LUONG GIAC CO BAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.26 KB, 9 trang )
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
sina + cosa = 1 tana = 1+tan a =
tana . cota =1 cota = 1+cot a =
- CUNG LIÊN KẾT: Cos đối - Sin bù - Phụ chéo - Hơn kém nhau π là tan, cot.
cos(-x) = cosx cos ( -x)= sinx
sin(-x) = - sinx sin( -x)= cosx
tan(-x) = - tanx tan( -x)= cotx
cot(-x) = - cotx cot( -x)= tanx
sin(π -x) = sinx tan( π +x) = tanx
cos(π -x) = - cosx cot (π +x) = cotx
tan(π -x) = - tanx sin(π +x) = - sinx
cot(π -x) = - cotx cos(π +x) = - cosx
-CÔNG THỨC CỘNG
sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
cos (a ± b) = cosacosb sinasinb
tan (a ± b) =
cot( a ± b) = =
-CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos
2
a - sina = 2cosa - 1 = 1- 2sina
tan2a =
cot2a = =
-CÔNG THỨC NHÂN BA
sin3a = 3sina - 4 sina
cos3a = 4cosa - 3cosa
- CÔNG THỨC HẠ BẬC
sina =
cosa =
tana =
- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. TỔNG THÀNH TÍCH
Cosa+cosb = 2 cos( )cos( )
Cosa - cosb = - 2 sin( )sin( )
Sina + sinb = 2 sin( )cos( )
Sina - sinb = 2cos( )sin( )
Tan a ± tanb =
2. TÍCH THÀNH TỔNG
Cosacosb = (cos(a+b) + cos(a-b))
Sina.sinb = (cos(a+b) - cos(a-b))
Sina.cosb = (sin(a+b) + sin(a-b))
Cosa .sinb = (sin(a+b) -sin(a-b))
B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- Tìm điều kiện xác định(nếu có)
- Biến đổi về các dạng phương trình lượng giác chuẩn mực
- Giải nghiệm phương trình
- Kết hợp điều kiện.
I. PTLG cơ bản
1. PT sinx = m
> 1: phương trình vô nghiệm
≤ 1:sinx = m ⇔
Nếu m đặc biệt, m= sinα
sinx = m ⇔
2. PT cosx = m
> 1: phương trình vô nghiệm
≤ 1: cosx = m ⇔
Nếu m= cosα
cosx= m ⇔
3. Pt tanx = m
⇔ x = arctanm + kπ
Nếu m= tanα
Tanx = m ⇔ x=α +kπ
Mở rộng tan u(x)= tan v(x) ⇔
4.Pt cotx = m
⇔ x = arccotm + kπ
Nếu m= cotα
cotx = m ⇔ x=α +kπ
Mở rộng cot u(x) = cot v(x) ⇔
VD: GPT
a) sinx =
⇔ (k∈ Z)
b) cosx =
⇔ cosx = cos
⇔ x = ± +k2π (k∈ Z)
c)tan(x+ )= tan2x
⇔
⇔
Kết hợp nghiệm ta được nghiệm của pt là x = - kπ (k∈ Z)
***Đặc biệt:
Sinx= 0 ⇔ x= kπ (k ∈ Z) ; cosx = 0 ⇔ x= +kπ (k ∈ Z)
Sinx = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈Z) ; cosx= 1 ⇔ x =k2π (k ∈ Z)
Sinx = -1 ⇔ x = - + k2π( k ∈ Z) ; cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z)
Tanx = 0 (⇔sinx = 0 )⇔ x =kπ (k ∈Z) ; cotx = 0 ( cosx= 0) ⇔ x= +kπ (k∈Z)
BT
1)cos (2x- ) = cos ( - x)
2)cos ( x - ) - = 0
3) 2cos(3x - 15) + 1 = 0
4)cot (3x + ) =
5) sin4x -cos6x = 0
6) sin ( 5x + ) - cos ( + π ) = 0
7) tanx = cot( -3x)
8) sin2x - cos3x = 0
9 ) tan( 2x+45 )= cot( x- 15)
10) cot ( x + ) = cotx
II. PT bậc 1, bậc 2, bậc 3,... của 1 hàm số lượng giác
1. PT bậc nhất đối với 1 HSLG
Dạng asinu + b = 0 ⇔ sinu = - (PTLG cơ bản)
Tương tự với acosu + b = 0 ; atanu +b = 0; acotu +b = 0
2. PT bậc 2, bậc 3 đối với 1 HSLG
Hàm sinx, dạng asinx +bsinx + c =0
asinx +bsinx + csinx +d = 0
Giải: Đặt t= sinx ĐK: -1 ≤ t ≤ 1
Tương tự với hàm cosx. ĐK: -1 ≤ t ≤ 1
Riêng hàm tanx; cotx không có điều kiện của t
Dùng thêm các công thức sinx + cosx =1 ; tanx.cotx=1 và công thức nhân đôi
VD:GPT
a) tan(3x- 30) +1= 0
⇔ tan(3x- 30) = - = tan (- 30)
⇔ 3x- 30 = - 30+ kπ
⇔ x = (k∈Z)
b) 3tan 2x - 4tan2x+1 = 0
⇔
⇔
⇔ (k ∈ Z)
c)3cosx + 4sinx +1 =0
⇔ 3(1 - sinx) + 4sinx + 1 = 0
⇔ 3sinx - 4sinx -4 = 0
⇔ sinx=2 (vô nghiệm vì ≤ 1)
hoặc sinx=-
⇔
BT:
1)4 cosx - 2( -1)cosx - = 0
2)2cos2x+ cosx =1
3) 2sinx + 4 sinx = 3cosx
4) tanx + cotx = 2
5) 2tan x + 3 = (đặt t= )
6) 3 sin2x + 7cos2x -3 = 0
3. PT đẳng cấp bậc 2, bậc 3
Dạng asinx + b sinxcosx + c cosx + d = 0 (1)
- Khi cosx = 0, thế vào (1) tìm x
- Khi cosx ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho cosx,ta được:
(1) ⇔ atanx + b tanx +c + d(tanx +1) = 0
⇔ (a +d)tanx + b tanx +c + d = 0
(Phương trình bậc 2 theo tanx)
Tương tự với bậc 3, chia cho cosx.
VD: GPT
a) 2sinx - cosx + 3 sinxcosx - 2 =0 (1)
- cosx = 0 ⇔ x = +kπ
(1) ⇔ 2 sinx - 2 = 0
⇔ sinx =1
⇔ sinx = ± 1
⇔ x = +kπ (k ∈ Z)
- cosx ≠ 0 ⇔ x = +kπ , chia 2 vế của phương trình (1) cho cosx ta được:
2tanx - 1 + 3 tanx - 2 ( tanx+1) = 0
⇔ 3tanx = 3
⇔ tanx = 1 = tan ( )
⇔ x = +kπ (k∈ Z)(nhận)
Vậy nghiệm của phương trình là :
( k ∈ Z)
b) sinx - 5 sinxcosx - 3 sinxcosx + 3 cosx = 0(1)
- Xét cosx = 0 ⇔ x = +kπ
(1) ⇔ sinx = 0
⇔ sinx =0 ( VN vì sinx + cosx = 1)
⇒ cosx = 0 không phải nghiệm phương trình (1), chia 2 vế phương trình cho cosx
ta được: tanx - 5tanx - 3 tanx +3 = 0
⇔ (tanx + 1)(tanx - 6tanx +3) = 0
⇔ tanx = -1 hoặc tanx - 6tanx +3 = 0
Tanx = -1 =tan(- ) ⇔ x =- + kπ (k ∈ Z)
tanx - 6tanx +3 = 0 ⇔ tanx = 3 ±
⇔ x = arctan (3 ± ) + kπ ( k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình là
(k ∈ Z)
c) 2 sinx + 4 cosx = 3sinx (1)
- cosx = 0 ⇔ x = +kπ
(1) ⇔ 2 sinx = 3sinx
⇔ sinx( 2sinx - 3) = 0
⇔ sinx=0 hoặc sinx=
(vô nghiệm vì sinx + cosx = 1 )
⇒ cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1), chia 2 vế của phương trình
cho cosx ta được:
2tanx + 4 = 3
⇔ 2tanx + 4 = 3 tanx( tanx+ 1)
⇔ Tanx + 3tanx - 4 = 0
⇔ Tanx =1 = tan ( )
⇔ x = +kπ ( k ∈ Z)
⇔ Vậy nghiệm của pt là x = +kπ ( k ∈Z)
BT:
1)2sin2x - 3sin2xcos2x + cos2x = 2 ( chia cho cos2x)
2) 2 sinx + 4sin x cosx + sinx cosx + 2 cosx = 0
3) sinx + 2 sin2x + 3cosx= 0
4) 3sin x + 8 sinxcosx + 4 cos x = 0
5) 4cosx - 3sinxcosx + 3 sinx =1
4. PT bậc nhất theo sinx, cosx
Dạng asinx + bcosx = c
- Pt có nghiệm khi a + b ≥ c
