BẤT  ĐẲNG THỨC 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 

1. Khái niệm:  
A > B Û A – B > 0 ; 
A < B Û A – B < 0 
A ≥ B Û A – B ≥ 0 ; 
A ≤ B Û A – B ≤ 0 
2. Tính chất:  
1) A > B và B > C Þ A > C 
2) A > B Û A + C > B + C. 
3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0. 
4) A > B, C > D Û A + C > B + D. 
5) A > B > 0 và C > D > 0 Þ A.C > B.D 
6) A > B > 0 và n Ỵ N * Þ A n  > B n . 
7) A > B > 0 và n Ỵ N Þ  n A >  n  B . 
1 1 
1 1 
8) A > B Þ  <  nếu AB > 0. Hoặc:  >  nếu AB < 0. 
A B
A B
3. Chứng minh bất đẳng thức 
­ Xét hiệu hai vế: a > b Û a – b > 0 
­ Biết đổi tương đương bất đẳng thức phải chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng 
­ Dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy từ bất đẳng thức đã biết là đúng đến bất đẳng thức 
phải chứng minh 
B. BÀI TẬP 

Bài 1:  Chứng minh: a + b ≥  ab  (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) 
HD: (1) Û a + b  –  ab  =

(

a- b

2 

)  ³ 0 (đúng). 

Bài 2:  Chứng minh: (a + b) 2  ≥ 4ab. 
HD: Biến đổi đưa về (a – b) 2  ≥ 0. 
Bài 3:  Chứng minh:  a 2  + b 2  ≥ 2ab. 
HD: Xét hiệu, đưa về (a – b) 2  ≥ 0. 
Bài 4:  Chứng minh: (ac + bd) 2  ≤ (a 2  + b 2 )(c 2  + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). 
HD: Biến đổi hiệu (ac + bd) 2  – (a 2  + b 2 )(c 2  + d 2 ) thành (ay – bx) 2 . 
Bài 5:  Chứng minh: a 2  + b 2  + c 2  ≥ ab + bc + ca 
HD: Biến đổi hiệu a 2  + b 2  + c 2  – (ab + bc + ca) thành (a – b) 2  + (b – c) 2  + (c – a) 2 
Bài 6:  Chứng minh: a 2  + b 2  + c 2  + d 2  + 1 ≥ a + b + c + d. 
2

2

2

2 

1ư ỉ
1ư ỉ
1ư ỉ
1 ư
ỉ

HD: Biến đổi a  +b +c +d +1 a+b+c+dthnh:ỗ a - ữ + ç b - ÷ + ç c - ÷ + ç d - ÷
2ø è
2ø è
2ø è
2 ø 
è
2 
2 
2 
2 
Bài 7:  Chứng minh: a  + b  + c  +d a(b+c+d+e)
2
2
2
2
ổ
b ữử ổỗ
c ữử ổỗ
d ửữ ổỗ
eửữ
ỗ
HD:Bin di vdng: ça - ÷÷ + ça - ÷÷ + ça - ữữ + ỗa - ữữ 0
ỗố
2 ứ ỗố
2 ứ çè
2 ø çè
2 ø 
2 
2 
2 

2  2 
2 
Bài 8:  Chứng minh: (ax + by + cz)  ≤ (a  + b  + c  )(x  + y  + z 2 ) 
HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx) 2  + (az – cx) 2  + (bz – cy) 2  ≥ 0 
Bài 9:  Chứng minh a 4  + b 4  ≥ ab 3  + a 3  b. "a, b ≥ 0. 
2 
é
b ư÷
3b 2  ùú
2  2
2
2 ờổ
ỗ
HD:Bin i,phõntớch thnh:(a b) (a +ab+b )= (a - b) ờỗa + ữữ +
0, "a, b.
ỗ
2ứ
4 ỳỳỷ
ờởố
3
a 3 + b 3 ổỗ a + bữử
Bi10: Chngminh:
ỗ
ỗố 2 ữữứ
2
HD:Xộthiu,phõntớch thành nhân tử Þ đpcm. 
2 

2 


2 

2 

2 

a 2 + b 2  ỉ a + bử
Bi11: Chngminh:
ỗ
ữ .
2
ố 2 ứ
HD:Quy ngmu,xộthiuavdng:(ab)2 0.


2 

a 2 + b 2 + c2  æ a + b + cử
ỗ
ữ
3
3
ố
ứ
2
2
HD:Xộthiu,avdng:(ab) +(b c) +(c a)2 0.
x+y
4


Bi13: Chngminh:
. "x,y>0.
xy
x + y
HD: Biến đổi về (x + y) 2  ≥ 4xy Þ tương tự bài 2. 
Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A =  2005 +  2007 và B =  2 2006 . 
HD: Chứng minh A 2  ≥ B 2 Þ đpcm. 
1 
Bài 15:  Chứng minh: a 2  + b 2  ≥ a + b  - 
2
2
2 
ỉ
1 ữử ổỗ
1ửữ
ỗ
HD:Bin i av ỗa - ữữ + ỗ b - ữữ 0
ỗố
2 ứ ỗố
2 ứ

Bi12: Chngminh:

a 2 + a + 1 3 
Bài 16:  Chứng minh:  2 
£
2 
a + 1
2 
2 

HD: Quy đồng: 2a  + 2a + 2 ≤ 3a  + 3 Û (a – 1) 2 . 
1 
1 
Bài 17:  Chứng minh:  a)  a + ³ 2, "a > 0 . 
b)  a + £ -2, "a < 0 . 
a
a
HD:  a) Vì a > 0 nên: a 2  – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1) 2  ≥ 0. b) Vì a < 0: a 2  + 2a + 1 ≥ 0 Û (a + 1) 2  ≥ 0. 
a b 
a b 
Bài 18:  Chứng minh:  a) Nếu ab > 0 thì:  + ³ 2 . 
b) Nếu ab < 0 thì:  + £ - 2 . 
b a
b a
2 
2 
2 
2 
2 
HD:  a) Từ (a – b)  ≥ 0 Û a  + b  ≥ 2ab. Chia cả hai vế của a  + b  ≥ 2ab cho ab > 0 Þ đpcm. 
b) Chia cả hai vế của a 2  + b 2  ≥ –2ab cho ab < 0 Þ đpcm 
ax + by a + b x + y 
Bài 19:  Cho x ≥ y, a ≥ b. Chứng minh: 
³ 
. 
2
2
2
HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ 0 (đúng). 
æ 1 1 1ử

a
b
c
Bi20: Choa>0,b>0,c>0.Chngminh: + + 2ỗỗỗ + + ữữữ . 
è a b c ø 
bc ca ab
HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) 2  ≥ 0 (đúng). 
1
1
2 
Bài 21:  Cho ab ≥ 1. Chứng minh: 
+
³
(*). 
2
2 
1 + ab 
1+ a
1 + b
2 + a 2 + b 2 
2 
HD: (*) Û 
³
Û (a – b) 2 (1 – ab) ≤ 0 (đúng). 
2
2
2 2 
1 + ab 
1+ a + b + a b
ỉ x y ư

x 2 y 2
Bi22: Chox,y 0.Chngminh: 2 + 2 + 4 3ỗỗ + ữữữ .
ữ
y
x
ốỗ y xứ
x y
+ =t (|t| 2).Btngthcvitli:t2 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2. 
y x
Bài 23:  Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a. 
HD:  BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3) 2  + 6 > 0, "a 
Bài 24:  Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x. 
HD: Làm tương tự bài 23. 
Bài 25:  Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a 3  + b 3  ≥ ab(a + b). 
HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y) 2  ≥ 0.
HD: Đặt 


CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 

a) 2x 2  + 3x + 1. 
b) x 2  – 2x + 5. 
c) 4x 2  – 4x – 3. 
d) x 2  – 5x + 1.  e) 5x 2  + 7x + 9. 
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) 6 – x 2  – 6x. 
b) 1 – x 2  – 6x 2 . 
c) 4 – x 2  + 2x. 

d) 4x – x 2 . 
e) 7 – 3x – x 2 . 
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ. 
1 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =  2 
. 
x + 2x + 6
1 
C1: Vì x 2  + 2x + 6 = (x + 1) 2  + 5 ≥ 5. Nên: y ≤  . Dấu “=” xảy ra Û x = –1. 
5 
1 
1 
C2: y =  2 
Û yx 2  + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm Û Δ’ = y – 5y 2  ≥ 0 Û 0 < y ≤  . 
5 
x + 2x + 6
1 
Dấu “=” xảy ra Û x 2  + 2x + 1 = 0 Û x = –1( Thực chất là thay y =  vào phương trình theo x). 
5 
2 
2x + 5 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =  2 
2x + 1
2 
2x + 1 + 4
4
4 
HD: Làm tương tự bài 3.  y = 
= 1 + 2 
£ 1 + = 5 . Dấu “=” xảy ra Û x = 0. 

2
1 
2x + 1
2x + 1
2 
x - 2x + 1 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  y = 2 
. 
x + 4x + 5
(x - 1) 2 
HD:  y =
³ 0 . Dấu “=” xảy ra Û x = -1. 
(x + 2)2  + 5
1 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =
. 
6x - 5 - 9x 2 
2
1 
HD:  Biến đổi biểu thức trở thành:  A =
³
2 
2 
4 - (3x - 1)
1 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P = 2 
. (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành) 
4x - 4x + 3
HD: Làm tương tự bài 6. 
x 2  - 2 

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =  2 
. 
x + 2
4 
HD: Biến đổi biểu thức trở thành:  B = 1 - 2 
³ 1 
x + 2
x 4  + 1 
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  C =  2 
x
1 
HD: Ta có:  C = x 2  + 2  ³ 2 
x
x 2  - 2x - 2 
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y =  2 
. 
x + x + 1
3x 2 - 2(x 2 + x + 1)
3x 2 
3
3 
C1:  y =
=
- 2  Þ  -2 £
- 2 £ = 4 
2
2 
2 
3 
x + x +1

x + x +1
ổ
ử
ỗỗ x+ 1 ữữ + 3
ữ
4
ỗố
2 ứ
4
C2:Sdngphngtrỡnhbchai.Bn ctgii.
x 2 + x + 1 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = 2 
( x ≠ -1).
x + 2x + 1


HD: Đặt y = x + 1 Þ  x = y – 1 Þ  A = 

y 2  - y + 1
1
1 
= 1 - +  2  . 
2
y  y
y

ỉ
1 
1ư
3 3 

1 
Đặt z =  Þ A = z 2  – z+1= ỗỗz- ữữữ + .Du=xyra: z = y = 2 x =1.
ỗố
y
2 ứ 4 4
2
(x + 2)(x + 8)
Bi12: Vix>0.Tỡmgiỏtrnhnhtcabiuthc: A=
x
2
ổ
x + 10x + 16 ổỗ
16ử
16ử
16
HD: A =
= ỗ x + ữữữ + 10.Vỡ:x. =16=const ị ỗỗ x+ ữữữ nhnht x2 =16.
ỗ
ỗ
ố
ố
x
x ứ
x
x ứ
Tclx=4(vỡx>0).Vy:minA=18.
(x + 100)2
Bi13: Vix>0.Tỡmgiỏtrnhnhtcabiuthc: A = 
x
HD: min B = 400 khi x = 100. 

x 
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  B =
(x + 100) 2 
1 
y - 100 1 100 
C1: Đặt x + 100 = y Þ x = 100 - y.  B =
= -  2  .  Đặt  = z .
2
y
y  y
y
2 

ỉ
1
1 ư÷
1 
1
- 100 ỗỗ zÊ
.Du=xyra
z=
y=200x=100.
ữ
ữ
ỗố
400
200 ứ
400
200
x

x
1
C2:pdngbtngthc:(a+b)2 4ab: B=
Ê
=
x=100.
2
400x 400
(x + 100)
2

ịB=z100z2 =

Bi15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =

(x + y) 2 
x 2 + y 2 

(x + y) 2 
³ 0 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y  ≠ 0. 
x 2 + y 2 
2xy
2xy 
A =  1 + 2
£1+
= 1 + 1 = 2  (vì x 2  + y 2  ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. 
2 
2xy 
x + y


HD:  A =

Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B =

2x 2  + 4x - 1 
. 
x 2  + 1

3x 2 + 3 - (x 2 - 4x + 4)
(x - 2) 2 
HD:  B =
= 3 - 2 
£ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = 2. 
x2 + 1
x + 1
4x 2 + 4x + 1 - 2x 2 - 2 (2x + 1) 2 
1 
B=
=
- 2 ³ -2 . Dấu “=” xảy ra Û x =  -  . 
2
2 
2
x +1
x + 1
2
2 
4x - 2xy + 4y 
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  C =
x 2 + y 2 

HD:  C = 3 +

(x - y) 2 
³ 3 . Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. 
x 2 + y 2 

(x + y) 2 
C = 5- 2
£ 5 . Dấu “=” xảy ra Û x = -y ≠ 0. 
x + y 2 
x + 1 
x + x + 1
2
2
2 
3x + 3
x + 4x + 4 - x - x -1
(x + 2)
1
1 
HD:  D =
=
=
- ³ - Û x = -2. 
2
2
2 
3 
3(x + x + 1)
3(x + x + 1)

3(x + 1 + 1) 3

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  D =

D=

x2 + x +1- x 2
x 2 
=
1
£ 1  Û x = 0.
x2 + x +1
x 2  + x + 1

2