ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC KHÁNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LƢC GIẢI TỐN HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC KHÁNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LƢC GIẢI TỐN HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2013

2


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới GS - TS Bùi Văn Nghị, thầy
đã tận tình hƣớng dẫn tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trƣờng Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc
Gia Hà Nội
- Các thầy cô giáo trƣờng Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy dỗ, hƣớng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trƣờng THPT Tân
An- An Dƣơng- Hải Phòngđã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành đề
tài của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót. Tơi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp chân tình của các
thầy cố giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.

Hải Phòng, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Trần Đức Khánh

3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

ĐHGD

Đại học Giáo dục

ĐHQG

Đại học Quốc gia

ĐS

Đáp số

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

PPDH


Phƣơng pháp dạy học

THPT

Trung học phổ thông

TNSP

Thực nghiệm sƣ phạm

VP

Vế phải

VT

Vế trái

SGK
XHCN

Sách giáo khoa
Xã hội chủ nghĩa

4


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn………………………………………………… .................. i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt………………………… .......... ii
Mục lục.................................................................................................... iii
Danh mục các bảng, biểu đồ ................................................................... iv
MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Năng lực và năng lực giải toán ........................................................ 5
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán................................................. ........... 6
1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải tốn ...................................... 6
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng ................................................................... 7
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng................................................................. 8
1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán ................................................. 9
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. ....................... 9
1.3.1. Mục tiêu dạy mơn Tốn ................................................................ 9
1.3.2. u cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT ............. 9
1.4. Một số thực trạng về dạy học hệ phƣơng trình ở trƣờng THPT ...... 10
1.4.1. Khái niệm về bài tập ..................................................................... 10
1.4.2. Vị trí và vai trị của bài tập Toán học............................................ 10
1.4.3. Những yêu cầu đối với lời giải môt bài tập .................................. 11
1.5. Một số thực trạng về dạy học hệ phƣơng trình ở trƣờng THPT ...... 11
1.5.1. Về chƣơng trình nội dung ............................................................. 11
1.5.2. Thực trạng về dạy và học hệ phƣơng trình tại một số trƣờng
trƣờng phổ thông thuộc huyện An Dƣơng – Hải Phòng ......................... 12
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ......................................................................... 13

5



Chƣơng 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH KHÁ
GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .................................................... 14
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh nắm chắc và giải thành
thạo những hệ phƣơng trình cơ bản ........................................................ 14
2.1.1. Hệ phƣơng trình đối xứng loại một............................................... 14
2.1.2. Hệ phƣơng trình đối xứng loại hai ................................................ 18
2.1.3. Hệ phƣơng trình đồng bậc............................................................. 20
2.1.4. Những phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình chủ yếu ...................... 23
2.2. Biện pháp 2. Phát triển năng lực nhận dạng, đƣa hệ phƣơng
trình về dạng cơ bản, thơng qua hệ thống bài tốn nâng dần về mức
độ khó ...................................................................................................... 23
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng phƣơng pháp thế

24

2.2.2. rèn luyện kĩ năng phối hợp hai PT trong hệ để đƣợc một
phƣơng trình đã biết cách giải ................................................................. 26
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng biến đổi về phƣơng trình tích.......................... 43
2.2.4. Rèn kĩ năng đặt ẩn phụ ................................................................. 52
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh một số kĩ thuật nâng cao
để Phát triển năng lực giải hệ phƣơng trình ........................................... 61
2.3.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ......... 61
2.3.2. Rèn luyện kĩ năng đánh giá .......................................................... 71
2.3.3. Rèn kĩ năng sử dụng số phức trong giải hệ phƣơng trình ............. 80
2.3.4. Rèn kĩ năng lƣợng giác hóa trong giải hệ phƣơng trình .............. 84
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ......................................................................... 88
Chƣơng 3: THƢ̣C NGHIỆM SƢ PHẠM............................................ 89
3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sƣ phạm......................... 89
3.1.1. Mục đích thử nghiệm .................................................................... 89


6


3.1.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm .................................................... 89
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ...................................................... 89
3.2. Giáo án thực nghiệm sƣ phạm ......................................................... 99
3.3. Đánh giá thực nghiệm ...................................................................... 99
3.3.1. Đánh giá định tính ......................................................................... 99
3.3.2. Đánh giá định lƣợng...................................................................... 99
3.4. Kết quả thực nghiệm ........................................................................ 101
3.4.1. Kết quả phiếu trƣng cầu ý kiến học sinh ...................................... 101
3.4.2. Kết quả làm bài kiểm tra sau giờ thực nghiệm sƣ phạm .............. 101
3.4.3. Những nhận xét rút ra qua khảo sát lớp thực nghiệm ................... 103
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ......................................................................... 104
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ......................................................... 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 106
PHỤ LỤC ................................................................................................ 109

7


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1 thống kê kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực
nghiệm .....................................................................................................101
Bảng 3.2 thống kê kết quả bài kiểm tra số 2 truớc khi dạy thực
nghiệm .....................................................................................................102

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1 mô tả kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực

nghiệm .....................................................................................................
102
Biểu đồ 3.2 mô tả kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực
nghiệm .....................................................................................................
103

8


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông
của chúng ta là: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người
Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng,
chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Để thực hiện đƣợc mục tiêu này, Luật giáo
dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Chƣơng 2 – mục 2, điều 28)
[16].
Trong các môn học ở nhà trƣờng phổ thông, môn tốn có một vai trị
rất quan trọng vì tốn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực
và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh có tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy
logic,… , đồng thời cung cấp cho các em kiến thức cơ bản, cần thiết để học
tập các môn học khác và giải quyết một số bài toán thực tiễn. Bởi vậy việc
phát triển năng lực giải tốn cho học sinh có tầm quan trọng đặc biệt.
Hệ phƣơng trình là một nội dung khó và quan trọng của mơn tốn ở

trƣờng trung học phổ thông. Ở cấp hai các em đã đƣợc học về hệ phƣơng
trình bậc nhất hai ẩn, ở lớp 10 các em đƣợc học về hệ phƣơng trình bậc hai
hai ẩn, ,… và đến lớp 12 các em đƣợc học về hệ phƣơng trình mũ, logarit...
Nội dung hệ phƣơng trình rất khó và phong phú mà thời gian để dạy phần này
lại rất ít. Do vậy để giúp các em làm tốt phần này thì các em cần đƣợc rèn
luyện nhiều về kĩ năng thơng qua đó có thế nâng cao năng lực giải toán.
Từ những lý do trên đề tài đƣợc lựa chọn là: “ Phát triển năng lực giải tốn
hệ phương trình đại số cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông”.

9


2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nƣớc ta cũng có nhiều cơng trình nghiên cứu về việc phát triển năng
lực giải tốn cho học sinh: Tác giả Hồng Chúng với: “Rèn luyện khả năng
sáng tạo Tốn học ở trường phổ thơng”, Nguyễn Cảnh Tồn với: “Tập cho
học sinh giỏi Tốn làm quen dần với nghiên cứu Toán học”, Nguyễn Bá Kim,
Vƣơng Dƣơng Minh và Tơn Thân với: “Khuyến khích một số hoạt động trí
tuệ của học sinh qua mơn Tốn ở trường THCS”, …
Trong những năm gần đây đã có một số luận văn nghiên cứu về phát
triển năng lực nhƣ: luận văn thạc sĩ của Nguyễn Văn Vĩnh, ĐHGDĐHQGHN, năm 2012 với đề tài: ” Phát triển năng lực học toán của học sinh
bằng một số phương pháp dạy học tích cực đối với chủ đề phương trình lượng
giác lớp 11, trung học phổ thông”, luận văn thạc sĩ của Bùi Đức Quang,
ĐHGD-ĐHQGHN, năm 2010 với đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải tốn cho
học sinh thơng qua dạy học phương trình mũ và phương trình logarit lớp 12
THPT”, luận văn thạc sĩ của Đào Thị Thanh Thảo, ĐHGD-ĐHQGHN, năm
2012 với đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh khá
giỏi trung học phổ thơng”,...
Trong đề tài này tác giả tập trung đi sâu nghiên cứu về phát triển năng
lực giải tốn hệ phƣơng trình đại số cho học sinh khá giỏi trung học phổ

thông vì đây là một nội dung tƣơng đối khó và yêu cầu cao về năng lực giải
toán của học sinh.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là: Đề xuất giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ
năng giải hệ phƣơng trình đại số, qua đó nâng cao năng lực giải tốn cho học
sinh.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về năng lực, kĩ năng giải toán.
- Những năng lực cần thiết trong giải hệ phƣơng trình đại số.

10


- Những biện pháp để phát triển năng lực giải tốn.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
4. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Là quá trình dạy học giải hệ phƣơng trình đại số ở trƣờng phổ thơng.
4.2. Khách thể nghiêm cứu
Chƣơng trình sách giáo khoa mơn tốn lớp 10, 12 trƣờng phổ thơng và
các tài liệu tham khảo về giải hệ phƣơng trình đại số.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A1, 12A2 trƣờng THPT Tân An, Hải Phòng năm học 20132014.
6. Vấn đề nghiên cứu
- Những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phƣơng trình đại số.
- Những biện pháp phát triển năng lực giải hệ phƣơng trình đại số cho
học sinh khá giỏi trung học phổ thông.
7. Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở hệ thống hóa các kĩ năng cơ bản giải hệ phƣơng trình đại số
và vận dụng những kĩ năng đã đề xuất trong luận văn thì sẽ phát triển đƣợc
năng lực giải hệ phƣơng trình đại số cho học sinh khá giỏi ở trƣờng trung học
phổ thơng.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu lí luận về năng lực, giải tốn, về dạy học giải bài tập toán
học.
8.2. Điều tra, quan sát
Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải hệ phƣơng trình
đại số.
8.3. Thực nghiệm sƣ phạm

11


Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải hệ phƣơng trình tại
một số lớp 12 trƣờng Trung học phổ thơng Tân An, An Dƣơng, Hải Phịng.
9. Đóng góp của Luận văn
9.1 Về mặt lý luận
- Tổng quan về năng lực giải tốn nói chung và năng lực giải hệ
phƣơng trình đại số nói riêng.
- Hệ thống những kĩ năng cần thiết giải hệ phƣơng trình đại số trong
chƣơng trình Trung học phổ thơng.
9.2 Về mặt thực tiễn
Đề xuất đƣợc những biện pháp phát triển năng lực giải hệ phƣơng trình
đại số cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thơng.
10. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục nội dung chính của luận văn gồm 3 chƣơng.

Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Biện pháp phát triển năng lực giải tốn hệ phƣơng trình đại
số cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thông.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

12


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực giải toán
Khái niệm năng lực đƣợc sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và
trong mơn tốn nói riêng. Vậy năng lực là gì?
Theo Từ điển tiếng Việt [23]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất tâm
sinh lí và trình độ chun mơn tạo cho con người khả năng hình thành một
hoạt động nào đó với chất lượng cao”.
Khi phân tích xu hƣớng tồn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo
dục, Kouvenhowen (2010) và Yu (2010) đã phân biệt năm cách định nghĩa
năng lực khác nhau [11]: “Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học
tập đạt tới một chuẩn được yêu cầu nào đó “- cách định nghĩa này gắn với sản
phầm đầu ra, năng lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ
thành phần năng lực nên không rõ ràng.
Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ,
v.v. trong việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn đƣợc
yêu cầu nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhƣng
cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất.
Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ, v.v nào đó
– cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng
các thành phần năng lực.

Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách
định nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhƣng theo hƣớng hành vi và cụ
thể hóa.
Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả
kiến thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể đƣợc phân biệt với việc
thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó đƣợc thể hiện và đánh giá qua

13


những thực hành có thể nhìn thấy đƣợc. năng lực cịn có thể đƣợc định nghĩa
rộng hơn: Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần
kiến thức, kĩ năng, thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó
để thực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Theo [35]: “ Năng lực là khả năng làm việc tốt nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chun mơn”.
Theo [1]: “Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, tính tự giác, tích cực,
tính trách nhiệm…”.
Năng lực đƣợc phân làm ba nhóm:
- Nhóm năng lực cơ bản.
- Nhóm năng lực chung.
- Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực đƣợc chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 – bậc sơ cấp
Bậc 2 – bậc trung cấp
Bậc 3 – bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh đƣợc thể hiện bởi khả năng vận dụng lý
thuyết toán học (khái niệm, định lý….) và những phƣơng pháp đã biết, đã

đƣợc cung cấp ngay trong phần lý thuyết của bài học hoặc của chƣơng để giải
một/ một số bài tập cụ thể nào đó.
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải tốn
1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Theo nghĩa từ điển [23]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả
một hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng
những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những
điều kiện thực tiễn cho phép”.
Theo[28]: “ Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay
các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính

14


bản chất của các sự vật và giải quyết thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực
hành xác định”. Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được
cách thức hành động - Tức là kĩ thuật hành động là có kĩ năng”.
Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các
thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kĩ năng là kiến
thức. Ngƣời có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng
những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội đƣợc vào giải quyết những
nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với
mục tiêu của hành động.
Nhƣ vậy: Kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt
các tri thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những
kiến thức thực tế để giải quyết những bài toán.
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển Giáo dục học: Để hình thành kĩ năng trƣớc hết cần có kiến
thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi
thực hiện đƣợc hành động theo đúng mục đích, yêu cầu... Do kiến thức là cơ

sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm đƣợc mà có
những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tƣơng ứng.
Kĩ năng chỉ đƣợc hình thành thơng qua q trình tƣ duy giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra. Con đƣờng hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ
thuộc vào các yếu tố nhƣ: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng,
mức độ chủ động tích cực của học sinh,... Có hai con đƣờng hình thành kĩ
năng cho học sinh đó là:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho
học sinh những bài tốn vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tịi
cách giải, bằng những con đƣờng thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó
phát hiện ra các mốc định hƣớng tƣơng ứng, những thủ thuật biến đổi.

15


- Dạy cho học sing nhận biết những dáu hiệu mà từ đó có thể xác định
đƣợc đƣờng lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đƣờng lối sáng tạo đó
vào từng bài tốn cụ thể.
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài tốn.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải những bài
toán cùng dạng.
- Xác lập đƣợc mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức
tƣơng ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thƣờng đƣợc trừu tƣợng
hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hƣớng tƣ duy và ảnh hƣởng

tới sự hình thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hƣởng tới sự hình thành kĩ năng, vì
vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ
năng.
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích của hành động, biết đƣợc điều
kiện, cách thức để đạt đƣợc kết quả.
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó.
- Đạt đƣợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác
nhau.
- Có thể qua bắt chƣớc, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhƣng phải cần
thời gian đủ dài.

16


1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải tốn có thể chia thành ba mức độ:
- Biết làm: Vận dụng đƣợc lý thuyết để giải những bài tốn cơ bản hình
thành các thao tác cơ bản nhƣ: Viết các đại lƣợng theo ngơn ngữ tốn học,
viết chính xác cơng thức, kí hiệu,... giải đƣợc các bài tập dạng mẫu.
- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài tốn
theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn,
chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo.
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh
1.3.1. Mục tiêu dạy mơn Tốn
Theo [24]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển

tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát
triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách
con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;
chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học mơn
tốn:
- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phƣơng pháp tốn học
phổ thơng, cơ bản, thiết thực.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và
thực tiễn cho học sinh.
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.
- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dƣỡng các học sinh
có năng khiếu tốn học.
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt đƣợc các yêu cầu cần thiết sau:

17


- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
trong chƣơng trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:
+ Tƣ duy loogic và ngơn ngữ chính xác.
+ Khả năng suy đốn, tƣ duy trừu tƣợng, trí tƣởng tƣợng trong không
gian.
+ Những thao tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp, khái qt hóa,...
+ Các phẩm chất trí tuệ nhƣ tƣ duy độc lập, tƣ duy linh hoạt và sáng
tạo.

1.4. Giải bài tập toán học
1.4.1. Khái niệm về bài tập
Theo G.Polya [24]: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không
thể đạt được ngay”.
Theo [14]: ”Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng
với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó. Một tình huống được
hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ đề và khách thể, trong đó chủ thể là
người, cịn khách thể là một hệ thống nào đó”.
1.4.2. Vị trí và vai trị của bài tập Tốn học
Theo [14]: “Bài tập Tốn có vai trị quan trọng trong mơn Tốn. Thơng
qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện được các hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Tốn học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”.
Trong thực tiễn dạy học, giải bài tập đƣợc sử dụng với các dụng ý khác
nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,...Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,...

18


1.4.3. Những yêu cầu đối với lời giải môt bài tập.
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trƣớc hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Để thuận
tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp nhận
những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.

Những yêu cầu cụ thể đối với lời giải một bài tập nhƣ sau:
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bƣớc trung gian.
Kết quả cuối cùng là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một
hình vẽ..thỏa mãn các yêu cầu đề ra.
Kết quả các bƣớc trung gian cũng phải đúng. Nhƣ vậy, lời giải khơng
thể chứa sai lầm tính tốn, vẽ hình, biến đổi biểu thức,...
(ii) Lập luận chặt chẽ.
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp logic.
(iii) Lời giải đầy đủ.
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải khơng đƣợc bỏ sót một trƣờng hợp,
một chi tiết cần thiết nào.
Chẳng hạn, giải phƣơng trình khơng đƣợc thiếu nghiệm, phân chia
trƣờng hợp khơng đƣợc thiếu một khả năng nào....
Ngồi ra cịn có những u cầu nâng cao nhƣ:
(iv) Ngơn ngữ chính xác.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc
vấn đề.
1.5. Một số thực trạng về dạy học hệ phƣơng trình ở trƣờng THPT
1.5.1. Về chương trình nội dung

19


Trong chƣơng trình mơn tốn THPT thì hệ phƣơng trình bậc nhất nhiều
ẩn đƣợc đƣa vào chƣơng 3 Đại số 10 ban cơ bản. Đó là các hệ có dạng
a1x  b1 y  c1z  d1

a1x  b1 y  c1

và a2 x  b2 y  c2 z  d 2

a2 x  b2 y  c2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

Trong chƣơng trình mơn tốn THPT nâng cao ngồi những nội dung
nói trên thì sách giáo khoa cịn đƣa thêm một số hệ phƣơng trình bậc hai hai
ẩn: hệ gồm một phƣơng trình bậc hai một phƣơng trình bậc nhất; hệ phƣơng
trình đối xứng. Tuy nhiên đến cuối chƣơng trình THPT học sinh còn phải biết
thêm một số hệ dạng khác nhƣ hệ phƣơng nhƣ hệ phƣơng trình lƣợng …..
Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm nghiệm của phƣơng trình bậc nhất hai ẩn, hệ phƣơng
trình bậc hai, nghiệm của hệ phƣơng trình.
Về kĩ năng:
- Giải đƣợc và biểu diễn đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình bậc nhất
hai ẩn.
- Giải đƣợc hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn bằng phƣơng pháp cộng và
phƣơng pháp thế.
- Giải đƣợc hệ phƣơng trình bậc nhất ba ẩn đơn giản
- Giải đƣợc một số bài toán thực tế đƣa về lập và giải hệ phƣơng trình
bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.
- Giải đƣợc một số hệ phƣơng trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm một phƣơng
trình bậc hai và một phƣơng trình bậc nhất; hệ phƣơng trình mà mỗi phƣơng
trình của hệ khơng đổi khi thay x bởi y , y bởi x .

1.5.2. Thực trạng về dạy và học hệ phương trình tại một số trường phổ
thơng thuộc huyện An Dương – Hải Phịng
Qua thực tiễn dạy học của bản thân và trao đổi với những đồng nghiệp
tôi thấy thực trạng về dạy và học hệ phƣơng trình tại một số trƣờng trƣờng
phổ thơng thuộc huyện An Dƣơng – Hải Phòng

20


Đối với giáo viên
- Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học trong các tiết tự
chọn trên lớp.
- Giáo viên cần nhiều thời gian để tìm tịi cơ sở lý thuyết và xây dựng
hệ thống bài tập phù hợp với đối tƣợng học sinh.
- Thời gian để giáo viên hƣớng dẫn phƣơng pháp cụ thể và dạy bài tập
cho học sinh không nhiều.
Đối với học sinh
- Những kĩ năng giải hệ phƣơng trình đại số là tƣơng đối trừu tƣợng,
khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập. Những học sinh trung bình thì
chƣa thể hiểu kỹ về lý thuyết và vận dụng ngay vào bài tập.
- Nhiều học sinh hiểu chƣa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các ví dụ
mẫu dẫn đến trình bày lời giải bài tốn chƣa khoa học và cịn mắc sai lầm.
- Khả năng tìm tịi tự học của đa số học sinh về tốn học nói chung và
hệ phƣơng trình đại số nói riêng cịn hạn chế.
- Nhiều học sinh chƣa biết nhiều về các phƣơng pháp giải toán, các kỹ
năng kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp.
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1
Mơn Tốn là một mơn học chiếm vị trí đặc biệt trong các mơn học ở
trƣờng phổ thơng. Nó cịn là cơ sở của nhiều mơn học khác và có khả năng
giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tƣ

duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
Trong chƣơng trình Tốn phổ thơng, chủ đề Hệ phƣơng trình đại số khó
đối với học sinh. Nó địi hỏi học sinh phải có kĩ năng tính tốn, biến đổi, vận
dụng công thức lƣợng giác và cả kĩ năng kết hợp nghiệm, ...
Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện kĩ năng giải Hệ phƣơng trình đại số
chƣa đƣợc các giáo viên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp
tích cực nhằm khắc phục tình trạng đó góp phần tháo gỡ những khó khăn
trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lƣợng dạy học.

21


CHƢƠNG 2
BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HỆ
PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Nhƣ đã trình bày ở chƣơng trƣớc, ngồi kỹ năng, kỹ xảo, năng lực còn
phụ thuộc vào những yếu tố về kiến thức, kinh nghiệm, tính tổ chức trong
cơng việc. Tuy nhiên, yếu tố quan trọng nhất là kỹ năng giải quyết cơng việc.
Vì thế những biện pháp mà chúng tôi đề xuất sau đây nhằm phát triển kĩ năng
giải hệ phƣơng trình đại số cho học sinh.
Chúng tơi cho rằng, biện pháp trƣớc hết và không kém quan trọng trong
rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực vẫn là rèn luyện cho học sinh có đƣợc
kỹ năng có bản vững chắc, thành thạo.
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh nắm chắc và giải thành thạo
những hệ phƣơng trình cơ bản
Những hệ phƣơng trình đại số cơ bản gồm có:
- Hệ phƣơng trình đối xứng loại một
- Hệ phƣơng trình đối xứng loại hai
- Hệ phƣơng trình đồng bậc

Phƣơng pháp giải từng hệ phƣơng trình cơ bản trên đƣợc cụ thể nhƣ
sau
2.2.1. Hệ phương trình đối xứng loại một
Hệ phƣơng trình đối xứng loại I đối với ẩn x và y là hệ gồm các
phƣơng trình khơng thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x .
Hệ đối xứng loại một thƣờng có phƣơng pháp giải nhƣ sau:
- Đặt điều kiện (nếu có).
- Đặt S  x  y , P  xy với điều kiện S2 ³ 4P .

22


- Đƣa hệ phƣơng trình ban đầu về hệ 2 ẩn S và P . Giải hệ tìm S và
P ( kiểm tra điều kiện S2 ³ 4P ) và tìm x và y với x và y là nghiệm của

phƣơng trình X 2  SX  P  0 .
Chú ý rằng khi đặt S  x  y , P  xy ta suy ra
x 2  y 2  S 2  2P , x3  y3  S 3  3P , x4  y 4  S 4  4S 2 P  2P2 …

Ví dụ 2.1.1. Giải hệ phƣơng trình
 x  y  2 xy  4
 2
2
 x y  xy  2

Tóm tắt lời giải
Đặt S  x  y , P  xy . Điều kiện S2 ³ 4P .
S  4  2P
S  2P  4
P  1

Hệ đã cho trở thành 
(thỏa

 2
S
.
P

2
S

2
P

2
P

1

0




mãn)
P  1 x  y  2
Với 

 x và y là hai nghiệm của phƣơng trình
S


2
x
.
y

1


x  1
X 2  2X 1  0  X 1 
y 1

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: 1;1 .
Ví dụ 2.1.2. Giải hệ phƣơng trình
1 1

x

y

 5

x
y


 x2  y 2  1  1  9

x2 y 2


(Từ đề thi đại học ngoại thƣơng Hà Nội năm 1997).
Tóm tắt lời giải
Điều kiện: x. y  0
Hệ đã cho tƣơng đƣơng với

23


1
1

x


y

5

x
y


2
2
 x  1    y  1   13


x  
y 



Đặt S  x 

1
1
, P  y  . Điều kiện
x
y

S 2; P 2

Hệ đã cho trở thành
 P  2

S  P  5
S  5  P
S  3


 2
 2
2
 P  3
 S  P  13  P  5P  6  0

  S  2

(thỏa mãn)



1

3 5
x


2
x  1, y 


S  2
x

2
 
 
 Với 

3 5
P  3
y  1  3
x

1,
y


y



2

(thỏa mãn)


1

3 5
x


3
x
, y 1


S  3
x

2
 
 
 Với 
1
P

2

3 5


y   2
x

, y 1

y


2

(thỏa mãn)

Vậy hệ đã cho có bốn ngiệm là:
 3 5   3 5   3 5   3 5 
; 1 , 
; 1 .
1;
 , 1;
, 
2
2
2
2

 
 
 



Bài tập tự luyện
Bài 2.1.1. Giải các hệ phƣơng trình:
 x  y  xy  11
1) 
 x  xy  y  1

 x 2  y 2  1
2)  4
4
 x  y  1

 x 2  y 2  xy  3
3)  3
3
 x y  xy  2

 x2  y 2  2 x2 y 2
4) 
 x  3xy  y  1

 x  y  xy  0
5)  3
3 3
3
 x  x y  y  12

 x 2 y  xy 2  30
6)  3
3
 x  y  35 .


Đáp số:

24


1) Hệ phƣơng trình có hai nghiệm là: 1;5 , 1;5.
2) Hệ phƣơng trình có bốn nghiệm là: 1;0  ,  1;0  ,  0;1 ,  0;  1.
3) Hệ phƣơng trình có hai nghiệm là: 1;1 ,  1;  1.
4) Hệ phƣơng trình có một nghiệm là: 1;1 .







5) Hệ phƣơng trình có hai nghiệm là: 1  3;1  3 , 1  3;1  3 .
6) Hệ phƣơng trình có hai nghiệm là:  2;3 ,  3;2  .
Bài 2.1.2. Giải các hệ phƣơng trình:



 x y  y x  30
1) 
 x x  y y  35

2
3


 2( x  y )  3 x y 
2) 
3

 x3 y 6

 x
y
7


1

x
xy
3)  y

 x xy  y xy  78

2
2 2
2

 x  x y  y  1  2 xy
4) 
2
2

 x  x y  xy  1  xy  y


3

xy 2



 x 2  xy  y 2  19( x  y )2

5)  2
2

 x  xy  y  7( x  y ) .

Hƣớng dẫn và đáp số:
1) Đặt u  x , v  y , điều kiện u  0 , v  0
Đáp số: Hệ phƣơng trình đã cho có hai nghiệm  4;9 , 9;4  .
2) Đặt u  3 x , v  3 y
Đáp số: Hệ phƣơng trình đã cho có hai nghiệm  64;8 , 8;64 .
3) Đáp số: Hệ phƣơng trình đã cho có hai nghiệm  4;9 , 9;4  .
4) Đáp số: Hệ phƣơng trình đã cho có hai nghiệm 1;1,  1; 1  .
5) Đặt t   y
Đáp số: Hệ phƣơng trình đã cho có ba nghiệm  0;0 ,  2;  3 , 3;2 .

25