ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

NGUYỄN THANH TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI
HIỆN TƯỢNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ
KIỂU Λ VỚI CẤU TRÚC FANO ĐÔI

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
TS. ĐOÀN QUỐC KHOA

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----

NGUYỄN THANH TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI
HIỆN TƯỢNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ
KIỂU Λ VỚI CẤU TRÚC FANO ĐÔI

CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
TS. ĐOÀN QUỐC KHOA

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.

Họ tên tác giả

Nguyễn Thanh Trường

ii


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn
Quốc Khoa, người đã hướng dẫn tôi tận tình trong suốt thời gian thực
hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật lý và phòng

Sau Đại học - trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi
và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn đến các thành viên trong gia
đình cũng như lời cảm ơn đến các anh chị học viên cao học chuyên ngành
Vật lý lý thuyết và Vật lý toán khóa 24 và bạn bè đã động viên, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Nguyễn Thanh Trường

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

NỘI DUNG

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU
NHIÊN

7

1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Các mô hình ngẫu nhiên của laser . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1.

Laser đơn mốt với các thăng giáng pha và biên độ

8


1.2.2.

Mô hình laser với thăng giáng bơm . . . . . . . .

10

1.2.3.

Laser đa mốt và ánh sáng ngẫu nhiên . . . . . . .

11

1.3. Nhiễu trắng và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2 - TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ
KIỂU Λ VỚI CẤU TRÚC FANO ĐƠN KHI TRƯỜNG
ĐIỆN TỪ NGOÀI ĐƯỢC MÔ HÌNH HÓA BỞI NHIỄU
TRẮNG

17

2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17


1


2.2. Lý thuyết cơ sở của trong suốt cảm ứng điện từ . . . . .

17

2.3. Mô hình của hệ Λ với cấu trúc Fano đơn . . . . . . . . .

23

2.4. Phổ của độ cảm môi trường . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 3 - TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ
KIỂU Λ VỚI CẤU TRÚC FANO ĐÔI KHI TRƯỜNG
ĐIỆN TỪ NGOÀI ĐƯỢC MÔ HÌNH HÓA BỞI NHIỄU
TRẮNG

37

3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37


3.2. Mô hình của hệ Fano đôi . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3. Phổ của độ cảm môi trường . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện tượng giao thoa lượng tử là kết quả của sự chồng chất các
biên độ xác suất phức. Hiện tượng này là đối tượng trung tâm của các

nghiên cứu dẫn đến các công nghệ lượng tử hiện đại, thông qua việc điều
khiển các biên độ lượng tử thích hợp để thu được các hiệu ứng mong
muốn và tạo ra khả năng mới cho công nghệ lượng tử với những ứng
dụng tiềm tàng.
Trong hơn hai thập kỉ gần đây, các nhà vật lý đã tập trung nghiên
cứu một trong những hiệu ứng giao thoa lượng tử thú vị đó là trong suốt
cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced Transparency - EIT). Sự
giao thoa lượng tử giữa các dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích
thích kết hợp của chùm laser có cường độ yếu (chùm dò) và chùm điều
khiển có cường độ mạnh chính là nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này.
Dưới sự điều khiển của trường mạnh, môi trường sẽ trở nên trong suốt
đối với chùm dò. Harris và các cộng sự [8],[10] đã khởi xướng cơ sở lí
thuyết của EIT và cũng chính nhóm này [5],[11] đã quan sát được hiện
tượng trong suốt trong thực nghiệm. Sự truyền qua của chùm dò khi nó
kích thích nguyên tử từ trạng thái cơ bản lên trạng thái ion hóa đã được
nhóm này khảo sát trong các công trình của mình.
Có ba cấu hình khác nhau của EIT trong hệ ba mức là Λ-, V- và
thang. Trong đó, cấu hình V- có độ trong suốt nhỏ nhất còn cấu hình
Λ- có độ trong suốt lớn nhất. Trong cấu hình Λ, một trạng thái liên
tục phẳng [24] đã thay thế cho trạng thái trên và mô hình này đã được
mở rộng với một trạng thái tự ion hóa [25] gắn vào trạng thái liên tục
phẳng. Trong [19] đã phân tích các khía cạnh khác nhau của mô hình có
3


các cộng hưởng tự ion hóa. Mô hình này được mở rộng cho trạng thái
hai mức tự ion hóa suy biến [22] và không suy biến [23] gắn vào liên tục
phẳng. Việc có thêm một mức tự ion hóa dẫn đến việc xuất hiện thêm
một cửa sổ EIT. Ngoài ra, trong khuôn khổ mô hình lượng tử hoàn toàn
cho các trường laser, cơ chế tự ion hóa tương tự với cơ chế của các cấu

trúc liên tục cảm ứng laser. Lúc đó có thể tạo ra các cộng hưởng mong
muốn với các độ rộng hiệu chỉnh được. Vì vậy, đối tượng nghiên cứu của
chúng tôi có thể được xem xét dưới góc độ của các cấu trúc liên tục cảm
ứng laser, có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi các tham số tương
ứng. Các cửa sổ EIT mới sẽ xuất hiện khi có thêm các trạng thái tự ion
hóa tạo ra các cộng hưởng Fano bội. Các thông tin phổ rộng được cài
đặt trong các xung ánh sáng có khả năng được xử lý vì sự xuất hiện
nhiều cửa sổ EIT có ứng dụng trong việc làm chậm các xung này.
Những công trình được đề cập ở trên chỉ nghiên cứu cho trường
hợp laser đơn sắc, mà ánh sáng laser thực không bao giờ đơn sắc một
cách lí tưởng do đó việc nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ ánh sáng
laser đến các hiện tượng quang học khác nhau trong thực nghiệm là cần
thiết. Lúc này, các quá trình Gauss thường được dùng để mô hình hóa
các trường laser vì nó vừa dễ tính toán, vừa phù hợp với định lý giới
hạn trung tâm kinh điển. Tuy nhiên rất khó để lấy trung bình giải tích
chính xác các phương trình vi phân ngẫu nhiên liên quan đến quá trình
Gauss. Thực tế, chỉ trường hợp nhiễu Gauss với thời gian tương quan
bằng không (nhiễu trắng) là được nghiên cứu tương đối đầy đủ và đã
thu được những kết quả thú vị như phổ quang electron đối với cấu trúc
Fano đôi bao gồm hai trạng thái tự ion hoá gắn vào trạng thái liên tục
phẳng [12], EIT cho hệ Λ với một trạng thái tự ion hoá hoặc hai trạng
thái tự ion hoá suy biến gắn vào trạng thái liên tục phẳng [13],[14].
Như vậy, do những triển vọng ứng dụng lớn lao trong việc nghiên
cứu EIT đối với nhiều lĩnh vực đã cho chúng tôi động lực để chọn "Nghiên
4


cứu ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với hiện tượng trong suốt cảm ứng
điện từ cho hệ kiểu Λ với cấu trúc Fano đôi" làm đề tài luận văn thạc sĩ
để tiếp tục nghiên cứu EIT cho hệ Λ với cấu trúc Fano đơn và mở rộng

cho hệ Fano đôi với hai mức tự ion hoá không suy biến, khi laser trường
ngoài được mô hình hoá bởi nhiễu trắng.
2. Mục tiêu của đề tài
Thu được biểu thức giải tích của độ cảm môi trường đối với EIT
cho hệ Λ với cấu trúc Fano đơn và đôi khi trường điều khiển mạnh được
mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Từ đó khảo sát sự phụ thuộc của các thành
phần tán sắc và hấp thụ của độ cảm môi trường vào tham số nhiễu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kiến thức tổng quát phục vụ cho việc nghiên cứu luận
văn.
Tìm biểu thức giải tích của độ cảm môi trường đối với EIT cho hệ
kiểu Λ với cấu trúc Fano đơn và đôi khi trường điều khiển mạnh được
mô hình hóa bởi nhiễu trắng và so sánh các kết quả tìm được với các
kết quả trước đó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng nhóm các phương pháp nghiên cứu lí thuyết,
Để thu được biểu thức giải tích của độ cảm môi trường tác giả sử
dụng phương pháp nhiễu trắng. Phương pháp này có ưu điểm trong việc
tìm trung bình giải tích chính xác của các quá trình ngẫu nhiên vì nó là
trường hợp đơn giản nhất của nhiễu Gauss,
Sử dụng phần mềm Maple để tính toán và vẽ đồ thị.
5


5. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ khảo sát trường hợp trường điều khiển mạnh được mô
hình hóa bởi nhiễu trắng.
6. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn có 3
chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.
Chương 2: Trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ kiểu Λ với cấu trúc
Fano đơn khi trường điện từ ngoài được mô hình hoá bởi nhiễu trắng.
Chương 3: Trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ kiểu Λ với cấu trúc
Fano đôi khi trường điện từ ngoài được mô hình hoá bởi nhiễu trắng.

6


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.1.

Giới thiệu
Xét về phương diện kĩ thuật thì tính đơn sắc của laser được coi là

hoàn thiện nhất nhưng trong thực tế thì laser không bao giờ đơn sắc một
cách lí tưởng, mặc dù có những ưu điểm mà ta đã biết như tính kết hợp
cao, tính đơn sắc, cường độ lớn. Vì vậy, việc nghiên cứu ảnh hưởng của
phổ độ rộng của laser lên các hiện tượng khác nhau là cần thiết trong
các thí nghiệm hiện tại. Ta có thể chia sự mở rộng vạch phổ thành hai
loại là mở rộng đồng nhất và không đồng nhất. Việc coi trường laser
như một quá trình ngẫu nhiên đã được sử dụng trong nhiều công trình
nghiên cứu lí thuyết trong những năm gần đây. Độ rộng phổ là kết quả
của việc lấy trung bình các thăng giáng biên độ và pha của trường quanh
các giá trị trung bình. Đối với hệ nguyên tử thì lúc này laser được coi
là nguồn ngoài và khi đó các phương trình động học chứa các thông số
như cường độ, pha hoặc biên độ sẽ trở thành các phương trình vi phân

ngẫu nhiên. Kết quả của việc lấy trung bình các phương trình vi phân
ngẫu nhiên sẽ cho ta biết ảnh hưởng của các thăng giáng của laser lên
các đại lượng nguyên tử mà ta xét. Những mô hình ngẫu nhiên của ánh
sáng laser được dùng hiện nay đều coi ánh sáng laser là trường điện từ
cổ điển và là một quá trình ngẫu nhiên dừng kiểu Gauss với thời gian
tương quan hữu hạn. Như chúng ta đã biết, đối với xung Gauss này thì
việc lấy trung bình chính xác các phương trình vi phân ngẫu nhiên là
rất khó khăn, chỉ trường hợp đơn giản của nhiễu trắng là được xem xét
tương đối đầy đủ và đạt được nhiều kết quả thú vị.
7


1.2.

Các mô hình ngẫu nhiên của laser

1.2.1.

Laser đơn mốt với các thăng giáng pha và biên độ

Đối với laser đơn mốt, biên độ của trường bức xạ có dạng:
A(t) = (A0 + δA(t))eiϕ(t) ,

(1.1)

trong đó A0 = const là thành phần không thăng giáng, còn At và ϕ(t)
là các quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau.
Hình 1.1 mô tả hình thức luận dẫn đến độ rộng đồng nhất của laser
mà chúng ta khảo sát. Trong khuôn khổ lí thuyết lượng tử, giả sử tập hợp
các toán tử mô tả hệ mà chúng ta xét là {a} = {a1, a2 , a3 , . . . , an , . . .}.

Tập hợp các toán tử trong trường bức xạ đơn mốt có dạng {a} = {a, a+ }
với a và a+ tương ứng là toán tử hủy và toán tử sinh photon. Trong
môi trường hoạt, tập hợp các toán tử đối với nguyên tử hai mức là
δ = {σ, σ + , σz } với σ và σ + là tổ hợp của các ma trận Pauli. Tập hợp các
toán tử bể nhiệt được đưa vào có dạng {c} = {c1 , c2 , c3 , . . . , cη , . . .}. Xét
trong các trường hợp khác nhau, toán tử bể nhiệt có dạng khác nhau,
ví dụ với toán tử cη có thể là các toán tử hủy và sinh của các lượng tử
trong trường hợp bức xạ nhiệt với năng lượng ωη . Ta có thể bỏ qua {c}
trong các phương trình Heisenberg mô tả tiến triển của hệ tuyến tính
theo các biến {a}, {c}, khi đó ta thu được các phương trình chỉ chứa các
giá trị ban đầu của các toán tử và các toán tử {a}
dai
= fi ({a}) + Fi ({c(0)}).
dt

(1.2)

Chúng ta không biết trước các giá trị cụ thể của các toán tử ci (0),
nhưng có thể biết được các tính chất thống kê của chúng, từ đó có thể
biết được các tính chất thống kê của lực Fi . Vì các thời gian đặc trưng
của hệ lớn hơn nhiều so với thời gian tương quan thực của các hàm Fi (t)
nên có thể giả thiết hàm tương quan hai thời gian đối với các lực có
8


dạng như sau
Fi (t), Fj (t) = 2Γij δ(t − t ).

(1.3)


Hình 1.1: Giản đồ dẫn đến các mô hình của ánh sáng laser.

Các phương trình Langevin độc lập nhau giữa biên độ và pha được
đưa ra với sự tuyến tính hóa lời giải dừng có dạng
¨ + γ Φ˙ = F (t),
Φ

(1.4.1)

˙
δ E(t)
+ λδE(t) = G(t),

(1.4.2)

với F (t) và G(t) là các nhiễu trắng độc lập với nhau và có các tính chất
như sau
F (t) = 0; F (t)F (t ) = 2aδ(t − t ),

(1.5.1)

G(t) = 0; G(t)G(t ) = 2bδ(t − t ).

(1.5.2)

Biên độ và đạo hàm của pha được suy ra từ (1.4.1) là các quá trình
Orstein-Uhlenbeck [20]. Giá trị trung bình của quá trình này không đổi
9



f (t) = constant và hàm tương quan có dạng
f (t)f (t ) = σ 2 exp(−γ|t − t |).

(1.6)

Có thể nhận thấy rằng, quá trình Orstein-Uhlenbeck dựa trên (1.6)
và tính chất Gauss của f (t) là một quá trình Markov [4]. Thông thường
trong mô tả mốt laser các thăng giáng biên độ thường được bỏ qua vì
những thăng giáng này nhỏ hơn rất nhiều lần so với thăng giáng pha.
Khi đó chúng ta có mô hình khuếch tán pha [4].
Trên đây là hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng nhất của
ánh sáng laser. Chúng ta cần phải lấy trung bình các kết quả cuối cùng
theo phân bố thống kê của tham số tương ứng của phương trình động
lực học liên quan đến tính không đồng nhất của môi trường hoạt tính
khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất. Tham số này trong mô tả
laser khí chính là vận tốc nguyên tử với phân bố Maxwell.
1.2.2.

Mô hình laser với thăng giáng bơm

Khi nghiên cứu thực nghiệm các hiện tượng thăng giáng với laser
màu đơn mốt vào năm 1981, Mandel và các cộng sự [20] đã chỉ ra sự
khác nhau một cách rõ ràng so với những dự đoán lí thuyết truyền thống.
Bằng cách sử dụng lí thuyết Haken, Kaminishi và cộng sự [15] đã mô
tả kết quả thực nghiệm của họ và dẫn ra các phương trình cho biên độ
phức của trường
˙
E(t)
= (β(t) − A|E|2)E + ν(t),


(1.7)

trong đó β là tham số bơm, A > 0 gây ra sự hoạt động ổn định trên
ngưỡng gọi là tham số bão hòa của môi trường hoạt tính và ν(t) là nhiễu
trắng, mô tả các thăng giáng chân không hay sự phát xạ tự phát. Các
kết quả thực nghiệm không thể được giải thích bằng phương trình (1.7),
tuy nhiên với laser màu đơn mốt thì các thăng giáng bơm có thể đóng
10


vai trò quan trọng. Ta có thể thay quá trình cộng bằng quá trình nhân
và có thể giải chính xác bằng giải tích phương trình (1.7) nếu giả sử rằng
tham số bơm là nhiễu trắng và bỏ qua ν(t) trong phương trình này.
Tuy nhiên trong công trình của mình, nhóm [20] đã thay nhiễu
trắng bằng nhiễu màu, vì các thời gian đặc trưng của hệ laser màu
không lớn hơn nhiều so với thời gian hồi phục của nhiễu bơm. Khi đó
phương trình
˙
E(t)
= (β(t) − A|E|2)E,

(1.8)

sẽ không giải được bằng giải tích. Để khắc phục điều này, phương pháp
giải lặp trên máy tính nhiễu màu đã được Dixit và Sahmi [3] sử dụng và
kết quả thu được phù hợp với thực nghiệm của Short và cộng sự.
1.2.3.

Laser đa mốt và ánh sáng ngẫu nhiên


Biên độ phức của trường bức xạ đối với laser đa mốt có dạng như
sau

N

Ek e−i(Ωk t−Φk ) ,

E(t) =

(1.9)

k=1

với N là số mốt, Ωk là các tần số tương đối của chúng tính từ tần số Ωi ,
Ek là các biên độ không đổi, Φk là các pha ngẫu nhiên độc lập nhau. Giả
thiết các pha này được phân bố đồng đều trong đoạn [0, 2π]. Từ (1.9)
ta có kết quả sau
E ∗ (t1 )E(t2) =

Ei2 eiΩi (t1−t2 ) .

(1.10)

i

Việc tính hàm sin cho quá trình E(t) với việc sử dụng kí hiệu Jj =
t
−iΩj t
0 dτ J (t)e
∗


i

ft [J, J ] = e

cho chúng ta kết quả

t ∗
J E+JE ∗
0

N
i

= e

n
−iϕj
+Ej Jj∗ eiϕj )
j=1 (Ej Jj e

−iϕj

ei(Ej Jj e

=

+Ej Jj∗ eiϕj )

j=1


(1.11)
11

,


dùng công thức
2π
0

dϕ 2iEj |Jj |cosϕj
e
= J0 2|Ej ||Jj | ,
2π

(1.12)

trong đó j0 là hàm Besssel bậc không, ta thu được
N
∗

ft [J, J ] =

J0 2|Ej ||Jj | .

(1.13)

j=1


Xét trường hợp khi N → ∞ và cường độ I =

Ei2 tồn tại hữu hạn, tức

là Ei ngày càng nhỏ. Ta có tiệm cận sau
J0 (f ) f→0 f
→ ,
J0 (f )
2

(1.14)

hoặc
f→0

f2

J0 (f ) → e− 4 .

(1.15)

Khi đó ta có
N

limN →∞ Zt → Z

GAU SS

Ej2 Jj Jj∗


= exp −
j=1
t

t

= exp

dt2 J ∗ (t1 ) E ∗(t1 )E(t2) J (t2 ) . (1.16)

dt1
0

0

Do không biết sự phụ thuộc giữa Ej và Ωj nên dạng tường minh
của (1.10) không được biết trước. Để biết được sự phụ thuộc này, người
ta thực hiện thí nghiệm dựa trên việc đo vạch phổ. Người ta chấp nhận
rằng [28]
E ∗ (t)E(t) = Ie−b|t−t | .

(1.17)

Vậy có thể kết luận rằng, laser đa mốt sẽ có tính thống kê như bức xạ
nhiệt nếu xét ở giới hạn vô cùng của số mốt.

1.3.

Nhiễu trắng và ứng dụng
Xét tổng như sau

f (n) (t) = f1 (t) + f2 (t) + . . . + fn(t),
12

(1.18)


√
trong đó fi (t) là một nhiễu điện tín độc lập và l0 = α0 / n, α0 là hằng
số. Phân tích hàm đặc trưng trong (1.18) thành các tích, nghĩa là Xtn =
(Xt)n , với Xt là phiếm hàm đặc trưng của nhiễu điện tín. Khi đó ta có
∂(lnXtn )
= −α20 J (t)
∂t

t

e−

∂Xt
∂t

t

=

J (s)

0

Khi n → ∞, chúng ta có thể suy ra rằng

lnXt∞

t−s
ϑ

−α20 J (t)

e−

t−s
ϑ

Xs
ds.
Xt

(1.19)

= 0 và Xt = 1,
J (s)ds.

(1.20)

0

Phương trình (1.20) có dạng nghiệm như sau
Xt∞

1
= exp −

2

t

J (s1)∆(s1, s2 )J (s2)ds2 ,

(1.21)

0

với
∆(s1, s2 ) = z(s1 )z(s2) = α20 e−|s1 −s2 |/ϑ.

(1.22)

Quá trình Gauss là quá trình có phiếm hàm đặc trưng dạng (1.21).
Vì vậy, chúng ta có thể thấy rằng quá trình (1.18) hội tụ về quá trình
Gauss và được gọi là nhiễu tiền Gauss.
Nhiễu Gauss trong (1.21) sẽ trở thành nhiễu trắng khi ta có giới
hạn ϑ → 0. Nếu f (t) là nhiễu trắng thì nó có các tính chất sau:
f (t)f (t ) = 2λδ(t − t ).

(1.23)

Xét trường hợp tuyến tính đơn giản nhất có dạng như sau
Φ˙ = (G1 + if (t)G2 )Φ.

(1.24)

Phương trình (1.24) không thể giải được bằng giải tích nếu G1 và

G2 không thỏa mãn các quy tắc giao hoán. Để giải quyết khó khăn này,
phương pháp đại số Lie đã được sử dụng. Sau khi thực hiện khai triển
thông qua một quy trình gần đúng đối xứng được phát triển bởi Fox [6],
ta thu được phương trình vi phân cho giá trị trung bình có dạng:
d
Φ(t) = (G1 + αO1 (t) + α2 O2 (t) + · · · ) Φ(t) ,
(1.25)
dt
13


với từng số hạng Oi (t) có bậc (αϑC )i . Khai triển này có ưu điểm là chỉ
cần tồn tại thời gian tương quan nhỏ, không cần những giả thiết giới
hạn về quá trình f (t). Tuy nhiên, hạn chế của phương pháp này là phạm
vi ứng dụng nhỏ. Chúng ta có thể chuyển bài toán trung bình bất kỳ
thành hệ ma trận vô hạn của các phương trình vi phân thường nếu giả
thiết rằng f (t) là quá trình Markov [2]. Khi đó sử dụng phương pháp
phân số chuỗi cho phương trình với đại lượng trung bình Φ(t) , chúng
ta thu được nghiệm có dạng sau:
d
− G1
dt

t

dsO(t − s) Φ(s) ,

Φ(t) +

(1.26)


0

Trong công thức (1.26), thành phần chính O(t) trong biến đổi Laplace
có dạng phân số chuỗi. Với quá trình Ornstein-Uhlenbeck [2], ta có
˜
O(x)
= G2

α20
x+

1
ϑ

− G1 +

2α2
G2 x+ 2 −G0 +··· G2
1
ϑ

G2 .

(1.27)

Phương trình vi phân mô tả quá trình điện tín có dạng như sau
1
dGt
d

fk (t)Gt = − fk (t)Gt + fk (t)
,
dt
ϑ
dt

(1.28)

với Gt là hàm phụ thuộc thời gian tùy ý của fk (t).
Từ phương trình
d
Φ = (G1 + if n (t)G2 )Φ,
dt

(1.29)

áp dụng nhiều lần đẳng thức (1.28), đồng thời sử dụng các tính chất
fk2 = l02 =
j
d
+
dt ϑ

α20
n

=

L /nϑ


chúng ta thu được hệ thức truy hồi sau đây

Φj = G1 Φj +

ij L
Φj−1 + i(n − j)G2 Φj+1 ,
nϑ

(1.30)

với j = 0, 1, . . . , n và
Φj (t) = f1(t)f2 (t) . . . fj (t)Φ(t).

14

(1.31)


Phương trình dạng (1.26) có nghiệm là véctơ Φ0 (t) = Φ(t) với
˜
O(x)
= G2

L /ϑ

x+

1
ϑ


− G1 +

2α20
2 L n−1
G
2
2 x+ −G +··· G2
ϑ n
1
ϑ

G2 .

(1.32)

Về mặt hình thức thì các công thức (1.32) với (1.27) chỉ khác nhau
thừa số dạng

n−j
n

ở trước các số hạng kế tiếp trong phân số chuỗi trong

(1.31). Khi M → ∞, những thừa số này tiến tới một, nhiễu tiền Gauss
hội tụ về quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Nếu chỉ lấy một vài số hạng
đầu tiên trong phân số chuỗi, theo [2], chúng ta thu được kết quả hội tụ
tốt. Nghĩa là, đối với bài toán tuyến tính này, chỉ cần một vài nhiễu điện
tính cũng có thể gần đúng rất tốt với quá trình Ornstein-Uhlenbeck.
Từ (1.32), với một nhiễu điện tín, ta có
˜

O(x)
= G2

x+

L/ϑ
1
ϑ −

G1

G2 .

(1.33)

Trong phương trình (1.26), tiến hành biến đổi Laplace hai vế, ta được
˜
˜
x − G1 + O(x)
Φ(x)
= Φ(0).

(1.34)

Vì vậy
1

˜
Φ(x)
=

x−

l02 ϑ
G1 + G2 ϑ(x−G
G2
1 )+1

Φ(0).

(1.35)

Nhiễu điện tín sẽ trở thành nhiễu trắng với tính chất như ở (1.23)
khi xét giới hạn ϑ → 0 với l2 ϑ = = constant. Lúc đó
Φ(x) =

1
x − G1 + G22

Φ(0).

(1.36)

Trong lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, chúng ta thu được kết quả
quan trọng:
d
Φ(t) = (G1 − G22 ) Φ(t) .
(1.37)
dt
Đối với quá trình ngẫu nhiên phức, tổng quát hóa phương trình (1.24),
ta được:

dΦ
= (Ma0 + f (t)Ma1 + f ∗ (t)Ma2 )Φ,
dt
15

(1.38)


với Ma0 , Ma1 , Ma2 là các ma trận hằng. Vậy ta có [26]
dΦ
= (Ma0 + (Ma1 Ma2 + Ma2 Ma1 ))Φ.
dt

1.4.

(1.39)

Kết luận chương 1
Trong chương này, một số nội dung cơ bản về lý thuyết các quá trình

ngẫu nhiên đã được trình bày. Đầu tiên, các mô hình ngẫu nhiên của
laser đơn mốt, đa mốt và laser với thăng giáng bơm được xem xét. Tiếp
theo chúng tôi khảo sát một trường hợp đặc biệt của quá trình Gauss
đó là nhiễu trắng. Cuối cùng, ứng dụng của nhiễu trắng cho trường hợp
tuyến tính được trình bày.

16


CHƯƠNG 2


TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
CHO HỆ KIỂU Λ VỚI CẤU TRÚC FANO ĐƠN
KHI TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI
ĐƯỢC MÔ HÌNH HÓA BỞI NHIỄU TRẮNG
2.1.

Giới thiệu
Trong quang học lượng tử thì tương tác cộng hưởng của một số

laser, có sự thăng giáng về biên độ và pha, với hệ nguyên tử là bài toán
điển hình. Hơn nữa, thế giới tự nhiên vi mô vô cùng phức tạp, do đó
người ta không thể nghiên cứu một cách trực tiếp mà phải mô hình hóa
nó bằng các quá trình ngẫu nhiên cổ điển phụ thuộc thời gian. Khi đó,
thay vì các phương trình động học, ta sẽ có các phương trình vi phân
ngẫu nhiên mô tả bài toán. Song việc tìm nghiệm chính xác của các
phương trình vi phân ngẫu nhiên liên quan đến quá trình Gauss là rất
khó, thực tế chỉ trường hợp nhiễu trắng là được xem xét tương đối đầy
đủ. Ảnh hưởng của nhiễu trắng lên hệ nguyên tử sẽ được khảo sát thông
qua việc tìm biểu thức chính xác của độ cảm môi trường đối với hệ kiểu
Λ với cấu trúc Fano đơn khi biên độ trường điện từ của laser được mô
hình hóa bởi nhiễu trắng.

2.2.

Lý thuyết cơ sở của trong suốt cảm ứng điện

từ
Khi xảy ra sự giao thoa lượng tử giữa các biên độ dịch chuyển có
thể dẫn đến hệ quả là làm triệt tiêu hấp thụ hoặc cho chùm dò yếu cộng

hưởng truyền qua hoàn toàn. Hiện tượng này dẫn đến hiệu ứng EIT được
17


phát hiện đầu tiên bởi Harris và các cộng sự. Đây là kết quả của sự ghép
kết hợp giữa một chùm laser mạnh thứ hai với một trong các trạng thái
tham gia vào quá trình hấp thụ với một trạng thái nguyên tử nào đó [9].
EIT trong trường hợp đơn giản nhất được mô tả ở hình 2.1. Hình
(a) biểu diễn cấu hình hình thang trong đó chùm dò yếu ứng với dịch
chuyển từ |2 → |1 , trong khi đó chùm laser điều khiển mạnh ứng với
dịch chuyển từ |1 → |3 . Hình (b) và (c) biểu diễn sự phân bố các mức
và sự dịch chuyển giữa các mức trong cấu hình Λ và V. Trong các cấu
hình của hình 2.1, các dịch chuyển giữa các mức |1 và |2 , |1 và |3 là
các dịch chuyển được phép, còn các dịch chuyển giữa |2 và |3 bị cấm
lưỡng cực.

Hình 2.1: Cấu hình đơn giản của EIT. (a): cấu hình hình thang; (b): cấu hình Λ; (c):
cấu hình V

Trong hơn hai thập kỉ qua, hiện tượng EIT đã được nghiên cứu
rộng rãi bởi các nhà khoa học, trước hết phải kể đến sự tiên đoán của
Imamo˘glu và cộng sự [10] vào năm 1989 và sau đó là sự quan sát bằng
thực nghiệm bởi nhóm của Boller và các cộng sự năm 1991 [1]. Một
trong những lí do tạo nên tầm quan trọng và sự thú vị của EIT chính là
18


khả năng kích thích trong suốt và tạo ra các tính chất tán sắc lạ trong
môi trường. Đại lượng liên quan đến tần số cộng hưởng ω21 là độ cảm
điện của môi trường χ(ωp ) (là hàm theo tần số của chùm dò ωp ) được

biểu diễn như trong hình 2.2. Trong đồ thị, hình (a) biểu diễn phần thực
Reχ, có liên hệ với chiết suất n(ωp ) (phương trình (2.1)); hình (b) biểu
diễn phần ảo của độ cảm điện Imχ liên quan đến hệ số hấp thụ (phương
trình (2.2)).
1
n(ωp ) = 1 + Reχ,
2
α(ωp ) = kp Imχ,

(2.1)
(2.2)

với α(ωp ) là hệ số hấp thụ, kp là số sóng. Trong hình 2.2a, gần điểm
cộng hưởng, chúng ta không quan sát được tán sắc dị thường (đường
đứt nét), mà chỉ quan sát thấy hiện tượng tán sắc thường phụ thuộc
mạnh vào công suất của chùm laser liên kết (đường liền nét). Một cửa
sổ trong suốt nằm ở vị trí trung tâm tại ω21 , được hình thành do EIT
xuất hiện trong hình 2.2b.

Hình 2.2: Cấu hình độ cảm điện χ(ωp ) của khí nguyên tử gần điểm cộng hưởng ω21 .
Trong đó, (a): phần thực của độ cảm Reχ liên quan đến chiết suất; (b): phần ảo của
độ cảm Imχ liên quan đến hệ số hấp thụ. Đường đứt nét biểu diễn cấu hình thông
thường của độ cảm, đường liền nét biểu diễn cấu hình của độ cảm khi chùm liên kết
cộng hưởng mạnh tạo nên EIT. γ21 là độ rộng cộng hưởng chùm dò khi không có chùm
laser mạnh.

19


Hình 2.3: Hai mô hình biểu diễn cơ chế tạo EIT trong cấu hình hình thang. Giả thiết

rằng sự giao thoa giữa hai biên độ ứng với hai đường kích thích triệt tiêu. (a): |b → |a
và |b → |a → |c → |a ; (b): |b → |ad và |b → |ad .

Có hai cách để kích thích trạng thái |1 bằng chùm dò được chỉ
ra trong hình 2.3a. Đơn giản nhất là kích thích trực tiếp |2 → |1 .
Ngoài ra có một phương pháp khác để đạt tới trạng thái |1 do sự liên
kết giữa các trạng thái |1 và |3 bằng trường điều khiển mạnh, đó là:
|2 → |1 → |3 → |1 . Sự giao thoa giữa các biên độ xác suất ứng với hai
đường này triệt tiêu làm xuất hiện hiện tượng trong suốt đối với chùm
dò yếu. Trong hình 2.3b biểu diễn mô hình sử dụng bức tranh nguyên tử
mặc. Trong mô hình này, một cặp trạng thái mặc tương đương |14 và
|14 được tạo ra dưới tác dụng của trường điều khiển mạnh. Các nguyên
tử ở trạng thái cơ bản |2 hấp thụ các photon dò và chuyển sang trạng
thái |1 theo hai con đường khả dĩ |2 → |14 và |2 → |14 . Khả năng
hấp thụ chùm dò giảm do sự giao thoa giữa các biên độ dịch chuyển
tương ứng với những đường này triệt tiêu dẫn đến xuất hiện cộng hưởng
hẹp trong phổ hấp thụ.
Các tính chất của ma trận ρ31 sẽ ảnh hưởng đến các tính chất của
20


EIT, dịch chuyển lưỡng cực |2 và |3 không chịu ảnh hưởng của sự kết
hợp hai photon giữa các trạng thái. Trong hình 2.1 là mô hình hệ ba
mức lí tưởng, trong đó chúng ta bỏ qua ảnh hưởng của các quá trình hồi
phục khác mà quan tâm đến các hằng số tắt dần Γj (được hiểu là sự hồi
phục từ trạng thái kích thích do phát xạ tự phát). Công thức biểu diễn
tốc độ phân rã γjk của các trạng thái kết hợp tương ứng có dạng [21]:
γjk =

Γj + Γk

,
2

(2.3)

Từ công thức trên, tốc độ phân rã γ23 của trạng thái kết hợp có dạng:
γ23 =

Γ2 + Γ3
,
2

(2.4)

Đối với các cấu hình tương ứng với các sơ đồ (a), (b), (c) trong hình 2.1,
chúng ta được:
(a)

(a)
γ23

Γc
=
2

(a)

(trong hệ hình thang : Γ2 = 0),

(b)


(b)

(b)

γ23 = 0 (trong hệ Λ : Γ2 = 0 và Γ3 = 0),
(c)

(c)
γ23

(2.5)
(2.6)

(c)

Γ + Γ3
= 2
2

(trong hệ V ).

(2.7)

Chúng ta có thể thấy rằng, khi hằng số phân rã Γj không đổi và
các trường liên kết giữ nguyên trong các cấu hình, hệ có cấu hình Λ sẽ
cho chùm dò truyền qua nhiều nhất và hệ V sẽ cho chùm dò truyền qua
ít nhất. Tuy nhiên, ở các cấu hình này, hiện tượng trong suốt của chùm
dò cũng bị chi phối bởi những quá trình khác: trong hệ Λ, bơm quang
học ở mức |2 của chùm liên kết và trong hệ V bão hòa dịch chuyển

|1 → |3 . Việc so sánh một cách thấu đáo hiệu suất EIT của các cấu
hình khác nhau là tương đối khó khăn, ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến
ứng dụng của EIT trong kĩ thuật.
Với khả năng điều khiển sự thay đổi của phản ứng quang học của
môi trường nguyên tử, hiện tượng EIT cho chúng ta một số ứng dụng.
21