<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Tuần 11
Chơng V

<b>ng dng i s tuyn tính trong kỹ thuật</b>

Đây là chơng cuối cùng của mơn Tốn 3 và cũng là 1 phần hồn tồn
mới của chơng trình Đại học kỹ thuật Mỹ (MIT) so với chơng trình từ khố
48 trở về trớc của trờng ta. Chơng trình dành cho việc giới thiệu các ứng
dụng quan trọng nhất của Đại số tuyến tính trong kỹ thuật nh: Phơng pháp
bình phơng tối thiểu, quy hoạch tuyến tính, các phơng pháp giải gần đúng
hệ phơng trình tuyến tính, véc tơ phức, ma trận phức và phép biến đổi
Fourier nhanh.

<b>V1. Ph¬ng pháp bình phơng tối thiểu</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

sỏt cỏc quan sát thực tiễn biểu diễn mối quan hệ giữa y và x. Giả sử chúng
ta quan sát đợc n giá tr o c:

y1, y2, y3, , yn

Tại điểm x1, x2, , xn

HÃy tìm hàm giải tích y = f(x) sao cho:








<i>n</i>

<i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>x</i>
<i>f</i>
<i>y</i>
<i>E</i>

1

2

)]
(

[  cùc tiĨu

y

y1

y2

y3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ph¬ng pháp xác lập hàm f(x) nói trên gọi là phơng pháp xấp xỉ bình
ph-ơng tối thiểu. Phph-ơng pháp này cần dùng các công cụ giải hệ Đại số của các
chơng trớc. Trớc hết ta đa và khái niệm mới.

<i><b>V.1.1. Phép chiếu:</b></i>

Bài toán: Cho véc tơ b trong không gian R3_{. Tìm hình chiếu P1 (vuông góc)}
của b lên trục Oz và hình chiếu P2 (vuông góc) của b lên mặt phẳng xoy.

x

x1 x2 x3 x4

Oz

b =





















<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

p1 =





















<i>z</i>

0

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ox

p2=





















0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Giải: Tìm 2 ma trận chiếu P</b>1 và P2 sao cho p1 = P1b; p2 = P2b
Cã thÓ thÊy P1 =






0
0
0
0
0
0





1
0
0

; P2 =







0
0
1
0
1
0





0
0
0

Tho¶ m·n yêu cầu của bài toán

<i><b>V.1.2. Chiu lờn 1 ng thng</b></i>

<b>Bài tốn: Tìm hình chiếu (vng góc) của véc tơ b lên đờng thẳng a.</b>

P = <i>xˆa</i> (víi <i>x</i> cần tìm)
<b>Giải: Ta có e = b - p = b - </b><i>xˆa</i>

z
b
x

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>p</i>

<i>_T</i>
<i>T</i>



 ˆ

y
O
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

V× e a  a (b - <i>xˆa</i>) = 0

 ab - <i>xˆa</i>.a = 0  <i>xˆ</i> =

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>T</i>
<i>T</i>

Từ đó hình chiếu <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>p</i> <i>_TT</i>

<b>Chó ý: </b>

1) Ma trận phép chiếu này P =<i>_aaT_ab</i>
<i>T</i>

(tự kiểm tra)
(Vì ta sẽ có p = Pb).

2) Hình chiếu vuông góc của b trên a là véc tơ trên a gần b nhÊt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài toán: Cho a</b>1, a2, …an là n véc tơ độc lập tuyến tính trong Rm_{. Tìm 1}
véc tơ p là 1 tổ hợp tuyến tính <i>xˆ a</i>1 1 + <i>xˆ a</i>2 2 +… + <i>xˆnan</i> sao cho nó gần với véc tơ

b nhÊt.

<b>Gi¶i: Gäi A là ma trận cấp (m x n) tạo bởi các cột a</b>1, a2, an Các tổ
hợp tuyến tính các cột của A chính là các phần tử của C(A) bài toán trở

thnh tỡm 1 vộc t P C(A) gần b nhất. Véc tơ này có toạ độ <i>x</i> =

<i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

2
1

và p

= A<i>x</i>. Véc tơ gần b nhất chính là hình chiếu vuông góc của b lên C(A).

Và vì vậy véc tơ sai số (b - A<i>xˆ</i>) trùc giao víi C(A) tøc lµ:

0
)
ˆ
(

1 <i>b</i> <i>Ax</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

0
)
ˆ
(<i>b</i> <i>Ax</i> 

<i>aT</i>

<i>n</i> 

   

ˆ 0

2
1





















<i>xA</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>T</i>
<i>n</i>
<i>T</i>
<i>T</i>



ViÕt díi d¹ng ma trËn lµ AT_{(b - A}<i>_xˆ</i>_{) = 0  A}T_A<i>_x</i>_{= A}T_{b đây là 1 hệ}
Đại số tuyến tÝnh víi ma trËn hƯ sè lµ AT_{A, Èn lµ véc tơ} <i>_x</i>_{, cột tự do là A}T_b.

Vỡ a1, a2, …, an độc lập nên ma trận đối xứng AT_{A khả nghịch (xem}

chứng minh ở trang 246). Nghiệm duy nhất <i>xˆ</i> giải ra là : <i>xˆ</i> = (ATA)-1ATb.

Kết luận: Hình chiếu cần tìm P = A<i>x</i> = A(ATA)-1 ATb

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

VÝ dô: Cho A





1
1
1






2
1
0

; b =

0

0

6

Tìm hình chiếu b trên C(A) vµ ma trËn P.

<b>Gải: Tìm đợc</b>

AT_{A =}




3
3



5
3

; AT_{b =}

0

6

<i>x</i> là nghiệm phơng tr×nh:

AT_A<i>_xˆ</i>_{= A}T_{b }




3
3



5
3













2
1

ˆ

ˆ

<i>x</i>

<i>x</i>

=

_











0

6

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Từ đó hình chiếu: p = A<i>xˆ</i> = 5





















1

1

1

- 3





















2

1

0

=























1

2

5

Sai sè e = b - p =























1

2

1

Ma trËn chiÕu P = A(AT_A)-1_AT₌






1
1
1






2
1

0
6
1



 3
5




5
3



0
1

₁1 


2
1

= ₆1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Dễ dàng kiểm tra các kết quả tính toán này phù hợp yêu cầu bài toán (sai
số e vng góc với 2 cột của A, Pb đúng bằng hỡnh chiu p).

<b>V.3. Câu trả lời của bài toán thực tÕ</b>

Bây giờ chúng ta sẽ dùng phơng pháp bình phơng tối thiểu để trả lời câu
hỏi đặt ra từ mục V.1. Để tìm đờng y = f(x) đi qua gần nhất các quan sát
(x1, y1), (x2, y2)… (xm; ym) ta có thể lựa chọn f(x) là 1 đờng thẳng hoặc f(x)
là 1 đờng cong (ở đây chỉ xét tới đờng parabơn, các đờng cong khác làm
hồn tồn tơng tự).

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Mở rộng ví dụ trớc cho m điểm. Tìm đờng thẳng b = C +Dt sao cho:

C + Dt1 = b1
C + Dt2 = b2



C + Dtm = bm

(Phơng trình này khơng có nghiệm đúng)
Do đó, cực tiểu hoá m sai số:

e1 = b1 - C - Dt1
e2 = b2 - C - Dt2



em = bm - C - Dtm  T×m  <i>T</i>

<i>D</i>
<i>C</i>

<i>x</i>ˆ  ˆ, ˆ cùc tiĨu c¸c sai sè

Ta cã hµm 2 biÕn E = 2 2

1
1

2

)
(

...
)

(<i>b</i> <i>C</i> <i>Dt</i> <i>bm</i> <i>C</i> <i>Dtm</i>

<i>b</i>

<i>Ax</i>       

chÝnh là dạng Ax = b với A =

1
1
1








<i>m</i>

<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

(Với các giá trị bi (i = 1, m), ti (i = 1, m) đã cho l 1 hm 2 bin)

<i><b>V.3.2. Chọn f(x) là 1 parabôn</b></i>

Tìm 1 parabôn có dạng b = C + Dt + Et2_{sao cho}
C + Dt1 + Et12_{= b1}

C + Dt2 + Et12_{= b2}



C + Dtm + Etm2_{= b2}

Phơng trình này không có nghiệm, ta sÏ t×m <i>xˆ</i> =  <i>T</i>

<i>E</i>
<i>D</i>

<i>C</i>ˆ, ˆ, ˆ cức tiểu hoá <i>Ax </i> <i>b</i>

nói trên từ việc giải hệ AT_A<i>_x</i>_{= A}T_b.

Dạng Ax = b với A =

1
1
1

<i>m</i>

<i>t</i>

<i>t</i>
<i>t</i>

2
1

2
2
2
2
1

<i>m</i>

<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Tóm tắt các ý chính</b>

<b>1. Phơng pháp bình phơng tối thiểu giải quyết bài toán nào của thực tế?</b>

<b>2.</b> <b>Thế nào là hình chiếu (vuông góc) của 1 véc tơ b lên mặt ph¼ng,</b>

<b>lên 1 đờng thẳng ? Thế nào là ma trận chiu.</b>

<b>3.Thế nào là chiếu 1 véc tơ b lên không gian con C(A), gi¶i thÝch hƯ thøc </b>
<b>P = A</b><i>xˆ</i>

<b>4.</b> <b>Thế nào là véc tơ sai số - ý nghĩa của phơng pháp bình phơng tối</b>

<b>thiu khi cn gii h Ax = b mà khơng giải đợc.</b>

<b>5.</b> <b>Cã mÊy ph¬ng pháp tìm nghiệm xấp xỉ bình phơng tối thiểu ?</b>

<b>6.</b> <b>Câu trả lời của bài toán thực tế nếu chọn f(x) là 1 đờng thẳng</b>

</div>

<!--links-->