Phương trình - bất phương trình tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.69 KB, 11 trang )
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 120
Vấn đề 11: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
Để giải phương trình, bất phương trình tích phân thông thường trước tiên ta cần đi
xác đònh tích phân trong phương trình, bất phương trình đó, sau đó sẽ thu được một
phương trình, bất phương trình đại số quen thuộc.
BÀI TẬP
Bài 36. Giải và biện luận phương trình sau với ẩn x:
x
0
2(mtm2)dt3m-+=-
ò
ĐS: · m > 4 : vô nghiệm
· m = 4 :
12
1
xx
2
==
· m = 0 :
3
x
4
=
·
1,2
m24m
0m4:x
m
-±-
¹<=
Bài 37. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
1
11
(t)dtm
t2
-=-
ò
ĐS: ·
1
m
2
< : vô nghiệm
·
1
m
2
= : x = 1
·
1
m
2
> : 2 nghiệm
Bài 38. Cho
x
2t2t
0
I(x)(ee)dt.
-
=+
ò
a/ Tính I(x) khi x = ln2
b/ Giải và biện luận phương trình: I(x) = m.
ĐS: a/
15
;
8
b/
2
xlnm1m,m=++"
Bài 39. Giải các phương trình sau với ẩn x (x > 0) :
a/
x
1
e
1lnt
dt18;
t
+
=
ò
b/
x
2
2
dt
;
2
tt1
p
=
-
ò
c/
x
t
0
e1.dt2;
2
p
-=-
ò
d/
2
x
t1xx
0
1
(2.ln22t2)dt2.
2
--
-+=+
ò
e/
x
t1
7
0
7.ln7dt6log(6x5),vớix1.
-
=-³
ò
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 121
f/
x
2
22
3
2
tdt
62x(121x)
1t.11t
=-+-
-+-
ò
ĐS: a/
57
xe;xe;
-
== b/ x2;= c/ x = ln2;
d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/
1
x.
2
=
Bài 40. Tìm m để phương trình:
x
32
1
x[3t4(6m1)t3(2m1)]dt1++---=
ò
có 3 nghiệm phân biệt có tổng bình phương bằng 27.
ĐS: m = 1.
Bài 41. Giải các phương trình sau:
a/
x
4
0
3
(4sint)dt0;
2
-=
ò
b/
x
2
0
cos(tx)dtsinx;-=
ò
c/
x
23
0
dt
tgxvớix[0;1).
(1t)
=Ỵ
-
ò
ĐS: a/ xK,KZ;
2
p
=Ỵ
b/
xK
xl2l0,1,2,...
11m8
x,m0,1,2...
2
=p
é
ê
=±p=
ê
ê
±+p
ê
==
ë
c/ x = 0.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 122
Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI
1. Nhận xét:
Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n Ỵ N), khi đó
người ta thường ký hiệu I
n
để chỉ tích phân phải tính.
1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn
I
n
theo các I
n+K
, ở đây 1 £ K £ n.
2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trò
0
n
I cụ thể nào
đó.
2. Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
/2
n
n
0
Isinx.dx(nN)
p
=Ỵ
ò
· Đặt:
n1n2
usinxdu(n1)).sinx.dx
--
=Þ=-
dvsinx.dxvcosx.=Þ=-
-p
-
é
Þ=-+--
ë
n1/2
n012n
Isinx.cosx](n1).(II)
Dạng 2:
/2
n
n
0
Icosx.dx(nN)
p
=Ỵ
ò
· Đặt:
n1n2
ucosxdu(n1).cosx.dx
--
=Þ=--
dvcosx.dxvsinx.=Þ=
n1/2
n0n2n
Icosx.sinx](n1).(II)
-p
-
é
Þ=+--
ë
Dạng 3:
/4
n
n
0
Itgx.dx.
p
=
ò
· Phân tích:
+
ỉư
==-=+-
ç÷
èø
n2n2nn2
2
1
tgxtgx.tgxtgx.1tgx(1tgx1)
cosx
Suy ra:
n2n
1
II
n1
+
+=
+
(không dùng tích phân từng phần)
Dạng 4:
/2/2
nn
nn
00
Ix.cosx.dxvàJx.sinx.dx.
pp
==
òò
· Đặt:
nn1
uxdun.x.dx.
-
=Þ=
dvcosx.dxvsinx=Þ=
2
nn
InJ1(1)
2
p
ỉư
Þ=--
ç÷
èø
· Tương tự:
nn1
J0nI(2)
-
=+
· Từ (1) và (2)
n
nn2
In(n1)I.
2
-
p
ỉư
Þ+-=
ç÷
èø
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 123
Dạng 5:
1
nx
n
0
Ix.e.dx=
ò
· Đặt:
nn1
uxdunx.dx
-
=Þ=
xx
dve.dxve.=Þ=
nx1
n0n1
I[x.e]nI
-
=-
Dạng 6:
11
n
nx
nn
x
00
x
IdxhayIx.e.dx
e
-
==
òò
· Đặt:
nn1
uxdunx.dx
-
=Þ=
xx
dve.dxve.
--
=Þ=-
xx1
n0n1
I[x.e]nI
-
-
Þ=-+
Dạng 7:
e
n*
n
1
Ilnx.dx(nZ)=Ỵ
ò
· Đặt:
nn1
1
ulnxdun.lnx,dx
x
-
=Þ=
dvdxvx.=Þ=
ne
n1n1nn1
I[x.lnx]n.IIenI.
--
Þ=-Û=-
BÀI TẬP
Bài 42. Cho
n
n
Isinx.dx=
ò
và
n
n
Jcosx.dx=
ò
, với nN,n2.Ỵ³
Chứng minh các công thức truy hồi sau:
n1
nn2
1n1
Isinx.cosxI.
nn
-
-
-
=-+
n1
nn2
1n1
Jsinx.cosxJ.
nn
-
-
-
=+
Áp dụng ta tính I
3
và J
4
.
ĐS: ·
2
3
12
Isinx.cosxcosxC.
33
=--+
·
3
4
133
Jsinx.cosxxsin2xC.
4816
=+++
Bài 43. Cho
n
n
Ix.sinx.dx=
ò
và
n
n
Jx.cosx.dx=
ò
, với nN,n2.Ỵ³
Chứng minh rằng:
nn1
nn2.
Ix.cosxnx.sinxn(n1).I
-
-
=-=--
nn1
nn2
Jx.sinxn.x.cosxn(n1).J.
-
-
=+--
Áp dụng ta tính I
2
và J
2
.
ĐS: ·
2
2
Ixcosx2x.sinx2cosxC.=--+++
·
2
4
Jxsinx2xcosx2sinxC.=+-+
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 124
Bài 44. Cho
nx
n
Ix.e.dx,nN,n1.=Ỵ³
ò
Chứng minh rằng:
nx
nn1
Ix.en.I.
-
=-
Áp dụng tính I
5
.
ĐS:
x5432
5
Ie(x5x20x60x120x120)C.=-+-+-+
Bài 45. Cho
/2
n
n
0
Isinx.dx,(nN)
p
=Ỵ
ò
a/ Thiết lập công thức liên hệ giữa I
n
và I
n+2
.
b/ Tính I
n
.
c/ Chứng minh rằng hàm số f:
NR®
với
nn1
f(n)(n1)I.I.
+
=+
d/ Suy ra
/4
n
n
0
Jcosx.dx.
p
=
ò
ĐS: b/
(n1)(n3)(n5)...1
.,nchẵn
n(n2)(n4)...22
I(n)
(n1)(n3)(n5)...2
,n lẻ
n(n2)(n4)...3
---p
ì
ï
--
ï
=
í
---
ï
ï
--
ỵ
c/
01
f(n)f(0)I.I.
2
p
=== d/
nn
JI.=
Bài 46. Đặt;
/4
n
n
0
Itgx.dx,(nN)
p
=Ỵ
ò
Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n+2
.
ĐS:
nn2
1
II.
n1
+
+=
+
Bài 47. Cho
1
n
*
n
0
x
Idx,(nN)
1x
=Ỵ
-
ò
Chứng minh rằng:
nn1
(2n1)I2n.I22.
-
++=
Bài 48. Cho
1
nx
*
n
x
0
e
Idx,(nN)
1e
-
-
=Ỵ
-
ò
a/ Tính I
1
.
b/ Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n–1
.
ĐS: a/
1
2e
Iln;
1e
=
+
b/
n1
1n)
nI
1
I(e1)
1n
-
-
+
=-
-
