ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN

LỜI NĨI ĐẦU:
Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như
chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần
kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động
lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì
đây là phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có kỹ năng tốn học tốt về phần giải
tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có
thể giải quyết các bài tốn cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy
tơi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ
HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng
vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh
chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học
sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình
Dương cũng như Olympic quốc tế.
Sau đây là nội dung của chuyên đề:
- Cơ sở lý thuyết.
- Các ví dụ đơn giản áp dụng cơng thức.
- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.
- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.


I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khối tâm
a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng mi, gọi O là
một điểm tùy ý, ta có
(1) với

r uuuur
r i  OM i

Nếu ta chọn O ở G thì
b) Đối với vật rắn:
(2)
2. Động lượng
a) Định nghĩa:

uu
r r
rG  0

r
v
Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc i trong hệ quy chiếu R.
ur
Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểm

cấu tạo nên hệ S:
(3)
Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong hệ quy
chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở tại khối tâm
G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.
ur
r
p  mvG

b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*
Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R
hệ S trong R*


*
,

ur*
r*
v G và tổng động lượng p của

ur* r
bằng không: p  0 (4)

3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton
+ Lực:
(5)
Trong đó là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.
uu
r  uuu
r
uuuu
r
uuu
r
X �
Fex dt  Fextb t  P

0
+ Xung của lực:
4. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng


Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:

(6)
Vì là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:
K

1 2
mv (G )  K * (G )
2

Định lý Koenig đối với động năng:
(7)
5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng
a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S trong
HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.
(8)
b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R *, theo định nghĩa
là:
(9)
c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng
Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng
bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R
+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là
trong chuyển động của nó quanh G)
(10)
d) Mô men động lượng trọng tâm
Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:
uu
r
ur*
uuuu

r
ur
uuur uuuu
r
L A  �AM i �mi vi  � AG  GM i �mi vi*
uu
r
uu
r
uuur
uuuu
r
 AG ��mi vi*  �GM i �mi vi*
uu
r r
ur*
p  �mi vi *  0





Biết rằng
, chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ trong
HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết mơ men
ur

ur*

u

r*

này mà khơng cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A  LG  L
ur

ur*

u
r*

Dùng định lý Koenig ta có: LG  LG  L
e) Mơ men động lượng tại một điểm của trục
Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật
rắn, quay với vận tốc góc

ur
ur
ur
  ez   ' ez

trong HQC R.


ur

Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một điểm A cố
định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với vật rắn) trong R:
ur
uuuu
r r

LA  �
AM
�
� �v(M )dm
S

Với
Từ đó rút ra:

ur
uuuu
r r
uuuu
r ur uuuu
r
LA  �
AM
�
v
(
M
)
dm


AM
�
(
e
�

AM
)dm
z
�
�
�
�
�
S

S

ur
uuuu
r 2 ur uuuu
r ur uuuu
r
L A  �
(
AM
e

(
AM
.
e
)
AM
)dm
z

�
� z

S
Vậy
Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên
trục quay:

uuuu
r uuur uuuur uuuu
r ur ur uuuur
AM  AH  HM  AM .ez ez  HM





Vậy ta được:

ur
ur
uuuu
r ur uuuur
2
L A  �
HM
dm


(

AM
�
�
�
�
� .ez ) HM )dm
S

S

ur

2
2
2
(Vì HM  AM  AH )

Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:
+ Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là:
+ Một thành phần vng góc với vec tơ quay, đó là:

ur
ur
2
L AP   �
�
�HM dm
S

ur

uuuu
r ur uuuur
L A   �
(
AM
�
� .ez ) HM )dm
S

f) Mô men động lượng đối với trục  - Mơ men qn tính:

ur
L

Thành phần
trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mô men

động lượng của vật rắn đối với trục .

ur ur u
r ur urur
2
2
L  L A .ez  L AP.ez  ez  �
�
�HM dm  �
�
�HM dm
S


S

Theo định nghĩa, L khơng phụ thuộc vào vị trí
của điểm A trên trục .
+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay
là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mơ men qn tính J  của vật
rắn đối với trục quay  như sau:

2
J  �
�
�r dm
S

Mơ men qn tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán
tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian),
chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.


6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực

uur
uuuur
ur
uur
M
OM
�
m
a

O �
i
i
i
M
+ Mô men lực O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:

+ Mơ men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)
uu
r uur uu
r
ur uu
r
uur
*
*
a

a
(
M
)

a
(
M
)

a


a

a
i
e
i
C
i
G
i
Từ công thức cộng gia tốc ta có:

Gia tốc Coriolis bằng khơng cịn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào chỉ số i và
bằng gia tốc
Ta rút ra:



uuuur

Vì
lực:

của điểm G.

r uuur
uur
uur
uuur uuuu
r

uur uu
uur
uuuu
r
M O  �OG �GM i �mi aG  ai*  OG �maG  �GM i �mi ai*

�m GM
i

uur
aG

i

r
0

và





uu
r uur r
*
*
i  F 0

�m a

i



nên ta suy ra định lý Koenig đối với mô men

uuuur  uuur
uuur
M Ox  �
M g dt  L0

0
+ Xung của mô men lực:
Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S
trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng
khối lượng tổng cộng của hệ trong R
+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong
chuyển động của nó quanh G)
(10)
7. Mơ men lực trọng tâm:
Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC trọng tâm R *
khơng phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mơ men này mà khơng

uur

uur*

uur*


cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A  M G  M
uur
uur* uur*
M

M
G
G  M
Dùng định lý Koenig ta có:

8. Mối liên hệ giữa mơ men động lượng và mô men lực
Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mơ men là điểm bất ký P,
điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn làm gốc
tọa độ (hình vẽ)


y
1

P

2

O

x

Theo định nghĩa mơ men động lượng tồn phần của hệ đối với điểm P là:
Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được


Thay là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt I, ta được:
r
r
dLP
r r
r r
r
 � ri  rP  �Fi ext  �mi  ri  rP  �aP
dt
r
r
�mi .ri  mrG

Thay tiếp

, ta được

r
r
dLP
r r
r r r
 � ri  rP  �Fi ex  m  rG  rP  aP
dt
r
r r
� ri  rP  �Fi ex

Vì
theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P, nên cuối

cùng ta được công thức tổng quát:
r
r
dLP
r r
r
 �M Pex   rG  rP  �maP
dt

(6)
Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động lượng không
đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt này là do mơ
men động lượng và mơ men lực cịn tùy thuộc vào điểm để tính mơ men.
Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ triệt tiêu
nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:
a)

r
r
aP  0

. Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều)

r
r
dLP
 �M P
dt
(P cố định) (7)
r r

b) rG  rP hay P �G . Khi ấy ta có:


r
r
dLG
 �M Gex
dt
r
r r
aP / /  rG  rP 

c) Gia tốc

uuur
r
aG / / PG

hay

r
uuur
r
dLP
r
 �M Pex aP / / PG
dt




9. Các chú ý về toán học:



. Khi ấy ta có:

(9)

ur
ur
A  (ax , a y , az ) B  (bx , by , bz )
Cho hai vec tơ:
,
ur ur
+ Tích vơ hướng của hai vec tơ: A.B  (axbx  a y by  azbz )
ur ur r
r
r
A �B  i(a y bz  az by )  j (az bx  axbz )  k (ax by  a y bx )
+ Tích có hướng của hai vec tơ:
rr r
Với i, j , k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz


II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1.
Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có khối
lượng m liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài
là b, khối lượng khơng đáng kể. A dịch chuyển trên
vịng trịn tâm O bán kính b và thanh AB có thể dao

động quanh một trục đi qua A và vng góc mặt
phẳng như hình vẽ. Tính tổng động lượng và mơ
men động lượng đối với O của hệ AB theo các góc

O
A
B

,  và đạo hàm của chúng theo thời gian.
Giải
Cách 1:

ur
r
r
p

mv
(
A
)

mv
(B)
Ta có:
uur uuu
r
r
uuu
r

r
LO  OA �mv( A)  OB �mv( B )
uuu
r
OA
 (b cos  , b sin  ,0)
Với
r
uuu
r
v
(
A
)

OA
'  ( b 'sin  , b ' cos , 0)
suy ra
uuu
r
OB
 (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0)
và
r
uuu
r
v( B)  OB '  (b( 'sin    'sin ), b( ' cos   ' cos ), 0)
ur
r
r

Suy ra p  mv( A)  mv ( B )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0)
uur uuu
r
r
uuu
r
r
ur
LO  OA �mv ( A)  OB �mv ( B )  mb 2 (2 '  ' 2  ' cos(   ))ez
Và
ur
ez

Với

là vec tơ đơn vị của trục Oz vng góc, đi ra ngồi mặt phẳng hình vẽ

Cách 2:
Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G (trung điểm
của AB) của hệ.
uuur
1
1
OG  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0)
2
2
Ta có
uu
r uuur
1

1
vG  OG '  (b( 'sin    'sin ), b( 'cos    ' cos ), 0)
2
2
Và vận tốc khối tâm G là:


Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:
uuu
r
uuu
r
r *
r *
v
(
A
)


v
( B)
GA


GB
vì
và
uuu
r 1

1
GB  ( bcos , b sin  ,0)
2
2

1
1
r
v ( B )*  (  'sin , b ' cos , 0)
2
2

Rõ ràng là ta tìm được

ur
r
p  2mv(G )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0)

Và tổng mơ men động lượng của hệ:

Ví dụ 2
Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m
được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’ và BB’ có
chiều dài b. Thanh dao động trong mặt phẳng thẳng
đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song song với nhau.

A’

a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm  ' của góc
nghiêng  của các dây ở một thời điểm cho trước.

b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh.
Giải
a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta:
K

B’

A

G

1 2
mv (G )  K * (G)
2

*
Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K (G )  0 nên:

K

1 2
1
mv (G )  mb 2 '2
2
2
(1)

b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong q trình dao động
+ Thế năng của thanh là: U  mgb(1  cos ) (2)
+ Cơ năng của hệ là:


E  K U 

1 2 2
mb  '  mgb(1  cos )  mgb(1  cos 0 )  const
2
(3)

Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được:  " b  g sin   0 (4)
o
Với   10 � sin  � (rad )

B


thì phương trình (4) trở thành:  "    0 với
2

Vậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là:

T

2 

g
b

2
b
 2


g

Ví dụ 3
Một vịng trịn đồng nhất có tâm O, khối lượng m, bán
kính a quay với tốc độ  khơng đổi quanh trục cố định
của nó. Tính mơ men động lượng của vịng trịn ở O và
động năng của vịng trịn đó.
Giải
Điểm M của vịng trịn được xác định bởi các tọa độ cực:
r
uu
r
v( M )  a e

Vận tốc của M là:
Từ đây suy ra:
+ Mô men động lượng đối với O:
uur
LO 

uuuu
r r
ur
2
OM
�
v
(
M

)
dm

ma

e
z
�

vịng

+ Mơ men lực đối với O:
uuur d uur d
uuuu
r r
ur r
d
2
M O  LO 
OM
�
v
(
M
)
dm

(
ma


)
e
z 0
�
dt
dt vòng
dt

+ Động năng

K

1
1
J  2  ma 2 2
2
2

Ví dụ 4
Chứng minh định lý Huygens bằng cách:
a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.
b) Dùng chứng minh hình học.
Giải
a) Gọi A là điểm cố định của trục .
+ Trong R: L  J G 
+ Theo định lý Koenig:

r ur
uur uur ur uuur
r

ur uuu
L  LA .ez  AG �mv (G ) ez  L*G .ez





uuuu
r
ur
OM  aer


Với

r
ur uuur
v(G )  ez �AG
uuur

r

ur

AG �mv (G )  e
Từ đó: 

z

 m  AG 2  AH G2    ma 2


uur uur ur
*
*
Trong R : L  LG .ez  J G 
*

2
Từ đó: J   ma  J G

b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên  và G, ta có:
2
J  �
�
�HM dm
S

Nhưng

và

2
J G  �
�
�H G M dm
S

uuuur2
uuuuur uuuuuu
r 2

uuuuur uuuuuu
r
HM  HH G  H G M  HH G2  H G M 2  2 HH G .H G M





Với HH G  a là khoảng cách giữa hai trục  và G và
uuuuur uuuuuu
r uuuuur uuuu
r
uuuuur uuuuu
r r
HH G .H G M  HH G .GM
HH G .H GG  0
vì
uuuuur
HH G

Để ý rằng vec tơ

là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta suy

uuuuur
uuuu
r
J   ma 2  J G  2 HH G �
GM
�

� dm

S
ra:
Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của khối tâm G
2
nên: J   ma  J G

Ví dụ 5
Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh OA
khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta hàn
vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng là một
nửa vịng trịn mà thanh OA là bán kính. Vị trí của con lắc
được xác định theo góc  giữa thanh OA và đường thẳng
đứng hướng xuống. Xác định tổng động lượng, mô men
động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng
của con lắc phụ thuộc vào  và các đạo hàm của chúng.
Giải
Một điểm M của nửa vòng trịn được xác định
bởi góc      với  = const (hình vẽ)
Từ đó:

uuuu
r
ur
OM  Rer

và

r

uu
r
v( M )  R ' e


Từ đây ta suy ra:
ur C r
ur
2
p�
v( M )dm  mR ' ez

B
+ Động lượng:

+ Mô men động lượng:

uur C uuuu
r uu
r
ur
LO  �
OM �v(M )dm  mR ' ez
B

uur
C
uuur d L
r uu
r

ur
d uuuu
M O  O  (�
OM �v(M )dm)  mR '' ez
dt
dt B
+ Mô men lực:

Và động năng:

K

1
mR 2 '2
2

Ví dụ 6.
Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b và
khối tâm G là trung điểm của AB. Thanh tựa lên
mặt đất nằm ngang và gối lên một bức tường
thẳng đứng. Vị trí của thanh được xác định theo
uuu
r uuur
  Ox, OG



góc
trượt ở A và B.


,

góc này thay đổi khi thanh

r
v
1) Xác định các thành phần của vận tốc (G)

của
điểm G theo  và đạo hàm của .

y
+

B
G

O

ur

2) Tìm vec tơ quay  của thanh.
Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính tốn.
Giải.
1. Trong tam giác vng OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:
uuur
OG   b cos  , b sin  , 0 

r
d uuur

v(G )  OG   b 'sin  , b ' cos , 0 
dt
Vận tốc khối tâm:
(1)
ur
ur
ur
ez
  ez
2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục , ta đặt
r
v
Ta cũng có thể viết biểu thức của (G) như sau:
r
r
ur uuur
v(G )  v( A)   �AG

x
A


r
r
uu
r
d uuu
uuu
r
uu

r
v
(
A
)

OA


2
b

'sin

.
e
x
dt
Biết rằng OA  2b cos  .ex suy ra
r
r
ur uuur
v
(
G
)

v
(
A

)


�AG  (b(  2 ')sin  ; bcos ;0) (2)
Từ đây suy ra:
ur
ur
   ' ez

Cho (1) bằng (2) ta được

Ví dụ 7.
Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống
nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b và
nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong mặt
phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của chúng

O
G2
A

y
+
G1
B

được xác định bởi các góc ,  so với đường thẳng
đứng Ox hướng xuống. Tính mơ men động lượng
x
đối với O và động năng của con lắc kép này.

Giải
Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho:
J OZ (OA)  mb2 

y’

x’

1
4
m(2b) 2  mb 2
12
3

Từ đó ta có mơ men động lượng của thanh OA đối với điểm O:
uur
ur 4
ur
LO (OA)  J Oz (OA). ' ez  mb 2 ' ez
3

Động năng của thanh OA:
K (OA) 

1
2
J Oz (OA). '2  mb2 '2
2
3


Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:
uur
uuuur
r
ur
LO ( AB)  OG2 �mv(G2 )  J G2 z ( AB). ' ez
K ( AB) 

1 2
1
mv (G2 )  J G2 z ( AB ). '2
2
2

Biết rằng:

2b cos   b cos 
uuuur
OG2 2b sin   b sin 
0

Và vận tốc của G2 là

2b 'sin   b 'sin 
r
d uuuur
v(G2 )  OG2  2b ' cos  b ' cos
dt
0



J Gz ( AB) 

1
1
m(2b)2  mb 2  J
12
3

Và
Ta có:
Và động năng:
Đối với cả hệ con lắc kép:

Ví dụ 8.
Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn nằm
ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và các tâm
của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song. Khoảng cách
giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra va chạm đàn hồi
lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay
và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng 1 , của vật thứ hai
bằng 2 . Mơ men qn tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm
lần lượt là I1 và I2.
a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kì
của mặt bàn bằng tổng mơ men xung lượng của vật tính theo khối tâm của
nó.
b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật
chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là
thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.

Giải:
a)
Ta cần chứng minh:
+
uur uur
uu
r uu
r uur
uu
r uu
r
LO  LG  (�mi )rG �vG  LG  M rG �vG

v
2 còn vật

m
i

G

Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có:
O


uur
uu
r u
r
uu

r ur
LO  �mi (rG  ri ) �(vG  vi )
uu
r uu
r
u
r uu
r uu
r
ur
u
r ur
 (�mi )rG �vG  (�mi ri ) �vG  rG �(�mi vi )  �mi ri �vi
u
r r
�
�mi ruri  0r
�
�
�mi vi  0
�
Nhận xét: �
uur
uu
r uu
r
u
r ur
LO  (�mi )rG �vG  �mi ri �vi
Do đó

uu
r uu
r
uu
r uu
r
�
(�mi )rG �vG  M rG �vG
�
u
r ur uur
�
m
r
�
� i i �vi  LG
�
Mặt khác,
nên
b) Gọi

uur uur
uu
r uu
r
LO  LG  M rG �vG

(ĐPCM)

v1' là vận tốc của vật 1 (của G ) sau va chạm.

1

m

G1

G2

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo tồn dó đó:
ur
uu
r
uu
r
r
r r ur'
ur
'
'
'
mv1  mv2  mv  mv  0 � v1  v2  v '
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.
Do khơng có ngoại lực nên mơ men động lượng trước và sau va chạm là bằng
nhau.
Ta có,

ban đầu thì

LG2  mvd



sau đó thì
Mà

L 'G2  mv ' d ' I11  I 22

1; 2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên
mvd  mv ' d ' I11  I 22

�d'

c) Với

mvd  I11  I 22
mv '

v' 

v
2

, 2  0 � d '  2 d 

d'

I11
mv

<0


>0
>0
d

Theo định luật bảo tồn năng lượng, ta có:
1 2
1
v
1
mv .2  m( ) 2 .2  I112
2
2
2
2
� 2mv 2  mv 2  I112 � I112  mv 2
�

1
m
I
 � �d' 2 d � 1
v
I1
m

Vậy:
a)

uur uur
uu

r uu
r
LO  LG  M rG �vG

d'
b)

mvd  I11  I 22
mv '

d' 2 d �
c)
Ví dụ 9.

I1
m


Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối
tam G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quy chiếu
Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính. Tất cả đều
nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Ta kí hiệu I
là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D. Ta xác định vị trí
của D theo tọa độ x của tâm C của nó theo góc
uur uuur
  (CI , CG ) .

CG  b 

4R

3 . Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:

Cho
a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I.
b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân bậc hai của
.
c) Giả sử  rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu b) để từ đó
suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng.
Giải
a) Tính mơ men lực của D ở I
+ Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực.
uuur uur
r
ur
M I  IG �ma (G )  J G " ez
uuur
ur
M I   ( J  m( R 2  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez

Ta tìm được:
+ Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I

Hay là

uu
r uur
r
ur
ur
LI  IG �mv (G )  J G ' ez   J  m( R 2  2bR cos  )   ' ez

uu
r
ur
ur
LI  J I  ' ez   J  m( R 2  2bR cos  )   ' ez

uu
r
uuur d L
ur
M I  I   ( J  m( R 2  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez
dt
Và dùng hệ thức

b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho
ngay kết quả (chỉ có mơ men của trọng lực đối với I là khác không)

 ( J  m( R

2

 2bR cos  )) " mRb '2 sin     mgb sin 

c) Nếu  rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:
( J  mR 2  2mbR ) "   mgb

Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hịa quanh vị trí cân bằng


 = 0 với chu kỳ:


T0  2

J  mR 2  2mRb
mgb

Ta có mơ men qn tính của D đối với trục qua C và vng góc với D là
Nên

T0  2

J

mR 2
2

(9  16 R)
8g

Ví dụ 10.
Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và cứng,

giống như một cái bút chì thơng thường. Khối lượng của
nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng của nó là
một hình lục giác đêu cạnh a. Mơmen qn tính của khối lăng trụ lục giác đối với
trục xuyên tâm là.
a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt
ngang một góc nhỏ . Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khối
lăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở
cạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mơmen qn tính. Khối trụ

ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằng do ma
sát mà khối trụ không trượt và ln chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc góc của nó
ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là i và ngay sau khi cạnh ấy
đập vào mặt nghiêng là f . Chứng minh rằng ta có thể viết : f = si , tìm s.
b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt
nghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r.
c) Để có lần va đập tiếp theo thì K i phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể viết
dưới dạng: Ki

min

= Mga, trong đó g = 9,81 m/s2. Tính giá trị của  theo góc

nghiêng  và hệ số r.
d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng K i sẽ dần tới một
giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biết rằng giá
trị ấy tồn tại, chứng minh rằng K io có thể viết dưới dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức
của k theo  và r.
e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o để cho quá trình lăn một


khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.
Giải.
a) Cách 1.
- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F. Xung
lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối trụ đối với
trục F được bảo tồn trong q trình va chạm. Ta có :
Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng
của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)
uur uur uuur

uu
r
LF  LG  ( FC �M vci ).
uuu
r
ur uuur
uu
r
LFi  I Ci ez  ( FC �M vci )
ur
ez

với

là vec tơ đơn vị của trục hình trụ

C

 Li = ICi + vci.cos60o.a.M (1)





Vì vci = i.a và nên
(2)
Sau va đập :
Suy ra : Li = Lf 

vci



F



lưu ý s không phụ thuộc , a i
Cách 2.
Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản lực N tác
dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N khơng vng góc với mặt nghiêng.
+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.
+ Thành phần vng góc với mật nghiêng là N.
Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông góc với mặt
nghiêng hướng từ dưới lên trên.
Ta có: (4)
Mặt khác: (định lí biến thiên mơmen động lượng đối với C)
Từ (4), (5), (6) loại N// và N ta cũng được :
b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là ai và ngay sau lúc va đập là
af.
+ Động năng toàn phần của một vật quay là :


+ Trước va đập :
Ta thấyđộng năng tỉ lệ với 2.
+ Sau va đập :
Suy ra : (8)
c) Động năng Kf sau va đập phải đủ lớn để có thể nâng khối tâm của khối trụ lên vị
trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm.
+ góc mà véc tơ


uu
r
rC

phải quay là : x = 30o - 

+ năng lượng để khối tâm nâng lên là :
(9)
ta suy ra điều kiện :
Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - ))  r.Ki min = Mga =Eo
 (10)
d) Gọi Ki,n và Kf,n là động năng ngay trước và ngay sau va đập lần thứ n. Ta chứng
minh có hệ thức :
Kj,n = r.Ki,n trong đó r được tính ở (8). Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối tâm
của khối trụ giảm di là asin, động năng của nó tăng lên một lượng  = Mgasin,
do đó Ki, n + 1 = r.Ki +  (11)
Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của K i,n là hàm theo Ki và n để tìm giới
hạn của nó. Làm như thế là chứng minh sự tồn tại của giới hạn đó. Theo đề bài,
giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho Ki,n + 1  Ki,n khi n đủ lớn một cách tùy ý.
Giới hạn Ki,o đó phải thỏa mãn hệ thức :
Ki,o = r.Ki,o +  (12)  
Ta có thể giải bài tốn một cách tường minh bằng cách viết các biểu thức một cách
đầy đủ :
Ki,2 = r.Ki,1 + 
Ki,3 = r.Ki,2 +  = r(r.Ki,1 + ) +  = r2.Ki,1 + (1+r)
Ki,4 = r.Ki,3 +  = r. (r2.Ki,1 + (1+r)) +  = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)
........................
Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + ....+ rn-2) = (14)
Khi n  , vì r < 1, nên ta có :



Nếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lần đập
thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:
Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1 = rn-1[ - (1 – r)Ki,1] (16)
Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu K i,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới giá trị
giới hạn Ki,o. Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ giảm tới
giá trị giới hạn Ki,o.
a) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn K i, trong phần d) phải lớn hơn giá trị nhỏ
nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):
đặt ta có : Asin > 1- cos(30o - ) = 1 – cos30ocos - sin30osin
 (18)
Giải phương trình lượng giác này ta được o  6,58o
+ Nếu  > o và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ở câu c) thì
ta sẽ có một quá trình lăn liên tục.
+ Chú ý: do đầu bài nói  là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các công thức gần
đúng: sinx x ; cosx  1- x2/2 để giải bất phương trình (18).

III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1
Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày lễ hội

A

có bán kính R quay với tốc độ góc 
khơng đổi quanh trục nằm ngang của bánh
xe. Ta xét một cái thùng treo (móc nối rất
tốt ở A trên bánh xe) và hành khách (mà ta
xem như hoàn tồn khơng động đậy trong
thùng treo), hệ thùng treo và hành khách


G

O

b


có khối lượng m, có khối tâm G nằm trên
đường thẳng đứng qua điểm A, cách A một
khoảng b. Xác định mô men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động
năng của hệ thùng treo và hành khách.
Đáp số:
uuur r
MO  0

uur
uu
r
LO  mR 2 e y

và

K

với vec tơ

uu
r
ey


vng góc mặt phẳng hình vẽ

1
mR 2 2
2

Bài 2
Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng
không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,
B và C. Điểm O là cố định, ống C được xem là một
chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng
(Oz). Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống
nhau, cùng khối lượng m. Ta xác định vị trí của hệ

O

x

A

B
C

D

bằng góc . Hãy tìm tổng động lượng, mơ men động

+
E


z

lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm ’
của góc . Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD = BE
= b.
Đáp số:

uu
r
ur
ur uur
2
p  6mb 'sin  ez LO  8mb  ' ey

;

2
2
2
và K  2mb  ' (2  sin  )

Bài 3
Một thanh AB có khối lượng khơng đang kể, chiều dài 4a được treo ở điểm giữa
O cố định. Ở A và b có khớp nối với hai thanh giống nhau CD và EF, khối lượng
không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF).
Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn khối
F B
điểm giống hệt nhau m. Tính mơ men động
lượng đối với O và động năng của hệ phụ
+

thuộc vào các góc ,,  và các đạo hàm của
chúng.

E
O

D

y
A

x

C


Đáp số:

uur
ur
LO  2ma 2 (8 '  '  ')ez

K  ma 2 (8 '2   '2   '2 )

Bài 4
Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối lượng m
được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn, cùng chiều
dài, được treo vào điểm O như hình vẽ. Góc tạo bởi các dây treo
và thanh là  = 60 . Hệ quy chiếu Trái Đất được xem là HQC


O


A

B

o

quán tính.
a) Hệ cân bằng. Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A.
b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh AB còn
T
chưa kịp dịch chuyển). Tính tỉ số T0

Đáp số: a)

T0 

mg
3

b)

T

2 3mg T  6
13 ; T0 13

Bài 5

Một hình vng ABCD cạnh L có thể quay
xung quanh một điểm A mà vẫn nằm trong mặt
phẳng (xOy), với tốc độ góc . Ở các đỉnh có
các chất điểm khối lượng m và bỏ qua khối y
B
lượng của các thanh nối. Hãy xác định, trong
HQC R, động lượng, mô men động lượng đối
với A cũng như độnguu
năng.
r
ur
ur
uuur
2
p

2
m

BD ; LA  4m L ez ; K  2mL2 2
Đáp số:

Bài 6
Một đồng tiền được xem lý tưởng như là
một đĩa tròn đồng chất bán kính a với bề
dày khơng đáng kể và khối lượng m lăn
khơng trượt trên một đường trịn. Khối tâm
C của đĩa chuyển động trên một đường trịn
bán kính b và trục của nó nghiêng một góc


A
L

G
x

D


θ so với phương thẳng đứng. Tìm vận tốc
góc Ω của tâm của đĩa.
Đáp số:



4 g tan 
6b  a sin 

IV. KẾT LUẬN.
Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc bồi
dưỡng Học sinh giỏi THPT. Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bài toán
về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động của vật


thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va chạm của vật rắn. Từ phân
tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực học một cách phù hợp.
Trong giải bài tốn vật lý nói chung và bài tốn cơ học vật rắn nói riêng thì việc
phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng. Từ việc hiểu được hiện tượng
vật lý để vận dụng ngun lí phù hợp thơng qua các định lý, định luật. Các biểu
thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài tốn để tìm ra kết quả.

Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài tốn cơ bản vận dụng các
phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn.
Thường thì chúng ta gặp bài tốn biết điều kiện động lực học suy ra chuyển động
và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học. Việc giải bài toán
về phức tạp hơn của cơ học vật rắn, đặc biệt là bài toán va chạm của vật rắn có mức
độ tổng hợp cao hơn địi hỏi học sinh phải hiểu sâu hơn và giải quyết tình huống
phức tạp hơn, do đó học sinh cần phải rèn luyện kĩ năng vận dụng cao hơn.
Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT
RẮN” là một chuyên đề cơ bản góp phần hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán
tổng hợp, đặc biệt là các bài tốn về va chạm vật rắn.
Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào cho
chuyên đề này. Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự bổ
ích trong cơng tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp. Tôi xin chân thành cảm ơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí (Cơ học 2). NXBGD 2012. Tô Giang
2. Mécanique du solide. Hachette Supérieur 2003. J.P. DURANDEAU