ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN TẤN NGUYỆN

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM
HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN TẤN NGUYỆN

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM
HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phan Đức Tuấn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Tấn Nguyện


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn, TS. Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy
cơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp
Tốn giải tích K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập tại lớp.
Tác giả
Nguyễn Tấn Nguyện


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Lý thuyết nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Tích vơ hướng, khơng gian Hilbert

............................8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Sự trực giao

1.2.3. Cơ sở trực chuẩn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Phép biến đổi Fourier trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1. Lớp Schwartz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Biến đổi Fourier trên S(R)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

CHƯƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM
HỮU HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Khơng gian Hilbert trên nhóm G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Xây dựng không gian Hilbert L2 (G)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


2.1.2. Tích phân trong khơng gian L2 (G)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Tích vơ hướng trong L2 (G)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Phép biến đổi Fourier trên L2 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2. Tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Biến đổi Fourier trên L2 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Phép tịnh tiến

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2.3.2. Biến đổi ngược
2.3.3. Tích chập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Nguyên lý bất định Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1. Nguyên lý bất định trong R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2. Nguyên lý bất định trong G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Hàm "Gaussian" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
3.2.1. Hàm Gaussian trong R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2. Hàm Gaussian trong G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3. Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54




1

MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Việc biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác được
Fourier đưa ra lần đầu tiên dựa theo các cơng trình trước đó của Euler,
D’Alembert và Daniel Bernoulli. Về sau nó được gọi là chuỗi Fourier và
được xác định như sau:
a0 +∞
+
(an cos nx + bn sin nx),
2 n=1
trong đó

1 π
f (x) cos(nx)dx,
an =
π −π

n = 0, 1, 2, ...

1 π
bn =
f (x) sin(nx)dx,
π −π

n = 1, 2, 3, ...

Trên cơ sở đó, Fourier đã đưa ra khái niệm phép biến đổi Fourier trên
L1 (−π, π) và L2 (−π, π). Sau đó, phép biến đổi này được phát triển nhiều
lần bởi các nhà toán học như Riemann Cantor và Lebesgue. Vào các năm
1807, 1811 Fourier đã cơng bố các cơng trình đầu tiên của mình về áp dụng

phép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt. Cho đến nay phép biến
đổi Fourier đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật
lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dương
học, Quang học, Hình học, tần số sóng của Rada, định vị GPS, ...
Trong các không gian L2 tổng quát ta ln xây dựng được chuỗi Fourier
trên đó. Do vậy, nếu xây dựng được cấu trúc khơng gian L2 trên nhóm
hữu hạn G thì ta cũng xây dựng được chuỗi Fourier trên nhóm. Năm 1989,
Arthus đã tìm thấy một số ví dụ về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn. Đây
chính là các tiền đề quan trọng để các nhà toán học sau này xây dựng
thành công không gian L2 (G) và phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu


2

hạn.
Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổi Fourier, nên tơi hi
vọng cũng tìm được các ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier trên
nhóm hữu hạn. Để làm được điều này cần phải hiểu rõ ràng về phép biến
đổi Fourier trên nhóm hữu hạn nên tơi đã chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER TRÊN NHĨM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài luận
văn thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả của
phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn. Ứng dụng các kết quả trên vào
giải quyết phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và Vật lý.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn, một số vấn đề trong Vật lý và
Giải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.
4. Phạm vi nghiên cứu
Định nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên nhóm

hữu hạn, phép biến đổi ngược và tích chập của nó. Ứng dụng vào ngun
lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussians" và giải phương trình trên nhóm
Abel.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các kết quả đã biết của phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên
cứu các kết quả tương tự cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng luận văn làm tài liệu
tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán. Luận văn cũng là tài liệu tham
khảo tốt cho những người nghiên cứu Vật lý.
7. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày theo ba chương. Ngồi ra, luận văn có
Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài
liệu tham khảo.


3

Chương 1: Trình bày đầy đủ các khái niệm và tính chất liên quan đến
nhóm hữu hạn và khơng gian Hilbert. Giới thiệu về biến đổi Fourier trên
lớp Schwartz.
Chương 2: Xây dựng không gian L2 (G), đưa ra các định nghĩa, định
lý và tính chất trong khơng gian L2 (G) và L2 (G).
Chương 3: Ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vào
chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg, nghiên cứu về hàm "Gaussians" và giải phương trình trên nhóm Abel hữu hạn.


4

CHƯƠNG 1


KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các nội dung trong chương này tôi đã tham khảo trong các tài liệu: [1],
[2] và [5].
1.1. Lý thuyết nhóm hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một tập hợp khác rỗng, . là phép toán hai
ngơi trên G. (G, .) được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:

• ∀x, y, z ∈ G, (x.y).z = x.(y.z)
• ∃e ∈ G : x.e = e.x = x, ∀x ∈ G
• ∀x ∈ G, ∃x ∈ G : x.x = x .x = e
Định nghĩa 1.1.2. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu
hạn phần tử. Ngược lại nếu nó có vơ hạn phần tử thì gọi là nhóm vơ hạn.
Định nghĩa 1.1.3. Cấp của nhóm G chính là số phần tử của nhóm G.
Kí hiệu: |G|.
Định nghĩa 1.1.4. Một tập con H của nhóm (G, .) được gọi là tập con
ổn định của nhóm G nếu với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H . Khi đó phép toán
nhân thu hẹp trên H xác định một phép toán trên H mà ta gọi là phép
toán cảm sinh trên H .
Định nghĩa 1.1.5. Nhóm con H của nhóm G là một tập con ổn định của
nhóm G sao cho cùng với phép tốn cảm sinh H là một nhóm. Kí hiệu
H ≤ G.
Định lí 1.1.6. Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm (G, .). Các
mệnh đề sau tương đương:


5


(i) H ≤ G;
(ii) Với mọi x, y ∈ H , xy ∈ H và x−1 ∈ H ;
(iii) Với mọi x, y ∈ H , x−1 y ∈ H .
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Trước hết ta chứng minh phần tử đơn vị e của
nhóm con H cũng chính là phần tử đơn vị e của G. Thật vậy, với mọi x ∈ H
ta có e x = x = ex nên do tính giản ước ta suy ra e = e. Bây giờ gọi x
là phần tử nghịch đảo của x trong nhóm con H , ta có x x = e = x−1 x, do
đó x−1 = x ∈ H . Tính chất xy ∈ H đươc suy từ tính chất nhóm con H
là một tập hợp con ổn định của G.

(ii) ⇒ (iii) Với mọi x, y ∈ H , giả thiết (ii) cho ta x−1 ∈ H và do đó
x−1 y ∈ H .
(iii) ⇒ (i) Vì H = ∅ nên tồn tại a ∈ H và do đó e = a−1 a ∈ H . Bây
giờ với mọi x ∈ H, x−1 = x−1 e ∈ H . Cuối cùng, với mọi x, y ∈ H , do
x−1 ∈ H nên xy = (x−1 )−1 y ∈ H . Suy ra H ≤ G.
Định nghĩa 1.1.7. Cho S là tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi
S là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được kí hiệu là S . Tập hợp

S được gọi là tập sinh của nhóm S . Nếu S hữu hạn: S = {x1 , ..., xn }
thì ta nói S là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1 , ..., xn mà ta
thường kí hiệu nhóm này là x1 , ..., xn .
Định nghĩa 1.1.8. Cho G là một nhóm. Nhóm con a của G sinh bởi
phần tử a ∈ G được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a. Nếu tồn tại phần
tử a ∈ G sao cho a = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần
tử sinh của G.
Định nghĩa 1.1.9. Cấp của một phần tử a trong nhóm G là cấp của
nhóm con cyclic a . Kí hiệu: |a|.
Hệ quả 1.1.10. Cho (G, .) là một nhóm và a ∈ G. Ta có:
(i) a có cấp vơ hạn khi và chỉ khi với mọi k ∈ Z, nếu ak = e thì k = 0.
(ii) a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z∗ sao cho ak = e.



6

(iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhỏ nhất
sao cho an = e. Hơn nữa, khi đó với mọi k ∈ Z, ak = e khi và chỉ
khi k là bội số của n.
Định lí 1.1.11. Cho (G, .) là một nhóm và H là một nhóm con của G.
Xét quan hệ ∼ trên G như sau:

x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H.
Khi đó:

(i) ∼ là một quan hệ tương đương trên G.
(ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH , trong đó

xH = {xh|h ∈ H}.
Ta gọi xH là lớp ghép trái của H . Tập hợp thương của G theo quan hệ
∼, kí hiệu là G/H , được gọi là tập thương của G trên H và |G/H| là chỉ
số của nhóm con H trong G, kí hiệu là [G : H].
Chứng minh. (i). Tính phản xạ: Với mọi x ∈ G, x ∼ x vì x−1 x = e ∈ H .
Tính đối xứng: Với mọi x, y ∈ G, nếu x ∼ y thì x−1 y ∈ H nên

y −1 x = (x−1 y)−1 ∈ H , nghĩa là y ∼ x.
Tính bắc cầu: Với mọi x, y, z ∈ G, nếu x ∼ y và y ∼ z thì x−1 y ∈ H và
y −1 z ∈ H nên x−1 z = (x−1 y)(y −1 z) ∈ H , nghĩa là x ∼ z . (ii). Ta có
x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H
⇔ ∃h ∈ H, x−1 y = h
⇔ ∃h ∈ H, y = xh.
Suy ra x = {y ∈ G|x ∼ y} = {xh|g ∈ H} = xH.

Chú ý 1.1.12. Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa được quan hệ ∼ trên
G như sau:

x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H.


7

Khi đó ∼ cũng là một quan hệ tương đương trên G và lớp tương đương
chứa x là x = Hx, trong đó Hx = {hx|h ∈ H}. Ta gọi Hx là lớp ghép
phải của H .
Định lí 1.1.13 (Định lý Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn và H
là một nhóm con của G. Khi đó:

|G| = |H|[G : H].
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng nếu xH là một lớp ghép trái thì
ánh xạ

ϕ :H → xH
h → xh
là một song ánh. Thật vậy, ϕ là toàn ánh do định nghĩa của tập hợp xH ,
ϕ là đơn ánh nếu xh = xk thì h = k . Như vậy số phần tử của các lớp ghép
trái đều bằng nhau và bằng |H|, số lớp ghép là [G : H].
Hệ quả 1.1.14. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
(i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp của nhóm G.
(ii) Cấp của mỗi phần tử thuộc G là một ước số của cấp của nhóm G.
(iii) Nếu G có cấp ngun tố thì G là nhóm cyclic và G được sinh bởi một
phần tử bất kì khác e.
Hệ quả 1.1.15 (Định lý nhỏ của Fecma). Nếu p là một số nguyên tố thì


ap − a chia hết cho p.
Định nghĩa 1.1.16. Cho hai nhóm G, . , G , . . G và G được gọi là
đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một hàm tuyến tính φ : G → G sao cho

φ(a.b) = φ(a). φ(b). Kí hiệu G

G.


8

1.2. Khơng gian Hilbert

1.2.1. Tích vơ hướng, khơng gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên trường K. Tích
vơ hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau:

., . :H × H → K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các tiên đề sau:

• x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
• x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
• λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.
• x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
x, y được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ x và y .
Cặp (H, ., . ) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi là khơng
gian Unita).
Ví dụ 1.2.2.
1. Lấy X = Rn , với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ X và biểu

thức:

n

x, y =

xi yi
i=1

xác định một tích vơ hướng trên Rn
2. Lấy X = C[0;1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0; 1] nhận giá trị
phức với x, y ∈ X , biểu thức
1

x, y =

x(t)y(t)dt,
0

xác định một tích vơ hướng trên C[0;1] . Khi đó khơng gian này là khơng
L
gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C[0;1]
.


9

Tính chất 1.1.
(i) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: | x, y |2 ≤ x, x . y, y
(ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2

(iii) Nếu lim xn = x0 , lim yn = y0 thì lim xn , yn = x0 , y0
Chứng minh. (i). Với y = 0 bất đẳng thức đúng.
Giả sử y = 0, với mọi λ ∈ K ta có:

x + λy, x + λy ≥ 0
từ đó

x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ 0
x, y
. Thay vào bất đẳng
Vì λ tùy ý và y = 0 nên ta có thể chọn λ = −
y, y
thức trên ta được
| x, y |2
x, x −
≥0
y, y
Vậy bất đẳng thức Cauchy − Schwarz được chứng minh.
(ii). Với x, y ∈ H , ta có

x+y
x−y

2
2

= x + y, x + y = x
= x − y, x − y = x

2

2

+ y, x + x, y + y

2

− y, x − x, y + y

2

.

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
(iii). Cho {xn }, {yn } là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần lượt
hội tụ về x0 và y0 . Khi đó, ta có:

| xn , yn − x0 , y0 ≤ | xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 |
= | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ xn

yn − y0 + xn − x0

y0 .

Theo giả thiết {xn } hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số
M > 0 sao cho xn ≤ M với mọi n ∈ N. Vì vậy ta có:

| xn , yn − x0 , y0 | ≤ M yn − y0 + xn − x0
Chuyển qua giới hạn ta được:


lim | xn , yn − x0 , y0 | = 0

n→∞

y0 .


10

Suy ra điều phải chứng minh.
Định lí 1.2.3. Cho H là khơng gian tiền Hilbert. Khi đó,
1

x∈H

x = x, x 2 ,
xác định một chuẩn trên H .

Chứng minh. Từ định nghĩa của tích vơ hướng ta suy ra
(i) x ≥ 0, với mọi x ∈ H và x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
(ii) Với mọi x ∈ H và α ∈ C ta có αx = αx, xα

1
2

= |α| x .

(iii) Với mọi x, y ∈ H ta có
2


x+y

= x + y, x + y
= x

2

+ y, x + x, y + y

2

= x

2

+ x, y + x, y + y

2

= x

2

+ 2Re( x, y ) + y

≤ x

2

+ 2| x, y | + y


2

2

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta có

x+y

2

≤ x

2

+2 x

y + y

2

= ( x + y )2 .

Vậy x + y ≤ x + y .
Định nghĩa 1.2.4. Cho khơng gian tiền Hilbert H , theo Định lý (1.2.3)
thì H là một khơng gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là khơng gian đầy
đủ thì ta gọi H là khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.2.5.

1) Lấy H = Cn với tích vơ hướng xác định bởi hệ thức
n

x, y =

xi y i ,
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn . Khi đó H là
một khơng gian Hilbert.


11

2) Cho (Ω, B, µ) là một khơng gian độ đo. Kí hiệu:

L2 (Ω) = {f : Ω → C :

Ω

|f (x)|2 dµ < ∞}.

Với tích vơ hướng

f, g =

f (x)g(x)dµ,

Ω


L2 (Ω) là một khơng gian Hilbert.
1.2.2. Sự trực giao
Định nghĩa 1.2.6. Cho (H, ., . ) là không gian Hilbert x, y ∈ H và
φ=M ⊂H
(i) Ta nói x trực giao với y nếu x, y = 0. Kí hiệu: (x ⊥ y).
(ii) Hai tập hợp M, N trong H được gọi là trực giao với nhau nếu x, y =
0 với mọi x ∈ M, y ∈ N . Kí hiệu: M ⊥ N .
(iii) Cho M ⊂ H , tập hợp tất cả các phần tử trong H trực giao với M kí
hiệu là M ⊥ và gọi là phần bù trực giao của M.
Tính chất 1.2.
(i) Nếu x ⊥ M thì x ⊥ M , ( M chỉ không gian sinh bởi M)
(ii) Nếu x ⊥ yn , ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y . Suy ra nếu x ⊥ M thì

x⊥M
(iii) M ⊥ là một khơng gian con đóng
Định lí 1.2.7. Nếu x1 , ..., xn đơi một trực giao thì
2

x1 + ... + xn

= x1

2

+ ... + xn

2

(Đẳng thức Pythagore)
Chứng minh. Ta có:

2

n

xi
i=1
n

n

=

n

xi ,
i=1
n

xi , xi =
i=1

n

xi =
i=1

xi
i=1

n


2

xi , xj
i=1 j=1

.


12

Định lí 1.2.8. Nếu M là một khơng gian đóng của khơng gian Hilbert
(H, ., . ) thì mỗi x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z với

y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Phần tử y gọi là hình chiếu trực giao của x lên M và có
tính chất:
x − y = inf x − y
y ∈M

1.2.3. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.9. Cho không gian Hilbert (H, ., . ), S = {e1 , e2 , ..., en } ⊂

H . Nếu mọi phần tử của S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn.
Định lí 1.2.10. Cho {en } là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

(H, ., . ) và {λn } là một dãy số. Ta xét chuỗi
∞

λn en


(1.1)

n=1

Ta có:
(i) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi

∞
2
n=1 |λn |

<∞

(ii) Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ và có tổng x thì

x

2

∞

=

|λn |2 ,

x, en = λn , ∀n ∈ N∗

n=1

Định lí 1.2.11. Giả sử {e1 , e2 , ..., en } là hệ gồm n phần tử trực chuẩn

trong H . Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không
gian con M sinh bởi hệ {e1 , e2 , ..., en } là
n

y=

x, ei ei .
i=1

Chứng minh. Vì M là khơng gian con hữu hạn chiều nên M đóng trong
H . Theo Định lý hình chiếu trực giao, với mỗi x ∈ H được biểu diễn dưới
dạng x = y + z , trong đó y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Do y ∈ M , ta có y =

n

αi e i .
i=1

Với mỗi j = 1, ..., n ta có
n

x, ej = y + z, ej =

αi ei , ej
i=1

αj e j

2


= αj .


13
n

Vậy y =

x, ei ei .
i=1

Định lí 1.2.12 (Định lý trực giao hóa Schmidt). Giả sử {xn }n∈N là một
hệ độc lập tuyến tính trong khơng gian tiền Hilbert H . Khi đó tồn tại hệ
trực chuẩn {en } sao cho lin{e1 , e2 , ..., en } = lin{x1 , x2 , ..., xn } với mọi

n ∈ N.
Chứng minh. Đặt e1 =

x1
. Rõ ràng {e1 } là hệ trực chuẩn và
x1

lin{e1 } = lin{x1 }.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Giả sử có {e1 , e2 , ..., en } là
hệ trực chuẩn và lin{e1 , e2 , ..., en } = lin{x1 , x2 , ..., xn }. Ta tìm yn+1 dưới
dạng:
n

αn ei


yn+1 = xn+1 +
i=1

sao cho yn+1 trực giao với ej , j = 1, 2, ..., n. Ta có

yn+1 , ej = xn+1 , ej + αj .
Suy ra αj = − xn+1 , ej . Vậy yn+1 hoàn toàn xác định bởi biểu thức
n

yn+1 = xn+1

xn+1 , ej ei .

i=1
yn+1

. Khi đó hệ {e1 , e2 , ..., en+1 } là hệ
yn+1
trực chuẩn và lin{e1 , e2 , ..., en+1 } = lin{x1 , x2 , ..., xn+1 }. Định lý đã được
chứng minh.
Vì yn+1 = 0, do đó ta đặt en+1 =

Định lí 1.2.13. Giả sử {xn } là hệ trực giao trong không gian Hilbert H .
∞

∞

xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

Khi đó, chuỗi

n=1

xn

2

hội tụ và

n=1
2

∞

xn

∞

=

xn

2

(1.2)

n=1

n=1

Đặc biệt, nếu {en } là hệ trực chuẩn, ta có

2

∞

αn en
n=1

∞

=

|an |2 .

(1.3)

n=1

Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, đặt

Sn = x1 + x2 + ... + xn và Tn = x1

2

+ x2

2

+ ... + xn

2


.


14

Khi đó với n, p ∈ N ta có:
2

Sn+p − Sn

2

n+p

=

xk
k=n+1
n+p

xk

=

2

k=n+1

= |Tn+p − Tn |.

∞

xn hội tụ suy ra dãy (Sn ) hội tụ nên (Sn ) là dãy cơ bản.

Giả sử chuỗi
n=1

Đẳng thức trên chứng tỏ (Tn ) là dãy cơ bản trong R nên nó hội tụ. Suy
∞

xn

ra chuỗi

2

∞

xn

hội tụ. Ngược lại, nếu

n=1

2

hội tụ, tương tự ta có

n=1


(Sn ) là dãy cơ bản trong H . Vì H là không gian đầy đủ nên (Sn ) hội tụ,
∞

xn hội tụ.

nghĩa là chuỗi
n=1

Hơn nữa, từ đẳng thức
2

∞

xk

∞

=

xk

2

xn

2

k=1

k=1


cho n → ∞ ta được

2

∞

xn

∞

=

n=1

n=1

Định lí 1.2.14. Giả sử {en }n∈N là hệ trực chuẩn trong khơng gian Hilbert
∞

H . Khi đó, với mọi x ∈ H chuỗi
∞

∞

x, en en hội tụ và
n=1

| x, en |2 ≤ x


2

(1.4)

n=1

x, en en được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ {en } và bất

Chuỗi
n=1

đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Bessel.
∞

Chứng minh. Theo Định lý (1.2.13)
∞

x, en en hội tụ khi và chỉ khi

n=1

| x, en |2 hội tụ. Với mỗi n ∈ N ta đặt Mn = lin{e1 , e2 , ..., en }. Khi đó

n=1

Mn là khơng gian con đóng của H , theo Định lý hình chiếu trực giao với
x ∈ H có biểu diễn duy nhất dưới dạng x = yn + zn trong đó yn ∈ M và


15


zn ∈ M ⊥ . Hơn nữa, ta có

n

yn =

x, ei ei .
i=1

Mặt khác, ta lại có

x

2

= yn

2

2

+ zn

n

=

| x, ei |2 + zn


2

.

i=1

Suy ra

n

| x, ei |2 ≤ x

2

, với mọi n ∈ N.

i=1
∞

Vậy

| x, en |2 ≤ x

2

n=1

Định lí 1.2.15. Cho {en }n∈N là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H . Các mệnh đề sau tương đương:

(i) Hệ {en }n∈N là cơ sở trực chuẩn
∞

x, en en , ∀x ∈ H

(ii) x =
n=1

∞

(iii) ∀x, y ∈ H ta có x, y =

x, en y, en .
n=1

(iv) x

2

∞

=

| x, en |2 , ∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval)

n=1
∞

Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Theo Định lý (1.2.14) ta có chuỗi


x, en en hội
n=1

∞

x, en en , ta chứng minh y = 0. Với mỗi j ∈ N ta có

tụ. Đặt y = x −
n=1

∞

y, ej = x, ej −

x, en en , ej = x, ej − x, ej = 0.
n=1

Điều này chứng tỏ y ⊥ M = lin{en , e ∈ N}. Do tích vơ hướng là hàm liên
tục nên y ⊥ M = H . Vì vậy y, y = 0 suy ra y = 0.
∞

Vậy x =

x, en en .
n=1


16

(ii) ⇒ (iii) Với mọi x, y ∈ H theo (ii) ta có

∞

∞

x, y =

x, en en ,
n=1

y, en en
n=1

n

= n→∞
lim
= n→∞
lim
= n→∞
lim

n

x, ei ei ,
i=1
n n

x, ej ej
j=1


x, ei y, ej ei , ej
i=1 j=1
n

x, ei y, ei
i=1

∞

=

x, en y, en .
n=1

(iii) ⇒ (iv) Với mỗi x ∈ H , từ (iii) ta được
∞

| x, en |2 .

x, x =
n=1
⊥

(iv) ⇒ (i) Ta chứng minh M = 0. Với mọi z ∈ M ⊥ ta suy ra z, en = 0
với mọi n ∈ N. Theo (iv) ta có
z

2

∞


| z, en |2

=
n=1

Từ đó ta được z = 0. Suy ra z = 0. Vì vậy M
hình chiếu trực giao ta có

H=M

⊥

= {0}. Theo Định lý

⊥

M = M.

Ví dụ 1.2.16. Cho hệ các hàm lượng giác
1
1
1
√ , √ cos nx, √ sin nx, n = 1, 2, ...
π
2π π
2
là một cơ sở trực chuẩn trong L [0, 2π].
Thật vậy, với mỗi n ∈ N ta có
1

1
√ ,√
=
2π 2π
1
1
√ cos nx, √ cos nx =
π
π
1
1
√ sin nx, √ sin nx =
π
π
nên hệ này là hệ trực chuẩn.

1
dx = 1,
[0,2π] 2π
1
cos2 nxdx = 1,
[0,2π] π
1
sin2 nxdx = 1,
[0,2π] π


17

Với mỗi f ∈ L2 [0, 2π] và với mỗi ε > 0 tồn tại một hàm g ∈ C[0,2π] sao

cho
ε
f −g < .
2
Mặt khác theo Định lý Weierstrass tồn tại hàm
n

h(x) =

(Ak cos kx + Bk sin kx)
k=1

sao cho

ε
sup |g(x) − h(x)| < √ .
2 2π
x∈[0,2π]

Suy ra
å1

ε
< .
[0,2π]
2
Vậy f − h < ε. Do đó hệ trên là cơ sở trực chuẩn của L2 [0, 2π]. Và từ
đó ta có với mọi f ∈ L2 [0, 2π] khai triển được thành chuỗi Fourier như
sau:
Ñ

é
∞
cos kx
sin kx
a0
ak √ + bk √
f (x) = √ +
.
π k=1
π
π
g−h =

Ç

2

|g(x) − h(x)| dx

2

trong đó

1
a0 = √
2π

[0,2π]

f (x)dx,


1
f (x) cos kxdx, k = 1, 2, ...
ak = √
2π [0,2π]
1
bk = √
f (x) sin kxdx, k = 1, 2, ...
2π [0,2π]
Định lí 1.2.17 (Định lý Riesz). Giả sử {en } là một cơ sở trực chuẩn trong
∞

không gian Hilbert H . Nếu dãy số ξn thỏa mãn điều kiện

|ξn |2 < ∞ thì

n=1

sẽ tồn tại duy nhất x ∈ H nhận ξn làm hệ số Fourier ξn = x, en và
∞

x=

ξn en , x

2

∞

=


n=1

n=1
∞

Chứng minh. Theo Định lý (1.2.13) chuỗi
∞

|ξn |2 hội tụ kéo theo chuỗi

n=1

∞

ξn en . Với mỗi m ∈ N, ta có

ξn en hội tụ. Đặt x =
n=1

|ξn |2 .

n=1

∞

x, em =

ξn en , em = ξm .
n=1