<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS. Trần Huyên

Ngày 8 tháng 4 năm 2005

Bài 10. Các Bài Toán Về Iđêan Và

Vành Thương

Indêan trong vành có vai trị tương tự như ước chuẩn ở trong nhóm, giúp hình thành nên cấu
trúc vành thương.

Cho vành X, bộ phận I 6= ø trong X được gọi là một idêan nếu I ⊂v _X _{đồng thời thỏa mãn}

điều kiện:∀x∈X, ∀a∈I thì ax, xa ∈I (*).

Điều kiện sau cùng (*) có thể được gọi là điều kiện hút hai phía (tức phần tử x ∈ X dù
"dính" bên trái (xa) hay "dính" bên phải (ax)) với các phần tử a ∈I thì bị "hút" vào trong I
!)

Khi I là idean của X (Kí hiệu : I _CX) thì tập thươngXI ={x+I :x∈X} được trang
bị các phép tốn (xác định hợp lí ! ) sau :

• Phép cộng : (x1+I) + (x2+I) = (x1+x2) +I.

• Phép nhân : (x1 +I)(x2+I) =x1x2+I,

sẽ trở thành một vành, gọi là vành thương của vành X theo idean I và kí hiệu là (XI; +, .)
hay đơn giản hơn : XI.

Nếu X là vành giao hốn thì XI giao hốn

Nếu X là vành có đơn vị 1 thì XI có đơn vị là 1 + I. Tuy nhiên, nếu X khơng có ước của
0 thì XI nói chung khơng được thừa kế vơ điều kiện tính chất nói trên của X (độc giả hãy
thử suy nghĩ xem, lí do vì sao?)

Các bài tốn về inđêan và vành thương thường gặp trước hết là các bài toán kiểm tra một bộ
phận nào đó của một vành cho trước là iđêan và mơ tả cấu trúc của vành thương theo iđêan
đó.

Để kiểm tra một iđêan ta dùng tiêu chuẩn iđêan được phát biểu như sau :
Cho vành X, tậpI 6= ø trong X là iđêan của X khi và chỉ khi :

∀a, b∈I : a−b∈I

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1. Ví dụ 1 : Cho các tập số phức sau :

Z(

√

−5) =a+b√−5 :a, b∈_Z

I =5a+b√−5 :a, b∈_Z

(a) Chứng minh rằng _Z(√−5)là vành với hai phép cộng và nhân thông thường các số
phức vàI _C_Z(√−5).

(b) Chứng minh rằng vành thương _Z(√−5)/I là trường.

Giải:

(a) Chúng tôi dành cho độc giả dùng tiêu chuẩn vành con để kiểm tra
Z(

√

−5)⊂v ₍_C_{; +;}_._{), và do đó}_Z₍√−₅₎_{là một vành.}

Để kiểm traI_C_Z(√−5), ta có :

• ∀5a1+b1

√

−5, 5a2+b2

√

−5∈I :
(5a1+b1

√

−5)−(5a2+b2

√

−5) = 5(a1−a2) + (b1−b2)

√

−5∈I

• ∀a+b√−5∈_Z(√−5), ∀5c+d√−5∈I :

(a+b√−5)(5c+d√−5) = 5(ac−bd) + (5bc+ad)√−5∈I và
(5c+d√−5)(a+b√−5) = (a+b√−5)(5c+d√−5)∈I

Vậy I là iđêan của_Z(√−5).
(b) Ta có vành thương :

Z(

√

−5)/I ={(a+b√−5) +I :a, b∈_Z}

={a+I :a∈_Z} (vì b√−5∈I)
={0 +I; 1 +I; 2 +I; 3 +I; 4 +I}

Dễ thấy _Z(√−5)là vành giao hốn, có đơn vị nên vành thương _Z(√−5)/I là vành
giao hốn, có đơn vị. Ta cịn phải chứng tỏ bất kì phần tửm+I 6= 0 +I trong vành
thương là có nghịch đảo. Thật vậy khi đómlà số khơng chia hết cho 5 và do 5 là số
nguyên tố nên(m,5) = 1. Tức tồn tại các số nguyênk và t mà km+ 5t= 1, và như
vậy tồn tại phần tử(k+I) mà :

(m+I)(k+I) = km+I

= 1−5t+I

= 1 +I

tức (k+I) = (m+I)−1.

Vậy _Z(√−5)/I là trường.

Nhận xét :Để kiểm tra vành thương_Z(√−5)/I là trường ta đã dùng định nghĩa trường
để kiểm tra. Sau này ta cịn có thể khẳng định điều trên nhờ vào việc chỉ ra I là iđêan
tối đại của _Z(√−5). Ta cũng có thể khẳng định điều đó nhờ việc thiết lập một toàn cấu

ϕ : _Z(√−5) −→ _Z5, với Z5 là trường, mà kerϕ = I. Để đưa các ví dụ tiếp theo, trước

hết ta nhắc lại và định nghĩa về iđêan nguyên tố, iđêan tối đại.

Định nghĩa : Cho X là vành giao hốn có đơn vị 1.

Inđêan I_CX được gọi là iđêan nguyên tố nếu xy∈I thì hoặc x∈I hoặc y∈I.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

trong bất kì iđêan thật sự nào khác I. (Nói cách khác nếu có J_CX mà J ⊃I thì hoặc

J =X hoặc J =I).

Về các iđêan nguyên tố và iđêan tối đại của một vành X giao hốn có đơn vị, chúng ta
có thể cho một định nghĩa khác tương đương, thể hiện trong ví dụ sau.

2. Ví dụ 2 : Cho X là vành giao hốn có đơn vị 1. Chứng minh rằng, nếuI_CX thì :

(a) I là iđêan nguyên tố ⇔ vành thương X/I là miền nguyên.

(b) I là iđêan tối đại ⇔X/I là trường.

Giải :

(a) Bởi XI là vành giao hoán có đơn vị nên các điều kiện định ra ở trên có thể rút
gọn hơn như sau :

I là iđêan ngun tố ⇔XI khơng có ước của0

Thật vậy : I là iđêan nguyên tố ⇔ xy ∈ X thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I ⇔

(x+I)(y+I) = xy+I = 0 thì x+I = 0 hoặc y+I = 0⇔ XI khơng có ước
của 0.

(b) Tương tự nhận xét trên, do XI là vành giao hốn có đơn vị nên điều cần chứng
minh có thể rút gọn như sau :

I là iđêan tối đại⇔ mọi phần tử a+I 6= 0 là khả nghịch. Thật vậy : I là iđêan tối
đại ⇔ ∀a /∈I thì iđêan

J =< I, a >=I+aX =X

⇔ ∀a /∈I :1∈I+aX

⇔ ∀a /∈I,∃b ∈X :1∈ab+I

⇔ ∀a+I 6= 0,∃b+I :(a+I)(b+I) = ab+I = 1 +I

⇔ ∀a+I 6= 0 đều khả nghịch (đpcm).

Các kết quả trongví dụ 2cho ta các tiêu chuẩn kiểm tra một iđêan là tối đại hay nguyên
tố thông qua việc xem xét vành thương theo chúng là trường hay miền nguyên.

3. Ví dụ 3 : Cho các tập các ma trận nguyên cấp hai sau :

X =

m n
n m

:m, n∈_Z

và :

A=

m −m

−m m

:m ∈_Z

Chứng minh rằngX là vành giao hốn có đơn vị và A là iđêan nguyên tố của vànhX.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Để kiểm tra X là vành ta dùng tiêu chuẩn vành con để kiểm tra

X ⊂v _M₂_{, trong đó}_M₂ _{là vành các ma trận thực cấp hai. Đơn vị của}_X _là_E ₌

1 0
0 1

∈

X. Tính giao hốn của phép nhân trong X có thể kiểm tra trực tiếp. Mọi tính tốn chi
tiết phần nói trên xin dành cho độc giả.

Ta kiểm traA _CX :

• ∀

m −m

−m m

,

n −n

−n n

∈A:

m −m

−m m

−

n −n

−n n

=

(m−n) −(m−n)

−(m−n) (m−n)

∈A
• ∀

m n
n m

∈X, ∀

k −k

−k k

∈A

m n
n m

k −k

−k k

=

k −k

−k k

m n
n m

=

k(m−n) −k(m−n)

−k(m−n) k(m−n)

∈A

Vậy A là iđêan.

Việc kiểm tra A là iđêan nguyên tố, ta có thể tiến hành theo định nghĩa hoặc theo tiêu
chuẩn có được từ ví dụ 2.

Nếu theo định nghĩa ta có :

• Cách 1 : Nếu

m n
n m
k l
l k

=

mk+nl ml+nk
ml+nk mk+nl

∈A

thì

mk+nl=−(ml+nk)

⇔ mk+ml+nl+nk= 0

⇔ (m+m)(k+l) = 0

⇔ [ m+n = 0

k+l= 0

⇔ [ m =−n

k=−l

⇔ hoặc

m n
n m

∈A
hoặc

k l
l k

∈A

Tức A là iđêan nguyên tố.

Nếu theo tiêu chuẩn từví dụ 2, ta cần kiểm tra XA là miền ngun thì :

• Cách 2 :

Hiển nhiênXAlà vành giao hốn có đơn vị. Ta chỉ cịn phải kiểm traXA khơng
có ước của 0. Để ý rằng mỗi phần tử củaXcó thể viết dưới dạng :

m+k −m

−m m+k

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

nên mỗi phần tử củaXA có thể viết dưới dạng :

k 0
0 k

+A . Vì vậy nếu :

k 0
0 k

+A l 0

0 l

+A

= 0
⇒

kl 0
0 kl

∈A

⇒kl = 0

⇒[ k = 0

l = 0

⇒

k 0
0 k

+A= 0 hoặc

l 0
0 l

+A= 0

Vậy XA khơng có ước của 0 ; Do vậyA là iđêan nguyên tố.

4. Ví dụ 4 : Cho các tập các ma trận cấp hai sau :

X =

a b
b a

:a, b∈_R

và
A =

a a
a a

:a∈_R

Chứng minhX là vành giao hốn có đơn vị (với phép toán cộng và nhân ma trận) và A

là iđêan tối đại của X.

Giải :

Việc kiểm traX ⊂v _M₂ _với _M₂ _{là vành các ma trận thực cấp hai,}_X _{là vành giao hốn có}

đơn vị E =

1 0
0 1

∈X xin được giành cho độc giả.
Ta kiểm traA _CX :

• ∀

a a
a a

,

b b
b b

∈A :

a a
a a

−

b b
b b

=

a−b a−b
a−b a−b

∈A.
• ∀

a b
b a

∈X, ∀

c c
c c

∈A ta có :

a b
b a
c c
c c

=

c c
c c
a b
b a

=

c(a+b) c(a+b)

c(a+b) c(a+b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vậy A là iđêan

Để chứng minhAlà iđêan tối đại ta dùng định nghĩa. NếuB _CX, B 6=Avà B ⊃A

thì ta phải chứng minh B = X. Vì B 6= A, ắt tồn tại phần tử

c d
d c

∈ B mà

c6=d. VìB ⊃A nên phần tử

d d
d d

∈A⊂B, do đó :

c d
d c

−

d d

d d

=

c−d 0
0 c−d

∈B

(với c−d6= 0)
VìB là iđêan nên

c−d 0
0 c−d






1

c−d 0

0 1

c−d





 ∈B

hay

1 0
0 1

∈B, do vậy B =X. Tức A tối đại.

Nhận xét : Ta cũng có thể chứng minh A tối đại bằng cách kiểm tra XA là
trường. Để ý rằng mỗi phần tử khác0 của XA có dạng

a 0
0 a

+A với a6= 0 ;

và do vậy nó có nghịch đảo là





1

a 0

0 1

a




+A

BÀI TẬP

1. ChoX là vành và n là số nguyên cho trước và cho A ={x∈X :nx= 0}. Chứng minh

A_CX

2. Chứng minh rằng trong vành giao hốn có đơn vị, mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên

tố.

Chứng minh rằng trong vành _Zn vành các số nguyên modul n, mọi iđêan nguyên tố đều

là iđêan tối đại.

3. Cho các tập các ma trận cấp hai sau :

X =

a 0
0 b

:a, b∈_R

và

0 0

a 0

:a∈_R

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

4. Cho vànhX =

m n
n m

:m, n∈_Z

trong ví dụ 3 và

A=

m 5n−m

5n−m m

:m, n∈_Z

Chứng minh rằngAlà iđêan tối đại của X. Tìm

tất cả các iđêan tối đại của X? Tìm tất cả các iđêan nguyên tố nhưng không tối đại của

X.

5. Cho vành X =

a b
b a

:a, b∈_R

</div>

<!--links-->