DẠNG 16: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Câu 40-1:

A.

Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh 3a . M thuộc cạnh A’D’ sao cho
A ' M  2a . Tính khoảng cách giữa AM và BD ' theo a

3 14
a.
14

B.

14
a.
14

C.

7
a.
7

D.

3 7
a.
7

Cho hình chóp S. ABC có mặt đáy là tam giác vuông tại đỉnh A , AB

Câu 40-2:

thẳng SA vng góc với mp ABC , SA 

AC

a . Đường

a 2
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
2

và SC .
A.

a 3
.
3

Câu 40-3:

A.

B. a 3 .

C.

3

.
a

D. 3 3a .

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh AB  a , BAD  60 ,
3a
SO   ABCD  , SO 
. Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
4
SM và BD là

3a
.
8

B.

Câu 40-4:

3 7a
.
14

C.

8a
.
3


D.

2 7a
.
3

Cho hình chóp S. ABC , tam giác ABC có AB  6a , AC  3a , BAC  120 , SA vng

góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2 . Gọi M là điểm thỏa mãn MA  2MB (Xem hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
S

A

B

M

C

A.

a 39
.
13

Câu 40-5:

B.


2a 39
.
13

C.

4a 39
.
13

D.

6a 39
.
13

Cho S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 3 . Gọi M là

trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD bằng
A.

a
.
2

B. a .

Câu 40-6:

C.


a 57
.
3

D.

a 57
.
19

Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC đều cạnh 3a, SA   ABC  và SA  2a (minh họa

như hình vẽ). Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho AM  2a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và BC bằng
Trang 1


A.

21a
.
7

B.

21a .

C. 2 21a .


D.

2 21a
.
7

Câu 40-7:
Cho hình lăng trụ đứng ABC .A' B ' C ' có đáy là tam giác vuông, BA  BC  2a , cạnh
bên AA' 4a , M là trung điểm của BC ( minh họa như hình bên). Khoảng cách giữa hai
đường thẳng B ' C và AM bằng

A.

2a 7
.
7

Câu 40-8:

B.

a 6
.
6

C. a .

D.

a 6

.
3

Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a 3 ,
BC  2a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C

biết AA '  a 2 .
A.

a 10
.
10

Câu 40-9:

B. a 2 .

C.

a 30
.
10

D. 2a .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy

và SA  a 3 . Gọi M là điểm thuộc AD sao cho AM  3MD . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và BD bằng
A.


a 35
.
35

B.

3a 35
.
35

C.

2a 35
.
35

D.

9a 35
.
35

Câu 40-10: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB cân tại S . Hình chiếu
vng góc của S lên mặt đáy nằm trên miền trong hình vng ABCD . Góc giữa đường thẳng
Trang 2


SA và mặt đáy bằng 30 , góc giữa mặt phẳng  SAB  và mặt đáy bằng 45 . Thể tích hình chóp
SABCD bằng


a3
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA .
3
B. a .

A. 2a .

C.

a
.
3

D. a 2 .

Câu 40-11:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB  a , AD  2a . Cạnh bên
SA vng góc với đáy và SA  2a (hình vẽ minh họa). Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng BD và SC .
S

D

A

B

A.


2a
.
3

C

B.

Câu 40-12:

a
.
3

C.

a
.
2

D.

3a
.
4

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng

a 37
. Gọi

3

M là trung điểm cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM .

A.

a 3
.
4

Câu 40-13:

B.

5a 3
.
6

C.

5a 3
.
12

D.

a 3
.
2


Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a; AD  2a , SA  ( ABCD) và

SA  3a . Gọi M là trung điểm AB , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM .
S

A

D

M
B

A.

4a 21
.
21

Câu 40-14:

B.

2a 21
.
21

C

C.


a 21
.
21

D.

a 6
.
3

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B có AB  BC  2a .

Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng

60 . Gọi M là trung điểm của AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo
a.
Trang 3


A.

2a 39
.
13

Câu 40-15:

B.

2a 39

.
13

C.

2a 11
.
13

D.

2a 11
.
13

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của S trên

mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo

a.
A.

a 42
.
8

B.


a 42
.
4

C.

a 42
.
12

D.

a 42
.
10

Câu 40-16:
Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết hình chiếu
vng góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC và
AA  a . Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC  là
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.

2

C.

a 2
.
3

D.

a 2
.
2

Câu 40-17:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , mặt bên SAD là tam giác
đều và  SAD    ABCD  . Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB . Ta có khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và CM là:
A.

a 2
.
3

B.

a 5
.
4


C.

a 3
.
3

D.

a 3
.
4

Câu 40-18: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a , BC  2a , SA vng góc với
mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa AC và SB , biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD)
bằng 30o .
A.

5a
.
2

Câu 40-19:

B.

2a
.
5

C.


2 37a
.
185

D.

2 185a
.
37

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB  a 6 , BC  3a ,

AC  a 3 và SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  3a . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho
BM  2MC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD là

A.

3a 3
.
2

Trang 4

B.

a 6
.
2


C.

a 2
.
2

D.

3a 2
.
2


Câu 40-20: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vng góc của
đỉnh S lên mặt phẳng chứa đáy là trung điểm H của AC và SH  2a . Gọi điểm M thuộc
cạnh AB sao cho AM  3MB (tham khảo hình vẽ bên dưới).

S

A

B

M
H
C

Khoảng cách giữa SM và BC bằng
A. a


12
.
259

Trang 5

B. a

259
.
12

C. a

67
.
12

D. a

12
.
67


ĐỀ PHÁT TRIỂN 20 CÂU 37 THAM KHẢO LẦN 1 BGD
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B ,

Câu 37-1.


tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 60 . Tính
khoảng cách giữa SC và AB theo a .
3a
.
8

A.

B.

3a
.
13

C.

3a
.
6

D.

3a
.
4

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vng góc của S

Câu 37-2.


xuống mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của cạnh AB , góc giữa SC và đáy bằng 60 . Tính
khoảng cách giữa SB và AC .
A.

3a
.
26

B.

3a
.
13

C.

3a
.
52

D.

a
.
13

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là nửa lục giác đều với AD  2a, AB  BC  CD  a ,

Câu 37-3.


SA  a 3 và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
CD theo a .
A.

a 2
.
3

B.

a 6
.
5

C.

a 14
.
7

D.

a 15
.
5

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 37-4.


0
Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
GC và SA bằng:

A.
Câu 37-5.

a
a 2
a 5
a 5
.
B. .
C.
.
D.
.
5
5
10
5
Cho hình chóp S. ABCD với đáy là nửa lục giác đều có AB BC

SA
A.
Câu 37-6.

CD

a,


ABCD , góc giữa SC và ABCD là 45 . Khoảng cách giữa SB và CD là
a 15
a 15
5a
3a
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
5
3
5
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 4a , SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, BAD  1200 . Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho
CM  3a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM bằng
A.

8 51
a.
17

B.

51

a.
12

C.

4 51
a.
17

D.

51
a.
6

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , AC  2a, BC  a, DC  a 5 ,

Câu 37-7.

SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Gọi M là trung điểm OA , DM  AB  N . Tính

d  N ,  SBC  
A.

2
a.
3

B.


4 5
a.
15

C.

1
a.
2

D.

5
a.
5

Câu 37-8. Cho hình chóp S. ABCD có SA  ( ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Độ dài các cạnh
AB  3a, AD  4a, SA  5a . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC và BM  3a . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và MD là
Trang 6


A.
Câu 37-9.

15a
.
259

B.


29a
.
245

C.

39a
.
245

D.

45a
.
259

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AC và BM .
a 22
a 11
A.
.
B. a 22 .
C.
.
D. a 11 .
22
11


Câu 37-10.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB  BC  a
, AD  2a , SA vng góc với đáy và SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
bằng:
A.
Câu 37-11.

a 2
.
9
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA   ABC  , góc giữa

a 2
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 6
.
3

D.


đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng 75 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
SB gần bằng giá trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)
A. 0.833a .
B. 0.844a .
C. 0.855a .
D. 0.866a .
Câu 37-12.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, với AB / /CD AB  3a,

AD  DC  a , BAD  600 , biết SA vng góc với đáy và SA  a 3 . Gọi M là điểm thuộc
cạnh AB sao cho AB  3 AM . Khoảng cách giữa SM và AD bằng
a 15
a 15
2a
2a
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
3
5
3
Câu 37-13.
Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAD là tam
giác đều , ( SAD) vng góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SA và BD .


A.

A.
Câu 37-14.

a 15
.
5

B.

a 5
.
5

C.

a 21
.
10

D.

a 21
.
7

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC  600 , SA   ABCD  ,

góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  ABCD  bằng 300 . Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB và AD .
a 39
A.
.
13
Câu 37-15.

B.

a 3
.
13

C.

2a
.
13

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, AB

D.
2a, AD

DC

a 39
.
3
CB


a , SA vng

góc với mặt phẳng đáy và SA 3a . Gọi E là trung điểm AD , F nằm trên AB sao cho
1
AF
AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và EF bằng
4
A.
Câu 37-16.

3a
.
4

B.

9a
.
8

C.

3 13a
.
13

D.

6 13a

.
13

Cho hình chóp S. ABCD có SD vng góc với  ABCD , SD  a 5 . Đáy ABCD là hình

thang vng tại A và D với CD  2 AD  2 AB  2a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính
khoảng cách giữa hai đường thằng AC và SM .
a
a
a
A. a .
B. .
C. .
D. .
2
4
5
Trang 7


Câu 37-17.

Cho hình chớp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ABC  60 , mặt bên SAB là

tam giác đều. Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm của

AO . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD .
a 560
a 560
a 560

a 560
.
B.
.
C.
.
D.
.
112
10
28
5
Câu 37-18.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D , SA   ABCD  ;

A.

AB  2a , AD  CD  a . Gọi N là trung điểm SA . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC
a3 6
.
2

và DN , biết rằng thể tích khối chóp S. ABCD bằng
A.
Câu 37-19.

a 6
.
4


B.

a 2
.
2

C.

a 6
.
2

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SD 

D.

a 10
2

a 33
. Hình chiếu vng
2

góc H của S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của
AD . Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a .

a 399
a 399
a 105
a 105

.
.
.
.
B.
C.
D.
15
19
57
3
Câu 37-20.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B , AB  BC  a ; AD  2a
A.

. SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a. Gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách
giữa SM và CD .
A.

2a
.
3

B.

2a 17
.
17

C.


a
.
3

D.

5a
.
6

ĐỀ PHÁT TRIỂN 10 CÂU 49 THAM KHẢO LẦN 1 BGD
Câu 49-1. Cho hình chóp S. ABC có ABC vng cân tại B , AB  a , SAB  SCB  90 . Khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.
Câu 49-2.

a3 2
.
4

B.

a 3
. Thể tích khối chóp S. ABC bằng
3

3a 3 2
.
4


C.

a3 2
.
12

D.

a3 6
.
3

Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vng tại A , AB  2a, BC  4a . Gọi M là





trung điểm của BC có SCB  SMA  900 , SB,  ABC   600 . Thể tích khối chóp S. ABC
bằng
4 39a 3
A.
.
3

B. 4 39a3 .

C.


39a3 .

D.

39a 3
.
3

Câu 49-3. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  4a 3 , ASB  30 . Góc
giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 30 . Biết I trung điểm SA là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S. ABC . Gọi  là góc giữa IB và mặt phẳng  SAC  . Khi sin  
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
Trang 8

21
thì
7


A.

14 3
a.
5

B.

8 3
a.
3


C. 3 3a .

D. 4 3a .

Câu 49-4.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB  2a , AC  a ,
SBA  SCA  900 , góc giữa SA và mặt phẳng  ABC  bằng 450 . Tính thể tích khối chóp

S. ABC .
A.

a3 5
.
3

Câu 49-5. Cho

B. a3 5 .
hình

C.

S. ABC

chóp

2a 3 5
.
3


D. 2a3 5 .

SB  2 3a, AB  2 2a , SAB  SCB  900 ,

có

 SB,  ABC   30 ,  SBC  ,  ABC   60 . Thể tích khối chóp S.ABC theo a bằng
0

16 6a 3
A.
.
27

0

8 3a 3
C.
.
3

8 6a 3
B.
.
27

2 6a 3
D.
.
3


Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SBA  SCA  900 , góc giữa

Câu 49-6.

đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng 600 .Thể tích của khối chóp S. ABC bằng
A. a3 3 .
Câu 49-7.

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.
6

Cho hình chóp S.ABC có AB  BC  a , ABC  120 , cosin góc giữa hai mặt phẳng
 SAB  và  SBC  bằng 10 . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết hình chiếu vng góc của S
5

ABC
lên mặt phẳng 
 nằm trên tia Cx AB (cùng phía với A trong nửa mặt phẳng bờ BC ) và
nhìn cạnh AC dưới góc 60 .
A. a 3 .

B.

a3
.
3

C.

a3
.
2

D.



a3
.
4



Câu 49-8. Cho hình chóp S. ABC có ABC  1350 , AB  a, BC  2a , AC ,  SAB   
SAB  SBC  900 , thỏa mãn sin  


a3
A.
.
12

a3
B.
.
4

1
. Thể tích khối chóp S. ABC theo a bằng
5
5a 3
3
C. 5a .
D.
.
3

Câu 49-9. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A , cạnh AB  a , góc BAC  120 .
Tam giác SAB vng tại B , tam giác SAC vng tại C . Góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và

 ABC  bằng 60 . Tính thể tích khối chóp
A.

a3 3
.
6


B.

a3 3
.
2

S. ABC theo a .
C.

a3 3
.
4

D.

a3 3
.
12

Câu 49-10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , AB  2a ,
SBA  SCA  90 góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  bằng 60 . Tính thể tích khối chóp

S. ABC .
4a 3
A.
.
6
Trang 9


B.

a3
.
3

C. 4a 3 .

D.

4a 3
.
3


40-1.A
40-11.A
37-1.B
37-11.B
49-1.C

40-2.A
40-12.D
37-2.B
37-12.A
49-2.A

40-3.A
40-13.A
37-3.D

37-13.D
49-3.D

40-4.A
40-14.B
37-4.A
37-14.A
49-4.A

BẢNG ĐÁP ÁN
40-5.D
40-6.A
40-15.A 40-16.D
37-5.B
37-6.A
37-15.B 37-16.D
49-5.A
49-6.D

40-7.D
40-17.D
37-7.B
37-17.D
49-7.D

40-8.C
40-18.D
37-8.D
37-18.A
49-8.A


40-9.A
40-19.D
37-9.A
37-19.C
49-9.C

40-10.B
40-20.D
37-10.C
37-20.A
49-10.D

Câu 40-1. [Mức độ 3] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh 3a . M thuộc cạnh A’D’ sao cho
A ' M  2a . Tính khoảng cách giữa AM và BD ' theo a
A.

3 14
a.
14

B.

14
a.
14

C.

7

a.
7

D.

3 7
a.
7

Lời giải
Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BB ' . N  AI  BA ' thì N trọng tâm tam giác ABB ' .
Khi đó MN BD ' . Suy ra BD '

 AMK 

với K  A ' B ' AI và A ' K  6a .

1
1
Ta có d  AM , BD '  d  D ',  AMK    .d  A ',  AMK    .d .
2
2
Do A ' M , A ' A, A ' K đơi một vng góc nên
1
1
1
1
7

3 14




d 
a.
2
2
2
2
2
d
A' A
A' M
A' K
18a
7

Vậy d  AM , BD ' 

3 14
a.
14

Câu 40-2. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABC có mặt đáy là tam giác vng tại đỉnh A , AB
Đường thẳng SA vng góc với mp ABC , SA 

a 3
.

3

B. a 3 .

C.
Lời giải

Chọn A
Trang 10

a.

a 2
. Tính khoảng cách giữa hai đường
2

thẳng AB và SC .
A.

AC

3
.
a

D. 3 3a .


AC là hình chiếu của SC lên mp ABC , AB


AH

AB

SC .

SC thì AH là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AB

Trong mặt phẳng SAC dựng AH

và SC và d AB, SC

AC

AC.SA
AC 2

SA2

a.a 2
2
2a 2
a2
4

a 3
.
3

Câu 40-3. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh AB  a ,

3a
BAD  60 , SO   ABCD  , SO 
. Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa hai
4
đường thẳng SM và BD là
A.

3a
.
8

B.

3 7a
.
14

C.
Lời giải

Chọn A

Trang 11

8a
.
3

D.


2 7a
.
3


Gọi N là trung điểm của OC .
Trong  SON  , kẻ OH  SN  H  SN  . 1
Do M , N lần lượt là trung điểm của CD và OC nên MN là đường trung bình của OCD .
 MN // OD hay MN // BD .
Do đó d  BD, SM   d  BD,  SMN    d  O,  SMN   .

 MN // BD
Ta có 
nên MN  AC hay MN  ON .
 BD  AC
Lại có MN  SO (do SO   ABCD  ).
Nên MN   SON   MN  OH .  2 
Từ 1 và  2  suy ra OH   SMN  .

 d  BD, SM   d  O,  SMN    OH .

Do ABCD là hình thoi nên AB  AD  a .
Lại có BAD  60 nên ABD là tam giác đều cạnh a .
a 3
a 3
Mà AO là đường cao của ABD nên AO 
.
 ON 
2
4

1
1
1
16 16
64
3a
Xét SON vng tại O có
.


 2  2  2  OH 
2
2
2
OH
ON
SO
3a 9a
9a
8
3a
Vậy d  BD, SM  
.
8
Câu 40-4. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABC , tam giác ABC có AB  6a , AC  3a , BAC  120 , SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2 . Gọi M là điểm thỏa mãn MA  2MB (Xem hình
vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
S

A


B

M

C

A.

a 39
.
13
Trang 12

B.

2a 39
.
13

C.

4a 39
.
13

D.

6a 39
.

13


Lời giải
S

H

M

A

B
I

N
C

Chọn A
Kẻ MN / / BC , suy ra BC / /  SMN  .

1
Ta có d  SM , BC   d  BC ,  SMN    d  B ,  SMN    d  A ,  SMN   .
2
Kẻ AI  MN , AH  SI , suy ra AH   SMN  , d  A,  SMN    AH .

AN AM 2
2
2


  AN  . AC  .3a  2a .
AC AB 3
3
3
MN 

 2a    4a 

S AMN 

1
1
AM . AN .sin BAC 4a.2a.sin120 2a 21
.
AM . AN .sin BAC  AI .MN  AI 


2
2
MN
7
2a 7

2

2

 2.2a.4a.cos120  2a 7 .

1

1
1
1
 2 2 
2
AH
SA
AI
a 2





2



1
 2a 21 


 7 

2



13
2a 39

.
 AH 
2
12a
13

1 2a 39 a 39

Vậy d  SM , BC   .
.
2 13
13
Câu 40-5. [Mức đợ 3] Cho S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 3 . Gọi
M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD bằng

a
A. 2 .

Trang 13

B. a .

a 57
C. 3 .

a 57
D. 19 .


S


A

D
M

B

C

Lời giải
Chọn D

S

N

A

D
M

B

C

Gọi N là trung điểm của SA . Do MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN //SD .
Vậy SD //  BMN  vì vậy d  SD, BM   d  SD,  BMN    d  D,  BMN    d  A,  BMN    h .
Do A.BMN là một góc tam diện vng nên
1

1
1
1
19
a 57
.



 2 h
2
2
2
2
h
AB
AM
AN
3a
19

Câu 40-6. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC đều cạnh 3a, SA   ABC  và SA  2a
(minh họa như hình vẽ). Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho AM  2a . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng SM và BC bằng

Trang 14


A.


21a
...
7

B.

C. 2 21a .

21a .

D.

2 21a
.
7

Lời giải
Chọn A.
Gọi N là điểm trên cạnh AC sao cho AN  2a , ta có:
AM AN 2

  MN //BC  BC //  SMN  .
AB
AC 3
Suy ra

d  BC, SM   d  BC,  SMN    d  B,  SMN   .
d  B,  SMN   

BM

1
.d  A,  SMN    d  A,  SMN   .
AM
2

Gọi E là trung điểm của MN , kẻ AH  SE , ( H  SE ) vì tam
giác AMN đều cạnh 2a nên AE  a 3 .

 AE  MN
 MN  AH .
Do 
 SA  MN
Mặt khác AH  SE  AH   SMN   d  A,  SMN    AH .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE , ta có:
1
1
1
1
1
7
2 21a


 2 2
 AH 
.
2
2
2
2

AH
AS
AE
4a 3a 12a
7
Vậy d  BC , SM  

a 21
.
7

Câu 40-7.[Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC .A' B ' C ' có đáy là tam giác vng, BA  BC  2a ,
cạnh bên AA' 4a , M là trung điểm của BC ( minh họa như hình bên). Khoảng cách giữa
hai đường thẳng B ' C và AM bằng

A.

2a 7
.
7

B.

a 6
.
6

C. a .
Lời giải


Chọn D
Trang 15

D.

a 6
.
3


+ Gọi N là trung điểm của BB ' , khi đó MN là đường trung bình của BCB '
 MN // B ' C  B ' C //  AMN 
 d  AM , B ' C   d  B ' C ,  AMN    d  C ,  AMN    d  B ,  AMN    h

+ Tính d  B ,  AMN  
Ta có BN 

1
1
1
BB '  2a; BM  BC  .2a  a
2
2
2

Áp dụng cơng thức tính đường cao của tứ diện vng ta có :
1
1
1
1

1
1
1
6
2a a 6
a 6



 2  2  2  2 h

. Vậy d  AM , B ' C  
2
2
2
2
h
BA BM
BN
4a a 4a
4a
3
3
6
.
Câu 40-8. [Mức đợ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B ,
AB  a 3 , BC  2a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM , B ' C biết AA '  a 2 .

A.


a 10
.
10

B. a 2 .

C.
Lời giải

Chọn C

Trang 16

a 30
.
10

D. 2a .


Gọi N là trung điểm của BB ' suy ra MN / / B ' C .
Do đó d  AM , B ' C   d  B ' C,  AMN    d C,  AMN   .
Mà M là trung điểm của BC nên d  B,  AMN    d  C,  AMN   .
Ta có BA, BM , BN đơi một vng góc với nhau.
Nên

1
1
1

1
.



2
2
BN 2
d  B,  AMN   BA BM
2

Mặt khác BM 
Suy ra

BC
1
a
.
 a, AB  a 3, BN  BB ' 
2
2
2

1
1
1
 2
d  B,  AMN   a
a 3




2

 d  B,  AMN   



2



1
 a 


 2

2



10
.
3a 2

a 30
a 30
 d  AM , B ' C  
10

10

Câu 40-9. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  a 3 . Gọi M là điểm thuộc AD sao cho AM  3MD . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng SM và BD bằng
A.

a 35
.
35

B.

3a 35
.
35

C.

2a 35
.
35

D.

Lời giải
Chọn A

Gọi N là điểm thuộc AB sao cho AN  3NB  MN //BD  BD//  SMN  ,
d  BD ,SM   d  BD , SMN    d O , SMN   , (với O là tâm hình vng ABCD ).


Goi I  AO  MN , do AO   SMN   I 
1
 d  O , SMN    d  A , SMN  
3

Trong  SAI  kẻ AH  SI .
Trang 17

d  O , SMN   IO 1


d  A , SMN   IA 3

9a 35
.
35


Ta có MN  AI ,MN  SA  MN   SAI   MN  AH .
AH  SI , AH  MN  AH   SMN   d  A, SMN    AH .

Có AI 

3
3 a 2 3a 2
.
AO  .

4

4 2
8

Tam giác SAI vuông tại A , AH là đường cao nên
1
1
1
1
64
35
3a 35
.
 2 2  2
 2  AH 
2
2
AH
SA
AI
3a 18a
9a
35
1
1
a 35
Vậy d  O , SMN    d  A , SMN    AH 
.
3
3
35


Câu 40-10. [Mức đợ 3] Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB cân tại S .
Hình chiếu vng góc của S lên mặt đáy nằm trên miền trong hình vng ABCD . Góc giữa
đường thẳng SA và mặt đáy bằng 30 , góc giữa mặt phẳng  SAB  và mặt đáy bằng 45 . Thể

a3
tích hình chóp SABCD bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA .
3
B. a .

A. 2a .

C.

a
.
3

D. a 2 .

Lời giải
Chọn B
S

E

A

D


M
N

H
B

.
C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD , suy ra AB   SMN  .
Kẻ SH  MN , H  MN , suy ra SH   ABCD  .
Khi đó  SA,  ABCD    SAH  30 .
Và

 SAB  ,  ABCD   SMH  45 .

Kẻ NE  SM , E  SM , suy ra NE   SAB  .
Ta có d  CD, SA  d  CD,  SAB    d  N ,  SAB    NE.
Trang 18


SA 

SH
SH
 2 SH .
 2SH ; SM 
sin 30
sin 45


Lại có SA2  SM 2  AM 2  4SH 2  2SH 2 
Và VSABCD

AB 2
 8SH 2  AB 2  0 1 .
4

1
a3
2
 SH . AB   SH . AB 2  a 3  2  .
3
3

Giải 1 và  2  ta được SH 

a
; AB  a 2 .
2

a
.a 2
2
Xét tam giác SMN có SH . MN  NE. SM  NE 
a.
2
a
2


Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a .
Câu 40-11. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB  a , AD  2a .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a (hình vẽ minh họa). Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng BD và SC .
S

D

A

B

A.

2a
a
.B. .
3
3

C

C.

a
.
2

D.


3a
.
4

Lời giải
Chọn A
S

M

A

K
D
H

B

O
C

Gọi O là giao điểm của AC và BD ; M là trung điểm của cạnh SA .
Trang 19


Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM // SC . Suy ra SC //  MBD  .
Lúc đó d  SC, BD   d  SC,  MBD    d C ,  MBD   .

(1)


Mặt khác, do AC cắt  MBD  tại O và OA  OC nên d  C,  MBD    d  A,  MBD    AK , với K là
hình chiếu của A lên  MBD  . (2)

Xét tứ diện A.M BD có AB , AD và AM đơi một vng góc, ta có

2a
1
1
1
1
1
1
1
9
. (3)



 2
 2  2 . Suy ra AK 
2
2
2
2
2
3
AK
AB
AD
AM

a  2a  a
4a
Từ (1), (2) và (3) ta có d  SC , BD  

2a
.
3

Câu 40-12. [Mức đợ 3] Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng
a 37
. Gọi M là trung điểm cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM .
3
A.

a 3
.
4

B.

5a 3
.
6

C.

5a 3
.
12


D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn D
Cách 1:

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC .
Khi đó, AC // BD  AC //  MBD   d  AC , BM   d  AC ,  MBD    d  A ,  MBD   .
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC . Suy ra SO   ABC  .
Gọi H là trung điểm AO . Suy ra MH // SO  MH   ABC  .
Vẽ HK  BD tại K . Suy ra HK // BO . Suy ra
Trang 20

BO OD 4
5

  HK  BO .
HK HD 5
4


2
5 2a 3 5a 3
3 2a 3
Mà BO  .2a .
suy ra HK  .

.


3
4 3
2
6
3

Vẽ HI  MK tại I . Suy ra d  H ,  MBD    HI .
2

2

 a 37   2a 3 
25a
5a
5a
Ta có, SO  SA  AO  
.
 SO 
 MH 
  
 
9
3
6
 3   3 
2


Mà
Mà

2

2

1
1
1
5a 3
5a 3
suy ra HI 
.
 d  H ,  MBD    HI 


2
2
2
12
12
HI
MH
HK
d  H ,  MBD  
d  A ,  MBD  

Vậy d  AC , BM  




HD 5
a 3
.
  d  A ,  MBD   
AD 6
2

a 3
.
2

Cách 2:

Gọi M là trung điểm AC . Suy ra d  AC , BM   d  AC ,  BMN    d  A ,  BMN    d  S ,  BMN   .
Ta có, d  S ,  BMN   

3.VS .BMN 3.VS . ABC
.

S BMN
4. S BMN

1
1 5a
5a3 3
Ta có VS . ABC  . SO . S ABC  . . a 2 3 
.
3

3 3
9

Ta có BM  BN 
Vậy d  AC , BM  

BS 2  BC 2 SC 2 a 109
5a


, MN  a suy ra S BMN 
.
2
4
6
6
a 3
.
2

Câu 40-13. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a; AD  2a ,
SA  ( ABCD) và SA  3a . Gọi M là trung điểm AB , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC và DM .
Trang 21


S

A


D

M
B

A.

4a 21
.
21

B.

C

2a 21
.
21

C.

a 21
.
21

D.

a 6
.
3


Lời giải
Chọn A
S

H

A
M

D
G

B

C

GA MA 1
AG 1

 .
 
GC CD 2
AC 3

Gọi G là giao của AC và DM thì
Vẽ GH //SC thì

AH AG 1


 và ( HDM )//SC
AS AC 3

Do đó d  SC, DM   d  SC,( HDM )   d  C,( HDM ) 
Xét tứ diện H . ADM

thì ta thấy đây là tứ diện vuông, nên gọi h  d  A, ( HDM )  thì

1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
2a 21






 2  2  2 h
2
2
2
2

2
2
2
21
h
AH
AD
AM
AD  AB 
a a 4a
 SA 
 


 3 
 2 
Vậy d  SC , DM   d  C , ( HDM )  

GC
2a 21 4a 21
.
d  A, ( HDM )   2.

GA
21
21

Câu 40-14. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B có
AB  BC  2a . Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và


 ABC  bằng 60 . Gọi

M là trung điểm của AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

và SM theo a .
A.

2a 39
.
13

B.

2a 39
.
13

C.
Lời giải

Trang 22

2a 11
.
13

D.

2a 11
.

13


Chọn B

Gọi N là trung điểm của BC , khi đó AB / / MN , vậy AB / /  SMN  .
Khi đó d  AB; SM   d  AB;  SMN    d  A;  SMN   .
Dựng AK  MN , dựng AH  SK . Khi đó d  A;  SMN    AH .
Góc giữa mp  SBC  và mp  ABC  bằng góc SBA , vậy SBA  60 .
Ta có SA  AB.tan SBA  2a 3 , AK  BN  a .
Vậy AH 

AK  AS
AK  AS
2

2



2a 39
.
13

Câu 40-15. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của
S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và

BC theo a .
a 42

A.
.
8

B.

a 42
.
4

C.
Lời giải

Trang 23

a 42
.
12

D.

a 42
.
10


Chọn A.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác HBC ta có:
2


a
a 7
a
HC  HB 2  BC 2  2 HB.BC cos HBC     a 2  2.a. cos600 
3
3
3

Theo giả thiết ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 60 nên suy ra
SCH   SC;  ABC    60
0
Trong tam giác vuông SHC vuông tại H ta có: SH  HC tan 60 

a 21
3

Kẻ Ax BC .
Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vng góc của H trên Ax và SN .
3
3
Ta có BC  SAN  và BA  AH nên d  SA; BC   d  B,  SAN    d  H ,  SAN   .
2
2
Ta cũng có Ax   SHN  nên Ax  HK .
Do đó HK   SAN   d  H ,  SAN    HK

2a
a 3
SH .HN
a 42

, HN  AH .sin 60 
 HK 

2
2
3
3
12
SH  HN
a 42
Vậy d  SA; BC  
.
8
AH 

Câu 40-16. [Mức đợ 3] Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết hình
chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC và
AA  a . Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC  là
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
2


C.
Lời giải

Chọn D

Trang 24

a 2
.
3

D.

a 2
.
2


Do hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng ( ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC ,
tam giác ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh AA  a nên tứ diện AABC là tứ diện đều.
Gọi H , I lần lượt là trung điểm của BC  và AA , ta có các tam giác IBC, HAA là các tam giác
cân nên IH  AA, IH  BC . Do đó d ( AA, BC)  IH .
Ta có AH 

a 3
2 a 3 a 3
a2 a 6
, AG  .

, AG  AA2  AG2  a 2 


.
2
3 2
3
3
3

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác AAH ta có:

a 6 a 3
.
1
1
AG. AH
3
2 a 2.
AG. AH  AA.HI  HI 

2
2
AA
a
2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là

a 2
.
2


Câu 40-17. [Mức đợ 3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , mặt bên SAD là
tam giác đều và  SAD    ABCD  . Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB . Ta có khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và CM là:
A.

a 2
.
3

B.

a 5
.
4

C.
Lời giải

Trang 25

a 3
.
3

D.

a 3
.
4