ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ VĂN CHUNG
SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ VĂN CHUNG
SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 0112
Giáo viên hướng dẫn:
PGS. TS TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN, 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học-
Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo Khoa Toán-Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp
đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
2
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
1 Vectơ đặc trưng 7
1.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm của phương trình vi
phân đại số 20
2.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số với thành
phần đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 với thành
phần đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Số mũ Lyapunov của nghiệm của phương trình vi
phân đại số chính quy chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi
phân đại số chính quy chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Phân rã phương trình vi phân đại số chỉ số 2 với thành phần
đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Phổ của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 . . 34
2.5 Hệ chính qui cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Nghiên cứu sự ổn định của nghiệm của phương trình vi
phân đại số chỉ số 1 48
3.1 Sự ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của hệ

phương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường 48
3.2 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) của hệ vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Kết luận 68
Tài liệu tham khảo 70
4
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường
mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng)
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trường
hợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982.
Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lý
thuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng.
Nhiều tác giả Việt Nam: GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Nguyễn Đình Công, GS.
Nguyễn Hữu Dư, PGS. Vũ Hoàng Linh, TS. Lê Công Lợi, GS. Vũ Ngọc
Phát, PGS. Cấn Văn Tuất đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn
đề khác nhau của phương trình vi phân đại số.
Vấn đề sử dụng lý thuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứu
các tính chất định tính của phương trình vi phân đại số đã được Nguyễn
Đình Công và Hoàng Nam nghiên cứu trong [2], [3], [8] và[9].
Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc
trưng của Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu phương trình vi phân đại số
với thành phần đầu chính thường. Các vấn đề luận văn quan tâm là:
1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi
phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1 với thành phần đầu chính thường;

trình bày mối quan hệ giữa vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình
vi phân đại số và vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân
thường tương ứng.
2) Hệ cơ bản chuẩn tắc và phổ của phương trình vi phân đại số tuyến
tính chính qui chỉ số 1.
5
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3) Hệ chính qui cấp m.
4) Định nghĩa sự ổn định (cấp m) của các vectơ đặc trưng của phương
trình vi phân đại số thuần nhất đối với các nhiễu động tuyến tính và phi
tuyến. Các kết quả nhận được trong luận văn tương tự các kết quả tương
ứng trong [4].
Luận văn gồm phần Mở đầu, 3 chương, phần Kết luận và các tài liệu
tham khảo.
Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trình
bày lại khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số và ma trận hàm cùng các
chứng minh một cách chi tiết một số tính chất của vectơ đặc trưng.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách phân rã hệ phương trình vi
phân đại số chỉ số 1 và chỉ số 2 dựa theo [12]. Đồng thời cũng đưa ra khái
niệm vectơ đặc trưng của nghiệm, phổ của hệ phương trình vi phân đại
số chỉ số 1, hệ cơ bản chuẩn tắc cũng như hệ chính qui cấp m dựa trên sự
mở rộng các khái niệm tương ứng của hệ phương trình vi phân tuyến tính
trong [8].
Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định tiệm cận mũ của
nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân đại số với thành phần
đầu chính thường và định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012
Người thực hiện
Đỗ Văn Chung
6

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Vectơ đặc trưng
Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường
đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng
Lyapunov và áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của
hệ phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn. Trước tiên chúng ta
nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, ma
trận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov.
1.1 Số mũ Lyapunov
Xét phương trình vi phân tuyến tính
.
x
= αx, t ≥ 0 với điều kiện ban
đầu x(0) = x
0
có nghiệm là
x(t) = x
0
e
αt
. (∗)
Với α > 0 thì x(t) −→ +∞. Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*)
là không ổn định. Với α = 0 thì x(t) ≡ x
0
, ∀t ≥ 0. Ta nói nghiệm x ≡ 0
của phương trình (*) là ổn định (không ổn định tiệm cận). Với α < 0 thì
x(t) −→ 0 khi t −→ +∞. Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*) là
ổn định tiệm cận (theo Lyapunov). Như vậy số α đặc trưng cho tính ổn
định của nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*).

Dựa trên quan sát này, Lyapunov đưa ra khái niệm số mũ đặc trưng
nhằm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân.
Xét hàm số thực f(t) = e
αt
, trong đó α là số thực. Số α đặc trưng cho
tốc độ tăng trưởng của hàm e
αt
.
7
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ nay về sau, vì ta chỉ xét t → +∞ nên để cho gọn, khi t → +∞ ta
chỉ viết t → ∞.
Ta có thể viết |f(t)| = e
α(t).t
, trong đó α(t) =
1
t
ln |f(t)|. Như vậy, để
so sánh sự tăng trưởng của hàm |f(t)| với hàm mũ, điều cần thiết là phải
xem xét giá trị của hàm α(t), trên cơ sở đó chúng ta đưa vào khái niệm
số mũ đặc trưng của hàm số như sau.
Định nghĩa 1.1. [10] Giả sử f(.) là hàm nhận giá trị thực và xác định
trên khoảng J = [t
0
, +∞). Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định bởi công
thức
χ(f) := lim
t→∞
1
t

ln |f(t)| (1.1)
được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f(.).
Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau này
chúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn. Chúng ta
qui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f(t) ≡ 0 thì χ(f) = −∞.
Định lý 1.1. [10] Nếu χ(f) = α = ±∞ thì
1) Với mỗi  > 0 ta có f(t) = o

e
(α+)t

, nghĩa là
lim
t→∞
|f(t)|
e
(α+)t
= 0; (1.2)
2) lim
t→∞
|f(t)|
e
(α−)t
= ∞, nghĩa là tồn tại dãy t
k
→ ∞ sao cho
lim
t
k
→∞

|f(t
k
)|
e
(α−)t
k
= ∞. (1.3)
Ngược lại, nếu có một số α nào đó mà với mỗi  > 0 bất kỳ ta đều có
(1.2) thì χ(f) ≤ α; nếu có (1.3) thì χ(f) ≥ α. Cuối cùng, nếu có cả hai
công thức (1.2) và (1.3) thì χ(f) = α.
Như vậy, nếu χ(f) = α thì khi t → ∞ hàm số y = |f(t)| tăng chậm
hơn bất kỳ một hàm mũ y
1
= e
(α+)t
với  > 0 bất kỳ. Hơn nữa, hàm
|f(t)|e
−(α+)t
→ 0 và theo một dãy t
k
→ ∞ nó tăng nhanh hơn hàm
y
2
= e
(α−)t
và hàm |f(t)|e
(−α+)t
không bị chặn.
8
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 1.2. [10] Hàm f(t) được gọi là có số mũ đặc trưng đúng nếu
tồn tại giới hạn hữu hạn χ(f) = lim
t→∞
1
t
ln |f(t)|.
Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của số mũ đặc trưng
(xem [1]).
Giả sử f
1
(.), . . . , f
m
(.) là các hàm số nhận giá trị thực xác định trên
J = [t
0
, ∞), khi đó
i) χ(f) = χ(|f|).
ii) χ(cf) = χ(f) với mọi số thực c = 0.
iii) Với c
1
, . . . , c
m
là các hằng số thực bất kỳ thì χ

m

i=1
c
i
f

i

≤ max
1≤i≤m
χ(f
i
)
và nếu tồn tại c
k
= 0 sao cho χ(f
k
) > χ(f
j
) với mọi
j = k, (j = 1, . . . , m; 1 ≤ k ≤ m) thì χ

m

i=1
c
i
f
i

= χ(f
k
).
iv) χ

m


i=1
f
i

≤
m

i=1
χ(f
i
).
Giả sử F (.) = [f
jk
(.)] là n × q ma trận hàm xác định trên J.
Định nghĩa 1.3. [10] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max
j,k
χ(f
jk
(t)) được
gọi là số mũ Lyapunov của ma trận hàm F (.).
Số mũ Lyapunov của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự
số mũ Lyapunov của vectơ hàm.
i) Nếu F (.) là ma trận vuông thì χ(F
T
) = χ(F ) với F
T
(t) là ma trận
chuyển vị của ma trận F (t) với t ∈ J.
ii) χ(F ) = χ(||F ||).

ii) Nếu F
1
(.), . . . , F
m
(.) là các n × n ma trận hàm xác định trên
9
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
J = [t
0
, +∞) thì
χ

m

i=1
F
i

≤ max
i
χ(F
i
),
χ

m

i=1
F
i


≤
m

i=1
χ(F
i
).
Dưới đây là trình bày chi tiết khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số,
của ma trận hàm và một số tính chất của chúng (xem [4]). Khái niệm vectơ
đặc trưng là sự mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov.
1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số
Xét x : [t
0
, +∞) → R.
Giả sử tồn tại số hữu hạn α
0
sao cho
lim
t→∞
ln |x(t)|
t
= α
0
.
Khi đó, theo định nghĩa lim với mọi  > 0 tồn tại số T() sao cho
ln |x(t)|
t
< α
0

+  với mọi t > T().
Do đó |x(t)| < a
0
e
(α
0
+)t
với  > 0 và a
0
≥ 1 là hằng số bất kỳ.
Giả sử tồn tại giới hạn trên
lim
t→∞
ln{|x(t)|e
−α
0
t
}
ln t
= α
1
,
với α
1
hữu hạn. Khi đó, |x(t)| < a
1
e
α
0
t

t
α
1
+
với  > 0 và a
1
≥ 1 là hằng
số bất kỳ.
Một cách tổng quát giả sử tồn tại số hữu hạn α
m
sao cho
lim
t→∞
ln{|x(t)|e
−α
0
t
t
−α
1
(ln t)
−α
2
· · · (ln
m−2
t)
−α
m−1
}
ln

m
t
= α
m
,
trong đó ln
j
t = ln(ln
j−1
t) với j = 3, 4, 5, . . . , m. Khi đó,
|x(t)| < a
m
e
α
0
t
t
α
1
· · · (ln
m−2
t)
α
m−1
(ln
m−1
t)
α
m
+

10
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với  > 0 và a
m
≥ 1 là hằng số bất kỳ.
Từ đây ta đi đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4. [4] Vectơ α
(m)
(x) = (α
0
, α
1
, . . . , α
m
) được gọi là vectơ
đặc trưng cấp m (chỉ số vectơ cấp m) của x(t).
Nhận xét 1.1. Khi m = 0 thì α
(0)
(x) = α
0
chính là số mũ đặc trưng
Lyapunov của x.
Ví dụ 1.1. Hàm x(t) = t có vectơ đặc trưng α
(m)
(x(t)) = (0, 1, 0, . . . , 0).
Ví dụ 1.2. Hàm x(t) = e
αt
có vectơ đặc trưng α
(m)
(e

αt
) = (α, 0, 0, . . . , 0).
Trong R
m+1
, xét tập K các vectơ γ
(m)
= (γ
0
, γ
1
, . . . , γ
m
), trong đó
γ
k
= 0 với k < j và γ
j
> 0, γ
j+1
, . . . , γ
m
bất kỳ.
Với mọi x ∈ K và số thực dương λ nào đó ta có
λγ
(m)
= λ(γ
0
, γ
1
, . . . , γ

m
) = (λγ
0
, λγ
1
, . . . , λγ
m
)
và λγ
k
= 0 với k < j, λγ
j
> 0, λγ
j+1
, . . . , λγ
m
bất kì. Do đó K là một
hình nón chuẩn tắc (tức thành phần đầu tiên khác không là dương), và
R
m+1
trở thành một không gian được sắp thứ tự (toàn phần) theo nón K.
Xét tập {α
(m)
} được sắp thứ tự như sau: Cho
α
(m)
1
= (α
01
, α

11
, . . . , α
m1
), α
(m)
2
= (α
02
, α
12
, . . . , α
m2
),
α
(m)
1
≺ α
(m)
2
nếu và chỉ nếu tồn tại j ≤ m sao cho α
i1
− α
i2
= 0, với
i = 0, 1, . . . , j − 1 và α
j2
− α
j1
> 0.
Ký hiệu α

(m)
1
 α
(m)
2
có nghĩa là α
(m)
1
≺ α
(m)
2
hoặc α
(m)
1
= α
(m)
2
.
Ký hiệu θ là phần tử không của R
m
. Dưới đây ta xét một số tính chất
của vectơ đặc trưng đối với hàm số (xem [4], trang 8 - 17).
Tính chất 1.1. α
(m)
(|x(t)|) = α
(m)
(x(t)).
Chứng minh. Ta có
α
0

(|x(t)|) = lim
t→∞
ln |(|x(t)|)|
t
= lim
t→∞
ln |x(t)|
t
= α
0
(x(t)).
11
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
1
(|x(t)|) = lim
t→∞
ln{|(|x(t)|)|e
−α
0
t
}
ln t
= lim
t→∞
ln{|x(t)|e
−α
0
t
}

ln t
= α
1
(x(t)).
Tương tự ta có α
i
(|x(t)|) = α
i
(x(t)), với i = 2, 3, . . . , m và suy ra điều
phải chứng minh.
Tính chất 1.2. α
(m)
(cx) = α
(m)
(x) với mọi c ∈ R, c = 0.
Chứng minh. Giả sử α
(m)
(x) = (α
0
, α
1
, . . . , α
m
). Khi đó ta có
|x(t)| < a
0
e
(α
0
+)t

và tồn tại dãy t
n
→ ∞ sao cho
lim
t
n
→∞
ln |x(t
n
)|
t
n
= α
0
.
Vậy |cx(t)| ≤ |c||x(t)| < |c|a
0
e
(α
0
+)t
= be
(α
0
+)t
, b = |c|a
0
. Suy ra
ln |cx(t)|
t

≤
ln b
t
+ α
0
+  ≤ α
0
+ 2
với t đủ lớn. Vì  bất kỳ nên
ln |cx(t)|
t
≤ α
0
.
Mặt khác, tồn tại t
n
→ ∞ sao cho
lim
t
n
→∞
ln |cx(t
n
)|
t
n
= lim
t
n
→∞

ln |c|
t
n
+ lim
t
n
→∞
ln |x(t
n
)|
t
n
= α
0
.
Chứng tỏ α
0
(cx) = α
0
(x). Chứng minh tương tự ta có α
i
(cx) = α
i
(x) với
i = 1, 2, . . . , m.
Tính chất 1.3.
α
(m)

p


i=1
x
i

 max
i
α
(m)
(x
i
), (1.4)
trong đó max của các vectơ α
(m)
(x
i
) được hiểu theo thứ tự của nón K.
Chứng minh. Giả sử max
i
α
(m)
(x
i
) = (α
0
, α
1
, . . . , α
m
) = α

(m)
.
Nếu α
0
(x
i
) ≤ α
0
với i ∈ {1, . . . , p} nào đó thì với mọi 
0
> 0 ta có
|x
i
(t)| < ae
(α
0
+
0
)t
.
12
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Suy ra




p

i=1

x
i
(t)




≤
p

i=1
|x
i
(t)| < pae
(α
0
+
0
)t
= be
(α
0
+
0
)t
,
trong đó b = pa. Do đó,
α
0


p

i=1
x
i
(t)

=
lim
t→∞
ln




p

i=1
x
i
(t)




t
≤ lim
t→∞
ln
p


i=1
|x
i
(t)|
t
≤ α
0
.
Nếu α
0

p

i=1
x
i

< α
0
thì α
(m)

p

i=1
x
i

 α

(m)
.
Nếu α
0

p

i=1
x
i

= α
0
thì ta xét α
1

p

i=1
x
i

. Vì α
0

p

i=1
x
i


= α
0
nên
ta có
α
1

p

i=1
x
i
(t)

= lim
t→∞
ln





p

i=1
x
i





e
−α
0
t

ln t
≤ lim
t→∞
ln

p

i=1
|x
i
|e
−α
0
t

ln t
≤ α
1
.
Nếu α
1

p


i=1
x
i

< α
1
thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu α
1

p

i=1
x
i

= α
1
thì ta xét α
2

p

i=1
x
i

.
Một cách tổng quát nếu α

j

p

i=1
x
i

= α
j
, j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m thì
tương tự ta có α
l

p

i=1
x
i

≺ α
l
hoặc α
l

p

i=1
x
i


= α
l
. Do đó ta có điều
phải chứng minh.
Nếu α
0
(x
i
) = α
0
với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α
1
(x
i
). Nếu α
1
(x
i
) ≤ α
1
ta làm như trên. Nếu α
1
(x
i
) = α
1
với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α
2
(x

i
).
Một cách tổng quát, nếu α
j
(x
i
) = α
j
, j = 1, . . . , l − 1 thì ta xét α
l
(x
i
)
với l ≤ m và làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1. Nếu chỉ có một vectơ x
l
có α
(m)
(x
l
) = α
(m)
thì (1.4) xảy ra
13
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dấu bằng. Thật vậy, theo (1.4) ta có
α
(m)

p


i=1
x
i

 α
(m)
. (1.5)
Ta chứng minh α
(m)
 α
(m)

p

i=1
x
i

.
Nếu α
0
(x
i
) < α
0
với mọi
i = 1, . . . , p, i = l và α
0
(x

l
) = α
0
thì
lim
t→∞
ln |x
l
(t)|
t
= α
0
,
do đó tồn tại dãy t
k
→ ∞ sao cho
lim
t
k
→∞
ln |x
l
(t
k
)|
t
k
= α
0
.

Suy ra với mọi  > 0, tồn tại T () sao cho với mọi t > T () ta có
1
t
k
ln |x
l
(t
k
)| > α
0
− .
Vậy |x
l
(t
k
)| > e
(α
0
−)t
k
hay |x
l
(t
k
)|e
(−α
0
+)t
k
→ ∞ khi t

k
→ ∞.
Ta có





p

i=1
x
i
(t
k
)





e
(−α
0
+)t
k
≥ |x
l
(t
k

)|e
(−α
0
+)t
k
−




p

i=1,i=l
x
i
(t
k
)




e
(−α
0
+)t
k
.
(1.6)
Vì số hạng đầu ở vế phải (1.6) tiến đến vô cùng và số hạng thứ hai tiến

đến 0 nên





p

i=1
x
i
(t
k
)





e
(−α
0
+)t
k
→ ∞.
Do đó






p

i=1
x
i
(t
k
)





> e
(α
0
−)t
k
.
Suy ra
α
0
≤ lim
t→∞
ln





p

i=1
x
i
(t)




t
≤ lim
t→∞
ln




p

i=1
x
i
(t)




t
= α

0

p

i=1
x
i
(t)

.
14
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nếu α
0
< α
0

p

i=1
x
i

thì kết hợp với (1.5) ta có điều phải chứng minh.
Nếu α
0
= α
0

p


i=1
x
i

thì ta xét α
1
. Làm tương tự như trên ta cũng có
α
1
≤ α
1

p

i=1
x
i

.
Một cách tổng quát, nếu α
j
= α
j

p

i=1
x
i


, j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m,
thì α
l
≤ α
l

p

i=1
x
i

. Kết hợp với (1.5) ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.4. Nếu |x(t)| ≤ |y(t)| với mọi t thì α
(m)
(x(t))  α
(m)
(y(t)).
Chứng minh. Ta có
α
0
(x(t)) = lim
t→∞
ln |x(t)|
t
≤ lim
t→∞
ln |y(t)|
t

= α
0
(y(t)).
Nếu α
0
(x(t)) < α
0
(y(t)) thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu α
0
(x(t)) = α
0
(y(t)) thì
α
1
(x(t)) =
lim
t→∞
ln{|x(t)|e
−α
0
(x)t
}
ln t
≤ lim
t→∞
ln{|y(t)|e
−α
0
(y)t

}
ln t
= α
1
(y(t)).
Một cách tổng quát nếu α
j
(x) = α
j
(y), j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m thì
α
l
(x) ≤ α
l
(y) và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2. [4] α
(m)

k

i=1
f
i
(t)


k

i=1
α

(m)
(f
i
(t)).
Chứng minh. Ta có
α
0

k

i=1
f
i
(t)

= lim
t→∞
ln




k

i=1
f
i
(t)





t
≤
k

i=1
lim
t→∞
ln |f
i
|
t
=
k

i=1
α
0
(f
i
(t)).
Nếu α
0

k

i=1
f
i

(t)

<
k

i=1
α
0
(f
i
(t)) thì ta có điều phải chứng minh. Nếu
α
0

k

i=1
f
i
(t)

=
k

i=1
α
0
(f
i
(t))

15
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
thì ta có
α
1

k

i=1
f
i
(t)

= lim
t→∞
ln





k

i=1
f
i
(t)





e
−α
0
t

ln t
≤
k

i=1
lim
t→∞
ln{|f
i
|e
−α
0
t
}
ln t
=
k

i=1
α
1
(f
i
(t)).

Một cách tổng quát nếu
α
j

k

i=1
f
i
(t)

<
k

i=1
α
j
(f
i
(t)), j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m
thì α
l

k

i=1
f
i
(t)


<
k

i=1
α
l
(f
i
(t)) và ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1. [4] Nếu f(t) = 0 với t > T thì α
(m)
(f(t))+α
(m)

1
f(t)

 θ,
trong đó θ là phần tử không của R
m
.
Hệ quả 1.2. [4] Nếu α
(m)
(c
k
(t))  θ, thì
α
(m)

m


k=1
c
k
(t)f
k
(t)

 max
k
α
(m)
(f
k
(t)).
Đặc biệt nếu c
k
(t) là hàm giới nội thì bất đẳng thức trên đúng.
Định nghĩa 1.5. [4] Ta nói α
(m)
(x(t)) là vectơ đặc trưng đúng của x(t)
nếu trong định nghĩa của vectơ đặc trưng, thay vì các lim (giới hạn trên)
ta có các lim (giới hạn đúng).
Định lý 1.3. [4] Điều kiện cần và đủ để α
(m)
(f(t)) = −α
(m)

1
f(t)


là
f(t) có vectơ đặc trưng đúng.
Chứng minh. Giả sử α
(m)
(f(t)) = −α
(m)

1
f(t)

= (α
0
, α
1
, . . . , α
m
). Khi
đó
α
0
= lim
t→∞
ln


f(t)


t

= − lim
t→∞
ln




1
f(t)




t
= − lim
t→∞
− ln |f(t)|
t
= lim
t→∞
ln |f(t)|
t
.
16
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Suy ra tồn tại lim
t→∞
ln |f(t)|
t
= α

0
. Tương tự ta có
α
1
= lim
t→∞
ln{


f(t)


e
−α
0
t
}
ln t
= − lim
t→∞
ln





1
f(t)





e
−α
0
t

ln t
= −lim
t→∞
− ln{|f(t)|e
−α
0
t
}
ln t
= lim
t→∞
ln{|f(t)|e
−α
0
t
}
ln t
, . . . ,
α
j+1
= lim
t→∞
ln{



f(t)


e
−α
0
t
t
−α
1
(ln t)
−α
2
· · · (ln
j
t)
−α
j+1
}
ln
j+1
t
= lim
t→∞
ln{


f(t)



e
−α
0
t
t
−α
1
(ln t)
−α
2
· · · (ln
j
t)
−α
j+1
}
ln
j+1
t
,
với j = 0, 1, . . . , m − 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ
được suy ra từ định nghĩa của vectơ đặc trưng đúng.
Hệ quả 1.3. [4] Nếu α
(m)
(f) là vectơ đặc trưng đúng thì
α
(m)
(fg) = α

(m)
(f) + α
(m)
(g)
với mọi g(t) ∈ C[t
0
, ∞).
Dưới đây sẽ là trình bày chi tiết về vectơ đặc trưng của ma trận hàm.
1.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm
Định nghĩa 1.6. Giả sử A(t) = [a
jk
(t)] là ma trận cấp n × q xác định
trên [t
0
, ∞). Đặt
α
(m)
(A(t)) = max
j,k
α
(m)
(a
jk
(t)).
Ví dụ 1.3. Cho A =

t t
2
−1 t


. Tính số mũ đặc trưng cho từng số hạng
của ma trận A ta được
α
(m)
(t) = (0, 1, 0, . . . , 0), α
(m)
(−1) = θ, α
(m)
(t
2
) = (0, 2, 0, . . . , 0).
Vậy α
(m)
(A(t)) = (0, 2, 0, . . . , 0).
17
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vectơ đặc trưng của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự
như vectơ đặc trưng của hàm số (xem [4], trang 17). Dưới đây ta xét
||A|| = max
j

k
|a
jk
|.
Tính chất 1.5. α
(m)
(||A(t)||) = α
(m)
(A(t)).

Chứng minh. Vì |a
jk
(t)| ≤ ||A(t)|| với mọi t nên
α
(m)
(a
jk
(t)) = α
(m)
(|a
jk
(t)|)  α
(m)
(||A(t)||).
Suy ra max
j,k
α
(m)
(a
jk
(t))  α
(m)
(||A(t)||). Do đó
α
(m)
(A(t))  α
(m)
(||A(t)||).
Mặt khác có ||A(t)|| ≤


j,k
|a
jk
(t)|. Suy ra
α
(m)
(||A(t)||)  α
(m)


j,k
|a
jk
|(t)

 max
j,k
α
(m)
(a
jk
(t)) = α
(m)
(A(t)).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.6.
α
(m)

p


i=1
A
i
(t)

 max
i
α
(m)
(A
i
(t)). (1.7)
Chứng minh.
α
(m)

p

i=1
A
i
(t)

 α
(m)










p

i=1
A
i
(t)









 α
(m)

p

i=1
||A
i
(t)||


 max
i
α
(m)
(||A
i
(t)||) = max
i
α
(m)
(A
i
(t)).
Chú ý 1.2. Nếu chỉ có một ma trận A
i
(t) = [a
i
jk
(t)] với i ∈ {1, . . . , p}
có vectơ đặc trưng lớn nhất thì (1.7) xảy ra dấu bằng. Thật vậy, giả sử
α
(m)
A
1
(t)  α
(m)
(A
i
(t)) với mọi i = 1. Vì |a
i

jk
(t)| ≤ ||A
i
(t)|| nên
α
(m)
(a
i
jk
(t)) = α
(m)
(|a
i
jk
(t)|)  α
(m)
(||A
i
(t)||) = α
(m)
(A
i
(t))
 α
(m)
(A
1
(t)) = max
j,k
α

(m)
(a
1
jk
(t))
18
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với mọi i = 1. Suy ra chỉ có a
1
jk
(t) có vectơ đặc trưng đạt max. Do đó
α
(m)

p

i=1
a
i
ij
(t)

= max
j,k
(a
1
jk
(t)). Đặt A(t) =
p


i=1
A
i
(t) = [a
jk
(t)]. Ta có
α
(m)
(A(t)) = max
j,k
α
(m)
(a
jk
(t))  α
(m)

p

i=1
a
i
jk
(t)

= max
j,k
α
(m)
(a

1
jk
(t)) = α
(m)
(A
1
(t)).
Vậy α
(m)
(A(t))  α
(m)
(A
1
(t)). Kết hợp với (1.7) ta có điều phải chứng
minh.
Tính chất 1.7. α
(m)

n

i=1
A
i
(t)


n

i=1
α

(m)
(A
i
(t)).
Chứng minh. Đặt A(t) =
n

i=1
A
i
(t) =


j,k
n

i=1
a
i
jk
(t)

. Ta có
α
(m)
(A(t))  max
j,k
α
(m)


n

i=1
a
i
jk
(t)


n

i=1
α
(m)
(a
i
jk
(t))
=
n

i=1
α
(m)
(|a
i
jk
(t)|) 
n


i=1
α
(m)
(||A
i
(t)||) =
n

i=1
α
(m)
(A
i
(t)).
Từ Tính chất 1.5 ta đi đến định nghĩa sau.
Nhận xét 1.2. [4] Nếu x(t) là vectơ n chiều, ta có thể định nghĩa
α
(m)
(x(t)) = α
(m)
(||x(t)||).
19
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm
của phương trình vi phân đại số
2.1 Phương trình vi phân đại số
Nhằm mục đích phục vụ cho chương sau, dưới đây chúng tôi sẽ nhắc lại
một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân đại số tuyến tính.
2.1.1 Phép chiếu

Khái niệm phép chiếu được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu và
phân lớp các phương trình vi phân đại số, từ đó giúp chúng ta có thể đi
sâu nghiên cứu đối với từng lớp các phương trình vi phân đại số này.
Định nghĩa 2.1. Phép chiếu P ∈ L(R
n
, R
n
) là một n × n - ma trận sao
cho P
2
= P .
Đối với mỗi phép chiếu P ta luôn có
imP ⊕ kerP = R
n
. Thật vậy, với mỗi x ∈ R
n
, viết x = x − P (x) + P(x). Ta có
P (x − P(x)) = P (x) − P
2
(x) = P (x) − P(x) = 0.
Suy ra (x − P(x)) ∈ kerP . Do đó x ∈ imP + kerP . Suy ra
R
n
= imP + kerP.
20
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hơn nữa, với mỗi x ∈ imP ∩ kerP, tồn tại y ∈ R
n
sao cho x = P(y) và
x = P (y) = P

2
(y) = P (x) = 0 (do x ∈ kerP ). Suy ra imP ∩kerP = {0}.
Suy ra imP ⊕ kerP = R
n
.
Ngược lại, với mỗi phân tích R
n
thành tổng trực tiếp của hai không
gian con U, V , luôn tồn tại duy nhất phép chiếu P sao cho imP = U và
kerP = V .
Thật vậy, vì U ⊕ V = R
n
nên với mỗi {u
1
, u
2
, . . . , u
k
} độc lập tuyến tính
trong U ta luôn có thể bổ sung {u
k+1
, . . . , u
n
} độc lập tuyến tính trong V
sao cho {u
1
, u
2
, . . . , u
k

, u
k+1
, . . . , u
n
} là một cơ sở của R
n
.
Xét ánh xạ tuyến tính P : R
n
→ R
n
sao cho P (u
i
) = u
i
với mọi i =
1, 2, . . . , k và P (u
j
) = 0 với mọi j = k + 1, . . . , n.
Ánh xạ P tồn tại duy nhất. Hơn nữa, P
2
= P . Do đó P là một phép chiếu.
Rõ ràng imP = U và kerP = V . Khi đó phép chiếu P được gọi là phép
chiếu lên U dọc V .
Đặt Q := I − P . Khi đó Q là phép chiếu lên V dọc U. Thật vậy, ta có
Q
2
= (I − P )
2
= I − 2P + P

2
= I − P = Q. Hơn nữa, Q(u
i
) = 0 với mọi
i = 1, 2, . . . , k và Q(u
i
) = u
i
với mọi i = k + 1, . . . , n. Do đó imQ = V
và kerQ = U.
2.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số với thành phần
đầu chính thường
Phương trình vi phân đại số thường có dạng
A(t)x

(t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ T ⊆ R (∗)
trong đó A(t) là ma trận nói chung có detA(t) ≡ 0, ∀t ∈ T. Trong phương
trình (*), x ∈ R
m
và x(t) = [x
1
(t), , x
m
(t)] đòi hỏi mọi tọa độ cùng phải
có đạo hàm.
Điều này không được thỏa mãn trong thực tế (xem [12]). Do đó, ta phải
nghiên cứu phương trình vi phân đại số dạng tổng quát sau.
Xét phương trình
A(t)(D(t)x(t))


+ B(t)x(t) = q(t), t ∈ T ⊆ R, (2.1)
trong đó A, B, D là các ma trận hàm liên tục,
D(t) ∈ L(R
m
, R
n
), A(t) ∈ L(R
n
, R
m
),
21
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B(t) ∈ L(R
m
, R
m
), q(t) ∈ R
m
,
L(R
p
, R
q
) là không gian tuyến tính các hàm liên tục.
Hàm số x : T → R
m
được gọi là nghiệm của (2.1) nếu
x ∈ C
1

D
(T, R
m
) = {x ∈ C(T, R
m
)|Dx ∈ C
1
(T, R
n
)}
thỏa mãn (2.1)
Nhận xét rằng, không nhất thiết các tọa độ của nghiệm x(t) phải có đạo
hàm, mà chỉ cần D(t)x(t) có đạo hàm.
Định nghĩa 2.2. [12] Thành phần đầu của (2.1) được gọi là chính thường
nếu
kerA(t) ⊕ imD(t) = R
n
, ∀t ∈ T
và tồn tại phép chiếu khả vi liên tục R ∈ C
1
(T, L(R
n
)) với
imR(t) = imD(t), kerR(t) = kerA(t), ∀t ∈ T.
Kí hiệu G
0
= AD, B
0
= B và vối mọi i ≥ 0
N

i
= kerG
i
,
S
i
= {z ∈ R
m
|B
i
z ∈ imG
i
} = {z ∈ R
m
|Bz ∈ imG
i
},
Q
i
= Q
2
i
, imQ
i
= N
i
, P
i
= I − Q
i

,
G
i+1
= G
i
+ B
i
Q
i
,
B
i+1
= B
i
P
i
− G
i+1
D
−
C

i+1
DP
0
· · · P
i
,
C
i+1

= DP
0
· · · P
i+1
D
−
.



















(2.2)
Ở đây D
−
là toán tử nghịch đảo phản xạ suy rộng của D, tức là nếu

D : T → L(R
m
, R
n
) thì D
−
: T → L(R
n
, R
m
) với tính chất
DD
−
D = D, D
−
DD
−
= D
−
, DD
−
= R, D
−
D = P
0
, D
−
tồn tại duy
nhất và phụ thuộc chỉ vào Q
0

.
Định nghĩa 2.3. [12] Phương trình vi phân đại số (2.1) được gọi là chính
quy chỉ số mềm µ trên T nếu tồn tại dãy (2.2) sao cho
1) G
i
có hạng r
i
trên T ,
2) Q
i
∈ C(T, L(R
m
)), DP
0
· · · P
i
D
−
∈ C
1
(T, L(R
n
)), i ≥ 0,
3) Q
i+1
Q
j
= 0,
4) 0  r
0

 · · ·  r
µ−1
< m, r
µ
= m.
22
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số
1 với thành phần đầu chính thường
Giả sử (2.1) là chính quy chỉ số 1. Khi ấy, theo định nghĩa 2.3 thì ma
trận G
1
là không suy biến (r
1
= 1)
Bổ đề 2.1. [12] Dãy ma trận(2.2) thỏa mãn các tính chất sau
a) P
0
= D
−
D, P
0
D
−
= D
−
, DP
0
= D, DP
0

D
−
= DD
−
= R,
b) RD = DD
−
D = D,
c) A = AR = ADD
−
,
d) Q
0
= G
−1
1
BQ
0
,
e) P
0
= G
−1
1
AD,
f) P
0
x = P
0
y ⇔ DP

0
x = DP
0
y ⇔ Dx = Dy.
Chứng minh. a) và b) được suy trực tiếp từ tính chất của D
−
.
c) Ta có R ∈ C
1
(T, L(R
n
)) và kerA(t) ⊕ imD(t) = R
n
với kerA = kerR.
d) Ta có G
i+1
= G
i
+ B
i
Q
i
do đó G
1
= G
0
+ B
0
Q
0

= AD + BQ
0
suy ra
G
1
Q
0
= ADQ
0
+ B
2
0
= BQ
0
vậy Q
0
= G
−1
1
BQ
0
.
e) Ta có G
1
P
0
= ADP
0
+ BQ
0

P
0
= AD vậy P
0
= G
−1
1
AD.
f) Ta có ngay chiều ⇐. Nếu DP
0
= 0 thì P
0
z ∈ ker D = ker AD = ker P
0
và P
o
z = 0.
Giả sử x(t) là nghiệm của (2.1). Nhân vào hai vế với G
−1
1
ta được
A(Dx)

+ Bx = q ⇐⇒ G
−1
1
A(Dx)

+ G
−1

1
Bx = G
−1
1
q. (2.3)
Nhận xét
1) G
−1
1
A(Dx)

=
(c)
G
−1
1
AR(Dx)

= G
−1
1
ADD
−
(Dx)

=
(e)
P
0
D

−
(Dx)

;
2) G
−1
1
Bx
=
(c)
G
−1
1
BP
0
x + G
−1
1
BQ
0
x
=
(d)
G
−1
1
BP
0
x + Q
0

x.
Biến đổi (2.3) ta có
A(Dx)

+ Bx = q ⇐⇒ G
−1
1
A(Dx)

+ G
−1
1
Bx = G
−1
1
q
23
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇔

P
0
D
−
(Dx)

+ P
0
G
−1

1
BP
0
x = P
0
G
−1
1
q
Q
0
G
−1
1
BP
0
x + Q
0
x = Q
0
G
−1
1
q.
⇔
(f)

DP
0
D

−
(Dx)

+ DP
0
G
−1
1
BP
0
x = DP
0
G
−1
1
q
Q
0
G
−1
1
BP
0
x + Q
0
x = Q
0
G
−1
1

q.
⇔
(a)

R(Dx)

+ DG
−1
1
BP
0
x = DG
−1
1
q
Q
0
G
−1
1
BP
0
x + Q
0
x = Q
0
G
−1
1
q.

⇔
(b)

(Dx)

− R

Dx + DG
−1
1
BP
0
x = DG
−1
1
q
Q
0
G
−1
1
BP
0
x + Q
0
x = Q
0
G
−1
1

q.
⇔
(a)

(Dx)

= R

Dx − DG
−1
1
BD
−
(Dx) + DG
−1
1
q
Q
0
x = −Q
0
G
−1
1
BD
−
(Dx) + Q
0
G
−1

1
q.
Mọi nghiệm x(t) của (2.1) đều viết được
x = P
0
x + Q
0
x
=
(a)
D
−
(Dx) + Q
0
x
= D
−
(Dx) − Q
0
G
−1
1
BD
−
(Dx) + Q
0
G
−1
1
q

= (I − Q
0
G
−1
1
B)D
−
(Dx) + Q
0
G
−1
1
q.
Đặt u = Dx ta được
x = (I − Q
0
G
−1
1
B)D
−
u + Q
0
G
−1
1
q.
Vậy u = Dx là nghiệm của phương trình vi phân thường
u


= R

u − DG
−1
1
BD
−
u + DG
−1
1
q. (2.4)
Định nghĩa 2.4. [12] Phương trình (2.4) được gọi là phương trình vi phân
thường tương ứng với phương trình chính quy chỉ số 1 (2.1)
Bổ đề 2.2. [12] 1) imD là một không gian con bất biến của (2.4).
2) (2.4) không phụ thuộc vào cách chọn Q
0
.
Chứng minh. 1) Bởi vì imD = imR = ker(I − R) có được bằng cách
nhân (I − R) vào (2.4) ta được
(I − R)u

= (I − R)R

u = −(I − R)

Ru
và v = (I − R)u thỏa mãn phương trình vi phân thường v

= (I − R)


v.
Nếu có t
∗
∈ T sao cho u(t
∗
) = R(t
∗
)u(t
∗
) ∈ imD(t
∗
), thì v(t
∗
) = 0. Nghĩa
24
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên