SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

SỔ TAY CƠNG THỨC & CƠNG THỨC NHANH
TỐN 12
I. HÀM SỐ
CƠNG THỨC ĐẠO HÀM

Trang 1


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

ĐƠN ĐIỆU
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số y = f ( x).

= f�
( x ).
g Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y �

( x) = 0 hoặc f �
( x ) không xác định.
g Bước 2. Tìm các điểm tại đó f �
g Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
g Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị dựa vào bảng biến thiên.

Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu trên miền xác định của nó.
3

2
 Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên tập xác định

Để f ( x ) đồng biến trên

����"޳
y � 0, x

�

�
a >0
�y �
�
�
D y ��0
�

m ?

Trang 2


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

Đề f ( x ) nghịch biến trên

����"޳

y � 0, x

�

�
a <0
�y �
�
�
D y ��0
�

m ?

2
 Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c.

a >0
�
f ( x) �0, " x ��� �
�
�
�
D
�
0
�
g
 Tìm tham số m để hàm số


y=

a <0
�
f ( x) �0, " x ��� �
�
�
�
D
�
0
�
g

ax + b
cx + d đơn điệu mỗi khoảng xác định của nó

�
Để f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó � y > 0, " x �D � a.d - b.c > 0 � m ?
�
Để f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của n � y < 0, " x �D � ad - bc < 0 � m ?

Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu trên miền K cho trước.
 Tìm tham số m để hàm số nhất biến

Hàm số tăng trên

�y �
>0
�

�
�
d
�x
( a; b) ���-޳
�
�
c
�
�
�
�x �(a; b)

y=

ax + b
cx + d đồng biến trên (a; b).
�
ad - cb > 0
�
�
�
�d
�
�
- �a
�
�
�c
�

�
�
�
�d
�
- �b
�
�
�
�c
�

ad - cb > 0
�
�
�
�d
�
- �(a; b)
�
� c

m.

 Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn đơn điệu trên miền D cho trước.
�
K hi m ޳�
g(x)
�
�

K hi m ޳�
g(x)
�
�

m

max g(x)

m

min g(x)

D

�

D

3
2
 Tìm m để hàm số y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài đúng bằng l

Phương pháp:
2
�
— Bước 1. Tính y = 3ax + 2bx + c.

�
a �0

��
�
�
D > 0 (i )
(x ;x ) � y�= 0
�
— Bước 2. Hàm số đơn điệu trên 1 2
có 2 nghiệm phân biệt
— Bước 3. Yêu cầu bài toán

� x1 - x2 = l � (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = l 2

(ii )

— Bước 4. Giải (ii ) và giao với (i ) để suy ra giá trị m cần tìm.

CỰC TRỊ
Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số cần nhớ.
1. Quy tắc 1:
Trang 3


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

B1: Tìm TXĐ của hàm số.
f�
( x) . Tìm các điểm tại đó f �
( x) bằng 0 hoặc f �

( x) không xác định.
B2: Tính
B3: Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
2. Quy tắc 2:
B1: Tìm TXĐ của hàm số.
f�
( x) . Giải phương trình f �
( x) và ký hiệu xi ( i =1, 2,3,...) là các nghiệm của nó.
B2: Tính
�
�
f�
( x) và f �
( xi ) .
B3: Tính
�
f�
( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .
B4: Dựa vào dấu của
�f �
�f �
( xi ) = 0
( xi ) = 0
�
�
�
�
�f �
�f �

�
�
(x ) > 0
(x ) < 0
x
x
Chú ý: ◦ Nếu � i
thì o là điểm cực tiểu. ◦ Nếu � i
thì o là điểm cực đại.

Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đạt cực trị tại x = xo cho trước.
Nếu

�
y�
( xo ) = 0, y �
( xo ) > 0

thì

xo

là điểm cực tiểu.

Nếu

�
y�
( xo ) = 0, y �
( xo ) < 0


thì

xo

là điểm cực đại.

Tìm tham số m để hàm số

y = f (x; m)

có n cực trị.

�
 Phương pháp: Hàm sớ có n cực trị khi y = 0 có n nghiệm phân biệt.
 Xét hàm số bậc ba

y = ax3 + bx2 + cx + d .

+ Hàm sớ khơng có cực trị khi y�= 0 có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm � D y��0.
�
a �0
��
�
�
�
D >0
+ Hàm sớ có 2 cực trị khi y�= 0 có 2 nghiệm phân biệt �
� y�


y = ax4 + bx2 + c , (a � 0).
 Xét hàm số bậc bốn trùng phương
.
0.
+ Hàm sớ có 1 cực trị khi y�= 0 có 1 nghiệm ۳ ab

+ Hàm sớ có 3 cực trị khi y�= 0 có 3 nghiệm phân biệt � ab
. < 0.
�
ab �0
�
�
�
a>0
x ,
x ).
g Nếu �
(có CT khơng CĐ
�
ab < 0
�
�
�
a>0
�
g Nếu �
(có 1CĐ, 2CT)

�
ab �0

�
�
�
a<0
x ,
x ).
g Nếu �
(có CĐ khơng CT
�
ab < 0
�
�
�
a<0
�
g Nếu �
(có 2CĐ, 1CT).

Đường thẳng nới 2 cực trị.
Trang 4


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

 Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số
y = ax3 + bx2 + cx + d.

+


Phân

tích

(bằng
cách
�
y1 = h(x1)
y = y�
.q(x) + h(x) � �
�
�
�
y2 = h(x2)
�

chia

đa

thức

y

cho

y�
):


+ Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là d : y = h(x).
 Cơng thức nhanh:

 Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số
ax2 + bx + c
y=
�
dx + e
d :y =

Đường thẳng nối hai điểm cực trị có dạng
 Lưu ý: Cho hai đường thẳng
�
a1 = a2
g d1 P d2 � �
�
�
�
b1 �b2
�

d1 : y = a1x + b1

và

(ax2 + bx + c)� 2a
b
= x+ �
(dx + e)�
d

d

d2 : y = a2x + b2.

g d1 ^ d2 � a1a2 = - 1.

Tìm m để hàm số y = f ( x; m) có cực trị kèm theo điều kiện của x hoặc y.

Trang 5


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

3
2
 Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x;m) = ax + bx + cx + d. Tìm tham số m
x, x
để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 thỏa mãn điều
kiện K cho trước ?

2
— Bước 1. Tập xác định D = �. Tính đạo hàm: y�= 3ax + 2bx + c.

�
— Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị � y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
�
a �0
��

�
�
D �= b2 - 3ac > 0
m �D1.
�
�
và giải hệ này sẽ tìm được
— Bước 3. Gọi

x1, x2

�
là 2 nghiệm của phương trình y = 0.

b
c
P = x1x2 = �
a và
a
Theo Viét, ta có:
— Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng S và P . Từ đó giải ra tìm được
m �D2.
S = x1 + x2 = -

m = D1 �D2.
— Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn:

Bài toán 2:
Khảo sát hàm số bậc bốn trùng phương
y = f (x;m) = ax4 + bx2 + c.


—

Bước
1.
Ta
�
x = 0� y =c
y�= 0 � �
�
�
g(x) = 2ax2 + b = 0
�
�

có:

y�
= 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b).

Cho

— Bước 2. Hàm số có 3 điểm cực trị � g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
�0

�
b �0
��
� m �D1.
�

�
ab
. <0
�

� b�
b
�
�
�
g(x) = 0 � x1,2 = � � y1 = y2 = f �
�
�
�
�
�
2a
2
a
�
�
�
�
— Bước 3. Giải
A(0;c), B(x1;y1), C (x2;y2)
Do đó tọa độ ba điểm cực trị sẽ là:
và do
ABC
A
.

tính đối xứng nên tam giác
luôn cân tại

— Bước 4. Dựa vào điều kiện đề bài cho để tìm

m �D2 � m = D1 �D2.

Trang 6


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT
Trang 7


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a;b].
Bước 1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [a;b].

x
�
Tính f (x) và tìm những điểm i sao cho tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc liên
tục nhưng khơng có đạo hàm.
Bước 2. Tính


f (a), f (b), f (xi ).

�
max f (x) = max { f (a); f (b); f (xi )}
�
[a;b]
�
�
�
�
min
f (x) = min { f (a); f (b); f (xi )}
�
Bước 3. Kết luận: �[a;b]
min f (x) = f (a)
max f (x) = f (b).
g Nếu y = f (x) đồng biến trên [a;b] thì [a;b]
và [a;b]
min f (x) = f (b)
max f (x) = f (a).
g Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a;b] thì [a;b]
và [a;b]
Bài tốn: Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f (x) trên khoảng (a;b).

�
�
Bước 1. Tìm tập xác định. Tính f (x). Cho f (x) = 0 tìm nghiệm.
� �
Bước 2. Xét dấu biểu thức y = f (x) và lập bảng biến thiên (có tính giới hạn).

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN (GTNN nếu có).

TIỆM CẬN
1. Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y = a là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận
ngang) của đồ thị hàm sớ y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f (x) = a, lim f (x) = a.

x�+�

x�- �

2. Đường tiệm cận đứng

x = xo
Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đờ thị hàm
y
=
f
(
x
)
sớ
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x) = +�, lim- f (x) = - �, lim+ f (x) = - �, lim- f (x) = +�.

x�xo+

x�xo


x�xo

x�xo

y=

P (x)
Q(x)

Nhận xét: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số dạng
+ Bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) � Tiệm cận ngang Ox : y = 0.
H�s�x b�
c cao c�
a P(x)
c cao c�
a Q(x) .
+ Bậc của P (x) bằng bậc của Q(x) � TCN : y = H�s�x b�
+ Bậc của P (x) lớn hơn bậc của Q(x) � Khơng có tiệm cận ngang.

y=
Nhận xét: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số dạng
+ Giải phương trình “ MẪU = 0” tìm nghiệm.

P (x)
Q(x)

Trang 8



SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

+ Thế nghiệm vào TỬ phải khác 0 thì nghiệm đó là TCĐ.
+ Nếu phương trình “ MẪU = 0” vô nghiệm thì khơng có TCĐ.

ĐỒ THỊ - BIỆN LUẬN NGHIỆM
3
2
a) Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d, (a � 0).

4
2
b) Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c, (a � 0).

c) Hàm số nhất biến

y=

ax + b
(c � 0, ad - bc � 0).
cx + d

D = ad - bc > 0, hàm số đồng biến

D = ad - bc < 0, hàm số nghịch biến

Trang 9



SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

y
Tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng

y

Tiệm cận ngang

O

O

x

x

Tiệm cận ngang

TƯƠNG GIAO

TIẾP TUYẾN
KIẾN THỨC

(C ) ; M ( x0;y0) �( C )

1. Cho hàm sớ y = f (x) có đờ thị
Ÿ

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm

Ÿ

Trong đó:
o
o

M ( x0;y0 )

M ( x0;y0 )

là

d : y = f '( x0 ) ( x - x0 ) + y0
(C): y = f(x)

gọi là tọa độ của tiếp điểm.

k = f '( x0 )

là hệ số góc của tiếp tuyến.

Ghi nhớ:
y = ax + b (a � 0)

Ÿ


Đường thẳng d:

Ÿ

Cho đường thẳng

thì có hệ sớ góc là k = a .

d : y = ax + b( a �0) ; d ' : y = a 'x + b'( a ' �0)

. Khi đó:

Trang 10


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

o

�
�
kd = kd '
a = a'
d / /d' � �
��
�
�
�
�

b �b'
b �b'
�
�
.

o

d ^ d ' � kd.kd ' = - 1 � aa
. '=- 1
.

Ÿ

Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng
là k = a .(nhớ thử lại).

Ÿ

Nếu tiếp tún vng góc với đường thẳng
1
k =a.
là

Ÿ

Trục hoành (trục Ox ): y = 0 ;

Năm học: 2020 – 2021


y = ax + b( a � 0)
y = ax + b( a �0)

thì hệ số góc của tiếp tuyến

thì hệ số góc của tiếp tuyến

Trục tung (trục Oy ): x = 0.

Trang 11


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

II. MŨ & LOGARIT

Năm học: 2020 – 2021

LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA
Lũy thừa và công thức lũy thừa
1. Công thức lũy thừa
a n  a14.a2
.a...
43a
g
n số a

g

0


g Lưu ý: 0 và 0

n

an 

1
a n và a 0  1.

m

n
m
g an  a .

không có nghĩa.

2. Các tính chất của lũy thừa: Cho a, b là các số thực dương, x, y là các số thực tùy ý.
g a x  y  a x .a y và

a

x y

x

a x �a �
g a .b  ( a.b) ; x  � �
x y

x. y
b
�b � và (a )  a .

ax
 y�
a

x

x
y
g Nếu a  1 thì a  a � x  y.

x

x

x
y
g Nếu 0  a  1 thì a  a � x  y.

Hàm số lũy thừa

1. Định nghĩa: Hàm số y  x , với  ��, được gọi là hàm số lũy thừa.
n
2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số lũy thừa y  [ P ( x)] .
g n nguyên dương � Tập xác định D  �.

g n nguyên âm hoặc bằng 0 � điều kiện P( x) �0.

g n không nguyên � điều kiện P( x)  0.


  . x 1.
3. Đạo hàm: Hàm sớ y  x , ( ��) có đạo hàm với mọi x  0 và ( x )�
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; �) (khảo sát hàm lũy thừa).

y  x ,   0

y  x ,   0

a. Tập khảo sát: (0; �).

a. Tập khảo sát: (0; �).

b. Sự biến thiên:

b. Sự biến thiên:

 1

  x  0, x  0.
g y�
g
Giới
hạn


lim x  0, lim x  �.
x �0


đặc

biệt:

x � �

x �0

g Tiệm cận: Khơng có

�


�

x ��

c. Bảng biến thiên:
x
0
�



y�

�

y


0

biệt:

gTiệm cận: TCN Ox, TCĐ Oy.

c. Bảng biến thiên:
x
0
y�

  x 1  0, x  0.
g y�
gGiới
hạn
đặc


lim x  �, lim x  0.

y

0

Trang 12


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12


Năm học: 2020 – 2021

d. Đồ thị:

CÔNG THỨC MŨ - LOGARIT
Cho 0 < a �1 và b, c > 0.
޳

޳

޳

loga f (x) = b � f (x) = ab

logan b =

loga b =

޳

loga

b
= loga b - loga c
c

�
n.loga b khi a lẻ
loga bn = �
�

�
n.loga b khi a chẵn
�
�
޳

1
log b
n a

logc b
logc a

޳

loga b =

1
lnb
� loga b =
logb a
lna

޳

loga 1 = 0, loga a = 1

޳ a

޳


loga (b �
c) = loga b + loga c

�
lnb = loge b
�
�
�
lgb = logb = log10 b
޳ �

logb c

logb a

=c

�b=a

loga b

Cho a và b là các số thực dương x và y là những số thực tùy ý.

޳

an = aaa
. .244
...a3
144

n số a

x+y
x y
޳ a = a .a

޳

ax- y =

x

ax ��
a�
�
=�
�
x
�
�
b�
b
��
޳
޳

ax
1
� a- n = n
y

a
a

x.y
x y
y x
޳ a = (a ) = (a )
x x
. )x
޳ a .b = (ab

y

x
y

x

a = a , (y �2; y ��+ )
0

�
u(x)�= 1, " u(x) �0
޳ � �
޳
޳

n

n


+
a.n b = n ab (n �2; n �� )

m

n

m

a = ( a) = a

m
n

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. HÀM SỐ MŨ
x
1. Định nghĩa: Cho số thực dương a �1. Hàm số y = a được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Trang 13


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

2. Đạo hàm của hàm số mũ
(ex )�= ex � (eu )�= u�
.eu .


(ax )�
= ax .lna � (au )�
= au lna.u�
.

x
3. Khảo sát của hàm số mũ y = a , (a > 0, a �1)

y = ax, a > 1

y = ax, 0 < a < 1

a. Tập xác định: D = �.
b. Sự biến thiên:

a. Tập xác định: D = �.
b. Sự biến thiên:

g y�= ax lna > 0, " x.
g Giới hạn đặc biệt:

g y�= ax lna < 0, " x.
g Giới hạn đặc biệt:

lim ax = 0, lim ax = +�.

x�- �

lim ax = +�, lim ax = 0.


x�+�

x�- �

g Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
c. Bảng biến thiên:
x - �

0

+�

y�

+

1

+

+

g Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
c. Bảng biến thiên:
x - �

-

y�


+�
1

0

+�

1

-

-

+�

a

y

x�+�

y

1

a

0
d. Đồ thị


0
d. Đồ thị

E
E
M
M
B
B
E
E
ED
E
EDE
E
M
M trên trục hoành.E
M Đồ thị luônMnằm
Đồ thị ln nằm trên trục
EM hoành.
E
E
BE
EB M
B
M
M
B
M

x
EBq
y
=
a
,
(
a
>
0
,
a
�
1
).
E
q
E
B
4. Bảng tóm tắt các tính Bchất
E
Bcủa hàm số mũ
B
DEu
D
u
D
E
ED E
D

E
Tập xác định
Da = (- �; +�).
a
D
D
D
D
Et
E
t
E
x
Đạo hàm
E
y
= a lna.
qEi�
q
E
qi q E
Eg
E
uqo a > 1: hàm số đồng
biến.
u
o
u
q
qu q

u
q
Chiều biến thiên
agn 0 < a < 1: hàm số
a
n
a
u
nghịch biến. a
ua u
u
t.
t
.
t
a
aTrục
t
a
a
Tiệm cận
itD Ox là tiệm cận ingang.
o
D
t
i
to t
t
oS
(0;1

)
(1
;
a
),
n
S
o và
i
qua
nằm
iĐi
o về ophía trên trục hoành
o các điểm
Đờ thị
nnM
.
M
n
o
n
o.
n x
n
.y
D
T
.
T
(

=
a
>
0
,
"
x
��
).
n
nD .
.
.
D4
S
4
D
.
. S D II. HÀM SỐ
LƠGARIT D M D
S
S
D
DM S
S
S
M
T
M
S

M M
ST M
y = log
x
T
0
<
a
�
1.
a
4
T
1. Định nghĩa: Cho
được gọiTlà hàm
số a.
M
T Hàm số
T số lôgarit cơ M
44
4
T
4
T
4
4
4
4
Trang 14



SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

2. Đạo hàm của hàm số lôgarit

(loga x)�=

1
u�
� (loga u)�=
�
x lna
u lna

3. Khảo sát của hàm số mũ lôgarit

�
�

( ln x ) �= x1 � (lnu)�= uu

y = loga x, (0 < a < 1)

y = loga x, (a > 1)

y = loga x, (0 < a < 1)

a. Tập xác định: D = (0; +�).

b. Sự biến thiên:

a. Tập xác định: D = (0; +�).
b. Sự biến thiên:

1
> 0; " x > 0.
x lna
g Giới hạn đặc biệt:
lim+ loga x = - �, lim loga x = +�.
g y�=

x�+�

x�0

g Tiệm cận: trục Oy là tiệm cận đứng
c. Bảng biến thiên:
x 0

y�

1
+

+�

a

+


1
< 0; " x > 0.
x lna
g Giới hạn đặc biệt:
lim+ loga x = +�, lim loga x = - �.
g y�=

g Tiệm cận: trục Oy là tiệm cận đứng.
c. Bảng biến thiên:
x 0

0

-

-

+�

1

y

-

y�

1


a

+�

+
+�

x�+�

x�0

y

1

- �

0
- �

d. Đồ thị
d. Đồ thị

4. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ
Tập xác định

y = loga x, (a > 0, a �1).

D = (0; +�).


Tiệm cận

1
�
x lna
g a > 1: hàm số đồng biến.
g 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.
Trục Oy là tiệm cận đứng.

Đồ thị

Đi qua các điểm (1;0) và (a;1), nằm về phía phải trục tung.

Đạo hàm
Chiều biến thiên

y�=

x
y = loga x
Nhận xét về đồ thị hàm số y = a và
x
y = loga x, (0 < a �1)
Đồ thị của các hàm số y = a và
đối xứng với nhau qua đường

Trang 15


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12


Năm học: 2020 – 2021

thẳng y = x, (góc phần tư thứ nhất và thứ ba trong hệ trục Oxy).

TXĐ của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
P (x)
1. Hàm số mũ y = a
thì điều kiện xác định là P (x) có nghĩa (xem các trường hợp lưu ý)
n
2. Hàm số lũy thừa y = [P (x)] .

g n nguyên dương � Tập xác định D = �.
g n không nguyên � điều kiện P (x) > 0.
3. Hàm số logarit

y = loga[P (x)] �

g n nguyên âm � điều kiện P (x) � 0.

điều kiện: P (x) > 0. Nếu a chứa biến x thì bổ sung 0 < a �1.

Đặc biệt:
g y = ln[P (x)] hoặc y = log[P (x)] � điều kiện: P (x) > 0.
o P(x) > 0: n�
u n l�
�
n
u n ch�
n

g y = loga[P (x)] � điều kiện: o P(x) �0: n�
Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
g (e )�
= u�
.e .
u

g (ln u)�=

g (a )�
= u�
.a .lna.

u

u

u

u�
�
u

g (loga u)�=

u�
�
u lna

Đơn điệu, cực trị, GTLN - NN của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

1. Tính chất của lũy thừa
x
y
g Nếu a > 1 thì a > a � x > y.
x
2. Hàm số mũ y = a .
g a > 1: hàm số đồng biến.

x
y
g Nếu 0 < a < 1 thì a > a � x < y.

g 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.

y = loga x, (a > 0, a �1).
3. Hàm số logarit
g a > 1: hàm số đồng biến.
g 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.

Toán thực tế về lãi suất
1. Bài toán lãi suất ngân hàng
a) Lãi đơn:

Sn = A(1+ nr ) .

Sn =

b) Lãi kép:

Sn = A(1 + r )n .


A�
(1+ r )n - 1�
(1 + r ) .
�
�
r

c) Tiền gửi hàng tháng:
d) Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

r [A(1 + r )n - Sn ]
(1 + r )n - 1
Sn = A(1+ r ) - X
�X =
�
r
(1 + r )n - 1
n

e) Vay vốn trả góp:

Sn = A(1 + r )n - X

(1 + r )n - 1
.
r

2. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng


Trang 16


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

thì lương người đó được tăng thêm r %/ tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả sớ
tiền là bao nhiêu ?
(1 + r )k - 1
Skn = Ak
�
r
Cơng thức tính: Tổng sớ tiền nhận được sau kn tháng là
3. Bài tốn tăng trưởng dân số:
Cơng thức tính tăng trưởng dân số111Equation Chapter (Next) Section 1 22Equation Section
(Next)

X m = X n (1 + r )m- n , (m, n γ �+, m

n).

X
X
Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m, m dân số năm m và n dân số năm n.
4. Lãi kép liên tục
A đồng với lãi kép r %/ năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n
Gửi vào ngân hàng
*
S = A(1+ r )n .

năm (n �� ) là n
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất
m.n
� r�
�
�
r
Sn = A �
1+ �
�
%
�
�
m�
�
�
m
n
mỗi kì hạn là
thì số tiền thu được sau năm là
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m � +�, gọi là hình thức lãi kép liên tục thì
người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là312Equation Chapter (Next)
Section 1413Equation Chapter (Next) Section 152Equation Section (Next)613Equation Chapter
n.r
3 Section 1713Equation Chapter 3 Section 1 813Equation Chapter 3 Section 1 S = Ae .

Phương trình mũ & Logarit cơ bản
x
1. Phương trình mũ cơ bản a = b, (a > 0, a �1).


ax = b � x = loga b.
Nếu b > 0 thì phương trình
x
Nếu b �0 thì phương trình a = b vô nghiệm.
2. Phương trình lơgarit cơ bản

loga x = b, (a > 0, a �1).

Theo định nghĩa lơgarit, ta có phương trình

loga x = b � x = ab.

Giải phương trình mũ & Logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
Đặt điều kiện, rồi sử dụng công thức mũ và lôgarit để đưa về một trong những dạng sau:
f (x )
g(x)
 Nếu a > 0, a �1 thì a = a � f (x) = g(x).
�
a =1
f (x)
g(x)
a =a � �
�
�
f (x) = g(x)
�
�
 Nếu a chứa ẩn x thì
f (x )
g(x)

. = 1. Ta sẽ giải như sau:
 a = b , (*), với ab

Ta có:


ab
. = 1� b =

1
= a- 1
f (x )
- g(x )
� f (x) = - g(x).
a
nên phương trình (*) � a = a

loga f (x) = loga g(x) � f (x) = g(x).
Trang 17


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

Giải phương trình mũ & Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
f (x )
PP
� đặt t = af (x), t > 0.
 P (a ) = 0 ���


f (x)

PP
2f (x)
+ b.(ab)f (x) + l .b2f (x) = 0 ���
� Chia hai vế cho b2f (x) và đặt
 a.a
(chia cho cơ số nhỏ nhất hoặc cơ số lớn nhất)

 a

f (x )

+b

a.af (x)



f ( x)

��
a
� > 0.
t =�
��
�
�
b�

��

1
t = af (x) � bf (x) = �
= c, với ab
t
� đặt
. = 1 ���
PP

�
af (x).ag(x)
�
+�
+ b.ag(x) + b = 0
a f ( x)
�
�g(x)
PP
a
�
��
� đặt 2 ẩn

PP
P ( loga f (x)) = 0 ���
�

đặt


�
u = a f ( x) > 0
�
�
�
v = ag(x) > 0
�
�
(hoặc đưa về tích).

t = loga f (x).

BPT mũ – logarit cơ bản, đưa về cùng cơ số
x
1. Bất phương trình mũ cơ bản a > b, (a > 0, a �1).
x
 Nếu b �0 thì tập nghiệm là S = � vì a > 0 �b, " x ��.
 Nếu b > 0:
x
g Với a > 1 thì bất phương trình a > b � x > loga b.
x
g Với 0 < a < 1 thì bất phương trình a > b � x < loga b.

2. Bất phương trình lơgarit cơ bản

loga x > b, (a > 0, a �1).

loga x > b � x > ab.
 Nếu a > 1 thì bất phương trình
loga x � 0 < x < ab.

 Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình
3. Bất phương trình mũ và lơgarit đưa về cùng cơ số
Tìm điều kiện và dùng các công thức mũ hoặc lôgarit đưa về các dạng cơ bản:
f (x)
g( x)
 Dạng a > a :

g Nếu a > 1 thì a

f (x)

> ag(x) � f (x) > g(x).

g Nếu 0 < a < 1 thì a

f (x)

> ag(x) � f (x) < g(x).

f (x )
g(x)
g Nếu a chứa ẩn thì a > a

 Dạng

(cùng chiều khi a > 1).

(ngược chiều khi 0 < a < 1).
� (a - 1) �
f (x) - g(x)�

> 0.
�
�

loga f (x) > loga g(x) :

g Nếu a > 1 thì loga f (x) > loga g(x) � f (x) > g(x)

(cùng chiều khi a > 1).

g Nếu 0 < a < 1 thì loga f (x) > loga g(x) � f (x) < g(x) (ngược chiều khi 0 < a < 1).

Trang 18


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

�
loga B > 0 � (a - 1)(B - 1) > 0
�
�
�
loga A
�
> 0 � (A - 1)(B - 1) > 0
�
loga B
g Nếu a chứa ẩn thì �


Trang 19


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '(x)  f (x) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f (x)dx  F(x)  C
�
, C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có ngun hàm trên K.
2. Tính chất
f '(x)dx  f (x)  C
 �


f (x)dx ��
g(x)dx
 f (x) �g(x)dx  �
�




kf (x)dx  k �
f (x)dx
�

(k �0)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

k.dx  k.x  C
�

3)

dx    C
�
x
x

5)

�
(ax  b)

7)

sin x.dx   cos x  C
�

9)


sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
�
a

11)

�
cos

2

13)

�
cos

2

15)

e dx  e
�

1

2)

1


n

dx  

4)
1
C
a(n  1)(ax  b) n 1
;

x

x

dx  �
(1 tg 2 x).dx  tgx  C

1
1
dx  tg(ax  b)  C
(ax  b)
a
x

6)
8)

cos x.dx  sin x  C
�


10)

cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C
�
a

12)

�
sin

14)

�
sin

16)

e dx  e
�

1

1

ax
a dx 
C
�
ln a

19)

21)

1

2

2

x

dx  �
 1  cot g 2 x  dx   cot gx  C

1
1
dx   cot g(ax  b)  C
(ax  b)
a
x

C

1 (ax  b) n 1
n
(ax

b)
.dx


.
C
�
a
n 1
18)
(n �1)
1

20)

dx  arctgx  C
�
x 1

22)

�
x a

x

1

1

dx  ln ax  b  C
�
(ax  b)

a

x

C

1
e (ax  b) dx  e (ax  b)  C
�
a
17)

x 1

dx  ln
C
�
x 1
2 x 1
2

dx  ln x  C
�
x

1

1

1


x n 1
C
n 1

1

2

1

x n dx 
�

2

1

2

2

dx 

1
x
arctg  C
a
a


Trang 20


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

1

23)

�
x a

25)

�a

27)

29)

2

2

dx 

1
x

2


�x

2

1
2

�a 2

Năm học: 2020 – 2021

1
x a
ln
C
2a x  a

dx  arcsin

1

x
C
a

24)

�1  x


26)

�x

dx  ln x  x 2 �a 2  C

28)

2
2
�x �a dx 

2

1
2

�1

dx  arcsin x  C

dx  ln x  x 2 �1  C

2
2
�a  x dx 

x 2
a2
x

a  x 2  arcsin  C
2
2
a

x
a2
x 2 �a 2 � ln x  x 2 �a 2  C
2
2

4. Nguyên hàm bằng phương phấp đổi biến số
f  u(x) .u ' (x)dx  F[u(x)]  C
�
+ Phương pháp: Công thức đổi biến số
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

�f (u(x)).u (x).dx
,

+ Dạng 2: Nếu hàm sớ cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức

a x

f(x) chứa biểu thức

a x

f(x) chứa biểu thức


x a

2

2

2

2

2

2



�t �
2 )
. Đặt x = |a|sint (- 2


t
2 )
hoặc a2 + x2 . Đặt x = |a|tgt ( 2


� �
|a|
t � 0;   \ � �

�2 )
. Đặt x = cos t (

5. Nguyên hàm từng phần
Công thức:

u(x).v '(x)dx  u(x).v(x)  �
v(x).u '(x)dx
�

(*)

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

P(x)e dx
�

P(x) cosx dx
�

P(x)sinx dx
�

P(x) lnx dx
�

u

P(x)


P(x)

P(x)

lnx

dv

e x dx

cos xdx

sin xdx

P(x)

x

Trang 21


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm sớ f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b


F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

f (x)dx
�
a

.

b

f (x)dx  F(b)  F(a)
�
a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

f (x)dx  �
f (t)dt  �
f (u)du  ...  F(b)  F(a)

�
 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
b

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
2. Tính chất của tích phân
0




f (x)dx  0
�

b

a

a

b

f (x)dx   �
f (x)dx
�

0

b


b

a

a



b

f (x)dx ��
g(x)dx
 f (x) �g(x)dx  �
�



a

b

b

a

a

kf (x)dx  k �
f (x)dx
�

b

c

b

a

a

c

S �
f (x)dx
a

(k: const)

f (x)dx  �
f (x)dx  �
f (x)dx
�

b

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì

f (x)dx �0
�
a


 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số

b

b

a

a

f (x)dx ��
g(x)dx
�

b

u(b)

a

u(a)

f  u(x)  .u '(x)dx 
�

�f (u)du


trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b 
K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm sớ có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:
b

b

b

udv  uv a  �
vdu
�
a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

vdu
�
a

b

dễ tính hơn


udv
�
a

.

Trang 22


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH
1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S�
f (x)dx

a
là:
2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.


(1)

b

S �
f (x)  g(x)dx

là:

(2)

a

Chú ý:
b

b

f (x)dx  �
f (x)dx
�

a
 Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: a
 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đới của hàm sớ dưới dấu tích phân.
Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c,
d (c < d).

Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:


b

c

a

a

d

b

f (x)dx  �
f (x)dx  �
f (x)dx  �
f (x)dx
�
c

c

d

d

b

f (x)dx  �
f (x)dx  �

f (x)dx
�

c
d
= a
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

V�
S(x)dx

a
Thể tích của B là:
 Thể tích của khối trịn xoay:
Thể tích của khới tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b
b

V  �
f 2 (x)dx

a
(a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh
d

trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là:

V  �
g 2 (y)dy
c

Trang 23


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

Năm học: 2020 – 2021

Trang 24


SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12

IV. SỐ PHỨC

Năm học: 2020 – 2021

4k
4k 1
 i; i 4k 2  -1; i 4k 3  -i
Chú ý: i  1; i


x

1. Khái niệm số phức
 Tập hợp số phức:
C
 Số phức (dạng đại số) : z  a  bi
(a, b �R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
 z là số thực
 phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
a a'
�
a  bi  a’  b’i � �
(a, b, a ', b ' �R)
b  b'
�
 Hai số phức bằng nhau:

b

3. Cộng và trừ số phức:
  a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i

a
O

y

.


M(a;b)

r
2. Biểu diễn hình học: Sớ phức z = a + bi (a, b �R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u  (a; b) trong
mp(Oxy) (mp phức)

  a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
 u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u  u ' biểu diễn z + z’ và u  u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
  a  bi   a ' b 'i    aa’ – bb’   ab’  ba’  i
 k(a  bi)  ka  kbi (k �R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi
�z � z
z  z ; z �z '  z �z ' ; z.z '  z.z '; � 1 � 1
�z 2 � z2 ;

 z là số thực  z  z ;
z là số ảo  z   z

z.z  a 2  b 2

6. Môđun của số phức : z = a + bi
uuuu

r
2
2
z

a

b

zz

OM

z 0�z0
 z �0, z �C ,
 z.z '  z . z '
7. Chia hai số phức:

z
z

 z' z'

 z  z ' �z �z ' �z  z '

a+bi
aa'-bb' ab ' a ' b
 2
 2
i

2
a '  b '2 .
 Chia hai số phức: a'+b'i a '  b '

Trang 25