BD Toan 10 - Bat dang thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.49 KB, 6 trang )
Bồi d ỡng Toán 10
Chuyên đề bất đẳng thức
Dạng I : Chứng bất đẳng thức bằng định nghĩa
Chứng minh rằng
1)
4
2
a
+ b
2
+ c
2
ab - ac + 2bc
2) 4a
4
+ 5a
2
8a
3
+ 2a - 1
3) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+e
2
a( b + c + d + e )
4) a
2
( 1 + b
2
) +b
2
( 1 + c
2
) + c
2
( 1 + a
2
) 6abc
5) a
4
+ 3 4a
6) a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
7) a
4
+ b
4
+ c
4
+ d
4
4abcd
8) x
4
+ y
4
2
6
2
6
x
y
y
x
+
, ( Với x,y 0 )
9) Cho a > 0 , b > 0 . CMR
4
2
ab
ba
ab
+
10) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a > 0, b > 0 và c >
ab
CMR :
2222
bc
bc
ac
ac
+
+
+
+
11) Cho ab 1 , CMR
ab
ba
+
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
12) Chứng minh rằng với x ta có
2
3
2
2
+
+
x
x
> 2
13) CM với a > 0, b > 0 và x, y R thì
( ax + by)( bx + ay)
( )
xyba
2
+
14) CM với ab > 0 thì
(a
5
+ b
5
)(a + b) (a
4
+ b
4
)(a
2
+ b
2
)
15) Cho z y x > 0 . Chứng minh
( ) ( )
+++
+
zx
zxzx
yzx
y
11111
16) Cho a 2, b 2 . Chứng minh ab a + b
17) CMR với a > 0, b > 0 ta có
ba
b
a
a
b
++
22
18) Cho a > b > 0 . CMR :
( ) ( )
b
ba
ab
ba
a
ba
828
22
+
19) CMR với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có
1
Bồi d ỡng Toán 10
dbcaacba +
+
+
+
+
11
1
11
1
11
1
Dạng II : Phơng pháp phản chứng
1) CMR: Nếu a + b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức là đúng
c
2
a ; d
2
b
2) CMR: trong ba bất đẳng thức sau đây có ít nhất một bất đẳng thức đúng
2(a
2
+ b
2
) (b + c)
2
2(b
2
+ c
2
) (c + a)
2
2(c
2
+ a
2
) (a + b)
2
3) CMR nếu a
1
a
2
2(b
1
+b
2
) thì ít nhất một trong hai phơng trình
x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1)
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)có nghiệm
4) Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đăng thức sau
đây là sai :
( ) ( ) ( )
4
1
1;
4
1
1;
4
1
1 accbba
5) Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
a + b + c > 0 (1)
ab + bc + ca > 0 (2)
abc > 0 (3)
Chứng minh : a > 0, b > 0, c > 0
6) Chứng minh trong hai phơng trình sau đây ít nhất có một phơng trình có
nghiệm :
x
2
- 2ax + 1 - 2b = 0
x
2
- 2bx + 1 - 2a = 0
7) Cho ba bất đẳng thức
a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1. Với a, b, c (0 ; 2)
Chứng minh có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai
8) Cho a, b, c (0 ; 1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng sau
là sai
( )
4
1
1 ba
;
( )
4
1
1 cb
;
( )
4
1
1 ac
9) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác mà độ dài các đờng cao là
1 ;
5
;
51
+
10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng
a
3
b
5
(c - a)
7
(c - b)
9
0 ; bc
5
(a - b)
9
(a - c)
13
0 ; c
9
a
7
(b - c)
5
(b - a)
3
0
2
Bồi d ỡng Toán 10
Dạng III : Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản toán cơ bản
Nếu a < b thì
cb
ca
b
a
+
+
Nếu a b thì
cb
ca
b
a
+
+
Nếu x, y, z > 0 thì
+)
( )
2
41
yx
xy
+
+)
yxyx
+
+
411
+)
zyxzyx
++
++
9111
Các bài toán áp dụng
1) Cho a, b, c > 0 . CMR
2
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++
2) Cho x, y, z > 0 . CMR
2
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+
3) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . CMR
2
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
4) CMR :
19
19
49
49
121
123
123
125
+
+
+
+
5) Cho a, b > 0. CMR
( )
222
1
8
1
44
1
ba
ab
ba
+
+
+
6) Cho a, b, c > 0. CMR
cbacbacbacba 2
4
2
4
2
4111
++
+
++
+
++
++
7) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR
cbacbacbacba
111111
++
++
+
+
+
+
8) Cho a, b, c, d > 0 .CMR
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ad
bd
dc
ac
cb
db
ba
ca
9) Cho a, b, c > 0. CMR
cbaaccbba
++
+
+
+
+
+
3
2
1
2
1
2
1
10) Cho a, b, c > 0 .CMR
( )
cbacbacbacba
++
++
+
++
+
++
4
9
2
1
2
1
2
1
3
Bồi d ỡng Toán 10
11) Cho x thoả mãn
2
13
3
2
x
. CMR
7
3
213
1
10
1
23
1
+
xxx
12) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 . CMR
9
2
1
2
1
2
1
222
+
+
+
+
+
abcacbbca
13) Cho a, b, c > 0 . CMR
++
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
3
111
14) Cho a, b, c > 0. CMR
2
3
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
15) Cho a, b, c > 0 .CMR
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
2
3
22
1
22
1
22
1
cba
acabcacbbcba
++
++
+
++
+
++
16) Cho a, b, c, d > 0. CMR
( )( ) ( )( )
dcbacbda
db
dcba
ca
+++
++
+
+
++
+
4
17) Cho a, b, c, d > 0 . CMR
( )( ) ( )
dcbadbca
ba
dcba +++
++
+
+
+
+
+
1223
18) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR
( ) ( ) ( )
( )
cba
cba
ac
cba
cb
cba
ba
++
+
+
+
++
+
+
+
+
4
22
19) Cho hai số dơng a, b thỏa mãn a + b = 1. CMR
6
11
22
+
+
ba
ab
20) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b 1. Chứng tỏ rằng
14
32
22
+
+
ba
ab
Dạng IV. Chứng minh bất đẳng thức dẫy
A) kiến thức cần nhớ
Để chứng minh A B ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn
hơn hoặc bằng B.
Từ đó ta có A B, hoặc ta chứng minh D B với D là biểu thức nhỏ hơn
hay bằng A từ đó ta có A B
Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, ngời ta thờng phát hiện đặc điểm
của số hạng tổng quát, từ đó rút gọn các phép tính trung gian.
Ngời ta còn hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trong trờng hợp
thuận lợi.
4
Bồi d ỡng Toán 10
B) Bài tập
1) CMR:
2
2
1
...
2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
Với n N, n > 1
2) CMR:
1
1
...
1
11
2
>++
+
+
n
nn
Với n N
3) CMR:
n
n
>+++
1
...
2
1
1
1
Với n N, n > 1
4) CMR:
( )
12
1
...
3
1
2
1
1112
<++++<+
n
n
n
Với n N
5) CMR:
( )
2
1
1
...
23
1
12
1
<
+
+++
nn
Với n N, n 1
6) CMR:
2
1
...
3
1
2
1
1
222
<++++
n
Với n N, n > 1
7) CMR:
( )
2
1
1
1
...
13
1
5
1
2
2
<
++
+++
nn
Với n N, n 1
8) CMR:
( )
4
1
12
1
...
25
1
9
1
2
<
+
+++
n
Với n N, n 1
9) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR
(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) abc
10) CMR:
10
1
100
99
6
5
4
3
2
1
15
1
<<
11) CMR với mọi số tự nhiên n 8, ta có
3
21
...
3
1
2
1
2
1
222
<+++<
n
12) CMR với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có:
3
1
12
<
+
n
n
13) CMR với n N, n 1, ta có
a)
4
3
2
1
...
2
1
1
1
2
1
<++
+
+
+
<
nnn
b)
2
13
1
...
2
1
1
1
1
<
+
++
+
+
+
<
nnn
c)
4
51
...
3
1
2
1
1
333
<+++<
n
Dạng V:Bất đẳng thức cosi
A) kiến thức cần thiết
Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của n số đó
*) Cho a
1
, a
2
, ..., a
n
0 ta luôn có
5
