TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 27

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích
(C1 ) : y  f ( x)
b

 Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : y  g ( x)
thì diện tích là S   f ( x)  g ( x) dx .
a
 x  a, x  b ( a  b )

(C1 ) : y  f ( x)
b

Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : Ox : y  0
thì diện tích là S   f ( x) dx .
a
 x  a, x  b ( a  b )


Selip   ab.
(E) :

x2 y 2

1

a 2 b2

 Hình thức đề thường hay cho
Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b (a  b)}
b
casio

  f ( x)  g ( x) dx  kết quả, so sánh với bốn đáp án.
a

Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x)}
xi
casio
Giải f ( x)  g ( x) tìm nghiệm x1 ,..., xi , với x1 nhỏ nhất, xi lớn nhất 
  f ( x)  g ( x) dx.
x1

Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho trên hình), chia từng
diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính.
Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y  f ( x), y  g ( x), y  h( x) ta nên vẽ hình.
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có
phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích
của  H bằng

A.

4  3
12


B.

4  3
6

C.

4  2 3  3
6

D.

5 3  2
3

Lời giải
Chọn B
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được
0  x  2 nên ta có x  1
1

1

2


2

3 3
3
4  x dx 
x   4  x2 dx 
  4  x2 dx
3
3 1
1
0

2

2

Ta có diện tích S   3x dx  
0

2

3x2  4  x2  x  1 với

1

Đặt: x  2 sin t  dx  2 cos tdt ; x  1  t 


6


; x  2  t 


2



S

3
 1
 2 4  3
 2  t  sin 2t  
3
6
 2

6

Câu 2.

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới
đây?

1

A.




x2  2 

1



x dx . B.

1



2



x dx .

2

1

1

C.

 x

 x2  2 


1



x dx . D.

1

 x

2

2



x dx .

1

Lời giải
Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:
1

x

2






 2   x dx 

1

Câu 3.

1

 



x  x 2  2 dx ( vì x   1;1   x  x 2  2 ).

1

(Sở Bắc Giang 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và
đường thẳng x  e là
e2  1
.
4
Lời giải
Phương trình hoành độ của đường cong y  x ln x và trục hoành là

A.

e2  1

.
2

B.

e2  1
.
2

C.

D.

e2  1
.
4

x  0
x  0


x ln x  0    x  0    x  0  x  1 .
 ln x  0
 x  1


Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e là
e

e


S   x ln x dx   x ln xdx .
1

1

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1

du  dx

u

ln
x
e 1e

x2
e2 x 2 e e2  1

x
Đặt 

.
Suy
ra
.

S

ln
x

x
d
x



2
1 2 1
2
2 4 1
4
dv  xdx
v  x

2
Câu 4.

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y  2 x  3 và các đường thẳng y  0, x  0, x  m bằng 10 là

7
A. m  .
2

B. m  5 .


C. m  2 .

D. m  1 .

Lời giải
Vì m  0 nên 2 x  3  0, x   0; m  .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  3 và các đường thẳng y  0, x  0, x  m
là:
m

m

S    2 x  3 .dx   x 2  3x   m 2  3m .
0

0

Theo giả thiết ta có:

m  2
S  10  m2  3m  10  m 2  3m  10  0  
 m  2  do m  0  .
 m  5
Câu 5.

7  4 x3 khi 0  x  1
(Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f  x   
. Tính diện tích hình phẳng


 4  x 2 khi x  1
giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x và các đường thẳng x  0, x  3, y  0 .
A.

16
.
3

B.

20
.
3

C. 10 .

D. 9 .

Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1

2

0


1

3

S   7  4 x 3 dx   4  x 2  dx    x 2  4 dx
2


3
1
x  2 x
7
8
 7 x  x 4 |  4 x  |    4 x|  6  4   3   8 10 .
0
1
2




3
3
3
3

3

Câu 6.


3

(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
cong y  x3 12x và y   x2 .
A. S 

937
12

B. S 

343
12

C. S 

793
4

D. S 

397
4

Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:
x  0
3
2

2
 x  12 x   x  x( x  x  12)  0   x  3 .
 x  4
4

⇒ Diện tích cần tìm là: S 



0

x 3  x 2  12 x dx 

3

0



 x

4
3

2



 x  12 x dx 


3


Câu 7.


0



4

x 3  x 2  12 x dx   x 3  x 2  12 x dx

3

0

0

4

 x4 x3

 x 4 x3

x  x  12 x dx     6 x 2      6 x 2 
 4 3
 3  4 3
0

3

2



99 160 937


.
4
3
12

(Việt Đức Hà Nội 2019) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  x  2 và
trục hoành. Diện tích của  H  bằng

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

y
2

y x

2

O


A.

7
.
3

B.

8
.
3

x

4

10
.
3
Lời giải

C.

D.

16
.
3

y  x

y  x  2


Xét các hình phẳng  H1  :  y  0
và  H 2  :  y  0
.
 x  2, x  4
 x  0, x  4


 H    H1  \  H 2 
Ta có 
.
 H    H 2    H1 
4

4

Do đó S  H   S  H1   S  H 2    xdx    x  2  dx 
0

2

4  x2
 4 16
2
10
x x    2x    2 
0  2
3

3
2 3

2

x  y
2
10

Cách khác: Ta có  H  :  x  y  2 . Suy ra S  H    y 2   y  2  dy  .
3
0
 y  0, y  2

Câu 8.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2  x  1 và y  x 4  x  1 là
2
4
.
D.
.
5
15
Lời giải
2
Phương trình hoành độ giao điểm của y  x  x  1 và y  x 4  x  1 là

A.


8
.
15

B.

7
.
15

C.

x  0

x  x 1  x  x 1  x  x  0   x  1 .
 x  1
2

2

4

4

1

Diện tích hình phẳng cần tìm là S 




0

x 2  x 4 dx 

1

0



 x

1
2

 x 4  dx 

1

Câu 9.

x
0

3

2




1

5

x
x 0
 x 4  dx    

 3 5  1

1

x 2  x 4 dx   x 2  x 4 dx
0

3

5

x
x 1
2 2
4
      .
0
3
5
15
15
15




(THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( H ) : y 
và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
A. S  ln 2  1 .
B. S  2ln 2  1 .

C. S  ln 2  1 .
Lời giải
Phương trình trục (Ox ) và (Oy ) lần lượt là y  0 và x  0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( H ) và trục Ox:
1

Ta có: S  
0

x 1
x 1

D. S  2ln 2  1 .

x 1
 0  x  1.
x 1

x 1
x 1
dx . Vì
 0, x   0;1 nên diện tích cần tìm là:

x 1
x 1
Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1

S  
0

Câu 10.

1
1
x 1
2 

dx    1 
 dx    x  2 ln x  1   2 ln 2  1 .
0
x 1
x 1
0

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ
sau:

A.


10
.
3

13
.
3
Lời giải

B. 4 .

C.

D.

11
.
3

Cách 1: Coi x là hàm số theo biến số y .

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

x  y 2 (với y  0 ); x  y  2; y  0 .
 y  1 (loai)
Ta có: y 2  y  2  y 2  y  2  0  
 y  2 (t / m)
2

2


Diện tích của hình phẳng cần tìm là S   y  2  y 2 dy    y  2  y 2  dy 
0

0

Cách 2:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y  x , y  x  2 :
 x  2
x  2
x  x2  
 x  4.
2   2
 x  5x  4  0
 x   x  2 
4

4

Diện tích của hình phẳng cần tìm là S   x dx    x  2  dx 
0

2

10
(đvdt)
3

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

10
(đvdt)
3


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 11.

(HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bới parabol y 
phương trình y  4 

x2
và đường cong có
12

x2
(tham khảo hình vẽ bên )
4

Diện tích hình phẳng  H  bằng:



2 4  3
A.



B.


3

Xét phương trình

4  3
6

4  3
3
Lời giải

C.

D.

4 3 
6

 x  12
x2
x2
x4
x2
x4 x2
 4

 4

 40  

12
4
144
4
144 4
 x   12

Diện tích hình phẳng  H  bằng:
S


12 
12 
x2 x2 
x2 x2 
x2
 4    dx 2   4    dx 2   4 
12 
0
0


4 12 
4 12 
4




12




2

12 x
dx
 dx  2 
0

12



x2 
 4   dx
0

4 

Đặt x  4sin t  dx  4cos xdx
12

Xét I1  

Đổi cận: x  0  t  0; x  12  t 





3

3

I1  8  cos 2 tdt  4  1  cos 2t  dt 
0

0

Xét I 2  

0

12


3

4
 3
3

x2
2 3
dx 
12
3




2 4  3
Vậy S  2 I1  2 I 2 



3

Câu 12. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích
của hình phẳng  A ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành lần lượt
là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân



1

3

 2 f  2 x  1  1dx bằng

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 27.
1

5

Vậy


1

1

3

 f  x  dx  S

Mà

C. 17.
Hướng dẫn giải

D. 21.

3

3 2 f  2 x  1  1dx  23 f  2 x  1 dx  x 3  5 f  x  dx  4

Ta có

Câu 13.

B. 25.



1


3

A

 S B   SC   S D   6  3  12  2  17

 2 f  2 x  1  1dx  21




Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  x  1 và nửa trên của đường tròn x 2  y 2  1 bằng?
A.



1
 .
4 2

B.

 1
2

.

C.




2
Lời giải

1 .

D.


4

1 .

 x  1 khi x  1
y  x 1  
.
1  x khi x  1
x 2  y 2  1  y   1  x 2 do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y  1  x 2 .

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 và nửa trên của đường tròn x 2  y 2  1 là phần
tô màu vàng như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng trên là:
1


1

1
1
 x2

1
S    1  x 2  1  x   dx   1  x 2 dx    x  1 dx  I1    x   I1  .


2
 2
0
0
0
0
1

Tính I1   1  x 2 dx .
0

  
Đặt x  sin t , t    ;  ; dx  cos t.dt .
 2 2
Đổi cận x  0  t  0 ; x  1  t 
1


2


.









2

2

2

2

1  cos 2t
dt
2
0

I1   1  x 2 dx   1  sin 2 t .cos t.dt   cos t cos t.dt   cos 2 t.dt  
0

0

0


0



 1
1  sin 2t  2 
 t 
  .Vậy S   .
4 2
2
2 0 4
Câu 14.

[Kim Liên - Hà Nội - 2018] Cho  H  là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn
bởi các đường có phương trình y 

11
14
.
D.
.
2
3
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x và y  x  2 là:  x  x  2  x  1 .
A.

11
.
6


B.

13
.
2

 x khi x  1
10
x  x2 , y  
. Diện tích của  H  bằng?
3
 x  2 khi x  1

C.

Diện tích hình phẳng cần tính là:
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1

3

 10

 10

S    x  x 2  x  dx    x  x 2  x  2  dx .

3
3


0
1
1

3

1

3

 13

7

 S    x  x 2  dx    x  x 2  2  dx
3
3


0
1
 13

7

 S    x  x 2  dx    x  x 2  2  dx

3
3


0
1
 13
x3 
 S   x2  
3
6

Câu 15.

1

3

7

x3
13
  x2   2 x   .
3
6
1 2
0

(THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2
Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi

Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần
gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?

A. S  4,8 .

B. S  3, 9 .

C. S  3,7 .

D. S  3, 4 .

Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
x2 y2
x2 y2

 1 và  E2  : 
1
4
1
1
4
Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình:
x2
1
4  1  x2  4  x  2 5
x2 
5
4
5


Hai Elip lần lượt có phương trình:  E1  :

2 5
5

Diện tích hình phẳng cần tìm: S   .22   .2.1  4


0

Câu 16.


x2
 2 1  x2  1

4



dx  3, 71



(THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số f  x   ax3  bx 2  c , các đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho
trong hình dưới đây.

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. S 

51
.
8

B. S 

52
.
8

C. S 

50
.
8

D. S 

53
.
8

Lời giải
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x   ax3  bx 2  c , các đường thẳng x  1 , x  2
và trục hoành được chia thành hai phần:

Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3  S1  3 .
 f  x   ax3  bx 2  c

Miền D2 gồm:  y  1
.
 x  1; x  2

Dễ thấy

C 

đi qua 3 điểm A  1;1 , B  0;3 , C  2;1 nên đồ thị

C 

có phương trình

1 3 3 2
x  x  3.
2
2
2
3
27
1

 S 2    x3  x 2  3  1dx 
.
2
2

8

1 
f  x 

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S  S1  S2 
Câu 17.

51
.
8

(Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6; 5 , có đồ thị gồm 2 đoạn
5

thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I    f  x   2  dx .
6

A. I  2  35 .

B. I  2  34 .
C. I  2  33 .
Lời giải

D. I  2  32 .

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


5

I    f  x   2  dx 
6

5

 g  x  dx với g  x   f  x   2 có đồ thị như hình vẽ.

6

Có I  S1  S 2  S3  S 4 trong đó:
S1 là diện tích hình thang vuông ABCD  S1 

 AB  CD  . AD  1  3 .4  8 ,
2

2

S 2 là diện tích hình chữ nhật CDEF  S 2  3.4  12 ,
S3 là diện tích hình tròn tâm I , bán kính R  2  S3 

S 4 là diện tích hình thang vuông EFGH  S4 

 .22
2

 2 ,


 EF  GH  .EH   5  3 .3  12 .
2

2

Suy ra I  8  12  2  12  2  32 .
Câu 18. Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong  C  có phương

1 2
x . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên
4
S
dưới. Tỉ số 1 bằng
S2
trình y 

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

3
A. .
2

1
B. 3 .
C. .
2
Lời giải
Ta có diện tích hình vuông OABC là 16 và bằng S1  S2 .

4

4

S
16  S2
1
x3
16
 1 

S2   x2dx 

S2
S2
4
12 0 3
0
Câu 19.

D. 2 .

16
3  2
16
3

16 

(Việt Đức Hà Nội 2019) Kí hiệu S  t  là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường


y  2 x  1 , y  0 , x  1 , x  t  t  1 . Tìm t để S  t   10 .
A. t  3 .

B. t  4 .
t

C. t  13 .
Lời giải

D. t  14 .

t

Cách 1. Ta có: S  t    2 x  1 dx    2 x  1 dx .
1

1

t

Suy ra S  t    x 2  x   t 2  t  2 .
1

t  3
Do đó S  t   10  t 2  t  2  10  t 2  t  12  0  
.
t  4  L 
Vậy t  3 .
Cách 2. Hình phẳng đã cho là hình thang có đáy nhỏ bằng y 1  3 , đáy lớn bằng y  t   2t  1 và

chiều cao bằng t  1 .
 3  2t  1 t  1  10  2t 2  2t  24  0  t  3
Ta có
t  4 . Vì t  1 nên t  3
2

Do đó chọn đáp án A.
Câu 20.

3
x và parabol y  x 2  a ( a là tham số thực dương).
2
Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì
(Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng y 

a thuộc khoảng nào dưới đây?




2
5

A.  0; 

1 9 

 2 16 

B.  ;


2 9 

 5 20 

C.  ;

 9 1
; 
 20 2 

D. 

Lời giải
Chọn C
Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Giải toán:

3
x  2 x 2  3 x  2a  0
2
a  0
a  0


Để phương trình có 2 nghiệm dương thì 

9 .


0
a


 16
2

Phương trình hoành độ giao điểm: x  a 

Gọi hai nghiệm đó là 0  x1  x2 thì x2 

3  9  16a
.
4

x2

Để S1  S2 khi và chỉ khi

3 
 2
x

a

x  dx  0


0 
2 

x2

Ta có:

x23
3 
3
 2
x

a

x
d
x

0

 ax2  x22  0

0 
2 
3
4
3

 3  9  16a 

2


4
3  9  16a 3  3  9  16a 



a
  
  0
3
4
4 
4


2 9 
.
 5 20 

Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả x  0, 421875 thuộc khoảng  ;
Câu 21.

3
1
x và parabol y  x 2  a , ( a là tham số thực dương).
4
2
Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S2


(Mã 102 - 2019) Cho đường thẳng y 

thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

 7 1
A.  ;  .
 32 4 

1 9 
B.  ;  .
 4 32 

 3 7 
C.  ;  .
 16 32 
Lời giải

 3
D.  0;  .
 16 

Chọn C
1 2 3
2
x  x  a  0  2x  3x  4a  0 .
2
4
3


 *
 x1  x2 
2
Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0  x1  x2 thỏa mãn 
.
 x1 x2  2a **


Ta có phương trình hoành độ giao điểm

x1

S1  S2  0  
0

x

2
1 2 3
1
3
x  x  a dx   x 2  x  a dx  0 
2
4
2
4
x1

x2



0

1 2 3
x  x  a dx  0
2
4

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021



1 3 3 2
x  x  ax
6
8

Từ *  x1 
(***)

a 

Câu 22.

x2

0 
0


2
2

x 3x
1 3 3 2
x2  x2  ax2  0  a    2
6
8
6
8

*** .

2 x 2 3x
x 2 3x
3
9
3

 x2 , thay vào **    x2  x2   2  2  2  2  0  x2 
2
8
3
4
3
4
2



27
 3 7 
. Vậy a   ;  .
128
 16 32 

(Mã 103 - 2019) Cho đường thẳng y  3 x và parabol 2 x 2  a ( a là tham số thực dương). Gọi S1
và S 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì

a thuộc khoảng nào dưới đây?

 9
A. 1;  .
 8

 9 
B.  ;1  .
 10 

4 9 
C.  ;  .
 5 10 
Lời giải

 4
D.  0;  .
 5

Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm 2 x 2  a  3 x  2 x 2  3 x  a  0 có hai nghiệm dương phân biệt

9

   9  8a  0
9

a 
 a

8 0a .
8
 2  0
 a  0
Ta được nghiệm của phương trình là x 
3 9  8 a
4

Ta có S1  S 2 

  2x

2

3 9  8 a
4



 a  3 x dx  

0


3 9  8 a
4



 2x

2



 
0

 2x

2



 a  3 x dx .

3  9 8 a
4



 a  3 x dx 


0

3 9  8 a
4

3  9  8a
.
4

3 9  8 a
4

 2x

2



 a  3 x dx  0

3  9 8 a
4

3
2

2 x 2  3x  a dx  0   x3  x 2  ax 
3
2






3

3  9  8a
0
4
0

2

 3  9  8a 
2  3  9  8a  2  3  9  8a 
 
  
  a 
  0
3
4
4
4
 3



Facebook Nguyễn Vương 15



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
2
 3  9  8a   2  3  9  8a  2  3  9  8a  
 
  
  
  a   0
4
4
4

  3 
 3
 

 3  9  8a
 0 (vn)

4


2
2  3  9  8a  2  3  9  8a 
 
  
  a  0
4
4
 3 
 3


2

2  3  9  8a  2  3  9  8a 
27
CASIO
 
a 
  
  a  0 
Shift Solve
3
4
4
32
 3

Câu 23.

(Mã 102 2018) Cho hai hàm số f  x   ax 2  bx 2  cx  2 và g  x   dx 2  ex  2 ( a , b , c , d ,
e   ). Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt là 2 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
37
37
13
A.
B.

C.
12
6
2
Lời giải
Chọn B

D.

9
2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f  x  và g  x  là

ax3  bx 2  cx  2  dx 2  3x  2  a 3   b  d  x 2   c  e  x  4  0.

*

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình * có ba nghiệm x  2 ;
x  1 ; x  1 . Ta được

ax3   b  d  x 2   c  e  x  4  k  x  2  x  1 x  1 .
Khi đó 4  2k  k  2 .
1

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

 2  x  2  x  1 x  1 dx 

2


Câu 24.

(Mã 101

2018)

Cho

hai

hàm

số

 a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị hàm số

37
.
6

f  x   ax 3  bx 2  cx 

1
2

và

g  x   dx 2  ex  1


y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ

lần lượt là 3 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích
bằng

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 5

B.

9
2

C. 8

D. 4

Lời giải
Chọn D
Cách 1:
3
1
 dx 2  ex  1 Û ax 3 + (b - d ) x 2 + (c - e) x - = 0 có 3
2
2
3
3



27a  9  b  d   3  c  e   2  0
b  d  2


3
1


 a 
nghiệm lần lượt là 3 ; 1 ; 1 nên suy ra  a   b  d    c  e    0
2
2


3
1


a   b  d    c  e   2  0
c  e  2



Xét phương trình ax 3  bx 2  cx 

1 3 3 2 1
3
x  x  x .

2
2
2
2
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

Vậy f  x   g  x  
1

S

1

  f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx

3

1

1

1

3
1
3
3
1
3
1

1
 S    x 3  x 2  x   dx    x3  x 2  x   dx  2  2  4 .
2
2
2
2
2
2
2
2
3 
1 

Cách 2:
Ta có: f  x   g  x   a  x  3 x  1 x  1 .
Suy ra a  x  3 x  1 x  1  ax 3   b  d  x 2   c  d  x 

3
2

3
1
Xét hệ số tự do suy ra: 3a    a  .
2
2
1
Do đó: f  x   g  x    x  3 x  1 x  1 .
2
Diện tích bằng:
1


1

S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx
3

1

1

S

1

1
1
 x  3 x  1 x  1 dx    x  3 x  1 x  1 dx  4 .

2 3
2 1
Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 25.

1
 a, b, c, d , e    .
2

Biết rằng đồ thị của hàm số y  f ( x ) và y  g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt

(Mã 103 2018) Cho hai hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  1 và g  x   dx 2  ex 

3; 1; 2 (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
253
125
253
A.
B.
C.
12
12
48
Lời giải
Chọn C

D.

125
48

Vì phương trình f ( x )  g ( x )  0 có 3 nghiệm 3; 1; 2 nên f  x   g  x   a  x  3 x  2  x  1 .
2

3
1
1

253
So sánh hệ số tự do ta được 6a    a  . Do đó S    x  3 x  1 x  2  dx 
.
2
4
4
48
3

Câu 26.

(Mã 104 2018) Cho hai hàm số

f  x   ax 3  bx 2  cx 

 a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị của hàm số

3
4

g  x   dx 2  ex 

và

3
,
4

y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có


hoành độ lần lượt là 2 ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có
diện tích bằng

A.

253
48

B.

125
24

125
48
Lời giải

C.

D.

253
24

Chọn A
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
3
3
3
ax 3  bx 2  cx   dx 2  ex   ax 3   b  d  x 2   c  e  x   0 .

4
4
2
3
Đặt h  x   ax 3   b  d  x 2   c  e  x 
2
3
Dựa vào đồ thị ta có h  x   ax 3   b  d  x 2   c  e  x  có ba nghiệm là x  2 ; x  1; x  3 .
2
3
Với x  2 ta có 8a  4  b  d   2  c  e    , 1 .
2
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

3
Với x  1 ta có a   b  d    c  e    ,
2

 2 .

3
Với x  3 ta có 27 a  9  b  d   3  c  e    ,  3 .
2
3
1


8a  4  b  d   2  c  e    2

a  4


3
1


 b  d   .
Từ 1 ,  2  và  3 ta có a   b  d    c  e   
2
2


3
5


27a  9  b  d   3  c  e    2
c  e   4


Hay ta có
3

S

1

 f  x   g  x  dx  
2


Câu 27.

2

3

1 3 1 2 5
3
1
1
5
3
63 4 253
x  x  x  dx   x 3  x 2  x  dx   
.
4
2
4
2
4
2
4
2
16 3
48
1

Cho parabol  P1  : y   x 2  2 x  3 cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng d : y  a


 0  a  4 . Xét parabol  P2 

đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y  a . Gọi S1 là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi  P1  và d .Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P2  và trục
hoành. Biết S1  S 2 , tính T  a 3  8a 2  48a .
A. T  99 .

B. T  64 .

C. T  32 .

D. T  72 .

Lời giải
Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị.

a
Khi đó, phương trình các parabol mới là  P1  : y   x 2  4 ,  P2  : y   x 2  a .
4
Gọi A, B là các giao điểm của  P1  và trục Ox  A  2;0  , B  2;0   AB  4 .



 

Gọi A, B là giao điểm của  P1  và đường thẳng d  M  4  a ; a , N
4

Ta có S1  2 

a



4  a; a .

4

3
4
4

4  y .dy     4  y  2    4  a  4  a
3
a 3

2

2

 ax3

8a
 a

.
S 2  2    x 2  a  .dx  2  
 ax  
4


 12
0 3
a
Theo giả thiết S1  S 2 

4
8a
3
 4  a  4  a    4  a   4a 2  a 3  8a 2  48a  64
3
3

Vậy T  64 .
Câu 28.

(Tỉnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f ( x ); y  f '( x ) có diện tích bằng
A.

127
.
40

B.


127
.
10

107
.
5
Lời giải

C.

D.

13
.
5

Hàm số đã cho có dạng f ( x)  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  f '( x )  4ax 3  3bx 2  2cx  d .
Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; 0) , ( 1;1) , (0;1) ,
(1; 0) và có hai điểm cực tiểu là (1; 0) , ( 2; 0) nên ta có hệ

e  1

e
 1
 f (0)  1

a  1
 f (2)  0


4
abcd
 1 



1
.
 f (1)  0   16a  8b  4c  2d  1   b 
2
 f '(2)  0
 32a  12b  4c  d  0




3
 0
c  4
 f '(1)  0
 4a  3b  2c  d

 d  1
1
1
3
3
3
Do đó f ( x )  x 4  x 3  x 2  x  1  f '( x )  x 3  x 2  x  1.

4
2
4
2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm f ( x )  f '( x ).
x
x
1
1
9
1
 x 4  x3  x 2  x  2  0  
x
4
2
4
2

x






2
1
.
1

4
4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f ( x ); y  f '( x ) là S 



f ( x )  f ( x ) dx

2

1 4 1 3 9 2 1
x  x  x  x  2 không đổi đấu trên các khoảng
4
2
4
2
( 2; 1) , ( 1;1) , (1;4) nên ta có

Vì biểu thức f ( x )  f ( x ) 

S

Câu 29.

107
  f ( x)  f '( x)  dx    f ( x)  f '( x)  dx    f ( x )  f '( x)  dx  5 (dvdt ).
1

1


2

1

4

1

(THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

my  x 2 , mx  y 2  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 .
A. m  1

B. m  2

C. m  3
Lời giải

D. m  4

Chọn C
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 my  x 2
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình: 
2
 mx  y


1
 2

2

 x2 
x  0
Thế (1) vào (2) ta được: mx     m3 x  x 4  0  
x  m  0
m
Vì y 

x2
y0
 0 nên mx  y 2 
 y  mx
m
m

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S   mx 
0

m

x2
x2 
dx    mx   dx
m
m

0

m

 2 m 32 x3 
1 2 1 2
 
.x 
  m  m
3m 
3
3
 3
0
1
m 0
Yêu cầu bài toán S  3  m 2  3  m 2  9 
m  3
3

Câu 30.

(THPT Cẩm Giàng 2 -2019) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 ,
x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng x  k

 0  k  ln 4 

chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và

S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  2 S 2 .


4
A. k  ln 2 .
3

8
B. k  ln .
3

C. k  ln 2 .

D. k  ln 3 .

Lời giải
Diện tích hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 là
ln 4

S

x

 e dx  e

x ln 4
0

 eln 4  e0  4  1  3 (đvdt).

0


1
3
2 S 2.3
Ta có S  S1  S 2  S1  S1  S1 . Suy ra S1 

 2 (đvdt).
2
2
3
3
Vì S1 là phần diện tích được giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  k nên
k

k

2  S1   e x dx  e x  ek  e0  ek  1 .
0

0

k

Do đó e  3  k  ln 3 .
Câu 31. Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  và y  g  x  .
Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là

Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

3;  1; 2. Diện tích của hình phẳng  H  ( phần gạch sọc trên hình vẽ bên ) gần nhất với kết quả

nào dưới đây?

A. 3,11

B. 2,45

C. 3, 21
Lời giải

D. 2,95

Chọn A





f  x   g  x   a  x  3 x  1 x  2    ax  3a  x 2  x  2  ax3  ax 2  2ax  3ax2  3ax  6a
3

2

 ax  2ax  5ax  6a

3 3 9
f  0   g  0   6a , quan sát hình vẽ ta có f  0   g  0     
5 2 10
2


Nên 6a 
Câu 32.

2

3
253
9
3
S   f  x   g  x  dx  
a
 x  3 x  1 x  2  dx   3.1625
20
80
10
20
3
3

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho parabol  P  : y  x 2 và hai điểm A, B thuộc  P  sao
cho AB  2 . Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng AB là
A.

3
.
4

B.


3
.
2

C.

2
.
3

D.

4
.
3

Lời giải
Gọi phương trình đường thẳng AB là: y  ax  b  a, b   
Phương trình giao điểm của AB và  P  là: x 2  ax  b  0
 A  x1 ; ax1  b 

 B  x2 ; ax2  b 
2
Để có 2 điểm A, B thì a  4b  0 . khi đó: 
 x1  x2  a
 x x  b
 1 2
Nên AB  2 

a


2

 1 x2  x1  2
2

Giả sử x2  x1 ta có x2  x1 
Mặt khác: x2  x1 

 x2  x1 

x2

Khi đó S   ax  b  x 2 dx 
x1

 a2  1
2

2

 4 x1 x2  a 2  4b

a 2
1
x2  x12   b  x2  x1    x23  x13 

2
3


1
a

  x2  x1    x2  x1   b   x22  x1 x2  x12  
2
3


3

 a 2 2b  a 2  4b
x  x  8 4
1 2
a


x

x
  x2  x1   .a  b   a  b    2 1     
 x2  x1   2 1   .
3
3
6
6
6 3
2

b
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

x  x  0
a  0
4
 1 2
(thỏa mãn vì  P  có tính đối xứng)
 khi 
3
 x2  x1  2
 x1  x2  1

Suy ra: Smax

 A 1;1
 A  1;1

hoặc 
.
 B  1;1
 B 1;1
Câu 33.

(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho Parabol

 P  : y  x2  1

và đường thẳng


d : y  mx  2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 P

và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào?

1
A. ( 2;  ) .
2

B. (0;1).

C. (1;

1
).
2

1
D. ( ;3) .
2

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ của  P  và d là x 2  mx  1  0 1 .
Dễ thấy 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi a, b  a  b  là các nghiệm của 1 thì diện tích hình
phẳng giới hạn bởi  P  và d là
b

b

2

S   x  mx  1 dx 
a




a

b

 x3 mx 2

x  mx  1 dx   
x
2
 3
a



2

b3  a3 m(b 2  a 2 )
b 2  ab  a 2 m(b a)

 (b a)  b  a .

1

3
2
3
2
=

 b a 

2

 b a 
 4ab .

2

3

 ab



m  b a 
2

1

 m2 2  4
  .
Mà a  b  m, ab  1 nên S  m2  4. 
 6 3 3

4
Do đó min S  khi m  0 .
3
Câu 34.

(THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn

 5;3 . Biết

rằng diện tích hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  và đường

parabol y  g  x   ax 2  bx  c lần lượt là m, n, p .

Facebook Nguyễn Vương 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

3

Tích phân  f  x  dx bằng
5

A. m  n  p 

208
.
45

208

45

B. m  n  p 

C. m  n  p 

208
.
45

D. m  n  p 

208
.
45

Lời giải
Chọn B
2

S1 
S2 
S3 

2

2

2


2

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx  S   g  x  dx .
1

5

5

5

5

0

0

0

0

5
0

  g  x   f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  S
2

2

2


2

3

3

2

2

.

2

3

3

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx  S1   g  x  dx .
5

0

3

Do vậy:

0


0

0

3

 f x dx  S

1

 S 2  S 3   g  x dx.

5

5
3

Từ đồ thị ta thấy

 g x dx

là số dương. Mà 4 đáp án chỉ có B là phù hợp, nên ta chọn B.

5
3

Chú ý: Có thể tính

 g x dx


như sau:

5

Từ đồ thị hàm số y  g  x  ta thấy nó đi qua các điểm  5;2  ,  2;0  ,  0;0  nên ta có:
 25a  5b  c  2
2
4

 4a  2b  c  0  a  , b  , c  0. Do đó:
15
15
c  0


3

3

208
2 2 4 
5 g  x  dx  5  15 x  15 x  dx  45 .

Câu 35. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần

2

 A ,  B 

lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân  cos x . f  5sin x  1 dx bằng

0

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 

4
5

4
5
Lời giải

B. 2

C.

D. 2

Chọn A
1

Theo giả thiết ta có



4


f  x  dx  3 và

1



4

f  x  dx  7 suy ra

1

 f  x  dx  4 .

1

Đặt t  5sin x  1  dt  5 cos x dx .

2

4

Khi đó  cos x . f  5sin x  1 dx 
0

Câu 36.

4

1

1
4
f  t  dt   f  x  d x   .

5 1
5 1
5

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2.

0

Giá trị của I 

 f 3x  1 dx bằng

1

A. 3.

B.

13
.
3

C. 9.

D. 13.


Lời giải
Chọn A
0

+) Xét I 

 f  3x  1 dx , đặt  3x  1  t  dt  3dx  dx 

1

dt
3

 x  1  t  2
+) Đổi cận 
x  0  t  1
1
0
1
 1
1
1
1
 I   f  t  dt=   f  t  dt +  f  t  dt    S A  S B   11  2   3
3 2
3  2
3
0
 3


Câu 37.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị  C  của
hàm đa thức bậc ba và parabol
Facebook Nguyễn Vương 25