x3
f ( x)
x
3 là một nguyên hàm của x . Tính ∫ f '( x ).e dx
Câu 1. Cho
2 x
x
x
2 x
x
x
A. 3x e − 6 xe + 6e + C
B. x e − 6 xe + 6e + C
F ( x) =

2 x
x
x
2
x
x
C. 3 x e − 6 xe + e + C D. 3 x + 6 xe + 6e + C

Lời giải
Chọn A
Theo bài ra

f ( x)
f ( x)
⇔ x2 =
⇔ f ( x) = x3

x
x
2
⇒ f '( x ) = 3 x
F '( x) =

∫ f '( x).e dx = ∫ 3x .e dx
x

Do đó để tính

2

x

ta đặt

u = 3 x 2
 du = 6 xdx
⇒


x
x
 dv = e dx v = e

Ta được

∫ f '( x).e dx = ∫ 3x .e dx = 3x e − ∫ 6 xe
x


2

x

2 x

x

= 3 x 2e x − 6 xe x + 6e x + C

F ( x ) = x sin x

∫ f ′ ( x ) .2020 dx
x

f ( x ) .2020 x

Câu 2. Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó
sin
x
+
x
cos
x
−
x
sin

x
.ln
2020
+
C
sin
x
−
x
cos
x
−
x
sin x.ln 2020 + C .
A.
.
B.
C. x cos x + sin x − x sin x.ln 2020 + C .
D. cos x − x sin x.ln 2020 + C .
Lời giải
Chọn A

∫ f ′ ( x ) .2020 dx = F ′ ( x ) − ln 2020.F ( x ) + C = sin x + x cos x − x sin x.ln 2020 + C

bằng

x

Xét
Câu 3.


Cho

F ( x ) = ( x − 1) e

x

là một nguyên hàm của hàm số

.

Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) e .
2x

f ' ( x ) e2 x ?
A.

( 4 − 2 x ) e x + C.

.

B.

2− x x
e + C.
2

.


C.

( 2 − x ) e x + C.

.

Lời giải
Chọn C
x
F ' ( x ) = f ( x ) e 2 x ⇔ ( x − 1) e x  ' = f ( x ) e 2 x ⇔ x.e x = f ( x ) e 2 x ⇔ f ( x ) = x
e
1− x
⇒ f '( x) = x
e
Đặt
A = ∫ f ' ( x ) e 2 x dx = ∫ ( 1 − x ) e x dx

D.

( x − 2 ) e x + C.


Đặt

Câu 4.

u = 1 − x ⇒ du = dx
⇒ A = ex ( 2 − x) + C


x
x
dv
=
e
dx
⇒
v
=
e

Biết

F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e − x

.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = ( 2 x 2 − 5x + 2 ) e− x

trên ¡ .

f  F ( 0 ) 
.

Tính giá trị của biểu thức
−1
A. −e .


2
B. 20e .

C. 9e .
Lời giải

D. 3e .

Chọn C
Ta có
F ′ ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) ′ e − x + ( ax 2 + bx + c ) ( e − x ) ′ = ( 2ax + b ) e − x − ( ax 2 + bx + c ) e − x
F ′ ( x ) =  −ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e − x

F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e − x
f ( x ) = ( 2 x 2 − 5x + 2 ) e− x
Vì
là một nguyên hàm của hàm số
trên ¡ nên:
F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ⇔  − ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e − x = ( 2 x 2 − 5 x + 2 ) e − x , ∀x ∈ ¡

−a = 2
 a = −2


⇔  2 a − b = − 5 ⇔ b = 1
b − c = 2
c = −1




.

F ( x ) = ( −2 x + x − 1) e − x ⇒ F ( 0 ) = ( −2.02 + 0 − 1) e −0 = −1
2

Như vậy
Bởi vậy
Câu 5.

f  F ( 0 )  = f ( −1) = ( 2.12 + 5.1 + 2 ) e = 9e
.

Biết

F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e − x

.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = ( 2 x 2 − 5x + 2 ) e− x

trên ¡ .

f  F ( 0 ) 
.

Tính giá trị của biểu thức
−1
A. −e .


2
B. 20e .

C. 9e .
Lời giải

D. 3e .

Chọn C
Ta có
F ′ ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) ′ e − x + ( ax 2 + bx + c ) ( e− x ) ′ = ( 2ax + b ) e − x − ( ax 2 + bx + c ) e − x
F ′ ( x ) =  − ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e − x

F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e − x
f ( x ) = ( 2 x 2 − 5x + 2 ) e− x
Vì
là một nguyên hàm của hàm số
trên ¡ nên:
F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ⇔  − ax 2 + ( 2a − b ) x + b − c  e − x = ( 2 x 2 − 5 x + 2 ) e − x , ∀x ∈ ¡

−a = 2
a = −2


⇔  2a − b = −5 ⇔ b = 1
b − c = 2
 c = −1




.

F ( x ) = ( −2 x + x − 1) e − x ⇒ F ( 0 ) = ( −2.02 + 0 − 1) e −0 = −1
2

Như vậy

f  F ( 0 )  = f ( −1) = ( 2.1 + 5.1 + 2 ) e = 9e
.
2

Bởi vậy

.


Câu 6.

Cho

f ′ ( x ) ln x

A.

F ( x) =

f ( x)
1
2

2 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

.

1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
B.

ln x 1
+ +C
x2 x2
.

 ln x 1 
+ ÷+ C
x2 x2 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
D.

ln x
1

+ 2 +C
2
x
2x
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 
∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 

C.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

F′( x) =

f ( x)
 1 ′ f ( x )
⇔ 2 ÷ =
x
x
 2x 

f ( x)
1
1
1
′ f ( x )
⇔  x −2 ÷ =

⇔− 3 =
⇔ f ( x) = − 2 .
x
x
x
x
2

Tính

I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx


1

u = ln x
 du = dx
⇒
x

′
dv
=
f
x
dx
(
)

v = f ( x )


Đặt 

Ta được:

I = f ( x ) ln x − ∫

f ( x)
1
1
1
 ln x
dx = − 2 ln x − 2 + C = − 
+ 2
x
x
2x
2x
 x


÷+ C.


2
Câu 7. Cho cos x − 3 là một nguyên hàm của f '(cos x).sin x . Tính f (−7) biết f (0) = 2
A. 46.
B. - 47.
C. - 46.
D. 51.

Lời giải
Chọn B

∫ f '(cos x).sin xdx = − ∫ f '(cos x).d (cos x) = − f (cos x) + C

Đặt u = cos x .
2
2
Khi đó u − 3 = − f (u ) + C ⇔ f (u ) = −u + 3 + C
f (0) = 2 nên C = −1 . Suy ra f (u ) = −u 2 + 2 .

Vậy f (−7) = −47
5

Câu 8. Cho hàm số f liên tục trên ¡ . Nếu
bằng:
A. 5 .

∫ 2 f ( x)dx = 2
1

B. −6 .

3

và

∫ f ( x)dx = 7
1


5

thì

∫ f ( x)dx
3

D. −9 .

C. 9 .
Lời giải

Chọn B
5

Ta có

1

5

3

5

2

ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx = - ò f (x)dx + ò f (x)dx = - 7 + 2 = - 6
3


3

1

1

1

.

có giá trị


Câu 9.

Cho

f ′ ( x ) ln x

A.

F ( x) =

f ( x)
1
2
2 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

.


1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
B.

ln x 1
+ +C
x2 x2
.

 ln x 1 
+ ÷+ C
x2 x2 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
D.

ln x
1
+ 2 +C
2
x
2x

.

∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 
∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 

C.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

F′( x) =

f ( x)
 1 ′ f ( x )
⇔ 2 ÷ =
x
x
 2x 

f ( x)
1
1
1
′ f ( x )
⇔  x −2 ÷ =
⇔− 3 =
⇔ f ( x) = − 2 .
x
x

x
x
2

Tính

I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx


1

u = ln x
 du = dx
⇒
x

dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )

Đặt 

Ta được:

f ( x)
1
1
1
 ln x
dx = − 2 ln x − 2 + C = − 
+ 2
x

x
2x
2x
 x

I = f ( x ) ln x − ∫


÷+ C.


2x
2
Câu 10. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ . Biết cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e , họ tất

f ' ( x ) e2 x
cả các nguyên hàm của hàm số
là
2
2
A. sin 2 x − 2 cos x + C . B. sin 2 x + 2 cos x + C .
2
2
C. − sin 2 x + 2 cos x + C . D. − sin 2 x − 2 cos x + C .
Lời giải
Chọn D
2
f x e2 x
Vì cos x là một nguyên hàm của hàm số ( )
nên:

⇒ f ( x ) e 2 x = ( cos 2 x ) ' = −2 cos x.sin x = − sin 2 x
.
2x
I = ∫ f ' ( x ) e dx
Tính
.
2x
2x


u = e
du = 2e dx
⇒

dv = f ' ( x ) dx 


v = f ( x ) .
Đặt
⇒ I = f ( x ) .e 2 x − 2 ∫ f ( x ) e 2 x dx = − sin 2 x − 2 cos 2 x + C
.

Câu 11. Cho hàm số

F ( x)

rằng giá trị lớn nhất của
π 
F  ÷= 3 3 − 4
A.  6 

.

là một nguyên hàm của hàm số

F ( x)

trên khoảng

 2π
F
B.  3

( 0; π )

3

÷=
 2 .

là

f ( x) =

2 cos x − 1
sin 2 x trên khoảng ( 0; π ) . Biết

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

π 
F  ÷= − 3

C.  3 
.
Lời giải

 5π
F
D.  6


÷= 3 − 3

.


Chọn A
Ta có:

2 cos x − 1
cos x
1
dx = 2 ∫ 2 dx − ∫ 2 dx
2
sin x
sin x
sin x
d ( sin x )
1
2
= 2∫
− ∫ 2 dx = −

+ cot x + C
2
sin x
sin x
sin x
2 cos x − 1
f ( x) =
F ( x)
sin 2 x trên khoảng ( 0; π ) nên hàm số F ( x ) có
Do
là một nguyên hàm của hàm số
2
F ( x) = −
+ cot x + C
x ∈ ( 0; π )
sin x
công thức dạng
với mọi
.
2
F ( x) = −
+ cot x + C
( 0; π ) .
sin x
Xét hàm số
xác định và liên tục trên
2 cos x − 1
F '( x) = f ( x ) =
sin 2 x
2 cos x − 1

1
π
F '( x) = 0 ⇔
= 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
sin x
2
3
Xét
.
π
x=
0; π )
F '( x) = 0
(
3
Trên khoảng
, phương trình
có một nghiệm
Bảng biến thiên:

∫ f ( x ) dx = ∫

π 
max F ( x ) = F  ÷ = − 3 + C
( 0;π )
3

Theo đề bài ta có, − 3 + C = 3 ⇔ C = 2 3 .
2

F ( x) = −
+ cot x + 2 3
sin x
Do đó,
.
π 
F  ÷= 3 3 − 4
Khi đó,  6 
.
Cho
1

Câu 12.

A.

1+ x

) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) .e . Khi đó ∫ f ′ ( x ) .e dx bằng
2x
1+ x ) + C
+ ln ( x + 1 + x ) + C
1
+
x
.
B.
.

(


F ( x) = ln x + x 2 + 1

(

− ln x +

2

2

2

2

1

)

(

1
− ln x + 1 + x 2 + C
2
C. 1 + x
.

D.
Lời giải


Chọn A

∫ f ( x ) .e dx = F ′ ( x ) − F ( x ) + C =
x

Ta có:

F ( x ) = x.e x

Câu 13. Cho

∫ f ′ ( x ) .e

3x

dx

.

x

x

1
1+ x

2

(


1+ x

2

(

)

+ 2 ln x + 1 + x 2 + C

)

.

− ln x + 1 + x 2 + C

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) .e3 x

.
. Tìm nguyên hàm của hàm số


A.

e x ( 1 − x ) + C.

e x ( 1 + 2 x ) + C.


B.

C.

e x ( 1 − 2 x ) + C.

D.

e x ( 1 + x ) + C.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

F ′ ( x ) = e x + xe x = f ( x ) .e3 x

.

3x
3x
 u = e ⇒ du = 3.e .dx

I = ∫ f ′ ( x ) .e3 x dx
dv = f ′ ( x ) ⇒ v = f ( x )
Xét
. Đặt 
.

Ta có:


I = f ( x ) .e3 x − 3∫ f ′ ( x ) .e3 x dx = e x + xe x − 3x.e x + C = e x ( 1 − 2 x ) + C .

.

2
R \ { 0}
Câu 14. Cho f ( x) là hàm số liên tục trên
. Biết x − 3 x + 2 là một nguyên hàm của hàm số
xf ( x ) . Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) là:

A. 2x – 3lnx +
C.

C.

2 x – 3ln x + C.

.

B.

D..

x 2 – 3ln x + C.

2 x – 3ln x + 2020.
Lời giải

Chọn C
x 2 − 3 x + 2 là một nguyên hàm của hàm số xf ( x ) nên


( x 2 − 3 x + 2) ' = xf ( x) ⇔ 2 x − 3 = x. f ( x)
2x − 3
⇒ f ( x) =
x

∫ f ( x)dx = ∫
Khi đó
Câu 15. Cho
f '( x) ln x .

F ( x) = −

2x − 3
3
dx = ∫ (2 − )dx = 2 x − 3ln x + C
x
x
.
1
f ( x)
3
3x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

ln x
1
+ 5 +C
3
x
5x

.
ln x 1
f '( x) ln xdx = 3 + 3 + C
∫
x
3x
C.
.

∫ f '( x) ln xdx =
A.

ln x 1
−
+C
x3 5 x5
.
ln x 1
f '( x) ln xdx = − 3 + 3 + C
∫
x
3x
D.
.
Hướng dẫn giải

∫ f '( x) ln xdx =
B.

Chọn C

1 3x 2 1
f ( x)
1
F '( x) = . 6 = 4 =
⇒ f ( x) = 3
3 x
x
x
x .
Ta có:

1

u = ln x
 du = dx
⇔
x

dv
=
f
'(
x
)
dx


I = ∫ f '( x)ln x
v = f ( x ) .
Xét

. Đặt
f ( x)
ln x 1
I = ln x. f ( x ) − ∫
dx + C = 3 + 3 + C
x
x
3x
Ta có:
.
Câu 16. Cho hàm số

y = f ( x)

có đúng ba điểm cực trị là 0; 1; 2 và có đạo hàm liên tục trên R. Khi đó


(

y = f 4x − 4x2

hàm số
A. 5

) có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 3 .
Lời giải

B. 2


D. 4 .

Chọn C
 f 4x − 4x2  ' = 4x − 4x2 '. f ' 4x − 4x2 = 4( 1− 2x) . f ' 4x − 4x2 = 0

Ta có 
1

1

x = 2
x=


2
2


4
x
−
4
x
=
0
⇔
⇔  x = 0; x = 1

2
1

 4x − 4x = 1 
x =

2
2

 4x − 4x = 2
1
0; ;1.
y = f 4x − 4x2
Do đó hàm số
có ba điểm cực trị là 2

(

) (

(

Câu 17. Cho
f ′ ( x ) ln x

F ( x) =

) (

)

(


)

)

f ( x)
1
2
2 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
B.

ln x 1
+ +C
x2 x2
.

 ln x 1 
+ ÷+ C
x2 x2 
.


∫ f ′ ( x ) ln x dx =
D.

ln x
1
+ 2 +C
2
x
2x
.

A.

∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 

C.

∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 

Lời giải
Chọn A
Ta có:

F′( x) =

f ( x)
 1 ′ f ( x )
⇔ 2 ÷ =
x
x

 2x 

f ( x)
1
1
1
′ f ( x )
⇔  x −2 ÷ =
⇔− 3 =
⇔ f ( x) = − 2 .
x
x
x
x
2

Tính

I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx


1

u = ln x
 du = dx
⇒
x

dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )


Đặt 

Ta được:

I = f ( x ) ln x − ∫

Câu 18. Cho
f '( x) ln x .

F ( x) = −

∫ f '( x) ln xdx =
A.

f ( x)
1
1
1
 ln x
dx = − 2 ln x − 2 + C = − 
+ 2
x
x
2x
2x
 x


÷+ C.



1
f ( x)
3
3 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

ln x
1
+ 5 +C
3
x
5x
.

∫ f '( x) ln xdx =
B.

ln x
1
− 5 +C
3
x
5x
.


∫ f '( x) ln xdx =
C.

ln x

1
+ 3 +C
3
x
3x
.

∫ f '( x) ln xdx = −
D.

ln x
1
+ 3 +C
3
x
3x
.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

F′( x) =

f ( x)
 1 ′ f ( x )
⇔ − 3 ÷ =
x
x

 3x 

f ( x)
1
1
 1
′ f ( x )
⇔  − x −3 ÷ =
⇔ 4 =
⇔ f ( x) = 3 .
x
x
x
x
 3


I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx
Tính

1

u = ln x
 du = dx
⇒
x

′
dv
=

f
x
dx
(
)

v = f ( x )

Đặt 
Ta được:

f ( x)
1
1
ln x 1
dx = 3 ln x + 3 + C = 3 + 3 + C.
x
x
3x
x
3x

I = f ( x ) ln x − ∫
f ( x) =

Câu 19. Cho

x
cos 2 x trên


 π π
− ; ÷
 2 2  và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn

 π π
a ∈ − ; ÷
2
F ( 0) = 0
 2 2  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a + 3a .
. Biết
1
1
1
− ln10
− ln10
ln10
A. 2
.
B. 4
.
C. 2
.

D. ln10 .

Lời giải
Chọn C
Ta có:

F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f ( x ) = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx

x

∫ f ( x ) dx = ∫ cos
Ta lại có:
= x tan x + ∫

Lại có:

2

sin x
dx = xd ( tan x ) = x tan x − tan xdx = x tan x − ∫
dx
∫
∫
x
cos x

1
d ( cos x ) = x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C
cos x

F ( 0) = 0 ⇒ C = 0
F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x
, do đó:
.

⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a
Khi đó


f ( a) =

a
2
cos 2 a = a ( 1 + tan a ) = 10a

1
1 ⇔ cos a = 1
= 1 + tan 2 a
⇔ cos 2 a =
2
10 .
= 10
10
và cos a

F ( a ) − 10a + 3a
2

Vậy

Câu 20. Cho

= 10a 2 − 3a − ln

F ( x ) = 2 x sin x

1
− 10a 2 + 3a = 1 ln10
10

2
.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) .e x

f ′ ( x ) .e dx
. Khi đó ∫
bằng
x


A.

2 x ( sin x.ln 2 + cos x ) + C

2


2 x  sin x.ln + cos x ÷+ C
e

B. 
.
2


2 x  cos x.ln + sin x ÷+ C
e


D. 
.

.

2


2 x  sin x.ln − cos x ÷+ C
e

C. 
.

Lời giải
Chọn B

∫ f ′ ( x ) .e dx = F ′ ( x ) − F ( x ) + C = 2
x

Ta có:

x

2


 sin x.ln + cos x ÷+ C
e



.

x
f ( x ) e2 x
Câu 21. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ . Biết x e là một nguyên hàm của hàm số
, họ tất cả

nguyên hàm của hàm số

f ′ ( x ) e2 x

x
A. ( x + 3) e + C .

là
(3 + 2 x) x
e +C
4
B.
.

x
C. ( x − 1) e + C .
Lời giải

Chọn D
Ta có


∫ f ( x) e

2x

f ′( x) =

Lúc đó

dx = x e x + C ⇒ f ( x ) e 2 x = (1 + x) e x ⇒ f ( x) =

x
D. ( x + 1) e + C .

1+ x
ex .

e x + e x (1 + x) 2 + x
= x ⇒ f ′( x) e 2 x = (2 + x) e x
2x
e
e

f ′ ( x ) e 2 x dx = ∫ ( 2 + x ) e x dx
Tính ∫
u = 2 + x
du = dx
⇒

x
dv = e dx  v = e x

Đặt 
⇒ ∫ f ′ ( x ) e 2 x dx = (2 + x) e x − ∫ e x dx = (2 + x) e x − e x + C = ( x + 1) e x + C

.

F ( x)
Câu 22. Cho a là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
1

1
f ( x ) = e x  ln ( ax ) + ÷
F  ÷= 0
F ( 2020 ) = e2020
x  thỏa mãn  a 

và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 

 1

a ∈  0;
a ∈
;1÷
a ∈ [ 1;2020 )
a ∈ [ 2020; +∞ )
 2020  .
 2020  .
A.

B.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
1
ex

I = ∫ e x  ln ( ax ) + ÷dx = ∫ e x ln ( ax ) dx + ∫ dx
x
x

(1)
e ln ( ax ) dx
 Tính ∫
:
x

1


u = ln ( ax )
 du = dx
⇒
x

ex
x

x
x
⇒
e
ln
ax
d
x
=
e
ln
ax
−
d
v
=
e
d
x
(
)
(
)
x

v = e

∫
∫ x dx + C


Đặt

 Thay vào (1), ta được:
Ta có:

F ( x ) = e x ln ( ax ) + C

.


 1
 1a
F  ÷= 0

C = 0
 a
Û e .ln1 + C = 0
e
Û

2020
2020
2020
Þ a=
 F ( 2020 ) = e

e
ln
a
.2020

+
C
=
e
ln
a
.2020
=
1
(
)
(
)




2020 .

y = f ( x)
¡ \ {1;2}
f '( x ) = x − 1 + x − 2
Cho hàm số
xác định trên
và thỏa mãn
,
3
3
f ( 0 ) + f  ÷ = 1; f ( 4 ) = 2
f ( −1) + f ( 3) + f  ÷

2
 2  bằng
. Giá trị của biểu thức

Câu 23.

A. −4 .

B.

−

1
2.

C.
Lời giải

−

3
2.

D. −5 .

Chọn D

Ta có:

x>2

2 x − 3 khi

f '( x) = x −1 + x − 2 =  1
khi 1 < x < 2
3 − 2 x khi
x <1


Suy ra

 x 2 − 3x + c khi
x>2

f ( x) =  x + d
khi 1 < x < 2
3x − x 2 + e khi
x <1


3
f ( 0 ) + f  ÷ = 1; f ( 4 ) = 2
2
Từ giả thiết
ta có
æ3
ö
ïìï
ç +d÷
=1
æ3

ö
÷
ïí e +ç
÷
ç2
è
ø Þ c + e +ç
+d÷
÷
ç
÷= - 1
ç
ïï
è2
ø
ïïî c + 4 = 2
æö
æ
ö
3
3
Þ f (- 1) + f ç
+ f ( 3) = ( e - 4) + ç
+ c =- 1 - 4 =- 5
÷
÷
ç ÷
ç +d÷
÷
÷

ç
ç
è2 ø
è2
ø

y = f ( x)
¡ \ {1;2}
f '( x ) = x − 1 + x − 2
Cho hàm số
xác định trên
và thỏa mãn
,
3
3
f ( 0 ) + f  ÷ = 1; f ( 4 ) = 2
f ( −1) + f ( 3) + f  ÷
2
 2  bằng
. Giá trị của biểu thức

Câu 24.

A. −4 .

B.

−

1

2.

C.
Lời giải

Chọn D

Ta có:

x>2
2 x − 3 khi

f '( x) = x −1 + x − 2 =  1
khi 1 < x < 2
3 − 2 x khi
x <1


Suy ra

 x 2 − 3x + c khi
x>2

f ( x) =  x + d
khi 1 < x < 2
3x − x 2 + e khi
x <1


3

f ( 0 ) + f  ÷ = 1; f ( 4 ) = 2
2
Từ giả thiết
ta có

−

3
2.

D. −5 .


ìï
æ3
ö
ï e +ç
ç +d÷
=1
æ3
ö
÷
ïí
÷
ç
è2
ø Þ c + e +ç
+d÷
÷
ç

÷= - 1
ç2
ïï
è
ø
ïïî c + 4 = 2
æö
æ
ö
3÷
3
÷
ç
Þ f (- 1) + f ç
+
f
3
=
e
4
+
+
d
+ c =- 1 - 4 =- 5
(
)
(
)
÷
÷

ç
ç
÷
ç
ç2
è2 ÷
ø
è
ø

Câu 25. Cho

F ( x) = −

1
f ( x)
3
3x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

f '( x ) ln x .
ln x 1
+
+C
x 3 3x 3
.
ln x
1
f '( x )ln xdx = 3 + 3 + C
x
3x

.

∫ f '( x) ln xdx = −
A.
C.

∫

ln x 1
−
+C
x3 5 x5
.
ln x
1
f '( x) ln xdx = 3 + 5 + C
x
5x
.

∫ f '( x) ln xdx =
B.
D.
Lời giải

∫

Chọn C
1 3x 2 1
f ( x)

1
F '( x) = . 6 = 4 =
⇒ f ( x) = 3
3 x
x
x
x .
Ta có:
1

u = ln x
 du = dx
⇔
x

dv
=
f
'(
x
)
dx


I = ∫ f '( x)ln x
v = f ( x) .
Xét
. Đặt
f ( x)
ln x 1

I = ln x. f ( x) − ∫
dx + C = 3 + 3 + C
x
x
3x
Ta có:
.

Câu 26. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình
đúng bốn nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn
A. 3
B. 1

( sin x − 1) 2 cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m  = 0

[ 0; 2π ] ?
C. 2

D. 4

Lời giải
Chọn C

π
π
+ k 2π
x
=
0;
2

π
[
] là 2
2
Ta có:
, phương trình này có 1 nghiệm thuộc đoạn
2 cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1) ( cos x − m ) = 0
Lại có:
⇔ ( cos x − m ) ( 2 cos x − 1) = 0
sin x = 1 ⇔ x =

π
5π
;x =
3
3 trên đoạn [ 0; 2π ]
Xét PT: 2 cos x = 1 có 2 nghiệm
Để PT có đúng 4 nghiệm phân biệt khi:
π
π
5π
x = ;x = ;x =
2
3
3 khi đó m = −1 .
+) cos x = m có duy nhất 1 nghiệm khác
x=

+) cos x = m có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm trùng với 1 trong 3 nghiệm
Suy ra m = 0 . Kết hợp 2 trường hợp suy ra có 2 giá trị của m.


x=

π
π
5π
;x = ;x =
2
3
3 .

có


Câu 27. Cho hàm số

f ( x)

3
f ÷
của  2  bằng
1
A. 96 .

Chọn A
Ta có

f ′( x) +

có đạo hàm trên


¡ \ { 0}

1
B. 64 .

thỏa mãn

f ′( x) +

1
C. 48 .
Lời giải

f ( x)
= x2
f ( 1) = −1
x
và
. Giá trị

1
D. 24 .

f ( x)
x4
= x 2 ⇔ xf ′ ( x ) + f ( x ) = x 3 ⇔  xf ( x ) ′ = x 3 ⇒ xf ( x ) = ∫ x 3dx = + C
x
4
.


x4 − 5
3 1
5
f
x
=
⇒ f  ÷=
(
)
f ( 1) = −1 ⇒ C = −
4x
 2  96 .
4 . Khi đó
Câu 28. Cho hàm số

f ( x)

f ( x ) .e x
xác đinh trên ¡ . Biết rằng sin 2x là một nguyên hàm của
, họ tất cả
f ′ ( x ) .e x

các nguyên hàm của hàm số
A. I = 2 cos 2 x − sin 2 x + C .
C. I = −2 cos 2 x − sin 2 x + C .

là
B. I = −2 cos 2 x + sin 2 x + C .
D. I = 2 cos 2 x + sin 2 x + C .

Lời giải

Chọn A
Ta có

I = ∫ f ′ ( x ) .e x dx = ∫ e x df ( x ) = f ( x ) .e x − ∫ f ( x ) .e x dx

.

f ( x ) .e dx = sin 2 x + C ⇒ f ( x ) .e = ( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x
Lại có ∫
.
x

x

Vậy I = 2 cos 2 x − sin 2 x + C .
Câu 29. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Khi đó bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn B
Theo bài có
Ta có: .
Đặt
Nên: (*)
Do là một nguyên hàm của hàm số .
Nên có (2*)

Thay (2*) vào (*) ta có :

Câu 30. Cho hàm số
f ( x) e

f ( x)

liên tục trên ¡ . Biết

x

, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
x
x
x
A. 2 xe − 2e + C .
B. 2e + C .
2x
2
x
2
C. e + x + C .
D. 2e + x + C .

e x ( x 2 − 2 x + 3)

f '' ( x ) e

x


là

Lời giải
Chọn B

là một nguyên hàm của hàm số


(e ( x
Ta có:
x

)

− 2 x + 3) '=f ( x ) e x ⇔ e x ( x 2 + 1) =f ( x ) e x ⇔ f ( x ) = x 2 + 1

2

∫ f '' ( x ) e dx= ∫ 2e dx=2e +C .
x

Vậy

x

Câu 31. Cho hàm số

f ( x ) ex

e x ( x 2 − 2 x + 3)

liên tục trên ¡ . Biết
là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)

, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

A. 2 xe − 2e + C .

B. 2e + C .

C. e + x + C .

x
2
D. 2e + x + C .

x

x

2x

.

x

f '' ( x ) e x

là


x

2

Lời giải
Chọn B

(e ( x
Ta có:
x

)

− 2 x + 3) '=f ( x ) e x ⇔ e x ( x 2 + 1) =f ( x ) e x ⇔ f ( x ) = x 2 + 1

2

∫ f '' ( x ) e dx = ∫ 2e dx=2e
x

Vậy

Câu 32. Cho

1
A.

1+ x


2

x

(

x

+C

.

) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) .e . Khi đó ∫ f ′ ( x ) .e dx bằng
2x
1+ x ) + C
+ ln ( x + 1 + x ) + C
1+ x

F ( x) = ln x + x 2 + 1

(

− ln x +

x

2

.


1
D. 1 + x
Lời giải

Chọn A

∫ f ( x ) .e dx = F ′ ( x ) − F ( x ) + C =
x

2

B.

)

(

1
1+ x

2

2

)

(

)


(

− ln x + 1 + x 2 + C

Câu 33. Cho f ( x) liên tục và có đạo hàm xác định trên [e;e ] , cho

.
f (e) =

e2
2 và

f (x)
+ x ln x + ln x
2
x ln x
. Tính f (e ) ?

2
4
2
2
4
2
A. f (e ) = e + 2e − 2e . B. f (e ) = e + 2e + 2e .
2
4
2
2
4

2
C. f (e ) = e − 2e − 2e . D. f (e ) = e − 2e + 2e .

Lời giải
Chọn A
Ta có:

f ′(x) =

f (x)
f (x)
+ x ln x + ln x ⇔ f ′(x) −
= x ln x + ln x
x ln x
x ln x

1
⇔ f ′(x).ln x − . f (x) = xln2 x + ln2 x
x
1
f ′(x).ln x − ( ln x) ′ . f (x)
f ′(x).ln x − . f (x)
⇔
= x+ 1
x
2
⇔
= x+1
2
ln

x
( )
ln x

⇔ xf ′(x).ln x − f (x) = x2 ln2 x + xln2 x

 f (x) ′
f (x)
x2
⇔
= ∫ ( x + 1d
x
=
+ x+ C
÷ = x+ 1⇒
)
 ln x 
ln x
2

.

+ 2 ln x + 1 + x 2 + C

2

f ′(x) =

x


2

1
− ln x + 1 + x 2 + C
2
C. 1 + x
.

Ta có:

.

.


Mặt khác
Suy ra

f (e) =

f (x) =

e2
⇒ C = −e
2
.

x2 ln x
+ xln x − eln x
2

.

2
4
2
Vậy f (e ) = e + 2e − 2e .

f ( x)

Câu 34. Cho hàm số

f ( x ) .e x
xác đinh trên ¡ . Biết rằng tan x là một nguyên hàm của
, họ tất cả

f ′ ( x ) .e x
các nguyên hàm của hàm số
là
2
A. I = tan x − 1 − tan x + C .
2
C. I = tan x + 1 − tan x + C .

2
B. I = − tan x − 1 − tan x + C .
2
D. I = tan x + 1 + tan x + C .

Lời giải
Chọn A

I = ∫ f ′( x ) .e x dx = ∫ e x d f ( x ) = f ( x ) .e x − ∫ f ( x ) .e x dx
Ta có
.
f ( x ) .e x dx = tan x + C ⇒ f ( x ) .e x = ( tan x ) ′ = 1 + tan 2 x
∫
Lại có
.
2
Vậy I = tan x − 1 − tan x + C .
F ( x)
Câu 35. Cho a là số thực khác 0 ,
là một nguyên hàm của hàm số

1

f ( x ) = e x  ln ( ax ) + ÷
x  thỏa


1
F  ÷= 0
F ( 2018 ) = e 2018
a


mãn
và
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.


a ∈ [ 2018; + ∞ )

.

 1

a ∈
;1÷
 2018  .
B.

1 

a ∈  0;
÷
 2018  .
C.
Lời giải

Chọn B
1
1
1

F ( x ) = ∫ e x  ln ( ax ) + ÷dx = ∫ e x ln ( ax ) dx + ∫ e x . dx = M + ∫ e x . dx
x
x
x .

Xét

1

u = ln ( ax )
 du = dx
⇒
x

x
x
dv
=
e
d
x
x

v = e

M = ∫ e ln ( ax ) dx

Xét
. Đặt
1
M = ∫ e x ln ( ax ) dx = e x .ln ( ax ) − ∫ e x . dx ⇒ F ( x ) = e x ln ( ax ) + C
x
Khi đó
.
1
F  ÷= 0 ⇔ C = 0
F ( x ) = e x ln ( ax )

Vì  a 
suy ra
.
2018
2018
F ( 2018 ) = e ln ( 2018a ) = e
⇔ ln ( 2018a ) = 1
Lại có
⇔ 2018a = e ⇔ a =

 1

e
a ∈
;1÷
 2018 
2018 . Vậy
.

D.

a ∈ [ 1; 2018 )

.


F ( x)
Câu 36. Cho a là số thực khác 0 ,
là một nguyên hàm của hàm số


1

f ( x ) = e x  ln ( ax ) + ÷
x  thỏa


1
F  ÷= 0
F ( 2018 ) = e 2018
a


mãn
và
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

a ∈ [ 2018; + ∞ )

 1

a ∈
;1÷
 2018  .
B.

.

1 


a ∈  0;
÷
 2018  .
C.
Lời giải

D.

Chọn B
1
1
1

F ( x ) = ∫ e x  ln ( ax ) + ÷dx = ∫ e x ln ( ax ) dx + ∫ e x . dx = M + ∫ e x . dx
x
x
x .

Xét
1

u = ln ( ax )
 du = dx
⇒
x

x
x
dv
=

e
d
x
x

v = e

M = ∫ e ln ( ax ) dx

Xét
. Đặt
1
M = ∫ e x ln ( ax ) dx = e x .ln ( ax ) − ∫ e x . dx ⇒ F ( x ) = e x ln ( ax ) + C
x
Khi đó
.
1
F  ÷= 0 ⇔ C = 0
F ( x ) = e x ln ( ax )
a


Vì
suy ra
.
2018
2018
F ( 2018 ) = e ln ( 2018a ) = e
⇔ ln ( 2018a ) = 1
Lại có

⇔ 2018a = e ⇔ a =

Câu 37. Cho

A.
C.

 1

e
a ∈
;1÷
 2018 
2018 . Vậy
.

x3
F ( x) =
3

là một nguyên hàm của

3 x 2 e x − 6 xe x + 6e x + C
3 x 2 e x − 6 xe x + e x + C

f ( x)
x

. Tính


B.
D.

∫ f '( x).e dx
x

x 2 e x − 6 xe x + 6e x + C

3 x 2 + 6 xe x + 6e x + C
Lời giải

Chọn A
Theo bài ra
f ( x)
f ( x)
F '( x) =
⇔ x2 =
⇔ f ( x) = x 3
x
x
⇒ f '( x ) = 3 x 2
Do đó để tính
ta đặt
x
2 x
f
'(
x
).
e

dx
=
3
x
.
e
dx
u = 3 x 2
 du = 6 xdx
∫
∫
⇒


x
x
dv = e dx v = e
Ta được
x
2 x
2 x
x
∫ f '( x).e dx = ∫ 3x .e dx = 3x e − ∫ 6 xe
= 3 x 2e x − 6 xe x + 6e x + C
Câu 38.

A.

Hàm số


f ′ ( x ) = 2x

2

f ( x ) = 2x
+3 x +1

2

+ 3 x +1

có đạo hàm là

( 2 x + 3) ln 2 .

B.

f ′( x) =

2x + 3
2x

2

+3 x +1

.

a ∈ [ 1; 2018 )


.


C.

f ′ ( x ) = 2x

2

+3 x +1

( 2 x + 3)

.

D.
Lời giải

f ′( x) =

2x + 3
2

x 2 +3 x +1

ln 2 .

Chọn A

(2


x 2 +3 x +1

)′ = 2

Câu 39. Biết

f ( x)

(

)

′
. x 2 + 3 x + 1 .ln 2 = 2 x 2 +3 x +1. ( 2 x + 3) .ln 2

x 2 +3 x +1

là hàm số liên tục trên

R \ { 0}

và

F ( x) = −

.

1
3 x 3 là một nguyên hàm của hàm số


f ( x)
x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x ( x > 0 ) .

ln x
1
+ 3 +C
3
x
3x
.
ln x
1
f ′( x ) ln xdx = 3 + 3 + C
x
3x
.

∫ f ′( x) ln xdx = −
A.
C.

∫

ln x
1
− 5 +C
3
x
5x

.
ln x
1
f ′( x) ln xdx = 3 + 5 + C
x
5x
.

∫ f ′( x) ln xdx =
B.
D.
Lời giải

∫

Chọn C
1 3x 2 1
f ( x)
1
F ′( x) = . 6 = 4 =
⇒ f ( x) = 3
3 x
x
x
x .
Ta có:
1

u = ln x
du = dx

⇔
x

′
d
v
=
f
(
x
)
dx

v = f ( x)
I = ∫ f ′( x) ln xdx
Xét
. Đặt
.
f ( x)
ln x
1
I = ln x. f ( x) − ∫
dx + C = 3 + 3 + C
x
x
3x
Ta có:
.

Câu 40. Cho hàm số

Giá trị của

y = f ( x)

f ( 3) − f ( −1)

A. 1 .

xác định trên

¡ \ { 1}

thỏa mãn

f ′( x) =

1
x − 1 , f ( 0 ) = 2018 , f ( 2 ) = 2019 .

bằng
B. ln 4 .

C. ln 4037 .
Lời giải

Chọn A

Ta có

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫


ln ( x − 1) + C1 , khi x > 1
1
dx = ln x − 1 + C = 
.
x −1
ln ( 1 − x ) + C2 , khi x < 1

+ Xét trên

( −∞;1) , ta có f ( 0 ) = 2018 ⇒ C1 = 2018 .

+ Xét trên

( 1; +∞ ) , ta có f ( 2 ) = 2019 ⇒ C2

= 2019

.

ln ( x − 1) + 2019, khi x > 1
f ( x) = 
ln ( 1 − x ) + 2018, khi x < 1
Do đó,
Vậy

f ( 3) − f ( −1) = ( ln 2 + 2019 ) − ( ln 2 + 2018 ) = 1.

D. 0 .



Câu 41. Cho hàm số

f ( x)

f ′ ( x ) − f ( x ) = ( 2 x + 1) e x
có đạo hàm liên tục trên ¡ thoả mãn
và

f ( 0 ) = −2

f ( x) = 0
. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
có giá trị là
A. −2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. −1 .
Lời giải
Chọn D
Ta có

−x
f ′ ( x ) − f ( x ) = ( 2 x + 1) e x ⇔  f ′ ( x ) − f ( x )  .e = 2 x + 1

⇔ f ′ ( x ) .e− x + f ( x ) . ( e − x ) ′ = 2 x + 1 ⇔ ( f ( x ) .e − x ) ′ = 2 x + 1

⇒ f ( x ) .e − x = ∫ ( 2 x + 1) dx ⇒ f ( x ) .e − x = x 2 + x + C
Do


f ( 0 ) = −2

Khi đó

(1).

0
2
nên từ (1) ta có −2.e = 0 + 0 + C ⇒ C = −2 .

f ( x ) = ( x 2 + x − 2 ) .e x

.

x =1
⇔
f ( x ) = 0 ⇔ x + x − 2 .e = 0 ⇔ x + x − 2 = 0
 x = −2 .

(

2

)

x

2

Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình


f ( x) = 0

là 1 − 2 = −1 .


.
3
2
( a , b , c , d Ă , a 0 ) . Bit th ( C ) ca hm
= ax + bx + cx + d ,
y = f ( x)
y = f Â( x )
s
tip xỳc vi trc honh ti im cú honh dng. th
nh hỡnh v. Tớnh

Cõu 42. Cho hm s

y = f ( x)

din tớch S ca hỡnh phng to bi th

( C ) vi trc honh.

y

x
O


1

2

- 3

21
A. S = 4 .

25
B. S = 4 .

35
C. S = 4 .
Li gii

27
D. S = 4 .

Chn D
th y =
f(x) = ũ

f '( x)

f '( x)

i qua cỏc im (0; 0), (2; 0), (1; 3) nờn

f '( x ) dx


2
= 3x - 6 x .

3
2
= x - 3x + C .

x
Vỡ th (C) tip xỳc vi trc honh ti im cú honh 0 dng nờn
ộx = 0 ( KTM )
f '( x0 ) = 0, x0 > 0 3x02 - 6 x 0 = 0, x0 > 0 ờ 0
ờx0 = 2 (TM
ở
f ( 2) = 0 z 3 - 3.22 + C = 0 C = 4 ị f ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 4

Khi ú

2

ổx 4
ử
27
ữ
ị S = ũ f ( x ) dx = ũ( x - 3 x + 4) dx = ỗ
- x3 + 4 xữ
=
ỗ
ữ
ỗ

ữ
4
ố4
ứ- 1
- 1
- 1
2

2

3

2

Cõu 43. Bit F ( x) l mt nguyờn hm ca
x ( 0; 2020 )
thc
F ( x) = 1 .
A. 1010 .
B. 1009 .

f ( x) =

. ỏp ỏn

2

1 sin 3 x
F ữ=
2

sin x v 4 2 . Khi ú cú bao nhiờu s
C. 2020 .

Li gii
Chn A

Ta cú:

F ( x) =

1 sin 3 x
1

dx = 2 sin x ữdx = cot x +cosx +C
2
sin x
sin x


2
2
2

F ữ=
1 +
+C =
C =1
2
2
Do 4 2

Suy ra F ( x) = cot x + cos x +1

D.

D. 2018 .


cos x =0
 1

F ( x ) = 1 ⇔ − cot x + cos x = 0 ⇔ − cos x 
− 1÷= 0 ⇔ 
⇔ sin x = 1
sin
x
=1
sin
x



Khi đó:
⇔ x=

Do

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2
.


x ∈ ( 0; 2020π )

⇔−

nên

0<

π
+ k 2π < 2020π
2

1
4039
k∈¢
= 1009, 75 
→ k ∈ { 0;1; 2;...;1009}
4
4

Vậy có 1010 giá trị của k ⇒ có 1010 giá trị của x .
Câu 44. Cho

F ( x ) = 2 x sin x

2 ( sin x.ln 2 + cos x ) + C

là một nguyên hàm của hàm số

∫ f ′ ( x ) .e dx bằng
x

. Khi đó

2


2 x  sin x.ln + cos x ÷+ C
e

B. 
.
2


2 x  cos x.ln + sin x ÷+ C
e

D. 
.

x

A.

f ( x ) .e x

.

2


2 x  sin x.ln − cos x ÷+ C
e

C. 
.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

∫

2


f ′ ( x ) .e x dx = F ′ ( x ) − F ( x ) + C = 2 x  sin x.ln + cos x ÷+ C
e


.

x2 + a )
(
1 3
1

f ( x) =
F ( x ) = x + 2x −
3
x là một nguyên hàm của
x2
Câu 45. Cho biết
. Tìm nguyên hàm của
2

g ( x ) = x cos ax

.

A. x sin x − cos x + C .
C. x sin x + cos + C .

1
1
x sin 2 x − cos 2 x + C
4
B. 2
1
1
x sin 2 x + cos 2 x + C
4
D. 2
.

Lời giải
Chọn C

2
1 ( x + 1)
′
F ( x) = x + 2 + 2 =
x
x2
Ta có
.
2

2

Do

F ( x)

là một nguyên hàm của

∫ g ( x ) dx = ∫ x cos xdx

f ( x)

(x
=

2

+ a)
x2

2

nên a = 1 .


u = x
du = dx
⇒

Đặt dv = cos xdx v = sin x

∫ g ( x ) dx = ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C
Câu 46.

Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

( 0; +∞ ) . Biết ln 2x

f ' ( x ) ex
tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
1
1
− ln 2 x + C
− ln x + C
A. 2 x

.
B. x
.

là một nguyên hàm của hàm số

2
+ ln 2x + C
C. x
.
Lời giải

f ( x) ex

. Họ

1 1
− ln 2 x + C
D. x 2
.

Chọn B
Dùng

nguyên

hàm

⇒ ∫ f ′( x)e x dx = f ( x ) e x − ∫ f ( x ) e x dx =
=

phần:

Đặt

1
− (ln 2 x) ' dx
( ln 2 x ) ' = f ( x ) e x )
x ∫
, (vì

1
1
− ln 2 x + C = − ln x + C
x
x
. Chọn B

Câu 47. Cho
A.

từng

x
x


u = e
du = e dx
⇒




dv = f ' ( x ) dx 
v = f ( x ) .

F ( x ) = 2 x sin x

2 x ( sin x.ln 2 + cos x ) + C

f ′ ( x ) .e x dx
. Khi đó ∫
bằng
2


2 x  sin x.ln + cos x ÷+ C
e

B. 
.
2


2 x  cos x.ln + sin x ÷+ C
e

D. 
.
Lời giải

là một nguyên hàm của hàm số
.

2


2 x  sin x.ln − cos x ÷+ C
e

C. 
.

f ( x ) .e x

Chọn B

∫ f ′ ( x ) .e dx = F ′ ( x ) − F ( x ) + C = 2
x

Ta có:

x

2


 sin x.ln + cos x ÷+ C
e



.

f ( x)
x3
F
x
=
(
)
f ( x)
3 là một nguyên hàm của x , họ tất cả các
Câu 48. Cho hàm số
liên tục trên R . Biết

f' ( x ) .e x
nguyên hàm của hàm số
là:
2 x
x
x
2 x
x
x
A. 3x e − 6 xe + 6e + C .B. x e − 6 xe + 6e + C .
2 x
x
x
2
x

x
C. 3x e − 6 xe + e + C . D. 3 x + 6 xe + 6e + C .
Lời giải
Chọn A
f ( x)
f ( x)
F' ( x ) =
⇔ x2 =
⇔ f ( x ) = x3 ⇒ f' ( x ) = 3 x 2 .
x
x
Ta có:

∫ f' ( x ) .e x dx = ∫ 3 x 2 .e x dx
Do đó:
.
2
u = 3x
du = 6 xdx
⇒

x
x
dv = e dx v = e
Đặt 
.
2 x
2 x
∫ 3x .e dx = 3 x e − ∫ 6 xe x dx  = 3x 2e x − 6 xe x − e x + C = 3 x 2 e x − 6 xe x + 6e x + C.
Khi đó,

(

)


Câu 49. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

+
f ( 2x )
hàm của hàm số
trên tập ¡ là:
x+3
x+3
+C
+C
2
2 ( x2 + 4)
A.
.
B. x + 4
.

Chọn D

∫

f

x +1
x +1

Ta có:
Đặt

(

) dx = 2 (

x + 1 = t ta được:

Suy ra

∫

f ( 2 x ) dx =

Câu 50. Cho
f ′( x ) ln x

F ( x) =

x +1 + 3
x+5

2 ∫ f ( t ) dt =

C.
Lời giải

) +C ⇔ 2
2 ( t + 3)
t +4
2

∫

∫ (
f

f

(

x +1
x +1

) dx = 2 (

2x + 3
+C
4 ( x 2 + 1)

) (

x +1 d

+ C ⇒ ∫ f ( t ) dt =

)

x +1 + 3
x+5

.

x +1 =

D.

2

(

(

)

. Nguyên

2x + 3
+C
8 ( x 2 + 1)

x +1 + 3
2

) +C

) +C

x +1 + 4

.

t +3
+ C′
t2 + 4
.

 2x + 3
1
1  2x + 3
f
2
x
d
2
x
=
+
C
+C

(
)

(
)
1 ÷=
÷ 8x2 + 8
2∫
2  ( 2 x ) 2 + 4


1
f ( x)
2
2 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 

∫ f ′( x) ln xdx =
B.

ln x 1
+ 2 +C
x2
x

 ln x 1 
+ ÷+ C

x2 x2 

f ′( x ) ln xdx =
∫
D.

ln x
1
+ 2 +C
2
x
2x

A.

∫ f ′( x) ln xdx = − 

C.

∫ f ′( x) ln xdx = − 

Lời giải
1

∫ f '( x).lnx dx =∫ ln xdf (x) = f ( x).lnx − ∫ f ( x)d ln x = f ( x).lnx − ∫ f ( x) x dx (1)
1
f ( x)
2
2 x là một nguyên hàm của hàm số x nên
Lại có

f ( x)
1
−2 −1
= [ 2 ]' = 3 = 3
x
2x
2x
x
−1
⇔ f ( x) = 2 (2)
x
Thay (2) vào (1) ta được
F ( x) =

 ln x 1 
−1
−1 1
− ln x
−1
− ln x
1
= −  2 + 2 ÷+ C
.lnx
−
.
dx
=
−
dx
=

−
+
C
∫ x2 x
∫ x3
2x 
∫ f '( x).e dx = x 2
 x
x2
x2
2x2
Chọn A
2x

Câu 51. Cho

f ( x) =

x
cos 2 x trên

 π π
− ; ÷
 2 2  và F ( x ) là một nguyên hàm của x. f ' ( x ) thỏa mãn

π 
F ÷
F ( 0) = 0
. Tính  3  ?

π2 π 3
−
+ ln 2
3
A. 36
.

4π 2 π 3
−
− ln 2
3
B. 9
.

.


4π 2 π 3
−
+ ln 2
3
C. 9
.

π2 π 3
−
− ln 2
3
D. 36
.

Lời giải

Chọn C
x2
x
= xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx=
−∫
dx
2
cos x
cos 2 x

F ( x ) = ∫ x. f ' ( x ) dx= ∫ xd ( f ( x ) )
Ta có
x
∫ cos 2 xdx = ∫ xd ( tan x ) = x.tan x − ∫ tan xdx = x.tan x + ln ( cos x ) + C
x2
⇒ F ( x) =
− x tan x − ln ( cos x ) + C ⇒ F ( 0 ) = C = 0
cos 2 x
2
x2
3π
 π  4π
⇒ F ( x) =
−
x
tan
x
−

ln
cos
x
⇒
F
=
−
+ ln 2
(
)
 ÷
2
9
3
cos x
3

Câu 52. Cho hàm số
cả

f ( x)

f ( x ) e2 x
liên tục trên ¡ . Biết sin x là một nguyên hàm của hàm số
, họ tất

f ′ ( x ) e2 x
các nguyên hàm của hàm số
là
A. − sin 2 x + cos x + C .

B. 2sin x − cos x + C .
C. −2sin x + cos x + C .
D. − sin x + 2 cos x + C .
Lời giải
Chọn C
f ( x ) e2 x
sin
x
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
2x
⇒ f ( x ) e = (sin x )′

⇔ f ( x ) e2 x = cosx

∫ f ( x) e

Lại có:

2x

dx = sin x

du = f ′( x)dx
u = f ( x )

⇒

1 2x
2x

dv = e dx v = e

2
Đặt
1
1
⇒ sin x = ∫ f ( x ) e 2 x dx = f ( x ). e2 x − ∫ e 2 x . f ′( x )dx
2
2
1
1
= f ( x).e2 x − ∫ f ′( x).e 2 x dx
2
2
1
1
⇔ sin x = cosx − ∫ f ′( x).e 2 x dx + C
2
2
2x
⇔ ∫ f ′( x).e dx = −2sin x + cosx+C
Câu 53. Cho
f ′ ( x ) ln x
A.

F ( x) =

f ( x)
1
2

2 x là một nguyên hàm của hàm số x . Tìm nguyên hàm của hàm số

.
1 
 ln x
+ 2 ÷+ C
2
x
2x 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
B.

ln x 1
+ +C
x2 x2
.

 ln x 1 
+ ÷+ C
x2 x2 
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx =
D.

ln x
1
+ 2 +C

2
x
2x
.

∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 
∫ f ′ ( x ) ln x dx = − 

C.

Lời giải


Chọn A

Ta có:

F′( x) =

f ( x)
x

 1 ′ f ( x )
⇔ 2 ÷ =
x
 2x 

f ( x)
1
1

1
′ f ( x )
⇔  x −2 ÷ =
⇔− 3 =
⇔ f ( x) = − 2 .
x
x
x
x
2

Tính

I = ∫ f ′ ( x ) ln xdx


1

u = ln x
 du = dx
⇒
x

dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )

Đặt 

Ta được:

Câu 54. Cho hàm số

Tính

f ( x)
1
1
1 
 ln x
dx = − 2 ln x − 2 + C = − 
+ 2 ÷+ C .
x
x
2x
2x 
 x
.

I = f ( x ) ln x − ∫

f ( x)

xác định trên

¡ \ { 1}

thỏa mãn

f ′( x) =

1
x − 1 , f ( 0 ) = 2019 ,, f ( 2 ) = 2020 .

S = ( f ( 3) − 2019 ) ( f ( −1) − 2020 )

.
2
B. S = 1 + ln 2 .

A. S = 1 .

C. S = 2 ln 2 .

2
D. S = ln 2 .

Lời giải
Chọn D
ln ( x − 1) + C1 khi x > 1
1
=
f ( x) = ∫
dx
ln ( 1 − x ) + C2 khi x < 1 .
x − 1 = ln x − 1 + C 
Ta có
Lại có

f ( 0 ) = 2019 ⇒ ln ( 1 − 0 ) + C2 = 2019 ⇒ C2 = 2019

f ( 2 ) = 2020 ln ( 2 − 1) + C1 = 2020 ⇒ C1 = 2020

Do đó

.

.

S = ln ( 3 − 1) + 2020 − 2020  ln ( 1 − ( −1) ) + 2019 − 2019 
= ln 2 2 .

Câu 55. Cho hàm số

F ( x)

rằng giá trị lớn nhất của
π 
F  ÷= 3 3 − 4
A.  6 
.

Chọn A
Ta có:

là một nguyên hàm của hàm số

F ( x)

trên khoảng

 2π
F

B.  3

( 0; π )

3

÷=
 2 .

là

2 cos x − 1
sin 2 x trên khoảng ( 0; π ) . Biết

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

π 
F  ÷= − 3
C.  3 
.
Lời giải

2 cos x − 1
cos x
1
dx = 2 ∫ 2 dx − ∫ 2 dx
2
sin x
sin x
sin x

d ( sin x )
1
2
= 2∫
− ∫ 2 dx = −
+ cot x + C
2
sin x
sin x
sin x

∫ f ( x ) dx = ∫

f ( x) =

 5π
F
D.  6


÷= 3 − 3

.


Do

f ( x) =

F ( x)

2 cos x − 1
sin 2 x trên khoảng ( 0; π ) nên hàm số F ( x ) có

là một nguyên hàm của hàm số
2
F ( x) = −
+ cot x + C
x ∈ ( 0; π )
sin x
công thức dạng
với mọi
.
2
F ( x) = −
+ cot x + C
( 0; π ) .
sin x
Xét hàm số
xác định và liên tục trên
2 cos x − 1
F '( x) = f ( x ) =
sin 2 x
2 cos x − 1
1
π
F '( x) = 0 ⇔
= 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
sin x

2
3
Xét
.

( 0; π ) , phương trình
Trên khoảng

F '( x) = 0

có một nghiệm

x=

π
3

Bảng biến thiên:

π 
max F ( x ) = F  ÷ = − 3 + C
( 0;π )
3

Theo đề bài ta có, − 3 + C = 3 ⇔ C = 2 3 .
2
F ( x) = −
+ cot x + 2 3
sin x
Do đó,

.
π 
F  ÷= 3 3 − 4
Khi đó,  6 
.
Câu 56.

Cho hàm số

f ( x)

f ( x ) e− x
sin
3x
¡
liên tục trên . Biết
là một nguyên hàm của hàm số
. Họ tất

f ' ( x ) e− x
cả các nguyên hàm của hàm số
là?
1
cos 3x + sin 3x + C
A. 3
. B. 3sin 3 x + 3cos 3x + C .
1
3cos 3x − sin 3x + C
3
C. 3cos 3 x + sin 3 x + C . D.

.
Lời giải
Chọn C
I = ∫ f '( x).e − x
Tính
.
−x
u = e
du = −e − x dx
⇒

dv = f '( x)dx v = f ( x )
Đặt 
I = e − x . f ( x) + ∫ f ( x ).e − x d ( x )
= (sin 3x)'+ sin 3 x + C
= 3cos3 x + sin 3x + C
Câu 57. Cho hàm số

f ( x)

f ( x ) e− x
liên tục trên ¡ . Biết x sin x là một nguyên hàm của hàm số
. Họ tất

cả các nguyên hàm của hàm số

f ' ( x ) e− x

là

A.
C.

sin x + x ( cos x − sin x ) + C.

B.

sin x + x ( cos x + sin x ) + C.

− sin x + x ( cos x − sin x ) + C.

D.

sin x − x ( cos x − sin x ) + C.

Lời giải
Đáp án: B
−x
−x
Bằng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt u = e ; dv = f '( x) ⇒ du = −e dx; v = f ( x)

∫ f '( x)e

−x

dx

= e − x f ( x) + ∫ f ( x)e − x dx = e − x f ( x) + x sin x + C

= sin x + x cos x + x sin x + C = sin x + x(cos x + sin x) + C.

Câu 58. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
của

f ( x) + f ′ ( x) = e− x , ∀x ∈ ¡ và

f (0) = 2 . Tất cả các nguyên hàm

f ( x)e 2 x là

A.

( x − 2)e x + e x + C .

B.

( x + 2)e 2 x + e x + C .

C.

( x − 1)e x + C .

D.

( x + 1)e x + C .
Lời giải

Chọn D
Ta có

f ( x) + f ′ ( x) = e− x ⇔ f ( x)e x + f ′ ( x)e x = 1 ⇔ (
0
Vì f (0) = 2 ⇔ 2 ×e = C ⇔ C = 2 ⇒

Vậy

∫ f ( x )e

2x

f ( x)e x ) = 1 ⇔
′

f ( x)e x = x + C

f ( x)e 2 x = ( x + 2)e x .

( )

dx = ∫ ( x + 2)e x dx = ∫ ( x + 2)d e x = ( x + 2)e x − ∫ e x d( x + 2)

= ( x + 2)e x − ∫ e x dx

= ( x + 2)e x − e x + C = ( x + 1)e x + C .

Phân tích: Bài toán cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f ( x) và
công thức đạo hàm của tích

(u.v)′ = u′ ×v + u ×v′ với

u = f ( x) . Từ đó ta cần chọn hàm

Tổng quát: Cho hàm số y = f ( x) và y = g ( x) liên tục trên K , thỏa mãn
G( x)
(Chọn v = e
).
Ta có

f ′ ( x) đưa ta tới

D cho phù hợp

f ′ ( x) + g ( x) f ( x) = k ( x )

f ′ ( x) + g ( x) f ( x) = k ( x) ⇔ eG ( x ) f ′ ( x) + g ( x)e G ( x ) f ( x ) = k ( x )eG ( x ) .

⇔ ( e G ( x ) f ( x ) ) = k ( x )e G ( x ) ⇒ e
′

G(x)

f ( x ) = ∫ k ( x)eG ( x ) dx ⇔ f ( x) = e − G ( x ) ∫ k ( x )eG ( x ) dx

.

Với G ( x) là một nguyên hàm của g ( x ) .
Bản chất của bài toán là cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f ( x) và
quan tới công thức đạo hàm của tích
Cụ thể, với bài toán tổng quát:

(u.v)′ = u ′v + u.v′ với

u = f ( x ) . Khi đó ta cần chọn hàm

f ′ ( x) liên

D thích hợp.