Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.87 KB, 7 trang )
Chuyên đề 2:
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở
rộng.
từ đẳng thức (1) ta suy ra:
cabcabcbacba 222)(
2222
Mở rộng:
nnnnn
aaaaaaaaaaa
121
22
1
2
2
2
1
2
21
2 2 ) (
Tổng quát:
n
b
n
a
n
aBbBba
)()(
)(
CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x-y ; b) x
2
+y
2
; c)x
3
+y
3
.
Giải
a) (x-y)
2
=x
2
-2xy+y
2
=x
2
+2xy+y
2
-4xy=(x+y)
2
-4xy=9
2
-
4.14=25=5
2
suy ra x-y =
5
b) (x+y)
2
=x
2
+y
2
+2xy
suy ra x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy = 9
2
-2.14 = 53
c) (x+y)
3
= x
3
+y
3
+3x
2
y+3xy
2
= x
3
+y
3
+3xy(x+y)
suy ra x
3
+y
3
=(x+y)
3
-3xy(x+y) =9
3
-3.14.9 = 351
Nhận xét:
1. Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng
nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng
nhau.
( A – B)
2
= ( B – A )
2
2. Để tiện sử dụng ta còn viết:
( A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A+B)
( A – B)
3
= A
3
- B
3
- 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y – 5)
2
- 6xy + 26
Giải :
A = x
2
+ 9y
2
+ 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26
= ( x
2
- 10x + 25) + ( 9y
2
- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)
2
+ ( 3y-5)
2
+ 1
Vì (x-5)
2
0 (dấu “ =” xảy ra
x=5 ); (3y-5)
2
0 (dấu “=” xảy
ra
y=
3
5
) nên A
1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y
3
5
).
Ta viết min A = 1.
Nhận xét :
1. Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau.
Chẳng hạn:
(A – B )
2
= A
2
- 2AB + B
2
hoặc ngược lại
2. Bình phương của mọi số đều không âm :
( A – B )
2
0 (dấu “ =” xảy ra
A = B).
Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x
2
- 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một
đa thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta được :
1x
2
- 5x +3 = 2( y – 1)
2
- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y
2
- 2y + 1) – 5y + 3 + 5
= 2y
2
- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
A = (2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2
16
+1)
B = 2
32
.
Giải:
Nhân hai vế của A với 2-1, ta được :
A = (2-1)(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2
16
+1).
áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a
2
- b
2
nhiều lần, ta được:
A = 2
32
-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
Rút gọn biểu thức :
A = (a + b + c)
3
+ (a - b – c)
3
-6a(b + c)
2
.
Giải :
A = [a + (b + c)]
3
+ [a – (b + c)]
3
- 6a(b + c )
2
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c) + a
3
-3a
2
(b +
c) + + a
3
- 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
- (b + c)
3
- 6a(b + c)
2
= 2a
3
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
a) 127
2
+146.127 + 73
2
;
b) 9
8
.2
8
- (18
4
- 1)(18
4
+ 1) ;
c) 100
2
- 99
2
+ 98
2
- + 2
2
- 1
2
d) (20
2
+18
2
+ +4
2
+2
2
) – (19
2
+17
2
+ +3
2
+1
2
) ;
e)
22
22
75125.150125
220780
Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
a) A =
22
22
246
254
242258
; b) B = 263
2
+ 74.263 + 37
2
; C = 136
2
-92.136 +
46
2
;
a) D = (50
2
+ 48
2
+ +2
2
) – (49
2
+47
2
+ +3
2
+ 1
2
)
Bài 8 :
Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
Tìm x và tìm n
N biết
x
2
+ 2x + 4
n
- 2
1n
+2 = 0.
B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2
(x+1)(x-1) – (x
2
-1)(x
4
+x
2
+1)+(x
2
-1)
3
;
c) (a+b+c)
3
+((a-b-c)
3
+(b-c-a)
3
+(c-a-b)
3
;
Bài 11 :
Tìm x biết :
6(x+1)
2
-2(x+1)
3
+2(x-1)(x
2
+x+1) = 0
Bài 12 :
Chứng minh các hằng đẳng thức :
(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab – cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) – 3(a
2
+b
2
) .
