CHUYÊN ĐỀ 12: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Câu 1. Cho a, b, c 0 , chứng minh rằng:
2
a) (a  b  c ) 3(ab  bc  ca )
3
3
3
b) 3(a  b  c ) (a  b  c)(ab  bc  ca)
4

4

4

5
5
5
Caâu 2. a) Cho a, b, c  0 vaø a  b c , chứng minh rằng: a  b  c .
3
3
3
b) Độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn hệ thức a  b c . Hỏi tam giác đó là tam
giác nhọn hay tù?
m
n
c) Cho m, n là các số thực không nhỏ hơn 2, chứng minh rằng: sin x  cos x 1 x  R .

Caâu 3. a) Tìm tập giá trị của hàm số y | sin x |  | cos x |, x  R
4
4
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y  1  x  1  x

|sin x|
 2|cos x| 3, x  R
c) Chứng minh rằng: 4

Câu 4. a) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng
b) Cho a, b, c, d  0 , chứng minh rằng:

1

a
b
c


2
bc c a a b

a
b
c
d



2
a b c b c d c d a d a b
1
2
2
a  ab  b

1

2
2
3
c) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a  ab  b
a3
b3
c3
a b c
 2
 2

2
2
2
2
3
b  bc  c
c  ca  a
d) Cho a, b, c  0 , chứng minh raèng: a  ab  b
| a b |
|a|
|b|


e) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có: 1 | a  b | 1 | a | 1 | b |
1

a b c 3

 abc
3
Caâu 5. a) Cho a, b, c 0 , chứng minh raèng
1 1 1
9
  
b) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a b c a  b  c
c) Cho x, y, z là 3 số thỏa x  y  z 0 , chứng minh raèng:
3  4 x  3  4 y  3  4 z 6
1 1 1
1
1
1
x, y, z  0 vaø   4
P


x y z
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
d) Cho
. Tìm GTLN của
e) Cho a, b, c  0 vaø a  b  c 1 , tìm GTNN của các biểu thức sau:


1
1
1
1

 

2
2
ab bc ca
a b c
1
1
1
1
1
1
S 2





a  b2 b2  c2 c 2  a 2 ab bc ca
1
1
1
1
1
1
Q 2
 2
 2

 
a  bc b  ca c  ab ab bc ca
1 1

1
n2
   
a
,
a
,...,
a

0
a
a2
an a1  a2    an
1
2
n
1
f) Cho
, chứng minh rằng:
3
a
b
c



2
g) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng: 2 b  c c  a a  b
P


2

a2
b2
c2
a bc



3
Caâu 6. a) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: b  c c  a a  b
ab
bc
ca
a b c



2
b) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a  b b  c c  a
a
b
c
d



2
c) Cho a, b, c, d  0 , chứng minh rằng: b  c c  d d  a a  b
Câu 7. a) Cho a, b, c  0 và a  b  c 3 , chứng minh rằng:

a
b
c
3
1
1
1


 


2
2
2
2 1 a 1 b 1 c
1 a 1 b 1 c
a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 a 3 b3 c 3
a b c 


  
a
,
b
,
c

0
2

c
2
a
2
b
bc ca ab
b) Cho
, chứng minh raèng:
1
1
1
a b c
 2
 2

2
2abc
c) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab
1
1
1
1
 3 3
 3

3
3
3
d) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
1

1
2


2
2
1  ab
Caâu 8. a) Cho a, b 1 , chứng minh rằng: 1  a 1  b
1
1
1
1
x  , y  , z  ,t 
2
3
4
5 , chứng minh rằng:
b) Cho
1
1
1
1
1




1  4 x 2 1  9 y 2 1  16 z 2 1  25t 2 1  120 xyzt
1
1

1
3



3
3
3
c) Cho a, b, c 1 , chứng minh rằng: 1  a 1  b 1  c 1  abc
2

2

1 
1
25

a   b  

a 
b
2
Caâu 9. a) Cho a  0, b  0, a  b 1 , chứng minh rằng: 
2

2

1  
1 
1

 2
2
12  sin y
 sin x  2    cos x 
2 
2
sin x  
cos x 
b) Giải phương trình hai ẩn số: 


Câu 10. a) Nếu 1  a  b và c  0 thì logab  log a c (b  c)
b) log 6 7  log 7 8  log8 9  3,3
1
1
1
1




1
log a  b    log b  c    log c  d    log d  a   8
 a , b, c , a  1
4
4
4
4





c) Neáu 4
thì
2
2
2
d) Nếu a, b, c 2 thì logb c a  log c a b  log c a c 3
Câu 11. a) Chứng minh rằng nếu a1 , a2 , a3 , b1, b2 , b3 0 thì:
3 ( a  b )( a  b )( a  b )  3 a a a  3 b b b
1
1
2
2
3
3
1 2 3
1 2 3
Suy ra



(1  a1 )(1  b1 )(1  c1 )  1  3 a1a2a3



3

1
1

1
1
1



3
abcd 
81
b) Cho a, b, c, d  0 , vaø 1  a 1  b 1  c 1  d
, chứng minh rằng
a
b
c


 (1  a)(1  b)(1  c) 1
c) Cho 0 a, b, c 1 , chứng minh rằng: b  c  1 c  a  1 a  b  1
 a m  b m   a n  b n  a m  n  b m n




2
2 
2
a

b


0;
m
,
n

N



Câu 12. a) Cho
, chứng minh rằng:
n

a n  bn
 a b 




2
b) Cho a, b 0; n  N , chứng minh rằng:  2 
2
2
4
4
8
8
12
12
c) Cho a  b 0 , chứng minh rằng: (a  b)(a  b )(a  b )( a  b ) 8( a  b )

Caâu 13. a) Cho a1 , a3 , b1 , b2 là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
a12  b12  a22  b22  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2
b) Cho a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
a12  b12  a22  b22  a32  b33  (a1  a2  a3 ) 2  (b1  b2  b3 ) 2
c) Chứng minh rằng với mọi x, y  R ta luôn có:
4cos2 x cos2 y  sin 2 ( x  y )  4sin 2 x sin 2 y  sin 2 ( x  y ) 2
d) Chứng minh rằng với mọi x, y, z  R ta luôn có:
x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  x 2  xz  z 2
2
2
e) Chứng minh rằng a  a  1  a  a  1 2, a  R
f) Cho x, y, z  0 , chứng minh rằng:

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3( x  y  z )
g) Cho a, b, c  0 vaø ab  bc  ca 1 , chứng minh rằng:
b 2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2


3
ab
bc
ca


 x 2  xy  y 2 3
 2
2
h) Giả sử hệ  y  yz  z 16 có nghiệm. Chứng minh rằng: xy  yz  zx 8 .

i) Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z 1 , chứng minh raèng:
1
1
1
x 2  2  y 2  2  z 2  2  82
x
y
z
x2 y 2 z 2 x
y z
 2 2  
2
y
z
x
z
x
Caâu 14. a) Cho x, y, z là các số thực khác 0. Chứng minh raèng y
a
b
c
a
b
c





bc

ca
a b
b) Cho a, b, c  0 , chứng minh rằng: a  b b  c c  a
Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm soá



y x 2004  2006  x 2

