TỔ HỢP LỚP 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.99 KB, 9 trang )
TỔ HỢP - XÁC SUẤT THỐNG KÊ
A. TỐ HỢP
I.QUI TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng
Giả sử một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc
phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện
phương án B. Khi đó công việc có thể được thực bởi n + m cách.
Vd: Các nhóm I, II, III, IV lần lượt có 8, 10, 9, 12 sinh viên. Cần rút
một sinh viên trong các nhóm trên thì có 8+10+9+12= 39 khả năng
lựa chọn.
2. Qui tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B.
Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công
đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có
thể thực hiện theo n.m cách.
Vd: Các nhóm I, II, III, IV lần lượt có 8, 10, 9, 12 sinh viên.
Cần rút sinh 4 viên, mỗi nhóm một sinh viên thì có 8.9.10.12 = 8 640
khả năng lựa chọn.
II. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
1. Hoán vị
Cho A gồm n phần tử ( n
≥
1)
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu là
n
P
.
1.2.3...( 1) ! P n n n
n
= − =
Vd: Số cách sắp xếp cho 4 học sinh ngồi cùng bàn là
4! 1.2.3.4 24= = (cách)
2. Chỉnh hợp
Cho
1 k n≤ ≤
Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ k sắp thứ tự gồm
k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử.
Kí hiệu
k
n
A
( 1)( 2)...( 1)
k
n
A n n n n k
= − − − +
!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
Qui ước : 0! = 1.
Vd: Có mấy cách chọn 3 học sinh trong 7 học sinh xuất sắc để tham
gia 3 hội thảo khác nhau ?
Giải : Số cách chọn là
3
7
7!
7.6.5 210
(7 3)!
A = = =
−
(cách)
3. Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử.
Một tổ hợp chập k (
1 k n≤ ≤
) của n phần tử là một tập con của A
gồm k phần tử lấy từ n phần tử của A
Kí hiệu
k
n
C
( 1)( 2)...( 1)
!
k
n
n n n n k
C
k
− − − +
=
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
Vd : có mấy cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh đi thăm các
anh thương binh ?
Giải : Số cách chọn là
3
10
10.9.8
120
1.2.3
C = =
(cách)
Tính chất của các số
k
n
C
k n k
n n
C C
−
=
;
1 1
1
k k k
n n n
C C C
+ +
+
+ =
III. NHỊ THỨC NIU-TƠN
Công thức nhị thức Niu-tơn
0 1 1
( ) ... ...
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
0
n
k n k k
n
k
C a b
−
=
=
∑
( quy ước
0 0
1a b= =
)
Vế phải có n+1 hạng tử.
Tổng số mũ của a và b bằng n.
Vì
k n k
n n
C C
−
=
nên các hệ số ở vế phải có vị trí đối xứng nhau
thì bằng nhau.
Vd : Số hạng thứ 4 của
7
( )a b+
là
3 7 3 3 4 3
35
7
C a b a b
−
=
IV. TAM GIÁC PA-XCAN
Trong công thức nhị thức Niu-tơn như trên, cho
0,1,...n =
và sắp xếp
hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan.
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
…..
Vd :
5 5 4 3 2 2 3 4 5
( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + +
V. ÁP DỤNG CỦA NHỊ THỨC NIU-TƠN
Trong khai triển của
( )
n
a b+
cho a=b=1, ta có
0 1 2
... 2
n n
n n n n
C C C C
+ + + + =
B. XÁC SUẤT:
Định nghĩa: (theo cỗ điển)
Xét một phép thử với không gian các biến cố sơ cấp gồm n trường họp
(biến cố sơ cấp) đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau), trong đó có m
trường họp (biến cố sơ cấp) thuận lợi cho sự kiện A. Khi đó, xác suất của sự
kiện A, kí hiệu P(A), được xác định bởi hệ thức.
m
P( A )
n
=
Trong đó: m là trường hợp thuận lợi cho A
n là số trường hợp có thể xảy ra.
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử không đoán được trước kết quả,
nhưng có thể liệt kê hết kết quả, có thể lập lại nhiều lần ttrong những điều
kiện giống nhau. Phép thử thường kí hiệu bởi chữ T.
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra gọi là không gian mẫu. Kí hiệu E.
Vd: Thả 1 con xúc xắc, đếm số điểm ở mặt trên, là một phép thử ngẫu
nhiên.
Không gian mẫu của phép thử này là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Biến cố : ( sự kiện)
Là kết quả ghi nhận được sau khi thực hiện phép thử. là tập con của
không gian mẫu E.
Biến cố sơ cấp và không gian sự kiện sơ cấp (không gian mẫu) : là
tập con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu. Trong ví dụ trên
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} là các biến cố sơ cấp.
Biến cố chắc chắn
Ω
: biến cố Ω được gọi là chắc chắn nếu
Ω
luôn
xảy ra sau khi thực hiện phép thử. là không gian mẫu E.
Vd : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Biến cố không thể có : Là tập
∅
. Biến cố
∅
dược gọi là không thể
nếu
∅
luôn luôn không xảy ra sau khi thực hiện một phép thử.
Vd : {7} là biến cố không thể.
Cho A và B là hai biến cố trong khôpng gian mẫu E.
Biến cố hợp của A và B : Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B
xảy ra”, kí hiệu A
∪
B được gọi là hợp của hai biến cố A và B
Biến cố giao của A và B : Cho hai biến cố A và B, Biến cố “ Cả A và
B cùng xảy ra”, ki hiệu là A
∩
B, được gọi là giao của hai biến cố A và
B.
Biến cố đối: Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “ không xảy ra
A”, kí hiệu là
A
, được gọi là biến cố đối của A.
Biến cố xung khắc : Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và b
được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy
ra,kí hiệu A
∩
B =
∅
.
II. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ
i) Biến cố không thể có, có xác suất bằng 0.
ii) Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1.
iii) Nếu không gian mẫu E cóa n biến cố sơ cấp đồng khả năng thì mỗi
biến cố sơ cấp có xác suất là
1
n
.
vi) Nếu biến cố A gồm có m biến cố sơ cấp
(0 )m n≤ ≤
thì xác suất của
biến cố A, kí hiệu P(A) là
m
n
.
P(A) =
m
n
Trong đó : m : số trường hợp thuận lợi cho A.
n số trường hợp có thể xảy ra.
Vd : Thả 1 con xúc xắc nhìn số chấm hiện ra ở mặt trên.
Không gan mẫu E = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
P(7) = 0 ; P(E) = 1; P (3) =
1
6
nếu A = {2, 4, 6} thì P(A) =
3 1
6 2
=
.
III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1. Tính chất cơ bản
a) Với mọi biến cố A :
0 P(A) 1≤ ≤
.
b)
P( ) 0∅ =
; P(E) = 1.
c) Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì
P(A B) P(A) P(B)∪ = +
.
d)
A
là biến cố bù của A thì P(
A
) = 1 – P(A) .
Vd : A = {2, 4, 6} , thì
A
= {1, 3, 5}
