TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN HỌC


ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀO CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
HỌC PHẦN: HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Nhóm sinh viên: 1. Nguyễn Thị Bình An

(18S1011001)

2. Trần Minh Ánh

(18S1011008)

3. Nguyễn Ngọc Thanh

(18S1011050)

4. Võ Thu Thảo

(18S1011056)

Lớp: Toán 2T

Huế, 05/2018


LỜI NĨI ĐẦU

Mơn hình học ra đời từ thời Euclid (thế kỷ thứ III trước công
nguyên) nhưng đến năm 1619, René Descartes-một nhà triết học kiêm
vật lý và nhà toán học người Pháp (1596 - 1650) đã dùng đại số để
đơn giản hóa hình học cổ điển và đã trình bày về phương pháp tọa độ
trong quyển “La Géométrie” (1637). Sự ra đời của phương pháp tọa
độ đã thiết lập được mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số.
Với mong muốn hệ thống hóa kiến thức về phương pháp tọa
độ trong khơng gian, từ đó ứng dụng vào các bài tốn hình học khơng gian, đề tài này trình
bày 3 phần chính
1. Tóm tắt lý thuyết,
2. Trình bày một số bài tốn hình học khơng gian ứng dụng phương pháp tọa độ, xây
dựng một hoạt động thực nghiệm toán học trên phần mềm Geogebra,
3. Rút ra một số ưu điểm, nhược điểm và những lưu ý khi sử dụng phương pháp tọa độ
vào các bài tốn hình học không gian.
Trong đề tài này, chúng tôi phân dạng các ví dụ và giải các ví dụ ấy bằng nhiều
cách, nhờ đó mà giúp bạn đọc có thể có cái nhìn đa dạng hơn về mỗi bài tốn hình học, so
sánh ưu, nhược điểm của mỗi cách làm, nhờ vậy mà rút ra được những lưu ý, kinh nghiệm
khi làm các bài tập hình học khơng gian.
Hầu hết các bài tốn hình học khơng gian trong đề tài chủ yếu đề cập đến các hình
khối như: tứ diện, hình chóp, hình lập phương,…
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã hướng dẫn tận
tình trong suốt quá trình thực hiện đề tài này!
Mặc dù đã rất cố gắng nghiên cứu và tìm hiểu, tuy nhiên sẽ vẫn cịn tồn tại nhiều sai
sót, chúng tơi mong rằng có thể nhận được những ý kiến đóng góp q báu từ phía q độc
giả.
Một lần nữa, chúng tơi xin chân thành cảm ơn!
Nhóm tác giả
Nguyễn Thị Bình An – Trần Minh Ánh
Nguyễn Ngọc Thanh – Võ Thu Thảo


2


MỤC LỤC

2

LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC

3

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

4

2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Tóm tắt lý thuyết

5

2.1.1. Giới thiệu về hình học tọa độ

5

2.1.2. Hệ tọa độ trong khơng gian

5

2.1.3. Phương trình mặt phẳng


7

2.1.4. Phương trình đường thẳng

9

2.2. Một số bài tốn hình học khơng gian ứng dụng phƣơng pháp tọa độ

12

2.2.1. Bài tốn tính khoảng cách, góc

12

2.2.2. Bài tốn tính diện tích, thể tích

16

2.2.3. Bài tốn chứng minh tính chất, mệnh đề toán học

20

2.2.4.Thực nghiệm về một bài toán hình học khơng gian trên phần mềm
Geogebra

23

2.3. Ƣu, nhƣợc điểm của việc ứng dụng phƣơng pháp tọa độ vào các bài tốn
hình học khơng gian và những lƣu ý


26

3. KẾT LUẬN

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

29

3


1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học khơng gian là một học thú vị, nó giúp gia tăng khả năng tưởng tượng, suy
luận và lôgic của học sinh. Tuy nhiên, với nhiều học sinh, đây lại trở thành “nỗi ám ảnh” vì
các em cảm thấy hình học khơng gian “trừu tượng”, khó hiểu, các em khơng tưởng tượng
được các hình khối, các mối quan hệ giữa điểm, đường, mặt phẳng,…
Phương pháp tọa độ không những cung cấp thêm cho học sinh một cơng cụ giải tốn
mà cịn giúp củng cố các kiến thức hình học ở chương trình THPT, giúp học sinh giải quyết
phần nào những khó khăn khi tiếp cận với bài tốn hình học khơng gian.
Do vậy, với đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ vào các bài tốn hình học
khơng gian”, nhóm chúng tơi mong muốn một phần nào đó giúp học sinh có thêm cơng cụ
giải các bài tốn hình học khơng gian, gia tăng hứng thú học tập hình học.

4


2. PHẦN NỘI DUNG:

2.1. Tóm tắt lý thuyết
2.1.1. Giới thiệu về hình học tọa độ
Hình học tọa độ là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.
Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa
các số thực và các điểm trong không gian.
Lấy một điểm bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm
xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với
một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương
ứng.
Xét ba đường thẳng vng góc nhau, gọi là ba trục tọa độ,
, cùng đi
qua gốc tọa độ . Khi ấy, vị trí của một điểm bất kì trong không gian được xác định bởi
khoảng cách 1 đến mặt phẳng
, khoảng cách
đến mặt phẳng
và khoảng cách
đến mặt phẳng
. Cặp số thực theo trật tự
xác định điểm trong không
gian, và được gọi là tọa độ của nó.
Hình học tọa độ cịn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để
tôn vinh người phát minh ra nó, René Descartes.

2.1.2. Hệ tọa độ trong khơng gian
Hệ gồm ba trục
trong khơng gian.

đơi một vng góc được gọi là hệ trục tọa độ vng góc

Trong đó:


gọi là gốc tọa độ.
 Các trục tọa độ:
Trục hoành.
: Trục tung.
: Trục cao.
 Các mặt phẳng tọa độ:
vng góc với nhau.


:

đơi một

i , j , k lần lượt là các vector đơn vị nằm trên
các trục Ox, Oy, Oz với:

i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)
5


2

2

i  j k

Chú ý:

2


; i. j  i.k  k . j  0

a. Tọa độ của vector:
Định nghĩa:

u  ( x, y, z)  u  xi  y j  zk

Tính chất:
Cho a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), k 
(1) a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ; k a  (ka1 ; ka2 ; ka3 )
 a1  b1

(2) a  b  a2  b2
a  b
 3 3

 a1  kb1
a
a a

(3) a cùng phương b (b  0)  a  kb(k  )  a2  kb2  1  2  3 ,(b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
 a  kb
3
 3
(4) a.b  a1b1  a2b2  a3b3
2

(5) a  a12  a22  a32

(6) a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
(7) a  a12  a22  a32
(8) cos( a, b) 

a.b
a.b



a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

( a, b  0)

b.Tọa độ của điểm:
⃗ (

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Định nghĩa:

hồnh độ, :tung độ, :cao độ)

Chú ý:
Tính chất:
Cho A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB)
(1) ⃗⃗⃗⃗⃗
(xB – xA, yB – yA, zB – zA)
(2)


√

(3) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

(

)

c. Tích có hƣớng của hai vector:
⃗
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vector
⃗ , ký hiệu là [ ⃗ ], được xác định bởi :
hướng của hai vector
6

. Tích có


[

⃗]

(|

| |

| |

|)


Chú ý: Tích có hướng của hai vector là một vector, tích vơ hướng của hai vector là một số.
Tính chất:
(1) [⃗ ⃗ ]
(2) [⃗ ⃗ ]
(3) [ ]

[⃗ ⃗ ]

⃗

⃗

[⃗ ⃗ ]
⃗ [ ⃗]

(4) |[⃗ ⃗ ]|
(5) ⃗

[⃗ ]

| | |⃗ |

(

⃗)

[⃗ ⃗ ] ⃗
d. Ứng dụng của tích có hƣớng:
Điều kiện đồng phẳng của ba vector: ⃗
Diện tích hình bình hành

Diện tích tam giác

Thể tích tứ diện

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]|
|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]|

:

:

Thể tích khối hộp

[⃗ ⃗ ]

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

:
:

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ |

2.1.3 Phƣơng trình mặt phẳng
a.Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Định nghĩa:
(1) Cho mặt phẳng

, vector ⃗

⃗ mà giá của nó vng góc với mặt phẳng


thì ⃗ được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng
(2) Cho mặt phẳng

⃗ ⃗

, cặp vector

.
⃗ không cùng phương mà giá của

chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng
7

được gọi là cặp vector


chỉ phương của mặt phẳng
phẳng

[

[

⃗ ] là vector pháp tuyến của mặt

.

Tính chất: Nếu
⃗


. Khi đó vector ⃗

⃗]

(|

(

) ⃗

| |

| |

thì:
|) = (a2b3 – a3b2;a3b1 – a1b3;a1b2 – a2b1).

b. Phƣơng trình mặt phẳng.
Định nghĩa: Mọi mặt phẳng trong khơng gian có phương trình tổng q dạng :
trong đó
khi đó vector ⃗

.

là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Nhận xét:
qua điểm


(1) Mặt phẳng

và nhận ⃗ (A, B, C) làm vector pháp

tuyến có phương trình dạng:

–

–

–

.

(2) Mặt phẳng đi qua ba điểm

trong đó đó

có phương trình

. Phương trình này cịn được gọi là phương trình

mặt phẳng theo đoạn chắn.
c. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng.
Tính chất: Hai mặt phẳng

có phương trình :

và
:

:

Ta có ⃗⃗⃗⃗ (

;

;

và ⃗⃗⃗⃗ (

)
⃗⃗⃗⃗

(1)

⃗⃗⃗⃗⃗

;

//

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ và

(3)

≡

⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗ và

(4)

cắt

. Khi đó:

)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

(2)

⃗⃗⃗⃗

;

+

.

⃗⃗⃗⃗⃗ (nghĩa là ⃗⃗⃗⃗

+

=0

.


⃗⃗⃗⃗ không cùng phương).

d. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Định lý: Trong không gian

cho mặt phẳng
và điểm

có phương trình:
.

8


Khoảng cách từ M0 đến

được cho bởi cơng thức:
|

|

e. Góc giữa hai mặt phẳng.
Định lý: Cho hai mặt phẳng

có phương trình :

và
:
:


Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

và

thì

và :

|

(⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗ )

|

√

√

2.1.4 Phƣơng trình đƣờng thẳng:
a. Phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc.
Định nghĩa: Đường thẳng
⃗

đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương


có :
(1) Phương trình tham số của :
{
(2) Phương trình chính tắc của

b. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
Tính chất: Đường thẳng
đường thẳng
(1)

đi qua
và

đi qua

và có vectơ chỉ phương ⃗
và có vectơ chỉ phương ⃗⃗⃗

cùng nằm trong một mặt phẳng

9

[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

và
. Khi đó:


(2) d và d cắt nhau


{

[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] ⃗
[ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗

(3)

{

(4)

[ ⃗ ⃗⃗⃗ ]

(5)

và

[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] ⃗

[ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗

[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

chéo nhau

c. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng với mặt phẳng.

Tính chất: Đường thẳng

đi qua

và có vectơ chỉ phương ⃗
có vectơ pháp tuyến ⃗

mặt phẳng
(1)

và

cắt
{

(2)
(3)

{

(4)

⃗

⃗

⃗

[⃗ ⃗ ]


⃗

⃗.

d. Góc giữa hai đƣờng thẳng.
Định lý: Cho đường thẳng
chỉ phương ⃗⃗⃗

có vectơ chỉ phương ⃗
. Gọi
| ⃗ ⃗⃗⃗ |
| ⃗ | |⃗⃗⃗ |

và đường thẳng

có vectơ

là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
|
√

|
√

e. Góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng.
Định lý: Cho đường thẳng
pháp tuyến ⃗
phẳng

có vectơ chỉ phương ⃗


. Gọi

và mặt phẳng

là góc hợp bởi đường thẳng

ta có:
|⃗ ⃗ |
|⃗ | | ⃗ |

|
√

|
√

10

có vectơ

và mặt


f. Khoảng cách từ điểm

đến đƣờng thẳng Δ có vectơ chỉ

phƣơng ⃗
Cách 1:

-

Viết phương trình mặt phẳng

-

Tìm tọa độ giao điểm

-

qua

và vng góc với Δ.

của Δ và mặt phẳng

.

.

Cách 2: Sử dụng công thức:
|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ]|
|⃗ |
g. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
và có vectơ chỉ phương ⃗⃗⃗ và

Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ đi qua

và có vectơ chỉ phương ⃗⃗⃗ .


đường thẳng Δ đi qua
Cách 1:
-

Viết phương trình mặt phẳng

-

Tính khoảng cách từ

chứa Δ và song song với Δ .

tới mặt phẳng

.

Cách 2: Sử dụng công thức:
|* ⃗ ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|[ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ]|

11


2.2. Một số bài tốn hình học khơng gian ứng dụng phƣơng pháp tọa độ
2.2.1. Bài tốn tính khoảng cách, góc
có
đơi một vng góc, và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng?


Bài 1:Cho tứ diện
là trung điểm của

. Gọi

Theo đề ta có: ,
Gắn hệ trục
Tia

với

, tia

).
, tia

Ta có:
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi

)

) ⃗⃗⃗⃗⃗

(
là góc giữa

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ |

và

, ta có:

√

√

Bài 2 : (Câu 37-Đề minh họa 2020 lần 1) Cho hình chóp
. Gọi
Tính

.
là trung điểm của

Cách 1 : Gọi

Gắn hệ trục tọa độ

√

.

có gốc

,

(


, có đáy là hình thang,
là trung điểm của
.

,

, trục

)

(

√

.

)

12


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

(


√

(

√

) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√ )

√

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]|

√

√

√
√
Cách 2:
Ta có

là hình bình hành (vì

ra tam giác
Vì


//

song song và bằng

vng tại D. Tương tự, tam giác

)

(

(

)

)

Ta có ,

,

do đó gọi H là hình chiếu vng góc của
(

)

Trong tam giác vng

ta có

thì


vng tại

//
(

lên

Vậy

13

) nên

suy


Bài 3 : (Problems in solid geometry, I.F.Sharygin) The base of a regular triangular prism
is a triangle ABC with side a . Taken on the lateral edges are points A1 , B1 and C1 situated

a
3a
, a and
respectively from the plane of the base. Find the cosin of the
2
2
angle between the planes ( ABC ) and ( A1B1C1 ) .
at distances

Tạm dịch : Cho hình lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác ABC , cạnh là a . Trên các

cạnh bên, lấy các điểm A1 , B1 và C1 sao cho khoảng cách từ mặt phẳng đáy đến A1 , B1 và C1
lần lượt là

a
3a
, a và
và Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A1B1C1 ) .
2
2

Cách 1: Gọi

là trung điểm của

Tam giác đều

có cạnh là

(

)

(
√

(

suy ra
√


)
)

Mặt phẳng

. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với

(

)

(

)

⃗

là

Ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗
Gọi

√


(

là góc giữa

(

và

(

)
√

√

,

|⃗

⃗

|

√

|⃗

|| ⃗


|

√

√

14

)


Cách 2: Gọi

là giao tuyến của

Gọi
̂

Ta có
√

( theo định lí cos)

√

thẳng hàng vì theo định lý Menelaus :
thẳng hàng

,


Mặt khác,

√

√

vng tại
√

√

√

Ta có:

(2)
có:

{
̂

Góc giữa hai mặt phẳng
√

̂
√

Nhận xét: Đối với dạng toán này, nếu sử dụng phương pháp tọa độ, ta khơng cần phải xác
định góc hợp bởi đường thẳng và đường thẳng, hoặc đường thẳng và mặt phẳng, mặt phẳng
và mặt phẳng là góc nào, khoảng cách giữa 2 yếu tố là độ dài của đoạn thẳng nào, nhưng


15


địi hỏi người làm tốn phải xác định đúng và linh hoạt hệ trục tọa độ; nhớ, vận dụng linh
hoạt các cơng thức tọa độ.

2.2.2. Bài tốn tính diện tích, thể tích
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật
. Gọi là trung điểm của cạnh
.

có đáy
. Tính theo và

là hình vng cạnh ,
thể tích của khối tứ diện

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
(
Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

(

) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗


(

)

)

) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Thể tích khối tứ diện

là

|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Nhận xét : Đối với dạng bài tốn tính thể tích, ta có thể tính thể tích khối tứ diện bất kì nếu
biết tọa độ các đỉnh.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng
điểm là điểm đối xứng của qua trung điểm . Tính thể tích khối tứ diện
Gọi O là tâm của hình vng
.
Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ
với
√

16

√

. Biết

.


√

(

)

(

√

)

√

(

)

√

Và

Trung điểm
Khi đó: {

√


có tọa độ (
√

⃗⃗⃗⃗⃗

√

√

)

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
{
⃗⃗⃗⃗

√

⃗⃗⃗⃗⃗

|[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ |

Vậy

Cách 1: Gọi

là trung điểm của

là trung điểm của cả
( vì


√

√

|

√
√

|

Bài 3: (Hocmai.vn) Cho hình chóp tam giác đều
lần lượt là trung điểm của
. Tính theo
.

đỉnh , có cạnh đáy bằng . Gọi
diện tích tam giác
, biết

và

và

là hình bình hành)

Ta có

(1)


Mặt khác {

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

√

(

√

)

√

Vậy

√

( )

( )

√

√

√
√


√

17


Cách 2:
Xét hệ trục tọa độ
với
là trung điểm
AB. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh S đến đáy
ABC, H cũng là trọng tâm
√

√

(

(

√

)

)

(

)


√

(

)
√

√

Đặt

⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗
Mặt khác, {
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗

{

√

(

√

(


√

)

(

√

)

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

(
⃗

{

√

√

√

)

)

⃗
√


Từ (*), suy ra: [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

(

|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]|

√

√

√

√

√

18

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

√

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗


(

√

)


Cách 3: Thay vì tìm vector pháp tuyến của
và
, ta có thể dùng tính chất
rút ra từ cách 1 để tìm dễ hơn, từ đó giải quyết bài tốn nhanh gọn hơn.
là trung điểm của
√

(

) ⃗⃗⃗⃗

(

√

)

P là trung điểm
(

√

) ⃗⃗⃗⃗


(

√

)
√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Cách 4: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ O
trùng với trọng tâm H,

Nhận xét :
- Đối với bài toán này, việc áp dụng phương pháp tọa độ (cách 2) khiến bài toán trở nên
cồng kềnh, phức tạp hơn so với cách 1.
-Trong một bài tốn, có rất nhiều cách gắn hệ trục tọa độ.
-Cần phối kết hợp các phương pháp giải để giải quyết bài toán hiệu quả nhất.

19


2.2.3. Bài tốn chứng minh tính chất, mệnh đề tốn học
đều là tam giác vuông tại đỉnh
với mặt phẳng

Bài 1: Cho tứ diện
có các tam giác
Gọi
lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng

Chứng minh rằng
Chọn hệ trục tọa độ
⃗⃗⃗⃗⃗

như hình vẽ:
⃗⃗⃗⃗⃗

Vecto pháp tuyến của:
⃗

Mặt phẳng
Mặt phẳng

:

Mặt phẳng

:

Mặt phẳng

:⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Ta có,
(

)


(

)

(

)

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác
vng. Vẽ
vng góc với
minh
vng góc với .

|

|

|

|

|

|

√
√
√


có
vng góc với
vng góc với

Cách 1:
Ta có
nên

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗

Mặt khác
20

(1)

, đáy
vng góc với

là hình
. Chứng


⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

nên
Tương tự,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Từ (1),(2) và (3)

Ta có

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

(2)

(3)
⃗⃗⃗⃗⃗

đồng phẳng

vng tại ;

Tương tự
Ta có

.
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ; khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử tọa độ của các
đỉnh của hình chóp tứ giác
là :
;
;
;
;
với
Phương trình đường thẳng


⃗⃗⃗⃗

là {

⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗
(

)

Tương tự, ta có
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)

(

(

)
) ⃗⃗⃗⃗

(

)

Vậy
21


⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗


Bài 3: Cho tam giác đều
√

qua . Dựng đoạn

là trung điểm của

có cạnh

vng góc với mặt phẳng

là điểm đối xứng với
Chứng minh rằng

.
Chọn hệ trục tọa độ
(0;0;0)
√

(

)

(

)

(

√

)

√

)

)

tại trung điểm

cắt
(

của

(

(

√

Ta có

như hình vẽ,

√


)

đi qua

Mặt phẳng

(

√

)

(

)

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
(

⃗
đi qua

Mặt phẳng

(

√

)


√

√
(

√
)

Ta có: ⃗

(

√

⃗

Vậy

22

√

√

(
√

√


)

)

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
⃗

√

(

)

)
√


2.2.4.Thực nghiệm về một bài tốn hình học khơng gian trên phần mềm
Geogebra
GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học của
tác giả Markus Hohenwarter. GeoGebra là phần mềm hình học động nên ta có thể định
nghĩa các điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cô-nic cũng như hàm số và thay
đổi chúng một cách linh động trong mặt phẳng và trong không gian.
Hoạt động thực nghiệm toán học của đề tài nhằm mục đích xác nhận kết quả, phát
hiện và kiểm chứng các giả thuyết bằng phần mềm Geogebra, dựa trên bài tập:
Cho hình chóp tứ giác
vng góc với

có
vng góc với đáy, đáy

là hình vng. Vẽ
vng góc với
vng góc với . Chứng minh
.

1. Dựng hình vng
nằm trên mặt phẳng
nằm trên trục Oz (Ta cịn thể
chọn
bất kì thỏa mãn tính chất
là hình vng và
vng góc với đáy,
để đơn giản ta sẽ chọn tọa độ
như video).
2. Dựa vào các thao tác trên Geogebra, dựng 3 chân đường cao của
đến
lần lượt là
. Ta có thể quay vật thể để nhìn dưới nhiều góc độ, chọn ra
góc độ phù hợp nhất.
3. Từ lời giải của bài toán, ta rút ra được những kết quả quan trọng của bài tốn, đó
là 4 điểm
đồng phẳng và
, ta sẽ xác nhận lại các kết quả này bằng các
công cụ của Geogebra :
- Dựng mặt phẳng qua 3 điểm
. Phần mềm sẽ cho ra phương trình mặt phẳng
này . Nhận thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình này nên cũng thuộc mặt phẳng
chứa
.


23


- Dùng cơng cụ đo góc của Geogebra để đo góc giữa
số đo góc
.

và

, phần mềm cho ra

4.Sau khi xác nhận các kết quả đã được chứng minh, dựa vào mơ hình (hình vẽ và
các cơng cụ của phần mềm), ta sẽ bắt đầu quá trình phát hiện và kiểm chứng các giả thuyết
mới.
là giao điểm 2 đường chéo của một tứ giác qua đỉnh . Nếu
lấy
cũng là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác
, liệu giữa và
tồn tại những tính chất nào ?- Bằng trực quan, ta nhận thấy
thẳng hàng. Ta sẽ kiểm
tra liệu đây có phải là một tính chất đúng bằng cơng cụ dựng đường thẳng qua 2 điểm của
0.96 2.56 16


Geogebra. Thật vậy,
nên hai đường thẳng này trùng nhau.
1.5
4
25
- Gọi


24


-“
là hình vng” là một giả thuyết mạnh, vì hình vng là một tứ giác đặc biệt.
Vậy, nếu
khơng phải hình vng, mà là những tứ giác khác, các tính chất ta đã
chứng minh và phát hiện được liệu có cịn đúng khơng?
+Nếu
là hình chữ nhật, nhận thấy
vẫn đồng phẳng;
vẫn thẳng hàng, nhưng
khơng cịn vng góc
. Nếu cho di chuyển trên trục
tiến gần gốc tọa độ, thì góc giữa
càng tiến gần giá trị
.
điểm

+Nếu
khơng tồn tại.

là hình thoi, lúc này

, khi

khơng đồng phẳng nên kéo theo

+Nếu

là hình bình hành, ta thấy
khơng đồng phẳng .
Vậy, qua hoạt động thực nghiệm này, chúng ta rút ra được những kết luận:
- Với bài toán trên, ta có những tính chất hình học sau:
thẳng hàng.

đồng phẳng,

,

- Tính chất
và
thẳng hàng chỉ đúng khi đáy
là hình có 4 góc vng
(hình vng và hình chữ nhật). Tính chất AI vng góc với HK đúng khi đáy
là
hình vng. Cả 3 tính chất trên khơng cịn đúng với đáy
là tứ giác khác.

25