on tap hh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (155.12 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

I.Phương pháp

Để vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P).

Bước 2: Biện luận:

- Nếu hệ vơ nghiệm, khi đó

   

d  P  

   

d // P .

- Nếu hệ có nghiệm duy nhất, khi đó

   

d  P {A}có tọa độ nghiệm của hệ.
- Nếu hệ có vơ số nghiệm, khi đó

 

d 

 

P .

II. Bài tập.

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:

 

:

2 1 0

,

 

:

2

3 12 0

3

2 1 0

x y

d

P x

y

z

y

z





















Bài 2: Chứng tỏ rằng

 

d 

 

P , biết:

 

: 3

2 12 0 ,

 

:

1

6

3 y

z

P

x

y z

d

x





 





Bài 3: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

 

:

0  

:

3 0

3

2 7 0

x y

P x y z

d

x

z

 





  









a.Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và (P). b. Lập ptđt d1 qua A và vng góc với (d) và nằm trong (P)
Bài 4: Biện luận theo hàm số m vị trớ tương đối của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) biết:

 

:

2 1 3

0  

:

1 0

,

.

2 0

x y

P m x

y z

m

d

t R

x y z

 







  









 





Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

 

: 2

5 0

 

:

3

2 4 0

2 7 0

x y

z

P

x my z

d

x y

z

 









 















Tìm M đê: a/ (d) // (P) b. d  (P)

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

I.Phương pháp

Với 2 đờng thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

1 1 1

:

x x

y y

z z

d

a

b

c





 có vtcp u 1(a1,b1,c1) và đi qua M1(x1,y1,z1),

 

2 2 2

:

x x

y y

z z

d

a

b

c





 có vtcp u2(a2,b2,c2) và đi qua M2(x2,y2,z2),
để xét vị trí tương đối của (d1) và (d2) ta sử dụng các kết quả sau:

a.(d1) và (d2) đồng phẳng







u u

,





.

M M

1 2



0  



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



- (d1) và (d2) cắt nhau

1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

,

.

0 : :

:

u u M M

a b c







 







  

-(d1) và (d2) song song với nhau a b c1: :1 1a b c2: 2: 2 



x1 x2

 

: y1 y2

 

: x1 x2



- (d1) và (d2) trùng nhau a b c1: :1 1 a b c2: 2: 2 



x1 x2

 

: y1 y2

 

: x1 x2



b. (d1) và (d2) chéo nhau







u u

,





.

M M

1 2



0   

Như vậy, với yêu cầu “ xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2)” thuật toán được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Thực hiện:

- Với đường thẳng (d1) chỉ ra vtcp u1



và điểm M1(d1).
- Với đường thẳng (d2) chỉ ra vtcp u2



và điểm M2(d2).
Bước 2: Kiểm tra:

- Nếu u u M M  1, ,2 1 2 cùng phương thì kết luận (d1) và (d2) trùng nhau.

- Nếu u1,u2 cùng phương và không cùng phương với M M 1 2 thì kết luận (d1) và (d2) song song với nhau.
- Nếu u1,u2 không cùng phương thực hiện bước 3.

Bước 3: Xác định u u1, 2.M M1 2

  

, khi đó:
- Nếu





u u

,





.

M M

1 2



0   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Nếu





u u

,





.

M M

1 2



0   

thì kết luận (d1) và (d2) chéo nhau.

II. Bài tập.

Bài 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2), biết:

 

1

2

5

7 :

2 3 ,

,

:

1

3

4

3 x

t

x

y

z

d

y

t t R

d

z

t

 









 









 





 

1 0

1

2 :

,

:

4 1 0

1

4 x y

x

y

z

d

y z

 











  





Bài 2: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2), biết:

 

1

2

4 :

,

:

2

1

3 2 3

x

t

x

y

z

d

y

t

z

t

 



















  



 

2

1

2 :

2 ,

:

3 2

3

1

3 x

t

x u

d

y t

d

y

u

z

u

z

t





 





 

 





 

  



Bài 3: Chứng minh rằng 2 đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau, biết:

 

2 1

2 :

2 ,

:

1 2,

1 3 1

x

t

x u

d

y t

t R d

y

u R

z u

z

t





 





 



 







 

  



Bài 4: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

1

2

4 :

,

1

3

2 x

t

x

y

z

d

y

t

t R

z

t

 





















  



a. Chứng minh rằng (d1) và (d2) cắt nhau.

b. Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng (d1) và (d2)
Bài 5: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

2 1 0

3 3 0

:

1 0

2 1 0

x y

x y z

d

x y z

x y

  

 

 







 





 



a.Chứng minh rằng (d1) và (d2) cắt nhau.

b.Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng (d1) và (d2)

Bài 6: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

0

2 :

1 ,

:

1 ,

1

0 x

u

d

y

t R

d

y

u R

z

t

z



 

















 







a.Chứng minh rằng (d1) và (d2) cắt nhau.

b.Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2).

Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

7

5

9

4

18 :

,

:

3

1

4

3

1

4 x

y

z

x

y

z

d











d











a. Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) song song với nhau. b. Lập phương trình đường thẳng chứa (d1) và (d2).

c. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

Bài 8: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

3

2 3 0

:

1 ,

:

4 0

5 x

t

x

y

d

y

t

t R

d

y z

z

t

 





 





 







 



  



a. Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) song song với nhau. b.Lập phương trình đường thẳng chứa (d1) và (d2).
c. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

Bài 9: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

2

0

1

2

3 :

,

:

2

3 5 0

1

2

3 x

y z

x

y

z

d

x

y

z

























a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau. b. Lập ptmp (P) song song và cách đều (d1) và (d2).
Bài 10:Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

1

2

3 9 0

:

4 2 ,

,

:

2

3 x

y

d

y

t t R

d

z

t















 









  



a. Chứng minh rằng 2 đt (d1) và (d2) chéo nhau. b. Lập phương trình đường vng góc chung của (d1) và (d2).
Bài 11: Cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

 

3 0

2 9 0

:

1 0

x y z

x

y

z

d

y z

  





 





 



  



a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau và vng góc với nhau.
b. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều (d1) và (d2).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG- MẶT PHẲNG

ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG

I. PPháp:

Để tìm điểm M thuộc mp (P) thỏa mãn đk K ta lựa chọn một trong 2 cách sau:

* Sử dụng pt ban đàu của mp

* Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đường (d), khi đó (P) cắt (d) tại M

II.Bài tập:

1/ Cho 2 điểm A(0;0;-3) B(2;0;-1) và mp (P) có pt: 3x – 8y + 7z – 1 = 0

a. Tìm tọa độ giao điểm I của đt đi qua 2 điểm A, B với (P)

b. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

2/Cho điểm A(3;3;0) và (P) có pt: x + 2y – z – 3 = 0 . Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của A

lên (P)

3/ Lập pt hình chiếu vng góc của đt (d) lên mp (P), biết (d):

2 0

; ( ) :

4 7 0

4 2 0

x y

P x

z

y z











 



 





4/ Lập pt hình chiếu vng góc của đt (d) lên mp (P), biết

2

4

3 ( ) :

; ( ) :

3

2 6 0

3

1

3 x

y

z

d











P x



y



z







5/ Cho đt (d) và (P):

( ) :

2

1 ; ( ) : 2

8 0

2

3

5 x

y

z

d











P

x y z

  



a/ Chứng tỏ (d) cắt (P) và khơng vng góc với (P), từ đó xác định tọa độ giao điểm I của (d) và

(P)

b/ Lập pt đt (d

) là hình chiếu vng góc của (d) lên (P).

6/ Cho họ đt (d):





mx y mz

x my z m



 

1 0



0  







. Viết pt hình chiếu vuong góc (d

) của đt (d) lên mp(xOy).

7/ Cho điểm A(2;3;-1) và 2 mp (P) và (Q) có pt:

(P): 2x – y – z – 5 = 0 (Q): x + y + z – 7 = 0

a/ Xác định tọa độ các điểm B, C theo thứ tự là các điểm đối xứng của A qua (P) và (Q)

b/ Tìm diện tích tam giác ABC

8/Cho (P): 2x+y-z+4=0. Lập pt dt d

đối xứng với d qua (P) biết

a/ (d):





x

y z



2 y

 

2 0

4 0

 





b/(d):

3

2

5 x

t

y

t

z

t







 



 



c/ (d):

3

1

5

0

4 x



y



z





9/ Cho 2 điểm A(1;1;2); B(2;1;-3) và mp (P) có pt: 2x+y-3z-5=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

AM+BM nhỏ nhất.

11/ Cho 2 điểm A(-1;3;-2); B(-9;4;9) và mp (P) có pt: 2x-y+z+1=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

AM+BM nhỏ nhất.

12/ Cho 2 điểm A(1;2;3); B(4;4;5).

a. Viết pt đt (AB). Tìm giao điểm P của nó với mp (xOy). CMR với mọi điểm Q



(xOy), biểu

thức

QA QB

có giá trị lớn nhất khi Q trùng P.

b. Tìm điểm M trên mp xOy sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ nhất.

ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

I

. Phương pháp

Để tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) thỏa mãn điều kiện K, ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: thực hiện theo các bước

Bước 1: chuyển pt đt (d) về dạng tham số:

 

:

,

x x

at

d

y

bt t R

z z

ct

















</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bước 2: Điểm M



(d), suy ra M(x

0

+at;y

0

+bt;z

0

+ct)

Bước 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M.

Cách 2: Sử dụng đk K khẳng định M thuộc đường (L), khi đó

   

d  L {M}

.

Bài tập

1/ Tìm điểm M trên Oy cách đều 2 mp (P

) và (P

), biết:

(P

): x+y-z+1=0 và (P

): x-y+z-5=0.

2/ Cho đt (d) có pt:

 

:

2

1

2

1

2

1 x

y

z

d













3/ Cho điểm A(1;2;-1) và đt (d) có pt:

 

:

3 0

1 0

x y z

d

y z

  







  



. Xác định tọa độ hình chiếu vng góc

của A lên đường thẳng (d).

4/Cho điểm A(2;3;-1) và 2 đt



1

 

, 2



có pt:









1

2 4 0

:

;

:

2 4 0

1 2

x

t

x

y z

y

t

x

y

z

t

 





 















 





 



  



a. Lập pt mp (P) chứa



1



và song song với



2



.

b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ H thuộc



2



sao cho độ dài MH ngắn nhất.

5/Cho điểm A(2;3;-1) và đt(d) có pt:

 

:

3

2

4

1 x

y

z

d





. Lập pt đt qua A vng góc với (d) và cắt (d).

6/ Cho 2 đt (d

), (d

):

 

3

2 1 0

:

;

:

1 2 ,

1 0

0 x

t

x y

d

y

t t R

x y z

z





  





 







 





 



a. (d

), (d

) có cắt nhau hay không?

b. Gọi B,C lần lượt là các điểm đối xứng của A(2;-4;-2) qua (d

), (d

). Tính diện tích



ABC.

7/ Cho 2 đt (d) và (d

) có pt:

 

2 4 0

1 :

;

:

1 0

2

1 x y

x

y

z

d

y z

 











 







. Lập pt đt (d

) đối xứng với (d

)

qua (d).

8/ Cho 2 điểm A(1;1;0); B(3;-1;4) và đt (d) có pt:

 

:

1

2

1

2 x

y

z

d













. Tìm điểm M trên đt (d)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

GĨC TRONG KHƠNG GIAN
I.Kiến thức cơ bản

1. Góc giữa 2 vectơ
Cho 2 vectơ a(a1,a2,a3),b



(b1,b2,b3) khác 0



. Gọi



là góc tạo bởi 2 vectơ a , b , ta có:
1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.

os =

a .

.

a b

b

c

b

a

b







 

2. Góc giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đt (d1),(d2), theo thứ tự có vtcp là a



(a1,a2,a3),b



(b1,b2,b3).Gọi



là góc tạo bởi 2 đt (d1) và (d2)

0

2 







 









, ta có:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.

os =

a .

.

a b

b

c

b

a

b







 

Chú ý: 1. Đk cần và đủ để (d1)  (d2)là: cos =0



 ya1 1b a b2 2a b3 3 0

2. Trong nhiều bài toán ta lại áp dụng kết quả sau của hình khơng gian, bằng cách thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm góc, ta đi tìm điểm I nào đó thỏa mãn:

 

//

IA

d

IB

d











. Khi đó g((d1), (d2)=AIBnếu đó là góc nhọn.
Bước 2: Tính góc: - Nếu biết được tọa độ của IA và IB thì sử dụng cơng thức.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vng hoặc dùng định lí cosin trong tam giác thường.
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho: - Mặt phẳng (P) có vtpt n(n1,n2,n3)
- Đường thẳng (d) có vtcp a(a1,a2,a3)

Gọi



là góc tạo bởi (d) và (P),



là góc giữa đt (d) và đt chứa vtpt n

0 ,

2 

 















thì





2 

sin cos





  , ta

có: 2 1 12 22 2 2 3 32 2

1 2 3 1 2 3

sin

.

a n

a

n







Chú ý: Đk cầnd để (d)//(P) (hoặc thuộc (P)) là sin



=0.
4. Góc giữa 2 mặt phẳng

Cho: - Mặt phẳng (P1) có vtpt n



(n1,n2,n3)
- Mặt phẳng (P2) có vtpt m



(m1,m2,m3) Gọi



là góc tạo bởi 2 mp (P1) và (P2)

0

2 







 









, ta có:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

os

.

m n

c

m

n







Chú ý: Đk cần và đủ để (P1)  (P2) là: cos =0



, hay m1n1+m2n2+m3n3=0.
1/ Xác định số đo góc giữa 2 đt (d1), (d2) có pt cho bởi:

 

1

2

4 :

;

:

,

2

1

3 2 3

x

t

x

y

z

d

y

t t R

z

t

 





















  



 

2

1

2 :

2 ;

:

3 2 ,

3

1 x

t

x u

d

y t

d

y

u u R

z

t

z

u





 





 

 







 









2/ Xác định số đo góc giữa đt (d) và mp (P) biết:

1 ; ( ) :

1 0

2 3

x

t

y

t

P x y z

z

t

 







   



  



3/ Xác định số đo góc giữa 2 mp (P) và (Q) biết:
(P): x+y+2z+4=0 và (Q): 2x+y+z+1=0

4/ Cho các điểm A(a,0,0), B(0,a,0),C(0,0,d), với a,d>0. Gọi A1,B1 theo thứ tự là hình chiếu vng góc của O xuống các đt
DA, DB.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b. Tính d theo a để gócA OB1 1 có số đo bằng 450
5/Cho 3 điểm H(

1

2

,0,0); K(0,

1

2

,0); I(1,1,

1

3

a. Viết pt giao tuyến của (HIK) với mp x+z=0 ở dạng chính tắc.
b. Tính cosin của góc phẳng tạo bởi mp (HIK) với mặt tọa độ Õy.
6/ Cho mp (P) với đt (d) có pt:

(P): x+2y-z+5=0 và

 

:

3

1

3

2 x

d



   

y

z

a. Tính tọa độ giao điểm (d) và (P).
b. Tính góc giữa (d) và (P)

c, viết pt hình chiếu vng góc của (d) lên (P).

d. Viết pt đt

 

 , nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) và vng góc với (d).
7/ Cho đt (d) và mp (P) có pt:

 

:

4

2 7 0

; ( ) : 3

1 0

3

7

2

0 x

y

z

d

P

x y z

x

y

z





 



 

 











a. Tính sin của góc giữa (d) và (P).

b. Hãy viết pt hình chiếu vng góc (d1) của (d) lên (P).
TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN

I Phương pháp

Với ABC trong không gian, yêu cầu thường được đặt ra là:

a. Lập pt đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
b. Lập pt đường cao kẻ từ đỉnh A.

c. Lập pt đường phân giác trong của góc A.
Để thực hiện các yêu cầu trên chúng ta thực hiện:

1. Với yêu cầu “ Lập pt đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A” ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh A và trung tuyến E của cạnh BC.

Bước 2: Khi đó pt trung tuyến (AE) đi qua A và E.

2. Với yêu cầu “ Lập pt đường cao kẻ từ đỉnh A”, ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H của A lên BC.
Bước 2: Khi đó pt đường cao (AH) đi qua A và H.

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập pt mp (ABC).

Bước 2: Lập pt mp (P) qua A và vng góc với BC.

Bước 3: Khi đó đường cáo (AH)= (ABC)(P).

3. Với yêu cầu “Lập pt đường phân giác trong của góc A”, ta có thể chọn 1 trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Gọi I là chân đường phân giác trong góc A lên cạnh BC, ta có:

1 .

:

1

B C

x

kx

x

k

y

ky

AB

IB

IC k

I

y

AC

k

z

kz

z

k



















 























Bước 2: Pt đường phân giác (AI) được xác định bởi:



AI



:

qua A

vtcp AI













Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (Phân tích): Trên AC lấy 1 điểm C1 thỏa mãn:
AB=AC1 (1)

C,C1 cùng phía với A

AC

k AC

AB

k

AC







 









(2)

Suy ra  ABC1 cân tai A, do đó đường phân giác trong của góc A của ABC cắt BC1 tại M là trung điểm của BC1. Vậy
đường phân giác trong của góc A chính là đờng cao (AM).

Bước 2: (Dựng): Điểm C1(AC), có tọa độ C1 thỏa mãn pt tham số AC.
Giải (2) và (1) C1  M  AM

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bước 3: Pt đường phân giác (AM) được xác định bởi:



AM



:

qua A

vtcp AM













Cách 3: Lấy

,

AC

AB

AC

u

v

AB





Bước 1: Khi đó u v  là vtcp của phân giác trong góc A

Bước 2: Viết (d),

 

d

:

qua A

vtcp u v













 

1/ Cho ABC, biết A(1,2,-1), B(2,-1,3), C(-4,7,5).

a. Lập pt đường trung tuyến kể từ đỉnh A.
b. Lập pt đờng cao kẻ từ đỉnh A.

c. Lập pt đường phân giác trong của góc B.

2/ Cho ABC, biết C(3,2,3) và pt đường cao AH, đường phân giác trong BM của góc B có pt

2

3

1

4

3 ;

1

2

1

2

1 x



y



z



x



y



z







. Tính độ dài các cạnh của ABC.

KHỐI ĐA DIỆN
I. Phương pháp

Để thực hiện các bài toán về khối đa diện được cho dưới dạng tọa độ, ngoài việc sử dụng thành thạo các kiến thức hình giải
tích trong khơng gian chúng ta cũng cần sử dụng thêm 1 số kiến thức của hình học trong khơng gian để có được lời giải ngắn
gọn.

1/Cho hình tứ diện ABCD, biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8). Tính độ dài đường cáo hình tứ diện
xuất phát từ D.

2/ Cho tứ diện ABCD, biết A(4,1,4); B(3,3,1), C(1;5;5), D(1,1,1).

a. Tìm hình chiếu vng góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b. Lập pt tham số đt vng góc chung của AC và BD.

3/ Cho hình tứ diện có 4 đỉnh: O(0,0,0), A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8).
a. CMR SB vng góc với OA.

b. CMR hình chiếu của cạnh SB lên mp(OAB) vng góc với cạnh OA.Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA.
Hãy xác định tọa đô9j của K.

c. Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa các cạnh SO,AB. Tìm tọa độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.

4/ Cho tứ diện SOAB, với OAB đều thuộc mp (xOy) có cạnh bằng a, đt AB song song với trục Oy, điểm A thuộc góc phần

tư thứ nhất của mo (xOy) và điểm S(0,0,

3 a

)

a. Hãy xác định tọa độ của các điểm A,B và trung điểm E của đoạn OA, sau đó viết pt của mp (P) chứa SE và song song
với Ox.

b. Tính khoảng cách từ O đến (P), từ đó suy ra khoảng cách giữa Ox và SE.
MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I. Định nghĩa

Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách 1 điểm I cố định 1khoảng bằng R, gọi là mặt cầu tâm I bán kính R.
II. Phương trình chính tắc của mặt cầu.

Định lí 1: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R có pt:

(S): (x-2)2+(y-b)2(z-c)2=R2. Vậy:

 

S

:

tam I a b c



, ,



  

C

:

x a





y b





z c



R

Bkinh R

























Chú ý: ta có:- mặt cầu tâm O bán kính R có pt x2+y2+z2=R2.
- Mặt cầu đơn vị có pt x2+y2+z2=1

III. Phương trình tổng qt của mặt cầu

Định lí 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt (S) có pt:x2+y2+z2-2xy-2by-2cz+d=0 với a2+b2+c2-d>0.
Là pt mặt cầu tâm I(a,b,c) và bán kính R= a +b +c -d2 2 2

Mở rộng: pt A(x2+y2+z2)-2Bx-2Cy-2Dz+E=0 với đk A0 và B2+C2+D2-AE>0 là pt của 1 mặt cầu.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I. Phương pháp

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển pt ban đầu về dạng x2+y2+z2-2xy-2by-2cz+d=0 (1)
Bước 2: Để (1) là pt mặt cầu điều kiện là a2+b2+c2-d0.

Bước 3:Khi đó (S) có thuộc tính:

Tam I a b c

( , , )

2 2 2

Bkinh R

a

b

c

d

















</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a. x2+y2+z2-2x-4y+9=0
b. x2+y2+z2-2x-2y-2z+2=0
c. 2x2+2y2+2z2-4x+6y-8z+4=0
d. x2+y2+2z2-2x-2y-2=0

2/ Cho họ mặt cong (Sm) có pt: (Sm): x2+y2+z2-4mx+4y+2mz+m2+4m=0.
a. Tìm đk của m để (Sm) là 1 họ mặt cầu.

b. CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên 1 đt cố định.
c. Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ (Sm).

3/ Cho họ mặt cong (Sm) có pt: (Sm): x2+y2+z2-2m2x+4my+8m2-4=0
a.Tìm đk của m để (Sm) là 1 họ mặt cầu.

b. CMR tâm của họ (Sm) luôn nằm trên 1 parabol (P) cố định trong mp Oxy, khi m thay đổi.

c. Trong mp Oxy, goi F là tiêu điểm của (P). Giả sử đt (d) đi qua F tạo với chiều dương của trục Ox 1 góc



và cắt (P) tại 2
điểm M,N.

- Tìm tọa độ trung điểm E của đoạn MN theo



.
- Từ đó suy ra quỹ tích E khi



thay đổi.
LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I. Phương pháp

Gọi (S) là mặt cầu thỏa mãn đk đầu bài. Chúng ta lựa chọn pt dạng tổng qt hoặc dạng chính tắc.
- Muốn có pt dạng tổng quát, ta lập hệ 4 pt với 4 ẩn a,b,c,d, đk a2+b2+c2-d0.

- Muốn có pt hệ chính tắc, ta lập hệ 4 pt có 4 ẩn a,b,c, R, đk R0.
Chú ý:

- Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ càng để lựa chọn dạng pt thích hợp.

- Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta cịn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác pt mặt cầu.
1/Lập pt mặt cầu trong các trường hợp sau:

a. Tâm I(2,2,-3) và bán kính R=3.

b. Đường kính AB với A(a1,b1,c1), B(a2,b2,c2 ).

c. Tâm I(1,2,-1) và đi qua điểm A(3,1,-1)

2/ Lập pt mặt cầu đi qua 2 điểm A(3,1,0), B(5,5,0) và tâm I Ox.

3/ Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(0,1,0), B(1,0,0) C(0,0,1) và tâm I nằm trên mp: (P): x+y+z-3=0
4/ Cho ABC có pt các cạnh là: (AB):

5 2 0

0 x

y

z













; (BC):

2

0 x t

y

t

z







 



 



; (AC):

8

1 1 0

x



y

z





a. Xác định tọa độ các đỉnh của ABC.

b. Lập pt mặt cầu (S) đi qua 3 điểmA,B,C và có tâm I thuộc mp(P): 18x-35y-17z-2=0.
5/ Lập pt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, biết S(3,1,-2), A(5,3,-1); B(2,3,-4); C(1,2,0)
6/ Cho diện tích ABCD với A(1,-4,3), B(1,0,5), C(0,3,-2), D(6,-1,-2).

a. Lập pt đường vng góc chung của AB và CD, từ đó tính khoảng cách giữa AB và CD.
b. Lập pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

7/ Cho mp (P) có pt: (P): 16x-15y-12z+75=0

a. Lập pt mặt cầu (S) có tâm là góc toạn độ, tiếp xúc với mp (P).
b. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mp (P) và mặt cầu (S).

c. Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua mp (P).

8/Cho đt (d) và mp (P) có pt:

 

:

1

2 ,( ) : 2

2 2 0

3

1 x

y

z

d









P

x y

 

z

 

a. Lập pt mặt cầu (S) có tâm nằm trên đt (d), tiếp xúc với mp (P) và có bán kính bằng 1.

b. Gọi M là giao điểm của (P) với (d), T là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mp (P). Tính độ dài đoạn MT.
9/ Lập pt mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với 2 mp (P1),(P2), biết:

 

:

0 ,

;

 

: 3

4 3 0,

 

: 2

2 39 0

1 x t

d

y

t R

P

x

y

P

x

y z

z













 











 



10/ Lập pt mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với 2 mp (P1),(P2), biết:

 

2

4 7 0

:

;

:

2 2 0,

:

2 4 0

4

5 14 0 ,

x

y z

t

d

P

x

y z

P

x

y

z

x

y z

t R





 













 





 







11/ Lập pt mặt cầu có bán kính R=3 và tiếp xúc với mp(P) có pt: (P): 2x+2y+z+3=0 tại điểm M (-3,1,1)
12/ Cho hình chóp SABCD, biết tọa độ S(0,0,2); A(4,2,0); B(-4,2,0); C(-1,-2,0) và D(1,-2,0)

a. Lập pt các mặt bên của hình chóp.

b. CMR điểm O cách đều tất cả các mặt bên của hình chóp.
c. Lập pt mặt cầu nội tiếp hình chóp

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

14/ Cho 3 điểm A(1,0,0); B(0,b,0);C(0,0,c), với a,b,c>0 và

1 1 1

a b c



=2.

a. CMR khi a,b,c thay đổi mp (ABC) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm diểm cố định đó.
b. Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

c. CMR





1

3

4  

r

2

3 1



15/ Lập pt mặt cầu có tâm thuộc đt (d) và cắt mp (P) theo diện tích là đường trịn lớn có bán kính bằng 4, biết:

 

:

1 0

,( ) :

0 2 0

x z

d

P y z

y

 

















16/ Cho mp (P) có pt: (P): 2x+2y+z=0. Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,3,2) và cắt mp (P) theo thiết diện
là đường trịn có bán kính bằng 1.

17/ Cho đt (d) và 2mp (P),(Q) có pt:

 

1 :

3 ,

;

:

2 3 0,

: 2

2 1 0

2 x

t

d

y

t t R

P x

y z

Q

x y

z

t

 





 





 

 







  



Lập pt mặt cầu có tâm tại giao điểm I của mp (P) và đt (d) sao cho mp (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình trịn (C) có:
a. Diện tích 16



b. Chu vi bằng 2



18/ Lập pt mặt cầu có tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc vơíe đt (d) có pt:

 

:

3 0

1 0

x y z

d

y z

  







  



19/ Cho 2 đt (d) và (), biết:

 

1 2

3 1 0

:

2 ;

:

3 7 0

3 x

t

x

y

d

y

t

x y z

z

t

 





 





 







 



 



Lập pt mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) tại điểm H(3,1,3) và có tâm thuộc ()

20/ Cho 2 đt (d1) và (d2), cho bởi:

 

1

2 :

2 ,

;

:

,

3

2 x

t

x

u

d

y

t t R

d

y u

u R

z

t

z

 







 











 







a. CMR (d1) và (d2) chéo nhau.

b. Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc đt (d), có pt:

 

:

2

6 x v

d

y

v t R

z

v













  



21/ Cho 2 đt (d1) và (d2), cho bởi:

 

1

2

1 :

;

:

0

1

2

0 x

y

z

x

y

z

d









d











a. CMR (d1) và (d2) cắt nhau.

b. Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc đt (d), có pt:

 

1 :

,

2 x

t

d

y t

t R

z

t

 











  



22/ Cho 2 đt (d1) và (d2), cho bởi:

 

3 2

:

1 ,

;

:

3 ,

5

1 x

t

x

u

d

y

t t R

d

y

u

u R

z

t

z

u

 





 



 







 



 



a. CMR (d1) và (d2) song song với nhau.

b. Lập pt mặt cầu tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc đt (d), có pt:

 

2 5 0

:

3 3 0

x y z

d

x

y z



 









 



23/ Lập pt mặt cầu tâm I(2,3,-1) cắt đt (d) có pt:

 

:

5

4

3 20 0

3

4 8 0

x

y

z

d

x

y z













 





tại 2 điểm A và B sao cho AB=16

24/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-4x-2y-2z+3=0. Lập pt mặt cầu (S

1) đối xứng với mặt cầu (S) qua điểm E(1,2,3).
25/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-2x-4y-2z+3=0. Lập pt mặt cầu (S

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

26/ Cho mặt cầu (S) có pt: (C):x2+y2+z2-2x-4y+2z-3=0. Lập pt mặt cầu (S

1) đối xứng với mặt cầu (S) qua đt (d):

3 0

1 0

x y z

y z

  







 





27/ Cho n điểm A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),…,An(xn,yn,zn) và n+1 số k1,k2,…,kn, k sao cho k1,k2,…,kn 0. Tìm tập hợp điểm M

sao cho: k MA1 12k MA2 22...k MAn n2 k.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU
I.Phương pháp

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định phương tích của M đối với mặt cầu (S) là PM/(S).
Bước 2: Kết luận:

- Nếu PM/(S) <0  M nàm trong mặt cầu.
- Nếu PM/(S) =0 M nằm trên mặt cầu.
- Nếu PM/(S) >0  M nàm ngồi mặt cầu.
Chú ý: ta có các kết quả sau:

1. Nếu M nằm trong (S) không tồn tại tiếp tuyến và mp tiếp diện của (S) đi qua M nhưng khi đó:
- Mọi đt M đều cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

- Mọi mp qua M đêug cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn.

2.Nếu M nằm trên (S) tồn tại duy nhất 1 mp tiếp diện của (S) đi qua M( pt mp tiếp diện có được bằng phương pháp phân
đơi tọa độ).

3. Nếu M nằm ngồi (S) tồn tại vơ số tiếp tuyến và mp tiếp diện của (S) đi qua M.
1/ Cho mặt cầu (S) có pt: (S):x2+y2+z2-2x-2y-2z+1=0

a. Xác định vị trí tương đối cuỷa điểm M(1,1,2) đối với mặt cầu (S).

b. Chứng tỏ rằng với mọi m, đt (d) luôn cắt (S) tại 2 điểm phân biệt, biết:

 

:

1 0

3 0

mx y z m

d

x my z m

 



 







 







c. Chứng tỏ rằng với mọi m, mp (P) luôn cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn, biết: (P): mx+my-2z-2m+4=0
2/ Cho điểm M(1,1,0) và mặt cầu (S) có pt:(S):x2+y2+z2-2x-4y-2z+4=0

a. Chứng tỏ rằng điểm m ở trên (S), từ đó suy ra pt mp (P) qua M và tiếp xuác với (S).
b. Lập pt mp qua M cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn lớn và song song với đt (d), biết:

on tap hh

   

   

   

 

 

 

:

2

1 0

,

 

:

2

3

12 0

3

2

1 0

<i>x y</i>

<i>d</i>

<i>P x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>z</i>



























 

 

 

: 3

2

12 0 ,

 

:

1

6

3

3

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>P</i>

<i>x</i>

<i>y z</i>

<i>d</i>

<i>x</i>





 









 

:

0

 

:

3 0

3

2

7 0

<i>x y</i>

<i>P x y z</i>

<i>d</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

 