<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1: </b> Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác tại hai điểm M và N.

<b>1.</b> Chứng minh:BEDC nội tiếp.

<b>2.</b> Chứng minh: góc DEA=ACB.

<b>3.</b> Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

<b>4.</b> Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc
MAN.

<b>5.</b> Chứng tỏ: AM2_=AE.AB.
Giợi ý:

y
A

x

N
E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE.

Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB= 1₂ sđ cung AB.
Mà sđ ACB= 1₂ sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)

xAB=AED hay xy//DE.

4.C/m OA là phân giác của góc MAN.

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của MN.(Đường kính
vng góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân giác của góc MAN.

5.C/m :AM2_=AE.AB.

Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai
cung bằng nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM MA_AB =AE

MA  MA2=AE.AB.

_{}

1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v. Hia

điểm D và E cùng làm với hai
đầu đoạn thẳng BC một góc
vng.

2.C/m góc DEA=ACB.

Do BECD ntDMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là
đường thẳng xy (Hình 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 2: </b>

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi
M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’
tại I.

1.Tứ giác ADBE là hình gì?
2.C/m DMBI nội tiếp.

3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
Gợi ý:

D

I

A M O B O’ C

E

3.C/m B;I;E thẳng hàng.

Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)BEDC;

CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vng góc
với DC B;I;E thẳng hàng.

C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung tuyến của tam giác
vuông DEI MI=MD.

4. C/m MC.DB=MI.DC.

hãy chứng minh MCI∽ DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE
cân ở B góc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ đó suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’).

<b> </b> _{}

<b>Baøi 3:</b>

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường
kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S.

1. C/m BADC nội tiếp.

2. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
3. C/m CA là phân giác của góc BCS.

Gợi ý:

1.Do MA=MB và ABDE
tại M nên ta có DM=ME.
ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường
trung trực của DE) vậy
ADBE ;là hình thoi.
2.C/m DMBI nội tiếp.

BC là đường kính,I(O’) nên
Góc BID=1v.Mà góc

DMB=1v(gt)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

D S

A M

O

B E C

AEM=MED.

4.C/m CA là phân giác của góc BCS.
-Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS)
-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cuøng chắn cung DS)
Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
Vậy góc ADB=SCAđpcm.

_



_

1.C/m ABCD nội tiếp:
C/m A và D cùng làm
với hai đầu đoạn thẳng
BC một góc vng..
2.C/m ME là phân giác
của góc AED.

Hãy c/m AMEB nội
tiếp.

Góc ABM=AEM( cùng
chắn cung AM)

Góc ABM=ACD( Cùng
chắn cung MD)

Góc ACD=DME( Cùng
chắn cung MD)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 4: </b>

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường trịn tâm O
đường kính MC;đường trịn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt
(O) tại S.

1. C/m ADCB nội tiếp.

2. C/m ME là phân giác của góc AED.
3. C/m: Góc ASM=ACD.

4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
Gợi ý:

A

S_D
M

B E C

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

Do MC là đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD.
Góc MEA=MEDđpcm

3.C/m góc ASM=ACD.

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung
SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.

Vậy Góc A SM=ACD.

4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2)
5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.

Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác KBCKM là
đường cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm.

_

_

_

1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
Góc MDC=BDC=1v
Từ đó suy ra A vad D
cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng BC một góc
vng…

2.C/m ME là phân giác
của góc AED.

Do ABCD nội tiếp
nên

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Baøi 5:</b>

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao
AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vng góc kẻ từ B và C xuống đường
kính AA’.

1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DEAC.

4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
Gợi ý:

A

N E
O I

B D M C
F

A’

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng.
3/ C/m DEAC.

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn
cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DEAC.

4/C/m MD=ME=MF.

Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là
trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)

Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung trực của DE
ME=MD.

 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)
A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C).

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà
ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường trung trực của DFMD=MF.

Vậy MD=ME=MF.

_

_

_

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Baøi 6: </b>

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên
cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung
điểm AB;Q là trung điểm FE.

1/C/m MFEC noäi tieáp.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M AMP∽FMQ.
4/C/m góc PQM=90o_.
Giải:

A M
F

P

B E C

Do MFEC noäi tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM).
Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn
cung FE).Góc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy ra :EFM∽ABM đpcm.

3/C/m AMP∽FMQ.

Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên) AB_FE =AM

MF maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) 
2 AP

2 FQ=
AM
MF <i>⇒</i>

AP
FQ=

AM

FM và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFM∽ABM)
Vậy: AMP∽FMQ.

4/C/m góc:PQM=90o_.

Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc

AFM=1vMQP=1v(đpcm).

_

_

_

1/C/m MFEC nội tieáp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung

làm với hai đầu đoạn thẳng
CM…)

2/C/m BM.EF=BA.EM
C/m:EFM∽ABM:
Ta có góc ABM=ACM (Vì
cùng chắn cung AM)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 7:</b>

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho

AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng
DE tại G.

1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường trịn này.

2. C/m BFC vng cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.

4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường trịn ngoại tiếp BCD.Có nhận
xét gì về I và F

A
B O C
F I

D

G E

Xeùt hai tam giác FEB và FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o_{;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).BFE=E FD}
BF=FDBF=FC=FD.đpcm.

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vng cân ở F Cung BF=FC=90o_{. sđgóc GBF=} 1

2 Sđ cung BF=
1

2 .90o=45o.
(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)

Mà góc FED=45o_{(tính chất hình vuông)Góc FED=GBF=45}o_{.ta lại có góc FED+FEG=2vGóc}
GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp.

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG
vng cân ở FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm
trên… :Do GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại
tiếp BCD. Dễ dàng c/m được I F.

<b>Baøi 8:</b>

Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ
D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung

nhỏ BC).

1. C/m BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC2_=DE.DF.
3. C/m:DOIC nội tieáp.

4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.

1/C/m BGEC nội tiếp:
-Sử dụng tổng hai góc đối…
-I là trung điểm GC.

2/C/mBFC vuông cân:
Góc BCF=FBA(Cùng chắn
cung BF) mà góc FBA=45o
(tính chất hình vuông)
Góc BCF=45o_.

Góc BFC=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn)đpcm.
C/m F là tâm đường tròn
ngoại tiếp BDC.ta C/m F
cách đều các đỉnh B;C;D
Do BFC vuông cân nên
BC=FC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A

F
O I

B C
E

D

Ta có: sđgóc BAC= 1₂ sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD
chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC= 1₂ sđcungBC (2)
Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vng góc
với dây cung EFI là trung điểmEF.

_

_

_

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai
góc đối)

2/C/m:DC2_=DE.DF.

Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc
D chung.

SđgócECD= 1₂ sđ cung EC(Góc
giữa tiếp tuyến và một dây)

Sđ góc E FC= 1₂ sđ cung EC(Góc
nội tiếp)góc ECD=DFC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 9:</b>

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN
vng góc với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.

1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM

3. C/m Mn là phân giác của góc BMQ.

4. Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để
MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Giải:Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.

M

P
A I H B
Q O

N

1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương
pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vng.

-Tổng hai góc đối.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.

Xét hai vng NQM và NAH đồng dạng.

3/C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M
 Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.
Ta có 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN.

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2.

AB<i>×</i>MN

2 =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính
M là điểm chính giữa cung AB.

<b>Baøi 10:</b>

Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên
đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai
đường tròn ở E.

1/ Chứng minh tam giác ABC vng ở A.
Hình 9a

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F .Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn .
3/ Chứng tỏ : BC2_{= 4 Rr}

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r
Giải:

B E

C
N F
O A I

AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay góc ENA=1v
Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC2_=4Rr.

Ta có tứ giác FANE có 3 góc vng(Cmt)FANE là hình vngOEI vng ở E và EAOI(Tính
chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng trong tam giác vng có: AH2_{=OA.AI(Bình phương đường}
cao bằng tích hai hình chiếu)

Mà AH= BC₂ và OA=R;AI=r BC2

4 =¿ RrBC
2_=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO= OB₂+IC<i>×</i>BC
S= (<i>r</i>+<i>R</i>₂)

√

rR

_

_

_

<b>Baøi 11:</b>

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A
cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vng góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.

1. C/m OMHI nội tiếp.
2. Tính góc OMI.

3. Từ O vẽ đường vng góc với BI tại K.C/m OK=KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.
Giải:

A

1/C/m ABC vuông:
Do BE và AE là hai
tiếp tuyến cắt nhau
nênAE=BE; Tương tự
AE=ECAE=EB=EC=

1

2 BC.ABC vuông
ở A.

2/C/m A;E;N;F cùng
nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau thì EO
là phân giác của tam
giác cân

Hình 10

1/C/m OMHI nội tiếp:
Sử dụng tổng hai góc đối.
2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M
Nên M là trực tâm của tam giác ABI
IM là đường cao thứ 3 IMAB

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

O M B
H

K
I

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o_.
OKH vuông cân ở KOH=KH

4/Tập hợp các điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường trịn đường kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là 1₄ đường
trịn đường kính OB.

_

_

_

Mà  vng OAB có OA=OB
OAB vng cân ở O góc
OBA=45o_{góc OMI=45}o
3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO
(Góc ngồi OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc
AOB=AHB=1v) Góc

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Baøi 12:</b>

Cho (O) đường kính AB và dây CD vng góc với AB tại F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A
với M cắt CD tại E.

1. C/m AM là phân giác của góc CMD.
2. C/m EFBM nội tiếp.

3. Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD
5. Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp CIM

Giaûi:

C

N M

A F O B

I
D

AMB+EFB=2vñpcm.
3/C/m AC2_=AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắn cung AD và AMD=CMA cmt

ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) hay
NMI=NBIM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhauMNIB nội
tiếpNMB+NIM=2v. mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.
5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM.

Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM.
Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI

Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN)
Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội
tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM
Vậy N là tâm đường trịn……

<b>Bài 13 : </b>

Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE.Gọi
H là trung điểm DE.

1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. C/m HA là phân giác của góc BHC.

3. Gọi I là giao điểm của BC và DE.C/m AB2_=AI.AH.
4. BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK.

1/C/m AM là phân giác của góc CMD
Do ABCD AB là phân giác của

tam giác cân COD. COA=AOD.
Các góc ở tâm AOC và AOD bằng
nhau nên các cung bị chắn bằng nhau
cung AC=ADcác góc nội tiếp
chắn các cung này bằng nhau.Vậy
CMA=AMD.

2/C/m EFBM noäi tiếp.

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn
nửa đường trịn)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

B
E H

I D

O A

K C

1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường trịn: H là trung điểm EBOHED(đường kính đi qua
trung điểm của dây …)AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C cùng
nằm trên đường trịn đường kính OA.

2/C/m HA là phân giác của góc BHC.

Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau BAO=OAC và AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) và
COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH CHA=AHBđpcm.

3/Xeùt hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng
nhau) ABH∽AIBđpcm.

4/C/m AE//CK.

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) và sđ BKC= 1₂ Sđ cungBC(góc nội tiếp)
Sđ BCA= 1₂ sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)

BHA=BKCCK//AB

_

_

_

<b>Baøi 14:</b>

Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi
giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N.

1. Cmr:MCDN nội tiếp.
2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH là
hình bình hành.

4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?

M

C
A O B
K

Hình 13

1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân ở OOCA=CAO; góc
CAO=ANB(cùng phụ với góc
AMB)góc ACD=ANM.
Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội
tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

D

H I

N

MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng
góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I.
Do H là trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông AMNANM=NAH.Mà

ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.

Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông ở
KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O thì I nằm trên đường
thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

_





</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Baøi 15:</b>

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG
lần lượt vng góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của (O).

1. C/m AHED nội tiếp

2. Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m HA.DP=PA.DE
3. C/m:QM=AB

4. C/m DE.DG=DF.DH

5. C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn)
A

H

P O

G
B F C

E

M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH .

Xét hai tam giác DEH và DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1)
Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3)
FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7)
Từ (6)và (7)EDH∽FDG ED_DF=DH_DG đpcm.

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v. EDG=BDC mà

EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng hàng.

_

_

_

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai

điểm H;E cùng làm hành với hai
đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vuông đồng dạng:
HAP và EPD (Có HPA=EPD đđ)
3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM
Mà sđHAB= 1₂ sđ cung AB;
SñHDM= 1₂ sñ cung QM
cung

AM=QMAB=QM
Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Baøi 16:</b>

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC(K nằm trên
BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.

1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB

3. Chứng tỏ BC2_=2AC.KC

4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.

N

M

A
K

B I C

KBC=KCB Vậy BMC=2ACB
3/C/m BC2_=2AC.KC

Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACB∽ICK
 AC

IC =
CB

CK IC=

BC

2 

AC
BC
2

=BC

CK đpcm
4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi IAC) và IAC Cân ở IIAC=ICA AIB=2IAC(1). Ta lại có
BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do MNA cân ở
M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)…
5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)
_



_

<b>Baøi 17:</b>

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của ACB
cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB.

1. C/m:MOBK nội tiếp.

2. Tứ giác CKMH là hình vng.
3. C/m H;O;K thẳng hàng.

4. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào?
1/C/m ABIK nội tiếp

(tự C/m)

2/C/m BMC=2ACB
do ABMK và
MA=AK(gt)BMK
cân ở BBMA=AKB
Mà AKB=KBC+KCB
(Góc ngồi tam giac
KBC).

Do I là trung điểm BC
và KIBC(gt)

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

C
H

A O B
I

P Q K

M

2/C/m CHMK là hình vuông:

Do  vng HCM có 1 góc bằng 45o_{nên CHM vng cân ở H HC=HM, tương tự CK=MK Do}
C=H=K=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau CHMK là hình vng.

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vngHKMC tại trung điểm I của MC.Do I là
trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một dây…)

Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng.

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm trên đường trịn đường kính OM.

-Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường trịn (O) thì I chạy
trên cung trịn PHQ của đường trịn đường kính OM.

_



_

<b>Bài 18:</b>

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của góc ACD,từ A hạ
AH vng góc với đường phân giác nói trên.

1/Chứng minhAHDC nt trong đường trịn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a.
2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC. Và AB.AC=BH.BI
3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J.Chứng minh HOKD
nt.

1/C/m:BOMK nội tiếp:
Ta có BCA=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn)

CM là tia phân giác của góc
BCAACM=MCB=45o_.

cungAM=MB=90o_.

dây AM=MB có O là trung
điểm AB OMAB hay
gócBOM=BKM=1v
BOMK nội tiếp.
Hình 17

x A B

M

H I O J

N K

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Xeùt hai HCAABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắn cung AH)
HCA∽ABI  HC_AB=AC

BI mà HB=HCđpcm

3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) laø Hx.

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân ở OOHAD và OHHx(tính
chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)

Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 điểm B;C cùng làm với hai
đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC
(cùng chắn cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx.

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= AD₂ mà cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J thẳng
hàng tức HJ là đường kính HDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắn 2 cung bằng nhau)OJK=OCKCJ cùng
làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung

KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội
tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Baøi 19</b>:<b> </b>

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là 1 điểm trên cung BC.Kẻ
đường cao CH của tam giác ACM.

1. Chứng minh AOHC nội tiếp.

2. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.

3. Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình thang cân.

4. BM cắt OH tại N.Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN.MC=IN.MA.

C N
D

Sđ CMA= 1₂ sđcung AC=45o_{.CHM vuông cân ở}

M.

C/m OH là phân giác của góc COM:Do CHM vng cân ở HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH

chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm.

3/C/m:CDBM là thang cân:

Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà IOHICM cân ở
IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ở IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên
CDB=MBDCDBM là thang cân.

4/C/m BNI và AMC đồng dạng:

Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM.

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc

CMH=45o_NHM=45o_{MNH vng cân ở M vậy CHMN là hình vng INB=CMA=45}o_.
Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…

và CAM=CBM(cùng chắn cung CM)
INB=CMA đpcm

<b>Baøi 20:</b>

Cho  đều ABC nội tiếp trong (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN.
1. Chứng tỏ OMN cân.

2. C/m :OMAN noäi tieáp.

3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.C/m BC2_+DC2_=3R2_.

4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại
J.C/m BI đi qua trung điểm của AJ.

F

1/C/m AOHC nội tiếp:
(học sinh tự chứng
minh)

2/C/mCHM vuông
cân:

Do OCAB trại trung
điểm OCung

AC=CB=90o_.
Ta lại có:
M

I

H

A Hình 19O B

1/C/m OMN caân:

Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong
(O)AO và BO là phân giác của ABC
OAN=OBM=30o; OA=OB=R và
BM=AN(gt)OMB=ONA
OM=ON OMN cân ở O.
2/C/m OMAN nội tiếp:

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

A I
E
M

B J C

AOC=120oAOE=60oAOE là tam giác đều có ADOEOD=ED= <i>R</i>₂
Aùp dụng Pitago ta có:OD2_=OC2_-CD2_=R2_-CD2_.(2)

Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R. <i>R</i>₂ +CD2-CD2=3R2.
4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ.

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60o

BFC=30o.

BC= 1₂ BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung điểm BFI là trung
điểm CF. Hay FI=IC.

Do AK//FI.p dụng hệ quả Talét trong BFI có: AK_EI =BK_BI

Do KJ//CI.p dụng hệ quả Talét trong BIC có: KJ

CJ =
BK
BI

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)

_



_

<b>Baøi 21:</b>

Cho ABC (A=1v)nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm cạnh AC.Đường trịn
tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.

1. C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN.

2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).

3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E.C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác của góc AND.

A

M D

B O N C
E

K

D

N
O

Hình 20

AK
FI =

KJ
CI

1/

C/m ABNM nội tiếp:
(dùng tổng hai góc đối)
C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông
ABC và NMC đồng dạng.

2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có
MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn tâm I) hay MD  DC.
BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa
đường trịn tâm O)

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vng góc với DCB;M;D thẳng
hàng.

C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì M;O là trung điểm
của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của
đường trịn tâm I.

3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung điểm
BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là hình bình hành.
4/C/m MN là phân giác của góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM)
MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD)
ANM=MNDđpcm.

_



_

<b>Baøi 22:</b>

Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các
đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M.

1. C/m INCQ là hình vng.
2. Chứng tỏ NQ//DB.

3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong đường trịn.Xác
định tâm.

4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a.
5. C/m MFIE nội tiếp.

A M D
F

E
P I N
B Q C

Hay NQACNQ//DB.

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vng)MFI=1v;MIN=1v(gt)
hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp.

Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội
tiếp.

1/C/m INCQ là hình vng:
MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN
NC=IQ=PD NIC vng ở N có
ICN=45o_{(Tính chất đường chéo hình}
vng)NIC vng cân ở N

INCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 1₂ SAMIP+ 1₂ SMDNI+ 1₂ SNIQC+ 1₂ SPIQB
= 1₂ SABCD= 1₂ a2.

5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp
_



_

<b>Bài 23:</b>

Cho hình vng ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính
BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.

1. C/m MDNE noäi tiếp.

2. Chứng tỏ BEN vng cân.

3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.
4. C/m BI=BC và IE F vng.

5. C/m FIE là tam giác vuông.

Q B
A

M

D N C

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của EN và BI là trực tâm H.Ta phải

C/m M;H;F thẳng hàng.

Do H là trực tâm BMNMHBN(1)

MAF=45o_{(t/c hv);MBF=45}o_(cmt)

MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v mà MAB=1v(gt)MFB=1v

hay MFBM(2)

Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng.

4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do

MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc

INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45oEIB=45o_

Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN vuông cân)HIF=45o.

Từuvà vEIF=1v đpcm

5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Hai vng ABM và BIM có

cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ở B có BM là phân giác BM là đường trung

trực của QH.

1/C/m MDNE nội tiếp.

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa
đường trịn)

MEN=1v;MDN=1v(t/c hình
vuông)

MEN+MDN=2vđpcm
2/C/m BEN vuông cân:
NEB vuông(cmt)
Do CBNE nội tiếp

ENB=BCE(cùng chắn cung
BE) mà BCE=45o_(t/c

hv)ENB=45oñpcm.

3/C/m MF đi qua trực tâm H của
BMN.

E

H
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

*C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội tiếpMAE=MQE(cùng

chắn cung ME) mà MAE=45o_{và ENB=45}o_(cmt)

MQN=BNQ=45o MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN)

và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)

 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o
MNB=QBNMQBN là thang cân.

<b>Baøi 24:</b>

Cho ABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vng góc
với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK.

1. C/m AMHK noäi tieáp.
2. C/m JA.JH=JK.JM

3. Từ C kẻ tia Cxvới AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vng góc với DB và
DC. Cmr : HKM=HCN

4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

A

J M
K

B H C
I

N

D

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH).

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

_Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)
_Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

_Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)
_Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH

mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K cùng nằm trên một
đường tròn.

1/C/m AMHK nội tiếp:
Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM
và JHK có: AJM=KJH
(đđ).Do AKHM nt
HAM=HKM( cùng
chắn cung HM)
JAM∽JKH
đpcm

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Baøi 25</b>:<b> </b>

Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và
cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I.

1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng.

2. C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này.
3. C?m AMDE.

4. C/m AHOM là hình bình hành.

A

E

B H M C

D

O

BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…
Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.
3/C/m:AMDE:

Do M là trung điểm BCAM=MC=MB= BC₂ MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE.
Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vậy AMED.

4/C/m AHOM là hình bình hành:

Do O là tâm đường trịn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực của BC OMBCOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường trịn tâm H)OHDE mà

AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.
_



_

1/C/m D;H;E thẳng hàng:
Do DAE=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn tâm
H)DE là đường kính
D;E;H thẳng hàng.
2/C/m BDCE nội tiếp:
HAD cân ở H(vì

HD=HA=bán kính của đt
tâm H)HAD=HAD mà
HAD=HCA(Cùng phụ với

HAB)

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>Baøi 26:</b>

Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối
xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.

1. Chứng minh AICH nội tiếp.
2. C/m AI=AK

3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC.

5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC.

I
A

K

B H C

2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực của KHAH=AK
AI=AK(=AH)

3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:

DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI
cân ở A(theo c/m trên AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…
A;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (<i><b>C</b></i>)

Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(<i><b>C’</b></i>)  (<i><b>C) </b></i>và <i><b>(C’</b></i>) trùng nhau vì có chung 3 điểm
A;H;I khơng thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC.

Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của ABC.Chứng minh tương tự ta có BF là đường
cao…

5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE.
EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)
HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

C/m tương tự có EC là phân giác của FHEđpcm.

<b>Baøi 27:</b>

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM
lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.

1. C/m: BAC=2BKC

2. C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này.
3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng.
4. C/m DI=BI.

1/C/m AICH nội tiếp:
Do I đx với H qua
ACAC là trung trực
của HIAI=AH và
HC=IC;AC chung
AHC=AIC(ccc)
AHC=AIC mà
AHC=1v(gt)AIC=1v
AIC+AHC=2v AICH
nội tiếp.

F
E

M

Hình 26

EHM=MHF
HA là pg…

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

D

A

I K
M

B C

AD=AC(gt)ADC cân ở AADC=ACDBAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp.

ưXác định tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến CA= 1₂ BDBCD vuông ở C
.Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vng ở K có trung
tuyến KAKA= 1₂ BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường trịn…

3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng hàng.
4/C/mBI=DI:

ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AIDB,có A là trung điểmAI là đường trung
trực của BDIBD cân ở IID=BI

ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân ở DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân ở
Iđpcm.

<b>Baøi 28:</b>

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB khơng chứa
điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.

1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m NA.NB=NI.NC

3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.C/m:EF//AB.
4. C/m :IA2_=IM.ID.

E F
I B
A

D C
Hình 27

1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một
đường trịn.

Sđ IMB= 1₂ sđcung(IB+AD)
Sđ NCD= 1₂ Sđ cungDI
Mà cung IB=IAIMB=NCD
IMB=NCD.

Ta lại có IMN+DMN=2v

NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp.
2/Xét 2NBC và NAI có:

M N



</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

IAB=ICB(cùng chắn cung BI)

INA=BNC(đ ñ)NAI∽NCBñpcm.
3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF
hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB.
4/C/m: IA2_=IM.ID.

2 AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
đpcm.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 29:</b>

Cho hình vng ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo
dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song với
AB,cắt AI tại G.

1. C/m AECF nội tiếp.
2. C/m: AF2_=KF.CF

3. C/m:EGFK là hình thoi.

4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị khơng đổi.

5. Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJJK.

Giaûi:

F

A J D
G

I K

B
Hình 28

1/C/m AECF nội tiếp:
FAE=DCE=1v(gt)

 AECF nội tiếp

2/C/m: AF2_=KF.CF.

Do AECF nội tiếp

DCA=FEA(cung chắn cung
AF).Mà DCA=45o

(Tính chất hình vuông)

FEA=45oFAE vuông

cân ở A có FI=IEAIFE
FAK=45o.

FKA=ACF=45o.Và KFA

chung

FKA∽FCA

 FA

FC=
FK

FA đpcm.
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

3/C/m: EGFK là hình thoi. -Do AK là đường trung trực của FEGFE cân ở G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vng góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI là đường trung trực
của GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi.

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF và ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông cân)ADF=ABE BE=DF
nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK

ưC/m chu vi tam giác CKE khơng đổi:Gọi chu vi là <i><b>C</b></i>= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+
(BE+EC)=2BC không đổi.

5/C/m IJJK:

Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vng) JIK=45oJIK
vng vân ở IJI=IK,mà IK=GI

JI=IK=GI= 1₂ GKGJK vuông ở J hay GJJK.

<b>Baøi 30:</b>

Cho ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của
HD và BC.

1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O.
2. So sánh BAH và OAC.

3. CH cắt OD tại E.C/m AB.AE=AH.AC

4.Gọi giao điểm của AI và OH là G.C/m G là trọng tâm của ABC.

A

Q
B

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm trên đường trịnAD là đường kính.Vậy O là
trung điểm AD.

2/So sánh BAH và OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( do BHCD là hình bình hành) QCB=CBD(so
le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC.

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH và ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với
BAC)ABH∽ACEđpcm

4/C/m G là trọng tâm của ABC.ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= 1₃ AI.
Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét trong AGH

 OI
AH=

GI

AG .Do I là trung điểm HDO là trung điểm AD
OI
AH=

1

2 (T/c đường trung bình)
OI
AH=
GI
AG=
1
2 GI=
1

2 AG. Hay GI=
1

3 AIG là trọng tâm của ABC.
ÐÏ(

&

(ÐÏ

1/c/m:ABDC nội tiếp:
Gọi các đường cao của
ABC là AN;BM;CN.
—Do

AQH+HMA=2vAQHM
nội tiếpBAC+QHM=2v
mà QHM=BHC(đ đ)
BHC=CDB(2 góc đối của
hình bình hành)

BAC+CDB=2VABDC
nội tiếp.

—Cách xác định tâm O:do
CD//BH(t/c hình bình hành)
M

H G

N I C

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>Baøi 31</b>:

Cho (O0 và cung AB=90o_{.C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ của}
ABC cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và AN gặp nhau ở D.

1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn.
2. c/m: BI.KC=HI.KB

3. C/m:MN là đường kính của (O)
4. C/m ACBD là hình bình hành.
5. C/m:OC//DH.

N

D A
M

K
B C
I J

H

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH cũng là tam giác vng cân.Ta lại có:
AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà

sđMAB= 1₂ sđMB

SđABM= 1₂ sđAM và cung MA+AM=AB=90o_.

AMD=45o và AMD=BMH(đ đ)

BMI=45oBIM vng cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN là đường kính của (O).
5/C/m OH//DH.

Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) mà CAN =45o.

MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc ở tâm MOC chắn cung MC=90oMOC=90oOCMN.
Do DBNH;HADN;AH và DB cắt nhau ở MM là trực tâm của DNH MNDHOC//DH.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 32:</b>

Cho hình vng ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O
đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E.

1. C/m BFN vuông cân.
2. C/m:MEBA nội tiếp

3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.C/m B;Q;P thẳng hàng.
4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.

5. C/m FPE là tam giác vuông

Bài này có hai hình vẽ tuỳ
vào vị trí của C.Cách c/m
tương tự

1/C/m B;K;C;J cùng naỉm
tređn mt đường tròn.

-Sử dúng toơng hai góc đoẫi.
-Sử dúng hai góc cùng làm
với hai đaău đốn thẳng mt
góc vuođng.

2/C/m: BI.KC=HI.KB.

Xét hai tam giác vuông BIH
và BKC có IBH=KBC(đ đ)
đpcm

3/ C/m MN là đường kính
của (O).

Do cung

AB=90o_{.ACB=ANB=45}o
KBC;AKN là những



O

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

A B
F

M

Q
P

D N C

FME=45o_{và MAC=45}o_{(tính chất hình vuông)FME=MAC=45}o_.
MABE nội tiếp.

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt
NFBMQ là trực tâm của BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2).
Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng.

4/C/m MF//PC.

Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF)
Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF của (O)

FEM=FCPME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP và MEBNCPBN.Đường kính MN vng góc với dây CPBN là

đường trung trực của CP hay BCP cân ở BBC=BP.
5/C/m FPE vng:

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm được QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 33:</b>

Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở
E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.

1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.
2. c/m:AQEC nội tiếp.

3. C/m:KA.KC=KB.KD
4. C/m:QE//AD.

Q

E
B
A C

O D

1/c/m:BFN vuông cân:
ANB=FCB(cùng chắn
cung FB).Mà FCB=45o
(tính chất hình vuông)
ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn
nửa đường trịn)

BFN vng cân ở F
2/C/m MEBA Nội tiếp:
DoFBN vng cân ở F



O

E

Hình 32

1/C/m CB là phân giác của góc ACE:
Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v
Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD.
Do AB=AC(gt)BAD cân ở
BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA
(Cùng chắn cung AB)BCE=BCA
đpcm.

2/C/m AQEC nội tiếp:

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A và C cùng làm với hai đầu đoạn QE…đpcm
3/C/m: KA.KC=KB.KD.

C/m KAB∽KDC.
4/C/m:QE//AD:

Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) maø QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>Baøi 34:</b>

Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với
đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD.

1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF.
2. C/m ADCF nội tiếp.

3. C/m: CF.CN=CE.CM
4. C/m:MN//AC.

5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
C

D

B

E N
J
A O
I

F

M

hai điểm F và C cùng làm với 2 đầu đoạn AD…đpcm
3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m CEF∽CNM.

4/C/m:MN//AC.

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành DAC=ACE(so le),ta
lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN.

5/C/m:DF đi qua trung điểm NI:Gọi giao điểm của NI với FE là J
Do NI//AC(vì MN//AB)

NJ//CB,theo hệ quả talét JE_FB=NJ

BC
Tương tự IJ//AB JF_FB=JI

AB
MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

ÐÏ(

&

(ÐÏ

1/C/m:D nằm trên đường thẳng
BF.

Do ADCE là hình bình

hànhDE và AC là hai đường

chéo.Do B là trung điểm của
AC B cũng là trung điểm DE
hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F
thẳng hàng D nằm trên BF.
2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf là hình bình hành
DCA=CAE(so le)

Sđ CAE= 1₂ Cung AE(góc giữa
tt và một dây) mà EFA=sđ 1₂
AE

CAE=EFADFA=DCA
Hình 34

JI
AB=

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>Bài 35:</b>

Cho (O;R) và đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB.

<b>1.</b> C/m:ACBD là hình vuoâng.

<b>2.</b> AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB.C/m IB.IC=IA.IM

<b>3.</b> Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM.

<b>4.</b> Tính diện tích AID theo R.

C

M

A O

D

IMJ=IBJ=45o_{M và B cùng làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp.}
IJB+IMB=2v mà IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Mà PDAB(gt) IJ//PD
— C/m IJ là phân giác của góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v và ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp
 IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM)

-Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM)
 IJC= IJMđpcm.

4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có ICB khoảng cách từ đến AD chính bằng CA.Ta lại có
IAD và CAD chung đáy và đường cao bằng nhau. 

S

IAD=

S

CAD.Mà

S

ACD=

1

2 SABCD.

S

IAD=
1
2
SABCD.SABCD=

1

2 AB.CD (diện tích có 2 đường chéo vng góc)SABCD=
1

2 2R.2R=2R2SIAD=R2.
ÐÏ(

&

(ÐÏ

1/C/m:ACBD là hình vuông:

Vì O là trung điểm của AB;CD nên
ACBD là hình bình hành.

Mà AC=BD(đường kính) và ACDB
(gt)hình bình hành ACBD là hình
vng.

2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét 2 IAC và IBM có CIA=MIB(đ đ)
IAC=IBM(cùng chắn cung CM)

IAC∽IBMđpcm.
3/C/m IJ//PD.

Do ACBD là hình vuông CBO=45o_.
Và cung AC=CB=BD=DA.

AMD=DMB=45o

P I

B
J

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>Baøi 37:</b>

Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và
AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N.

<b>1.</b> C/m:  OHO’ là tam giác vuông.

<b>2.</b> C/m:HB.HO’=HA.HO

<b>3.</b> C/m: HOO’∽HBA.

<b>4.</b> C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp.

<b>5.</b> C/m AMN vuoâng caân.

A

M O O’ N

B H C

Phân giác của hai góc trênOBH=O’AH và OHB=O’HA=45o_.
HBO∽HAO’ HB_HA=OH

<i>O ' H</i>(1) đpcm.

3/c/m HOO’∽HBA.
Từ (1) HB_HA=HO

HO<i>'</i> 

HO<i>'</i>

HA =
HO

HB (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO và HO’ của HOO’tỉ lệ
với các cặp cạnh của HBA và góc xen giữa BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA.

4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà

O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm.

C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) và hai tam giác vuôngHBA và HAC có góc nhọn

ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Mà

OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm.

5/C/m AMN vng cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà AMO+OMB=2vAMO=OHB mà
OHB=45o_AMO=45o_{.Do AMN vng ở A có AMO=45}o_{.AMN vng cân ở A.}

ÐÏ(

&

(ÐÏ

1/C/m:OHO’ vuoâng:

Do AHB=1v và O là tâm đường
tròn nội tiếp AHBO là giao
điểm ba đường phân giác của tam
giácAHO=OHB=45o_.

Tương tự AHO’=O’HC=45o_.
O’HO=45o₊₄₅o₌₉₀o_.
hay O’HO vuông ở H.
2/C/m: HB.HO’=HA.HO
Do ABC vuông ở A và

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>Baøi 37:</b>

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng
vng góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt
đường thẳng IK tại D.Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N.

<b>1.</b> C/m:AIMD nội tiếp.

<b>2.</b> C?m CM.CA=CI.CD.

<b>3.</b> C/m ND=NC.

<b>4.</b> Cb cắt AD tại E.C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp EIM.

<b>5.</b> Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R.
D

N

M
K

E C
A

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân ở NNC=NM.
Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v và NCM=NMC NDM=NMDNMD cân ở

NND=NMNC=ND(đpcm)

4/C/m C là tâm đường trịn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C là giao điểm 3 đường phân giác của EMI

<b>(xem câu 3 bài 35)</b>

5/Tính CD theo R:

Do KI là trung trực của AOAKO cân ở KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO là 
đềuKI= <i>R</i>₂

√

3 CI=KC= KI₂ = <i>R</i>₄

√

3 .Aùp dụng PiTaGo trong tam giác vuông ACI có:CA=

√

CI2+AI2=

√

3<i>R</i>

2

16 +

<i>R</i>2

4 =

<i>R</i>

√

7

4 CIA∽BMA( hai tam giác vuông có góc CAI chung)

CA
BA=

IA

MA MA=

AB<i>×</i>AI

AC = 2R.

<i>R</i>

2 :

<i>R</i>

√

7

4 =¿

= 4<i>R</i>₇

√

7 MC=AM-AC= ₂₈9<i>R</i>

√

7 áp dụng hệ thức câu 2CD= 3<i>R</i>₄

√

3 .
ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 38:</b>

Cho ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt

là chân các đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC.

1. C/m AHPK nội tiếp.
2. C/m HB.KP=HP.KC.

1/C/m AIMD nội tiếp:
Sử dụng hai điểm I;M cùng
làm với hai đầu đoạn AD…
2/c/m: CM.CA=CI.CD.
C/m hai CMD và CAI
đồng dạng.

3/C/m CD=NC:

sđNAM= 1₂ sđ cung AM
(góc giữa tt và một dây)
sđMAB= 1₂ sđ cung AM
NAM=MAB

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK
4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F.

A

H K
P

D E

B F C

tuyến của  vuông HBPHD=DPDH=FE

C/m tương tự có:DF=EK.

4/C/m đường trung trực của HK đi qua F.

Ta phải C/m EF là đường trung trực của HK.Hay cần c/m FK=FH.
Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngồi tam giác cân ABP)
Tương tự KEP=2ACP

Mà ABP=ACD(gt)

Do PEFD là hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) và (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH
đpcm.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 39:</b>

Cho hình bình hành ABCD(A>90o_{).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vng góc với AD;DB;AB.}
<b>1.</b> C/m DEFC nội tiếp.

<b>2.</b> C/m:CF2_=EF.GF.

<b>3.</b> Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ OICD.Cmr: OI đi qua trung điểm của AG.

<b>4.</b> Chứng tỏ EOFG nội tiếp.

A G B

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng
tổng hai góc đối)

2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai  vuông HPB và KPC
đồng dạng.

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO và DF//EP (FE và
FD là đường trung bình của
PBC)DPEF là hình bình
hành.DP=FE.Do D là trung
điểm của BPDH là trung
Hình 38

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

E

F
O

D J I C

1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cùng làm với hai đầu đoạn thẳng CD).
2/C/m: CF2_{=EF.GF: Xét 2 ECF và CGF có:}

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự
c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE.

-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp
FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm.

3/C/m Oi đi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm của đường trịn tâm O đường kính AC là J Do

AG//CJ và CGAGAGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I là trung điểm CJ(đường kính
 với 1 dây…)đpcm.

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt trong (O)AOG=2GCE (góc nt bằng nửa

góc ở tâm cùng chắn 1 cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối của tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc
đối của hbh)EOG=2.ADC(<b>1</b>)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn của  vuông EDC)

(_);Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o_-GBC(_ßß_).Từ

(ß)và(ßß)EFD+GFB=90o_-EDC+90o_-GBC=180o_{-2ADC mà EFG=180}o_{-(EFD+GFB)=180}o
-180o_+2ADC=2ADC(<b>₂</b>₎

Từ (<b>1</b>) và (<b>2</b>)EOG=EFGEOFG nt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>Baøi 40:</b>

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và
D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F.

<b>1.</b>C/m:C;B;F thẳng hàng.

<b>2.</b>C/m CDEF nội tiếp.

<b>3.</b>Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

<b>4.</b>C/m A là tâm đường trịn nội tiếp BDE.

<b>5.</b>Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’)

D E

A
O

I O’
C

B

F

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng.

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D cùng làm với hai đầu đoạn CF…
đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai  vuông DAC và EAF có DAC=EAF(đ đ)

 DAC ∽ø EAFđpcm.

4/C/m A là tâm đường trịn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A là giao điểm 3 đường phân giác của
DBE. <b>(Xem cách c/m bài 35 câu 3)</b>

5/Để DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE là tiếp tuyến chung thì ODDE và O’EDE.Vì OA=OD AOD cân ở
OODA=OAD.Tương tự O’AE cân ở O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ)

ODO’=OEO’D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ những góc bằng nhauODEO’ nt
ODE+EO’O=2v.Vì DE là tt của (O) và (O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ là hình chữ
nhật DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A.

Vậy để DE là tt chung của hai đường trịn thì hai đường trịn có bán kính bằng nhau.(hai đường tròn
bằng nhau)

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 41:</b>

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp
tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<b>1.</b> Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn.

<b>2.</b> Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2_.
<b>3.</b> Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?

<b>4.</b> C/m KE và KF là hai tiếp tyuến của (O)

B

O

I F y
H

E

A
C

K

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H cùng nằm trên đường trịn đường kính AO.
2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng ở B có BI là đường cao.p dung hệ thức lượng trong tam giác vng ta

có:OB2_{=OI.OA ;mà OB=R.OI.OA=R}2_.(1)

Xét hai  vuông OHA và OIK có IOH chung.AHO∽KIO OA_OK=OH_OI

OI.OA=OH.OK (2).
Từ (1) và (2)đpcm.

4/C/m KE và KF là hai tt của đuờng tòn (O).
-Xét hai EKO và EHO.Do OH.OK=R2_=OE2

 OH_OE =OE

OK vaø EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE maø OHE=1vOEK=1v hay OEEK tại điểm E nằm trên

(O)EK là tt của (O)
-c/m

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 42:</b>

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D.Qua A kẻ AE và AF lần lượt
vng góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K.

1. C/m AFDE nội tiếp.
2. C/m: AB.NC=BN.AB
3. C/m FE//BC

4. Chứng tỏ ADIC nội tiếp.

1/

C/m:A;B;C;H;O
cùng nằm trên
một đường trịn:
Ta có

ABO=ACO(tính

chất tiếp

tuyến).Vì H l;à
trung điểm dây
FE nên OHFE
(đường kính đi
qua trung điểm 1
dây) hay kính
AO.

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Chú ý bài toán vẫn đúng khi AB>AC

A

N
F E
M D

K

B I C

1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m)
2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D là giao điểm các đường phân giác BN và CM củaABN  BD_DN=AB

AN (1)
Do CD là phân giác của  CBN BD_DN=BC

CN (2)
Từ (1) và (2)  BC_CN=AB

AN ñpcm
3/c/M fe//bc:

Do BE là phân giác của ABI và BEAIBE là đường trung trực của AI.Tương tự CF là phân giác
của ACK và CFAKCF là đường trung trực của AK E là F lần lượt là trung điểm của AI và
AK FE là đường trung bình của AKIFE//KI hay EF//BC.

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF ntDAE=DFE(cùng chắn cung DE)
Do FE//BCEFD=DCI(so le)

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 43:</b>

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường trịn tâm O đường kính AB
và (O’) đường kính AC.Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D.

<b>1.</b>Chứng tỏ D nằm trên BC.

<b>2.</b>Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m
DE.AC=AE.MC

<b>3.</b>C/m AN=NE vaø O;N;O’ thẳng hàng.

<b>4.</b>Gọi I là trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o_.

<b>5.</b>Tính diện tích tam giác AMC.

A

Hình 42

DAI=DCIADIC nội tiếp

1/Chứng tỏ:D nằm
trên đường thẳng
BC:Do

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

O N O’

B D E C
M

-Tính DB: Theo PiTaGo trong  vng ABC có: BC=

√

AC2+AB2=

√

152+202=25 .p dụng hệ thức lượng trong

tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE và AMC.Có ADE=1v(cmt) và AMC=1v (góc nt chắn nửa đường
trịn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau) DAE∽MAC DA

MA=
DE
MC=

AE
AC

(1)Ñpcm.

3/C/m:AN=NE:

Do BAAO’(ABC Vuông ở A)BA là tt của (O’)sđBAE= 1₂ sđ AM

SñAED=sñ 1

2 (MC+AD) mà cung MC=DMcung MC+AD=AM
 AED =BAC BAE cân ở B mà BMAENA=NE.

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON là đường TB của ABEON//BE và OO’//BE
O;N;O’ thẳng hàng.

4/Do OO’//BC và cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vuông ở O’ có O’I là trung tuyến INO’ cân ở

IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân ở OONA=OANOAI=IO’OOAO’I ntOAO’+OIO’=2v mà

OAO’=1v OIO’=1v.

5/ Tính diện tích AMC.Ta có SAMC= 1

2 AM.MC .Ta có BD=
AB2

BC =9 DC=16

Ta lại có DA2_=CD.BD=16.9

AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE=

√

AD2+DE2=6

√

5

Từ(1) tính AM;MC rồi tính S.

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi 44:</b>

Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60o_{, rồi cung BC=90}o_{và cung CD=120}o_.

<b>1.</b> C/m ABCD là hình thang cân.

<b>2.</b> Chứng tỏ ACDB.

<b>3.</b> Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD.

<b>4.</b> Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q.C/m MN
là phân giác của góc PMQ.

P

A J N K B

Q
I
O
D
M
I
Hình 43

1/C/m:ABCD là hình thang cân:Do
cung BC=90o

BAC=45o (góc nt
bằng nửa cung bị chắn).do cung
AB=60o_;BC=90o_;CD=120o


AD=90o

ACD=45o

BAC=ACD=45o.AB//CD.
Vì cung DAB=150o_{.Cung ABC}

=150o_.

 BCD=CDA. ABCD là
thang cân.

2/C/mACDB:

Gọi I là giao điểm của AC và

BD.sđAID= 1

2 sđ

cung(AD+BC)=180o₌₉₀o_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

C E

Do cung BC=90o

BOC=90oBOC vuông cân ở OBC=AD=R

√

2 Do cung CD=120o DOC=120o.Kẻ

OKCDDOK=60osin 60o= DK

OD DK=

<i>R</i>

√

3

2 . CD=2DK=R

√

3

-Tính AC:Do AIB vng cân ở I2IC2=AB2IA=AB

√

2

2 =

<i>R</i>

√

2

2 Tương tự IC=

<i>R</i>

√

6

2 ; AC = DB=IA+IC =
3

1+√¿
¿

<i>R</i>

√

2

¿

<i>R</i>

√

2

2 +

<i>R</i>

√

6

2 =¿

4/PN cắt CD tại E;MQ cắt AB tại I;PM cắt AB taïi J.

Do JN//ME  JN

ME=
PN
PE

Do AN//DE  AN

DE =
PN
PE

Do NI//ME  NI

ME=

NQ
QE

NB//ME  NB

DE=
NQ
QE

NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN là phân giác…
ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Baøi45</b>:

Cho  đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam
giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E sao cho ED=DB(D và E nằm hai
phía của đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB.

1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường trịn ngoại tiếp các
tứ giác trên theo a.

2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang cân.Tính diện tích.
3. c/m EC là phân giác của góc DAC.

4. C/m FD là đường trung trực của MB.
5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng.

6. Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi cung nhỏ EB của hai đường tròn.

E A

Hình 44

AN
DE =

JN

ME _{Vì NB=NA}

 JN_ME=NI

ME
NI

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

N
O 

D

B F C
M

1/Do ABC là tam giác đều có D là giao điểm 2 đường phân giác góc A và BBD=DA=DC mà
DB=DEA;B;E;C cách đều DAEBC nt trong (D).

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp đa giác đều ta có: DB=
AB

2 Sin180
<i>o</i>

<i>n</i>

=AB

2sin 60<i>o</i>=¿ <i>a</i>

√

3
3

Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp trong đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go trong
tam giác vng EDB có:EB2_=2ED2_=2.( <i>a</i>

√

3

3 )

2_.
EB= <i>a</i>₃

√

6 OE= <i>a</i>₆

√

6

2/C/m EBMC là thang cân:

Góc EDB=90o_{là góc ở tâm (D) chắn cung EBCung EB=90}o_{góc ECN=45}o_{.EFC vng cân ở}
FFEC=45o_MBC=45o_(=MEC=45o_{) EFC=CBM=45}o_{BM//EC.Ta có FBM vng cân ở}

FBC=EM EBMC là thang cân.

Do EBMC là thang cân có hai đường chéo vng gócSEBMC= 1₂ BC.EM (BC=EM=a)SEBMC=
1

2 a2.

3/C/m EC là phân giác của góc DCA:
Ta coù ACB=60o_;ECB=45o_ACE=15o_.

Do BD;DC là phân giác của đều ABC DCB=ACD=30o_{và ECA=15}o _ECD=15o
ECA=ECDEC là phân giác của góc ECA.

4/C/m FD là đường trung trực của MB:

Do BED=BEF+FED=45o_{và FEC=FED+DEC=45}o_{BEF=DEC và DEC=DCE=15}o_{.Mà BE}
F=BDF(cùng chắn cung BF) và NED=NBD(cùng chắn cung ND)NBD=BDFBN//DF mà
BNEC(góc nt chắn nửa đuờng trịn (O) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE là hình thang
cân)DFBM nhưmg BFM vuông cân ở FFD là đường trung trực của MB.

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o_{(cùng chắn cung DB) và ENB=90}o_{(cmt);ENA là}
góc ngồi ANCENA=NAC+CAN=45o

ENA+ENB+BND=180o_{A;N;D thẳng hàng.}
6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:

<b>S</b>

.

Ta có:

<b> S</b>

=Snửa (O)-S viên phân EDB

S(O)=.OE2=.

(

<i>a</i>

√

6

6

)

2=

<i>a</i>2<i>π</i>

6 S

1

2 (O)= <i>a</i>

2

<i>π</i>

12

S quạt EBD= <i>π ×</i>BD

2

. 90<i>o</i>

360<i>o</i> =

<i>π</i>

4<i>×</i>

(

<i>a</i>

√

6

6

)

2
=<i>a</i>

2

<i>π</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

SEBD=

1

2 DB2= <i>a</i>

2

6
—Sviên phân=S quạt EBD - SEDB=

<i>a</i>2<i>π</i>

12

<i>-a</i>2

6 =

<i>a</i>2(<i>π −</i>2)

12

—

<b> S</b>

= <i>a</i>

2

<i>π</i>

12

<i>-a</i>2(<i>π −</i>2)

12 =

<i>a</i>2

6 .

ÐÏ(

&

(ÐÏ

<b>Bài 46:</b>

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp
tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.

1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
2. C/m ADEF nội tiếp.

3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.

4. C/m goùc AFD=AED

F
A

F
A

B O C

Hay OD là phân giác của  cân AOCODAC.
Vì BAC là góc nt chắn nửa đường tròn BAAC
2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC)
Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp.
3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA= 1₂ sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD= 1₂ sđ cung DC (góc giữa tt và 1
dây)

1/* C/mBD là phân

giác của góc ABC:Do
cung

AD=DC(gt)ABD=
DBC(hai góc nt chắn
hai cung bằng

nhau)BD là phân giác
của góc ABC.

*Do cung AD=DC

góc AOD=DOC(2
cung bằng nhau thì hai
góc ở tâm bằng nhau).
D E

I

Hình 47

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD là phân giác của ICE.Nhưng CDDB (góc nt chắn nửa
đt)CD vừa là đường cao,vừa là phân giác của ICEICE cân ở CIC=CE.

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC cùng chắn cung DC)

4/Tự c/m:

<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

<b>Baøi47:</b>

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B và C sao cho cung
AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EFAD tại F.

1. C/m:ABEF nt.

2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.

3. C/m:I là tâm đường tròn nội tiếp CJD.

4. Gọi I là giao điểm BD với CF.C/m BI2_=BF.BC-IF.IC

C
B

E

I M

A F O D

Gọi M là trung điểm ED.

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM là trung tuyến của tam giác vuông FEDFM=EM=MD= 1₂ EDCác
tam giác FEM;MFD cân ở MMFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA là phân giác của góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
BMF=BCFBCMF nội tiếp.

*Ta có BFM∽BIC vì FBM=CBI(BD là phân giác của FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt)  BF_BI =BM

BC
BF.BC=BM.BIu

* IFM∽IBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn cung CM) IB_FI =IC

IM
IC.IF=IM.IB v

Lấy utrừv vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2_.
<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

1/Sử dụng tổng hai góc đối.
2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA và
FDE có góc D chung.

BDA∽FDEđpcm.
3/C/m IE là tâm đường trịn
ngoại tiếp FBC:

<b>Xem câu 3 baøi 35.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

<b>Baøi 48:</b>

Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vng
APQR vào phía trong đường trịn.Tia PR cắt (O) tại C.

1. C/m ACB vuông cân.

2. Vẽ phân giác AI của góc PAB<i>(</i>I nằm trên(O);AI cắt PC tại J.C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm
trên một đường tròn.

3. Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP.
4. RR

I
P

J Q
A

R

C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.

Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ vì AIC=APC(cùng chắn cung AC) và APC=JPQ=45o_JIC=QPJ
Hơn nữa PCI=IAP( cùng chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ

4/

<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

1/ C/mABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa
đt) Và APB=1v ;Do APQR là
hvng có PC là đường chéo
PC là pg của góc APB cung
AC=CB dây AC=CB ABC
vng cân.

2/C/m JANQ nội tiếp:

Vì APJ=JPQ=45o_{.(t/c hv);PJ}
chung;AP=PQPAJ=QPJ
 góc PAJ=PQJ maø JAB=PAJ
vaø PQJ+JQB=2v

JAB+JQB=2vJQBA nt.
—

ÂO

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

<b>Bài 49:</b>

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB.Tiếp
tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tt Ax và By lần lượt ở D và C.

<b>1.</b> Chứng tỏ ADMO nội tiếp.

<b>2.</b> Chứng tỏ AD.BC=R2_.

<b>3.</b> Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng
minh:AMFN là hình thang cân.

<b>4.</b> Xác định vị trí của M trên nửa đường trịn để DE=EF
F

C
E

M
D

N A O B

1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối.
2/C/m: AD.BC=R2_.

ßC/m:DOC vng ở O: Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có ADO=MDO MOD=DOA.Tương tự
MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v

AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.

ßAùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng DOC có OM là đường cao ta có:DM.MC=OM2_.Mà

DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) và OM=R đpcm.

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD là đường trung trực của AM hay DOAM. Vì
FAON;NMFO(t/c tt) và FA cắt MN tại D

D là trực tâm của FNODOFN.Vậy AM//FN.

Vì OAM cân ở OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO và AMO=NFO FNO=NFO vậy FNAM là
thang cân.

4/Do DE=FE nên EM là trung tuyến của  vuông FDMED=EM.u Vì DMA=DAM và

DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân ở D hay DM=DEv.Từ uvà vEDM là 
đều ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường tròn.

<b> </b> ÐÏ(&(ÐÏ

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

<b>Bài 50:</b>

Cho hình vng ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE
,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.

1. Chứng minh:BHCD nt.
2. Tính góc CHK.

3. C/m KC.KD=KH.KB.

4. Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?

A D

B E C
H

K

KCB và KHD đồng dạng.

4/Do BHD=1v khơng đổi E di chuyển trên BC thì H di động trên đường trịn đường kính DB.

<b> </b>

ÐÏ(&(ÐÏ

<b>Heát phaàn I</b>

1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H và
C cùng làm với hai đầu đoạn
thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt DBC=DHK(cùng
chắn cung DC) mà DBC=45o
(tính chất hình

vuông)DHC=45o_maø
DHK=1v(gt)CHK=45o_.
3/C/m KC.KD=KH.KB.

</div>

<!--links-->