BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO

HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - Năm 2016


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................ 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ................................................... 2
6. Cấu trúc luận văn ........................................................................................ 3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ .......................................... 4
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ .................................................................. 4
1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ .................................................... 5
1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ ........................................................................... 16
CHƢƠNG 2. HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG............................................... 23
2.1. VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ ................... 23
2.2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ................................................................. 25
2.3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ ............................................ 32
2.4. VECTƠ TIẾP TUYẾN .................................................................................. 37
2.5. ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG CONG .................................................................. 42
2.6. ỨNG DỤNG CỦA HÀM VECTƠ ................................................................ 46
2.6.1. Ứng dụng của hàm vectơ giải một số bài toán về đƣờng cong ............. 46
2.6.2. Ứng dụng đạo hàm của hàm vectơ...................................................... 48
2.6.3. Ứng dụng tích phân của hàm vectơ ...................................................... 51
2.6.4. Ứng dụng tiếp tuyến của hàm vectơ ..................................................... 55
2.6.5. Ứng dụng vật lí của hàm vectơ............................................................ 65
KẾT LUẬN......................................................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao).


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vectơ là một khái niệm trừu tƣợng. Để nắm đƣợc các kiến thức về
vectơ địi hỏi ngƣời học phải có tƣ duy logic, khả năng sáng tạo biết vận dụng
liên hệ với thực tế. Trong chƣơng trình phổ thơng, kiến thức về vectơ đƣợc đề
cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm một nửa tổng số tiết hình học
của ba năm cấp ba.
Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép toán cơ bản
để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ trong không gian,
phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Đây chỉ là một phần về kiến thức vectơ
và ứng dụng hình học của vectơ. Ngồi các ứng dụng trong hình học, vectơ
cịn có các ứng dụng trong vật lí, trong đạo hàm và tích phân. Hàm vectơ là
sự mở rộng khái niệm vectơ bằng cách đặt tƣơng ứng mỗi giá trị t  R một
vectơ, khi đó mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng. Ứng dụng của
hàm vectơ đƣợc vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng hạn ta
có thể viết phƣơng trình vận tốc của chuyển động

vt  v0  a.t ,
trong đó a là vectơ gia tốc và t là thời gian. Khi chuyển động thẳng đều thì độ
lớn của vt là vt  v0  at.
Là giáo viên dạy toán ở trƣờng phổ thơng với mong muốn đƣợc tìm
hiểu sâu sắc hơn về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ nhằm có cái
nhìn tồn diện hơn từ đó đƣa ra cách truyền đạt để học sinh có thể nắm bắt và
tiếp cận kiến thức về vectơ một cách dễ dàng, tôi quyết định chọn đề tài:
“Hàm vectơ và ứng dụng”


2

2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ.
- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm

vectơ nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến…
- Hệ thống và phân loại một số bài tốn có thể giải đƣợc bằng cách sử
dụng kiến thức về hàm vectơ.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Các kiến thức cơ bản về vectơ.
- Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ.
- Các bài tốn có thể giải đƣợc bằng cách sử dụng kiến thức về hàm
vectơ.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các phƣơng pháp
nghiên cứu sau:
+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài
luận văn.
+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của ngƣời hƣớng dẫn, của các
chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Hệ thống đƣợc kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm vectơ và
một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài.


3

- Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn nhƣ là tài
liệu tham khảo cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng và các đối
tƣợng quan tâm đến các kiến thức về vectơ.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng.
Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vectơ

 Trình bày các kiến thức cơ bản về vectơ với các khái niệm, các tính
chất, phép tốn có liên quan.
Chƣơng 2: Hàm vectơ và ứng dụng
 Trình bày khái niệm hàm vectơ, các kiến thức liên quan về hàm vectơ
nhƣ: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến. . .
 Trình bày một số ứng dụng của hàm vectơ nhƣ: ứng dụng trong đạo
hàm, ứng dụng trong tích phân, ứng dụng vectơ tiếp tuyến và ứng dụng
trong vật lý.


4

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ
Các đại lƣợng vật lí đƣợc chia làm hai loại:
- đại lƣợng vơ hƣớng là các đại lƣợng có độ lớn nhƣng khơng có hƣớng
- đại lƣợng có hƣớng là các đại lƣợng có cả độ lớn và hƣớng.
Định nghĩa 1.1.1
Đại lƣợng có hƣớng đƣợc gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là vectơ)
Các đại lƣợng vật lí nhƣ khối lƣợng, thể tích, cơng và năng lƣợng là vô
hƣớng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ.
Kí hiệu 1.1.2
 Đại lƣợng vectơ đƣợc biểu diễn bằng chữ a . Khi một vectơ a đƣợc
biểu diễn bởi đoạn thẳng nối một điểm P đến một điểm Q thì nó đƣợc kí hiệu

PQ . Do đó PQ  a .
Q
P


aa

 Độ lớn của một vectơ đƣợc gọi là modul của một vectơ đó và đƣợc kí
hiệu là a , modul của vectơ PQ đƣợc viết là PQ.
Định nghĩa 1.1.3. Các vectơ có độ lớn bằng 1 đƣợc gọi là vectơ đơn vị.
Trong luận văn này vectơ đơn vị đƣợc phân biệt với vectơ khác bằng một dấu


5

mũ; ví dụ aˆ là đại diện cho một vectơ đơn vị theo hƣớng của vectơ a . Rõ
ràng, a = a aˆ .
Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc OXYZ , các vectơ đơn vị trên
trục OX , OY , OZ lần lƣợt đƣợc kí hiệu là i, j, k .
Định nghĩa 1.1.4. Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng khơng và
khơng có hƣớng, đƣợc ký hiệu 0 .
Định nghĩa 1.1.5. Vectơ đối của vectơ a , đƣợc kí hiệu là – a , là một
vectơ có modul bằng vectơ a nhƣng ngƣợc hƣớng với vectơ a .
Định nghĩa 1.1.6. Các vectơ đƣợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng
modul và cùng hƣớng.
Ví dụ 1.1.7. Vectơ AB , DC biểu diễn bởi các cạnh đối AB, CD của hình
bình hành ABCD là bằng nhau.
1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ
Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ a, b đƣợc biểu
diễn lần lƣợt bởi PQ , QR (Hình (a)). Khi đó vectơ biểu diễn bởi PR đƣợc
định nghĩa là tổng của a và b , đƣợc viết: a  b và đƣợc gọi là quy tắc 3 điểm
của phép cộng vectơ.
Qui tắc 1.2.2. Nếu vectơ a, b đƣợc biểu diễn lần lƣợt bởi PQ , PS và ta
đƣợc hình bình hành PQRS nhƣ hình (b), khi đó đƣờng chéo PR qua P đại

diện cho tổng a  b . Đây là quy tắc hình bình hành của phép cộng vectơ. Rõ
ràng hai quy tắc trên là tƣơng đƣơng và ta có thể sử dụng một trong hai.


6

R

S

R

b

a+b

Q
P

P

Q

a
(a)

(b)

Từ hình (b), vì SR = PQ = a và QR = PS = b , ta có tính giao hốn
của phép cộng

a+b=b+a
là đúng đối với đại lƣợng vơ hƣớng, cũng đúng cho đại lƣợng vectơ.
Do đó b  a = PS + SR = PR = PQ + QR = a  b .
Định nghĩa 1.2.3 (Phép trừ hai vectơ)
Hiệu giữa hai vectơ a, b đƣợc viết là a  b và

R

theo quy tắc của đại số vô hƣớng nó đƣợc viết
thành tổng a + (- b ).

S
a-b

b

Q

Biễu diễn a, b bởi các vectơ PQ , QR nhƣ P
a

trƣớc, khi đó QR ' sẽ đại diện cho

-b
a-b

- b , với QR' = QR (hình vẽ).
Nên a  b hoặc a + (- b ) đƣợc biểu diễn bởi PR ' hoặc SQ.

R'



7

Định nghĩa 1.2.4 (Tổng của nhiều vectơ)
Giả sử có n vectơ a1, a 2 ,..., a n .

A4

a4

A3

Cho a 1 đƣợc biểu diễn bởi OA1 ,
a 2 đƣợc đại diện bởi A1 A2 , …, a n

An-1

đƣợc biểu diễn bởi An1 An .

a3
A2

an

a2

Vậy thì

An

a 1 +a 2 +...+a n O

OA2  OA1  A1 A2  a1  a 2 ;

A1
a1

OA3  OA2  A2 A3  a1  a 2  a 3 ;
OA4  OA3  A3 A4  a1  a 2  a 3  a 4 ;
……………………………………………

OAn  OAn1  An1 An  a1  a 2  a 3  ...  a n .
Đây là hình đa giác của các vectơ, kết quả này áp dụng đƣợc trong
không gian hai hoặc ba chiều.
Từ hình vẽ, rõ ràng là:





OA3  OA2  A2 A3  a1  a 2  a 3 và OA3  OA1  A1 A3  a1  (a 2  a 3 ) .










Vì vậy a1  a2  a3  a1  a2  a3 .
Từ đó ta có tính kết hợp của phép cộng khơng những đúng với đại
lƣợng vơ hƣớng mà cịn đúng đối với các đại lƣợng vectơ.
Ví dụ 1.2.5
ABCD là một hình tứ giác; P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh
AB, DC. Chứng minh rằng: AD  BC  2PQ .


8

Lời giải
Liên hệ hình vẽ và sử dụng hình đa giác của các vectơ ta có

PA  AD  DQ  PQ và PB  BC  CQ  PQ
C
Q
D

A

P

B

Cộng vế theo vế và chú ý rằng PA  PB  0 , DQ  CQ  0 vì P, Q là
trung điểm của các cạnh AB, DC, từ đó suy ra: AD  BC  2PQ.
Định nghĩa 1.2.6 (Phép nhân một vectơ với một số)
Nếu m là một số thực dƣơng, khi đó m a đƣợc định nghĩa nhƣ một
vectơ cùng hƣớng a có độ lớn bằng ma.
Định lý 1.2.7

Nếu các vectơ a , b đƣợc biểu diễn lần lƣợt bởi OP, OQ và m, n là các
hằng số dƣơng, khi đó m a +n b = (m+n) c , với c đƣợc biểu diễn bởi vectơ
OR , R là một điểm trên PQ sao cho mPR  nRQ .

Q
m
b

R
c

n
P

O
a


9

Dựa vào hình vẽ, OP  PR  OR,

 mOP  mPR  mOR.
Tƣơng tự

nOQ  nQR  nOR

Cộng vế theo vế ta có: mOP  nOQ  mPR  nQR  (m  n)OR.
Nhƣng vì mPR  nRQ, mPR  nQR  0.


 mOP  nOQ  (m  n)OR ,
Hay m a +n b = (m+n) c .
Trong trƣờng hợp đặc biệt m  n  1 , các vectơ a , b , c đƣợc biểu diễn
bởi OP, OQ và OM , với M là trung điểm của PQ thì a + b =2 c , kết quả này
cũng dựa theo quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 1.2.8
ABCD là một mặt phẳng hay hình tứ giác khơng đối xứng? Hãy chỉ ra
rằng tổng của các vectơ AB, CB , CD và AD bằng 4PQ với P, Q lần lƣợt là
trung điểm của các cạnh AC, BD.
B
C

P

A

Q

D


10

Lời giải
Sử

dụng

kết


quả

vừa

thiết

lập

trên:

AB  AD  2 AQ và

CB  CD  2CQ
Mà AQ  CQ  (QA  QC )  2QP  2PQ





 AB  AD  CB  CD  2 AQ  CQ  4 PQ.

Ví dụ 1.2.9
Trong tam giác ABC, các điểm D, E, F chia các cạnh BC, CA, AB
theo tỷ số k:1. Chứng minh rằng tổng
của các vectơ đƣợc biểu diễn bởi

A

AD, BE, CF bằng 0 .


F

E

Lời giải
Vì BD  kCD, (1  k ) AD  AB  k AC,
sử dụng định lý nêu trên.

B

D

Tƣơng tự:

(1  k ) BE  BC  k BA;
(1  k )CF  CA  kCB.
Cộng vế theo vế ta đƣợc,

(1  k )( AD  BE  CF )  AB  BC  CA  k ( AC  BA  CB).
Nhƣng AB  BC  CA  AC  CB  BA  0.
 AD  BE  CF  0.

C


11

Định nghĩa 1.2.10 (Thành phần của vectơ trong các hƣớng vng
góc với nhau)
Giả sử OP đại diện cho vectơ r (Hình

vẽ). Qua điểm O vẽ các đƣờng thẳng vng
góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay
r

bên phải từ OY tới OZ dọc theo OX và cứ
tiếp tục tuần hoàn theo các chữ cái X, Y, Z.
Vẽ lần lƣợt các đƣờng vng góc PQ, PR, PS
xuống mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ.
Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hƣớng

OX, OY , OZ là i , j , k suy ra: OA  xi; OB  y j; OC  zk
Vì OP  OA  AS  SP  OA  OB  OC . Nên r = x i + y j + z k .
Các vectơ x i , y j , z k đƣợc gọi là các thành phần của r trong hệ trục
tọa độ. Các thành phần của r theo từng hƣớng là duy nhất, giống nhƣ chỉ vẽ
đƣợc 1 hình hộp nhƣ ở trên. Do đó nếu 2 vectơ bằng nhau thì các thành phần
tƣơng ứng của chúng cũng bằng nhau.
Trong không gian 2 chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), kết quả trên trở
thành:
r = xi + y j.

Định nghĩa 1.2.11 (Modun và cosin theo hƣớng của một vectơ theo
các thành phần của nó)


12

Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng : OP 2  OA2  OB 2  OC 2 . Vì vậy modun
r của vectơ r đƣợc cho bởi: r 2  x2  y 2  z 2 , với x, y, z là các modul của
thành phần của r
r  x2  y 2  z 2


Hƣớng của vectơ r hay OP đƣợc xác định bởi cosin của góc tạo tạo
bởi OP với các trục OX, OY , OZ . Nếu góc này lần lƣợt là  ,  ,  thì:

cos 

OA x
OB y
OC z
 ; cos 
 ; cos 

OP r
OP r
OP r

cos , cos , cos đƣợc gọi là cosin theo hƣớng của OP ; chúng phụ

thuộc hệ thức:

x2  y 2  z 2
cos   cos   cos  
1
r2
2

2

2


Trong không gian hai chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), chúng ta có kết
quả tƣơng tự:
x
y
r  x 2  y 2 ; cos  ; cos  
với cos2   cos2   1.
r
r

Định nghĩa 1.2.12 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần)
Giả sử các vectơ r1 , r 2 , r 3 ,… đƣợc biểu diễn theo các thành phần của
chúng trong các trục vng góc OX, OY , OZ


13

r1  x1 i  y1 j  z1 k
r 2  x2 i  y2 j  z2 k
r 3  x3 i  y3 j  z3 k
................................
r1  r 2  r 3  ....  ( x1 i  y1 j  z1 k )  ( x2 i  y2 j  z2 k )  ( x3 i  y3 j  z3 k )  ...
 ( x1  x2  x3  ...)i  ( y1  y2  y3  ...) j  ( z1  z2  z3  ...)k

Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các
thành phần của chúng. Hoàn toàn tƣơng tự khi trừ các vectơ.
Ví dụ 1.2.13
Cho các vectơ đồng phẳng r1  3i  4 j ; r 2  2i  3 j với i , j là các
vectơ đơn vị của các trục OX, OY . Tìm modul và cosin theo hƣớng của

i ) r1  r 2

ii ) 2r1  3r 2
Lời giải



 



i ) r1  r 2  3i  4 j  2i  3 j  5i  j
 r1  r 2  5i  j  26

và các cosin theo hƣớng của r 1  r 2 là cos 



 



ii ) 2r1  3r 2  2 3i  4 j  3 2i  3 j  17 j
 2r1  3r 2  17 j  17

5
1
; cos 
26
26



14

và cosin theo hƣớng của 2r 1  3r 2 là cos  0 ; cos 

17
 1 trở thành
17

vectơ chỉ hƣớng của OY .
Ví dụ 1.2.14
Tìm modul và cosin theo hƣớng của vectơ v  2i  j  2k , trong đó

i , j, k là vectơ đơn vị theo hƣớng của các trục tọa độ.
Lời giải
Modul của v : v  22  12  (2)2  3
Côsin theo hƣớng của v :

2 1 2
; ; .
3 3 3

Ví dụ 1.2.15.
Vectơ đơn vị dọc theo trục OX, OY đƣợc biểu diễn bởi i, j và OP
biểu

diễn

độ

lớn


vectơ OP

theo

hƣớng

từ

O

đến

P.

Nếu

OA  2i  3 j, OB  3i  2 j và 3OA  2OB  OC  0 , tìm độ lớn và hƣớng của
OC .

Lời giải
Thay OA, OB ta đƣợc 3(2i  3 j )  2(3i  2 j )  OC  0

 12i  5i  OC  0; OC  12i  5 j .
Do đó độ lớn của OC là
là 

12 5
; .
13 13


(12)2  (5) 2  13 và hƣớng côsin của OC


15

Ví dụ 1.2.15 (Chứng minh cơng thức cộng lƣợng giác bằng phƣơng
pháp vectơ)
Trong không gian hai chiều ,giả sử I , m là vectơ đơn vị trong mỗi
hƣớng vng góc , OQ mà tạo với góc A . khi đó nếu i , j là vectơ đơn vị
của thì
I  cosA i  sin A j ;





m  cos   A  i  sin   A  j   sin Ai  cos A j
2

2


n là vectơ đơn vị của hƣớng OR , khi đó góc ROP  B , sau đó biểu
diễn n theo các thành phần trong các hƣớng vng góc OP , OQ
n  cosBI  sin Bm

= cosB( cos A i + sinA j ) + sinB(-sinA i + cosA j )
= (cosAcosB- sinAsinB) i + (sinAcosB + cosAsinB) j (i)
Nhƣng A có thể biểu diễn các thành phần theo hƣớng nhận đƣợc

n = cos(A+B) i + sin(A+B) j

Từ (i) và (ii) các thành phần tƣơng đƣơng trong hƣớng
cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB.

(ii)


16

1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ
Định nghĩa 1.3.1 (Tích vơ hƣớng) Tích vơ hƣớng của hai vectơ a và
b tạo với nhau một góc  đƣợc định nghĩa là đại lƣợng vô hƣớng a.b.cos và

đƣợc ký hiệu là a . b
Rõ ràng, phép nhân vơ hƣớng của các vectơ là có tính giao hốn vì:
a . b = ab.cos  =ba.cos  = b . a

Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hƣớng của 2 vectơ a , b tạo
với nhau một góc  đƣợc định nghĩa nhƣ một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ
lớn là ab.sin  và có hƣớng vng góc với hƣớng của cả 2 vectơ a và b theo
đƣờng đinh ốc xoắn về phía phải từ hƣớng của vectơ a đến hƣớng của vectơ
b di chuyển theo hƣớng của vectơ tích. Vectơ tích của 2 vectơ a và b đƣợc

ký hiệu là
a  b hoặc a x b .

aab b
b


b

a

a

Ghi chú 1.3.3. Quan hệ giữa hƣớng của vectơ a  b và hƣớng của
vectơ a và vectơ b đƣợc minh họa trong hình vẽ. Điều quan trọng cần chú
ý là mặc dù tích b  a có độ lớn bằng với tích a  b nhƣng hƣớng của nó
là ngƣợc với hƣớng của a  b vì xoay đinh ốc từ hƣớng của vectơ b đến
hƣớng của vectơ a , ngƣợc chiều với trƣờng hợp tích a  b .


17

Vì thế b  a = - a  b và do đó phép nhân có hƣớng của hai vectơ
là khơng có tính giao hốn.
Ví dụ 1.3.4.
Nếu M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC thì thấy rằng:
i)

MB.MA   MC .MA

ii)

MB  MA   MC  MA

A


Lời giải

B

M

C

i) MB.MA  MB.MA.cos BMA; MC.MA  MC.MA.cos AMC
Nhƣng MB = MC và cos BMA   cos AMC nên MB.MA   MC .MA
ii) Tích MB  MA có độ lớn bằng MB.MA.sin BMA có hƣớng đi xuống
vng góc với mặt phẳng của trang giấy trong khi tích MC  MA có độ lớn
bằng MC.MA.sin AMC có hƣớng đi lên vng góc với mặt phẳng của trang
giấy. Vì sin BMA bằng sin AMC nên vectơ tích MB  MA và MC  MA có
độ lớn bằng nhau và ngƣợc hƣớng. Vì vậy
MB  MA   MC  MA.

Ví dụ 1.3.5.
Nếu a , b đều khác vectơ khơng, sao cho a  b = 0 thì thấy rằng
a =  b , ở đây  là tham số tùy ý.

Lời giải
Khi a  b = 0 , ab.sin =0, ở đây  là góc giữa vectơ a và vectơ b .


18

Nhƣng a và b khơng thể bằng 0, vì thế sin =0 và do đó a và b cùng
phƣơng. Vì lý do đó a là bội số tổ hợp của b hay a =  b , ở đây  là tham
số tùy ý.

Kết quả 1.3.6 (Kết quả quan trọng của tích vơ hƣớng ):
i) Các vectơ vng góc: Nếu 2 vectơ a và b vng góc, góc giữa
chúng là  bằng 900, vì vậy cos  =0 và tích vô hƣớng a . b bằng 0.
Nếu độ lớn của a , b khác 0 và tích a . b bằng 0 thì vectơ a , b vng
góc. Điều quan trọng cần chú ý là nếu i , j , k là các vectơ đơn vị của hệ trục
tọa độ vng góc thì

j .k = k . i = i . j = 0
ii) Các vectơ cùng phƣơng: Nếu a , b cùng hƣớng thì a . b =a.b, nếu a,
b ngƣợc hƣớng thì a . b = -a.b. Một điều đặc biệt quan trọng là trong trƣờng

hợp a = b , thì tích vơ hƣớng của a . a đƣợc viết là a 2 và do đó a . a = a 2 = a2.
Chú ý rằng với định nghĩa quen thuộc của các vectơ đơn vị i, j, k
i 2= j 2= k 2 = 1

iii) Góc giữa hai vectơ: Nếu vec tơ a , b bị nghiêng với nhau một
góc  thì
cos 

a.b
a.b

Kết quả 1.3.7 (Kết quả quan trọng của tích có hƣớng hay cịn gọi là
tích vectơ)


19

(i) Các vectơ song song: Nếu các vectơ a , b song song với nhau, thì
giữa chúng là 0 và vì vậy tích có hƣớng của a , b là . Ngƣợc lại,


sin của góc

nếu a  b  0 và a , b khác 0 thì a , b là hai vectơ song song và vì vậy b là
một bội vơ hƣớng của a . Đó là điều quan trọng để lƣu ý rằng và với những
định nghĩa thông thƣờng của các vectơ đơn vị i , j , k

i  i  j  j  k  k  0.
(ii) Sự tƣơng hỗ của các vectơ vuông góc: Khi các vectơ đơn vị
i , j , k tạo thành một hệ thống tƣơng hỗ vng góc với nhau theo bàn tay

phải, lúc đó :

j  k  i ; k  i  j ; i  j  k;
k  j  i ; i  k   j ; j  i  k .
(iii)

Góc giữa hai vec tơ: Nếu các vectơ a , b bị nghiêng với nhau

một góc  , thì

sin  

ab
a.b

Tính chất 1.3.8 (Luật phân phối cho tích của các vectơ)
Luật phân phối cho tích của lƣợng vơ hƣớng






a b  c  a.b  a.c

Trường hợp (i) - Tích vô hướng





a b  c  a.b  a.c


20

Kết luận trên có thể đƣợc sử dụng để gây dựng một kết quả tổng quát
hơn




 a  b . c  d    a  b .c   a  b .d  a.c  b.c  a.d  b.d
a. b  c  d ...  a.b  a.c  a.d  ...

Nhƣ vậy luật phân phối đƣợc hồn thành trong phép nhân vơ hƣớng
của những vec tơ
Trường hợp (ii) – Tích vec tơ






a bc abac

Kết quả này cũng có thể sử dụng để thiết lập nhiều kết quả tƣơng tự





a  b  c  d  ...  a  b  a  c  a  d  ...

 a  b  c  d   a  b  c  a  b   d  a  c  b  c  a  d  b  d
Nhƣ vậy quy luật phân phối đƣợc tuân theo phép nhân vectơ của các
vectơ.
Mệnh đề 1.3.9 (Biểu thức tọa độ của tích hai vectơ)
Xét vectơ

a  a1 i  a2 j  a3 k ; b  b1 i  b2 j  b3 k
Với i, j , k là các vectơ đơn vị trên các các trục
tọa độ Oxyz.
Tích vơ hƣớng





a.b  a1 i  a2 j  a3 k . b1 i  b2 j  b3 k




của hệ trục


21

2

2

Chú ý rằng i  1  j  k

2

j.k  k.i  i. j  0

Và

Đơn giản ta đƣợc

a.b  a1b1  a2b2  a3b3

Nếu 2 vectơ tạo thành góc ,
a.b  ab cos 

Với a  a12  a22  a32 , b  b12  b22  b32

cos 


a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

Tích có hƣớng



 

a  b  a1 i  a2 j  a3 k  b1i  b2 j  b3 k



Chú ý rằng i  i  j  j  k  k  0
Và j  k  k  j  i; k  i  i  k  j; i  j   j  i  k
Đơn giản ta đƣợc i  a2b3  a3b2   j  a1b3  a3b1   k  a 1b2  a2b1 
Biểu thức dễ nhớ nhất là đƣợc viết dƣới dạng định thức với
xem là các lƣợng đại số thực
i

Vậy

j k

a  b  a1 a2 a3
b1 b2 b3

Có a  b  ab sin  ,

đƣợc



22

sin  

ab
a.b

 a2b3  a3b2    a1b3  a3b1    a1b2  a2b1 
2



2

2

a12  a22  a32 . b12  b22  b32

Định nghĩa 1.3.10 (Tích hỗn tạp)





Giá trị a b  c là kết quả tích a và b  c , nó đƣợc gọi là tích hỗn tạp
và có thể đƣợc thể hiện dƣới dạng b và c (bằng b và c )
Đại diện cho tích hỗn tạp là v , sau đó là v vng góc với b  c nó có
thể đƣợc coi nhƣ là trong mặt phẳng của b và c và do đó nó có thể đƣợc thể

hiện nhƣ là v = bp + qc trong đó p, q là vơ hƣớng.
Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị i , j , k với j , k trong mặt phẳng b, c
và j song song với mặt phẳng b. Khi đó :
b = j ; c = c2 j + c3 k ; a = a1i  a2 j  a3 k
v = ( a1i  a2 j  a3 k )  [b j  ( c2 j + c3 k )]

= ( a1i  a2 j  a3 k )  (bc 3 j )
= - a2bc3 k  a3bc3 j =- a2b(c  c2 j )  a3c3b
=- a2bc  a2c2b  a3c3b
=( a2c2  a3c3 )b- a2bc
Nhƣng a2c2  a3c3 =ac và a2b =ab





a  b  c   a c  b   a b  c














Chú ý rằng a  b  c khác với a  b  c hoặc c  a  b nên tích
hỗn tạp khơng có tính chất giao hốn.