dientichtisodientichHSG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (484.92 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề : Bdhsg- diện tích-tỷ số diện tích

Bài1

Trong các hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S khơng đổi .E là giao điểm các đờng chéo. Hình thang
nào có diện tích tam giác ABE lớn nhất

Híng dẫn

Đặt BC=x; AD=y. Kẻ CK // BD .,BI AC t¹i I; HK  AC t¹i H . Ta cã SACK = SABCD = S
Ta cã SABC= . ( , )

2
1

BC
A
d

BC

SDBC= . ( , )
2

BC
D
d

BC => SABE =SDCE =S0. Đặt SBCE =S1; SADE =S2
Mµ d(A,BC)=d(D,BC)

Ta cã 02 1 2

2
0
0
1

.

S

EA

EC

S

EA

EC

S





















Mặt khác ACK đồng dạng CEB nên

CE
AC
CB
AK

 ; BCI đồng dạng KAH nên

AK
BC
KH

BI


2
2
2

)
(
)
(
.

.
.

y
x

x
AK

BC
AK

BC
AK
BC
AC
KH

EC
BI
S

S
S
S

ACK
BCE










T¬ng tù 2

2
2

)
(
)

(

y
x

y
AK

AD
S

S





4
1
)
2
(
)
(
)

(
.

)

( 0 2 2

4
2
2
2
1
2
0











xy
xy
y

x
xy
S

S
y

x
y
x
S
S
S
S
S
S

hay S S
4
1

0  DÊu “=” x¶y ra  x=y
Vậy khi hình thang ABCD trở thành hình bình hành thì tam giác ABE có diện tích lớn nhất

Bi2 Cho tam giác ABC,M là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Các đờng thẳng AM,BM,CM theo thứ tự cắt
BC,CA,AB tại A’,B’,C’.Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác A’B’C’ lớn nhất

Bài3 Từ một điểm O bên trong tam giác ABC vẽ lần lợt các đờng thẳng // với các cạnh của tam giấcBC. Các đờng thẳng
này chia tam giác thành 6 phần. Kí hiệu các phần nh hvẽ C/m

2
3










c
b
a

Híng dÉn

Ta cã

ON
EO
MN

PO
OM

EP

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c

a

ON

EO

ON

EO

ON

EO

OM

EP

ON

EO

NO

M

d

EO

P

d

c

a

ON

NO

M

d

c

EO

P

d

a





















)

(

.

)

,

(

)

,

(

).

,

(

2

1 ).

,

(

2

1

ac
c

a
ON

EO
MN
BM
S

S
c OMN

BOM 2

2
1







 



T¬ng tù 2 ab

 2 bc

Điều phải c/m a a b b c c abc

ab
c
ac
b
bc
a
c

b
a

3
2

2
2

2
3


















 (1)

Hãy c/m BĐT (1) luôn đúng ta đợc điều phải c/m

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng trịn tâm O ,có các phân giác trong A A’,BB’,CC’ cắt (O) lần lợt tại
A1,B1,C1. C/m

4
9
'
'
'

1
1
1






CC
CC
BB

BB
AA
AA

Ta có ABA'đồng dạng AA1C => AA AA AB AC cb
AA

AB
AC

AA

.
.

'.
'

1
1

Mặt khác

2
2
2

2
2

1
2

1 ( )

1
)

(

)
cos
1
(
2
.

)
(

)
2
cos
2
(
'
'.

'
'

c
b

a
c

b

A
bc

bc
c
b

A
bc
bc

AA
A

A
A
A

AA
AA

AA















T¬ng tù

BB
B
B

= 2

)
(
1

c
a

b



CC
CC

= 2
2

)
(
1

b
a

c



=> 



































)
(

2
)
(

2
3
)
(
)
(
)
(

3
'
'
'

2
2

2
2
2

2
2

1
1

1 a b

c
c

a
b
c

b
a
b

a
c
c

a
b
c

b
a
CC

CC
BB
BB
AA
AA

4
9
2
3
.
2
1
3
2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2   















b
a

c
c
a

b
c
b

a

Dấu “=” xảy ra  ABC đều

Bµi 4 Cho tam giác ABC có diện tích S0, trên các cạnh AB,AC, lần lợt lấy các điểm M,N sao cho n
AC
AN
m
AB
AM


 ;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) TÝnh SBMC, SABN, SAMN theo S0

b) TÝnh tØ sè diƯn tÝch cđa ACD vµ BCD. ABD vµ BCD
c) Suy ra diƯn tÝch BCD theo S0

Híng dÉn

a) Ta cã AM=mAB ; BM=(1-m)AB

SBMC= (1 ) . ( , ) (1 ) 0
2

1
)
,
(
.
2
1

S
m
AB

C
d
AB
m
AB

C
d

MB    

0
)
,
(
.
2
1
)
,
(
.
2
1

nS
AC
B
d
nAC
AC

B
d
AN

SABN   

0
.

)
,
(
.
2
1
)
,
(
.
2
1

mnS
S

m
AB
N
d
mAB
AB

N
d
AM

SAMN    ABN 

b) Gọi AK,BH tơng ứng là hai đờng cao của hai tam giác ACD và BCD

Ta cã m

m
BM
AM
BL

AK





1

m
m
BL
AK
CD
BL

CD
AK
S

S

BCD
ACD






1
.

2
1

.
2
1

T¬ng tù

m
m
n
n

S
S

n
n

m
m
S

S
S
S

S
S

n
n
S

S

BCD
BCD

ABD
ACD

BCD
ABD

1
1
1
1

1
1

0
0

Bài 5 Cho M tùy ý trong tam giác ABC; AM,BM,CM lần lợt cắt BC,CA,AB tại A,B,C. C/m 1
'

'
'






CC
MC
BB

MB
AA

MA

Ta cã

ABC
MBC

S
S
BC
AK

BC
MH
AK

MH
AA

MA






.
2
1

.
2
1
'

.T¬ng tù

ABC
MAB
ABC

MAC

S
S
CC
MC
S

S
BB
MB

'
'
;
'

=> ' ' ' 1
MC

MC
MB

MB
MA

MA

Bài 6 Trên cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lần lợt lấy các ®iÓm M,N,P sao cho k
PA
CP
NC
BN
MB
AM




a) BiÕt SABC=S0.TÝnh SMNP theo S0 vµ k

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

k
k
k
k
BN

BC

BM

BA
S

S

BMN

ABC  . (1 )(1 1)( 1)2

T¬ng tù

k
k
S

S
k
k
S

S

AMP
ABC
NPC

ABC

2 ( 1)

;
)
1

( 




 => SMNP = S0-SBMN –SNPC –SAMP =S0- 2

2
0
0

2 ( 1)

)
1
(

)
1
(
3






 k

k
k
S
S
k

k

b) XÐt hµm sè 2

2
)
1
(

1
)

(







k
k
k
k
f

Bài 7 Qua O trong tam giác ABC kẻ các đờng thẳng song somg với các cạnh của tam giác ABC. Các đờng thẳng này
chia tam giác thành 6 phần trong đó có 3 tam giác lần lợt có diện tích là S1,S2,S3. Tính SABC theo S1,S2,S3

Ta cã

AB
AR
AC
AS
AB
AR
AC

AS .




 .Mµ

AB
PR

AC
PO
R

A
PR
AR
AC

AB
PO
AR

PR
AS
PO






.
.

AB
PR

S
S
AB

PR
AC
AB

PO
PR
S
S






 2 1

1 ( )

.
.

AB
AP
AB
OM
S

S
AB

OM
S

S





 2 2

2 ( ) => 2

3
2
1
3

2
1

)
(

1 S S S S

AB
RB
PR
AP
S

S
S
S












AB
RP
AB
ON
S
S
AB

ON

S





 2 3

3 ( )

Bµi 8: Cho tam giác ABC có diện tích S0 =1.Trên các cạnh BC,CA,AB lấy các điểm M,N,P sao cho

3
2

1; ; k

PB
PA
k
NA
NC
k
MC
MB




 (k1,k2,k3 <1). TÝnh diƯn tÝch S cđa tam giác tạo bởi các đoạn thẳng Am,BN,CP yheo

k1,k2,k3

Ta có

1 2

2
2

0 








k
k
S

k

k
CA
CN
S

S

BCN
BCN

BN
BF
S

S

BCN
BCF



¸p dơng đ/l mênelaus vào tam giác ABN cát tuyến PFC ta cã

3
2
2

2
2

.
1

1
.

1
1

.
.

k
k
k

k
BN

BF
k

k
k
FN

FB
PB

PA
CA
CN
FN

FB










3
2
2

1 k k k
k
SBCF




 T¬ng tù

2
1
1

1
3

1
;

1 k k k

k
S

k
k
k

k

SACI ABE









VËy S= 1-( )

1
1

1 3 3 1

3
3

2
2

1
1

k
k
k

k
k

k






Bài 9 : Cho tam giác ABC ,M là điểm tùy ý trong tam giác .Xác định vị trí của M sao cho tổng MA+MB+MC đạt giá trị
bé nhất

Hớng dẫn : Xét phép quay tâm B góc quay 600 C=>C’ M=> M’
 MBM’ là tam giác đều => BM=MM’(1)

Ta l¹i cã CM=>C’M’ suy ra CM=C’M’ (2)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Dấu ‘=’ xảy ra  A,M,M’,C’ thẳng hàng .Khi đó (MC,M’C’)=600=> ^BMC=1200
Vì MC=>M’C’ mà ^AMB=1200=>^AMC=1200

Vậy ^BMC=^AMB=^AMC=1200 .d đó M là giao của 3 cung chứa ngóc 1200 dựng trên 3 cạnh của tam giác ABC

Bài 10: Cho tam giác ABC ,M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác ABC.Các đờng thẳng AM,BM,CM lần lợt
cắt BC,CA,AB tại A1,B1,C1.Xác định vị trí của M để diện tích tam giác A1,B1,C1 lớn nhất

§Ỉt S SABC,S1 SMBC,S2SMAC;S3 SMAB

Ta cã

MC
MC
S

S

S
MB
MB
S

S
S

MA
MA
S

S
S
AA

MA
S

S

1
3

3
1
2

1
1

; 











)
(

)
.(

)
)(

)(
(

.
.

. 3 3

3
2

3
2
1
3

2
2
1
1
1

1
3

1
1
1

1 S S k S S

S
S
S
S
S
S

S
S
S
S

S
S

S
S
S

S
S

MB
MB
MA
MA
S

S

B
MA
B

MA


















T¬ng tù SMB1C1 k(S S1);SMA1C1 k(S S2) SA1B1C1 2kS

VËy SA1B1C1 lín nhÊt khi k lín nhÊt víi

)
)(

)(

( 1 2 3

3
2
1

S
S
S
S
S
S

S
S
S
k







Theo cosi cã

)
(
2
1
2

2
3

1
3
1

1
2

2
3

3
2

1
2
1

S
S
S






Suy ra

8
1
)

)(
)(

(
8

3
2

1
3

1S S  S S S S S S  k
S

DÊu ‘=’ x¶y ra khi

8
3
2
1

S
S
S

S    ,Khi M là trọng tâm tam giác ABC

Bi 11 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a,b,c.Đờng trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với 3 cạnh tại A1,B1,C1
Chứng minh : a) Chu vi tam giác A1B1C1 không vợt quá nửa chu vi tam giác ABC

b)

3
3

1
.

.OA2bOB2cOC2 
a

OAOBOC

(O là tâm ng trũn ni tip)
Hng dn

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

áp dụng đ/l hàm số sin cho tam giác AB1C1 ta có a1=OA sinA=2OA sin

2
2
1

)
(

2
cos
1
)

(

2
sin
)
(

2
sin
)
(
2
2
sin
.

2
2
cos
.
2

2
2
2

1 bc

a
c

b
a

c
b
A
a

c
b
A
a
c
b
A
a
p
A
AO
AC
OA
A

A




























2
4

)
(
)

(
4

)
)(

)(
)(

(
4

)
(
)

(

2
2
2

2 bc

bc
c
b

bc

b
a
c
a
c
b
bc

a
c
b
b
c
a
c
b
a
a
c
b
bc

c
b
a
a
c

b                    dÊu

‘=’ x¶y ra khi a=b=c

Tơng tự xét các tam giác cân BA1C1,CA1B1 có

2
;

2 1
1

ab
c

ac

b   c¸c dÊu ‘=’ x¶y ra khi a=b=c

Suy ra

2
2

2
2
2
2

1
1

c
b
a
c
b
c
a
b
a
bc
ac
ab
c

b

a   













 dấu ‘=’ xảy ra khi tam giác ABC đều

b) áp dụng đ/l hàm số sin cho tam giác BOC cã

2
cos

2
sin
2

cos
2

sin
2

sin A

B
a
OC
A

a
C
B
BC

B

OC








T¬ng tù

3
3

1
.
2

tan
2
tan
2
tan
.

.
2

cos
2
sin
.
;

2
cos

2
sin

abc
C
B
A
abc
OC
OB
OA
C

A
c
OB
B

C
b

OA    

Theo cosi ta cã 2 2 2 3 2 2 2

3 2 2 2

2
2

.
3

1
.

.
.

1
.

3
.

.
.

OC

OB
OA
abc
OC

c
OB
b
OA
a
OC
OB
OA
abc
OC

c
OB
b
OA

a 









3
3
.
27
27

)
.
.

.
.
(

.
27

1
)

.
.

.
(

1 3

2
2

2
2
3

2
2

2 abc

abc
abc

OAOBOC
OC

c
OB
b
OA
a

OC

OB
OA
OC

OB
OA
abc
OC

c
OB
b
OA

a        



3
3

. 2 2 2 






cOC
bOB

OA
a

OAOBOC

dÊu ‘=’ x¶y ra khi a=b=c

Bài 12 Cho tam giác ABC ,M là một điểm di động trong miền trong tam giác .A’,B’.C’ là hình chiếu vng góc của M
xuống BC,CA,AB.Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể có của diện tích tam giác A’B’C’

Híng dÉn .sin .. sin .sin ' ' '

2
1
'
'
'
sin
'.
'
'.
'
2
1
'
'

' C B C A B C A MA A MB B BC A

SABC  

Ta có <B’C’A’=<MBD.áp dụng đ/l hàm số sin đối với tam giác MBD suy ra MB.sinB’C’A’=MB.SinMBD=MD.sinD

=MD.sinC.Do đó ' ' ' 2 2 3 2 2

4
4
1
.

sin
.
sin
.
sin
2
1
.

.
sin
.
sin
.
sin
2
1

OM
R

R
abc
OM

R
C
B
A
MD

MA
C
B
A

SABC     

= 2

1
4

R
OM

SABC  Vì OMR nên SA’B’C’ đạt GTLN = SABC
4
1

</div>

dientichtisodientichHSG

Bài1

.

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>EA</i>

<i>EC</i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>EA</i>

<i>EC</i>

<i>S</i>

<i>S</i>



























<i>c</i>

<i>a</i>

<i>ON</i>

<i>EO</i>

<i>ON</i>

<i>EO</i>

<i>ON</i>

<i>EO</i>

<i>OM</i>

<i>EP</i>

<i>ON</i>

<i>EO</i>

<i>NO</i>

<i>M</i>

<i>d</i>

<i>EO</i>

<i>P</i>

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>ON</i>

<i>NO</i>

<i>M</i>

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>EO</i>

<i>EO</i>

<i>P</i>

<i>d</i>

<i>a</i>





























)

(

.

.

)