho nên





 





 





 



0 1 1

2 2 2

1 1 1 0 1 1 0 1 1

t x

t t x

dt e dt e dx

J

e t e t e x



  

     





Vậy :



 



1 1

2 2

0 0

1 1 1 1

x

x x

e dx

J K dx

x

e x e x

 

 

   

      

 





Tính :

1
2

0 1

dx

x 



. Đặt :





4
2

2 2

1
os
tan

os 1 tan

0 0; 1

dx dt

dt

c t

x t I

c t t

x t x t









     



      







Vậy : I=

4
4
0

dt t





 



Bài 3. Tính các tích phân sau :

sin
.

3x 1

x

a dx









1 2

1
.

1 2x

x

b dx










 



2
1

4x 1 1

dx
c

x





 

s inxsin3xcos5x
.

1 x

d dx

e




 



6 6

sin os
.

6x 1

x c x

e dx










2
2

x
2

sinx
.

1+2

x

f dx








</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

2 2 2

sin sin sin
.

3x 1 3x 1 3x 1

x x x

a dx dx dx J K

 

 

   

  



Nếu áp dụng bài toán dạng 2 ( Như các bài tập : 1-2 ). Thì bài 3 ta viết gọn lại như sau :





0 0

sin 1 1 1

. sin 1 os2x sin 2
0

3x 1 2 2 2 2

x

a dx xdx c dx x x

  



 



 

       

  







1 2 1

2 3

1 0

1 1 1 4

. 1 1

1 2x 3 3 3

x

b dx x dx x x



  

       

  







 



1 1

2
2

1 0

1
4x 1 1

dx dx

c

x
x






 



. Đặt :





4
2

2 2

1
os
tan

os 1 tan
0 0; 1

dx dt

dt

c t

x t I

c t t

x t x t









     



      





Vậy : I=

4
4
0

dt t





 



2 2 2

0 0

sinxsin3xcos5x 1 1 1 1
. sinxsin3xcos5xdx= os3x+ os7x- osx- os9x

1 x 4 4 4 4

d dx c c c c dx

e

  




 

  

  



1 1 1 1 1 1 1 1 146

sin 3 sin 7 sinx- sin 9 2

12 28 4 36 12 28 4 36 369
0

I x x x



 

         

 





6 6

4 4 4

6 6

0 0

sin os 5 3 5 3 5 3

. sin os os4x sin 4 4

6 1 8 8 8 32 32

0
x

x c x

e dx x c x dx c dx x x

  








     

         

    











2 2 2 2

2 2 2

0 0 0

sinx

. s inxdx=- osx osx 2 2 cos 0 2 2
1+2

x

f dx x x d c x c x xdx K K

   





 

 

       

 

 



- Tính :

2 2 2

0 0 0

. osxdx= . (sinx)=x.sinx 2 sinxdx= osx 2 1

2 2

0 0

K x c x d c

  

 









  

.

- Vậy :

I 2K 2 2 1 2



 

     

 

Bài 4. Tính các tích phân sau :





n
2

*
n

os
.

os sinn

c x

a dx n N

c x x








7
2

7 7

sin
.

os sin

x

b dx

c x x







sinx
.

sinx osx

c dx

c






2010
2

2010 2010

sin
.

sin os

x

d dx

x c x







4
2

4 4

os
.

sin os

c x

e dx

x c x







6
2

6 6

sin
.

sin os

x

f dx

x c x







</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>





n
2

*
n

os
.

os sinn

c x

a dx n N

c x x








. Đặt :

2 0 2; 2 0

dt dx

t x

x t x t



 





  

      



0 2 2

n n

n 0 0

sin sin
2

sin os sin os
sin os

2 2

n n

n

c t

t x

I dt dx

t c t x c x

t c t dt

 



 

 



 

 

    

 

   

  

   

   



2 2

2 4
0

I dx x I



 





   

Tương tự cách làm như vậy đối với phần a của bài 3 . Các phần sau đều có kết quả như

nhau .

2 2

7 7

0 0

sin

. 2 2

os sin 0 2 4

x

b dx I dx x I

c x x

 



 

     





2 2

0 0

sinx

. 2 2

2 4

sinx osx 0

c dx I dx x I

c

 



 

     





2010

2 2

2010 2010

0 0

sin

. 2 2

sin os 0 2 4

x

d dx I dx x I

x c x

 



 

     





2 2

4 4

0 0

. 2 2

sin os 0 2 4

c x

e dx I dx x I

x c x

 



 

     





2 2

6 6

0 0

sin

. 2 2

sin os 0 2 4

x

f dx I dx x I

x c x

 



 

     





Bài 5. Tính các tích phân sau :

2
0

.sinx
.

4-cos

x

a dx

x




osx
.

4-sin

x c

b dx

x






1 sinx
. ln

1+cosx

c dx





 

 

 







. ln 1 t anx

d dx







3
0

. . os

e x c xdx





. .sin

f x xdx





GIẢI

2
0

.sinx
.

4-cos

x

a dx

x






Đặt :













sin

0 ; 0 4 os

dx dt t t

t x I dt

x t x t  c t

 



  

  



      

       

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>



2 2

0 0

sinx .sinx

2 ;

4-cos 4-cos 2

x

I dx dx J I I J I J

x x

 



  

 







     



Tính :

2 2

0 0 0

s inx ( osx) 1 ( osx ( osx 1 osx-2 1
ln ln 3

0
4-cos os 4 4 cosx-2 cosx+2 4 cosx+2 2

d c d c d c c

J

x c x

   

 

      

  





Vậy :

. ln 3 ln 3
2 2 4

I  

2
0

osx
.

4-sin

x c

b dx

x






. ( Sai đề )

1 sinx
. ln

1+cosx

c dx





 

 

 





Đặt :





1 sin
2
ln

2 0 ; 0 1+cos

2 2 2

t

dx dt

t x I dt

x t x t  t




 



  

 



   

 

  

     

          

 

  

 

 





2 2

0 0

1 ost 1 sinx

ln ln 2 0; 0

1+sint 1+cosx

c

I dt dx I I I

 



 

   

          

   







. ln 1 t anx

d dx







.



Đặt :





ln 1 tan

4 0 ; 0 4

4 4

dx dt

t x I t dt

x t x t 

 




  



          

         











4 4 4 4

0 0 0 0

1 t anx 2

ln 1 ln ln 2. ln 1 t anx ln 2

1+tanx 1 t anx 4

I dx dx dx dx I

   




   

            



   





Vậy :

2I 4ln 2 I 8ln 2

 

  

3
0

. . os

e x c xdx





.



Đặt :







 



3
2

2 2 os 2

0 2 ; 2 0

dx dt

t x I t c t dt

x t x t 

  

 




         

     











2 2 2

3 3

0 0 0

2 os . os 2 os3x+3cosx
4

I c xdx x c xdx c dx I

  

 

 















Vậy :





2
1

os3x+3cosx sin 3 3sin 0
0

4 4 3

I c dx x x

 

   

     

 



3
0

. .sin

f x xdx





</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>



Đặt :







 



sin

0 ; 0

dx dt

t x I t t dt

x t x t 

  

 




        

     











3 3 3





0 0 0 0

sin sin sin 3sin sin 3
4

I x xdx xdx x xdx x x dx I

   



 

 



 











 



Vậy :





1
3sin sin 3 3cos os3x

8 8 3 3

I x x dx x c

 

    

      

 



Bài 6. Tính các tích phân sau :

1 sinx

xdx
a







.sinx
.

2+cos x

x

b dx





.sinx
.

1+cos

x

c dx

x




. sin 4 .ln(1 t anx)dx

d x







.sinx
.

9+4cos

x

e dx

x




. .sinx.cos

f x xdx





GIẢI

1 sinx

xdx
a







.



Đặt :



 







0 , 0 1 sin

dx dt t dt

t x I

x t x t  t




  

  



     

       







0 0 0

1 1

. tan 1

1 sinx 1 s inx 2 os 2 2 4 2

2 4

dx xdx x

I dx I I

x
c

   

  

 



 

          

      

 

 



2
0

.sinx
.

2+cos x

x

b dx





.



Đặt :







 







2
2

sin

0 , 0 2 os

dx dt t t dt

t x I

x t x t  c t

 



  

   



     

       















2 2

0 0 0

osx
sinx sin

ln 2 os 0
0
2-cosx 2 os x 2 os x 2

d c

x x

I dx dx I I c x

c c

   



 

       

 



2
0

.sinx
.

1+cos

x

c dx

x




. Giống cách giải của câu b.(Học sinh tự giải )

. sin 4 .ln(1 t anx)dx

d x







.



Đặt :





sin 4 ln tan

4 0 ; 0 4 4

4 4

dx dt

t x I t t dt

x t x t 

  

 




 

   



            

           











4 4 4

0 0 0

ln 2
sin 4 . ln 2 ln(1 t anx ln 2 sin 4 sin 4

I x dx xdx I I xdx

  

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>



Vậy :

ln 2 1 ln 2
. os4x 4

2 4 4

I c



 

2
0

.sinx
.

9+4cos

x

e dx

x




.



Đặt :







 







sin

0 ; 0 9 4cos

dx dt t t dt

t x I

x t x t  t

 



  

   



     

       











2 2 2

0 0 0

sinxdx .sinx ( osx)

ln 9 4cos 0
0
9+4cos 9+4cos 9 4cos 2

x d c

I dx I I x

x x x

   



 

        





4
0

. .sinx.cos

f x xdx





.



Đặt :











 



sin os

0 ; 0

dx dt

t x I t t c t dt

x t x t 

   

 




         

     











4 4 4

0 0 0

sinx.cos .sinx.cos os . osx

I xdx x xdx c x d c I

  

 

 















1
os

2 5 5

I   c x  

    

 

Bài 7. Tính các tích phân sau

sinx
.

sinx-cosx

a dx





sinx
.

sinx+cosx

b dx





2
2
0

. 2sin .sin 2

c x xdx





2
2
0

2cos .sin 2

d x xdx





. xex x

e dx

e e







. xe x x

f dx

e e









GIẢI

sinx
.

sinx-cosx

a dx







Chọn :

2 2 2

0 0 0

osx sinx+cosx

;
2

sinx-cosx 0 2 sinx-cosx

c

J dx I J dx x I J dx

  









  



   









sinx-cosx

ln sinx-cosx 2 0
sinx-cosx 0

d
I J



</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>



Vậy :

4
0

I J

I
I J






 



 



  



sinx
.

sinx+cosx

b I dx







. Chọn :

osx
sinx+cosx

c

J dx













2 2

0 0

sinx+cosx

; ln osx+sinx 0

2 2

2 sinx+cosx

0 0

d

I J dx x J I c

 



 



   



 



Vậy :

4
0

I J

I
J I






 



 



  


2
2

. 2sin .sin 2

c I x xdx







. Chọn :

2
2
0

2cos sin 2

J x xdx













2 2

0 0

2 sin os sin 2 2 sin 2 os2x 2 2
0

I J x c x xdx xdx c

 



 



 



 







2 2 2

2 2

0 0 0

2 os sin sin 2 2 os2x.sin2xdx= sin 4 os4x 2 0
4 0

J I c x x xdx c xdx c

  



 



 



 



Vậy : I=1

2
2
0

2cos .sin 2

d x xdx





. Giải giống bài 6-c .Ta cũng có kết quả : I = 1

x

x x

e

e dx

e e







. Chọn :

x

x x

e

J dx

e e





 











1 1 1

1 1

2. ln 0

1 1

x x

x x x x

d e e

e e

I J dx x I J dx e e

e e e e






 

  




         

   





Vậy : I=1.

x

x x

e

f dx

e e










. ( Cách giải giống như câu e. )

BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN

Bài 1. Tính các tích phân sau

2
3
0

a



x  x dx

3 7

8 4

1 2

x

b dx

x x

 



3
2
1

. 2 1

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

2
2

1
.

x

d dx

x




 

 



 



0
2
1

2 4

dx
e

x x





 

2 3 2

2
0

2 4 9
.

x x x

f dx

x

  





GIẢI

2
3
0

a



x  x dx

.Bằng cách xét dấu ta thấy :

f x( )x3 x0, x



1;2 ; ( ) 0



f x   x



0;1



Vậy :









1 2

3 3 2 4 4 2

0 1

1 2

1 1 1 1 5

0 1

2 4 4 2 2

I  x x dx  x  x dx x  x   x  x  

   







 





4 4

3 7 3 4 3 3

2 2

8 4 4 4

2 2 2

. 1
.

1 2 1 4 1

x d x

x x x dx

b dx

x x  x  x

   





Đặt :









81 81 81

4 3

2 2

16 16 16

4 1 1

4 4 1

2 16, 3 81 1 1

t x dt x dx tdt dt dt

I

t

x t x t t t

 

   

     





         













1 1 1 1 1

ln 1 ln 80 ln15
16

4 1 4 80 15

I t

t

   

          



   









3 3

2 3

1 1

1 8

. 2 1 1 1

3 3

c



x  x dx



x dx x 

.

2
2

1
.

x

d dx

x




 

 



 



.



Nhận xét :





2 2

1 3 6 9

( ) 1 1

2 2 2 2

x
f x

x x x x



   

       

  

    



Vậy :

2
9 39

6ln 2 6ln 4
1

2 4

I x x

x

 

      




 





 

0 0

2 2

1 1

2 4 1 3

dx dx

e

x x x

 



   





Đặt :

6 6

2 2

0 0

3
os

1 3 tan 3

os .3(1 tan ) 3
1 0, 0

dx dt dt

c t

x t I dt

c t t

x t x t

 








     




     







Vậy :

3 3

3 6 18

I   

2 3 2 2

2 2

0 0

2 4 9 1

. 2

4 4

x x x

f dx x dx

x x

    

    

   





2
2

2
0

1 16

2
0

2 4 3

dx

I x x J

x

 

     



</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>



Đặt :





4 4

2 2

0 0

2
os

2 tan 2

os .2 1 tan
0 0, 2

dx dt

dt

c t

x t J dt

c t t

x t x t

 







     



      







Vậy :

16
;

4 3 4
0

J t I



 

    

Bài 2. Tính các tích phân sau :





. 2 2

a x x dx



  



1
2
0

2 5 2

dx
b

x  x



1 3

2
0

x

c dx

x 







3
0

xdx
d

x







2
0

xdx
e

x



1
2
0

.
1

xdx
f

x





GIẢI





. 2 2

a x x dx



  



. Bằng cách xét dấu :

f x( ) 2 x x  



1; 2 ; ( ) 4



f x   x



2;5



- Vậy :

2 5

1 2

2 5

2 4 4 4 1 20 8 15

1 2

I xdx dx x x



        





1 1

0 0

1
1

1 1 1 1 2 1 9

. ln ln

1 0

2 5 2 2 2 2 2 2 2
2

x
dx

b dx

x x x x x

 



 

     

      

 



 

2 2

1 3 1

2 2

0 0

1
.

1 2 1

x d x
x

c dx

x   x 



.



Đặt :

1 1

0 0

0 0; 1 1 1

1 1

tdt

t x x t x t I dt

t t

 

             

   





Vậy :



ln 1



1 1 ln 2
0

I  t t  

















1 1

3 2 3 2

0 0

1 1 1 1 1 1

. .

1 2 8

1 1 1 1

xdx

d dx

x

x x x x

   

        

  

       











1 1

2 2

0 0

1 1 1 1

. ln 1 ln 2

1 1 2

1 1

xdx

e dx x

x x

   

         

   

   











1 1

2 2

0 0

1 1

1 1 1

. ln 1 ln 2

1 2 1 2 2

d x

xdx

f x

x x



   

 



Bài 3. Tính các tích phân sau :

x

a dx

x x



3 2

. 1

b



x x dx

9
3
1

. 1

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

3 5 3
2
0

2
.

x x

d dx

x






2
.

5 4

dx
e

x





 

2 4

5
0

x

f dx

x 



GIẢI

x

a dx

x x



.



Đặt :

1 2 1

0 0

2 1 1

1 1 2 2

1 0, 2 1 1 1

dx tdt t

t x x t I tdt t dt

x t x t t t



   

            

         







Vậy :

2 1

2 ln 1
0
2

I   t  t  

 

3 3

3 2 2 2

0 0

. 1 1

b



x x dx



x x xdx

.



Đặt :





2 2 2 2 2

1 1 1

0 1, 3 2

xdx tdt

t x x t I t t dt

x t x t




        

     







Vậy :





4 2 5 3

2
1 1 58

1
5 3 15

I  t  t dt t  t  

 



9
3
1

. 1

c



x  xdx

.



Đặt :









2 2

1 1 1 . 2

1 0, 9 2

dx tdt

t x x t I t t tdt

x t x t






          

     







Vậy :





2 4 3 5

1 1 112

2 2

3 5 15

I t t dt t t



 

      



 







2 2

3 5 3 3

2 2

0 0

2
2

1 1

x x xdx

x x

d dx

x x





 





Đặt :



 







2 2

2 2 2 2

2 4

1 1

1 1 .2
1;

1 2 1

0 1, 3 2

t t t tdt

x t xdx tdt

t x I t tdt

t

x t x t

 

   

       

     







Vậy :

5 2 2

1 1 59
2

1
5 2 5

I   t  t  

 

2
.

5 4

dx
e

x





 

.



Đặt :

3 3

2 2

5, 2 2.2 4

5 4 1

4 4

1 2, 4 3

x t dx tdt tdt

t x I dt

t t

x t x t

     

         

 

       







Vậy :









3 6

4 4ln 4 4 4 ln 6 ln 7 4 4ln

2 7

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>









2 4 2

5 5

0 0

1 2

1 2 2

. 1 33 1

5 5 5

1 1

d x

x

f dx x

x x



    

 



Bài 4. Tính các tích phân sau :

5 2

. 1

a



x  x dx

2 3

. 1 .

b



x x dx

2 2

. 4

c



x  x dx

2 2

xdx
d

x x

  



. 1

e x xdx







3 2

. 3

f



x x  dx

GIẢI

1 1

5 2 4 2

0 0

. 1 1

a



x  x dx



x  x xdx



Đặt :













0 1

2 2

2 2 2 4 2

1 0

1 ;

1 1 . 2 1

0 1, 1 0

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t t dt

x t x t

   

          

     







Vậy :

7 5 3 1

1 2 1 8
0
7 5 3 105

I  t  t  t  

 

3 3

2 3 2 2

0 0

. 1 . 1

b



x x dx



x x xdx



Đặt :









2 2 2 2

2 2 4 2

1 1

1 1 .

0 1, 3 2

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     







Vậy :

5 3 2

1 1 58
1
5 3 15

I  t  t  

 

2 2

. 4

c



x  x dx

.



Đặt :

2 2

0 0

2 ost ; 4 ost

2sin 4sin .2cos .2cos 4sin 2
x=0 t=0.x=2 t=

dx c dt x c

x t I t t tdt tdt

 



   



    



 







Vậy :





1 os4t sin 4 2
4 0 2

I c dt t t






 

     

 















2 2 2 1 1

2 2

1 1 1

1 1

. 2 2 2 2

2 2

xdx

d x x dx x x dx

x x

 

         

    



- Vậy :









3 3

2 2 2

1 2 2 22

2 2 3

2 3 3 9

I   x   x   

 

. 1

e x xdx









Đặt :









1 1

2 4 2

0 0

1; 2

1 1 .2 2

1 0, 0 1

x t dx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>



Vậy :

5 3 1

1 1 1 1 4

2 2

5 3 5 3 15

I   t  t     

   

1 1

3 2 2 2

0 0

. 3 3.

f



x x  dx



x x  xdx



Đặt :









2 2 2 2

2 2 4 2

3 3

3 1 .

0 3, 1 2

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     







Vậy :

5 3 2

1 1 56 12 3
5 3 3 15

I  t  t   

 

Bài 5. Tính các tích phân sau :

3
.

3 1 3

x

a dx

x x




  



7 / 3
3
0

1
.

3 1

x

b dx

x






2 1

dx
c

x x







1 2

2
3

x x

d dx

x





3 3 3

. 1

e



x  x dx

3 2

. 1

f



x  x dx

GIẢI

3
.

3 1 3

x

a dx

x x




  





Đặt :

2 2

1 1

1 0; 3 2

dx tdt

t x x t

x t x t




      

     





Vậy :



 





 



2 2 2 2

2
2

0 0 0

2
2 2

4 3 1

2 2 2 3 2 3 3ln 2

3 2 1 2 2 2

t t t

t

I tdt dt t dt t t t

t t t t t

 

    

            

        



</div>

BAI GIAI TICH PHAN XAC DINH

<b>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH</b>

<b>Bài 1. Tính các tích phân sau :</b>





<sub></sub>

















 



<sub></sub>





<sub></sub>





<sub></sub>







<i>GIẢI</i>







































 



<sub></sub>

<sub></sub>

































<b>Bài 2. Tính các tích phân sau </b>

<sub></sub>







<sub></sub>





<sub></sub>

<i>GIẢI</i>







