CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(
>
BA

5. Đa thừa số ra ngoài căn:
..
2
BABA
=

)0(

B
6. Đa thừa số vào trong căn:
BABA .
2
=

)0;0(

BA

BABA .
2
=

)0;0(
<
BA
7. Khử căn thức ở mẫu:
.A A B
B B
=


( 0; 0)AB B
8. Trục căn thức ở mẫu:
A A B
B
B
=

( 0)B >
BA
BAC
BA
C

=

)(

( 0; 0; )A B A B
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3

4
+
x
4)
6
5
2
+

x
5)
43
+
x
6)
2
1 x
+
7)
x21
3

8)
53
3
+

x
Rỳt gn biu thc
1)

( )
8 3. 2 10 . 2 5 +
2)
( )
( )
2
2
0,2 10 .3 2 3 5
+
3)
1 1 3 4 1
. . 2 . 200 :
2 2 2 5 8

+
ữ
ữ

4)
( )
( ) ( )
2
2 4
2 2 3 2. 3 5 1
+
5)
( )
2
2 3 4 2 3 +
6)

15 6 6 33 12 6 +
7)
( )
15 200 3 450 2 50 : 10 +
8)
15
1
15
1
+


9)
234
2
234
2
+


10)
21
22
+
+
11)
24362)2332(
2
++
12)

877)714228(
++
13)
22
)13()23(
+
14)
57
57
57
57
+

+

+
15)
4 7 4 7
+

16)
2 3 14 5 3 2+ + +
17)
)2()12(4
2
+
xxx
18)
)2()44(2
222

yxyxyxyx
++
19)
6 14
2 3 28
+
+
20)
3 2 3 6 4
2 3 4
+ + +
+ +
Gii phng trỡnh:
1
1)
512
=
x
2)
10 3 2 6x+ = +
3)
21)1(9
=
x
4)
0502
=
x
5)
0123

2
=
x
6)
9)3(
2
=
x
7)
6144
2
=++
xx
8)
3)12(
2
=
x
9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x

11)

21
3
=+
x
12)
223
3
=
x
13)
4
4 20 3 5 9 45 6
3
x x x+ + + + =
14)
2 2
7 7 8 12x x x x + + =
So sánh
1)
6 2 2+
và 9
2)
11 3
và 2
3)
3 2+
và
2 6+
4)
2003 2005+

và
2 2004
5)
1
3 2
và
5 1+
6)
2005 2003
và
2003 2001
Tìm GTNN, GTLN
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3 1x x+ +
, giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1x x +
, giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
3) Cho hai số a, b không âm. Chứng minh
2
a b
ab
+

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
4) Với
0; 0a b
chứng minh

2 2
a b a b+ +

5) Với a dơng, chứng minh
1
2a
a
+
6) Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức
a b c ab bc ca+ + + +
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
2
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1 Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x




vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bi 2. Cho biu thc : P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ +
+
+
( Vi a

0 ; a

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha

2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+


1
22
1
22
1


a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=
A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2

Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a
a
a
a
aa
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9 - 4
5
Bài 8: Cho biểu thức: M =










+

+










112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.

b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
3
c. Tìm x khi K=
2
1

d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x
2x

1x
2x
2
+








++
+



1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1

1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=






+










+


+
+
a
1
1.
a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x

x
xxyxy
x
yxy
x


+
+

1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P =
( )








+

+








+
+

+
+
4a
5a2
1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P
2)Tìm a để P = -3
3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:

Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy
+=
là hàm số bậc nhất là:
0

a
Tính chất:
+ TXĐ:
Rx

+ Đồng biến khi
0
>
a
. Nghịch biến khi

0
<
a
Đồ thị:
4
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Cho y = 0 =>
b
x
a
=
=> điểm (
b
a

;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (0;b) và (
b
a

;0) là đồ thị hàm số y = ax+b
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1

): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
) 'a a .
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện
'b b
=
.
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục hoành thì cần thêm điều kiện
'
'
b b
a a
=
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : . ' 1.a a =
+ Song song với nhau: (d
1
) // (d
2
)
'; 'a a b b =
.

+ Trùng nhau: (d
1
)

(d
2
)
'; 'a a b b = =
.
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc

tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn
( )
tg a

=
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù
( )
0
' ; 180 'tg a

= =
Các dạng bài tập th ờng gặp:
Dng 3: Tớnh gúc

to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị.
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x

1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0
. Nếu y
0
= y
1
thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y
0

y
1
thì điểm M không
thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x

0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m


-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, hai ng thng song song; ct
nhau; trựng nhau.
Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a
,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
)
ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:

Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
5