<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC</b>
<b>I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP</b>

Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n <b>N</b> ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự

nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vơ hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như
sau

<i><b>Bước 1</b></i> : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0

<i><b>Bước 2</b></i> : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k 0

bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 .

<i><b>Ví dụ</b></i> : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có đẳng thức :

an_-bn_=(a-b)(an-1_+an-2_{b +…..+ b}n-1₎
<i><b>Chứng minh</b></i>

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp .
* Khi n=2 ta có a2_-b2_{=(a-b)(a+b) là đúng}

* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : ak_-bk_=(a-b)(ak-1_+ak-2_{b +…..+ b}k-1₎

Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là C/m ak+1_-bk+1_=(a-b)(ak_+ak-1_{b +…..+ b}k_{) .}

Thật vậy ta có :

VT = ak+1_{- b}k+1_{= a}k+1_-ak_{b + a}k_{b -b}k+1_{= a}k_{(a-b)+ b(a}k_-bk_{) = a}k_{(a-b) + b(a-b)(a}k-1_+ak-2_{b +…..}

+ bk-1₎

= (a-b)[ ak_{+ b(a}k-1_+ak-2_{b +…..+ b}k-1_{)] = (a-b)(a}k_+ak-1_{b +…..+ b}k_{) = VP}

Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n  2

<b>Bài 1</b>: Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n =

2
1)
n(n

<b>Bài 2</b>: Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2 =




1)(2n )
n(n

<b>Bài 3:</b> Chứng minh rằng với mọi n  N biểu thức Un=13n -1 chia hết 6.
<b>Bài 4</b> : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  3 ta có 2n > 2n+1

<b>Bài 5: </b> Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4.32n 2 32n 36 64

  

<b>Bài 6</b> : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n)  1.3.5…
(2n-1)

<b>Bài 7</b> : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta ln có: n3_+2n_₃

<b>Bài 8</b>: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta ln có: 16n 15n 1 225 

<b>TÍNH CHIA HẾT</b>
<b>A. CHIA HẾT SỐ NGUYÊN</b>

1. <b>Định nghĩa</b>: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b0). Tồn tại một và chỉ một cặp số
nguyên (q, r) sao cho a = bq + r với 0 <i>r</i> <i>b</i> .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

* Nếu r  0 phép chia a cho b là có dư
2. <b>Tính chất của qua hệ chia hết</b>:

a  a

a b và b  a thì a = b
a  b và b  c thì a  c

a  m thì ka  m và ak  m
a  m, b  m thì ab  m

ab  m mà a  m thì b  m
a  m, b  n thì ab  nm
a  m thì an  mn

an __{m, m nguyên tố thì a}__m

a  m, a  n mà (n, m) = 1 thì a  mn

a  m, a  n, a  k; n, m, k nguyên tố sánh đơi thì a  mnk
a  m, b  m thì ab  m

* Trong n số nguyên liên tiếp (nN*) có một và chỉ một số chia hết cho n.

* Trong n+1 số ngun bất kì (nN*) chia cho n thì có hai số chia cho n có cùng số dư.

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư
của n chia cho p.

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đơi một
ngun tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó.

* Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi
chia x cho m.

<b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b> :<b> </b>

<b>1/Phương pháp 1 :</b> A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n2_+1)(n2_{+4) chia hết cho 5}

n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5

a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5

b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2_{= 25k}2_{+10k +1 thì (n}2_{+4) chia hết cho 5=> A(n) chia}

hết cho 5

c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2_{= 25k}2_{+20k +4 thì (n}2_{+1) chia hết cho 5=> A(n) chia}

hết cho 5

d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2_{= 25k}2_{+30k +9 thì (n}2_{+1) chia hết cho 5=> A(n) chia}

hết cho 5

e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2_{= 25k}2_{+40k +16 thì (n}2_{+4) chia hết cho 5=> A(n) chia}

hết cho 5

<b>2/Phương pháp 2</b> : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q

a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết
cho p.q

b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng
minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>4/ Phương pháp 4</b> : Để chứng minh A(n) _{m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có}
một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)

+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
an_{– b}n __{a – b ( a}__{b) n bất kỳ.}

an_{– b}n __{a – b ( a}__{- b) n chẵn.}

an_{+ b}n __{a + b ( a}__{- b) n lẻ.}
<b>5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học :</b>

Bài 1. Chứng minh rằng :

a) n5 _{- 5n}3_{+ 4n}__{120 ; với}__n__Z

b) n3_-3n2_-n+3__{48 ; với}__{n lẻ}

c) n4_{+ 4n}3_-4n2_-16n__{384 với}__{n chẵn}

Bài 2. CMR: a) _n4 _{n 12}2

 

b) n(n 2)(25n 21) 24 _{c) Chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n}5_là

giống nhau.

d) (a b) 6   (a3b ) 63  _{e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1. CMR}_n2 _{1 24}

 

g) 32n 1 2n 2 7

  _f)32n 2 2 6n 1 11

<b>B, CHIA HẾT</b>
<b>ĐA THỨC :</b>

<i><b>1. Ta sử dụng định lý Bơ zu :</b></i>

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại
x = a.

Từ đó ta có các hệ quả : Đa thức f(x) _{( x – a) < = > f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm}

của đa thức

Từ đó suy ra :

Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ
thì

f(x) _{( x + 1)}

<i><b>2.Đa thức bậc 2 trở lên :</b></i>

Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa
thức chia.

Cách 2 : Xét giá trị riêng.

<i><b>3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : </b></i>

Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa
thức chia.

Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia.

Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) _{g(x) ta chứng minh : f(x)}

+ g(x)_{g(x) hoặc f(x) - g(x)}_g(x).

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>BÀI TẬP</b>

Bài 1. Xác định các hằng số a ; b sao cho:
a) 4x 2 _{- 6x + a}__(x-3)

b) 2x2 _{+ x + a}__(x+3)

c) x3 _{+ ax}2 _{- 4}__(x2 _{+ 4x + 4)}

d) 10x2 _{- 7x + a}__{(2x - 3)}

e) 2x2_{+ ax + 1 chia cho x - 3 dư 4}

g) ax5_{+ 5x}4_{- 9}__(x-1)

Bài 2 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 _{+ ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì}

dư -5

Bài 3 Tìm n  Z để : a/ n2 + 2n – 4 ₁₁

b/ 2n3_{+ n}2_{+ 7n +1}__{2n – 1}

c/ n3_{– 2}__{n – 2}

d/ n3_{- 3n}2_{+ 3n - 1}__n2_{+n + 1}

e/n4_{– 2n}3 _{+ 2n}2_{– 2n + 1}__n4_{– 1}

Bài 4: Tìm số dư phép chia x99_{+ x}55_{+ x}11_{+x + 7 cho x + 1}

Bài 5: CMR : a/ x50_{+ x}10_{+ 1}__x20_{+ x}10_{+ 1}

b/ x2_{- x}9_{– x}1945 __x2_{- x + 1}

c/ x10_{- 10x + 9}__{(x – 1)}2

d/ 8x9_{- 9x}8_{+ 1}__{(x – 1)}2

<b>PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN</b>

<b>I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUN </b>

<b>1. Dạng 1: Phương trình bậc nhất.</b>

<b> a. Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên) </b>

* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn
hơn)

- Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn .
Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm cịn lại.

- Kết luận nghiệm<b>Bài tập mẫu</b>: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11

Giải:

<i><b>Cách 1</b></i>: 2x + 3y = 11
1 y

x y 5

2

   

x nguyên khi 1 y 2 hay y = 2t + 1 t  

 _{x = 4 – 3t}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

x 4 – 3t
y 2t 1





 

 t  Z

<i><b>Cách 2</b></i>: 2x + 3y = 11
d = (a, b) = (2, 3) = 1
nghiệm riêng: (x0, y0) = (4, 1)

1

1
a
a

d
b
b

d







 _



 _nghiệm tổng quát

0 1
0 1
x x b t

y y a t

 




 



Vậy nghiệm phương trình là:

x 4 – 3t
y 2t 1





 



<b>Ví dụ 1 </b> Giải phương trình: 11x + 18 y = 120

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 – 1

 11(x + 2y -11 ) = 4y – 1

1 4y – 1  11 => 12y – 3  11

 y – 3  11 => y = 11t + 3 (t <i>Z</i>)

x = 6 – 18 t.

1 Vậy nghiệm pt là:

6 18
11 3

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>
 



 

 _(t<i>Z</i> )

<b>Ví dụ 2 </b>Tìm nghiệm ngun dương của phương trình: 12x + 7y = 45 (1)

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

Theo cách giải trên ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình (1) là

7 12
27 12

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

 




 


Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có:

7 12 0
27 12 0

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

  




  

 _{=> t = 2}

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là

2

3

<i>x</i>
<i>y</i>








<b> b. Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên)</b>

<b>Ví dụ</b> Tìm nghiệm ngun của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

2 (1)  3(2x +5y +3 z-1) = - z

=> z3 => z = 3t (t <i>Z</i>)
3 Thay vào phương trình ta có:
2x + 5y + 10t = 1 (t <i>Z</i>)

Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được:

Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý

<b>Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5x – 3y = 2xy – 11 (1)

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>
<b>Cách 1</b>: Rút y theo x: y =

5 11 5
2

2 3 2 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)

Vì y nguyên => x + 5  2x + 3 => …. 7  2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: 1;6);
(-1; -2);

(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.

<b>Cách 2</b>. Đưa về phương trình ước số:

<b>Cách 3</b>: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x ngun.

<b>Ví dụ 2 </b> Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x 2_{+ 2y}2_{+3xy –x – y + 3 =0 (1)}

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.

<b>3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. </b>

<b>Ví dụ 1 </b> Tìm nghiệm ngun của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2₍₁₎
<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

Phương trình (1)  (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

Đặt a = x2_{+ 3x (ĐK: a}_₂_(*)

Ta có: a2_{– 1 = y}2_{GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: => nghiệm}

phương trình (1)

<b>Ví dụ 2. </b>Tìm nghiệm ngun của phương trình:
x3_{- y}3_{= xy + 8 (1)}

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

Ta có: <i>x y x</i> . 2<i>xy y</i> 2 8 Ta có x khác y vì nếu x = y => x2_{+ 8 = 0 Vơ lý.}

Vì x; y nguyên => <i>x y</i> 1 => <i>x</i>2<i>xy y</i> 2 <i>xy</i>8 => x2_{+ xy + y}2 <i>xy</i>8₍₂₎

Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y)2  -8. Vô nghiệm.
Nếu xy +8 > 0 => (2)  x2 + y2  8

=> x2_{, y}2 



0;1; 4



_{Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)}
<b>4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.</b>

<b> Ví dụ 1 </b>Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

1 1 1 1
6 6

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>  ₍₁₎

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

<b>Ví dụ 2 </b> Tìm x nguyên sao cho




17
9

<i>x</i>

<i>x</i> là bình phương của một phân số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Giả sử




17
9

<i>x</i>

<i>x</i> ₌

 
 
 

2

<i>a</i>

<i>b</i> _{Với a, b nguyên, b khác 0 và (a, b) = 1.}

Nếu a = 0 => x = 17.

Nếu a khác 0. Ta có (a2_{, b}2_{) = 1 => x – 17 = a}2_{.k; x – 9 = b}2_{.k (k nguyên)}

Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k

Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình
x =17; 18; 8

<b>5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ.</b>
<b>Ví dụ </b> Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
2x_{+ 3 = y}2₍₁₎

<i><b>Hướng dẫn giải</b></i>

3 Nếu x = 0 => y2_{= 4 => y = 2 hoặc y = -2.}

4 Nếu x = 1 => y2_{= 5 Vô nghiệm nguyên.}

5 Nếu x 2 => 2x  4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y2 chia 4 dư 1
=> Vô lý.

6 Vậy nghiệm nguyên của (1) là:
(0; 2); (0; -2)

<b>II. BÀI TẬP</b>:

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) 2x + 3y = 11

b) 3x + 5y = 10

2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 5y = 65

3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11.
4. Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11.

5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số cịn lại chia đều cho 79 người.
Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?

<b>BẤT ĐẲNG THỨC</b>

<i>I.</i> <i><b>Tính chất cơ bản của BĐT</b>:</i>

a) a < b, b < c  _{a < c}
b) a < b  _{a +c < b+ c.}
c) a< b _{a.c < b.c (với c > 0)}
a< b _{a.c > b.c (với c < 0)}
d) a < b và c < d _{a+c < b + d.}

e) 0 < a < b và 0 < c < d  _{a.c < b.d}
f) <i>a b</i>  <i>a</i>2<i>n</i>1<i>b</i>2<i>n</i>1 n



 



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

0<i>a b</i>  2<i>na</i>2<i>nb</i> n



 



<i><b>II. BĐT Cauchy: (Cô–si)</b></i> 2 a,b 0

<i>a b</i>

<i>ab</i>    

Đẳng thức 2

<i>a b</i>
<i>ab</i> 

xảy ra khi và chỉ khi a = b.

a, b, c 0

3

 

<i>a b c</i>  

<i>abc</i>
<i><b>Hệ quả</b></i>:

1
a + 2

a  _, a 0  <i><b>_{III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối}</b></i>
a)|x| 0,|x| x, |x| -x

b) |x|  a  _-a x  a ( với a > 0)
|x|  a  _x -a hoặc x  a

c) |a|-|b|  |a+b|  |a| + |b|.

<i><b>II. BĐT Bunhinacôpxki</b></i>

<i><b>Cho a, b, x, y là các số thực, ta có:</b></i>




 )( )

(<i>_a</i>2 <i>_b</i>2 <i>_x</i>2 <i>_y</i>2

(ax + by)2

Đẳng thức xảy ra khi:

<i>a</i> <i>b</i>
<i>x</i> <i>y</i>

Tổng quát: Cho 2n số thực: <i>a a</i>1, ,.., ; , ,..,2 <i>a b bn</i> 1 2 <i>bn</i>

Ta có:

1 1 2 2

|<i>a b</i> <i>a b</i>  .. <i>a b_{n n}</i>|  2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

(<i>a</i> <i>a</i>  .. <i>a_n</i>)(<i>b</i> <i>b</i>  .. <i>b_n</i>)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1 2
1 2

.. <i>n</i>
<i>n</i>

<i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>

<i>b</i> <i>b</i>  <i>b</i>

<i><b>III.</b></i> <i><b>BĐT Becnuli</b></i>

Cho a > -1, n  N* :
(1+ + a)n __{1 + na.}

Đẳng thức xảy ra khi
a = 0 hoặc n = 1

<b>2 Bất đẳng thức Cô-si mở rộng:</b>

Cho n số không âm: a1; a2; …; an.. Ta có:

1 2 1 2

a ... <i>a</i> ...

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>n a a a</i>

   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

a <i>a</i>  ... <i>an</i>

<b>Bài 1:</b>

Cho hai số dương a và b . Chứng minh : (a+b)( b

1
a
1



)  4

<b> Giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

(a+b) 2 ab
1 1 1

+ 2
a b ab

1 1 1

(a+b) 2 .2 =4
a <i>b</i> <i>ab</i> ab





 
 
 
 

Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b.

<b>Bài 2:</b> Với mọi a, b,x,y, thuộc .

Chứng minh rằng:



 



2 2 2

|<i>ax by</i>| <i>a</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>y</i>

   

Áp dụng :

<b>1.</b> Cho x2 + y2 =1 , chứng minh - 2 x+y  2

<b>2.</b> Cho x+2y = 2 , chứng minh x2 + y2  5

4

<b>Bài 3</b>

Cho ba số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:



<i>a b c</i>



1 1 1 9

<i>a b c</i>

 

  _   _

 

<b>Bài 4:</b> Cho

3

ab+bc+ca
, , 0. C/m:

3

<i>a b c</i>  <i>abc</i>

<b>Bài 5: </b> Cho a,b,c >0. C/m:

<i>ab bc ca</i>

<i>a b c</i>
<i>c</i>  <i>a</i>  <i>b</i>   
<b>Bài 6:</b> Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1.

Chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1 64

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

     

   

     
     

<b>Bài 7: </b> CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:




 )( )

(<i>_a</i>2 <i>_b</i>2 <i>_x</i>2 <i>_y</i>2

(ax + by)2_{.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?}

<b>Bài 8</b>: Cho a, b, c, d > 0. Cm:



<i>a</i> <i>c</i>



<i>b</i> <i>d</i>



<i>cd</i>

<i>ab</i>   

<b>Bài 9:</b> CM bất đẳng thức:





2





2
2

2
2

2 <i>_b</i> <i>_c</i> <i>_d</i> <i>_a</i> <i>_c</i> <i>_b</i> <i>_d</i>

<i>a</i>       

<b>Bài 10</b>: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT

2

2
2

2 <i>_a</i> <i>_b</i> <i>_c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>  








<b>Bài11:</b> CM với mọi n nguyên dương thì:

2
1
2

1
...
2
1
1
1








 <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<b>Bài 12:</b> Cho a3_{+ b}3_{= 2. Cmr: a + b}__2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 



 

0
;
3

4

<b>Bài 14: </b> Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a2_{+ 3b}2 __5.

<b>Bài 15:</b> Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1.
CM: a2_{+ 4b}2 _ ₅

1

. Dấu “=” xảy ra khi nào?

<b>Bài 16:</b> CM: 3

1
2

2
2
2

2
2
2
2
2












<b>Bài 17: </b> Chứng minh:

a) (<i>a</i>2 <i>b</i>2)(<i>x</i>2 <i>y</i>2)_{(ax + by)}2

b) 0 <i>x</i> 2 4 <i>x</i>2

<b>Bài 18: </b>Cho a, b, c > 0. Cm:

2

3







 <i>a</i> <i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

<b>Bài 19: </b> Cho 100

1
...

3
1
2
1

1   


<i>S</i>

.
CMR: S không là số tự nhiên.

<b>Bài 20:</b> a) Cho x, y dương. CMR: <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i><i>y</i>

4
1
1

.
Dấu bằng xảy ra khi nào?

b) Tam giác ABC có chu vi 2

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>P</i>  

.

















 <i>a</i> <i>p</i> <i>b</i> <i>p</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>p</i>

1
1
1
2
1
1

1

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?

<b>Bài 21: </b> a) CM x > 1 ta có: <i>x</i> 12

<i>x</i>

b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: 1 1

2
2






<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>P</i>

<b>Bài 22: </b> Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 _{+ b}2_{+ c}2_{< 2(ab + bc + ca)}
<b>Bài 23: </b>CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì

9

1
1
1













<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i> _.

<b>Bài 24:</b> CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

<b>Bài 25: </b> Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 _{+ b}2_{+ c}2_{+ 2abc < 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

CMR: 3 8
8 2 2



<i>a</i> <i>b</i>

. Dấu bằng xảy ra khi nào?

<b>Bài 28: </b> CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 3

2
1
1






<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<b>Bài 29:</b> CMR nếu:

a) 1<i>a</i>5_thì3 <i>a</i> 14 5 <i>a</i> 10

b) a + b 0;<i>b</i>10;<i>a</i><i>b</i>2_thì <i>a</i>1 <i>b</i>12 2

<b>Bài 30: </b> Cho biểu thức

4 3 4 3

5 4 3 2

3 1

1 1

4

1

<i>P</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

     



    

CMR: 9

32
0<i>P</i>

với <i>x</i>1_.

<b>Bài 31:</b> a) Cho a, b, k là các số dương và 1

<i>a</i>
<i>b</i> 

:

<i>a</i> <i>a k</i>
<i>Cmr</i>

<i>b</i> <i>b k</i>





b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: <i>a</i> <i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>







 _{< 2.}

<b>Bài 32: </b>Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR : 9

1
1
1

1  
















<i>b</i>
<i>a</i>

<b>Bài 33: </b>CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:














<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

3
4

2

2
2
2

<b>SỐ CHÍNH PHƯƠNG , NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ</b>

<b>1) Định nghĩa</b>: Là số có dạng <i>n n</i>2,  _.

<b>2) Tính chất</b>:

1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1

2. Nếu a=3k thì





2 _{0 mod 9}

<i>a</i>  _{; Nếu}<i>_a</i>_₃<i>_k</i>_thì<i>a</i>2 1 mod 3





3. Giữa các bình phương của hai số ngun liên tiếp khơng có số chính phương nào

4. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có

chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

5. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương.

6. Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.

HD: G/s ab= c2_{và gọi d=(a,c) suy ra a=a}

1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d

+ Do a d c1 12  <i>b</i>c12<i>vi a c</i>



1, 1



1

+ Do



 



2

2 2 2 2

1 1 , , 1 1 ;

<i>c</i>
<i>c d b</i> <i>c b vi b d</i> <i>b a</i> <i>b c a</i> <i>d</i>

<i>b</i>

      

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

7. Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- ngun tố thì số chính phương đó chia

hết cho p2_{. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia}

hết cho p2_{thì a khơng là số chính phương.}

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố
với số mũ chẵn.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khơng có số chính

phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n



_N).

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khơng có số chính

phương nào có dạng 3n + 2 (n



_N).

5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

<b>III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG</b>

<b>A.</b> <i><b>DẠNG1</b></i>: <b>CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG </b>

<b>Bài 1</b>: <i>Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì </i>

<i> A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4_{là số chính phương.}</i>

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

_{= (x}2_{+ 5xy + 4y}2_{)( x}2_{+ 5xy + 6y}2_{) + y}4

Đặt x2_{+ 5xy + 5y}2_{= t ( t}

_

_{Z) thì}

A = (t - y2_{)( t + y}2_{) + y}4_{= t}2_–y4_{+ y}4_{= t}2_{= (x}2_{+ 5xy + 5y}2)2

V ì x, y, z



_{Z nên x}2

_

_{Z, 5xy}

_

_{Z, 5y}2

_

_Z_ _x2_{+ 5xy + 5y}2

_

_Z

Vậy A là số chính phương.

<b>Bài 2</b>: <i>Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.</i>

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n



_{N). Ta có}

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2_{+ 3n)( n}2_{+ 3n + 2) + 1 (*)}

Đặt n2_{+ 3n = t (t}

_

_{N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t}2_{+ 2t + 1 = ( t + 1 )}2

= (n2_{+ 3n + 1)}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 3</b>: <i>Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)</i>
<i> Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .</i>

Ta có k(k+1)(k+2) = 4

1

k(k+1)(k+2).4 = 4

1

k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 4

1

k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1

k(k+1)(k+2)(k-1)

 _{S =}4

1

.1.2.3.4 -4
1

.0.1.2.3 + 4
1

.2.3.4.5 -4
1

.1.2.3.4 +…+4

1

k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1

k(k+1)

(k+2)(k-1) = 4

1

k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2  _{k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.}

<b>Bài 4</b>: <i>Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …</i>

<i> Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. </i>
<i>Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.</i>

Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n_{+ 8 . 11…1 + 1}

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số
= 4. 9

1
10<i>n</i> 

. 10n _{+ 8.} ₉

1

10<i>n</i> 

+ 1

= 9

9
8
10
.
8
10
.
4
10
.
4 2





 <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

= 9

1
10

.
4
10
.
4 2


 <i>n</i>

<i>n</i>

= 






 

3
1
10
.
2 <i>n</i>

Ta thấy 2.10n_{+1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3}

n-1 chữ số 0

 






 

3
1
10
.
2 <i>n</i>



_{Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.}

<b>Bài 5</b>: <i>Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:</i>
<i> A = 11…1 + 44…4 + 1 </i>

<i> </i>

<i> 2n chữ số 1 n chữ số 4</i>

<i>B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8</i>

<i> </i>

<i> 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6</i>

Kết quả: A = 





 

3
2
10<i>n</i>

; B = 





 

3
8
10<i>n</i>

;

<b>Bài 6</b>: <i>Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i> a. A = 22499…9100…09</i> <i>n-2 chữ số 9 n chữ số 0</i>

<i> b. B = 11…155…56</i> <i>n chữ số 1 n-1 chữ số 5</i>

a. A = 224.102n_{+ 99…9.10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}

= 224.102n_{+ ( 10}n-2_{– 1 ) . 10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}

= 224.102n_{+ 10}2n_{– 10}n+2_{+ 10}n+1_{+ 9}

= 225.102n_{– 90.10}n_{+ 9}

= ( 15.10n_{– 3 )}2

 _{A là số chính phương}

<b>B.</b> <i><b>DẠNG 2</b></i>: <b>TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH </b>
<b>PHƯƠNG</b>

<b>Bài1: </b><i>Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:</i>
<i>a. n2_{+ 2n + 12 b. n ( n+3 )}</i>

<i>c. 13n + 3 d. n2 _{+ n + 1589}</i>

Giải

a. Vì n2_{+ 2n + 12}_{là số chính phương nên đặt n}2_{+ 2n + 12 = k}2 _(k



_N)

 _(n2_{+ 2n + 1) + 11 = k}2 _ _k2 _{– (n+1)}2_{= 11}_ _{(k+n+1)(k-n-1) = 11}

Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

(k+n+1)(k-n-1) = 11.1  _{k+n+1 = 11} _{k = 6}

k – n - 1 = 1 n = 4

b. Đặt n(n+3) = a2 _(n



_N)_ _n2_{+ 3n = a}2 _ _4n2_{+ 12n = 4a}2
_ _(4n2_{+ 12n + 9) – 9 = 4a}2
_ _{(2n + 3)}2

- 4a2_{= 9}

 _{(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9}

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể
viết

(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1  _{2n + 3 + 2a = 9} _{n = 1}

2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y2_{( y}



_N)_ _{13(n – 1) = y}2_{– 16}

 _{13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)}

 _{(y + 4)(y – 4)}_{13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4}_{13 hoặc y – 4}₁₃

 _{y = 13k} 4 (Với k



N)

 _{13(n – 1) = (13k} 4 )2 – 16 = 13k.(13k  8)

 _{n = 13k}2 __{8k + 1}

Vậy n = 13k2 __{8k + 1 (Với k}



_{N) thì 13n + 3 là số chính phương.}

a. Đặt n2 _{+ n + 1589 = m}2 _(m



_N)_ _(4n2 _{+ 1)}2_{+ 6355 = 4m}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.

<b>Bài 2</b>: <i> Tìm a để các số sau là những số chính phương:</i>
<i>a.</i> <i>a2 _{+ a + 43}</i>

<i>b.</i> <i>a2_{+ 81}</i>

<i>c.</i> <i>a2_{+ 31a + 1984}</i>

Kết quả: a. 2; 42; 13
b. 0; 12; 40

c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728

<b>Bài 3</b>: <i>Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .</i>

Với n = 1 thì 1! = 1 = 12_{là số chính phương .}

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 khơng là số chính phương

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32_{là số chính phương}

Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận
cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải là số
chính phương .

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

<b>Bài 4</b>: <i>Tìm n </i>



<i> N để các số sau là số chính phương:</i>

<i>a. n2 _{+ 2004}</i>_{( Kết quả: 500; 164)}

<i>b. (23 – n)(n – 3) </i>( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)

<i>c. n2_{+ 4n + 97}</i>
<i>d. 2n_{+ 15}</i>

<b>Bài 5</b>: <i>Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2_{là số chính phương.}</i>

Giả sử 2006 + n2_{là số chính phương thì 2006 + n}2_{= m}2 _(m



_N)

Từ đó suy ra m2_{– n}2_{= 2006}_ _{(m + n)(m - n) = 2006}

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m  _{2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)}

Từ (1) và (2)  _{m + n và m – n là 2 số chẵn}

 _{(m + n)(m - n)}_{4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4}
 _{Điều giả sử sai.}

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 _{là số chính phương.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta
được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.

Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40

<i><b>C.DẠNG 3</b></i><b>: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG </b>

<b>Bài 1</b>:<i> Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một </i>
<i>đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.</i>

Gọi A = abcd = k2_{. Nếu thêm vào}<i>_mỗi</i>_{chữ số của A một đơn vị thì ta có số}

B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2_{với k, m}



_{N và 32 < k < m < 100}

a, b, c, d



N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 _{Ta có A = abcd = k}2

_{B = abcd + 1111 = m}2

 _m2_{– k}2 _{= 1111}_ _{(m-k)(m+k) = 1111 (*)}

Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101

Do đó m – k == 11 _{m = 56} _{A = 2025}

m + k = 101 n = 45 B = 3136

<b>Bài 2</b>:<i> Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số </i>
<i>gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.</i>

Đặt abcd = k2_{ta có ab – cd = 1 và k}



_{N, 32 ≤ k < 100}

Suy ra 101cd = k2_{– 100 = (k-10)(k+10)}_ _{k +10}__{101 hoặc k-10}_₁₀₁

Mà (k-10; 101) = 1  _{k +10}₁₀₁

Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110  _{k+10 = 101} _{k = 91}

 _{abcd = 91}2 _{= 8281}

<b>Bài 3</b>: <i>Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số </i>
<i>cuối giống nhau.</i>

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2_{với a, b}



_{N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9}

Ta có n2_{= aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)}

Nhận xét thấy aabb ₁₁ _{a + b}₁₁

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18  _{a+b = 11}

Thay a+b = 11 vào (1) được n2_{= 11}2_{(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .}

Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn  _{b = 4}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 4</b>: <i>Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.</i>

Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương
nên đặt abcd = x2_{= y}3_{Với x, y}



_N

Vì y3_{= x}2_{nên y cũng là một số chính phương .}

Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999  _{10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương} _{y = 16}

 _{abcd = 4096}

<b>Bài tập</b>

1. Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp khơng chính phương.
HD: 2<i>n</i>(2<i>n</i>2) 4 <i>n</i> 2 2 mod 4





2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ khơng chính
phương.

HD:





























2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 mod 4

2 1 2 1 2 1 3 mod8

<i>n</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>k</i> <i>l</i>

   

     

3. Chứng minh rằng một số chẵn bất kì khơng phải là bội của 4 thì khơng thể phân tích
thành hiệu 2 số chính phương.

HD: 2 2



<i>k</i>1



<i>a</i>2 <i>b</i>2 



<i>a b a b</i>

 





Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn.
Khi đó vế phải chia hết cho 4.

4. Chứng minh phương trình 13x2_{+2 =y}2_{khơng có nghiệm nguyên.}

HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ

+ Khi y chẵn: VP 0 mod 4 ;VT 2 mod 4 ;











+ Khi y lẻ : VP 1 mod 8 ; VT 7 mod 8 ;











5. Tìm <i>n</i> _để2<i>n</i> 8<i>n</i>5_{là chính phương.}
HD: + <i>n</i> 3 2<i>n</i>8<i>n</i> 5 5 mod 8





+ n=2: 25 là chính phương.

+ n=0 hoặc 1 thì khơng thoả mãn

6. Chứng minh rằng không tồn tại <i>n</i> _{để 24n+41 là chính phương.}

HD: G/s 24n+41=t2

+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 khơng chia hết cho 3
+ Nếu t khơng chia hết cho 3 thì <i>t</i>2 1 mod 3





 3 8



<i>n</i>13



 2 1 mod 3





7. Chứng minh không tồn tại <i>n</i> _{để 7.10}n_{+4 là chính phương.}

HD: 7.10<i>n</i> 4 2 mod 3





8. Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác khơng liên tiếp khơng chính phương.
HD: có n2 _{< n(n+1) < n}2_{+2n+1 = (n+1)}2

9. Tìm <i>n</i> _n2_{+ 3n là chính phương.}

HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

10.Tìm <i>n</i> _{để n}2_{+ 3 chia hết cho 5.}

11. Tìm <i>n</i> _{để n! + 97 là chính phương.}

HD: Nếu <i>n</i>5_{thì n!+97 có tận cùng là 7 nên khơng chính phương.}

Nếu n = 4 thì 24+97 = 121= n2

Nếu 0 <i>n</i> 3_{thì đều khơng thoả mãn.}

12. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương.
13.Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay

không?

HD: a) <i>N</i> <i>S N</i>( ) mod 3





. Vì 1994 2 mod 3





nên nếu S(N)=1994 thì <i>N</i> 2 mod 3





b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của
1 số chính phương khơng thể bằng 1995.

14. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp khơng chính phương.

HD:





















2 2 ₂ 2 2 ₂

2 1 1 2 5 2 5

<i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  

nhưng không chia hết cho 25.

15. Chứng minh rằng không tồn tại <i>n</i> _{để n}2_{+n+2 chia hết cho 3.}

HD: G/s   <i>n</i> _{để n}2_{+n+2=3k khi đó n}2_{+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương}

Có  3 4



<i>k</i> 3



2 là số chính phương. Điều này vơ lí vì  2 mod 3





16. Gọi N=2.3.4…Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng cả 3 số N,

N-1, N+1 đều khơng là số chính phương.

HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N khơng chính phương.
Nếu N+1=k2_{thì k lẻ khi đó}N=(k-1)(k+1) 4!

Nếu <i>N</i>1 2 mod 3





th ì N-1 khơng chính phương.

17.Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ khơng chính phương.

18.Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng
đơn vị luôn bằng 6.

HD: xét (10n+b)2_{= 20n(5n+b) + b}2_{; Với}<i>_b</i>_₉_{chữ số hàng chục của 20n(5n+b) chẵn do}

đó chữ số hàng chục của b2_{lẻ nên b=4; 6.}

19. Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn.
HD: Xét (10a+b)2_{= 20a(5a+b)+b}2 _{với b lẻ,}<i>b</i>_{ }9 <i>b</i>_1;3;5;7;9_ <i>b</i>2 _01;09; 25; 49;81

_ĐPCM

20. Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng
trăm là chẵn.

HD: Xét (10a+5)2_{=100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM.}

21. Tìm <i>x y</i>,  _{để 2}x _{+ 5}y_{chính phương.}

HD: G/s 225<i>y</i> <i>k k</i>2



 



+ Nếu x=0 thì 1+5y_=k2_{suy ra k chẵn} 1 5<i>y</i> 2 mod 4





+ Nếu <i>x</i> 0 _{k lẻ và k không chia hết cho 5.}

1 y=0:









2
2

2<i>x</i> 1 <i>_k</i> 2<i>_m</i> 1 2<i>x</i> 4<i>_{m m}</i> 1 <i>_m</i> 1,<i>_x</i> 3,<i>_y</i> 0

          

2 <i>y</i>0, vì k khơng chia hết cho 5 nên





2 _{1 mod 5}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Và từ giả thiết suy ra





2 5

5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5

<i>n</i> <i>a</i>

<i>y</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>b</i>

<i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>a b y a b</i>

<i>k</i>

  

    _   

 








1 1

2<i>n</i> 5 5<i>b</i> <i>a b</i> 1 5<i>b</i> 1, 0 2<i>n</i> 5<i>y</i> 1

<i>b</i> <i>hay a</i> <i>y</i>

  

         

+ Nếu y=2t thì 2n+1₌₂₅t_{-1 chia hết cho 3}

+ Nếu y lẻ thì 2n+1₌₄₍₅y-1₊₅y-2_{+…+ 5+1)}

nếu y>1 thì 5y-1₊₅y-2_{+…+5+1 lẻ.}

Vậy y=1 suy ra x=2. Đáp số x=1; y=2.
22.Tìm 1 số có 2 chữ số biết:

a) Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.

b) Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.
HD:a) <i>ab ba</i> 11



<i>a b</i>



11, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121
nên (a+b) chia hết cho 11. do đó a+b chia hết cho 11.

+)













2 2 2 2 ₂ ₂

10 10 99 11

<i>ab</i>  <i>ba</i>  <i>a b</i>  <i>b a</i>  <i>a</i>  <i>b</i> 

Vì 0<(a-b)<8, 2  <i>a b</i> 18 <i>a b</i> 11 <i>ab</i>2 <i>ba</i>2 9.11.11.(<i>a b</i> )_{chính phương hay}
(a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4

ĐS: số 65

23. Tìm số chính phương <i>abcd</i> biết <i>ab cd</i> 1

HD:<i>n</i>2 <i>abcd</i> 100<i>ab cd</i> 100(1<i>cd</i>)<i>cd</i> 100 101 <i>cd</i> 



<i>n</i>10

 

<i>n</i>10



101<i>cd</i>_.
Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.

24.(<i>VĐ Balan</i>) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2_{+a = 3b}2

+ b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương.
HD: Có 2a2_-2b2_+a-b=b2_{(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b}2_.

Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1).
Mặt khác (1)(1) <i>d</i>2\<i>b</i>2  <i>d b</i>\  <i>d</i> \1 <i>d</i>1_.

Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1. Từ đó ta được ĐPCM

* <b>Lưu ý</b>: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2_{nên (3a+3b+1) là chính phương}

25.(<i>HSGQG 1995</i>) Tìm p ngun tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4_{là số}

chính phương.

HD: G/s 1+p+p2_+p3_+p4_=n2_{. Dễ thấy 4p}4_+4p3_p2_<4n2_<4p4_+p2_+4+4p3_+4p+8p2_hay

(2p2_+p)2_<(2n)2_<(2p2_+p+2)2_{suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3.}

26. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính phương thì tích pq
cũng là tổng của 2 số chính phương.

27. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính phương thì tích m.n
cũng là tổng của 4 số chính phương.

HD: (a2_+b2_+c2_+d2_)(m2_+n2_+p2_+p2_{)=(am-bm-cp-dq)}2₊

+(an+bm-cq+dp)2_{+(ap+bq+cm-dn)}2_{+(aq-bp+cn-dm)}2_.

28. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số ngun liên tiếp khơng chính
phương.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

30. Tìm <i>a</i> _{để a}2_{+a+1589 chính phương.}

31. Chứng minh rằng nếu 8n+1_{và 24}n+1_{là chính phương thì 8}n+3 _{là hợp số}

32. Chứng minh rằng n3_{+1 khơng chính phương với mọi n lẻ và n>1.}

33. Tìm <i>abcd</i>_{biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.}

34. Chứng minh rằng nếu

1
2

<i>ab</i> <i>cd</i>

thì <i>abcd</i>_{khơng chính phương}

35. Tìm tất cả các số chính phương có dạng <i>A</i>1985<i>ab</i>_.

ĐS: 198025 và 198916

36. Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương.

ĐS: a=26m2_{+22m+4 hoặc a=26m}2_+30m+8

37. Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại.

38. Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì
số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương.

<b>RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC</b>

<i>Bài 1: </i> Cho biểu thức P =









1 a3
2
2
a
a
1
2

1
a

1
2

1








a) Rút gọn P. b) Tìm Min P.

<i>Bài 2: </i> Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn:
x2_{+ y = y}2_{+ x.}

Tính giá trị biểu thức : P = xy -1
xy
2
y
2
x  

<i>Bài 3: </i> Tính giá trị biểu thức Q = x y

y

-x


Biết x2_-2y2_{= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0}

<i>Bài 4: </i> Cho biểu thức P = x 3

3
x
2
x

-1

2
x

3
3
x
2
x

11
x
15













a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2

1

b) Chứng minh P ≤ 3

2

<i>Bài 5: </i> Cho biểu thức

<i> </i>P = a

2
a
2
a

1
a
2
a
a

3
9a
3a

1













a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.

<i>Bài 6: </i> Cho biểu thức 2

a 4 a - 4 a 4 a - 4
8 16

1-a 1-a

<i>P</i>   



a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<i> </i> P = 




















 a 1

2
1
a
1
:
a
a
1
1
a
a

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

<i>Bài 8: </i> Cho biểu thức

P = 





















 x
2
x

2
x
1
x
:
x
4
8x
x
2
x
4

a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1

c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có
m( <i>x</i>_{- 3)P > x + 1.}

<i>Bài 9: </i> Cho biểu thức

P = 
















 _






xy
y
x
x
xy
y
y
xy
x
:
y
x
xy

-y
x

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3

<i>Bài 10: </i> Cho biểu thức

<i> </i>P = x

2007
x
1
x
1
4x
x
1
x
1

-x
1
x
1
x
2
2 _


















a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.

<i>Bài 11: </i> Rút gọn P.

P = 2

2
2
4
2
2
2

2
2
2
2
2
b
b
a
a
4
:
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a 





















Với | a | >| b | > 0

<i>Bài 12: </i> Cho biểu thức
P =
2
2
x
1
.
1
x
2
x
2
x
1
x

2
x















 _







a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.

<i>Bài 13: </i> Chứng minh giá trị của biểu thức

P = x 5 x 6

10
x
3
x
4
x
1
x
5
2
x
3
x
2x











</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<i>Bài 13: </i> Chứng minh giá trị của biểu thức

P = <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>







5
2
.
5
4
9
3
4
7
.
3
2
4
6
3

Không phụ thuộc vào biến số x.

<i>Bài 15: </i> Cho biểu thức

P = x x 1 x 1

x
x
1
x
x
x

x2 2











Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .

<i>Bài 16: </i> Cho biểu thức

P = x 1

)

1
2(x
x
x
2x
1
x
x
x
x2









a) Rút gọn P.

b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để b. thức Q = 2Px _{nhận g trị là số nguyên.}

<i>Bài 17: </i> Cho biểu thức

P = 2 x 1

x

1
x
2x
1
x
1
x
x
x
1
x
x
x
x
x
2x






















a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.

<i>Bài 18: </i> Rút gọn biểu thức

P = 10 3 5

5
3
5
3
10
5
3








<i>Bài 19: </i> Rút gọn biểu thức

a) A = 4 7 4 7

b) B = 4 102 5  4 102 5

c) C = 4 15 4 15 2 3 5

<i>Bài 20: </i> Tính giá trị biểu thức
P = <i>x</i>247 2<i>x</i> 1 <i>x</i>4 3 2<i>x</i> 1

Với 2
1

≤ x ≤ 5.

<i>Bài 21: </i> Chứng minh rằng:

P = 6 2

48
13
5
3
2





là một số nguyên.

<i>Bài 22: </i> Chứng minh đẳng thức:

1
2
3
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
1









</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3_{+ 3x}

<i>Bài 24:</i> Cho E = x y

xy
1
y
x
xy
1






Tính giá trị của E biết:

x = 4 8. 2 2 2. 2 2 2

y = 3 18 2 27 45

20
12
2
8
3






<i>Bài 25:</i> Tính P = 2008

2007
2
2008
2
2007
2
2007

1  

<i>Bài 26:</i> Rút gọn biểu thức sau:

P = 1 5

1

 + 5 9

1

 + ... +

1
2005 2009
<i>Bài 27:</i> Tính giá rẹi của biểu thức:

P = x3_{+ y}3_{- 3(x + y) + 2004 biết rằng}

x = 332 233 2 2

y = 31712 231712 2

<i>Bài 28:</i> Cho biểu thức

A =






















<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i> 1
4
1
1
1
1

a) Rút gọn A.

b) Tính A với a = (4 + 15₎₍ 10_- 6₎ 4 15

<i>Bài 29:</i> Cho biểu thức

A =
   
  















1
1
1
1
4
1
4
1
4

2 <i>_x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.

<i>Bài 30:</i> Cho biểu thức

P = <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>













1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

a) Rút gọn P.

b) So sánh P với 2

2

.

<i>Bài 31:</i> Cho biểu thức

P = 1

2
1
3
1
1






 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

P = <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>









3
1
2
2
3
6
5
9
2

a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.

<i>Bài 33:</i> Cho biểu thức

P = <i>x</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>







 1
1
2
2
2
2

a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x2_{+ y}2_{- 4x - 2xy + 4 = 0.}

<i>Bài 34:</i> Cho biểu thức

P = <i>x</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>







 1
1
2
2
2
2

a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x2_{+ y}2_{- 4x - 2xy + 4 = 0.}

<i>Bài 35:</i> Cho biểu thức

P = <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i> 3 3

3
3
:
1
1
2
1

1

























a) Rút gọn P.

b) Cho xy = 16. Tìm Min P.

<b>PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI</b>

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2_{– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)}

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.

c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn

điều kiện <i>x</i>12 +
2
2

<i>x</i> __10.

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 












<i>ac</i>
<i>bc</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>c</i>
2
0
2

Chứng minh rằng phương trình ax2_{+ bx + c = 0 ln ln có nghiệm.}

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện:
a2_{+ ab + ac < 0.}

Chứng minh rằng phương trình ax2_{+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.}

Bài 4: Cho phương trình x2_{+ px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm x}

1,

x2 thỏa mãn: 






35
5
3
2
3
1
2

1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Bài 6: CMR phương trình ax2_{+ bx + c = 0}

( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2_{+ b}2_{– c}2_)x2_{- 4abx + (a}2_{+ b}2_{– c}2_{) = 0}

Bài 8: CMR phương trình ax2_{+ bx + c = 0 ( a}__{0) có nghiệm nếu} 4

2




<i>a</i>
<i>c</i>
<i>a</i>

<i>b</i>

Bài 9: Cho phương trình : 3x2_{- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa}

mãn: <i>x</i>12
-2
2
<i>x</i> ₌₉

5

Bài 10: Cho phương trình:

x2_{– 2(m + 4)x +m}2_{– 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x}

1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN

b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c

giá trị của biểu thức: S = 23

3
1

1
1

<i>x</i>

<i>x</i> 

Bài 12: Cho phương trình : x2_{- 2} 3_{x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x}

1,x2. Khơng giải phương

trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:

A = 2

3
1
3
2
1

2
2
2
1
2
1

4
4

3
5

3

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





Bài 13: Cho pt: x2_{– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)}

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của a.

2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6.

3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 <

x2.

Bài 14: Cho phương trình:

x2_{– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)}

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .

Tìm GTNN của M = x12 + x22

Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:

2
1
1
1




<i>b</i>
<i>a</i>

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:

x2_{+ ax + b = 0 và x}2_{+ bx + a = 0.}

Bài 16: Cho phương trình:

x2_{– 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)}

a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.

b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

sau phải có nghiệm:

ax2_{+ 2bx + c = 0 (1)}

bx2_{+ 2cx + a = 0 (2)}

cx2_{+ 2ax + b = 0 (2)}

Bài 18: Cho phương trình:

x2_{– (m - 1)x + m}2_{+ m – 2 = 0 (1)}

a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 19: Cho phương trình:

x2_{– 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)}

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22  10.

3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

E = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2:

x2_{+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.}

CMR: a2 _{+ b}2_{là một hợp số.}

<b>PT BẬC CAO, PT CHỨA ẨN Ở MẪU, PT VÔ TỈ</b>

<b>.</b>

Giải phương trình:

Bài 1: x3_{+ 2x}2_{+ 2} ₂_{x + 2} ₂_.

Bài 2: (x + 1)4_{= 2(x}4_{+ 1)}

Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2

Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x

Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144

Bài 6: (x + 2)4_{+ (x + 8)}4_{= 272}

Bài 7: a) (x + 2₎4_{+ (x + 1)}4_{= 33 + 12} ₂

b) (x - 2)6_{+ (x - 4)}6_{= 64}

Bài 8: a) x4_{- 10x}3_{+ 26x}2_{- 10x + 1 = 0}

b) x4_{+ 3x}3_{- 14x}2_{- 6x + 4 = 0}

c) x4_{- 3x}3_{+ 3x + 1 = 0}

Bài 9: a) x4_{= 24x + 32}

b) x3_{+ 3x}2_{- 3x + 1 = 0}

Bài 10: <i>x</i> 85 <i>x</i> 93 1

Bài 11: 3 5 2 1

7
2

3
2

2

2 






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 12: x2₊



2



12

4

2
2



<i>x</i>

<i>x</i>

Bài 13: 20 1 0

4
48
1

2
5
1
2

2
2
2

2


























<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Bài 14: a) 1 4
7
1
3
3
2

2 






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

b) 12 15

4
15
6

15
10
2
2
2







<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

c) 4

1
5
6
5
5
5
4
5

3
2
2
2
2











<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 15: a) x2₊



9



40

81
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

b) x2₊



1



2 15

2



<i>x</i>

<i>x</i>

Bài 16: a) 9

40
2

1
1 2 2

















 
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

b) 1 0

4
2
5
1
2
1
2
2
2
2
2






















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

c) x. 1 15

8
1
8













<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 17: x2 ₊

2
1





 
<i>x</i>
<i>x</i>

= 8( Đề thi HSG V1 2004)

Bài 18: <i>x</i> 1 5<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2

Bài 19: 3 <i>x</i>13 7 <i>x</i> 2

Bài 20: <i>x</i>2 <i>x</i> 1 <i>x</i> 2 <i>x</i>1 2

Bài 21: 3x2 _{+ 21x + 18 + 2} <i>x</i>2_7<i>x</i>_7 _2

Bài 22: a) (x - 2)4_{+ (x - 3)}4_{= 1}

b) x4_{+ 2x}3_{- 6x}2_{+ 2x + 1 = 0}

c) x4_{+ 10x}3_{+ 26x}2_{+ 1 = 0}

Bài 23: (x + 2)2_{+ (x + 3)}3_{+ (x + 4)}4_{= 2 ( Đề thi HSG V1 2003)}

Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3

b) (x2_{+ 3x - 4)(x}2_{+ x - 6) = 24}

Bài 25: a) x3_{- 6x + 4 = 0}

b) x4_{- 4x}3_{+ 3x}2_{+ 2x - 1 = 0}

Bài 26: a) x4_{+ 2x}3_{+ 5x}2_{+ 4x - 12 = 0}

b) x4_{- 4x}3_{- 10x}2_{+ 37x - 14 = 0}

Bài 27: 0

4
3
10
48
3 2
2










<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2_{+ b}2_{) -5ab}

b) Giải phương trình: 2(x2_{+ 2) = 5} <i>x</i>3 _1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài 29: 3 5 3

14

5 








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 30: x4_{- 4} 3_{x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)}

Bài 31: 2 5 0

4

2
4






<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

( Đề thi HSG V2 2003)
Bài 32: a) x4_{- 4x}3_{- 19x}2_{+ 106x - 120 = 0}

b) (x2_{- x + 1)}4_{- 10(x}2_{- x + 1)}2_+9x4_{= 0}

Bài 33: (x + 3 <i>x</i> + 2)(x + 9 <i>x</i> +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)

Bài 34: a) x2_{+ 4x + 5 = 2} 2<i>x</i>_3

b) 3 <i>x</i>3 8_{= 2x}2_{- 6x + 4}

c) 2 3 2

4

2 






<i>x</i>
<i>x</i>

Bài 35: 3 <i>x</i>13 <i>x</i>23 <i>x</i>3 0

Bài 36: Cho phương trình: x4_-4x3_{+8x = m}

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 37: Cho phương trình (x + a)4_{+ (x + b)}4_{= c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương}

trình có nghiệm.

Bài 38: Giải phương trình: x4_{+ 2x}3_{+ 5x}2_{+ 4x - 5 = 0}

Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4_{+ 8x}2_{y + 3y}2_{- 4y - 15 = 0.}

Bài 40: x2_{+ 9x}_{+ 20 = 2} 3<i>x</i>_10

Bài 41: x2_{+ 3x}_{+ 1 = (x + 3)} <i>x</i>2_1

Bài 42: x2 ₊ <i>x</i>_2006₌₂₀₀₆

<b>BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT</b>

<b>.</b>

Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2_+3b2_{= 10ab.}

Tính giá trị của biểu thức: P = <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>




Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2_+2y2_{= 5xy}

Tính giá trị biểu thức E = <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>




Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3_{+ b}3 _{+ c}3_{= 3abc}

2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:

M = 2 2 <i>z</i>2

<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>xz</i>
<i>x</i>
<i>yz</i>




</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

P = 



















<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
1
1
1

Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3_{- x}3_{- y} 3 _-z3

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3_{+ y}3_{+ z}3_{= 1 .}

Tính giá trị của biểu thức: A = x2007_{+ y}2007_{+ z}2007

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2_{+ b}2 _{+ c}2_{= 14. Tính giá trị của biểu thức:}

P = a4_{+ b}4 _{+ c}4

Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100_{+ b}100₌_a101_{+ b}101_{= a}102_{+ b}102

Tính giá trị của biểu thức P = a2007_{+ b}2007

Bài 8: Cho <i>b</i> 1

<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

và <i>ab</i> 2

<i>xy</i>

. Tính 3

3

3
3
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>


Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức

P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1
1
1
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>        

Bài 10: Cho <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>y</i>
<i>a</i>

<i>x</i>


 1
4
4

; x2 _{+ y}2_{= 1. Chứng minh rằng:}

a) bx2_{= ay}2_;

b) 1004 1004

2008
1004
2008
)
(
2
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>




Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

<i>x</i><i>xy</i>  <i>y</i><i>yz</i> 1<i>z</i><i>xz</i>

1
1
1
1
1
= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:

A = (a – b)c3_{+ (c – a)b}3_{+ (b – c)a}3

Bài 13: Cho a, b, c đơi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:

P = ( )( ) ( )( ) ( )( )

2
2
2
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>









Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>c</i>

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

















 2 2 2

)
)(
(
)
)(
(

)
)(
(

Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p

Chứng minh rằng: ( )( )( )

1
1
1
1
<i>c</i>
<i>p</i>
<i>b</i>
<i>p</i>
<i>a</i>
<i>p</i>
<i>p</i>
<i>abc</i>
<i>p</i>
<i>c</i>
<i>p</i>
<i>b</i>
<i>p</i>
<i>a</i>

<i>p</i>         

Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :

3
)
2
(
2
1

1 3 2 2
3






 <i>a</i> <i>b</i>

<i>ab</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bài 18: Cho  <i>c</i> 1
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

và  <i>z</i> 0

<i>c</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

Tính giá trị biểu thức A = 2

2
2
2
2
2
<i>c</i>
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>y</i>
<i>a</i>
<i>x</i>



Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và    <i>a</i> <i>b</i> 0

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

Tính giá trị của P = ( )2 ( )2 (<i>a</i> <i>c</i>)2

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>






Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2_{– z}2_{) + y(z}2_{– x}2_{) + z(x}2_{– y}2₎

b) x(y + z)2_{+ y(z + x)}2_{+ z(x + y)}2_{– 4xyz}

Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4_{(b – c) + b}4_{(c – a) + c}4_{(a – b) luôn khác 0.}

Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.

Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2_.

Tính giá trị biểu thức: A = <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>




Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2_{– y}2_{= 2xy.}

Tính giá trị của phân thức A = 6 2 2

2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>




Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.

Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2 2

2
2

2
)
(
)
(
)

(<i>y</i> <i>z</i> <i>ac</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>ab</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>bc</i>
<i>cz</i>
<i>by</i>
<i>ax</i>








Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:

P = ( )( ) ( )( ) ( )( )

3
3
3
<i>x</i>
<i>z</i>

<i>y</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>









Bài 27: Cho 














1
1
1
3
3
3
2
2
2
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

Tính giá trị của biểu thức: P = x2007_{+ y}2007_{+ z}2007
.

Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =







2 2



2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>










Bài 29: Cho biểu thức P = (b2_{+ c}2_{– a}2₎2_{– 4b}2_c2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>



















15
8
3

<i>z</i>
<i>x</i>
<i>zx</i>

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>yz</i>

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.

Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:














1

1

3
3
3

2
2
2

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2 3 4

4
8
6
3
2









b) Tính giá trị biểu thức: Q = <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>




Biết x2_{– 2y}2_{= xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)}

Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:

2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2_{+ z}2_{) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)}

Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2_{= b}2_{+ c}2_.

a) So sánh a và b + c.

b) So sánh a3_{và b}3_{+ c}3_{. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)}

Bài 35: 1) Giải phương trình: x3_{-6x – 40 = 0}

2) Tính A = 3 2014 2 3 2014 2 _{(Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)}

<b>CỰC TRỊ</b>

<b>Bài1) </b> Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2_{+ y}2_{= 1.Tìm GTLN và GTNN của biểu}

thức A = x + y.

<b>Bài 2)</b> Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của

P = 2 2

1 1
1 1

<i>x</i> <i>y</i>

 

 

 _  _
 

   

<b>Bài 3)</b> Cho P =



2



2

2 1

1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 

 _{. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Bài 7)</b> Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P =

2
2

1
1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
 

<b>Bài 8)</b> Tìm GTLN của A = x + 2 <i>x</i>

<b>Bài 9)</b>Tìm GTLN của P =

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>y</i> <i>z</i>  <i>x</i>_{với x, y, z > 0.}
<b>Bài 10) </b>Tìm GTLN của

P = (<i>x</i>1990)2  (<i>x</i>1991)2

<b>Bài 11)</b> Cho M = <i>a</i> 3 4 <i>a</i>1 <i>a</i>15 8 <i>a</i>1
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.

<b>Bài 12)</b> Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

1 1 1
2
1<i>x</i>1<i>y</i>1<i>z</i>  _.

Tìm GTNN của P = x.y.z.

<b>Bài 13)</b> Tìm GTNN của P =

2 1
1 <i>x</i><i>x</i>

<b>Bài 14)</b> Cho x, y thỏa mãn x2_{+ 4y}2_{= 25. Tìm GTLN}

và GTNN của biểu thức P = x + 2y.

<b>Bài 15)</b> Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.

Tìm GTNN của E = x2_{+ 2y}2_.

<b>Bài 16)</b> Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1.
Tìm GTNN của biểu thức

P = 2 2

1

<i>x</i> <i>y</i> ₊

2

<i>xy</i>_{+ 4xy}

<b>Bài 17)</b> Tìm GTLN và GTNN của: P =

2
2

1
1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 


<b>Bài 18)</b> Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1.

Tìm GTNN của biểu thức

A = 2 2

1 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<b>Bài 19)</b> Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =

2
2

1 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 
 

 _  _
 

   

<b>Bài 20)</b> Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 _{+ y}4_{) +}

1

4<i>xy</i>
<b>Bài 21)</b> Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =

1 1
1 1

<i>x</i> <i>y</i>

 
 

 _  _
 

   
<b>Bài 22)</b> Cho x, y là hai số dương thỏa mãn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Tìm GTNN của biểu thức
P =

2 2

1 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>

   

  

   

 
 

<b>Bài 23)</b> Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =

2 2 2

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

     

    

     

     

<b>Bài 24)</b> Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a3_{+ b}3

<b>Bài 25)</b> Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.

Tìm GTNN của P =

1 1
1 1

<i>a</i> <i>b</i>

<b>Bài 26)</b> Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =

2 2
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x y</i>


<b>Bài 27) </b>Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của

P = 8(x4_{+ y}4_{) +}

1

<i>xy</i>

<b>Bài 28)</b> Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
x2_{+ 2xy + 7(x + y) + 2y}2_{+10 = 0}

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
S = x + y + 1

<b>Bài 29)</b> Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

S = x <i>x</i> + y <i>y</i> biết <i>x</i> + <i>y</i> = 1

<b>Bài 30)</b> Tìm GTNN của biểu thức
P = <i>x</i>2 2<i>x</i>₂2008

<i>x</i>

</div>

<!--links-->