ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ CẨM LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BOGOLIUBOV
TRONG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HỌC SINH
QUA PHỔ ĐIỂM CÁC MÔN HỌC

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. TRẦN CÔNG PHONG

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một
công trình nghiên cứu nào khác.

Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Cẩm Ly

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Trần Công Phong, người
thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu đề tài.
Xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Trí Lân, thầy giáo PGS.TS
Lê Đình đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Chân thành cảm ơn quý thầy, cô giáo trong khoa Vật lý, phòng đào tạo
sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế và các bạn học viên Cao
học lớp Vật lý lý thuyết và vật lý toán K24, gia đình và bạn bè đã động viên,
giúp đỡ, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Cẩm Ly

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh mục các bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Danh mục các đồ thị, hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 1. PHƯƠNG PHÁP BOGOLIUBOV VÀ ỨNG
DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU VẬT LÝ . . . . .

12

1.1. Phương pháp Bogoliubov truyền thống . . . . . . . . . .

12

1.1.1. Trường hợp boson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2. Trường hợp Plasmon polariton . . . . . . . . . . .

17

1.2. Phương pháp Bogoliubov mở rộng . . . . . . . . . . . . .

18

1.3. Ứng dụng của phương pháp Bogoliubov trong nghiên cứu
vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20


1.3.1. Giải thích hiện tượng siêu chảy . . . . . . . . . .

21

1.3.2. Giải thích hiện tượng siêu dẫn . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG
PHÁP BOGOLIUBOV MỞ RỘNG . . . . . . . . .

35

2.1. Khả năng ứng dụng phương pháp Bogoliubov trong kinh tế 35
2.2. Đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng
lực học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.1. Khái niệm năng lực . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1


2.2.2. Các loại năng lực chung . . . . . . . . . . . . . .

40


2.2.3. Các năng lực theo chuẩn đầu ra của chương trình
giáo dục trung học phổ thông . . . . . . . . . . .

41

2.2.4. Một số phương pháp dạy học theo định hướng phát
triển năng lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.5. Đánh giá kết quả học tập theo năng lực . . . . .

48

2.3. Khả năng ứng dụng phương pháp Bogoliubov trong giáo
dục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Chương 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BOGOLIUBOV TRONG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HỌC
SINH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.1. Phổ điểm kết quả học tập . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Đánh giá năng lực học sinh qua phổ điểm các môn học .


63

3.2.1. Đánh giá năng lực học sinh qua phổ điểm môn Toán 63
3.2.2. Đánh giá năng lực học sinh qua phổ điểm môn Văn 65
3.2.3. Đánh giá năng lực học sinh qua phổ điểm môn
Ngoại ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

PHỤ LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

Cụm từ viết tắt
DJIA

Nghĩa của cụm từ viết tắt

Dow Jones Industrial Average (chỉ số tính giá
trị của 30 công ty cổ phần lớn nhất và có nhiều cổ
đông nhất trong nước Mỹ)

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HS1

Hệ số 1

HS2

Hệ số 2

HK1

Học kì 1

HK2

Học kì 2

THPT


Trung học phổ thông

THPT

Trung học phổ thông Quốc gia

3


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

3.1

Bảng tổng hợp giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các
phân bố điểm thành phần môn Toán . . . . . . . . . . .

3.2

Bảng tổng hợp số lượng học sinh tương ứng với các cấp
độ của năng lực môn Toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

65

Bảng tổng hợp giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các
phân bố điểm thành phần môn Ngoại ngữ . . . . . . . .

3.6


65

Bảng tổng hợp số lượng học sinh tương ứng với các cấp
độ của năng lực môn Văn . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

63

Bảng tổng hợp giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các
phân bố điểm thành phần môn Văn . . . . . . . . . . . .

3.4

63

66

Bảng tổng hợp số lượng học sinh tương ứng với các cấp
độ của năng lực môn Ngoại ngữ . . . . . . . . . . . . . .

67

P.1 Bảng thống kê điểm hệ số 1 - học kì 1 môn Toán . . . . P.4
P.2 Bảng thống kê điểm hệ số 2 - học kì 1 môn Toán . . . . P.4
P.3 Bảng thống kê điểm thi học kì 1 môn Toán . . . . . . . . P.4
P.4 Bảng thống kê điểm thi học kì 2 môn Toán . . . . . . . . P.5
P.5 Bảng thống kê điểm thi THPT Quốc gia môn Toán . . . P.5
P.6 Bảng thống kê điểm hệ số 1 - học kì 1 môn Văn . . . . . P.5
P.7 Bảng thống kê điểm hệ số 2 - học kì 1 môn Văn . . . . . P.5

P.8 Bảng thống kê điểm thi học kì 1 môn Văn . . . . . . . . P.5
P.9 Bảng thống kê điểm thi học kì 2 môn Văn . . . . . . . . P.6
P.10 Bảng thống kê điểm thi THPT Quốc gia môn Văn . . . . P.6
P.11 Bảng thống kê điểm hệ số 1 - học kì 1 môn Ngoại ngữ . . P.6
P.12 Bảng thống kê điểm hệ số 2 - học kì 1 môn Ngoại ngữ . . P.6
4


P.13 Bảng thống kê điểm thi học kì 1 môn Ngoại ngữ . . . . . P.6
P.14 Bảng thống kê điểm thi học kì 2 môn Ngoại ngữ . . . . . P.7
P.15 Bảng thống kê điểm thi THPT Quốc gia môn Ngoại ngữ

5

P.7


DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ

1.1

Định luật tán sắc của plasmon-polariton [13] . . . . . . .

18

1.2

Chuyển đổi các tham số [13] . . . . . . . . . . . . . . . .

18


1.3

Sơ đồ 1[16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4

Sơ đồ 2 [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1

Biến đổi phân bố lợi nhuận [13] . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2

Biến đổi phân bố lợi nhuận [13] . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Phân bố lãi của ALCOA trong một ngày (2011) [15] . . .

37


2.4

Phân bố lãi của DJIA trong 1801 ngày (2009-2011) [15] .

39

2.5

Dạy học theo trạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.6

Phân bố chuẩn với giá trị trung bình bằng 5 . . . . . . .

56

2.7

Phân bố điểm tổng kết năm học 2016 - 2017 của học sinh
trường THPT Phú Lộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

57

Phổ điểm môn Toán (a) hệ số 1 - học kì 1, (b) hệ số 2 học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi học kì 2, (e) thi THPT
Quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.2

60

Phổ điểm môn Văn (a) hệ số 1 - học kì 1, (b) hệ số 2 học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi học kì 2, (e) thi THPT
Quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

61

Phổ điểm môn Ngoại ngữ (a) hệ số 1 - học kì 1, (b) hệ
số 2 - học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi học kì 2, (e) thi
THPT Quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4

Tổng hợp đồ thị phân bố điểm môn Toán . . . . . . . . .

64

3.5

Tổng hợp đồ thị phân bố điểm môn Văn . . . . . . . . .

66


3.6

Tổng hợp đồ thị phân bố điểm môn Ngoại ngữ . . . . . .

68

6


7

Đồ thị hàm phân bố điểm môn Toán (a) hệ số 1 - học kì
1, (b) hệ số 2 - học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi học kì 2,
(e) thi THPT Quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

8

Đồ thị hàm phân bố điểm môn Văn (a) hệ số 1 - học kì
1, (b) hệ số 2 - học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi học kì 2,
(e) thi THPT Quốc gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.2

9

Đồ thị hàm phân bố điểm môn Ngoại ngữ (a) hệ số 1 học kì 1, (b) hệ số 2 - học kì 1, (c) thi học kì 1, (d) thi
học kì 2, (e) thi THPT Quốc gia

7

. . . . . . . . . . . . . P.3



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nikolay Nikolayevich Bogoliubov là nhà toán học và vật lý lý thuyết
người Nga, người đã có công lập ra một trường phái lớn các nhà vật lý
lý thuyết với những công trình nổi bật về sự sâu sắc của các vấn đề vật
lý và sự chặt chẽ về mặt toán học. Ông là một trong những nhà khoa
học vĩ đại nhất trong lĩnh vực động lực học phi tuyến tính và có nhiều
đóng góp trong lý thuyết trường lượng tử và cơ học thống kê. [24, 28]
Năm 1958, Bogoliubov đã phát triển một phép biến đổi cho phép
chuyển từ hệ hai hạt có tương tác thành hệ hai hạt không tương tác.
Phương pháp Bogoliubov được sử dụng trong nhiều lĩnh vực vật lý, đặc
biệt là trong hiện tượng siêu chảy, siêu dẫn và vật chất ngưng tụ [13, 23].
Hiện nay, phương pháp Bogoliubov đang được mở rộng để áp dụng cho
các hệ phức hợp mà tiêu biểu là thị trường kinh tế tài chính. Trong lĩnh
vực này, phương pháp Bogoliubov mở rộng đã được xây dựng thành một
mô hình vật lý kinh tế để giải thích một cách định tính sự vận động của
thị trường kinh tế [13].
Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn
đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu
hướng giáo dục quốc tế. Từ năm 2014 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến
hành đổi mới giáo dục các cấp theo định hướng tiếp cận năng lực người
học. Khi đào tạo theo hướng tiếp cận năng lực thì cũng cần phải đánh
giá kết quả học tập của học sinh theo hướng tiếp cận năng lực. [3]
Đánh giá học sinh theo cách tiếp cận năng lực là đánh giá theo
chuẩn về sản phẩm đầu ra. Đặc trưng của đánh giá năng lực là sử dụng
nhiều phương pháp khác nhau tập trung đánh giá năng lực hành động,
8



vận dụng thực tiễn, năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực
tư duy sáng tạo, năng lực giao tiếp, năng lực phát triển bản thân.[2, 7, 9]
Mặc dù có nhiều cách đánh giá năng lực khác nhau nhưng cuối cùng
vẫn phải quy về điểm số của học sinh. Như vậy, điểm số mà học sinh đạt
được trong quá trình học tập, rèn luyện cho thấy mức độ hình thành và
phát triển năng lực của học sinh. Qua phổ điểm của học sinh trong một
năm học tương ứng với các môn học chúng ta có thể đánh giá năng lực
của học sinh cũng như chất lượng đào tạo theo năng lực của giáo viên
và nhà trường. Nhưng hiện nay, chưa có một phương pháp nào đánh giá
năng lực của học sinh qua phổ điểm các môn học. Với đề tài “Sử dụng
phương pháp Bogoliubov trong đánh giá năng lực học sinh qua
phổ điểm các môn học”, tôi mong muốn xây dựng một phương pháp
góp phần đánh giá chất lượng của giáo dục trung học phổ thông, làm
phong phú thêm về mặt lý thuyết của ngành vật lí giáo dục ở nước ta.

2. Mục tiêu của đề tài
Xây dựng mô hình vật lý giáo dục để đánh giá năng lực của học
sinh qua phổ điểm các môn học trong một năm học.

3. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
Phương pháp Bogoliubov được sử dụng nhiều trong các nghiên cứu
liên quan đến hạt boson, siêu dẫn, vật chất ngưng tụ. . . như nghiên
cứu về hiện tượng siêu dẫn của J. B. Ketterson và S. N. Song [20]; lý
thuyết Bogoliubov về tương tác boson trên mạng tinh thể trong một từ
trường tổng hợp của Stephen Powell, Ryan Barnett, Rajdeep Sensarma
và Sankar Das Sarma [22]; phương pháp tính toán gần đúng của phân
bố Gauss cải tiến trong mô hình Bogoliubov đối với khí boson một chiều
9



của Qiong Li, Daoguang Tu và Dingping Li [21].
Các nghiên cứu trong nước sử dụng phương pháp Bogoliubov gồm
có: mô hình phân cực Bogoliubov mở rộng ứng dụng cho thị trường chứng
khoán của Chu Thuy Anh, Trương Thi Ngoc Anh, Nguyen Tri Lan và
Nguyen Ai Việt [13]; luận văn của Trương Thị Ngọc Anh về phương
pháp chéo hóa Bogoliubov mở rộng áp dụng cho hệ không đơn giản [1];
khóa luận tốt nghiệp của Trần Thị Huế về hình thức luận Bogoliubov
trong ngưng tụ Bose-Einstein [8]. Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào về
việc áp dụng phương pháp Bogoliubov vào giáo dục.

4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp thống kê để lập bảng thông kê số lượng học
sinh theo các mức điểm tương ứng của các môn học.
- Sử dụng phần mềm OriginPro để vẽ phổ điểm.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ hàm phân bố điểm.
- Sử dụng phương pháp Bogoliubov để đánh giá phổ điểm và đồ thị
hàm phân bố điểm theo năng lực của học sinh.

5. Nội dung nghiên cứu
- Xây dựng mô hình vật lý giáo dục dựa trên phương pháp Bogoliubov.
- Khảo sát và vẽ phổ điểm, đồ thị hàm phân bố điểm của các môn
học của khối 12 ở trường THPT trong một năm học.
- Sử dụng phương pháp Bogoliubov để đánh giá năng lực của học
sinh qua phổ điểm, đồ thị đã vẽ.

10


6. Giới hạn đề tài

Đề tài tập trung nghiên cứu năng lực của học sinh khối 12 của một
trường THPT năm học 2016-2017 qua ba môn học Toán, Văn và Ngoại
ngữ.

7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,
lịch sử nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên
cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Phương pháp Bogoliubov và ứng dụng trong nghiên cứu
vật lý.
Chương 2: Khả năng ứng dụng của phương pháp Bogoliubov mở
rộng.
Chương 3: Sử dụng phương pháp Bogoliubov trong đánh giá năng
lực học sinh.
- Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được của đề tài.

11


NỘI DUNG
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP BOGOLIUBOV
VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU VẬT LÝ
Chương này trình bày một cách tổng quan về phương pháp Bogoliubov truyền thống, phương pháp Bogoliubov mở rộng và ứng
dụng của phương pháp Bogoliubov để giải thích hiện tượng siêu
dẫn và hiện tượng siêu chảy.


1.1.

Phương pháp Bogoliubov truyền thống

Xét một hệ chứa hai chuẩn hạt a và b, tương tác của chúng được
mô tả bởi Hamiltonian trong lượng tử hóa lần thứ hai có dạng
+
+
+
εa (k) a+
k ak + εb (k) bk bk + gk ak bk + bk ak

H=

,

(1.1)

k

trong đó, εa (k) và εb (k) là năng lượng của chuẩn hạt được biểu diễn
+
qua các toán tử sinh hạt a+
k , bk và các toán tử hủy hạt ak , bk , gk là hằng

số tương tác. Hệ các hạt tương tác có thể được chuyển thành hệ các hạt
không tương tác thông qua phép biến đổi Bogoliubov bằng cách sử dụng
các toán tử hủy A, B và các toán tử sinh A+ , B + tương ứng với các
năng lượng EA , EB . Để đơn giản, ta chỉ xét các tham số thực. [1, 13]
Sau khi chéo hóa, Hamiltonian của hệ trở thành

+
EA (k) A+
k Ak + EB (k) Bk Bk .

H=

(1.2)

k

Biến đổi xuôi Bogoliubov
Ak = uk ak + vk bk , Bk = −vk ak + uk bk .
12

(1.3)


Biến đổi ngược Bogoliubov
ak = uk Ak − vk Bk , bk = vk Ak + uk Bk .

(1.4)

Điều kiện chuẩn hóa
u2k + vk2 = 1,

(1.5)

nên chỉ có một biến uk hoặc vk là độc lập.
Như vậy, giả sử Hamiltionian đã được cho với ba tham số {εa , εb , g}
ta cần tìm phép biến đổi {uk , vk } với điều kiện chuẩn hóa (1.5), để thu

được Hamiltonian của hệ chuẩn hạt không tương tác
{εa , εb , g} ⇔ {EA , EB , uk } ,
với {EA , EB } là các tham số của hệ chuẩn hạt không tương tác. Do đó,
ta cần một hệ 3 phương trình để xác định các tham số của hệ chuẩn hạt
không tương tác. [13]
1.1.1.

Trường hợp boson

Trong trường hợp a và b là các boson, hệ thức giao hoán cho các
toán tử sinh và hủy hạt boson
+
ak , a+
k = bk , bk = 1,

(1.6)

các hệ thức giao hoán khác bằng 0.
Bây giờ ta đi kiểm tra tính boson của các toán tử A và B.
Từ (1.3) ta có
+
+
Ak , A+
k = (uk ak + vk bk ) , uk ak + vk bk

.

Sử dụng tính chất của hệ thức giao hoán [1]
[(a + b) , (c + d)] = [a, c] + [a, d] + [b, c] + [b, d] ,
13


(1.7)


ta được
+
+
Ak , A+
k = (uk ak + vk bk ) uk ak + vk bk
+
+
+
2
= u2k ak , a+
k + uk vk ak , bk + uk vk bk , ak + vk bk , bk

= u2k + vk2
= 1.
(1.8)
Tương tự ta có
+
Bk , Bk+ = (−vk ak + uk bk ) −vk a+
k + uk bk
+
+
+
2
= vk2 ak , a+
k − uk vk ak , bk − uk vk bk , ak + uk bk , bk


= vk2 + u2k
= 1.
(1.9)
Các giao hoán tử khác bằng 0, ví dụ
[Ak , Ak ] = [(uk ak + vk bk ) , (uk ak + vk bk )]
= u2k [ak , ak ] + uk vk [ak , bk ] + uk vk [bk , ak ] + vk2 [bk , bk ]

(1.10)

= 0.
[Ak , Bk ] = [(uk ak + vk bk ) , (−vk ak + uk bk )]
= −uk vk [ak , ak ] + u2k [ak , bk ] − vk2 [bk , ak ] + uk vk [bk , bk ] (1.11)
= 0.
+
Ak , Bk+ = (uk ak + vk bk ) , −vk a+
k + uk bk
+
+
+
2
2
= −uk vk ak , a+
k + uk ak , bk − vk bk , ak + uk vk bk , bk

= 0.
(1.12)
Như vậy, A và B đúng là các boson.
Để tìm hệ 3 phương trình xác định các hệ số chuyển đổi {uk , vk }
và năng lượng {EA , EB } ta khai triển tường minh tích các toán tử qua


14


phép biến đổi ngược Bogoliubov
+
+
a+
k ak = uk Ak − vk Bk (uk Ak − vk Bk )

=

u2k A+
k Ak

−

uk vk A+
k Bk

−

uk vk Bk+ Ak

+

vk2 Bk+ Bk ,

+

u2k Bk+ Bk ,


+
+
b+
k bk = vk Ak + uk Bk (vk Ak + uk Bk )

=

vk2 A+
k Ak

+

uk vk A+
k Bk

+

uk vk Bk+ Ak

+
+
a+
k bk = uk Ak − vk Bk (vk Ak + uk Bk )
+
2 +
2 +
= uk vk A+
k Ak + uk Ak Bk − vk Bk Ak − uk vk Bk Bk ,
+

+
b+
k ak = vk Ak + uk Bk (uk Ak − vk Bk )
+
2 +
2 +
= uk vk A+
k Ak − vk Ak Bk + uk Bk Ak − uk vk Bk Bk .

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Thay các khai triển trên vào (1.1) ta được
+
+
+
εa (k) a+
k ak + εb (k) bk bk + gk ak bk + bk ak

H=
k

,

+

+
2 +
εa (k) u2k A+
k Ak − uk vk Ak Bk − uk vk Bk Ak + vk Bk Bk

=
k

+
+
2 +
+ εb (k) vk2 A+
k Ak + uk vk Ak Bk + uk vk Bk Ak + uk Bk Bk
+
2 +
2 +
+ gk uk vk A+
k Ak + uk Ak Bk − vk Bk Ak − uk vk Bk Bk
+
2 +
2 +
+ uk vk A+
k Ak − vk Ak Bk + uk Bk Ak − uk vk Bk Bk

.
(1.17)

So sánh (1.17) với biểu thức (1.2) ta có
εa (k) u2k + εb (k) vk2 + 2gk uk vk = EA (k) ,


(1.18)

εa (k) vk2 + εb (k) u2k − 2gk uk vk = EB (k)

(1.19)

uk vk [εb (k) − εa (k)] + gk u2k − vk2 = 0

(1.20)

Giải hệ 3 phương trình (1.18), (1.19), (1.20) tức là biết {εa , εb , gk } và đi
tìm {EA , EB , uk }.
∗ Xác định uk và vk
Vì có điều kiện chuẩn hóa u2k + vk2 = 1 nên ta sẽ lượng giác hóa uk
và vk [1], [23]
uk = cosθ, vk = sin θ.
15

(1.21)


Phương trình (1.20) sẽ được viết lại
cos θ sin θ [εb (k) − εa (k)] + gk cos2 θ − sin2 θ = 0
hay
1
sin 2θ [εb (k) − εa (k)] + gk cos 2θ = 0.
2
Từ đó, ta có phương trình lượng giác theo góc θ
tan 2θ =


2gk
.
εa (k) − εb (k)

(1.22)

Sử dụng hệ thức lượng giác
tan2 θ + 1 =

1
,
cos2 θ

ta có biểu thức tường minh của cos2θ
cos2θ =

|εa (k) − εb (k)|
2

[εa (k) − εb (k)] +

.

(1.23)

4gk2

Từ đây, ta tính được các hệ số chuyển đổi uk và vk như sau:






|εa (k) − εb (k)|
1
2
2
1+
,
uk = cos θ =

2
2
2


[εa (k) − εb (k)] + 4gk



1
2
2
vk = sin θ =
1−
2


|εa (k) − εb (k)|
2


[εa (k) − εb (k)] +

∗ Xác định EA (k) và EB (k)

16





4gk2 

.

(1.24)

(1.25)


Biến đổi (1.18) và sử dụng (1.23) ta thu được
EA (k) = εa (k) u2k + εb (k) vk2 + 2gk uk vk
= εa (k) cos2 θ + εb (k) sin2 θ + 2gk cos θ sin θ
= εa (k) 21 (1 + cos 2θ) + εb (k) 21 (1 − cos 2θ) + gk sin 2θ
√
= 12 [εa (k) + εb (k)] + 21 [εa (k) − εb (k)] cos 2θ + gk 1 − cos2 2θ
= 21 [εa (k) + εb (k)] + 21 [εa (k) − εb (k)] √
1−

+gk

=

1
2

|εa (k)−εb (k)|
2

[εa (k)−εb (k)] +4gk2

2

[εa (k)−εb (k)]
2
[εa (k)−εb (k)] +4gk2

[εa (k) + εb (k)] +

[εa (k) − εb (k)]2 + 4gk2 .

Từ (1.19) và (1.20) ta có EA (k) + EB (k) = εa (k) + εb (k), do đó
EB (k) = [εa (k) + εb (k)] − EA (k)
=

1
2

[εa (k) − εb (k)]2 + 4gk2 .

[εa (k) + εb (k)] −


Viết gọn lại
EA,B (k) =

1
[εa (k) + εb (k)] ±
2

[εa (k) − εb (k)]2 + 4gk2 .

(1.26)

Đây chính là hệ thức tán sắc của hệ chuẩn hạt không tương tác.
1.1.2.

Trường hợp Plasmon polariton

Trong trường hợp của plasmon-polariton, chuẩn hạt a là photon γ,
chuẩn hạt b là plasmon, hệ thức tán sắc
ck
ckP
εa = εγ (k) = √ , εb = εP (k) = ωP = √ ,
0

trong đó c là tốc độ ánh sáng,
plasmon. Xét

= c = 1 và

0


(1.27)

0
0

là hằng số điện môi, ωP là tần số

= 1. [13]

Định luật tán sắc của plasmon-polariton được mô tả bởi hình 1.1.
Quá trình chuyển đổi các tham số u2 và v 2 được biểu diễn trên hình 1.2.

17


Hình 1.1: Định luật tán sắc của plasmon-polariton [13]

Hình 1.2: Chuyển đổi các tham số [13]

Khi k tăng, ở nhánh trên plasmon trở thành photon, trong khi ở
nhánh dưới photon trở thành plasmon. Tính chất này sẽ được áp dụng
cho các hệ phức hợp.[13]

1.2.

Phương pháp Bogoliubov mở rộng

Giả sử, ta có hai hệ phức hợp α và β, chuẩn tương tác của chúng
được mô tả bởi chuẩn Hamiltonian trong lượng tử hóa lần thứ hai

[εα (κ) + εα0 ] ακ+ ακ + [εβ (κ) + εβ0 ] βκ+ βκ + Gκ ακ+ βκ + βκ+ ακ

H=
κ

(1.28)
18

,


trong đó εα (κ), εβ (κ) là chuẩn năng lượng của hai hệ phức hợp được
tính từ chuẩn mức chân không εα0 , εβ0 ; các toán tử hủy hệ phức hợp ακ ,
βκ tương ứng với các toán tử sinh hệ phức hợp ακ+ , βκ+ , κ là chuẩn tọa
độ tác dụng và Gκ là hằng số chuẩn tương tác.[1, 13]
Tham số thống kê x được mở rộng trên một chiều không gian khác.
Pα (x), Pβ (x) là những hàm phân bố theo x phụ thuộc vào hệ phức hợp,
thỏa mãn các điều kiện trên X [13]
Pα (x) dx = 1,
X

Pβ (x) dx = 1,

(1.29)

X

chuẩn Hamiltonian được viết lại
H=
κ X


dx {[εα (κ) + εα0 Pα (x)] ακ+ ακ + [εβ (κ) + εβ0 Pβ (x)] βκ+ βκ
+ Gκ [ακ+ βκ + βκ+ ακ ]}
(1.30)

Phương pháp Bogoliubov có thể được áp dụng để chéo hóa chuẩn
Hamiltonian của các hệ phức hợp tương tác thành các hệ phức hợp không
ˆ
tương tác, được mô tả bởi các toán tử hủy chuẩn hệ phức hợp Aˆ và B
ˆ + là các toán tử sinh chuẩn hệ phức hợp tương ứng) với chuẩn
(Aˆ+ và B
năng lượng ΩA và ΩB . Để đơn giản, tất cả các tham số ta xét đều là
thực.
Sau khi chéo hóa, Hamiltonian trở thành
ˆ =
H
κ X

ˆ
ˆ+ ˆ
dx ΩA (κ, x) Aˆ+
κ Aκ + ΩB (κ, x) Bκ Bκ
(1.31)

ˆ κ (x).
dxH

=
κ X


Biến đổi xuôi Bogoliubov mở rộng
ˆκ = −Vκ ακ + Uκ βκ .
Aˆκ = Uκ ακ + Vκ βκ , B

(1.32)

Biến đổi ngược Bogoliubov mở rộng
ˆκ , βκ = Vκ Aˆκ + Uκ B
ˆκ .
ακ = Uκ Aˆκ − Vκ B
19

(1.33)


Điều kiện chuẩn hóa
Uκ2 + Vκ2 = 1.

(1.34)

Đối với chuẩn Hamiltonian đã cho của các hệ phức hợp tương tác
có nghĩa là ta đã biết {εα , εβ , G}, và cần xác định các tham số biến
đổi {U, V } theo điều kiện chuẩn hóa U 2 + V 2 = 1 để tìm được chuẩn
Hamiltonian mới của hệ phức hợp không tương tác {ΩA , ΩB }
ˆ κ (x) = [εα (κ) + εα0 Pα (x)] ακ+ ακ + [εβ (κ) + εβ0 Pβ (x)] βκ+ βκ
H
+Gκ [ακ+ βκ + βκ+ ακ ]
ˆ
ˆ+ ˆ
= ΩA (κ, x) Aˆ+

κ Aκ + ΩB (κ, x) Bκ Bκ .

(1.35)

Về phương diện toán học, đây là phép biến đổi
{εα , εβ , G} ⇔ {ΩA , ΩB , U }
Hệ thức tán sắc của hệ mới
1
ΩA,
ˆB
ˆ (κ, x) = 2 [εα (κ) + εα0 Pα (x) + εβ (κ) + εβ0 Pβ (x)]

± 21

2

[εα (κ) + εα0 Pα (x) − εβ (κ) − εβ0 Pβ (x)] +

(1.36)

4G2κ (x),

với các hệ số chuyển đổi
Uκ2 (x) =

1
2

1+ √


=1−

|εα (κ)+εα0 Pα (x)−εβ (κ)−εβ0 Pβ (x)|
2

[εα (κ)+εα0 Pα (x)−εβ (κ)−εβ0 Pβ (x)] +4G2κ (x)

(1.37)

Vκ2 (x) .

Tăng κ trên nhánh dưới, α trở thành β, trong khi ở nhánh trên β
trở thành α [13].

1.3.

Ứng dụng của phương pháp Bogoliubov trong
nghiên cứu vật lý

Phương pháp Bogoliubov được xây dựng đầu tiên để giải thích hiện
tượng siêu chảy và sau đó được phát triển thêm để giải thích hiện tượng
siêu dẫn.
20


1.3.1.

Giải thích hiện tượng siêu chảy

Hiện tượng siêu chảy là hiện tượng trong đó độ nhớt của một số

chất lỏng giảm đột ngột về không ở nhiệt độ rất thấp. Kết quả là chất
lỏng đó có thể chảy hoàn toàn tự do mà không hề chịu một sức cản nào.
Việc khảo sát hiện tượng siêu chảy cho phép đi sâu nghiên cứu những
quá trình xảy ra bên trong vật chất khi nó ở trạng thái có năng lượng
thấp nhất và có trật tự cao nhất. [25]
Trong bài báo "On the theory of superfluidity", Bogoliubov đã
trình bày một nỗ lực nhằm giải thích hiện tượng siêu chảy dựa trên lý
thuyết cơ bản của sự suy biến của một hệ khí Bose-Einstein không lí
tưởng bằng cách sử dụng phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai và một
phương pháp gần đúng. Trong nghiên cứu này, Bogoliubov đã chỉ ra rằng
trong trường hợp các phân tử của hệ có tương tác nhỏ thì các trạng thái
kích thích thấp của khí có thể được mô tả như một khí Bose-Einstein lí
tưởng của một số "chuẩn hạt" đại diện cho các kích thích cơ bản, mà
không thể xác định với các kích thích riêng lẻ. Dạng đặc biệt của năng
lượng của một chuẩn hạt là một hàm của động lượng thể hiện sự kết nối
với tính siêu chảy. [17]
Xét một hệ N các phân tử đơn nguyên tử trong một thể tích vĩ mô
V nhất định và tuân theo thống kê của Bose. Giả sử Hamiltonian của
hệ có dạng [17]
H=

Φ (|qi − qj |)

T (pi ) +
1≤i≤N

1≤i
trong đó
|pi |2

=
T (pi ) =
2m

(1≤α≤3)

(pi )2
2m

biểu diễn động năng của nguyên tử thứ i và Φ (|qi − qj |) thế năng tương
tác của cặp (i, j).
21


Áp dụng phương pháp của lượng tử hóa lần thứ hai, ta có phương
trình
2
∂Ψ
i
=−
∆Ψ +
∂t
2m

Φ (|q − q |)Ψ+ (q ) Ψ (q ) dq .Ψ,

(1.38)

trong đó
+

a+
f ϕf (q) .

af ϕf (q) ; Ψ+ =

Ψ=

f

f

Ở đây af , a+
f là các toán tử liên hợp thỏa mãn các hệ thức giao hoán
af af − af af = 0;

 1, f = f
+
+
af af − af af = ∆f,f =
 0, f = f
và {ϕf (q)} là một hệ đủ, trực giao. Để đơn giản, ta sẽ sử dụng hệ các
phương trình của toán tử động lượng của một hạt
ϕf (q) =

1
V

1
2

ei

(f.q)

f αqα,

; (f.q) =
(1≤α≤3)

toán tử Nf = a+
f af đại diện cho số lượng các phân tử với động lượng f .
Nếu không có sự tương tác nào cả, hệ ở độ không tuyệt đối: N0 =
N, Nf = 0 (f = 0). Nhưng trong trường hợp được xem xét khí đang ở
trạng thái kích thích yếu có nghĩa là động lượng của hầu hết các phân
tử gần đúng bằng 0. Tất nhiên, thực tế, động lượng bằng không là giới
hạn cho các hạt trong trạng thái cơ bản, là do sự lựa chọn đặc biệt của
hệ toạ độ: cụ thể là chúng ta chọn hệ với ở trạng thái ngưng tụ tĩnh.
Đặt
a0
1
Ψ = √ + ϑ; ϑ = √
V
V

af e i

(f.q)

(f =0)

và xem ϑ như là một số hạng đúng bậc một. Bỏ qua tất cả các số hạng
trong (1.38) liên quan đến các lũy thừa bậc hai và cao hơn của ϑ vì
22