<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TÓM T T LÝ THUY T

CÂU H I GIÁO KHOA

Câu 1: Cho 5 i m A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vect khác vect - khơng có i m u và i m cu i
là các i m ó.

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vect t o nên t 2 trong 5 i m A, B, C ,
D , O th a i u ki n

a) B ng vect

AB

;

OB

b) Có dài b ng

OB

Câu 3: Cho t giác ABCD, g i M, N, P, Q l n l t là trung i m AB, BC, CD, DA. Ch ng minh

MQ

NP

QP

MN

=

;

=

Câu 4: Cho tam giác ABC có tr c tâm H và O tâm là ng tròn ngo i ti p. G i B’ là i m i
x ng B qua O. Ch ng minh:

AH

=

B

'

C

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD. D ng

AM

=

BA

,

MN

=

DA

,

NP

=

DC

,

PQ

=

BC

.
Ch ng minh AQ=0

Chuyên 1: VÉCT

1. nh ngh a: Véct là m t o n th ng có nh h ng. Ký hi u: a b x, , ,.. ho c
, ,..

AB CD

Xét véct AB, ta g i: A là i m u; B là i m cu i; o n AB : = AB là
dài c a vect AB.

Vect khơng, ký hi u 0, là véct có i m u và i m cu i trùng nhau.

2. Các phép toán trên vect :

*) T ng c a hai véct : Cho hai véct a b . T m t i m A tùy ý ta d ng hai véct ,
;

AB=a BC=b. Khi ó, a+b = AC.

*) Hi u c a hai véct : Cho véct a . Khi ó t n t i duy nh t véct b sao cho
0

a+b = . Ta g i b là véct i c a véct a và ký hi u a− .
nh ngh a a− = + −b a ( b)

*) Nhân m t s v i m t vect : Cho vect a và s th c k. Khi ó, ka là m t vect
xác nh b i

, 0

, 0

0, 0
ka k a

ka a k
ka a k
k

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2
Câu 6: Phát bi u nào sau ây là úng:

a) Hai vect không b ng nhau thì có dài khơng b ng nhau
b) Hi u c a 2 vect có dài b ng nhau là vect – không

c) T ng c a hai vect khác vect –không là 1 vect khác vect -không

d) Hai vect cùng ph ng v i 1 vec t khác

0

thì 2 vec t ó cùng ph ng v i nhau

Câu 7: Cho hình ch nh t ABCD, goi O là giao i m c a AC và BD, phát bi u nào là úng

a) OA=OB=OC=OD b) AC=BD

c) OA+OB+OC+OD = 0 d) AC - AD = AB

Câu 8: Cho tam giác u ABC c nh a, tr ng tâm là G. Phát bi u nào là úng

a) AB=AC b) GA=GB=GC

c) |AB+AC| = 2a d) AB+AC =
2

3

AB-AC

Câu 9: Cho AB khác 0 và cho i m C. Có bao nhiêu i m D th a AB = CD

a) vô s b) 1 i m

c) 2 i m d) Không có i m nào

Câu 10: Cho a và bkhác 0 th a a=b. Phát bi u nào sau ây là úng:
a) avà b cùng nàm trên 1 ng th ng b) a+b = a + b

c) a - b = a - b d) a-b= 0

Câu 11: Cho tam giác ABC , tr ng tâm là G. Phát bi u nào là úng

a) AB+

BC

= |

AC

| b) GA + GB + GC = 0

c) |AB+BC| =AC d) |GA+GB+GC| = 0

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD có O là giao i m c a AC và BD .Tìm câu sai

a) AB+AD = AC b) OA =

2
1 ₍

BA+CB)

c) OA+OB=OC+OD d ) OB+OA = DA

Câu 13: Phát bi u nào là sai

a) N u AB=ACthì |AB| =|AC| b) AB= CD thì A, B,C, D th ng hàng
c) 3AB+7AC =

0

thì A,B,C th ng hàng d) AB-CD = DC-BA

Câu 14: Cho t giác ABCD có M, N là trung i m c a AB và CD. Tìm giá tr x th a
AC+

BD

= x

MN

a) x = 3 b) x = 2 c) x = -2 d) x = -3

Câu 15: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có tr ng tâm l n l t là G và G’. Ký hi u
P =

AA

'

+

BB

'

+

CC

'

.

Khi ó ta có

a) P =

GG

'

b) P = 2

GG

'

c) P = 3

GG

'

d) P = -

GG

'

Câu 16: Cho tam giác u ABC c nh a, tr ng tâm là G. Phát bi u nào là úng

a) AB=AC b) |AB+AC| = 2a c)

GB

+GC =

3

3

a

d)

AB

+

AC

= 3

AG

Câu 17: Cho tam giác ABC, có bao nhiêu i m M th a MA+ MB+MC = 5

a) 1 b) 2 c) vô s d) Khơng có i m nào

Câu 18: Cho tam giác u ABC c nh a có I, J, K l n l t là trung i m BC, CA và AB. Giá tr c a

|

AI

+

BJ

+

CK

| là

a) 0 b)

3

3

2

a

c)

3

2

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu 19: Cho tam giác ABC, I là trung i m BC, tr ng tâm là G . Phát bi u nào là úng

a) GA = 2GI b) IB + IC = 0

c) AB+IC =AI d) GB + GC = 2GI

V n 1: Ch ng minh m t ng th c vect

BÀI T P

Bài 1: Cho 7 i m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Ch ng minh r ng :
a) AB + CD + EA = CB + ED

b) AD + BE + CF = AE + BF + CD

c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0

Bài 2: Cho tam giác OAB. Gi! s"

OA

+

OB

=

OM

,

OA

−

OB

=

ON

. Khi nào i m M n m trên
ng phân giác trong c a góc AOB? Khi nào N n m trên ng phân giác ngồi c a góc AOB ?

Bài 3 : Cho ng# giác u ABCDE tâm O Ch ng minh: OA OB OC+ + +OD OE+ =0

Bài 4 : Cho tam giác ABC. G i A’ la i m i x ng c a B qua A, B’ là i m i x ng v i C qua B,
C’ là i m i x ng c a A qua C. Ch ng minh r ng: OA OB OC+ + =OA'+OB'+OC',∀O

Bài 5: Cho l$c giác u ABCDEF có tâm là O. CMR:
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0

b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD

d) MA + MC + ME = MB + MD + MF , ( M tùy ý )

Bài 6: Cho tam giác ABC. V% bên ngồi các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS. Ch ng minh
r ng:RF + IQ + PS = 0 .

Bài 7: Cho tam giác ABC n i ti p trong ng tròn tâm O, tr c tâm H. V% ng kính AD
a) Ch ng minh r ng HB + HC = HD

b) G i H’ là i x ng c a H qua O .Ch ng minh r ng HA + HB + HC = HH '
Bài 8: Tìm tính ch&t tam giác ABC, bi t r ng: CA + CB = CA - CB

Ph ng pháp: ch ng minh m t ng th c véct ta ch ng minh
v này thành v kia ho c hai v cùng b ng m t v th ba.

Chú ý: +) AB= −BA

+) AB=AM +MB=MB−MA,∀M

+) I là trung i m c a o n AB ⇔IA+IB=0
⇔OA OB+ =2OI
+) ABCD là hình bình hành ⇔ AD=BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4
Bài 10: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm và H là i m i x ng v i B qua G. G i M là trung

i m BC. Ch ng minh r ng;

a) 2 1 ; 1

(

)

3 3 3

AH = AC− AB CH= − AB+AC

b) 1 5

6 6

MH = AC− AB

Bài 11: Cho tam giác ABC soa cho t(n t i i m O sao cho OA OB+ +OC=0 và OA OB OC OD, , ,

có dài b ng nhau. Ch ng minh r ng ABC là tam giác u.

Bài 12: Cho t giác ABCD, bi t r ng t(n t i i m O sao cho OA OB OC OD, , , có dài b ng nhau
và OA OB+ +OC+OD=0. Ch ng minh r ng ABCD là hình ch nh t

Bài 13: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm. G i M là i m trên o n BC sao cho BM = 3MC.
Phân tích véct AG AM, theo hai véct AB AC, .

Bài 14: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. G i I là i m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI; J là
i m trên c nh BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

a) Tính AI AJ, theo AB AC,

b)Tính AG theo AI AJ,

Bài 15: Cho tam giác ABC, g i I là i m trên BC kéo dài sao cho IB = 3IC.
a) Tính AI theo AB AC,

b) G i J và K l n l t là hai i m trên hai c nh AC, AB sao cho JA = 2JC bà KB = 3KA.
Tính JK theo AB AC, .

c) Tính BC theo AB AC,

Bài 15: Cho tam giác ABC, g i H là i m i x ng v i tr ng tâm G qua B.
a) Ch ng minh r ng HA−5HB+HC=0

b) Tính AB AC, theo AG AH,

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD tâm O. G i I là trung i m BO; G là tr ng tâm tam giác OCD.
Tính theo AB AD, các véct AI BG, .

Bài 17: Cho tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c. G i D, E, F l n l t là chân ng phân
giác trong xu&t phát t A, B, C.

a) Tính ADtheo AB AC,

b) Ch ng minh r ng n u AD+BE+CF=0 thì ABC là tam giác u.

Bài 18: Cho tam giác ABC vng t i A có ng cao AH. Ch ng minh r ng:

(

)

2 2 2

2 2 ; 2 2 2 2

AB AC BC

BH AC AB AH AB AC

AC BC AC BC AC BC

= − = +

+ + +

Chú ý: +) Cho a b là hai véct khơng cùng ph, ng. Khi ó, v i
m i véct x , t n t i duy nh t c p s ( , )m n sao cho x=ma+nb.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

V n 2: Xác nh i m th a ng th c véct cho tr

c

BÀI T P

Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P, Q bi t r ng:
a) MA−2MB=0; b) NA−NB−2NC=0

c) PA+PB+PC=BC; d) 2QA QB− +3QC= AC+AB

Bài 2: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P bi t r ng:
a) MA−3MB= AC; b) NA−NB+2NC=0

c) PA+2PB=2CB

Bài 3: Cho tr c hai i m A, B và hai s ,α β v i α+β ≠0. Ch ng minh r ng t(n t i duy nh&t
i m I sao cho αIA+βIB=0. T ó suy ra αMA+βMB=(α+β)MI v i m i i m M.

Bài 4: Cho tr c ba i m A, B, C và ba s , ,α β γ v i α+β γ+ ≠0. Ch ng minh r ng t(n t i duy
nh&t i m I sao cho

α

IA+

β

IB+

γ

IC=0. T ó suy ra

α

MA+

β

MB+

γ

MC=(

α β γ

+ + )MI v i

m i i m M.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Xác nh i m I c nh và tìm s k sao cho các ng th c sau
th a v i m i i)m M

a) MA+2MB=k MI; b) 2MA+MB−MC=k MI; c) MA+MB+MC+3MD=k MI

Bài 6: Cho t giác ABCD. Xác nh i m I c nh và tìm s k sao cho các ng th c sau th a v i
m i i)m M

a) MA+MB−MC =k MI; b) MA+MB+2MC=k MI;

c) MA+MB+MC+MD=k MI; d) 2MA−3MB+2MD=k MI

Bài 7: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P, Q bi t r ng:
a) MA MB− +2MC= AB; b) NA+NB+NC= AB−2AC
c) PA+PB+2PC=0; d) 3QA−2QB+QC=0

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. D ng các i m M, N, P bi t r ng:
a) MA+MB+MC=4MD; b) 2NA+2NB=3NC−ND
c) 4PA+3PB+2PC+PD=0

Bài 9: Cho hình vng ABCD c nh a., M là m t i m b&t k*. Ch ng minh r ng các véct sau ây
không i và tính dài c a chúng

3

u= MA MB− −MC−MD; w=4MA−3MB+MC−2MD
Ph ng pháp: Ta ã bi t, v i A là i m c nh và w là véct không

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6

V n 3: Ch ng minh ba i m th ng hàng – Ch ng minh

ng th ng i qua

m t i m c nh – Tìm t p h p i m

BÀI T P

Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n.G i I là trung i m AM và K là m t i m trên
c nh AC sao cho AK = 1

3AC. Ch ng minh ba i m B, I, K th ng hàng.

Bài 2: Cho ∆ABC và M, N c xác nh b+i BC+MA=0;AB−NA−3AC=0. Cmr: MN // AC.

Bài 3: Cho tam giác ABC ; trên BC l&y D và E th a BD = DE = EC. G i I là trung i m BC; S là
i m th a SA = AB + AD + AE + AC . Ch ng minh r ng ba i m I; S; A th ng hàng.

Bài 4: Cho ∆ABC. i m I n m trên AC th a CI = 1

4CA; J là i m th a

1 2

2 3

BJ = AC− AB.
a) Ch ng minh: 3

4

BI= AC−AB
b) Ch ng minh B, I, J th ng hàng
c) Hãy d ng i m J th a i u ki n bài

Bài 5: Cho hình ch nh t ABCD tâm O, M là m t i m b&t k*. Tính MS = MA + MB + MC +
MD theo MO . T ó suy ra ng th ng MS quay quanh 1 i m c nh.

Bài 6: Cho tam giác ABC n i ti p trong ng tròn tâm O. G i H là tr c tâm; G là tr ng tâm tam
giác ABC và AD là ng kính c a ng trịn (O). Ch ng minh:

a) HBDC là hình bình hành

b) HA+HB+HC=2HO và OA OB+ +OC=OH
c) O, H, G th ng hàng

Bài 7: Cho tam giác ABC, g i I, J là hai i m th a IA=2IB và 3JA+2JC=0. Ch ng minh r ng

ng th ng IJ qua tr ng tâm G c a tam giác ABC.

Bài 8: Cho tam giác ABC và véct w=3MA−2MB−MC v i M là i m b&t k*.
a) Ch ng minh w là véct không i

b) V% AD=w. Ch ng minh r ng ng th ng AD luôn i qua m t i m c nh
c) V% MN =w, g i P là trung i m c a CN. Cmr: MP luôn i qua m t i m c nh

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD, g i M, N l n l t là hai i m trên o n Ab và CD sao cho 3AM
= AB; 2CN = CD. G i G là tr ng tâm tam giác BMN.

a) Tính AN theo AB AC, ; b) Tình AG theo AB AC,

c) G i I là i m nh b+i BI =k BC. Tình AI theo AB AC, và k. nh k AI qua G

Bài 10: Cho tam giác ABC. Tìm t p h p các i m M sao cho

a) k MA+(1−k MB) =0; b) MA k MB+ +k MC=0; c) 2MA+(3−k MB) +k MC=0

Bài 11: Cho hai i m A, B phân bi t có nh. Tìm t p h p các i m M th a i u ki n
a) MA MB+ = MA MB− ; b) 2MA MB+ = MA+2MB

Ph ng pháp: ch ng minh ba i m th ng hàng ta ch ng minh hai
véct t o nên t ba i m cùng ph ng.

</div>

<!--links-->