Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt
là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh đã
giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành nhất
tới thầy Khuất Văn Ninh, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của thầy
giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản thân em
còn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh
nghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về sau này.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khỏe đến
các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Trần Thanh Khuê

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo
PGS.TS Khuất Văn Ninh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích

của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn
đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả

Trần Thanh Khuê

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau ............................. 1
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn .......................................................... 5
2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn. .............................................. 5
2.2. Phần tử hữu hạn......................................................................................... 22
2.3. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ..................................................................... 23
2.4. Các dạng phần tử cơ bản thường dùng ....................................................... 24
2.4.1. Phần tử một chiều ................................................................................... 24
2.4.2. Phần tử hai chiều .................................................................................... 25
2.4.3. Phần tử ba chiều ..................................................................................... 25
2.5. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu .................................................................. 27
2.5.1. Định lý ................................................................................................... 27
2.5.2. Phần tử tham chiếu. ................................................................................ 27

2.5.3. Về phép biến đổi hình hoc giữa phần tử tham chiếu và phần tử thực. ..... 29
2.6. Xây dựng các hàm

và

............................................................ 34

2.6.1. Phương pháp tổng quát ........................................................................... 34
2.6.2. Tính chất của các hàm

và

................................................... 38

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật 40
3.1. Tính chất cơ học tổng quát của bài toán đàn nhớt. ..................................... 40
3.2. Về một phương pháp giải bài toán đàn nhớt tuvến tính đẳng nhiệt. ........... 44
3.2.1 Nguyên lý tương ứng ............................................................................... 44
3.2.2. Phát biểu bài toán biên đàn nhớt tuyến tính ............................................ 45
3.2.3. Bài toán đàn hồi kết hợp ......................................................................... 45
3.3. Giải bài toán đàn nhớt tuyến tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn....... 46
KẾT LUẬN...................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 52

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giai đoạn phát triển hiện nay của cơ học các môi trường liên tục liên hệ
chặt chẽ với sự hoàn thiện các phương pháp tính toán và việc sử dụng rộng rãi
máy tính điện tử. Quá trình giải quyết các bài toán kỹ thuật thường dẫn tới kết
cục phải giải các phương trình vi phân, các phương trình tích phân hoặc các
phương trình đại số. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, việc hoàn thiện các
phương pháp tính về phương diện Toán học không hoàn toàn đồng nhất với việc
hoàn thiện các phương pháp tính trong Cơ học các môi trường liên tục. Sở dĩ
như vậy là vì việc nghiên cứu hoàn thiện các phương pháp tính thuộc lĩnh vực
Cơ học các môi trường liên tục không những bao gồm nghiên cứu hoàn thiện
cách giải về mặt Toán học mà còn có cả việc nghiên cứu hoàn thiện mô hình
tính toán, cũng như hoàn thiện cách đặt bài toàn dựa vào những khái niệm Vật lý
và yêu cầu kỹ thuật sao cho bài toán vừa đơn giản, vừa phản ánh với thực tiễn.
Người ta thường hay sử dụng rộng rãi các phương pháp biến phân làm công cụ
để hoàn thiện các phương pháp tính trong cơ học các môi trường iên tục. Trong
số đó, Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp sai biến phân hiệu
quả được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của Cơ học các môi trường liên
tục như cơ học kết cấu, động lực học và ổn định công trình, lý thuyết đàn hồi, lý
thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học chất lỏng và chất khí, cơ học đất,…
Phương pháp phần tử hữu hạn được xem như một công cụ vạn năng, tiện
lợi và được ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng cơ bản, giao thông, thủy
lợi, chế tạo máy móc, chế tạo tàu thủy,chế tạo máy bay,…
Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng đặc biệt tiện lợi để giải các
bài toán ổn định và động lực học công trình. Cần chú ý rằng, sử dụng máy tính
điện tử để tính kết cấu phức tạp theo phương pháp phần tử hữu hạn không những

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

1



Khóa luận tốt nghiệp

làm phát triển nhảy vọt các phương pháp tính rời rạc hóa khi ta thay thế các hệ
liên tục bằng các mô hình rời rạc, mà còn có thể tạo ra hiệu quả ngược lại, tức là
cho phép lập được các phương trình vi phân xuất phát từ việc khảo sát các hệ rời
rạc. Nhờ đó tạo ra khả năng cho ta đơn giản hóa các bài toán hai chiều, ba chiều
về các bài toán một chiều.
Với mong muốn được tìm hiểu những kiến thức cơ bản nhất về phương
pháp phần tử hữu hạn và những ứng dụng khác nhau của phương pháp để giải
quyết một số bài toán kỹ thuật như trên, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu:
“Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu: “Phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng” trên
cơ sở đó nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản nhất của phương pháp phần tử
hữu hạn, áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn.
- Cách giải một số bài toán kỹ thuật bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tìm kiếm tài liệu.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Thống kê toán học.

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán kỹ thuật

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1
Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ khác nhau
Cho

và

là các không gian tuyến tính và :

(không nhất thiết phải tuyến tính). Cho hàm

→

là toán tử phi tuyến

∈ , giả sử rằng ta cần tìm

∈

sao cho:
=


(1.1)

Đây là dạng tổng quát của phương trình toán tử trong các không gian.
Theo khuôn khổ chung đó, những gì ta có thể nói về phương trình toán tử
(1.1) là nó có lời giải duy nhất khi và chỉ khi toán tử
trường hợp này lời giải duy nhất là

=

là khả nghịch và trong

. Ngược lại, phương trình (1.1) có

thể không có lời giải. Do đó, ta có một vài câu hỏi như với những điều kiện nào
thì phương trình này là giải được (điều kiện giải được) và nếu như vậy thì đó có
phải là lời giải duy nhất (điều kiện duy nhất) và hơn thế nữa, nếu không xét đến
tính duy nhất hay không thì làm thế nào tìm ra nghiệm (điều kiện tính toán). Rõ
ràng, để trả lời các câu hỏi như vậy, ta cần mô tả chính xác hơn về phương trình,
chẳng hạn như một số điều kiện bổ sung nếu cần.
Trong trường hợp đó, việc tìm cách giải cho phương trình (1.1) là rất khó
khăn hoặc thậm chí là không có lời giải, người ta nghĩ tới việc tìm lời giải gần
đúng (xấp xỉ) của nó. Điều này là có thể, tuy nhiên vấn đề đặt ra là tìm xấp xỉ tốt
nhất.
Xét phương trình (1.1), nếu cả hai không gian

và

đều là các không gian


tuyến tính vô hạn chiều thì lời giải tốt nhất sẽ được xác định, và phương pháp
tiếp cận chung để tìm xấp xỉ tốt nhất như sau: Đầu tiên chúng ta chọn một dãy
các không gian con tuyến tính {

} của

và một dãy các không gian con tuyến

tính { } của , chọn hai ánh xạ liên kết
Sau đó, ta dùng ánh xạ

:

→

:

→

và

để xác định dãy toán tử
=

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

|

→


:
:

tương ứng.
→

bởi:
(1.2)

1


Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử toán tử bất kì
Kí hiệu: |

được xác định trong không gian tuyến tính

là hạn chế của

trên tập con
=

,

bất kì.

của . Cuối cùng, ta sử dụng


∈

,

= 1,2, …

(1.3)

như là một dãy các phương trình toán tử xấp xỉ với phương trình toán tử chính
xác (1.1). Nếu có thuật toán tìm được dãy nghiệm {

} của phương trình toán tử

(1.3) thì ta gọi nó là thuật toán xấp xỉ cho phương trình toán tử (1.1), và kí hiệu
nó bởi Γ = {

,

;

}.

,

Để việc xác định thuật toán xấp xỉ được hữu ích và hiệu quả, một số câu hỏi
quan trọng phải được giải quyết:
(1) Phương trình xấp xỉ (1.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n hay
không?
(2) Nếu mỗi phương trình của (1.3) có một nghiệm


thì dãy nghiệm {

}

có hội tụ tới điểm đó hay không?
(3) Nếu dãy nghiệm {

} hội tụ tới một điểm cho trước thì giới hạn của nó

có là nghiệm (duy nhất) của phương trình (1.1) không?
Câu trả lời cho ba câu hỏi này dẫn đến lời giải xấp xỉ của phương trình toán tử
(1.1). Để chính xác hơn ta đưa ra các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Trong không gian tuyến tính , chuẩn của nó kí kiệu là: ∥. ∥ .
∈

Một dãy
giản là

được gọi là hội tụ mạnh tới

→

∈

→

∗

−


được gọi là hội tụ yếu tới
lim (

Trong đó

→

hoặc đơn

→ , nếu
lim ∥

Một dãy

∈ , kí hiệu là

∥ =0
∈ , kí hiệu là

− )=0, ∀ ∈

→

nếu

∗

là không gian liên hợp của .

Định nghĩa 1.2. Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ duy nhất mạnh

(hoặc yếu) theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

> 0 sao cho

2


Khóa luận tốt nghiệp
∈

phương trình toán tử (1.3) có nghiệm duy nhất
{

} hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới

với mỗi

∈ , trong đó

≥

, và dãy

là nghiệm duy nhất của

phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.3. Phương trình toán tử (1.1) được gọi là xấp xỉ mạnh (hoặc yếu)
theo thuật toán xấp xỉ Γ nếu tồn tại một số nguyên

∈

toán tử (1.3) có nghiệm
hội tụ mạnh (hoặc yếu) tới

, và dãy {

≥

với mỗi

∈ , trong đó

> 0 sao cho phương trình
} có một dãy con

là nghiệm duy nhất của phương

trình (1.1).
Rõ ràng để xác định rõ nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ (mạnh hay yếu) của dãy
các nghiệm xấp xỉ thì bốn phần tử trong thuật toán xấp xỉ Γ = {

,

;

}

,


phải đáp ứng một số điều kiện nhất định. Ví dụ như một điều kiện cần thiết là:
(1.4)

=
Điều kiện này chứng tỏ rằng tập hợp các dãy {

} là trù mật trong .

Với thuật toán xấp xỉ tốt nhất, các toán tử
toán tử tuyến tính. Nếu

→

:

và

:

và
→

được nói đến ở trên là
là các toán tử chiếu tuyến

tính thì thuật toán xấp xỉ tương ứng sẽ đem lại một phương pháp chiếu được gọi
là thuật toán hình chiếu xấp xỉ.
Đặc biệt, theo các điều kiện khác của toán tử
thuật toán Γ = {
i.


Nếu

=

,
và

;

,
=

và của bốn phần tử trong

}, ta có sự phân loại sau:
với mọi

= 1,2, … thì phương pháp chiếu được

gọi là phương pháp Galerkin.
ii.

Nếu Γ là toán tử tích phân hoặc vi phân và

là không gian của những

hàm trơn thì cho ta phương pháp phần tử hữu hạn.
iii.


Nếu
→

và

là không gian các hàm xác định trong Ω ⊂ ℝ và

:

là toán tử nội suy xác định bởi

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

(
Trong đó ,

,…,

)( ) =

∈ Ω, ( ) ∈

( )
và {


( )
} là một cơ sở của

,…,

,

khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) trở thành:
( )=

|

( )

|

∈ Ω, điều này tương đương với:

Với mọi

|

= |

,

= 1,2, … , .

(1.5)


Đây là phương pháp Collocation.
iv.

Nếu

là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈∙, ∙〉 và

và

=

{

,…,

},

=

{

,…,

} tương ứng, và

và

đều là toán tử chiếu trực

giao, khi đó phương trình toán tử xấp xỉ (1.3) tương đương với:

〈

− ,

〉 = 0,

= 1,2, … , .

(1.6)

Đây là phương pháp Galerkin-Petrov. Đặc biệt, nếu
1,2, …, với toán tử tuyến tính

:

→

,

,

=

được chọn thích hợp thì đây là

phương pháp moment. Mặt khác, nếu :
=

=


→

là toán tử tuyến tính và

= 1,2, …, thì nó là phương pháp bình phương tối thiểu, ví dụ

trong trường hợp này các điều kiện trong (1.6) cùng tương đương với tối
thiểu
min ∥
∈

Hơn nữa, nếu

=

và

=

−

∥

, = 1,2, …, thì nó trở thành phương pháp

Bubnov-Galerkin.

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

4



Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2
Phương pháp phần tử hữu hạn
2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp phần tử hữu hạn tương tự như phương pháp Rayleigh-Ritz để
tìm nghiệm xấp xỉ cho những bài toán giá trị biên. Ban đầu, nó được dùng trong
các ngành kỹ thuật, nhưng bây giờ nó còn được sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ
cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các lĩnh vực của toán ứng
dụng.
Một ưu thế của phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân
hữu hạn là điều kiện biên của bài toán được xử lý tương đối dễ dàng. Nhiều bài
toán vật lý có điều kiện biên liên quan đến đạo hàm và dạng biên không đều.
Điều kiện biên của loại này khó xử lý nếu sử dụng kỹ thuật của phương pháp sai
phân hữu hạn bởi mỗi điều kiện biên liên quan đến một đạo hàm phải được xấp
xỉ bằng tỉ sai phân tại những điểm lưới và dạng biên không đều làm cho việc đặt
các điểm lưới khó khăn. Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm điều kiện biên
là những tích phân trong một phiếm hàm được cực tiểu hóa, vì vậy thủ tục xây
dựng những điều kiện biên của bài toán là độc lập.
Ở đây, chúng ta xét phương trình vi phân đạo hàm riêng
( , )
với ( , ) ∈

+

, trong đó

( , )


+ ( , ) ( , )= ( , )

(2.1)

là miền phẳng với biên .

Điều kiện biên:
( , )= ( , )
được đặt trên khúc

của biên. Trên đoạn còn lại của biên,

(2.2)
, nghiệm ( , )

cần tìm thỏa mãn:

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp

( , )

( , ) cos

+ ( , )


( , ) cos

+

( , ) ( , )=

( , )
(2.3)

Trong đó

và

là các góc định hướng của pháp tuyến ngoài với biên tại

điểm ( , ). (xem hình 2.1)

Pháptuyến
tuyến
Pháp

2

1

Tiếp tuyến

Hình 2.1


Những bài toán vật lý trong các lĩnh vực cơ học vật rắn và tính đàn hồi có
liên quan đến những phương trình vi phân đạo hàm riêng tương tự như phương
trình (2.1). Nghiệm để bài toán loại này cực tiểu hóa một phiếm hàm nhất định
trên một lớp hàm được xác định bởi bài toán.
Giả sử , , và
riêng cấp một liên tục,

là những hàm liên tục trên
liên tục trên

,

và

rằng, ( , ) > 0, ( , ) > 0, ( , ) ≤ 0 và

∪ ,

và

liên tục trên

có đạo hàm
. Giả sử, thêm

( , ) > 0 thì nghiệm duy

nhất của phương trình (2.1) cực tiểu hóa phiếm hàm sau:

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


6


Khóa luận tốt nghiệp

[ ]=

1
2

( , )

+ ( , )

+ ( , )

+

–

− ( , )

( , ) +

1
2

( , )


[ ] xác định trên tập tất cả các hàm khả vi cấp hai liên tục
trình (2.2) trên

(2.4)

thỏa mãn phương

. Phương pháp phần tử hữu hạn lấy xấp xỉ nghiệm này bằng

cách cực tiểu hóa phiếm hàm trên một lớp nhỏ hơn.
Bước đầu tiên là chia miền đã cho ra thành một số hữu hạn các miền nhỏ,
hay còn gọi là các phần tử, theo một quy định, hoặc là thành các hình chữ nhật
hoặc các tam giác. (xem hình 2.2)

Hình 2.2
Tập hợp các hàm dùng cho xấp xỉ là tập hợp các đa thức xác định trên các
miền con bậc cố định với

và . Phép xấp xỉ đòi hỏi những đa thức đó được

ghép lại với nhau thành một hình để kết quả hàm số là liên tục khả tích hoặc đạo
hàm bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên miền nguyên. Những đa thức kiểu tuyến
tính theo

và :
( , )=

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

+


+

7


Khóa luận tốt nghiệp

thường được sử dụng với các phần tử tam giác, trong khi đa thức kiểu song
tuyến tính của

và :
( , )=

+

+

+

được sử dụng với các phần tử hình chữ nhật.
Ở đây, chúng ta giả sử rằng miền

được chia nhỏ thành những phần tử

tam giác. Tập hợp các tam giác được kí hiệu là , và các đỉnh của những tam
giác này được gọi là các điểm nút. Phương pháp tìm xấp xỉ cho bởi công thức:
( , )=
trong đó
,


,

, …,

, …,

( , )

là những mẩu đa thức tuyến tính độc lập tuyến tính và

là các hằng số. Một vài hằng số này như

,

để đảm bảo điều kiện biên, ( , ) = ( , ), thỏa mãn trên
còn lại

,

, …,

để cực tiểu hóa phiếm hàm [∑

, …,

dùng

, những hằng số


].

Từ phương trình (2.4), phiếm hàm có dạng:
[ ]=
1
2

=

( , )

− ( , )

+

+

–

1
2

( , )

( , )

( , )

( , )


+ ( , )

+ ( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

(2.5)

8


Khóa luận tốt nghiệp

Để cực tiểu xảy ra, xét như một hàm của

,

, …,

, cần phải có:

= 0 , = 1,2, … ,

Lấy đạo hàm phương trình (2.5) ta được:
=

( , )

( , )

+ ( , )

( , )

− ( , )

+

( , )

( , )

( , )

–

( , )

( , )+ ( , )

( , )+

1

2

( , )

( , )

( , )

( , )

vì vậy
( , )

0=

( , )

− ( , ) ( , )

( , )+ ( , )

( , )

( , )

( , )

+

( , ) ( , )


+

( , )

( , )

( , )

−

( , )

( , )

với mỗi = 1,2, … , .
Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng tuyến tính:
=
trong đó

=( ,

,…,

) và

=(

),


=( ,

,…,

) được xác định

bởi:
Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

=

( , )

( , )

− ( , )

( , )+ ( , )

( , )

( , )

với mỗi = 1,2, … , , = 1,2, … ,
=−


( , )

( , )

( , )

( , ) ( , )

+

( , )

( , )

(2.6)

và
( , )

+

( , )

−

(2.7)

với mỗi = 1,2, … , .
Lựa chọn các hàm cơ sở cụ thể là quan trọng bởi vì cách chọn thích hợp có

thể làm ma trận
thiết rằng

xác định dương. Trong bài toán cấp hai (2.1) chúng ta giả
=

là một đa giác, vì vậy

và

là tập hợp các đường thẳng tiếp

giáp nhau.
Để bắt đầu quá trình chúng ta chia nhỏ
,

,…,

ra thành tập hợp các tam giác

. Với tam giác thứ có 3 đỉnh, hay còn gọi là 3 điểm nút ta kí hiệu

là:
()

Để đơn giản ta viết

=

=( ,


()

,

()

,

= 1, 2, 3.

) khi nói đến tam giác cố định

với mỗi đỉnh

chúng ta xét một đa thức tuyến tính:
()

trong đó

()

(

,

)=

( , )≡
1 ếế

0 ếế

( , )=

+

+

=
≠

Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính có dạng:
1
1
1

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

0
= 1
0

10


Khóa luận tốt nghiệp
với phần tử 1 xuất hiện ở hàng thứ trong véc-tơ vế phải (ở đây = 2).
Cho
điểm nút
giá trị 1 ở

với

()

,

,…,

là kí hiệu của những điểm nút nằm trong

, chúng ta gắn với một hàm

mà tuyến tính trên mỗi tam giác có

và 0 ở mỗi điểm nút khác. Cách chọn này làm cho

trên tam giác

khi điểm nút

∪ . Với mỗi

là đỉnh được kí hiệu là

Ví dụ 1: Giả sử bài toán phần tử hữu hạn gồm hai tam giác

và

đồng nhất
()


.
cho trong

hình 2.3.

V2(1)

-2

 1, 2 

V1(1)

-

T1
T2

V3(1)

1

1,1

V1(2)
V3(2)

1


V2(2)

Hình 2.3

Hàm tuyến tính

( )

( , ) mà giả thiết nhận giá trị 1 tại điểm (1,1) và giá trị 0

tại hai điểm (0,0) và (-1, 2) thỏa mãn:
( )

+

( )

(1) +

( )

( )

+

( )

(−1) +

(1) = 1


( )

(2) = 0

và

Vì vậy

( )

=0,

( )

=

( )

+

( )

,

( )

=

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán


(0) +

( )

(0) = 0

và

11


Khóa luận tốt nghiệp

( )

( , )=
( )

Một cách tương tự, hàm tuyến tính

2
1
+
3
3

( , ) mà giả thiết nhận giá trị 1 tại điểm

(1,1) và giá trị 0 tại hai điểm (0,0) và (1,0) thỏa mãn:

( )

+

( )

(1) +

( )

(1) = 1

( )

+

( )

(0) +

( )

(0) = 0

( )

+

( )


(1) +

( )

(0) = 0

và

Vì vậy

( )

=0,

( )

trên biên chung của

( )

= 0,
và

= 1 . Hiển nhiên,

( )

,

( )


( , )=

( )

( , ) = . Chú ý rằng

( , ) bởi vì

= .

Xem hình 2.4 là một đoạn phía trên bên trái của biên trong hình 2.2. Chúng
ta sẽ tạo ra những con số trong ma trận

tương ứng với những điểm nút trong

hình này. Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng
điểm nút trên

không phải là một trong các

.

E2
E1

T2

T1


E3

E4

Hình 2.4

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

Mối quan hệ giữa các điểm nút và các đỉnh của những tam giác trong đoạn này
là :
( )

=
Vì

( )

=

và

=

,


( )

( )

=

đều khác không trên

và

( )

=

và

, các số

.
,

=

,

được tính bằng

công thức:
=


,

Trên tam giác

+

−

=

+

−

+

+

−

:
( , )=

( )

( , )=

( )

+


( )

+

( )

( , )=

( )

( , )=

( )

+

( )

+

( )

và

vì vậy với tất cả ( , ),
=
Tương tự, trên

( )


,

=

( )

,

=

( )

à

=

( )

=

( )

:
( , )=

( )

( , )=


( )

+

( )

+

( )

( , )=

( )

( , )=

( )

+

( )

+

( )

và

vì vậy với tất cả ( , ),
=


( )

,

=

( )

,

=

( )

à

Vì vậy:

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

,

( ) ( )


=

( )

−

+

( ) ( )

+

+

( )

+

( )

+

( ) ( )

+

( )

( ) ( )


( )

−

+

( )

Tất cả những tích phân bội hai trên

( )

+

( )

+

( )

( )

+

( )

+

( )


quy về những tích phân bội hai trên

các tam giác. Thủ tục thông thường để tính tất cả các tích phân có thể và gộp
chúng lại thành một số

trong . Tương tự, tích phân bội hai có dạng:
( , )

( , )

được tính toán trên những tam giác và sau đó gộp chúng lại thành số

của véc-

tơ .
Ví dụ, để xác định
−

Vì

chúng ta cần:

( , )

( , )

=

( , )


( )

+

( )

+

( )

−

( , )

( )

+

( )

+

( )

là một đỉnh của cả

hạn chế với

, một phần của


và phần còn lại được xác định bởi

đó, những điểm nút thuộc về
trong

và

được xác định bởi

hạn chế với

. Thêm vào

có tích phân đường được cộng thêm vào chúng

và .

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Thuật toán 2.1 thực hiên phương pháp phần tử hữu hạn trên một phương
trình vi phân elip bậc hai. Thuật toán thiết lập tất cả các giá trị của ma trận
vecto

và


ban đầu là 0, sau đó tất cả các phép lấy tích phân được thực hiện trên tất

cả các tam giác, cuối cùng thêm những giá trị này vào cho phù hợp trong

và .

Thuật toán 2.1: Phần tử hữu hạn
Xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng:
( , )

( , )

+

+ ( , ) = ( , ),

( , )∈

với các điều kiện biên:
( , ) = ( , ) ,( , ) ∈
cho ( , ) ∈
( , )
trong đó

:

( , ) cos
∪

+ ( , )


là biên của

và

( , ) cos
,

+

( , ) ( , )=

( , )

là các góc định hướng của pháp tuyến

với biên:
Bước 0: Chia miền
,…,

thành những tam giác

sao cho:

là những tam giác không có cạnh nằm trên

(Chú ý:

hoặc


là những tam giác có ít nhất một cạnh nằm trên

,…,

là những tam giác còn lại.
=

()

()

,

,

()

,

()

∪

(Chú ý:

=

và
nghĩa là


Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

,…,

)

là:
,

()

Gắn nhãn các điểm nút (các đỉnh) là
nằm trong

;

nghĩa là tất cả các tam giác có cạnh nằm trên

Gắn nhãn 3 đỉnh của tam giác
,

;

= 0 nghĩa là không có tam giác nào nằm trong )

,…,

(Chú ý:

()


,…,

,…,

nằm trên

, trong đó

,…,

.

không có điểm nút nào.)

15


Khóa luận tốt nghiệp

INPUT
()

,

()

, ,

với mỗi = 1, … ,


OUTPUT các hằng số
1, … ,

, ,

các số nguyên

()

;

,

()

,

,

()

()

,

,

với mỗi = 1, … ,


; các điểm nút

,…,

()

; các đỉnh

()

()

,

.

với mỗi = 1, 2, 3 và =

.

Bước 1 For =

+ 1, … ,

= ( ,

đặt

). (Chú ý:


=( ,

))

Bước 2 For = 1, … ,
= 0;

Đặt

For = 1, … ,
Bước 3 For

đặt

,

= 0.

= 1, … ,
1

()

()

Đặt ∆ = det 1

()

()


1

()

()

() ()
()

=
() ()

()

=
() ()

()

=

−
∆

() ()

−
∆


() ()

−
∆

() ()

()

;

()

;

()

;

()

=
()

=
()

=

−

∆

()

−
∆

()

−
∆

()

()

;

()

;

()

;

()

=
()


=
()

=

−
∆

()

−
∆

()

−
∆

()

;
;
;

for = 1, 2, 3
định nghĩa
Bước 4 For

()


( , )=

()

+

()

+

()

.

= 1, … ,

for = 1, 2, 3
for

= 1, … ,

(tính tất cả các tích phân bội hai trên các tam

giác)

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

16



Khóa luận tốt nghiệp

đặt
()
,

=

() ()

Bước 5 For

=

()

( , )

∬
()

đặt

( , )

∬

+ 1, … ,


()

( , )

()

( , )

= −∬

() ()

+

( , )

∬

( , )

−

;

( , )

.

(tính toán tất cả các tích phân đường)


for = 1, 2, 3
= 1, … ,

for
đặt
đặt
Bước 6 For

=

()
,

=∫

( , )

()

( , )

()

()

=∫

( , )

()


( , )

.

+ 1, … ,

( , )

;

thực hiện các bước 7-12 (ghép các tích phân trên

mỗi tam giác thành hệ tuyến tính.)
Bước 7 For

= 1, 2, 3 thực hiện các bước 8-12
=(

Bước 8 Tìm sao cho
Bước 9 If

()

,

()

).


> then for = 1, … , − 1 do Các bước 10, 11.
=(

Bước 10 Tìm sao cho
Bước 11 If ≤

()

,

()

).

then
if ≤

then đặt

else đặt

=

+

()
, ;

=


+

()
,

=

()
, ;

−

else
if ≤

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

then đặt

=

−

()
, .

17


Khóa luận tốt nghiệp


Bước 12 If ≤

=

then đặt

=
Bước 13 For =

+ 1, … ,

()
, ;

+

()

+

.

thực hiện các bước 14-19. (ghép các tích phân

đường thành hệ tuyến tính.)
= 1, 2, 3 thực hiện các bước 15-19

Bước 14 For


Bước 16 If

()

=(

Bước 15 Tìm sao cho

()

,

).

> then for = 1, … , − 1 do Các bước 17, 18.

Bước 18 If ≤

()

=(

Bước 17 Tìm sao cho

()

,

).


then
if ≤

then đặt

=

+

()
, ;

=

+

()
,

=

else đặt

−

()
, ;

else
if ≤

Bước 19 If ≤

then đặt

=
=

Bước 20 Giải hệ tuyến tính
với 1 ≤ ≤

+
+

= , trong đó

−

()
, .

()
, ;
()

.

=

,


,

= ( ), = ( ),

và 1 ≤ ≤ .

Bước 21 OUTPUT ( , … ,
(với mỗi

=

then đặt

= 1, … ,

).
cho

Sau đó ( , ) = ∑

=

()

( , ) xấp xỉ ( , ) trên

∪

=


()

trên

nếu

,

()

∪

.
.)

Bước 22 For = 1, … ,
for = 1, 2, 3

OUTPUT

()

,

()

,

()


.

Bước 23 STOP (Thủ tục hoàn thành)

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2: Nhiệt độ ( , ) nằm trong miền

hai chiều thỏa mãn phương trình

Laplace:
( , )+
Xét miền

( , )=0

ê

cho trong hình 2.5 với điều kiện biên cho như sau:
( , ) = 4,

( , )∈

,

( , )∈


;

( , )= ,

( , )∈

,

( , )∈

;

( , )= ,

( , )∈

;

( , )∈

,

( , )∈

;

( , )=
trong đó


/

của miền

tại điểm ( , ).

+
√2

,

là đạo hàm theo hướng trong hướng của pháp tuyến với biên

 0, 0.4 
L1
L7

_

 0.2, 0.2 

 0.4, 0.2 

L2
L3

D

 0.5,1
L4


 0.6, 0.1

L5

 0, 0 

L6

(0.6, 0)

Hình 2.5

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

Đầu tiên chúng ta chia miền
của thuật toán. Ví dụ,

=

ra thành các tam giác theo gợi ý ở bước 0

∪

=


và

∪

∪

∪

∪

. Kí hiệu của

những tam giác được cho trong hình 2.6.

E6

T3

T7
T1

T8
E8

E2
E2

E1


E7

T4
E3

T2

T5

T9

E4

T10

E9

E5
T6

E10

E11

Hình 2.6

Điều kiện biên ( , ) = 4 trên
6, 7, … , 11. Để xác định những giá trị

và


có nghĩa là

= 4 khi =

với = 1,2, … ,5 ta áp dụng những

bước còn lại của thuật toán. Từ đó cho ta ma trận
2.5
0
−1
⎡ 0
1.5 −1
⎢
= ⎢ −1 −1 4
⎢ 0 −0.5 0
⎣ 0
0
0

0
0
−0.5
0 ⎤
⎥
0
0 ⎥
2.5 −0.5⎥
−0.5
1 ⎦


và véc-tơ
6.0666
⎡0.0633⎤
= ⎢⎢8.0000⎥⎥
⎢6.0566⎥
⎣2.0316⎦

Trần Thanh Khuê - K35 CN Toán

20