<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3
y = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d với a}__{0 có đồ thị là (C).}

<b>I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị</b>

1)

a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)

2)

a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn ln

giảm)

3)

Hàm số khơng có cực trị



<i>y</i>

' 0



vô nghiệm.

4)

a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngồi ra ta cịn có:

+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)

5)

a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện
x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có:

+ hàm số giảm trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)

<b>II/ Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị</b>

-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Thực hiện phép tính

<i>y y</i>

: '

-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q

-Gọi

( ; )

<i>x y</i>

₀ ₀ là tọa độ điểm cực trị



<i>y x</i>

'( ) 0

₀



từ đó suy ra

0 0

<i>y</i>



<i>rx</i>



<i>q</i>

-Kết luận

<i>y rx q</i>





là đường thẳng đi qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để
hàm số có cực trị)

<b>III/ Giao điểm của đồ thị với trục hoành</b> :
1) C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt















0

)

2

x(

y

).

1

x(

y

2

x,

1

x

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

2) Giả sử a > 0 ta có:
a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thoûa

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

Tương tự khi a < 0

3) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau  y’ = 0 có 2 nghiệm phân

biệt và y (x0) = 0 Với x0 là hoành độ điểm uốn

I<b>V/ Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 (1) (a}</b>_<b>_{0) khi x}</b>

<b>= </b><b> là 1 nghiệm của (1).</b>

Nếu x =  là 1 nghiệm của (1), ta có

ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = (x -}__)(ax2_{+ b}
1x + c1)

nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2).
Ta có các trường hợp sau:

1) nếu (2) vơ nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = 

2) nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x = 

3) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt  thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

4) nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.

5) nếu (2) có nghiệm kép  thì (1) có 2 nghiệm

<b>V/ Tiếp tuyến của đồ thị :</b> Gọi I là điểm uốn. Cho M  (C).

Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp
hơn

Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 : y = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d, ta có:}
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

<b>BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>

Bài 1 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình
là

y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1.

<b>PHầN I. Trong phần này cho m = 3. </b>Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với
M khác A, B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến
vng góc với tiếp tuyến tại M với (C).

2) Gọi  là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E 

với (C).

3) Tìm E  để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ
trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.

5) Tìm M  (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).

<b> PHầN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.</b>

6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vng góc
nhau.

7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng.

11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để
(Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau

12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).

13)Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc
lớn nhất

Bài 2: Cho hàm số

<i>y</i>



<i>x</i>

3



3

<i>mx</i>

2



3(1



<i>m x m</i>

2

)



3



<i>m</i>

2. Viết
phương trình đường thẳng đi qua cực trị của hàm số.

Bài 3: Tìm <i>m</i> để

<i>_{f x}</i>

 

_

<i>_x</i>

3

_

<i>_mx</i>

2

_

₇

<i>_x</i>

_

₃

_{có đường thẳng đi qua CĐ,}

Bài 4: Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt :

3

)

1

(

3

)

1

4

(

2

3















<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

Bài 5: Định m để

(

C

_m

)

cắt trục Ox tại duy nhất một điểm

(

)

3 2

y

=

2x

-

3 m 1 x

+

+

6mx 2

-Bài 6: Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm

<i>I</i>

(1;2)

với hệ số
góc k

(

<i>k</i>

 

3)

đều cắt đồ thị hàm số

3

₃

2

₄

<i>y x</i>





<i>x</i>



tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm
của đoạn thẳng AB

Bài 7:Tìm

<i>m</i>

để (Cm)

<i>y x</i>



3



3

<i>mx</i>

2



9

<i>x</i>



7

cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ lập thành CSC

Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1
)
1
(
3 2
3







<i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>x</i>

<i>y</i> tại điểm có hồnh độ x=-1 đi qua điểm

A(1; 2)

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

3 2

1

2

3

2

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

và cm tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 10:

Viết pt tt của đồ thị (

<i>C)</i>

1

3

2

2

3 .

3

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

, biết tt này đi qua gốc

tọa độ

<i>O</i>

Bài 11: Cho hs y =

_{x - 3x + 2}

3 2

_{. Tìm M trên y = -2 sao cho từ đó kẻ đến}

(C) hai TT vng góc nhau

Bài 12: Tìm m để đồ thị (C

m

)

<i>y</i>



<i>x</i>

3



(2

<i>m</i>



1)

<i>x</i>

2



<i>m</i>



1

tiếp xúc

với đường thẳng

<i>y</i>



2

<i>mx m</i>





1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

CT vng góc với <i>y</i> 3<i>x</i> 7.

biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

<b>BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>

Bài 1 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình
là

y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1.

<b>PHầN I. Trong phần này cho m = 3. </b>Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với
M khác A, B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến
vng góc với tiếp tuyến tại M với (C).

2) Gọi  là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E 

với (C).

3) Tìm E  để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ

trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M  (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).

<b> PHầN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.</b>

6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vng góc
nhau.

7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +).

10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để
(Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau

12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).

13)Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc
lớn nhất

Bài 2: Cho hàm số

<i>_y</i>



<i>_x</i>

3



₃

<i>_mx</i>

2



₃₍₁



<i>_{m x m}</i>

2

₎



3



<i>_m</i>

2. Viết
phương trình đường thẳng đi qua cực trị của hàm số.

Bài 3: Tìm <i>m</i> để

<i>f x</i>

 



<i>x</i>

3



<i>mx</i>

2



7

<i>x</i>



3

có đường thẳng đi qua CĐ,
CT vng góc với <i>y</i> 3<i>x</i> 7.

Bài 4: Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt :

3

)

1

(

3

)

1

4

(

2

3















<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

Bài 5: Định m để

(

C

_m

)

cắt trục Ox tại duy nhất một điểm

(

)

3 2

y

=

2x

-

3 m 1 x

+

+

6mx 2

-Bài 6: Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm

<i>I</i>

(1;2)

với hệ số
góc k

(

<i>k</i>

 

3)

đều cắt đồ thị hàm số

3 2

3

4

<i>y x</i>





<i>x</i>



tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm
của đoạn thẳng AB

Bài 7:Tìm

<i>m</i>

để (Cm)

<i>y x</i>



3



3

<i>mx</i>

2



9

<i>x</i>



7

cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ lập thành CSC

Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1
)
1
(
3 2
3






<i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>x</i>

<i>y</i> tại điểm có hồnh độ x=-1 đi qua điểm

A(1; 2)

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

3 2

1

2

3

2

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

và cm tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 10:

Viết pt tt của đồ thị (

<i>C)</i>

1

3

2

2

3 .

3

<i>y</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

, biết tt này đi qua gốc

tọa độ

<i>O</i>

Bài 11: Cho hs y =

_{x - 3x + 2}

3 2

_{. Tìm M trên y = -2 sao cho từ đó kẻ đến}

(C) hai TT vng góc nhau

Bài 12: Tìm m để đồ thị (C

m

)

<i>y</i>



<i>x</i>

3



(2

<i>m</i>



1)

<i>x</i>

2



<i>m</i>



1

tiếp xúc

với đường thẳng

<i>y</i>



2

<i>mx m</i>





1

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số

<i>y x</i>



3



3

<i>x</i>

2



<i>m</i>

có hai điểm phân biệt

đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

<b>Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3</b>

y = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d với a}__{0 có đồ thị là (C).}

<b>I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị</b>

1)

a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)

2)

a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) trên R (ln ln
giảm)

3)

Hàm số khơng có cực trị



<i>y</i>

' 0



vô nghiệm.

4)

a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta cịn có:

+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)

5)

a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện
x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có:

+ hàm số giảm trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)

<b>II/ Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị</b>

-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Thực hiện phép tính

<i>y y</i>

: '

-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q

-Gọi

( ; )

<i>x y</i>

₀ ₀ là tọa độ điểm cực trị



<i>y x</i>

'( ) 0

₀



từ đó suy ra

0 0

<i>y</i>



<i>rx</i>



<i>q</i>

-Kết luận

<i>y rx q</i>





là đường thẳng đi qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để
hàm số có cực trị)

<b>III/ Giao điểm của đồ thị với trục hoành</b> :
1) C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

b)(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

Tương tự khi a < 0

3) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau  y’ = 0 có 2 nghiệm phân

biệt và y (x0) = 0 Với x0 là hoành độ điểm uốn

I<b>V/ Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 (1) (a}</b>_<b>_{0) khi x}</b>

<b>= </b><b> là 1 nghiệm của (1).</b>

Nếu x =  là 1 nghiệm của (1), ta có

ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = (x -}__)(ax2_{+ b}
1x + c1)

nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2).
Ta có các trường hợp sau:

1) nếu (2) vơ nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = 

2) nếu (2) có nghiệm kép x =  thì (1) có duy nhất nghiệm x = 

3) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt  thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

4) nếu (2) có 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) có 2 nghiệm.

5) nếu (2) có nghiệm kép  thì (1) có 2 nghiệm

<b>V/ Tiếp tuyến của đồ thị :</b> Gọi I là điểm uốn. Cho M  (C).

Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.

Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>















0

)

2

x(

y

).

1

x(

y

2

x,

1

x

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

2) Giả sử a > 0

a) ta có (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > 

</div>

<!--links-->