chuyeân ñeà 8 khaûo saùt haøm soá chuyeân ñeà caùc baøi toaùn cô baûn coù lieân quan ñeán khaûo saùt haøm soá 1 baøi toaùn 1 söï töông giao cuûa hai ñoà thò baøi toaùn toång quaùt trong mpoxy haõy x

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (135.22 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề : CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

CĨ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.BÀI TỐN 1 :

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :

1
2

(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)









(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)

* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C1) vaø (C2) .

L ưu ý :

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
 Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) vaø (C2) có n điểm chung
Chú ý 2 :

* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hồnh độ điểm chung của (C1) và (C2).

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).
x

y y y

x x

O
O

O

)
(C1

)
(C2

)
(C1

)
(C2

x x2

M y2 M2
1

y M0

)
(C2

)
(C1

x
y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Áp dụng:
D

ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x 2 x 2 và đường thẳng y x 2 
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): y x 2 4 và (C'): yx2 2x
Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):

3 2

y x x

 

và đường thẳng

5
(d) : y 3x

 

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y=2 x −1x +1 và đường thẳng (d): y=−3 x−1 
Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x và đường thẳng (d) : y x 2 

Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt
Baøi 1 : Cho hàm số

2x 1
y

x 2



 . Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y mx 2  luôn cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Baøi 2 : Cho hàm số

3 2x
y

x 1



 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2  cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: Cho hàm số y(x1)(x2mx m ) (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 4: Cho hàm số y x 33x2mx m  2 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5: Cho hàm số y x 4 mx2m (1)1

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : (Dành cho chương trình NC)

Định lý :

(C1) tiếp xúc với (C1)  hệ :

' '

f(x) g(x)
f (x) g (x)









 có nghiệm

Bài 1: Chứng minh rằng hai đường cong

3 5

  

và (C') : y x 2 x 2 tiếp xúc nhau.tại một
điểm nào đó.

Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1 3 2

Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 2 7







 tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 3 22

M

O 

)
(C1

)
(C2

y

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 1 3







 tiếp xúc với đường cong

2x 1
(C) : y

x 1





Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 5







tiếp xúc với đường cong

x x 1

x 1

 




2.BÀI TỐN 2:

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a. Daïng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 ) hay y f '(x )(x x ) f(x ) 0  0  0

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi cơng thức : k = f'(x
0)

Áp dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3

− 3 x+3 tại điểm trên đồ thị có hồnh độ

x 2 .

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2x 3
y

x 1



 tại điểm trên đồ thị có hồnh độ
x3.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2
y x 1

2x 1
  

 tại điểm trên đồ thị có hoành độ
x 1 .

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3x 2
y

x 1



 taïi điểm trên đồ thị có tung độ
y2.

Bài 5: Cho hàm số y2x 3x 13 2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm
trên (C) có hồnh x0, biết rằng y''(x ) 00 

(C): y=f(x)

x x

0
y

y
0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 6: Cho hàm số

2 x
y

x 1



 (1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại giao điểm
của đồ thị với các trục tọa độ.

b. Daïng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình :

'
0

( )

f x k, từ đó suy ra y0 f x( )0 =?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx 3x3 biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k9

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2x 1
y

x 2



 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, 
tiếp tuyến vng góc với một đường thẳng cho trước .

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (  ) là:

k a

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) và ( )1 2 . Khi đó:
(C): y=f(x)

x x

0
y

y
0

M 

(C): y=f(x)


x
y

a
k 1/

O

b
ax
y 
2 :

(C): y=f(x)

x
y

a
k 

b
ax
y 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2

// k k

k .k 1

 

   

    

Áp dụng:

Bài 1: Cho đường cong (C):

3 2

1 1 2 4

3 2 3

y x  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2.

Bài 2: Cho đường cong (C):
2

x 5x 4

x 2

 




Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 3x 2  

Bài 3: Cho đường cong (C): y= x2+3

x +1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): y=− 3x
c. Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (  ) qua A và có hệ số

góc là k bởi cơng thức:

y y A k x x(  A)  y k x x (  A)yA (*)

Bước 2: Định k để (  ) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'

f(x)=k(x-x )

tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)

f ( )

A
y
x k




  




Bước 3 : Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

Áp dụng:

Ví dụ1: Cho đường cong (C): y=x3+3 x2

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

Ví dụ 2: Cho đường cong (C):

2 5
2
x
y
x



x
y
A
A
A

A k x x y k x x y

y

y      

: ( ) ( )

O

)
;
(xA yA
A

)
(
:
)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).

3.BÀI TỐN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hồnh độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x)

Bài tốn : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng : f(x) = m (*)

Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thi cố đinh

( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)

 

   

C y f x
y m

Bước 2: Vẽ (C) và (  ) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (  ) và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa :

Áp dụng:

Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số yx 3x3 2 4

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x33x2 4 m
3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x 3x3 2 2 m 0

y

x
)

(
:

)

(C y f x

)
;
0
( m

m

m
y 


O

y

x
0

x