ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU SƢƠNG

PHÁT TRIỂN SUY LUẬN ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HỌC SINH
DỰA TRÊN CÁC BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60140111

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

Thừa Thiên Huế, năm 2018

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn này là
trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử dụng và chƣa
từng công bố trong một công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Sƣơng

ii


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy
Nguyễn Đăng Minh Phúc, ngƣời đã nhiệt tình hƣớng dẫn tận tình chu đáo và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm,
Đại học Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là
các thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phƣơng pháp dạy học b ộ môn Toán
đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý
báu trong hai năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, Giáo viên chủ nhiệm cùng
tập thể học sinh lớp 12B2, trƣờng THPT Hóa Châu, xã Quảng An, huyện Quảng
Điền, tỉnh Thừa Thiên Huế đã tạo điều kiện cho tôi thực nghiệm sƣ phạm.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, quan
tâm, động viên và giúp đỡ về mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận đƣợc sự hƣớng
dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 10 năm 2018

NGUYỄN THỊ THU SƢƠNG

iii


MỤC LỤC

PHỤ BÌA .................................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................ii
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................... iii
MỤC LỤC.............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................... 4
DANH MỤC CÁC HÌNH ...................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC BẢNG ..................................................................................... 7
Chƣơng 1. GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............................................. 8
1.1. Giới thiệu ...................................................................................................... 8
1.2. Nhu cầu nghiên cứu ...................................................................................... 8
1.3. Đề tài nghiên cứu .......................................................................................... 9
1.4. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 9
1.5. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 9
1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu ....................................................................... 10
1.7. Các thuật ngữ dùng trong luận văn .............................................................. 10
1.8. Cấu trúc luận văn ........................................................................................ 10
1.9. Tóm tắt chƣơng 1 ........................................................................................ 11
Chƣơng 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .......................................... 12
2.1. Giới thiệu ................................................................................................... 12
2.2. Hoạt động suy luận đồng biến thiên ............................................................ 12
2.3. Suy luận đồng biến thiên khi lí giải các tình huống hàm động ..................... 14
2.4. Khung lý thuyết ........................................................................................... 15
2.4.1. Biểu diễn toán động .............................................................................. 16
2.4.1.1 Biểu diễn toán học ........................................................................... 16
2.4.1.2. Biểu diễn toán động........................................................................ 16
2.4.1.3. Biểu diễn toán động - Công cụ của tƣ duy .................................... 17
2.4.2. Mô tả suy luận đồng biến thiên............................................................. 17
2.4.3. Khung lý thuyết về các mức độ suy luận đồng biến thiên ...................... 19

1



2.4.3.1. Hoạt động nhận thức khi tiến hành suy luận đồng biến thiên ........... 19
2.4.3.2. Mô tả các mức độ về khả năng suy luận đồng biến thiên của học sinh ..... 21
2.4.4. Các bài toán có liên quan đến suy luận đồng biến thiên ........................ 25
2.5. Tóm tắt chƣơng 2. ....................................................................................... 29
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU ....................... 30
3.1. Thiết kế quá trình nghiên cứu...................................................................... 30
3.2. Đối tƣợng thực nghiệm ............................................................................... 31
3.3. Cách thức tổ chức ....................................................................................... 31
3.4. Công cụ nghiên cứu .................................................................................... 31
3.4.1. Phiếu học tập số 1 ................................................................................. 32
3.4.2. Phiếu học tập số 2: ................................................................................ 35
3.4.3. Phiếu học tập số 3 ................................................................................. 42
3.4.4. Phiếu điều tra (Xem phụ lục) ............................................................... 44
3.5. Quy trình thu thập dữ liệu ............................................................................ 44
3.5.1. Thu thập dữ liệu .................................................................................... 44
3.5.2. Phân tích dữ liệu .................................................................................. 45
3.6. Các hạn chế ................................................................................................. 45
3.7. Tóm tắt chƣơng 3 ....................................................................................... 46
Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU................................................................ 47
4.1. Giới thiệu .................................................................................................... 47
4.2. Kết quả của các câu hỏi nghiên cứu ............................................................. 47
4.2.1. Kết quả của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ............................................... 47
4.2.2. Kết quả của câu hỏi nghiên cứu thứ hai ................................................. 53
4.2.3. Kết quả câu hỏi nghiên cứu thứ ba ........................................................ 62
Chƣơng 5. KẾT LUẬN LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG ........................................... 68
5.1. Giới thiệu ................................................................................................... 68
5.2. Kết luận...................................................................................................... 68
5.2.1. Kết luận và lý giải câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ..................................... 68

5.2.2. Kết luận và lý giải câu hỏi nghiên cứu thứ hai ....................................... 69

2


5.2.3. Kết luận và lý giải câu hỏi nghiên cứu thứ ba ........................................ 70
5.3. Vận dụng..................................................................................................... 71
5.3.1. Vận dụng vào thực tiễn giảng dạy ......................................................... 71
5.3.2. Vận dụng vào nghiên cứu xa hơn .......................................................... 71
5.4.Tóm tắt chƣơng 5 ......................................................................................... 71
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO. .................................................................................. 73
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: CÁC PHIẾU HỌC TẬP ................................................................... P1
Phụ lục 2: PHIẾU ĐIỀU TRA ............................................................................ P6
Phụ lục 3: CÁC BÀI LÀM CỦA HS................................................................... P7

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết đầy đủ

Viết tắt
BDTĐ

Biểu diễn toán động

BDTQ


Biểu diễn trực quan

ĐBT

Đồng biến thiên

GSP

The Geometer's Sketchpad

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PHT

Phiếu học tập

SGK

Sách giáo khoa

4



DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1 Ví dụ về biểu diễn trực quan động........................................................... 17
Hình 2.2 Giá trị hoành độ và giá trị tung độ của điểm A cùng thay đổi .................. 18
Hình 2.3. Hình ảnh của ĐBT trên biểu diễn toán động........................................... 24
Hình 2.4. Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa thời gian và quãng đƣờng đi đƣợc .......... 27
Hình 3.1. Kéo và rê điểm D ................................................................................... 32
Hình 3.2. Kéo và rê điểm A ................................................................................... 32
Hình3.3. Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa chiều dài AD và diện tích hình chữ
nhật ABCD ........................................................................................................... 34
Hình 3.4. Bình đựng nƣớc ..................................................................................... 35
Hình 3.5. Quan sát mô hình khi điểm H chuyển động. ........................................... 35
Hình 3.6. Các bình khảo sát trong bài toán 2.......................................................... 36
Hình 3.7. Các đồ thị khảo sát trong bài toán 3 ....................................................... 36
Hình 3.8. Bình chứa ứng với đồ thị 1 ..................................................................... 41
Hình 3.9. Bình chứa ứng với đồ thị 2 ..................................................................... 41
Hình 3.10. Bình ứng với đồ thị 3 ........................................................................... 42
Hình 3.11. Đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa thời gian và tốc độ gia tăng dân số ..... 43
Hình 3.12. Mô hình bài toán 2 ở phiếu học tập số 3 ............................................... 44
Hình 4.1. Học sinh xác định đƣợc sự thay đổi của dân số qua các năm (Mức 1) .... 49
Hình 4.2. Bài làm câu b của nhóm 1 và 3 ở phiếu học tập số 3 thể hiện mức độ 4.. 50
Hình 4.3. Bài làm câu b của nhóm 2 ở phiếu học tập số 3. ..................................... 50
Hình 4.4. Bài làm câu c của nhóm 3 và 2 ở PHT số 1 đạt đƣợc mức độ 5 .............. 50
Hình 4.5. Bài làm câu c của nhóm 1 ở phiếu học tập số 1 ...................................... 51
Hình 4.6. Bài làm câu d của nhóm 2 và nhóm 3 ở phiếu học tập số 3..................... 51
Hình 4.7. Bài làm câu e ở phiếu học tập số 3 ......................................................... 52
Hình 4.8 Bài làm nhóm 2 trong phiếu học tập số 1. ............................................... 55
Hình 4.9. Bài làm của nhóm 1 trong bài b,ii ở phiếu học tập số 1 .......................... 56
Hình 4.10. Bài làm của học sinh nhóm 2 trong bài toán 1 ởphiếu học tập số 1 ....... 57
Hình 4.11. Bài làm của nhóm 3 về bài toán 2 ở phiếu học tập số 1. ....................... 57
Hình 4.12. Bài làm của nhóm 1 về bài toán 2 ở phiếu học tập số 1. ....................... 57


5


Hình 4.13. Bài làm của nhóm 1 về bài toán 1a ở phiếu học tập số 2....................... 59
Hình 4.14. Bài làm của nhóm 2 về bài toán 1a ở phiếu học tập số 2....................... 60
Hình 4.15. Bài làm của nhóm 3 về bài toán 1a ở phiếu học tập số 2....................... 60
Hình 4.16. Lời giải thích của nhóm 1 và 2 ở bài toán 1b trong PHT số 2 ............... 62
Hình 4.17. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức độ 2 với bài toán 1a của PHT số 2 ........ 64
Hình 4.18. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức độ 5 đối với bài toán 1a ở PHT số 2 ..... 64
Hình 4.19. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức 2 đối với bài toán 2,3 trong PHT số 2 ....... 65
Hình 4.20. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức 3 đối với bài toán 2,3 trong PHT số 2 ....... 66
Hình 4.21. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức 4 đối với bài toán 2,3 trong PHT số 2 ....... 66
Hình 4.22. Thể hiện suy luận ĐBT ở mức 5 đối với bài toán 2,3 trong PHT số 2 ....... 67

6


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Hoạt động nhận thức khi tiến hành suy luận đồng biến thiên ................. 19
Bảng 2.2. Mô tả năm mức độ về suy luận đồng biến thiên ..................................... 21
Bảng 3.1. Mô tả các mức độ về suy luận đồng biến thiên của HS trong phiếu học
tập số 1 ................................................................................................................. 33
Bảng 3.2. Mô tả năm mức độ suy luận ĐBT đối với bài toán 1a, và bài toán 2 ở
phiếu học tập số 2. ................................................................................................. 37

7


Chƣơng 1

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Giới thiệu
Cuối đầu thế kỷ 19, chủ đề hàm số đã đƣợc nhấn mạnh trong chƣơng trình
toán học nhà trƣờng (Ban tuyển sinh đầu vào, 1959; Hamley, 1934; Klein, 1883).
Những nghiên cứu về dạy và học hàm số chú trọng đến vấn đề hiểu khái niệm, mà
cụ thể là khám phá các quy luật biến đổi (Kaput, 1994; Monk, 1992; NCTM, 1989,
2000; Sfard, 1992; Thorpe, 1989; Vinner & Dreyfus, 1989). Đến những năm 2000,
các văn kiện chƣơng trình ở Mỹ đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích các
quy luât biến đổi trong các bối cảnh khác nhau và biểu diễn sự thay đổi giữa các đại
lƣợng trong toán học bằng một mối quan hệ hàm (Carson và đồng nghiêp, 2002).
Thompson (1994) đã đồng nhất mối quan hệ hàm giữa biến phụ thuộc và biến độc
lập với khái niệm tỉ lệ. Tỉ lệ này liên quan đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại
lƣợng và sự đồng biến thiên của hai đại lƣợng này.
Khía cạnh đồng biến thiên của các đại lƣợng đã đƣợc nhấn mạnh thông qua
các tình huống hàm động với các bối cảnh cụ thể, ví dụ sự thay đổi của vận tốc theo
thời gian hay chiều cao của mực nƣớc trong chai (Carlson và đồng nghiệp, 2002).
Với những tình huống này, học sinh sẽ xem xét sự thay đổi một biến bằng cách nhìn
vào sự thay đổi của biến kia. Lúc đó, đồ thị mô tả các tình huống liên quan đến các
biểu diễn toán động đóng vai trò cốt lõi trong việc phát triển khả năng suy luận, đặc
biệt là suy luận đồng biến thiên của học sinh thông qua việc trình bày và lí giải về
sự thay đổi đồng thời của các biến. Do đó, dựng và lí giải về đồ thị của một mối
quan hệ hàm động mang đến nhiều cơ hội cho ngƣời học tiến hành các hoạt động
suy luận về sự thay đổi một cách tƣơng ứng giữa đại lƣợng đầu vào, đầu ra và chiều
hƣớng của sự thay đổi này (Carlson, Oehtman và Engelke, 2010). Thông qua việc
suy luận và lý giải của học sinh, nhà giáo dục có thể thấy đƣợc khả năng, hạn chế và
khó khăn mà học sinh gặp phải từ đó chúng ta tìm biện pháp khắc phục những hạn
chế, phát triển suy luận của học sinh.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu
Phát triển suy luận đồng biến thiên dựa trên các biểu diễn toán động là cần
thiết cho học sinh THPT. Do đó, GV cần giúp học sinh thấy đƣợc khả năng tiềm ẩn

8


của mình, đồng thời phát triển khả năng tƣ duy, suy luận, suy luận đồng biến thiên
cho học sinh thông qua các hình ảnh thực tế, trực quan hoặc trên các biểu diễn toán
động. Qua đó, tạo cơ hội cho học sinh hiểu đƣợc mối liên hệ giữa các đại lƣợng thay
đổi và đƣa ra những lí giải hợp lý. Tuy vậy, hiện nay vẫn có ít nghiên cứu nói về vấn
đề phát triển suy luận đồng biến thiên của học sinh, đặc biệt ở Việt Nam.
1.3. Đề tài nghiên cứu
Việc phát triển suy luận đồng biến thiên của học sinh dựa trên các biểu diễn
toán động là cách để học sinh rèn luyện và nuôi dƣỡng tƣ duy suy luận toán học của
mình cũng nhƣ tạo ra sự hứng thú và sự đam mê toán học khi tự mình có thể suy
luận và lý giải để thấy đƣợc mối liên hệ giữa các đại lƣợng biến thiên trong biểu
diễn toán động và trong cuộc sống. Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng các
biểu diễn toán động để giúp học sinh phát triển suy luận đồng biến thiên. Vì vậy,
chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển suy luận đồng biến thiên của học sinh dựa trên các
biểu diễn toán động”.
1.4. Mục đích nghiên cứu
(1) Tìm hiểu suy luận đồng biến thiên thể hiện trong chƣơng trình trung học,
cụ thể tập trung vào bộ môn toán về đại số và giải tích.
(2) Sử dụng các biểu diễn toán động để phát triển suy luận đồng biến thiên cho
học sinh.
(3) Học sinh thể hiện khả năng suy luận đồng biến thiên nhƣ thế nào khi các
em làm việc.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích đã nêu, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Suy luận đồng biến thiên thể hiện trong
chƣơng trình trung học, cụ thể tập trung vào bộ môn toán về đại số và giải tích nhƣ
thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn toán động có đóng góp trong việc

hỗ trợ học sinh phát triển suy luận đồng biến thiên nhƣ thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Học sinh thể hiện khả năng suy luận đồng biến
thiên nhƣ thế nào khi các em làm việc ?

9


1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ:
- Cho chúng ta thấy suy luận đồng biến thiên thể hiện trong chƣơng trình trung
học, cụ thể trong bộ môn đại số và giải tích hiện tại nhƣ thế nào.
- Những đóng góp của các biểu diễn toán động trong việc phát triển suy luận
đồng biến thiên của học sinh.
- Cho chúng ta thấy đƣợc khả năng suy luận đồng biến thiên của HS phát triển
nhƣ thế nào..
1.7. Các thuật ngữ dùng trong luận văn
 Đồng biến thiên: đƣợc hiểu là hai hoặc nhiều đại lƣợng thay đổi đồng thời.
 Suy luận đồng biến thiên đƣợc hiểu là các hoạt động nhận thức của một cá
nhân liên quan đến việc xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng cùng biến đổi, xem
xét sự thay đổi của đại lƣợng này với sự thay đổi của đại lƣợng kia (theo Carlson và
đồng nghiệp, 2002).
 Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục
toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và
biểu diễn ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tƣởng hoặc
khái niệm nhƣ biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ…và biểu diễn trong
là các mô hình nhận thức mà một ngƣời có đƣợc trong trí óc họ.
 Biểu diên toán động: BDTĐ trên máy tính là biểu diễn trực quan, trong đó
cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tƣợng trong biểu diễn. Với sự hỗ
trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế đƣợc các biểu
diễn loại này để hỗ trợ HS khám phá tri thức toán.

1.8. Cấu trúc luận văn
Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu cấu trúc của luận văn bao gồm 5
chƣơng sau đây:
Chƣơng 1: Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong chƣơng này chúng tôi sẽ trình bày các nội dung: Giới thiêu, nhu cầu
nghiên cứu, đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, câu hỏi nghiên cứu.
Chƣơng 2: Tổng quan vấn đề nghiên cứu

10


Trong chƣơng này chúng tôi sẽ trình bày: Suy luận đồng biến thiên, các cấp độ
suy luận đồng biến thiên, tóm tắt chƣơng 2.
Chƣơng 3: Phƣơng pháp và quy trình nghiên cứu
Trong chƣơng này chúng tôi sẽ trình bày các nội dung:
Các thiết kế phục vụ cho nghiên cứu, đối tƣợng và công cụ nghiên cứu, quy
trình thu thập dữ liệu, quy trình phân tích dữ liệu, tóm tắt chƣơng 3.
Chƣơng 4: Các kết quả nghiên cứu
Chƣơng 5: Kết luận lý giải và vận dụng
1.9. Tóm tắt chƣơng 1
Nhƣ vậy trong chƣơng 1 chúng tôi đã trình bày các nội dung: Giới thiệu; nhu
cầu nghiên cứu; đề tài nghiên cứu; mục đích nghiên cứu; ý nghĩa nghiên cứu; câu
hỏi nghiên cứu của luận văn. Trong chƣơng 2 chúng tôi sẽ trình bày về tổng quan
các kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu.

11


Chƣơng 2
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.1. Giới thiệu
Mục đích của chƣơng này là trình bày các vấn đề liên quan đến các hoạt động
nhận thức trong quá trình suy luận đồng biến thiên và đƣa ra khung lý thuyết về các
mức độ suy luận đồng biến thiên và biểu diễn toán động; tìm hiểu suy luận đồng
biến thiên thể hiện trong chƣơng trình Trung học.
2.2. Hoạt động suy luận đồng biến thiên
Suy luận (còn gọi là suy diễn logic) là hình thức của tƣ duy, trong đó từ một số
tri thức đã có rút ra tri thức mới. Nó có vai trò trong nhận thức và đời sống của con
ngƣời cũng nhƣ là nền tảng cho việc nghiên cứu của các nhà khoa học. Suy luận là
cơ sở của sự sáng tạo vì từ các dự đoán rồi thử ngiệm, chứng minh một vấn đề nào
đó để tìm ra tri thức mới. Do đó, việc làm thế nào để phát triển suy luận của học
sinh luôn là vấn đề thu hút sự quan tâm của của các nhà nghiên cứu giáo dục.
Trong khám phá của học sinh về đồ thị và hàm số, Carlson và đồng nghiệp
(2002) cho rằng học sinh có vai trò trung tâm khi tham gia vào suy luận đồng biến
thiên. Suy luận đồng biến thiên đƣợc hiểu là "các hoạt động nhận thức của một cá
nhân liên quan đến việc xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng cùng biến đổi, xem
xét sự thay đổi của đại lƣợng này với sự thay đổi của đại lƣợng kia.”. Suy luận đồng
biến thiên là trung tâm của sự hiểu biết học sinh về các chủ đề số trong toán học nhà
trƣờng nhƣ các mối quan hệ tuyến tính bậc hai và các mối quan hệ lƣợng giác đến tỷ
lệ thay đổi. Carlson và đồng nghiệp (2002) đã chỉ ra có năm hoạt động nhận thức khi
ngƣời học có thể tham gia vào các hoạt động suy luận đồng biến thiên. Mặc dù
nghiên cứu của Carlson đã đƣợc tiến hành trong mặt phẳng tọa độ Đề-các, nhƣng
những suy luận đồng biến thiên này còn cho thấy chúng có thể xuất hiện ở nhiều bối
cảnh khác nhau, nhiều hình thức khác nhau.
Hầu hết các kết quả nghiên cứu trƣớc đây đều cho thấy rằng ngƣời học gặp
khó khăn khi giải quyết các vấn đề đòi hỏi phải tiến hành suy luận đồng biến thiên.
Không chỉ ngƣời học mà ngay cả giáo viên cũng vậy, theo nghiên cứu của Zeytun,
Cetinkaya và Erbas (2010) giáo viên toán cũng thể hiện khả năng suy luận đồng
12



biến thiên ở mức thấp và gặp khó khăn khi trình bày và lí giải về đồ thị mô tả sự
đồng biến thiên giữa các đại lƣợng.
Muốn giúp ngƣời học khắc phục thì trƣớc hết chúng ta cần biết những khó
khăn đó là gì, sau đó là cần tìm hiểu quá trình “suy luận đồng biến thiên” đƣợc xây
dựng nhƣ thế nào. Nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên chỉ đơn thuần cung cấp
cách hiểu về đồng biến thiên và cho một vài ví dụ minh họa là không đủ để giúp
ngƣời học nghĩ ra ý tƣởng giải quyết vấn đề trong bài toán yêu cầu suy luận đồng
biến thiên.
Kết quả của các nghiên cứu trƣớc đây cũng chỉ ra rằng ngƣời học có xu hƣớng
lấy hình ảnh xuất hiện trong đầu họ làm trung tâm trong quá trình suy luận
(Thompson, 1994). Thompson (1994) đã chỉ ra rằng sự kết hợp của biểu diễn trực
quan, hình ảnh đầu tiên trong đầu, kinh nghiệm và ấn tƣợng đƣợc gợi lên bởi tên
“khái niệm” tạo thành cái gọi là hình ảnh khái niệm của cá nhân. Khi đã có các hình
ảnh gọi là khái niệm, ngƣời học lấy đó làm cơ sở để phát triển sự hiểu biết trong quá
trình giải thích các vấn đề liên quan bằng cách liên tục xây dựng các hình ảnh mới.
Các hình ảnh khái niệm cá nhân có vai trò tạo ra các kết nối giữa nhiều chủ đề
trong chƣơng trình hiện nay bao gồm tỷ lệ, hàm số, đại số, phép tính và phƣơng
trình vi phân. Với việc chuyển giao hình ảnh trong đầu, Thompson (1994) cho rằng
sự hiểu biết của ngƣời học về suy luận đồng biến thiên có thể phát triển dựa trên các
hình ảnh khái niệm của họ. Các hình ảnh đƣợc xem là các yếu tố cần thiết và quan
trọng trong quá trình suy luận ĐBT, chúng có ý nghĩa rất lớn với suy luận ĐBT và
xa hơn là con đƣờng suy luận trong quá trình học tập của của học sinh sau này.
Moore (2014) đã tổng hợp các ý tƣởng của các nhà nghiên cứu trƣớc đây khi
nhấn mạnh “Suy luận đồng biến thiên đòi hỏi những hoạt động trí tuệ liên quan đến
việc hình ảnh hai đại lƣợng biến đổi đồng thời”. Thompson (1994) cho rằng có thể
ƣớc lƣợng đƣợc sự biến thiên bằng việc dự đoán giá trị của các đại lƣợng ở các thời
điểm khác nhau. Castillo – Garsow (2012) cũng đồng ý với ý tƣởng đó khi cho rằng
tƣởng tƣợng sự thay đổi liên tục thông qua các đặc tính của của thế giới vật lý có lợi
cho ngƣời học khi đƣa ra suy luận hơn là những những hình ảnh dựa trên lý thuyết

rời rạc; Tuy nhiên, họ cũng cho rằng nếu ngƣời học kết hợp cả hai cách tƣ duy sẽ
mang lại lợi ích cho quá trình suy luận của họ hơn.
13


Các nghiên cứu về suy luận đồng biến thiên đã xuất hiện khá lâu trong các
nghiên cứu về giáo dục toán. Tuy nhiên, việc tìm hiểu về bản chất của hoạt động
suy luận này vẫn đang trong quá trình tiến triển. Rizzuti (1991) đã tiếp cận thuật
ngữ này một các trực quan khi mô tả khía cạnh đồng biến thiên của hàm số và cho
rằng hàm số có thể biểu thị mối quan hệ giữa các đại lƣợng biến thiên. Mối quan hệ
giữa các đại lƣợng đó là đồng biến thiên. Với cách tiếp cận này, khía cạnh đồng
biến thiên của hàm số thể hiện khi ngƣời học xác định đƣợc hai đại lƣợng biến thiên
đồng thời. Tuy nhiên, Rizzuti (1991) đã không đƣa ra bất cứ thông tin nào về định
nghĩa đồng biến thiên và hoạt động trí tuệ đặc trƣng cho hoạt động suy luận này.
Carlson và nhóm tác giả (2002) đã phát triển một khung lý thuyết khá toàn
diện về suy luận đồng biến thiên. Trong khung lý thuyết này, suy luận đồng biến
thiên đƣợc xem là những hoạt động nhận thức liên quan đến việc xác định mối liên
hệ giữa hai đại lƣợng cùng biến đổi. Suy luận đồng biến thiên gắn liền với việc xem
xét cách thức mà đại lƣợng này thay đổi dẫn dến sự thay đổi của đại lƣợng kia và
ngƣợc lại. Caslson và nhóm tác giả (2002) đã nghiên cứu hình ảnh về sự đồng biến
thiên của hai đại lƣợng trong quá trình phát triển. Các nhà nghiên cứu này cũng đã
phát triển thang mức đánh giá gồm năm mức độ trong khả năng suy luận đồng biến
thiên và mô tả những hoạt động nhận thức tƣơng ứng với năm mức độ suy luận đó .
2.3. Suy luận đồng biến thiên khi lí giải các tình huống hàm động
Theo Clement (1988), mô hình tĩnh là mô hình mô tả kiến thức cần thiết để
hiểu ý nghĩa của từng điểm nằm trên một đồ thị và có thể lặp lại quá trình đó cho
những điểm khác. Trong một mô hình tĩnh, ngƣời học chỉ xem xét các biến ở thời
điểm cụ thể và các giá trị cụ thể mà các biến có thể nhận đƣợc. Ngƣợc lại, mô hình
động là mô hình chỉ ra sự biến đổi đồng thời của ít nhất hai đại lƣợng, thể hiện qua
sự di chuyển của các điểm nằm trên đồ thị. Trong mô hình động ngƣời học xem xét

ảnh hƣởng của sự biến đổi của đại lƣợng này đến sự thay đổi của đại lƣợng kia.
Mối liên hệ giữa các đại lƣợng cùng biến đổi thƣờng đƣợc đặc trƣng bởi một
hàm số. Tuy nhiên những khó khăn vẫn nảy sinh khi ngƣời học không nhận ra
những biến số trong các đại lƣợng có liên hệ với nhau và không thấy đƣợc hàm số
là công cụ hữu hiệu để mô tả, giải thích và tiên đoán mối liên hệ giữa hai đại lƣợng
cùng biến đổi (Ärlebäck, Doerr và O’Neil, 2013).
14


Các nghiên cứu trƣớc đây cho thấy suy luận đồng biến thiên có vai trò trong
việc hỗ trợ ngƣời học xây dựng và giải thích các mô hình động, thay đổi liên tục.
Tuy nhiên, phát triển suy luận đồng biến thiên cho ngƣời học đến giờ vẫn là thách
thức với giáo viên và các nhà nghiên cứu giáo dục. Ngay cả sinh viên có thành tích
học tập tốt vẫn chƣa đạt đƣợc sự linh hoạt và nhuần nhuyễn cần thiết khi tiến hành
kiểu suy luận này, hoc sinh gặp khó khăn khi tiếp xúc với các tình huống hàm động
do chƣa hình dung đƣợc hình ảnh của sự biến đổi hoặc chƣa xác định đƣợc các đại
lƣợng nào thay đổi đồng thời (Johnson, 2015). Mặc dù đã có nhiều định nghĩa khác
nhau về suy luận đồng biến thiên nhƣng các nhà nghiên cứu giáo dục vẫn đồng ý
với quan điểm xem suy luận đồng biến thiên với các tình huống hàm động là khả
năng tƣởng tƣợng và khả năng xác định sự thay đổi giữa các đại lƣợng một cách
đồng thời (Zeytun, Cetinkaya và Erbas, 2010). Suy luận đồng biến thiên liên qua
đến hoạt động tạo ra và giải thích sự thay đổi của hai đại lƣợng cùng một lúc.
Để có thể tiến hành hoạt động suy luận đồng biến thiên hiệu quả, ngƣời học
cần đƣợc cung cấp nhiều hơn các kiến thức về tốc độ biến thiên để hỗ trợ trong việc
suy luận đồng biến thiên (Johnson, 2015). Theo Stewart (2008), khái niệm tốc độ
biến thiên có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm đạo hàm của hàm số. Cụ thể, tốc độ
biến thiên trung bình là tỉ số của số gia hàm số và số gia biến số. Tốc độ biến đổi
tức thời là là giới hạn của tỉ số của số gia hàm số và số gia biến số khi số gia biến số
dần về 0. Tốc độ biến đổi tức thời gắn liền với khái niệm đạo hàm của hàm số. Để
ngƣời học hiểu và có thể vận dụng các khái niệm tốc độ biến đổi vào giải quyết vấn

đề, trong quá trình dạy học GV cần đƣa ra các tình huống để học sinh tiếp cận với
những khái niệm này qua các ví dụ toán học cụ thể.
2.4. Khung lý thuyết
Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi. Chúng
tôi căn cứ vào các nghiên cứu trƣớc đó của các nhà giáo dục toán học về biểu
diễn toán động, suy luận đồng biến thiên.... Các cái nhìn mới đƣợc tìm ra và phát
triển trong những năm qua đƣợc chúng tôi tham khảo và bổ sung theo nhu cầu
nghiên cứu của mình.

15


2.4.1. Biểu diễn toán động
2.4.1.1 Biểu diễn toán học
Các kiểu biểu diễn trong giáo dục toán theo Tadao (2007) có thể đƣợc tổ chức
thành năm dạng sau:
• Biểu diễn kí hiệu: Là các biểu diễn sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán.
• Biểu diễn ngôn ngữ: Là các biểu diễn sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng
ngày nhƣ tiếng Việt, tiếng Anh.
• Biểu diễn trực quan: Các biểu diễn sử dụng các minh họa trực quan nhƣ hình vẽ,
sơ đồ, đồ thị, bảng biểu trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính.
• Biểu diễn thực thao tác đƣợc: Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba
chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác.
• Biểu diễn thực: Các biểu diễn dựa trên trên các trạng thái thực của đối tƣợng.
2.4.1.2. Biểu diễn toán động
BDTĐ trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các
thao tác tác động lên các đối tƣợng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng
các phần mềm hình học động, có thể thiết kế đƣợc các biểu diễn loại này để hỗ trợ
HS khám phá tri thức toán. BDTĐ có các đặc điểm sau:
- Thao tác là trực tiếp;

- Sự chuyển động là liên tục;
- Môi trƣờng thuận lợi cho các thao tác.
Dựa vào ba đặc điểm trên, việc sử dụng các BDTĐ cần tạo cho HS có sự chủ
động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong
những điều kiện cho phép, GV có thể cho HS tự thiết kế biểu diễn trực quan và
dùng nó để khảo sát, khám phá kiến thức cũng nhƣ giải quyết vấn đề.
Ví dụ: Cho hàm số y = ax 2 (a  0) có đồ thị (P), bạn có nhận xét gì về
hình dáng đồ thị của (P) khi hệ số a thay đổi.
Giải:
Qua thao tác cho a thay đổi thì hình dạng đồ thị (P) cũng thay đổi. Cụ thể
nhƣ sau:

16


a<0

a>0

Hình 2.1 Ví dụ về biểu diễn trực quan động
2.4.1.3. Biểu diễn toán động - Công cụ của tƣ duy
BDTĐ bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình toán học đƣợc thiết kế bằng
những phƣơng tiện công nghệ nhƣ máy tính điện tử, nó là công cụ thiết yếu để dạy,
học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực đƣợc thiết kế bằng phần
mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý tƣởng
toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các
phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng có thể hỗ trợ HS khảo sát các
tình huống toán trong nhiều lĩnh vực: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và
số. Với những công cụ và công nghệ phù hợp, HS có thể tập trung vào việc đƣa ra
các quyết định, phản ánh, suy luận, suy luận ĐBT và giải quyết các vấn đề toán học.

Các phần mềm xây dựng các mô hình động nhƣ GSP hay Cabri cung cấp cho
HS một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải
một cách quy nạp và hình thành những giả thuyết, giống với quá trình mà nhà toán
học thƣờng sử dụng trong những nghiên cứu của họ.
Có thể nói rằng, việc sử dụng BDTĐ sẽ tạo ra một môi trƣờng tích cực cho
HS tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết
quả, từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tƣợng, tìm cách chứng minh
các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy năng lực tƣ duy của HS.
2.4.2. Mô tả suy luận đồng biến thiên
Saldanha và Thompson mô tả sự biến thiên nhƣ là "giữ một hình ảnh bền vững
của hai giá trị độ lớn cùng một lúc” . Confrey và Smith giải thích rằng trong một sự
đồng biến thiên, “một hàm số đƣợc hiểu là xếp chồng lên nhau của hai chuỗi, mỗi
chuỗi đƣợc tạo ra một cách độc lập qua một mẫu các giá trị dữ liệu”. Cụ thể hơn, họ
17


thấy sự biến thiên nhƣ là một cách tiếp cận để hình thành các liên kết giữa các giá
trị trên miền và dải của một hàm số. Còn theo Carlson và đồng nghiệp (2002) suy
luận đồng biến thiên là các hoạt động nhận thức của một cá nhân liên quan đến việc
xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng cùng biến đổi, xem xét sự thay đổi của đại
lƣợng này với sự thay đổi của đại lƣợng kia.
Theo chúng tôi đồng biến thiên đƣợc hiểu là sự thay đổi cùng một lúc của hai
đại lƣợng nào đó hay nói cách khác sự thay đổi của đại lƣợng này sẽ dẫn đến sự
thay đổi của đại lƣợng kia. Suy luận đồng biến thiên là hoạt động của trí tuệ, HS sẽ
bắt đầu suy luận khi các em nhận ra đại lƣợng này thay đổi thì đại lƣợng kia cũng
thay đổi và từ đó xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng đó.
Ví dụ: Cho hàm số y  2 x3  5x 2  1 có đồ thị (C). Hai đại lƣợng x và y là hai
đại lƣợng đồng biến thiên. Cho điểm A chuyển động trên đồ thị (C), HS thấy giá trị
hoành độ của điểm A thay đổi thì giá trị tung độ của điểm A cũng thay đổi.


Hình 2.2 Giá trị hoành độ và giá trị tung độ của điểm A cùng thay đổi
Phát triển suy luận đông biến thiên trên các biểu diễn toán động có vai trò giúp
học sinh thấy đƣợc mối liên hệ giữa các đại lƣợng biến thiên. Tuy nhiên, những
nghiên cứu trƣớc đây đã cho thấy rằng việc suy luận đồng biến thiên gặp rất nhiều
khó khăn đối với ngƣời học do không đủ cơ sở (chƣa hiểu đƣợc bản chất của các
khái niệm giải tích nhƣ số gia biến số, số gia hàm số, đạo hàm, điểm uốn của đồ thị
hàm số...) để ngƣời học phát triển các ý tƣởng trong các bài toán yêu cầu suy luận
đông biến thiên.
Carlson và đồng nghiệp (2002) đã phát triển một khung lý thuyết khá đủ về
suy luận đồng biến thiên gồm có 5 mức để đánh giá khả năng suy luận về các đại
18


lƣợng đồng biến thiên của học sinh và các hoạt động nhận thức đối với các biểu
diễn toán động. Theo đó, suy luận đồng biến thiên đƣợc xem là những hoạt động
nhật thức liên qua đến việc xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng đồng biến thiên
khi chú ý đến cách thức mà đại lƣợng này thay đổi dẫn đến sự thay đổi của đại
lƣợng kia và ngƣợc lại.
2.4.3. Khung lý thuyết về các mức độ suy luận đồng biến thiên
Trong luận văn này, để phát triển suy luận đồng biến thiên của học sinh, chúng
tôi sử dụng và bổ sung khung lý thuyết suy luận đồng biến thiên đƣợc xây dựng và
phát triển của Carlson và đồng nghiệp (2002). Khung lý thuyết này gồm 5 mức. Để
đánh giá khả năng suy luận đồng biến thiên học sinh chúng tôi sử dụng một công cụ
phân loại suy luận đồng biến thiên gồm bảng mô tả hoạt động nhận thức liên quan
đến suy luận đồng biến thiên và bảng mô tả các mức độ suy luận đồng biến thiên đã
đƣợc bổ sung. Học sinh hoàn thành tƣơng đối một nhiệm vụ ở mức độ nào thì đƣợc
đánh giá đến mức độ đó trong hoạt động nhận thức cũng nhƣ mức độ suy luận đồng
biến thiên trong quá trình giải quyết vấn đề đó.
2.4.3.1. Hoạt động nhận thức khi tiến hành suy luận đồng biến thiên
Bảng 2.1. Hoạt động nhận thức khi tiến hành suy luận đồng biến thiên

Hoạt
động
nhận
thức

Mô tả hoạt
động nhận

Hành vi

Biểu diễn toán động

thức

Hoạt

Xác định giá

Đặt tên cho các trục tọa độ Kéo rê điểm hoặc thanh

động

trị của một

với các dấu hiệu bằng lời xác trƣợt tham số, quan sát

nhận

biến ứng với


định hai biến .

thức 1

sự thay đổi

(ví dụ: y thay đổi khi x thay này thay đổi thì giá trị

(HĐ1)

của biến

đổi).

đƣợc giá trị của biến
của biến kia cũng thay
đổi theo.

khác.
Hoạt

Xác định

+ Dựng một đƣờng thẳng Kéo rê điểm hoặc thanh

động

hƣớng thay

hƣớng lên (hoặc xuống) từ trƣợt tham số, xác định


nhận

đổi của một

trái sang phải.

đƣợc giá trị của biến này

19


thức 2

biến này so

+ Phát biểu bằng lời một nhận tăng thì giá trị của biến

(HĐ2)

với biến kia.

thức về chiều hƣớng thay đổi kia cũng tăng (hoặc
của biến đầu ra trong khi có giảm).
sự thay đổi của biến đầu vào.

Hoạt

Xác định


+ Dựng các điểm, dựng các Kéo rê điểm hoặc thanh

động

lƣợng thay

đƣờng cát tuyến.

nhận

đổi của biến

+ Phát biểu bằng lời một nhận đƣợc tọa độ các điểm

thức 3

này ứng với

thức về lƣợng thay đổi của biểu diễn trên mặt phẳng

(HĐ3)

lƣợng thay

biến đầu ra khi xem xét những tọa độ, lập bảng giá trị

đổi của biến

thay đổi của biến đầu vào.


trƣợt tham số, xác định

của hai biến tƣơng ứng

kia. (Lập

để lập biểu thức hàm số

biểu thức

(nếu có).

hàm số).
Hoạt

Xác định độ

động

biến thiên

nhau trên miền xác định.

nhận

trung bình

+Phát biểu bằng lời một nhận các đƣờng cát tuyến liên

thức 4


của hàm số

thức về độ biến thiên của biến tiếp nhau và lập bảng giá

(HĐ4)

với số gia

đầu ra (so với biến đầu vào) trị tƣơng ứng của hai đại

của biến đầu

khi xem xét số gia của biến lƣợng thay đổi để tính

vào .

+Dựng các cát tuyến liên tiếp Kéo rê điểm hoặc thanh

đầu vào.

trƣợt tham số, quan sát

độ biến thiên trung bình.

Hoạt

Xác định độ

+ Dựng một đƣờng cong trơn Kéo rê cho thanh trƣợt


động

biến thiên tức với các dấu hiệu rõ ràng về sự tham số đại diện cho số

nhận

thời của hàm

thức 5

số ứng với sự + Phát biểu bằng lời một nhận đƣợc độ biến thiên tức

(HĐ5)

thay đổi liên

thức về những thay đổi tức thời của hàm số ứng với

tục của biến

thời của độ biến thiên đối với sự thay đổi liên tục của

độc lập trên

toàn bộ miền xác định của biến kia.

thay đổi bề lồi, lõm của nó.

gia dần về 0, để xác định


toàn miền

hàm số (chiều hƣớng của bề Khi số gia dần tiến về 0

xác định của

lồi, lõm và điểm uốn phải thì cát tuyến sẽ trở thành

hàm số.

tiếp tuyến từ đó xác định

chính xác)

đƣợc bề lồi, bề lõm, và
điểm uốn của đồ thị.

20


Khả năng suy luận đồng biến thiên của học sinh đạt đến mức độ nhất định khi
nó hỗ trợ cho hoạt động nhận thức liên quan đến mức độ đó và các hoạt động liên
quan đến các mức độ thấp hơn.
Khái niệm về hình ảnh đƣợc dùng khi mô tả các mức độ của khung suy luận
ĐBT phù hợp với định nghĩa mà Thompson (1994) đƣa ra khi nó tập trung vào sự
linh hoạt của hoạt động trí tuệ. Khi hình ảnh của một cá nhân về sự ĐBT đƣợc phát
triển thì nó sẽ tạo điều kiện và hỗ trợ cho cá nhân đó tiến hành các hoạt động nhận
thức liên quan đến các hoạt động xác định mối liên hệ của hai đại lƣợng cùng biến
thiên, xem xét sự thay đổi của đại lƣợng này trong mối liên hệ với sự thay đổi của

đại lƣợng kia. Khung lý thuyết về khả năng suy luận ĐBT mô tả năm mức độ về
hình ảnh của ĐBT. Những hình ảnh của ĐBT hỗ trợ cho hoạt động suy luận ĐBT.
Bảng sau mô tả chi tiết khung lý thuyết về mức độ suy luận ĐBT do Carlson và
đồng nghiệp (2002) đƣa ra.
2.4.3.2. Mô tả các mức độ về khả năng suy luận đồng biến thiên của học sinh
Để mô tả các mức độ về khả năng suy luận ĐBT rõ hơn, chúng tôi xét ví
dụ sau đây:
Mô tả các mức độ về suy luận đồng biến thiên của học sinh về
hai đại lƣợng là chiều cao mực nƣớc (h) và thể tích nƣớc trong bình
(V) khi tiến hành đổ nƣớc từ từ lƣợng nƣớc đều nhau vào bình cho
đến khi đầy bình.
Bảng 2.2. Mô tả năm mức độ về suy luận đồng biến thiên
Mức độ

Mô tả

Mối liên hệ của (h) và (V).

Mức độ 1 Ở mức xác định này, những hình ảnh của đồng (V) thay đổi thì (h) cũng
Xác định
(M1)

biến thiên có thể hỗ trợ cho hoạt động nhận thay đổi.
thức trong việc xác định sự thay đổi của biến
này so với sự thay đổi của biến kia (HĐ1).

Mức độ 2 Ở mức định hƣớng, những hình của ảnh (V) tăng thì (h) cũng tăng.
Định

đồng biến thiên có thể hỗ trợ cho các hoạt


hƣớng

động nhận thức về việc xác định hƣớng

(M2)

thay đổi của một biến so với sự thay đổi
21


của biến kia.
Các hoạt động nhận thức đƣợc xác định
HĐ1 và HĐ2 đều đƣợc hỗ trợ bởi các hình
ảnh của ĐBT ở M2.
Mức độ 3 Ở mức xác định lƣợng thay đổi, những hình Gồm 3 giai đoạn:
Xác định

ảnh của đồng biến thiên có thể hỗ trợ cho - Từ đáy bình đến giữa

lƣợng

các hoạt động nhận thức liên quan đến việc bình lúc đầu (h) tăng

thay đổi
(M3)

xác định lƣợng thay đổi của biến này so với nhanh sau đó chậm dần;
sự thay đổi của biến kia. Các hoạt động


-Từ giữa bình đến cổ

nhận thức đƣợc xác định là HĐ1, HĐ2 và bình, lúc đầu (h) tăng
HĐ3 đƣợc hỗ trợ bởi các hình ảnh của ĐBT chậm sau đó nhanh dần.
ở M3.

- Từ cổ bình đến miệng
bình thì (h) tăng với tốc
độ không đổi.

Mức độ 4 Ở mức độ biến thiên trung bình, những Dựng các đƣờng nối các
Độ biến

hình ảnh của đồng biến thiên có thể hỗ trợ điểm trên đồ thị chú ý đến

thiên

các hoạt động nhận thức liên quan đến việc tốc độ biến thiên của (V)

trung

xác định độ biến thiên trung bình của hàm và (h), từ đó, điều chỉnh

bình

số với số gia của biến đầu vào. Độ biến độ dốc của từng giai

(M4)

thiên trung bình có thể giúp xác định sự đoạn.

thay đổi của biến đầu ra so với sự thay đổi
của biến đầu vào.
Các hoạt động nhận thức đƣợc xác định là
HĐ1 đến HĐ4 đƣợc hỗ trợ bởi các hình ảnh
của ĐBT ở M4.

Mức độ 5 Ở mức độ biến thiên tức thời, những hình Học sinh dựng đƣờng
Độ biến

ảnh của đồng biến thiên có thể hỗ trợ hoạt cong trơn, xác định bề lồi,

thiên tức

động nhận thức xác định tốc độ biến thiên bề lõm, điểm uốn của đồ

thời

tức thời của hàm số với sự thay đổi liên tục thị.

(M5)

của biến số trên miền xác định của hàm số.

22