CHU
.
O
.
NG IV:
S
ˆ
O
´
TU
.
.
NHI
ˆ
EN V
`
AS
ˆ
O
´
NGUY
ˆ
EN
4.1. S
ˆ
O
´
TU
.
.
NHI

ˆ
EN.
Sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen l`a mˆo
.
t th`anh tu
.
.
u to´an ho
.
c lˆau d¯`o
.
i nhˆa
´
tcu
’
a lo`ai ngu
.
`o
.
i. Ng`ay
nay, sˆo
´
tu
.
.

nhiˆen d¯u
.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng o
.
’
mo
.
ino
.
i, mo
.
il´uccu
’
ad¯`o
.
isˆo
´
ng x˜a hˆo
.
i: trong
giao di
.

ch, mua b´an, thu
.
t´ın, d¯iˆe
.
n thoa
.
i, ... Kh´o c´o thˆe
’
h`ınh dung mˆo
.
tx˜ahˆo
.
i
khˆong c´o sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen! Ta d`ung c´ac sˆo
´
0, 1, 2, 3, 4, ... t´ınh to´an (cˆo
.
ng, tr`u
.
, nhˆan,
chia) trˆen c´ac sˆo
´
d¯´o mˆo
.
t c´ach ”tu

.
.
nhiˆen” trong mo
.
i hoa
.
td¯ˆo
.
ng cu
’
a m`ınh, song ´ıt
khi ta tu
.
.
ho
’
i con ngu
.
`o
.
i d¯ ˜a b i ˆe
´
t d¯ ˆe
´
nsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen t`u

.
bao gi`o
.
v`a b˘a
`
ng c´ach n`ao?
Khˆong ai c´o thˆe
’
n´oi d¯u
.
o
.
.
cd¯´ıch x´ac lo`ai ngu
.
`o
.
ibiˆe
´
td¯ˆe
´
n c´ac con sˆo
´
t`u
.
khi n`ao.
Ngu
.
`o
.

itat`ım d¯u
.
o
.
.
cmˆo
.
t v˘an ba
’
ncˆo
’
kh˘a
´
c trˆen d¯´a c´ach d¯ˆay khoa
’
ng 6000 n˘am,
trˆen d¯´o c´o c´ac con sˆo
´
biˆe
’
u thi
.
b˘a
`
ng c´ac dˆa
´
uchˆa
´
m v`a ga
.

ch. M˜ai d¯ˆe
´
nthˆe
´
ky
’
XI,
con sˆo
´
khˆong (0) m´o
.
i ra d¯`o
.
iv`at`u
.
d¯´o con ngu
.
`o
.
ib˘a
´
td¯ˆa
`
u ngh˜ı ra hˆe
.
thˆa
.
p phˆan
d¯ ˆe
’

biˆe
’
udiˆe
˜
n c´ac con sˆo
´
.
Sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen ra d¯`o
.
i l`a do nhu cˆa
`
u nhˆa
.
nbiˆe
´
tvˆe
`
sˆo
´
lu
.
o
.
.
ng cu

’
asu
.
.
vˆa
.
t. Nhu cˆa
`
u
d¯´o xuˆa
´
thiˆe
.
n ngay ca
’
trong mˆo
.
t x˜a hˆo
.
id¯o
.
nso
.
nhˆa
´
t. Ch˘a
’
ng ha
.
n, ngu

.
`o
.
itacˆa
`
n
biˆe
´
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng cu
’
a d¯`an th´u d¯ˆe
’
tˆo
’
ch´u
.
cmˆo
.
t cuˆo
.
c d¯i s˘an, cˆa
`
nbiˆe

´
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng cu
’
a
bˆen d¯i
.
ch d¯ˆe
’
tˆo
’
ch´u
.
c cuˆo
.
c chiˆe
´
nd¯ˆa
´
u, ... v`a khi x˜a hˆo
.
i c`ang ph´at triˆe
’
nth`ınhu

cˆa
`
u d¯´o ng`ay c`ang t˘ang.
Sau d¯ˆay, ta t`ım c´ach xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen. D
-
ˆa
`
u tiˆen ta chˆa
´
p
nhˆa
.
nc´omˆo
.
ttˆa
.
pho

.
.
p N m`a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a n´o thoa
’
m˜an mˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
tm`a
ta go
.
il`ahˆe
.
t i ˆe n d¯ ˆe
`
Peano. Sau d¯´o, ta d¯i
.
nh ngh˜ıa c´ac ph´ep cˆo
.
ng, ph´ep nhˆan c´ac
sˆo

´
tu
.
.
nhiˆen, rˆo
`
id¯i
.
nh ngh˜ıa quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen N v`a d¯u
.
a ra c´ac t´ınh chˆa
´
tc`ung
mˆo
´
i quan hˆe
.
gi˜u
.
a ch´ung. Trˆen co
.
so
.

’
c´o d¯u
.
o
.
.
ctˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen, vˆe
`
sau
ta s˜e xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p Z c´ac sˆo
´
nguyˆen, tˆa

.
pho
.
.
p Q c´ac sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
4.1.1. Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen v`a hˆe
.
tiˆen d¯ˆe
`
Peano:
4.1.1.1. Mo
.
’
d¯ ˆa

`
u: Ta biˆe
´
tr˘a
`
ng mˆo
.
t kh´ai niˆe
.
mm´o
.
i bao gi`o
.
c˜ung d¯u
.
o
.
.
cd¯i
.
nh
ngh˜ıa thˆong qua nh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
m tru
.
´o
.
cd¯´o.C˜ung vˆa

.
y, mˆo
.
tmˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.
cch´u
.
ng
minh nh`o
.
nh˜u
.
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ˜a b i ˆe
´
t tru
.
´o
.
c d¯´o. V`ı vˆa

.
y, d¯ˆe
’
xˆay du
.
.
ng mˆo
.
tl´y thuyˆe
´
t
to´an ho
.
c m`a khˆong bi
.
ro
.
i v`ao v`ong luˆa
’
n quˆa
’
n, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng xuˆa

´
t ph´at t`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
kh´ai niˆe
.
md¯ˆa
`
u tiˆen khˆong d¯i
.
nh ngh˜ıa, go
.
i l`a c´ac kh´ai niˆe
.
m nguyˆen thuy
’
v`a mˆo
.
tsˆo
´
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ ˆa
`
u tiˆen d¯u

.
o
.
.
cth`u
.
a nhˆa
.
n, khˆong ch´u
.
ng minh go
.
i l`a c´ac tiˆen
d¯ ˆe
`
.Phu
.
o
.
ng ph´ap xˆay du
.
.
ng nhu
.
vˆa
.
ygo
.
i l`a phu
.

o
.
ng ph´ap tiˆen d¯ˆe
`
.L˜etu
.
.
nhiˆen,
sˆo
´
c´ac kh´ai niˆe
.
m nguyˆen thuy
’
v`a sˆo
´
c´ac tiˆen d¯ˆe
`
ngh˜ıa l`a sˆo
´
nh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ucˆa
`
nth`u
.
a
nhˆa

.
n, nˆen ´ıt nhˆa
´
t m`a vˆa
˜
nd¯u
’
suy ra tˆa
´
tca
’
c´ac kˆe
´
t qua
’
kh´ac. D
-
ˆo
`
ng th`o
.
inh˜u
.
ng
mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
th`u
.

a nhˆa
.
nthu
.
`o
.
ng l`a nh˜u
.
ng mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
d¯ o
.
n gia
’
n, “hiˆe
’
n nhiˆen”. Mˆo
.
t
trong nh˜u
.
ng ngu
.
`o
.
id¯ˆa
`
u tiˆen xˆay du

.
.
ng mˆo
.
tl´y thuyˆe
´
t to´an ho
.
c theo phu
.
o
.
ng ph´ap
t i ˆe n d¯ ˆe
`
l`a nh`a to´an ho
.
c Euclide (khoa
’
ng 300 n˘am tru
.
´o
.
c cˆong nguyˆen). Cuˆo
´
n
91
s´ach “Nh˜u
.
ng nguyˆen l´y” cu

’
a ˆong, trong ho
.
n 20 thˆe
´
ky
’
qua vˆa
˜
n l`a mˆo
.
tmˆa
˜
umu
.
.
c
vˆe
`
viˆe
.
c xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t l´y thuyˆe
´
t to´an ho
.

c(h`ınh ho
.
c) b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap tiˆen d¯ˆe
`
.
Ta d¯˜a quen thuˆo
.
cv´o
.
itˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen, N = {0, 1, 2, 3, 4,...}.Tˆa
.
p
ho
.

.
p N c´o phˆa
`
ntu
.
’
“d¯ˆa
`
u tiˆen” l`a 0 v`a ´anh xa
.
“liˆe
`
n sau”:
σ : N −→ N :0→ 1 → 2 → 3 → 4 → · · ·
nhu
.
vˆa
.
y, ta thˆa
´
ytˆa
.
pho
.
.
p N d¯ u
.
o
.
.

c sinh bo
.
’
i 0 v`a ´anh xa
.
σ. Sau d¯ˆay l`a c´ach
mˆo ta
’
tˆa
.
pho
.
.
p N mˆo
.
t c´ach to´an ho
.
ct`u
.
mˆo
.
thˆe
.
t i ˆe n d¯ ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.

c nˆeu ra bo
.
’
i Peano
(1858-1932) v`ao n˘am 1899.
4.1.1.2. Hˆe
.
tiˆen d¯ˆe
`
Peano: Tˆa
.
pho
.
.
p N m`a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
an´od¯u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
c´ac sˆo

´
tu
.
.
nhiˆen, l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p thoa
’
m˜an:
P1. 0 ∈ N.
P2. C´o mˆo
.
t ´anh xa
.
σ : N −→ N go
.
i l`a ´anh xa
.
liˆe
`
n sau v`a σ(n)go
.
il`asˆo
´
liˆe

`
n
sau cu
’
a n ∈ N.
P3. 0 khˆong l`a sˆo
´
liˆe
`
n sau cu
’
amˆo
.
tsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao, ngh˜ıa l`a 0 /∈ σ(N).
P4. σ l`a mˆo
.
td¯o
.
n ´anh, ngh˜ıa l`a mˆo
˜
isˆo
´
tu
.
.

nhiˆen l`a sˆo
´
liˆe
`
n sau cu
’
a khˆong
qu´a mˆo
.
tsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen.
P5. Mo
.
itˆa
.
p con U cu
’
a N c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t:
a) 0 ∈ U,
b) v´o
.
imo
.
i n ∈ N,n∈ U ⇒ σ(n) ∈ U,

d¯ ˆe
`
u tr`ung v´o
.
itˆa
.
pho
.
.
p N.
4.1.1.3. Ch´u ´y: 1) T i ˆe n d¯ ˆe
`
P1 cho thˆa
´
y N = ∅ v`ıc´o0∈ N.
2) Theo tiˆen d¯ˆe
`
P2, tˆo
`
nta
.
isˆo
´
liˆe
`
n sau cu
’
a0v`asˆo
´
d¯´o l`a duy nhˆa

´
t, k´y
hiˆe
.
u1=σ(0). La
.
i theo tiˆen d¯ˆe
`
P2, tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tsˆo
´
liˆe
`
n sau cu
’
a1,k´yhiˆe
.
u
2=σ(1). Tiˆe
´
ptu
.
cnhu
.
vˆa

.
y, ta d¯u
.
o
.
.
cmˆo
.
th`ınh a
’
nh cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen
l`a N = {0, 1, 2, 3, 4,...}.
3) T i ˆe n d¯ ˆe
`
P5 c`on go
.
i l`a nguyˆen l´y cu
’

a ph´ep ch´u
.
ng minh quy na
.
p. Thˆa
.
y
vˆa
.
y, ta x´et mˆo
.
t h`am mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
P (n) v`a go
.
i U = {n ∈ N | P (n)}.Nˆe
´
u P (0) d¯´ung
ta c´o 0 ∈ U. Cho P (n) d¯´ung ngh˜ıa l`a n ∈ U,nˆe
´
utach´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c P (σ(n))

d¯ ´ung, ngh˜ıa l`a σ(n) ∈ U th`ı U nghiˆe
.
m d¯´ung ca
’
hai t´ınh chˆa
´
tcu
’
a t i ˆe n d¯ ˆe
`
P5.
Vˆa
.
y U = N, ngh˜ıa l`a P (n) d¯´ung v´o
.
imo
.
i n ∈ N.
4.1.2. Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trˆen N:
4.1.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa:
1) Ph´ep cˆo
.
ng:
a) m +0=m v´o

.
imo
.
i m ∈ N,
b) m + σ(n)=σ(m + n)v´o
.
imo
.
i m, n ∈ N v`a m + n d¯ ˜a d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh.
2) Ph´ep nhˆan:
a) m0=0v´o
.
imo
.
i m ∈ N.
b) mσ(n)=mn + m v´o
.
imo
.
i m, n ∈ N v`a mn d¯ ˜a d¯ u
.
o
.

.
c x´ac d¯i
.
nh.
92
4.1.2.2. T´ınh chˆa
´
t:
1) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh trˆen N.
2) σ(n)=n + 1, v´o
.
imo
.
i n ∈ N v`a 1 = σ(0).
3) N v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu

.
’
khˆong v`a v´o
.
i ph´ep nhˆan c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
,
ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i n ∈ N,tac´o
n +0=0+n = n, n1=1n = n.
4) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe
´
tho
.
.
p, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo

.
i m, n, p ∈ N,
ta c´o
(m + n)+p = m +(n + p), (mn)p = m(np).
5) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i m, n ∈ N,
ta c´o
m + n = n + m, mn = nm.
6) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo
´
id¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i m, n, p ∈
N,tac´o
m(n + p)=mn + mp, (n + p)m = nm + pm.
7) m + n =0 ⇒ m = n =0.
8) mn =0 ⇒ m = 0 ho˘a

.
c n =0.
9) Ph´ep cˆo
.
ng c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i m, n, p ∈ N,tac´o
m + p = n + p ⇒ m = n.
10) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia
’
nu
.
´o
.
c, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i m, n, p ∈ N,p= 0, ta c´o
mp = np ⇒ m = n.
Ch´u
.

ng minh:
1) V´o
.
i m ∈ N,go
.
i U = {n ∈ N | m + n ∈ N d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh} v`a U

= {n ∈
N | mn ∈ N d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh}. R˜o r`ang 0 ∈ U v`a 0 ∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U , ngh˜ıa

l`a m + n d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh. Khi d¯´o m + σ(n)=σ(m + n) ∈ N d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh hay
σ(n) ∈ U .Vˆa
.
y U = N. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

, ngh˜ıa l`a mn d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i

.
nh. Khi d¯´o
mn + m d¯ u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh hay mσ(n)d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh t´u
.
cl`aσ(n) ∈ U

.Vˆa
.
y U

= N.
2) n +1=n + σ(0) = σ(n +0)=σ(n), v´o
.
imo
.
i n ∈ N.

3) Go
.
i U = {n ∈ N | n +0=0+n = n}. Tac´o0+0=0hay0∈ U. Gia
’
su
.
’
n ∈ U hay n +0=0+n = n. Khi d¯´o 0 + σ(n)=σ(0 + n)=σ(n)=σ(n)+0
hay σ(n) ∈ U .Vˆa
.
y U = N.
Go
.
i U

= {n ∈ N | nσ(0) = σ(0)n = n}. Tac´o0σ(0) = 0.0+0=0=σ(0)0
hay 0 ∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

hay nσ(0) = σ(0)n = n. Khi d¯´o σ(n)σ(0) =
σ(n)0+σ(n)=0+σ(n)=σ(n)=σ(n+0) = n+σ(0) = σ(0)n+σ(0) = σ(0)σ(n)
hay σ(n) ∈ U

Vˆa

.
y U

= N.
93
4) V´o
.
i m, n ∈ N,go
.
i U = {p ∈ N | (m + n)+p = m +(n + p)}.Tac´o
(m + n)+0=m + n = m +(n + 0) hay 0 ∈ U . Gia
’
su
.
’
p ∈ U hay (m + n)+p =
m +(n + p). Khi d¯´o (m + n)+σ(p)=σ((m + n)+p)=σ(m +(n + p)) =
m + σ(n + p)=m +(n + σ(p)) hay σ(p) ∈ U.Vˆa
.
y U = N.
T´ınh kˆe
´
tho
.
.
pcu
’
a ph´ep nhˆan d¯u
.
o

.
.
cch´u
.
ng minh trong 6).
5) Go
.
i U = {n ∈ N | n +1= 1+n}. Ta c´o 0+1= 1+0=1hay 0 ∈ U . Gia
’
su
.
’
n ∈ U hay n +1=1+n. Khi d¯´o σ(n)+1= σ(σ(n)) = σ(n +1)=σ(1 + n)=
1+σ(n)hayσ(n) ∈ U.Vˆa
.
y U = N.
Go
.
i U

= {n ∈ N | 0n =0}.Tac´o0.0=0hay0∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

hay

0n = 0. Khi d¯´o 0σ(n)=0n +0=0+0=0hayσ(n) ∈ U

.Vˆa
.
y U

= N.
V´o
.
i m ∈ N,go
.
i U

= {n | m + n = n + m}.Tac´om +0=0+m = m hay
0 ∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

hay m + n = n + m. Khi d¯´o m + σ(n)=m +(n +1)=
(m + n)+1=(n + m)+1=n +(m +1) = n +(1+m)=(n +1)+m = σ(n)+m
hay σ(n) ∈ U

.Vˆa
.
y U


= N.
V´o
.
i m ∈ N,go
.
i U

= {n ∈ N | (m +1)n = mn + n}.Tac´o(m + 1)0 =
0=m0+0 hay 0 ∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

hay (m +1)n = mn + n. Khi d¯´o
(m +1)σ(n)=(m +1)n +(m +1) =(mn + n)+(m +1) = (mn + m)+(n +1) =
mσ(n)+σ(n)hayσ(n) ∈ U

.Vˆa
.
y U

= N.
V´o
.
i m ∈ N,go

.
i U

= {n ∈ N | mn = nm}.Tac´om0=0=0m hay
0 ∈ U

. Gia
’
su
.
’
n ∈ U

hay mn = nm. Khi d¯´o mσ(n)=mn + m = nm + m =
(n +1)m = σ(n)m hay σ(n) ∈ U

.Vˆa
.
y U

= N
6) V´o
.
i n, p ∈ N,go
.
i U = {m ∈ N | m(n + p)=mn + mp}. Tac´o0(n + p)=
0=0n +0p hay 0 ∈ U . Gia
’
su
.

’
m ∈ U hay m(n + p)=mn + mp. Khi d¯´o
σ(m)(n + p)=(m + 1)(n + p)=m(n + p)+(n + p)=(mn + mp)+(n + p)=
(nm + n)+(pm + p)=nσ(m)+pσ(m)=σ(m)n + σ(m)p hay σ(m) ∈ U .Vˆa
.
y
U = N.D
-
˘a
’
ng th´u
.
cth´u
.
hai c´o t`u
.
t´ınh giao ho´an cu
’
a ph´ep nhˆan.
Go
.
i U

= {p ∈ N | (mn)p = m(np)}.Tac´o(mn)0=0=m0=m(n0) hay
0 ∈ U

. Gia
’
su
.

’
p ∈ U

hay (mn)p = m(np). Khi d¯´o (mn)σ(p)=(mn)p + mn =
m(np)+mn = m(np + n)=m(nσ(p)) hay σ(p) ∈ U

.Vˆa
.
y U

= N.
7) Gia
’
su
.
’
n = 0. Khi d¯´o tˆo
`
nta
.
i k ∈ N sao cho σ(k)=n. Khi d¯´o 0 =
m + n = m + σ(k)=σ(m + k). D
-
iˆe
`
u n`ay tr´ai v´o
.
i t i ˆe n d¯ ˆe
`
3. Vˆa

.
y n =0. T`u
.
d¯ ´o
suy ra m =0.
8) Gia
’
su
.
’
n = 0. Khi d¯´o tˆo
`
nta
.
i k ∈ N sao cho σ(k)=n v`a 0 = mn =
mσ(k)=mk + m,nˆenm =0.
9) V´o
.
i m, n ∈ N,go
.
i U = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n}.Tac´o
m +0=n +0⇒ m = n hay 0 ∈ U . Gia
’
su
.
’
p ∈ U hay m + p = n + p ⇒ m = n.
Khi d¯´o m + σ(p)=n + σ(p) ⇒ σ(m + p)=σ(n + p) ⇒ m + p = n + p (do σ l`a
d¯ o
.

n ´anh) ⇒ m = n hay σ(p) ∈ U .Vˆa
.
y U = N.
10) V´o
.
i m, n ∈ N,tˆo
`
nta
.
i x ∈ N sao cho m = n + x ho˘a
.
c n = m + x. Khi
d¯ ´o mp = np + xp ho˘a
.
c np = mp + xp.T`u
.
mp = np suy ra xp =0v`adop =0,
ta c´o x = 0. Vˆa
.
y m = n.
94
4.1.3. Quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen N:
4.1.3.1. D

-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho m v`a n l`a hai sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen. Ta n´oi
+ m nho
’
ho
.
n n ho˘a
.
c n l´o
.
nho
.
n m,k´yhiˆe
.
u m<nho˘a
.
c n>mnˆe
´
utˆo
`
nta
.
i

x ∈ N,x= 0 sao cho n = m + x.
+ m nho
’
ho
.
n hay b˘a
`
ng n ho˘a
.
c n l´o
.
nho
.
n hay b˘a
`
ng m,k´yhiˆe
.
u m ≤ n ho˘a
.
c
n ≥ m nˆe
´
u ho˘a
.
c m = n ho˘a
.
c m<n.Nhu
.
vˆa
.

y,
m ≤ n ⇔∃x ∈ N,n= m + x.
4.1.3.2. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: Quan hˆe
.
≤ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
trˆen N.
Ch´u
.
ng minh: T`u
.
d¯ i
.
nh ngh˜ıa ta c´o ngay quan hˆe
.
≤ c´o t´ınh chˆa
´
t pha
’

nxa
.
. Bˆay
gi`o
.
nˆe
´
u m ≤ n v`a n ≤ m th`ı tˆo
`
nta
.
i x, y ∈ N sao cho n = m + x v`a m = n + y.
Khi d¯´o m = m + x + y.D`ung luˆa
.
t gia
’
nu
.
´o
.
c, ta c´o x + y =0. T`u
.
d¯´o suy ra
x = y =0,t´u
.
cl`am = n. Do d¯´o quan hˆe
.
≤ c´o t´ınh chˆa
´
t pha

’
nd¯ˆo
´
ix´u
.
ng. Quan
hˆe
.
≤ c`on c´o t´ınh b˘a
´
ccˆa
`
u. Thˆa
.
tvˆa
.
y, nˆe
´
u m ≤ n v`a n ≤ p th`ı tˆo
`
nta
.
i x, y ∈ N
sao cho n = m + x v`a p = n + y. Khi d¯´o p = m +(x + y)v´o
.
i x + y ∈ N,t´u
.
cl`a
m ≤ p.V`ıvˆa
.

y quan hˆe
.
≤ l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
th´u
.
tu
.
.
.
4.1.3.3. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
(Luˆa
.
t tam phˆan): V´o
.
imo
.
i m, n ∈ N, c´o mˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
t
trong ba tru

.
`o
.
ng ho
.
.
p sau xa
’
y ra:
m<n, m= n, m > n.
Ch´u
.
ng minh: Tru
.
´o
.
chˆe
´
t, dˆe
˜
d`ang c´o d¯u
.
o
.
.
c nhiˆe
`
u nhˆa
´
tmˆo

.
t trong ba tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p trˆen xa
’
y ra. Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng quy na
.
p theo n l`a v´o
.
imˆo
˜
i m ∈ N
c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t trong ba tru
.

`o
.
ng ho
.
.
p trˆen xa
’
y ra. V´o
.
i n = 0, ta c´o m>0 ho˘a
.
c
m =0v´o
.
imo
.
i m ∈ N. Gia
’
su
.
’
v´o
.
i n ∈ N ta c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t trong ba tru
.
`o

.
ng
ho
.
.
p m<n, m= n, m > n xa
’
y ra v´o
.
imo
.
i m ∈ N.Nˆe
´
u m<nhay m = n th`ı
m<σ(n). Nˆe
´
u m>nth`ı m = σ(n) ho˘a
.
c m>σ(n).
4.1.3.4. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: V´o
.
imo
.
i m, n, k ∈ N, ta c´o:
1) m<n ⇒ m + k<n+ k.
2) m<nv`a k =0 ⇒ mk < nk.

Ch´u
.
ng minh: Nˆe
´
u m<nth`ı tˆo
`
nta
.
i x ∈ N,x=0,n= m + x. Khi d¯´o
n + k =(m + k)+x hay m + k<n+ k v´o
.
imo
.
i k ∈ N.Nˆe
´
u k =0th`ı
nk = mk + xk v´o
.
i xk =0haymk < nk.
4.1.3.5. D
-
i
.
nh l´y: Tˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´

tu
.
.
nhiˆen d¯u
.
o
.
.
cs˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
tˆo
´
tbo
.
’
i quan hˆe
.
≤.
Ch´u
.
ng minh: Cho A ⊂ N,A= ∅.Tach´u
.
ng minh A c´o sˆo
´
nho

’
nhˆa
´
t. Go
.
i
A
1
= {n ∈ N | n ≤ x, ∀x ∈ A}.
95
R˜o r`ang A
1
⊂ N v`a c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t:
a) 0 ∈ A
1
(v`ı 0 ≤ x, ∀x ∈ N).
b) A
1
= N. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı A = ∅ nˆen tˆo
`
nta
.
i n ∈ A. Khi d¯´o n +1 /∈ A
1

.
Nhu
.
vˆa
.
y, A
1
thoa
’
m˜an d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nth´u
.
nhˆa
´
tcu
’
a nguyˆen l´y quy na
.
p, nhu
.
ng
A
1
= N, nˆen n´o khˆong thoa
’
m˜an d¯iˆe
`

ukiˆe
.
nth´u
.
hai. N´oi c´ach kh´ac, tˆo
`
nta
.
i
m ∈ A
1
sao cho m +1 /∈ A
1
.
Do m ∈ A
1
nˆen m ≤ x, ∀x ∈ A.M˘a
.
t kh´ac, m ∈ A v`ınˆe
´
u ngu
.
o
.
.
cla
.
itac´o
m<x, ∀x ∈ A, khi d¯´o m +1≤ x, ∀x ∈ A hay m +1∈ A
1

. Mˆau thuˆa
’
nv´o
.
i gia
’
thiˆe
´
tvˆe
`
m.Vˆa
.
y m l`a sˆo
´
nho
’
nhˆa
´
tcu
’
a A.
4.1.3.6. Ch´u´y:Nguyˆen l´y quy na
.
pc´othˆe
’
ph´at biˆe
’
ula
.
inhu

.
sau. Cho n
0
l`a
mˆo
.
tsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen v`a P (n) l`a mˆo
.
t h`am mˆe
.
n h d¯ ˆe
`
v´o
.
i n ∈ N. Khi d¯´o nˆe
´
u P (n)c´o
t´ınh chˆa
´
t P (n
0
) d¯´ung v`a nˆe
´
u P (k) d¯´ung v´o
.

i k ≥ n
0
k´eo theo P (k + 1) d¯´ung th`ı
P (n) d¯´ung v´o
.
imo
.
i n ≥ n
0
. Thˆa
.
tvˆa
.
y, chı
’
cˆa
`
n ´ap du
.
ng tiˆen d¯ˆe
`
vˆe
`
quy na
.
p v`ao
tˆa
.
pho
.

.
p
U = {n ∈ N | 0 ≤ n<n
0
}∪{n ∈ N | n ≥ n
0
,P(n)}.
4.1.4. Ph´ep tr`u
.
:
4.1.4.1. Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
: V´o
.
imo
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen m, n,nˆe
´
u m ≤ n th`ı tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa

´
t
sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen x sao cho m + x = n.
Ch´u
.
ng minh: Kˆe
´
t qua
’
c´o ngay t`u
.
d¯ i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a quan hˆe
.
≤ v`a luˆa
.
t gia
’
nu
.
´o
.

c
cu
’
a ph´ep cˆo
.
ng.
4.1.4.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen x thoa
’
m˜an d¯˘a
’
ng th´u
.
c m + x = n d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a hiˆe

.
ucu
’
a n v`a m v`a k´yhiˆe
.
ul`ax = n − m (d¯o
.
cl`an tr`u
.
m).
Quy t˘a
´
c t`ım hiˆe
.
u n − m go
.
i l`a ph´ep tr`u
.
.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
trˆen cho thˆa
´
y ph´ep tr`u
.
n−m thu
.
.

chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c khi v`a chı
’
khi m ≤ n.
4.1.4.3. T´ınh chˆa
´
t: V´o
.
imo
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen m, n, p m`a p ≤ n, ta c´o:
m(n − p)=mn − mp, (n − p)m = nm − pm.
Ch´u
.
ng minh: Theo d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
’
a ph´ep tr`u

.
ta c´o p +(n − p)=n. Do d¯´o
m[p +(n − p)] = mn. Theo t´ınh chˆa
´
t phˆan phˆo
´
icu
’
a ph´ep nhˆan d¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep
cˆo
.
ng, ta d¯u
.
o
.
.
c mp + m(n − p)=mn. Do d¯´o m(n − p)l`ahiˆe
.
ucu
’
a mn v`a mp,t´u
.
c
l`a m(n − p)=mn − mp.
D
-

˘a
’
ng th´u
.
cth´u
.
hai c´o t`u
.
t´ınh giao ho´an cu
’
a ph´ep nhˆan.
4.2. S
ˆ
O
´
NGUY
ˆ
EN.
Sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen ra d¯`o
.
i do nh˜u
.
ng yˆeu cˆa
`
ucu

’
a thu
.
.
ctiˆe
˜
nd¯`o
.
isˆo
´
ng v`a sa
’
n xuˆa
´
t.
Nhu
.
ng sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen khˆong d¯u
’
d¯´ap ´u
.
ng nh˜u
.
ng yˆeu cˆa
`

ucu
’
a x˜a hˆo
.
i lo`ai ngu
.
`o
.
i ng`ay
c`ang ph´at triˆe
’
n. Phˆan sˆo
´
(du
.
o
.
ng) d¯u
.
o
.
.
c con ngu
.
`o
.
ibiˆe
´
trˆa
´

ts´o
.
m do yˆeu cˆa
`
uvˆe
`
96
d¯o d¯a
.
c v`a phˆan chia. Trong mˆo
.
t di ca
’
o Ai Cˆa
.
p, c´o t`u
.
1550 n˘am tru
.
´o
.
c Cˆong
nguyˆen, d¯˜a thˆa
´
y c´o nh˜u
.
ng kha
’
oc´u
.

utı
’
mı
’
vˆe
`
phˆan sˆo
´
.
Sˆo
´
ˆam d¯u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p trong c´ac cˆong tr`ınh cu
’
a c´ac nh`a To´an ho
.
c
ˆ
A
´
nD
-

ˆo
.
v`ao
d¯ ˆa
`
u th`o
.
ik`y Trung cˆo
’
v`a chı
’
d¯ ˆe
´
nthˆe
´
ky
’
th´u
.
16 sau Cˆong nguyˆen ngu
.
`o
.
i ta m´o
.
i
hˆe
´
t nghi ng`o
.

vˆe
`
gi´a tri
.
thu
.
.
csu
.
.
cu
’
a n´o. D
-
iˆe
`
ud¯´och´u
.
ng to
’
sˆo
´
ˆam ra d¯`o
.
i khˆong
pha
’
i do yˆeu cˆa
`
ub´u

.
c b´ach cu
’
a cuˆo
.
csˆo
´
ng, m˘a
.
cd`ur˘a
`
ng nh˜u
.
ng ´y ngh˜ıa thu
.
.
ctiˆe
˜
n
cu
’
asˆo
´
ˆam l`a d¯iˆe
`
u khˆong phu
’
nhˆa
.
nd¯u

.
o
.
.
c. Khi minh hoa
.
cho sˆo
´
ˆam ta thu
.
`o
.
ng
nˆeu c´ac v´ı du
.
vˆe
`
nh˜u
.
ng d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng c´o hai chiˆe
`
u, nhu
.

: nhiˆe
.
td¯ˆo
.
trˆen 0
0
v`a du
.
´o
.
i
0
0
,d¯ˆo
.
cao v`a d¯ˆo
.
sˆau, chuyˆe
’
nd¯ˆo
.
ng vˆe
`
hai chiˆe
`
u ngu
.
o
.
.

c nhau, ... Tuy nhiˆen, trong
tˆa
´
tca
’
c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ ´o , t a d¯ ˆe
`
uc´othˆe
’
diˆe
˜
nd¯a
.
td¯u
.
o
.
.
cch´ınh x´ac m`a khˆong cˆa
`
n
d`ung d¯ˆe
´

nsˆo
´
ˆam. Ch˘a
’
ng ha
.
n, ngu
.
`o
.
i ta vˆa
˜
nd`ung song song hai thuˆa
.
tng˜u
.
: nhiˆe
.
t
d¯ ˆo
.
−10
0
v`a 10
0
du
.
´o
.
i0

0
,hayd¯ˆo
.
sˆau −1490m v`a 1490m du
.
´o
.
imu
.
.
cnu
.
´o
.
cbiˆe
’
n, ...
Li
.
ch su
.
’
d¯˜a ghi nhˆa
.
nr˘a
`
ng sˆo
´
ˆam d¯u
.

o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
n tru
.
´o
.
chˆe
´
t trong c´ac cˆong
tr`ınh to´an ho
.
c thuˆa
`
n tu´y, nhu
.
trong vˆa
´
n d¯ ˆe
`
gia
’
iphu
.

o
.
ng tr`ınh hay trong c´ac biˆe
’
u
th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
.V`ıvˆa
.
y, ta h˜ay t`ım hiˆe
’
u nguyˆen nhˆan to´an ho
.
ccu
’
asu
.
.
ra d¯`o
.
i c´ac sˆo
´
ˆam.
Ta biˆe
´
tr˘a

`
ng trong tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen, ph´ep tr`u
.
khˆong pha
’
i luˆon luˆon
thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c, hiˆe
.
u n − m chı
’

tˆo
`
nta
.
i khi n ≥ m.M˘a
.
t kh´ac, hiˆe
.
u n − m ch´ınh l`a
nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh m + x = n.Vˆa
.
yviˆe
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.

.
c ph´ep tr`u
.
c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
imˆo
.
th`ınh th´u
.
ctu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng kh´ac l`a su
.
.
c´o nghiˆe
.
mcu
’

aphu
.
o
.
ng
tr`ınh n´oi trˆen, v`a ta c´o kˆe
´
t luˆa
.
n sau: trong tˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen, phu
.
o
.
ng
tr`ınh m + x = n c´o nghiˆe
.
m khi v`a chı
’
khi n ≥ m v`a khi d¯´o nghiˆe
.

mcu
’
a n´o l`a
x = n − m.
T`u
.
d¯´o, xuˆa
´
thiˆe
.
nmˆo
.
t yˆeu cˆa
`
ul`amo
.
’
rˆo
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen d¯ˆe

’
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
m`a trong d¯´o ph´ep tr`u
.
luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd¯u
.
o
.
.
c, t´u
.
cl`a

phu
.
o
.
ng tr`ınh m + x = n luˆon luˆon c´o nghiˆe
.
m.
Nhu
.
vˆa
.
y, viˆe
.
c xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
nguyˆen d¯u
.
o
.
.
cd¯˘a
.

t ra nhu
.
mˆo
.
t yˆeu cˆa
`
u
nˆo
.
ita
.
icu
’
a to´an ho
.
c.
4.2.1. Xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
nguyˆen t`u
.
tˆa
.

pho
.
.
p c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen:
4.2.1.1. Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u: Sau d¯ˆay ta s˜e xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p Z c´ac sˆo
´
nguyˆen c`ung v´o
.
i
ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trˆen n´o t`u

.
tˆa
.
pho
.
.
p N c´ac sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen v´o
.
i hai ph´ep to´an
d¯˜a c´o trˆen N.V´o
.
i c´ach cˆa
´
uta
.
o n`ay, c´ac t´ınh chˆa
´
t quen thuˆo
.
ccu
’
a ph´ep cˆo
.
ng v`a
ph´ep nhˆan trˆen Z d¯ u

.
o
.
.
c suy t`u
.
c´ac t´ınh chˆa
´
t d¯˜a c´o trˆen N.
Yˆeu cˆa
`
umo
.
’
rˆo
.
ng N d¯ ˆe
’
d¯ u
.
o
.
.
ctˆa
.
pho
.
.
psˆo
´

, trong d¯´o ph´ep tr`u
.
luˆon thu
.
.
chiˆe
.
n
d¯ u
.
o
.
.
c, c˜ung c´o ngh˜ıa l`a ph´ep cˆo
.
ng c´o ph´ep to´an ngu
.
o
.
.
c, hay mo
.
isˆo
´
d¯ ˆe
`
u c´o sˆo
´
d¯ ˆo
´

i.
D
-
´o ch´ınh l`a b`ai to´an d¯ˆo
´
ix´u
.
ng ho´a trong d¯a
.
isˆo
´
.
Nhu
.
ta d¯˜a biˆe
´
t
Z = {... ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}
97
v`a v´o
.
i hai sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen m, n,tˆo
`
nta
.

i duy nhˆa
´
t x ∈ Z sao cho m + x = n,tak´y
hiˆe
.
u x = n − m. Bˆay gi`o
.
x´et ´anh xa
.
D : N × N −→ Z cho bo
.
’
i D(n, m)=n − m.
Khi d¯´o
D(n
1
,m
1
)=D(n
2
,m
2
) ⇔ n
1
+ m
2
= n
2
+ m
1

.
V´o
.
ich´u´yn`ay,tat`ım c´ach xˆay du
.
.
ng tˆa
.
pho
.
.
p Z.
4.2.1.2. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N × N, x´et quan hˆe
.
hai ngˆoi R:
∀(n
1
,m
1
), (n
2

,m
2
) ∈ N × N, (n
1
,m
1
) R (n
2
,m
2
) ⇔ n
1
+ m
2
= n
2
+ m
1
.
Khi d¯´o quan hˆe
.
R l`a mˆo
.
t quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng trˆen N × N.
Tˆa
.
pho
.
.
pthu
.
o
.
ng cu
’
a N×N theo quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng R nhu
.
trˆen, (N×N)/R,
d¯ u
.

o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aZ v`a mˆo
˜
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Z (ch´ınh l`a mˆo
˜
il´o
.
ptu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng theo
quan hˆe
.
R)go

.
il`amˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen.
X´et ´anh xa
.
D : N × N −→ Z x´ac d¯i
.
nh bo
.
’
i D(n, m)=
(n, m). D
-
ˆay l`a mˆo
.
t
to`an ´anh v`a thu
.
`o
.
ng go
.
i l`a ph´ep chiˆe
´
utu
.
.

nhiˆen.
4.2.2. Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan trˆen Z:
4.2.2.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa: Cho x = D(n, m),y= D(p, q) ∈ Z.
1) Ph´ep cˆo
.
ng: x + y = D(n + p, m + q).
2) Ph´ep nhˆan: xy = D(np + mq, nq + mp).
4.2.2.2. T´ınh chˆa
´
t:
1) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh trˆen Z.
2) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o
.

imo
.
i x, y ∈ Z,ta
c´o
x + y = y + x, xy = yx.
3) Ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe
´
tho
.
.
p, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z ∈ Z,ta
c´o
(x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz).
4) Z v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´o phˆa
`
ntu
.
’
khˆong v`a v´o
.

i ph´ep nhˆan c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ o
.
nvi
.
,
ngh˜ıa l`a tˆo
`
nta
.
i0

, 1

∈ Z sao cho v´o
.
imo
.
i x ∈ Z,tac´o
x +0

=0

+ x = x, x1

=1


x = x.
5) Mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Z d¯ ˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
d¯ ˆo
´
i, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x ∈ Z tˆo
`
nta
.
i
(−x) ∈ Z sao cho

x +(−x)=(−x)+x =0

.
6) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo
´
id¯ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng, ngh˜ıa l`a v´o
.
imo
.
i x,y,z ∈
Z,tac´o
x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx.
98