ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LÊ THỊ TƢỜNG VI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT
NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN
VỚI MÔ HÌNH XXX

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM HƢƠNG THẢO

Thừa Thiên Huế, 2017
0


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lịch sử của từ học đƣợc bắt đầu từ khi ngƣời Trung Hoa cổ đại phát hiện ra các
đá từ thạch có khả năng định hƣớng Nam – Bắc và có khả năng hút các vật bằng
sắt. Nghiên cứu về từ học đƣợc mở ra vào thế kỷ 18 khi Girlbert viết cuốn sách về
điện và từ và sau đó là thí nghiệm về sự tƣơng tác giữa từ trƣờng và dòng điện
(của Oersted, các công trình của Ampere và Faraday) [2]. Các nghiên cứu về từ
học và các vật liệu từ thực sự phát triển nhƣ vũ bão ở thế kỷ 20 và vật liệu từ đã
thực sự đƣợc đƣa vào ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống và sản xuất hiện nay.

Các hệ từ tính thấp chiều nhƣ màng mỏng, chuỗi spin và các hạt nanô từ là
những đối tƣợng đƣợc nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây [1], chúng
đƣợc chế tạo từ các kim loại, hợp kim kim loại chuyển tiếp, perovskite, oxit đất
hiếm [1], [5], [8], [9]. Mục tiêu nghiên cứu của các nhà khoa học đối với các hệ
vật liệu này đều hƣớng tới việc tìm tòi và chế tạo ra những vật liệu mới với các
tính chất đặc biệt nhằm phục vụ cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật trong tƣơng
lai.
Từ học trong các hệ một chiều đã trở thành một vấn đề đƣợc quan tâm và
nghiên cứu liên tục cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm từ khi công trình của Ising ra
đời [1]. Đặc biệt các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ một chiều là một
trong những vấn đề thu hút nhiều sự quan tâm. Để giải thích các hiện tƣợng từ,
việc sử dụng mô hình Heisenberg là khá thích hợp, mô hình này mô tả một tập hợp
các mômen từ định xứ đƣợc ghép cặp với nhau thông qua tƣơng tác trao đổi.
Thông qua tƣơng tác trao đổi dị hƣớng giữa các thành phần spin, mô hình
Heisenberg đƣợc chia làm 3 loại: XYZ, XXZ và XXX. Nhiều phƣơng pháp khác
nhau đã đƣợc đƣa ra để giải quyết bài toán nghiên cứu chuỗi spin với ba mô hình
XYZ, XXZ và XXX [10]-[12] [15], [16], (xem phần 3). Nhƣ vậy có thể thấy, đây
là một trong những vấn đề đáng chú ý của vật lý hiện đại. Các nhà nghiên cứu trên
thế giới đi sâu vào nghiên cứu chuỗi spin vì chuỗi spin hiện nay đang là đối tƣợng
nghiên cứu cho các tiến trình thông tin lƣợng tử [14].

1


Vì các lý do trên, tôi đã lựa chọn “Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học
của chuỗi spin với mô hình XXX” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin Heisenberg với
mô hình XXX sử dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
3. Lịch sử nghiên cứu của đề tài

a. Ở ngoài nước
Các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ một chiều là một trong những
vấn đề thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới. Trong số các
mô hình đƣợc sử dụng để mô tả và giải thích các tƣơng tác của hệ spin định xứ,
mô hình Heisenberg đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Về mặt lý thuyết, các
tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin sắt từ đã đƣợc nghiên cứu sử dụng
phép biến đổi Jordan – Wigner trong gần đúng trƣờng trung bình với mô hình
Heisenberg XYZ (S=1/2) [12]; lý thuyết hàm Green bậc hai và mô phỏng Monte
Carlo cho các hệ sắt từ một chiều và hai chiều với S bất kỳ trong một từ trƣờng và
cung cấp một mô tả khá tốt cho trật tự từ vùng ngắn và các tính chất nhiệt động
học của các hệ [10]; nhóm của V. Fridkin sử dụng các phƣơng trình Bethe-Ansatz
để nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin XXZ hữu hạn với
các điều kiện biên tự do [16]. Bên cạnh đó các tính chất nhiệt động lực học của
chuỗi spin phản sắt từ Heisenberg lƣợng tử với S=1/2, 1 và 3/2 cũng đƣợc Tao
Xiang nghiên cứu sử dụng phƣơng pháp nhóm chuẩn hóa ma trận chuyển [15].
Phƣơng pháp tích phân phiếm hàm là một phƣơng pháp nghiên cứu đáng tin
cậy trong vật lý lý thuyết, phƣơng pháp này đã đƣợc sử dụng để nghiên cứu các hệ
spin ba chiều [17] và hai chiều [6], [7]. Tuy nhiên, vẫn chƣa có công trình nào sử
dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu các chuỗi spin một chiều.
b. Ở trong nước
Không nằm ngoài xu hƣớng chung của thế giới, vài năm gần đây các hệ từ tính
thấp chiều cũng đang thu hút nhiều nhóm trong nƣớc, đặc biệt tại các trung tâm
nghiên cứu lớn của Việt Nam nhƣ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Quốc gia
thành phố Hồ Chí Minh, Viện Vật lý. Tuy nhiên, chỉ có nhóm của GS. TS. Bạch
2


Thành Công tại trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đang tập trung vào
nghiên cứu các tính chất các hệ spin giả hai chiều, cụ thể là màng mỏng kích thƣớc
nanômét sử dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm [6], [7].

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
 Phƣơng pháp tính số.
5. Nội dung nghiên cứu
 Các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXX.
 Nghiên cứu sự phụ thuộc của các đại lƣợng nhiệt động lực học vào nhiệt độ
và từ trƣờng ngoài.
6. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi
spin tuyến tính với mô hình XXX trong gần đúng trƣờng trung bình và gần đúng
thăng giáng spin.
7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia làm 3 phần.
 Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử nghiên
cứu, phƣơng pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố cục
luận văn.
 Phần nội dung: Gồm 3 chƣơng
 Chƣơng 1: Nghiên cứu lý thuyết tổng quan về từ học nguyên tử, mô hình
Heisenberg cho hệ spin định xứ, lý thuyết trƣờng trung bình, các hệ từ tính
thấp chiều và tính chất nhiệt động lực học.
 Chƣơng 2: Nghiên cứu các tính chất của chuỗi spin với mô hình XXX sử
dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm, và các đại lƣợng nhiệt động học.
 Chƣơng 3: Trình bày kết quả tính số và thảo luận.
 Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả chính đạt đƣợc, kết luận và đề ra phƣơng
hƣớng nghiên cứu tiếp theo.

3


NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN
1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1. Từ trƣờng
1.1.2. Từ độ
Các vật liệu bị từ hòa nhiều hay ít trong từ trƣờng đƣợc gọi là vật liệu từ. Từ độ
hay còn gọi là độ nhiễm từ hoặc độ từ hóa là do vật vật liệu từ tạo ra và đƣợc hiểu
là số mômen từ trên một đơn vị thể tích.
Xét một yếu tố thể tích dv của vật liệu với mômen từ tổng cộng là dm .Thì từ độ
(độ từ hóa) đƣợc xác định nhƣ sau:
dm
.
M 
(1.4)
dv
Với mômen từ đặc trƣng cho khả năng chịu tác dụng bởi từ trƣờng của nam châm.
Đơn vị của từ độ M là A/m.
1.1.3. Cảm ứng từ
1.1.4. Độ từ thẩm và hệ số từ hóa
Độ từ thẩm kí hiệu là  , là hệ số tỷ lệ của cảm ứng từ khi vật liệu đƣợc từ hóa.


B   h.

(1.5)
Độ cảm từ xác định cho phép ta xác định “độ nhạy cảm” về từ hóa vật liệu dƣới
tác dụng của từ trƣờng ngoài.


M h.


(1.6)

Đơn vị của  là Henry/mét (H/m) và  là thông số quan trọng để phân biệt các
loại vật liệu từ.
Phân loại vật liệu từ
1.3. Các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ tính
1.3.1. Các hệ thức nhiệt-từ và calo-từ
Các hệ thứ nhiệt-từ và calo-từ trình bày mối liên hệ giữa các đại lƣợng nhiệt
động cho các vật liệu từ. Thế nhiệt động trong trƣờng hợp không có từ trƣờng nhƣ
ta đã biết bao gồm các hàm:
1.2.

4


 Nội năng:
dU  TdS  PdV , U  U (S ,V ) .

(1.13)

 Năng lƣợng tự do:
F  U  TS , dF  SdT  PdV , F  F (T ,V ).

(1.14)

 Thế nhiệt động:
  U  TS  PV , d  SdT  PdV ,    (T , P).

(1.15)


Khi có từ tƣờng, các biểu thức này trở thành:
dU  TdS  PdV  hdM ;
F  U  TS , dF   SdT  PdV  hdM ;
  U  TS  PV  hM , d   SdT  PdV  Mdh.

(1.16)

Từ đó ta có:
  
  
  
S  
 , V    , M    .
 T  Ph
 P Th
 h TP

(1.17)

1.3.2. Tính toán mômen từ dựa trên vật lý thống kê
1.4. Mô hình Heisenberg cho hệ spin định xứ và lý thuyết trƣờng phân tử
Weiss
Xét một vật rắn gồm N nguyên tử giống nhau đƣợc sắp xếp đều đặn trong mạng
tinh thể. Mỗi nguyên tử có spin điện tử S và mômen từ  liên hệ với spin bằng
công thức:

  g B S ,

(1.22)


ở đây g là thừa số Lande và  B là manheton Borh. Khi hệ đƣợc đặt trong từ
trƣờng ngoài h thì Hamiltonian H0 có dạng:
N

H 0   g  B h S j .

(1.23)

j 1

Thêm vào đó mỗi spin còn có thể tƣơng tác với các spin lân cận, năng lƣợng tƣơng
tác phụ thuộc vào sự định hƣớng tƣơng đối của các spin. Tƣơng tác giữa các spin
gọi là tƣơng tác trao đổi với Hamiltonian có thể đƣợc viết là:

5


H int  

1
Jij Si S j .
2 i, j

(1.24)

Đó đƣợc biết nhƣ là Hamiltonian Heisenberg. Trong (1.24) J ij là hằng số tƣơng
tác trao đổi giữa spin thứ i và spin thứ j, phụ thuộc vào sự chồng chéo của các
hàm sóng, nó giảm nhanh khi khoảng cách giữa các spin tăng lên. Thƣờng J ij
đƣợc cho khác không chỉ giữa hai spin lân cận gần nhất. Nếu chúng ta giả sử
tƣơng tác trao đổi giữa các spin là nhƣ nhau, tức là J ij  J , thì

1
H int   J Si S j .
2 i j

(1.25)

Nếu J > 0, các spin làm giảm năng lƣợng của chúng bằng cách định hƣớng song
song với nhau, ta có tƣơng tác trao đổi sắt từ. Nếu J < 0, các spin sắp xếp đối
song với nhau để đạt đến cấu hình spin có năng lƣợng thấp nhất của chúng, ta có
tƣơng tác trao đổi phản sắt từ.
CHƢƠNG 2: NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
CỦA CHUỖI SPIN VỚI MÔ HÌNH XXX SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH
PHÂN PHIẾM HÀM
2.1. Giới thiệu
Các tính chất của các hệ từ tính thấp chiều bị ảnh hƣởng mạnh bởi thăng giáng
nhệt lƣợng tử. Khi giảm số chiều của hệ từ tính, các thăng giáng spin nhiệt sẽ đƣợc
tăng cƣờng làm cho trật tự từ của hệ bị giảm xuống. Tuy nhiên, một số mô hình đã
không tính đến các thăng giáng spin mặc dù các thăng giáng spin này đóng một
vai trò quan trọng trong các hệ từ tính thấp chiều [10], [12], [15]. Định lý Mermin
và Wagner [13] chỉ ra một cách tổng quát rằng các mô hình Heisenberg đẳng
hƣớng một và hai chiều với các tƣơng tác trao đổi vùng hữu hạn không thể là sắt
từ hoặc phản sắt từ ở nhiệt độ hữu hạn.
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của
chuỗi spin lƣợng tử tuyến tính sắt từ với mô hình Heisenberg XXX với S tùy ý sử
dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
6


2.2. Mô hình và các đại lƣợng nhiệt động lực học
Chúng tôi xét một chuỗi tuyến tính gồm N spin nằm dọc theo hƣớng z.

Hamiltonian của mô hình Heisenberg XXX với spin tùy ý S cho chuỗi spin một
chiều nằm trong một từ trƣờng ngoài h theo hƣớng z có dạng:
1
H   hS zj   J z j  z j '  S jx S jx'  S jy S jy'  S jz S jz'  ,
2 j, j '
j




   x, y, z  và  S   S S



(2.1)



trong đó: J z j  z j '  J j , j '  J là tích phân trao đổi giữa spin S j và spin S j ' với
2

x
j

j

x
j'

 S jy S jy  S jz S jz  S  S  1 .


Các thành phần của các thăng giáng spin đƣợc định nghĩa là:

 S zj  S zj  S zj ,  S xj  S xj ,  S jy  S jy ;

(2.2)

Thay (2.2) vào (2.1) ta có:
H int  
H0 

 

1
J (k z ) S   k z   S  k z ,

2 kz

1
NJ  k z  0  S z
2

2



  h  J  kz  0 S z
j

S ,


(2.3)

z
j

H  H 0  H int .

2.2.1. Năng lƣợng tự do
Biểu thức cho hàm năng lƣợng tự do của hệ:
F  F0 

 1

ln  (d )exp    (q )  (q )  Fint [ ] ,

 2 q ,

1

(2.24)

với
F0  

1








ln Tre   H 0 

N
J  kz  0 S z
2

Sz 

N



ln

sh( S  1 / 2) y
.
sh  y / 2 

Phiếm hàm tƣơng tác Fint [ ] trong (2.24) có dạng:



Fint [ ]   ln T exp   J 1/2 (k z )q  Sq 
 q   x, y , z

ở đây ...


0









 Tr e   H 0 ... Tr e   H 0 .
7

,
0

(2.31)


Theo [17] phiếm hàm Fint [ ] có dạng đơn giản nhƣ sau:

 Fint [ ] 

1
 J 1/2 (k z1 )J 1/2 (k z 2 )

2! q1 ,q2




  (1 ) (2 ) ( k 1  k 2 ) b'( y ) z ( q1 ) z ( q 2 )

(2.41)



+ 4b( y ) K 01 ( y ) (k 1  k 2 ) (1  2 )  (q1 )  (q 2 ) ;
Tính toán tích phân phiếm hàm, sử dụng phiếm hàm tƣơng tác Gaussian, chúng
tôi nhận đƣợc biểu diễn cho hàm trạng thái của chuỗi spin với mô hình XXX:
F



N
J  0 S z
2




2



N



.ln


sh  S  1 / 2  y 1

y
2
sh
2

 ln 1   b '  y  J  k z  
kz

(2.43)

 ln 1  exp   y   b  y  J  k z       ln 1  exp   y  .

1

1

kz

kz

2.2.2. Nội năng
+ Trong gần đúng trường trung bình
Nội năng U 0 đƣợc tính bởi công thức:
U0 

d   F0 
d


.

(2.44)

Ta tính đƣợc:
U0 

b  y  y
N
N g  y  y
J  kz  0 b2  y   N  J  kz  0 b  y 

,
2
y  g  y  y 

(2.45)

trong đó:
g  y 

sh  S  1 2  y
sh  y 2 

,

h  J  kz  0 b  y 
y

.

b  y 

1   J  kz  0
y

+ Trong gần đúng thăng giáng spin
Ta có biểu thức tính nội năng:
U

 F


.
8

(2.46)


Thực hiện các phép tính đạo hàm theo  , ta thu đƣợc biểu thức nội năng trong
gần đúng thăng giáng spin nhƣ sau:
U

b  y 
N
1 g  y 
J  kx  0 b2  y   N  J  kz  0 b  y 
N
2

g  y  

exp   y  y 



1
2



b  y  y 

1
1

b
y
J
k


J
k









z
z
2 1   b  y  J  k z  
y  

 ln 1   b  y  J  k z  

1  exp   y 

1  exp   y   b  y  J  k z     exp   y   J  k z  b  y  
ln 

 
1  exp   y 
 1  exp   y   J  k z  b  y  
b  y  
 y
 
 b  y  J  kz   b  y  J  kz 
.
 
 
1

(2.47)
2.2.3. Nhiệt dung riêng
+ Trong gần đúng trường trung bình
Công thức tính nhiệt dung riêng trong gần đúng trƣờng trung bình:

C0  k B  2


U 0
.


(2.48)

Thông qua tính toán, ta thu đƣợc biểu thức nhiệt dung riêng nhƣ sau:
b  y 
b  y 

C0  k B  N  2 J  k z  0  b  y 
 N  2 J  kz  0b  y 



 b  y  
  b  y  
3
 N  J  kz  0 b  y  
  N  J  kz  0b  y  

   
  
2

3

 N 2


(2.49)

 1    g  y   
  1  g  y 
 N  2 




 .
  g  y   
g
y







 



+ Trong gần đúng thăng giáng spin
Từ công thức tính nhiệt dung riêng:

C  k B  2

U

.

9

(2.50)


2.2.4. Độ từ hóa
+ Trong gần đúng trường trung bình
Ta có biểu thức độ từ hóa trong gần đúng trƣờng trung bình:
m0  S0z ;

(2.51)
và S0z  b  y  , với b  y  là hàm Brillouin.
+ Trong gần đúng thăng giáng spin
Chúng ta có thể thu đƣợc thêm các tính chất của chuỗi spin bằng cách tính
toán các hàm tƣơng quan spin-spin:
G zj1 j2

^



( 1 , 2 )  G (z j1  z j2 , 1   2 )  T S zj1  1   S z
z

S

z
j2


 2  

Sz

^

G xj1 j2 ( 1 , 2 )  G x (z j1  z j2 , 1   2 )  T S jx1  1  S jx2  2 


(2.52)

^

G jy1 j2 ( 1 , 2 )  G y (z j1  z j2 , 1   2 )  T S jy1  1  S jy2  2 
Biến đổi Fourier của các hàm tƣơng quan spin có dạng:

G   z ,  

1
N

Gf  k z ,   

 Gf  k z ,   exp i  ik z z  ,

k z ,

1




 G  z,  exp - i  ik z z  d .
 z f

(2.53)



0

Trong (2.53),  là biến số thời gian,    1   2 và z  z j1  z j2 . Sự thăng giáng
của các spin định xứ đƣợc suy ra từ biểu thức (2.52) và (2.53) khi   0, z  0 :
2

S

  G (0,0) 


1
Gf  k z ,   ;

N  ,k z ,

Trong gần đúng phép Gauss bức tranh Fourier của hàm tƣơng quan spin-spin cho
mỗi vị trí trở thành:

S


2

  S x S x   S y S y   S z S z ;

với
10


 S z S z 

b'  y 
1
1
z
G
k
,


,




f
z
N kz ,
N kz 1   b'  y  J  k z 

 S x S x 


b  y 
1
1
x
G
k
,


,




f
z
N kz ,
N kz exp y   b  y  J cx  k z   1

 S y S y 

1
N



 Gfy  k z ,  

b  y 

N

k z ,

 exp
kz



1

 y   b y

J cy

 kz 

(2.55)

,
1

ở đây b'  y  là đạo hàm bậc nhất của hàm Brillouin.
Ta có công thức tính độ thăng giáng spin  m , độ từ hóa trên mỗi spin m :



m  S
và


m S

z

2



1/2



(2.56)

,

 S  S  1   S

2



1/2

.

2.2.5. Độ cảm từ
+ Trong gần đúng trường trung bình
Độ cảm từ trong gần đúng trƣờng trung bình có dạng:


0 

m0
.
h

(2.58)

Ta tính đƣợc:

0 

b  y 
y



b  y 
1   J  kz  0
y

với y    h  b  y  J  k z  0   .
+ Trong gần đúng thăng giáng spin

11

,

(2.59)




b''  y 




2
 1   b'  y  J  k z  



b ' y 


m
1 y 



. 


exp

y


b
y

J
k

1
h
2mN h kz 






z




   x , y  b  y  exp   y   b  y  J  k z   1   b'  y  J  k z    






exp   y   b  y  J  k z    1




(2.60)

ở đây b''  y  là đạo hàm bậc hai của hàm Brillouin.
2.3. Kết luận chƣơng 2
Trong chƣơng này chúng tôi đã sử phƣơng pháp tích phân phiếm hàm để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học nhƣ năng lƣợng tự do, nhiệt dung
riêng, thăng giáng spin, độ từ hóa và độ cảm từ của chuỗi spin lƣợng tử tuyến
tính sắt từ với mô hình Heisenberg XXX, trong mô hình này các tƣơng tác trao
đổi giữa các thành phần spin là tƣơng tác trao đổi vùng hữu hạn (chỉ xét giữa các
spin lân cận gần nhất) nhằm nghiên cứu ảnh hƣởng của thăng giáng spin lên các
tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin khi không có và khi có từ trƣờng
ngoài hữu hạn sẽ đƣợc chỉ ra trong chƣơng 3.
CHƢƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Trong chƣơng này, chúng tôi sử dụng hằng số tƣơng tác trao đổi giữa các
spin lân cận gần nhất J nhƣ một thang đo năng lƣợng mới, cụ thể trƣờng ngoài sẽ
đƣợc biểu diễn nhƣ h/J, nhiệt độ là kBT/J, độ cảm từ là  J , năng lƣợng tự do là
F/J và nhiệt dung riêng là C/kB.
3.1. Trong gần đúng trƣờng trung bình (MFA)
(a) Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động lực học
Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lƣợng nhiệt động lực học nhƣ độ từ hóa, độ
cảm từ, năng lƣợng tự do và nhiệt dung riêng trên mỗi spin khi không có từ trƣờng
ngoài h/J=0,0 trong MFA, với S=1/2 đƣợc chỉ ra trong các hình 3.1 – 3.4. Các kết
12


quả tính số chỉ ra có sự chuyển pha bậc hai với các tham số đƣợc đƣa ra nhƣ trên
(hình 3.2 và 3.4) ứng với các đỉnh trong đồ thị biểu diễn độ cảm từ  J và nhiệt

m0

dung riêng C/kB theo nhiệt độ.


kBT/J

Hình 3.1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa khi không có từ trƣờng ngoài.

S=1/2, h /J=0.0

Hình 3.2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ khi không có từ trƣờng ngoài.

13


F0/J

S=1/2, h /J=0.0

kBT/J

Hình 3.3: Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lƣợng tự do khi không có từ trƣờng ngoài.
1.5

S=1/2, h /J=0.0

C/k B

1

0.5

0


0

0.1

0.2

0.3
k BT/J

0.4

0.5

0.6

Hình 3.4: Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng khi không có từ trƣờng ngoài.

(b) Sự phụ thuộc từ trường ngoài của các đại lượng nhiệt động lực học
Hình 3.5 và 3.6 biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa, độ cảm từ và
năng lƣợng tự do với các giá trị khác nhau của từ trƣờng ngoài h/J. Có thể thấy khi
h/J tăng dần, đỉnh của độ cảm từ cũng tăng dần về phía tăng của nhiệt độ, kết quả
này tƣơng ứng với nhiệt độ chuyển pha tăng dần theo h/J, khi từ trƣờng ngoài lớn
sẽ không còn xuất hiện sự chuyển pha bậc hai, tƣơng ứng với trật tự từ của hệ spin
14


m

không thể bị phá hủy một cách hoàn toàn bởi một nhiệt độ hữu hạn khi có từ
trƣờng ngoài đủ lớn.


kBT/J

Hình 3.5: Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lƣợng tự do ứng với các giá trị khác nhau của
từ trƣờng ngoài.

kBT/J

Hình 3.6: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ ứng với sự thay đổi các giá trị của từ
trƣờng ngoài.

Sự phụ thuộc từ trƣờng ngoài của độ từ hóa đƣợc chỉ ra trong hình 3.7 khi nhiệt
độ kBT/J=0,3. Từ các kết quả tính số trong các hình này có thể thấy là độ từ hóa
15


tăng theo từ trƣờng ngoài và cuối cùng đạt tới hằng số khi tất cả các spin định
hƣớng hoàn toàn theo từ trƣờng ngoài. Đây là kết quả của sự cạnh tranh giữa năng
lƣợng nhiệt và năng lƣợng từ (đƣợc gây ra bởi từ trƣờng ngoài) của chuỗi spin.
1
0.9998
0.9996

m0

0.9994
0.9992
0.999
0.9988
0.9986


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

h/J

Hình 3.7: Sự phụ thuộc cƣờng độ từ trƣờng ngoài của từ độ khi S=1, kBT/J=0,3.

3.1 Trong gần đúng thăng giáng spin (SFA)
Đầu tiên, trong SFA thông qua các kết quả tính số chúng tôi muốn chỉ ra trong
các hệ thấp chiều khi không có từ trƣờng ngoài với mô hình Heisenberg đẳng
hƣớng không tồn tại trật tự từ (sắt từ hoặc phản sắt từ) nếu tƣơng tác giữa các spin
là tƣơng tác vùng hữu hạn. Hình 3.8 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của các thành
phần của thăng giáng spin của chuỗi spin tuyến tính khi không có từ trƣờng ngoài.
Chúng ta có thể thấy là thành phần z của thăng giáng spin nhỏ hơn rất nhiều so với
thành phần x và y. Đó là bởi vì trong luận văn này chúng tôi xét từ trƣờng ngoài và
do đó là trƣờng trung bình theo phƣơng z bên cạnh thăng giáng spin  S z , còn theo
phƣơng x và y tôi chỉ xét các thăng giáng  S x và  S y theo công thức:


 S zj  S zj  S zj ,  S xj  S jx ,  S jy  S jy .

16


Thăng giáng spin

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các thành phần của thăng giáng spin khi không có
từ trƣờng ngoài h/J=0,0. Hình chèn vào chỉ ra thành phần z của thăng giáng spin.

Vì vậy thăng giáng spin toàn phần rất lớn dẫn đến trật tự từ của các hệ thấp chiều
bị phá hủy theo công thức:
 2

 
m  S z   S     S S
    x, y , z

2


 S  S  1   S



1/2



 .




Khi so sánh với trật tự từ của chuỗi spin trong trong gần đúng trƣờng trung bình
(hình 3.1) theo công thức m0  S z

0

 b  y0  , có thể thấy là trong gần đúng

trƣờng trung bình có tồn tại nhiệt độ tới hạn kBTC / J  0 , tuy nhiên khi xét đến
các thăng giáng spin thì trật tự từ không còn nữa, kết quả này hoàn toàn phù hợp
với nguyên lý Mermin-Wagner [13].
Hình 3.9 – 3.11 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của thăng giáng spin, độ từ hóa và
độ cảm từ của chuỗi spin với các giá trị khác nhau của từ trƣờng h/J trong gần
đúng thăng giáng spin (SFA). Từ các hình này có thể thấy là khi từ trƣờng ngoài
càng lớn thì các thăng giáng nhiệt càng nhỏ. Đây là kết quả của sự cạnh tranh giữa
năng lƣợng nhiệt và năng lƣợng từ (đƣợc gây ra bởi từ trƣờng ngoài). Khi từ
trƣờng nhỏ (ví dụ h/J=0,05 và h/J=0,1), thông qua đƣờng biểu diễn độ cảm từ
17


chúng ta có thể thấy có chuyển pha bậc hai trong hệ (điểm kì dị của đƣờng cong
biểu diễn  J theo kBT/J); khi từ trƣờng lớn (ví dụ h/J=0,3 và h/J=0,5), chúng ta
không thể tìm thấy điểm chuyển pha này, nhƣ đƣợc chỉ ra trong hình 3.10 cho độ
từ hóa. Đó là bởi vì dƣới tác dụng của từ trƣờng lên hệ spin, rất khó để phá vỡ trật
tự từ của hệ.

Hình 3.9: Sự phụ thuộc nhiệt độ của thăng giáng spin với các giá trị khác nhau của từ
trƣờng ngoài, ở đây S=1/2.


Hình 3.10: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của từ trƣờng
ngoài trong SFA, ở đây S=1/2.
18


Hình 3.11: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với các giá trị khác nhau của từ trƣờng
h/J trong SFA.

Mặc khác từ hình 3.11 có thể thấy độ cảm từ  J triệt tiêu khi kBT/J rất nhỏ, do
đó  J có một đỉnh cực đại ở Tm , ở đây Tm tăng và độ cảm của  J giảm khi từ
trƣờng ngoài tăng, kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả đƣợc chỉ ra trong
[10] của nhóm tác giả I. Juhász Junger cho S=1/2 với mô hình Heisenberg đẳng
hƣớng sử dụng lý thuyết hàm Green bậc hai.
Ngoài ra, sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ và độ từ hóa trong gần đúng
trƣờng trung bình còn đƣợc chỉ ra trong hình 3.12 – 3.14. Các kết quả về hành vi
phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa và độ cảm từ trong MFA của công trình này phù
hợp với các kết quả của nhóm tác giả I. Juhász Junger [10] tốt hơn so với trong
gần đúng thăng giáng spin. Đó là bởi vì trong [10] mặc dù có xét đến các hàm
tƣơng quan spin-spin tuy nhiên các thăng giáng vẫn chƣa đƣợc tính đến.

19


0.5

h/J=0.005

0.4


h/J=0.05
m0

0.3
0.2
0.1
0
0

0.5

1

1.5

k BT/J

Hình 3.12: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ Hình 3.13: Sự phụ thuộc nhiệt độ
với h/J=0,005 và 0,05 trong MFA, ở đây S=1/2. của độ từ hóa với h/J=0,005 và
Hình chèn vào chỉ ra kết quả của nhóm I. Juhász 0,05 trong MFA, ở đây S=1/2.
Junger.

Hình 3.14: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với h/J=0,005 và 0,05 trong SFA, ở đây
S=1/2. Hình chèn vào chỉ ra kết quả của độ từ hóa trong SFA.

Hình 3.15 và hình 3.16 chỉ ra độ từ hóa và năng lƣợng tự do của mỗi spin với
các giá trị khác nhau của h/J trong MFA và SFA. Từ 2 hình này có thể thấy là
trong SFA khi trƣờng nhỏ, ví dụ h/J=0,01, các thăng giáng spin vẫn còn khá lớn
20



m

do đó ảnh hƣởng đến các tính chất nhiệt động lực học của hệ. Khi trƣờng lớn, ví
dụ h/J=0,5, lúc này các thăng giáng spin khá ổn định do đó sự phụ thuộc nhiệt độ
của các đại lƣợng nhiệt động lực học trong SFA gần giống nhƣ trong MFA.

kBT/J

Hình 3.15: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của từ trƣờng
h/J trong MFA và SFA, các đƣờng đi từ trong ra ngoài lần lƣợt tƣơng ứng với h/J=0,01,
0,05, 0,1 và 0,5, ở đây S=1.

kBT/J

Hình 3.16. Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lƣợng tự do với các giá trị khác nhau của từ
trƣờng h/J trong MFA và SFA, các đƣờng đi từ trên xuống dƣới lần lƣợt tƣơng ứng với
h/J=0,01, 0,05, 0,1 và 0,5, ở đây S=1.

21


2

m-m

1.5

m


1

m

0.5

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

h/J

Hình 3.17. Sự phụ thuộc từ trƣờng ngoài của độ từ hóa và thăng giáng spin, ở đây S=1
và kBT/J=0,5.

Hình 3.17 chỉ ra sự phụ thuộc từ trƣờng ngoài của độ từ hóa m và thăng giáng
spin δm khi kBT/J=0,5. Từ các kết quả tính số có thể thấy là thăng giáng spin giảm
nhanh khi tăng từ trƣờng ngoài và đạt tới giá trị 0 khi từ trƣờng ngoài đủ lớn, trong
khi đó độ từ hóa lại tăng theo từ trƣờng ngoài và cuối cùng đạt tới hằng số khi tất

cả các spin đều định hƣớng theo từ trƣờng ngoài. Đây là kết quả của việc “cố
định” spin bởi từ trƣờng ngoài, vì vậy dẫn tới sự biến mất của các thăng giáng
spin.
3.2 Kết luận chƣơng 3
Từ các kết quả giải tích đƣợc đƣa ra trong chƣơng 2 chúng tôi đã sử dụng phần
mềm Matlab để xây dựng các chƣơng trình từ đó đƣa ra các kết quả tính số chỉ ra
sự phụ thuộc nhiệt độ và từ trƣờng ngoài của các đại lƣợng nhiệt động lực học
trong gần đúng trƣờng trung bình và gần đúng thăng giáng spin. Từ các kết quả
tính số chúng tôi đã chỉ ra ảnh hƣớng của thăng giáng spin lên các tính chất nhiệt
động lực học của chuỗi spin, đồng thời so sánh với các kết quả của nhóm I.Juhász
Junger.

22


KẾT LUẬN
Trong luận văn này, các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin lƣợng tử
với tƣơng tác trao đổi lân cận gần nhất trong mô hình Heisenberg đẳng hƣớng
XXX đƣợc nghiên cứu sử dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm, từ đó chúng
tôi đã nhận đƣợc một số kết quả nhƣ sau:
(1) Nghiên cứu một số lý thuyết cơ bản về từ học nhƣ từ học nguyên tử, mô
hình Heisenberg cho hệ spin định xứ, lý thuyết trƣờng trung bình và tính
chất nhiệt động lực học.
(2) Nhận đƣợc kết quả giải tích cho các đại lƣợng nhiệt động lực học của chuỗi
spin lƣợng tử trong MFA và SFA. Từ các kết quả tính số chúng tôi nghiên
cứu sự phụ thuộc nhiệt độ và từ trƣờng ngoài của các đại lƣợng nhiệt động
lực học. Các kết quả tính số mô tả hành vi phụ thuộc nhiệt độ và từ trƣờng
ngoài của các độ từ hóa và độ cảm từ phù hợp khá tốt với các kết quả của
nhóm tác giả I.Juhász Junger trong cùng điều kiện. Các kết quả chỉ ra rằng
do ảnh hƣớng của thăng giáng spin mà trong các hệ spin 1 chiều đƣợc mô tả

bởi mô hình Heisenberg đẳng hƣớng với tƣơng tác trao đổi giữa các spin lân
cận gần nhất khi không có từ trƣờng ngoài không tồn tại trật tự từ, kết quả
này phù hợp với nguyên lý Mermin-Wagner. Kết quả của luận văn làm
chính xác hóa thêm các kết quả của lý thuyết trƣờng trung bình đƣợc phát
triển bởi các tác giả khác.
Luận văn có thể đƣợc mở rộng để nghiên cứu những hƣớng sau trong tƣơng lai:
 Tính các bậc gần đúng Gaussian cao hơn sử dụng phƣơng pháp tích phân
phiếm hàm để gia tăng mức độ chính xác của mô hình tính toán.
 Đƣa vào sự cạnh tranh tƣơng tác theo mô hình J1-J2 hoặc đƣa vào tính dị
hƣớng của hệ spin và tƣơng tác lƣỡng cực trong mô hình Heisenberg sử
dụng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm để mô hình lý thuyết gần hơn với
các hệ thực.

23


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
1.
Nguyễn Hữu Đức (2008), Vật liệu từ cấu trúc nanô và điện tử học spin,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
2.
Nguyễn Phú Thùy (2004), Vật lý các hiện tượng từ, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội.
3.
Thân Đức Hiền, Lƣu Tuấn Tài (2008), Từ học và vật liệu từ, nhà xuất bản
Bách Khoa, Hà Nội.
4.
Vũ Đình Cự (1995), Từ học, nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
Tiếng anh

5.
Albert Fert (2007), “The origin, development and future of spintronics”,
Nobel Lecture.
6.
Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao (2013), “Thickness dependent
properties of magnetic ultrathin films”, Physica B 426, p. 144.
7.
Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao, Nguyen Tu Niem (2014), “Role of
interactions in size-dependent Curie temperature of magnetic ultrathin
films”, Ieee Transactions On magnetics 50, p. 1100104.
8.
Elbio Dagotto, Alvarez G., Cooper S.L. (2002), Nanoscale phase separation
and colossal magnetoresistance, Springer-Verlag.
9.
Estienne du Tresmolet de Lacheisserie, Damien Gignoux, Michel Schlenker
(2005), Chapter 20. Magnetic thin films and multilayers, Springer New
York.
10. I. Juhász Junger, D. Ihle L. Bogacz and W. Janke (2008), “Thermodynamics
of Heisenberg ferromagnets with arbitrary spin in a magnetic field”,
Physical Review B 77, p. 174411.
11. K. Kopinga, A. M. C. Tinus, and W. J. M. de Jonge (1982), “Magnetic
behavior of the ferromagnetic quantum chain systems (CsHttNHs)CuClg
(CHAC) and (CsHttNHs)CuBrs (CHAB)”, Physical Review B 25, p. 4685.

24