ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC KHÁNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LƯC GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC KHÁNH

PHÁT TRIỂN NĂNG LƯC GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI – 2013

2


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS - TS Bùi Văn Nghị, thầy
đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc
Gia Hà Nội
- Các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy dỗ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường THPT Tân
An- An Dương- Hải Phòngđã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề
tài của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các
thầy cố giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.

Hải Phòng, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Trần Đức Khánh

3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

ĐHGD

Đại học Giáo dục

ĐHQG

Đại học Quốc gia

ĐS

Đáp số

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

PPDH


Phương pháp dạy học

THPT

Trung học phổ thông

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

VP

Vế phải

VT

Vế trái

SGK
XHCN

Sách giáo khoa
Xã hội chủ nghĩa

MỤC LỤC

4


Trang

Lời cảm ơn…………………………………………………................... i
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt…………………………........... ii
Mục lục.................................................................................................... iii
Danh mục các bảng, biểu đồ................................................................... iv
MỞ ĐẦU................................................................................................ 1
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
5
1.1. Năng lực và năng lực giải toán......................................................... 5
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán............................................................ 6
1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán....................................... 6
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng.................................................................... 7
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng................................................................. 8
1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán................................................. 9
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh......................... 9
1.3.1. Mục tiêu dạy môn Toán................................................................. 9
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT.............. 9
1.4. Một số thực trạng về dạy học hệ phương trình ở trường THPT....... 10
1.4.1. Khái niệm về bài tập...................................................................... 10
1.4.2. Vị trí và vai trò của bài tập Toán học............................................ 10
1.4.3. Những yêu cầu đối với lời giải môt bài tập................................... 11
1.5. Một số thực trạng về dạy học hệ phương trình ở trường THPT....... 11
1.5.1. Về chương trình nội dung.............................................................. 11
1.5.2. Thực trạng về dạy và học hệ phương trình tại một số trường
trường phổ thông thuộc huyện An Dương – Hải Phòng.......................... 12
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1.......................................................................... 13

5


Chương 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI

TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH KHÁ
GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG..................................................... 14
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh nắm chắc và giải thành
thạo những hệ phương trình cơ bản......................................................... 14
2.1.1. Hệ phương trình đối xứng loại một............................................... 14
2.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai................................................ 18
2.1.3. Hệ phương trình đồng bậc............................................................. 20
2.1.4. Những phương pháp giải hệ phương trình chủ yếu....................... 23
2.2. Biện pháp 2. Phát triển năng lực nhận dạng, đưa hệ phương
trình về dạng cơ bản, thông qua hệ thống bài toán nâng dần về mức
độ khó...................................................................................................... 23
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp thế
24
2.2.2. rèn luyện kĩ năng phối hợp hai PT trong hệ để được một
phương trình đã biết cách giải................................................................. 26
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng biến đổi về phương trình tích.......................... 43
2.2.4. Rèn kĩ năng đặt ẩn phụ ................................................................. 52
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh một số kĩ thuật nâng cao
để Phát triển năng lực giải hệ phương trình ........................................... 61
2.3.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số .......... 61
2.3.2. Rèn luyện kĩ năng đánh giá .......................................................... 71
2.3.3. Rèn kĩ năng sử dụng số phức trong giải hệ phương trình............. 80
2.3.4. Rèn kĩ năng lượng giác hóa trong giải hệ phương trình............... 84
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2.......................................................................... 88
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM............................................ 89
3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm......................... 89
3.1.1. Mục đích thử nghiệm.................................................................... 89
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm.................................................... 89
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm...................................................... 89
3.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm.......................................................... 99

3.3. Đánh giá thực nghiệm...................................................................... 99
3.3.1. Đánh giá định tính......................................................................... 99
3.3.2. Đánh giá định lượng...................................................................... 99
3.4. Kết quả thực nghiệm........................................................................101
3.4.1. Kết quả phiếu trưng cầu ý kiến học sinh ......................................101
3.4.2. Kết quả làm bài kiểm tra sau giờ thực nghiệm sư phạm...............101
3.4.3. Những nhận xét rút ra qua khảo sát lớp thực nghiệm...................103
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3..........................................................................104

6


KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ..........................................................105
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................106
PHỤ LỤC................................................................................................109

7


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1 thống kê kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực
nghiệm.....................................................................................................101
Bảng 3.2 thống kê kết quả bài kiểm tra số 2 truớc khi dạy thực
nghiệm.....................................................................................................102

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1 mô tả kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực
nghiệm.....................................................................................................
102
Biểu đồ 3.2 mô tả kết quả bài kiểm tra số 1 truớc khi dạy thực

nghiệm.....................................................................................................
103

MỞ ĐẦU

8


1. Lý do chọn đề tài
Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông
của chúng ta là: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người
Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng,
chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Để thực hiện được mục tiêu này, Luật giáo
dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Chương 2 – mục 2, điều 28)
[16].
Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn toán có một vai trò rất
quan trọng vì toán học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và
phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh có tư duy trừu tượng, tư duy logic,
… , đồng thời cung cấp cho các em kiến thức cơ bản, cần thiết để học tập các
môn học khác và giải quyết một số bài toán thực tiễn. Bởi vậy việc phát triển
năng lực giải toán cho học sinh có tầm quan trọng đặc biệt.
Hệ phương trình là một nội dung khó và quan trọng của môn toán ở
trường trung học phổ thông. Ở cấp hai các em đã được học về hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn, ở lớp 10 các em được học về hệ phương trình bậc hai

hai ẩn, ,… và đến lớp 12 các em được học về hệ phương trình mũ, logarit...
Nội dung hệ phương trình rất khó và phong phú mà thời gian để dạy phần này
lại rất ít. Do vậy để giúp các em làm tốt phần này thì các em cần được rèn
luyện nhiều về kĩ năng thông qua đó có thế nâng cao năng lực giải toán.
Từ những lý do trên đề tài được lựa chọn là: “ Phát triển năng lực giải toán
hệ phương trình đại số cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông”.
2. Lịch sử nghiên cứu

9


Ở nước ta cũng có nhiều công trình nghiên cứu về việc phát triển năng
lực giải toán cho học sinh: Tác giả Hoàng Chúng với: “Rèn luyện khả năng
sáng tạo Toán học ở trường phổ thông”, Nguyễn Cảnh Toàn với: “Tập cho
học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu Toán học”, Nguyễn Bá Kim,
Vương Dương Minh và Tôn Thân với: “Khuyến khích một số hoạt động trí
tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS”, …
Trong những năm gần đây đã có một số luận văn nghiên cứu về phát
triển năng lực như: luận văn thạc sĩ của Nguyễn Văn Vĩnh, ĐHGDĐHQGHN, năm 2012 với đề tài: ” Phát triển năng lực học toán của học sinh
bằng một số phương pháp dạy học tích cực đối với chủ đề phương trình
lượng giác lớp 11, trung học phổ thông”, luận văn thạc sĩ của Bùi Đức
Quang, ĐHGD-ĐHQGHN, năm 2010 với đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải
toán cho học sinh thông qua dạy học phương trình mũ và phương trình
logarit lớp 12 THPT”, luận văn thạc sĩ của Đào Thị Thanh Thảo, ĐHGDĐHQGHN, năm 2012 với đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình
cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông”,...
Trong đề tài này tác giả tập trung đi sâu nghiên cứu về phát triển năng
lực giải toán hệ phương trình đại số cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông
vì đây là một nội dung tương đối khó và yêu cầu cao về năng lực giải toán của
học sinh.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là: Đề xuất giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ
năng giải hệ phương trình đại số, qua đó nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về năng lực, kĩ năng giải toán.
- Những năng lực cần thiết trong giải hệ phương trình đại số.
- Những biện pháp để phát triển năng lực giải toán.

10


- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Là quá trình dạy học giải hệ phương trình đại số ở trường phổ thông.
4.2. Khách thể nghiêm cứu
Chương trình sách giáo khoa môn toán lớp 10, 12 trường phổ thông và
các tài liệu tham khảo về giải hệ phương trình đại số.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A1, 12A2 trường THPT Tân An, Hải Phòng năm học 20132014.
6. Vấn đề nghiên cứu
- Những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình đại số.
- Những biện pháp phát triển năng lực giải hệ phương trình đại số cho
học sinh khá giỏi trung học phổ thông.
7. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở hệ thống hóa các kĩ năng cơ bản giải hệ phương trình đại số
và vận dụng những kĩ năng đã đề xuất trong luận văn thì sẽ phát triển được
năng lực giải hệ phương trình đại số cho học sinh khá giỏi ở trường trung học

phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu lí luận về năng lực, giải toán, về dạy học giải bài tập toán
học.
8.2. Điều tra, quan sát
Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải hệ phương trình
đại số.
8.3. Thực nghiệm sư phạm

11


Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải hệ phương trình tại
một số lớp 12 trường Trung học phổ thông Tân An, An Dương, Hải Phòng.
9. Đóng góp của Luận văn
9.1 Về mặt lý luận
- Tổng quan về năng lực giải toán nói chung và năng lực giải hệ
phương trình đại số nói riêng.
- Hệ thống những kĩ năng cần thiết giải hệ phương trình đại số trong
chương trình Trung học phổ thông.
9.2 Về mặt thực tiễn
Đề xuất được những biện pháp phát triển năng lực giải hệ phương trình
đại số cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thông.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục nội dung chính của luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực giải toán hệ phương trình đại
số cho học sinh khá giỏi Trung học phổ thông.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

12


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực giải toán
Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và
trong môn toán nói riêng. Vậy năng lực là gì?
Theo Từ điển tiếng Việt [23]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất
tâm sinh lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả năng hình thành
một hoạt động nào đó với chất lượng cao”.
Khi phân tích xu hướng toàn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo
dục, Kouvenhowen và Yu đã phân biệt năm cách định nghĩa năng lực khác
nhau [11]: “Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học tập đạt tới một
chuẩn được yêu cầu nào đó “- cách định nghĩa này gắn với sản phầm đầu ra,
năng lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ thành phần năng
lực nên không rõ ràng.
Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ,
v.v. trong việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được
yêu cầu nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng
cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất.
Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ, v.v nào đó
– cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng
các thành phần năng lực.
Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách
định nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ
thể hóa.

Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả
kiến thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc
thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua

13


những thực hành có thể nhìn thấy được. năng lực còn có thể được định nghĩa
rộng hơn: Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần
kiến thức, kĩ năng, thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó
để thực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Theo [35]: “ Năng lực là khả năng làm việc tốt nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chuyên môn”.
Theo [1]: “Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, tính tự giác, tích cực,
tính trách nhiệm…”.
Năng lực được phân làm ba nhóm:
- Nhóm năng lực cơ bản.
- Nhóm năng lực chung.
- Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực được chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 – bậc sơ cấp
Bậc 2 – bậc trung cấp
Bậc 3 – bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lý
thuyết toán học (khái niệm, định lý….) và những phương pháp đã biết, đã
được cung cấp ngay trong phần lý thuyết của bài học hoặc của chương để giải
một/ một số bài tập cụ thể nào đó.
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.2.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
Theo nghĩa từ điển [23]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả
một hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng
những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những
điều kiện thực tiễn cho phép”.
Theo[28]: “ Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay
các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính

14


bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực
hành xác định”. Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được
cách thức hành động - Tức là kĩ thuật hành động là có kĩ năng”.
Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các
thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kĩ năng là kiến
thức. Người có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng
những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những
nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với
mục tiêu của hành động.
Như vậy: Kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt
các tri thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những
kiến thức thực tế để giải quyết những bài toán.
1.2.2. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển Giáo dục học: Để hình thành kĩ năng trước hết cần có kiến
thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi
thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu... Do kiến thức là cơ
sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có
những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các

nhiệm vụ đặt ra. Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ
thuộc vào các yếu tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng,
mức độ chủ động tích cực của học sinh,... Có hai con đường hình thành kĩ
năng cho học sinh đó là:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho
học sinh những bài toán vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi
cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó
phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi.

15


- Dạy cho học sing nhận biết những dáu hiệu mà từ đó có thể xác định
được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó
vào từng bài toán cụ thể.
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài toán.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài
toán cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức
tương ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng
hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng
tới sự hình thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì
vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ

năng.
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều
kiện, cách thức để đạt được kết quả.
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó.
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác
nhau.
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần
thời gian đủ dài.

16


1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:
- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình
thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học,
viết chính xác công thức, kí hiệu,... giải được các bài tập dạng mẫu.
- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán
theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn,
chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo.
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.3.1. Mục tiêu dạy môn Toán
Theo [24]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát
triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách
con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;

chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn
toán:
- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học
phổ thông, cơ bản, thiết thực.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và
thực tiễn cho học sinh.
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.
- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh
có năng khiếu toán học.
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

17


- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
trong chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:
+ Tư duy loogic và ngôn ngữ chính xác.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không
gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,...
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng
tạo.
1.4. Giải bài tập toán học
1.4.1. Khái niệm về bài tập
Theo G.Polya [24]: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không
thể đạt được ngay”.
Theo [14]: ”Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng
với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó. Một tình huống được
hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ đề và khách thể, trong đó chủ thể là
người, còn khách thể là một hệ thống nào đó”.
1.4.2. Vị trí và vai trò của bài tập Toán học
Theo [14]: “Bài tập Toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông
qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện được các hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”.
Trong thực tiễn dạy học, giải bài tập được sử dụng với các dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,...Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,...

18


1.4.3. Những yêu cầu đối với lời giải môt bài tập.
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Để thuận
tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận
những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.
Những yêu cầu cụ thể đối với lời giải một bài tập như sau:
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một

hình vẽ..thỏa mãn các yêu cầu đề ra.
Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không
thể chứa sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,...
(ii) Lập luận chặt chẽ.
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp logic.
(iii) Lời giải đầy đủ.
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp,
một chi tiết cần thiết nào.
Chẳng hạn, giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia
trường hợp không được thiếu một khả năng nào....
Ngoài ra còn có những yêu cầu nâng cao như:
(iv) Ngôn ngữ chính xác.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
1.5. Một số thực trạng về dạy học hệ phương trình ở trường THPT
1.5.1. Về chương trình nội dung

19


Trong chương trình môn toán THPT thì hệ phương trình bậc nhất nhiều
ẩn được đưa vào chương 3 Đại số 10 ban cơ bản. Đó là các hệ có dạng
a1x + b1 y + c1z = d1
a1x + b1 y = c1

và a2 x + b2 y + c2 z = d 2


a2 x + b2 y = c2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
Trong chương trình môn toán THPT nâng cao ngoài những nội dung
nói trên thì sách giáo khoa còn đưa thêm một số hệ phương trình bậc hai hai
ẩn: hệ gồm một phương trình bậc hai một phương trình bậc nhất; hệ phương
trình đối xứng. Tuy nhiên đến cuối chương trình THPT học sinh còn phải biết
thêm một số hệ dạng khác như hệ phương như hệ phương trình lượng …..
Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương
trình bậc hai, nghiệm của hệ phương trình.
Về kĩ năng:
- Giải được và biểu diễn được tập nghiệm của phương trình bậc nhất
hai ẩn.
- Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng và
phương pháp thế.
- Giải được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đơn giản
- Giải được một số bài toán thực tế đưa về lập và giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.
- Giải được một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm một phương
trình bậc hai và một phương trình bậc nhất; hệ phương trình mà mỗi phương
trình của hệ không đổi khi thay x bởi y , y bởi x .
1.5.2. Thực trạng về dạy và học hệ phương trình tại một số trường phổ
thông thuộc huyện An Dương – Hải Phòng
Qua thực tiễn dạy học của bản thân và trao đổi với những đồng nghiệp
tôi thấy thực trạng về dạy và học hệ phương trình tại một số trường trường

phổ thông thuộc huyện An Dương – Hải Phòng

20


Đối với giáo viên
- Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học trong các tiết tự
chọn trên lớp.
- Giáo viên cần nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết và xây dựng
hệ thống bài tập phù hợp với đối tượng học sinh.
- Thời gian để giáo viên hướng dẫn phương pháp cụ thể và dạy bài tập
cho học sinh không nhiều.
Đối với học sinh
- Những kĩ năng giải hệ phương trình đại số là tương đối trừu tượng,
khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập. Những học sinh trung bình thì
chưa thể hiểu kỹ về lý thuyết và vận dụng ngay vào bài tập.
- Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các ví dụ
mẫu dẫn đến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc sai lầm.
- Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh về toán học nói chung và
hệ phương trình đại số nói riêng còn hạn chế.
- Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán, các kỹ
năng kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp.
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1
Môn Toán là một môn học chiếm vị trí đặc biệt trong các môn học ở
trường phổ thông. Nó còn là cơ sở của nhiều môn học khác và có khả năng
giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tư duy,
rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
Trong chương trình Toán phổ thông, chủ đề Hệ phương trình đại số khó
đối với học sinh. Nó đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tính toán, biến đổi, vận
dụng công thức lượng giác và cả kĩ năng kết hợp nghiệm, ...

Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện kĩ năng giải Hệ phương trình đại số
chưa được các giáo viên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp
tích cực nhằm khắc phục tình trạng đó góp phần tháo gỡ những khó khăn
trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học.

21


CHƯƠNG 2
BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Như đã trình bày ở chương trước, ngoài kỹ năng, kỹ xảo, năng lực còn
phụ thuộc vào những yếu tố về kiến thức, kinh nghiệm, tính tổ chức trong
công việc. Tuy nhiên, yếu tố quan trọng nhất là kỹ năng giải quyết công việc.
Vì thế những biện pháp mà chúng tôi đề xuất sau đây nhằm phát triển kĩ năng
giải hệ phương trình đại số cho học sinh.
Chúng tôi cho rằng, biện pháp trước hết và không kém quan trọng trong
rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực vẫn là rèn luyện cho học sinh có được
kỹ năng có bản vững chắc, thành thạo.
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh nắm chắc và giải thành thạo
những hệ phương trình cơ bản
Những hệ phương trình đại số cơ bản gồm có:
- Hệ phương trình đối xứng loại một
- Hệ phương trình đối xứng loại hai
- Hệ phương trình đồng bậc
Phương pháp giải từng hệ phương trình cơ bản trên được cụ thể như
sau
2.2.1. Hệ phương trình đối xứng loại một
Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn x và y là hệ gồm các

phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x .
Hệ đối xứng loại một thường có phương pháp giải như sau:
- Đặt điều kiện (nếu có).
- Đặt S = x + y , P = xy với điều kiện S2 ³ 4P .
- Đưa hệ phương trình ban đầu về hệ 2 ẩn S và P . Giải hệ tìm S và
P ( kiểm tra điều kiện S2 ³ 4P ) và tìm x và y với x và y là nghiệm của

phương trình X 2 − SX + P = 0 .

22


Chú ý rằng khi đặt S = x + y , P = xy ta suy ra
x 2 + y 2 = S 2 − 2 P , x 3 + y 3 = S 3 − 3P , x 4 + y 4 = S 4 − 4 S 2 P + 2 P 2 …
Ví dụ 2.1.1. Giải hệ phương trình
 x + y + 2 xy = 4
 2
2
 x y + xy = 2
Tóm tắt lời giải
Đặt S = x + y , P = xy . Điều kiện S2 ³ 4P .
S = 4 − 2P
S + 2P = 4
P = 1
⇔ 2
⇔
Hệ đã cho trở thành 
(thỏa
S
.

P
=
2
S
=
2
P
−
2
P
+
1
=
0



mãn)
P = 1  x + y = 2
⇒
⇒ x và y là hai nghiệm của phương trình
Với 
 S = 2  x. y = 1
x = 1
X 2 − 2X +1= 0 ⇔ X =1⇒ 
y =1
Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: ( 1;1) .
Ví dụ 2.1.2. Giải hệ phương trình
1 1


x
+
y
+
+ =5

x y

 x2 + y 2 + 1 + 1 = 9

x2 y 2
(Từ đề thi đại học ngoại thương Hà Nội năm 1997).
Tóm tắt lời giải
Điều kiện: x. y ≠ 0
Hệ đã cho tương đương với
1
1

x
+
+
y
+
=5

x
y


2

2


1
1


 x+
÷ +  y + ÷ = 13

x
y
 


23


Đặt S = x +

1
1
, P = y + . Điều kiện
x
y

S ≥2; P ≥2

Hệ đã cho trở thành
 P = 2


S + P = 5
S = 5 − P
S = 3
⇔
⇔
 2
 2
2
 P = 3
 S + P = 13  P − 5P + 6 = 0

  S = 2

(thỏa mãn)


1

3− 5
x
+
=
2
x = 1, y =


S = 2
x


2
⇒ 
⇔ 
• Với 

3+ 5
P = 3
y + 1 = 3
x
=
1,
y
=

y


2

(thỏa mãn)


1

3− 5
x
+
=
3
x

=
, y =1


S = 3
x
2
⇒ 
⇔ 
• Với 
1

3+ 5
P = 2
y + = 2
x
=
, y =1

y


2

(thỏa mãn)

Vậy hệ đã cho có bốn ngiệm là:
 3+ 5   3− 5  3+ 5  3− 5 
; 1÷, 
; 1÷ .

 1;
÷, 1;
÷, 
2
2
2
2

 
 
 

Bài tập tự luyện
Bài 2.1.1. Giải các hệ phương trình:
 x + y + xy = 11
1) 
 x − xy + y = 1

2
2
 x + y = 1
2)  4
4
 x + y = 1

2
2
 x + y + xy = 3
3)  3
3

 x y + xy = 2

 x2 + y 2 = 2x2 y 2
4) 
 x − 3 xy + y = −1

 x + y + xy = 0
5)  3
3 3
3
 x + x y + y = 12

2
2
 x y + xy = 30
6)  3
3
 x + y = 35 .

Đáp số:
1) Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( 1;5 ) , ( 1;5 ) .
2) Hệ phương trình có bốn nghiệm là: ( 1;0 ) , ( −1;0 ) , ( 0;1) , ( 0; − 1) .
3) Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( 1;1) , ( −1; − 1) .

24


4) Hệ phương trình có một nghiệm là: ( 1;1) .

(


) (

)

5) Hệ phương trình có hai nghiệm là: 1 + 3;1 − 3 , 1 − 3;1 + 3 .
6) Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( 2;3) , ( 3;2 ) .
Bài 2.1.2. Giải các hệ phương trình:

(

 x y + y x = 30
1) 
 x x + y y = 35

 2( x + y ) = 3 3 x 2 y +
2) 
 3 x + 3 y = 6

 x
y
7
+
=
+1

x
xy
3)  y


 x xy + y xy = 78

 x 2 + x 2 y 2 + y 2 = 1 + 2 xy
4) 
2
2
 x + x y − xy = 1 − xy + y

3

xy 2

)

 x 2 + xy + y 2 = 19( x − y ) 2
5)  2
2
 x − xy + y = 7( x − y ) .
Hướng dẫn và đáp số:
1) Đặt u = x , v = y , điều kiện u ≥ 0 , v ≥ 0
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( 4;9 ) , ( 9;4 ) .
2) Đặt u = 3 x , v = 3 y
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( 64;8 ) , ( 8;64 ) .
3) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( 4;9 ) , ( 9;4 ) .
4) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( 1;1) , ( −1; − 1) .
5) Đặt t = − y
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có ba nghiệm ( 0;0 ) , ( −2; − 3) , ( 3;2 ) .

25