BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TẤT HIỆP

MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHÔNG GIAN
HYPERBOLIC 3-CHIỀU
Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô
Mã số : 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Huế, năm 2016

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Nguyễn Tất Hiệp

ii

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cám ơn đến Thầy - PGS. TS.
TRẦN ĐẠO DÕNG, cám ơn những lời động viên nhắc nhở
của Thầy trong suốt quá trình hướng dẫn khoa học cho tôi.
Thầy đã giúp tôi vượt qua được những khó khăn để hoàn
thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy cô giáo
đã giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 23 của trường ĐHSP
Huế cũng như toàn thể các thầy cô trong khoa Toán trường
ĐHSP Huế vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động
viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP
Huế, Phòng Sau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều
kiện để tôi hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của
mình.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến tất cả
người thân, bạn bè vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ cho
tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Nguyễn Tất Hiệp

iii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

i


Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

MỤC LỤC

2

MỞ ĐẦU

2

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

4

1.1

Mặt chính quy trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Các độ cong trên mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7

1.3

Mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3-CHIỀU

11

2.1

Mặt tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Mặt tịnh tiến cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

Mặt tịnh tiến với độ cong hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


3 MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC 3-CHIỀU

20

3.1

Mặt tịnh tiến trong không gian Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Mặt tịnh tiến cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu trong Hn+1 . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.1

Siêu mặt tịnh tiến

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32


3.3.2

Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

KẾT LUẬN

40

TÀI LIỆU THAM KHẢO

41

1


MỞ ĐẦU
Trong không gian Euclide R3 , một mặt M được gọi là mặt tịnh tiến nếu được
xác định bởi tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3 : (x, y ) → (x, y, z (x, y )) ,
trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Vào năm 1835 trong công trình của mình, Scherk đã chứng tỏ rằng ngoài mặt
phẳng, mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất là mặt được xác định bởi
z (x, y ) =

cos (ax)
1
1

1
ln
= ln |cos (ax)| − ln |cos (ay )| ,
a
cos (ay )
a
a

trong đó a = 0.
Trên cơ sở các kết quả này, nhiều lớp mặt tịnh tiến đã được khảo sát trong không
gian Euclide 3-chiều như mặt tịnh tiến với độ cong Gauss hoặc độ cong trung bình
hằng, mặt tịnh tiến affine,... và được phát triển mở rộng cho một số không gian
khác như không gian Hyperbolic, không gian Lorentz-Minkowski, không gian tích
Riemann H2 × R,... Với mong muốn tìm hiểu về cấu trúc, các tính chất thú vị của
mặt tịnh tiến và được sự hướng dẫn của Thầy giáo PGS.TS. Trần Đạo Dõng, tôi
đã chọn đề tài "Mặt tịnh tiến trong không gian Hyperbolic 3-chiều" làm
đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Nội dung của luận văn bao gồm ba chương như sau:
Chương 1: Các kiến thức cơ sở. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày
sơ lược một số các kiến thức sẽ sử dụng cho các chương sau bao gồm các khái niệm
cơ bản liên quan về mặt chính quy trong không gian R3 , từ đó trình bày các độ
cong trên mặt, khái niệm về mặt cực tiểu và một số ví dụ về mặt cực tiểu trong
R3 .
Chương 2: Mặt tịnh tiến trong không gian Euclide 3-chiều. Trong chương này,
chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến
cực tiểu và mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian Euclide 3-chiều, làm
rõ một số định lý về mặt tịnh tiến cực tiểu, mặt tịnh tiến với độ cong hằng, độ
cong trung bình hằng trong không gian Euclide 3-chiều.
Chương 3: Mặt tịnh tiến trong không gian Hyperbolic 3-chiều. Trong chương
này, chúng tôi trình bày sơ lược về không gian Hyperbolic 3-chiều, các khái niệm

và tính chất của mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu trong không gian Hyperbolic

3-chiều, làm rõ các định lý xác định mặt tịnh tiến cực tiểu trong không gian
2


Hyperbolic 3-chiều và mở rộng cho trường hợp các siêu mặt tịnh tiến cực tiểu
trong không gian Hyperbolic (n + 1)-chiều.

3


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày sơ lược một số các kiến thức
sẽ sử dụng cho các chương sau bao gồm các khái niệm cơ bản liên quan về mặt
chính quy trong không gian R3 , từ đó trình bày các độ cong trên mặt, khái niệm
về mặt cực tiểu và một số ví dụ về mặt cực tiểu trong R3 . Các kiến thức trong
chương này được tham khảo từ tài liệu [1].

1.1

Mặt chính quy trong không gian R3

Định nghĩa 1.1.1. Một tập hợp con M ⊂ R3 được gọi là một mặt chính quy nếu
với mọi p ∈ S, tồn tại V (p) ⊂ R3 và ánh xạ X : U ⊂ R2 → V ∩ M thỏa mãn ba
điều kiện:
1. Ánh xạ X là khả vi.
2. Ánh xạ X là một đồng phôi từ U lên V ∩ M .
3. ∀q ∈ U, ánh xạ đạo hàm DXq : R2 → R3 là một đơn ánh.

Nhận xét 1.1.1.
1. Điều kiện 1. tương đương với các hàm thành phần của X = X (x, y ) có các
đạo hàm riêng liên tục.
2. Điều kiện 2. tương đương với X là song ánh, liên tục và X −1 liên tục. Điều
kiện này nhằm đảm bảo mặt S không tự cắt và X −1 liên tục nhằm tạo điều
kiện thuận lợi về mặt tính toán.
3. Điều kiện 3. nhằm đảm bảo sự tồn tại của mặt phẳng tiếp xúc tại mọi điểm
p ∈ S. Điều kiện này tương đương với một trong các điều kiện sau đây tại
mọi điểm p ∈ S:
4


•

∂X
∂X
và
là 2 vector độc lập.
∂x
∂y

• Ma trận Jacobi của S được tạo thành bởi 2 vector cột

∂X
∂X
và
có
∂x
∂y


hạng bằng 2.
∂X ∂X
•
∧
= 0.
∂x
∂y
Kí hiệu

∂X
∂X
= Xx ,
= Xy .
∂x
∂y

Định nghĩa 1.1.2. Không gian vector con 2-chiều sinh bởi {Xx (p), Xy (p)} trong
không gian R3p được gọi là không gian tiếp xúc của mặt M tại p ∈ M , kí hiệu là
Tp M. Mỗi vector của không gian tiếp xúc Tp M được gọi là một vector tiếp xúc của
mặt M tại p.
Cho M ⊂ R3 là một mặt chính quy. Khi đó, tích vô hướng chính tắc trên R3
sẽ cảm sinh một tích vô hướng trên từng mặt phẳng tiếp xúc Tp M , kí hiệu là ,
được xác định bởi
∀ω1 , ω2 ∈ Tp M, ω1 , ω2 = ω1 .ω2 .
Định nghĩa 1.1.3. Với mỗi không gian tiếp xúc Tp M , dạng toàn phương
Ip : Tp M −→ R
−→ Ip (ω ) = ω, ω

ω


p

= |ω|2

được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của M tại p.
Giả sử X (x, y ) là một tham số hóa của M tại p, ω ∈ Tp M là vector tiếp xúc
của cung tham số trên mặt
α : (−ε, ε) −→ M
t

−→ X (x (t) , y (t))

,

với α (0) = p, ω = α (0) .
Ta có
Ip (ω ) = Ip (α (0))

= α (0) , α (0)
= x Xx + y Xy , x Xx + y Xy
2

2

= Xx , Xx (x ) + 2 Xx , Xy x y + Xy , Xy (y )
2

2

= E (x ) + 2F x y + G(y ) ,

với E = Xx , Xx , F = Xx , Xy , G = Xy , Xy được gọi là các hệ số của dạng cơ
bản thứ nhất Ip .
5


Định nghĩa 1.1.4. Phần bù trực giao tại p của Tp M được gọi là không gian pháp
của M tại p, kí hiệu là Np M . Mỗi vector trong không gian pháp được gọi là vector
pháp của mặt.
Định nghĩa 1.1.5. Một trường vector trên M là một ánh xạ F : M → R3 . Trường
vector F được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F là liên tục, khả vi.
• Nếu F (p) ∈ Tp M, ∀p ∈ M thì F được gọi là trường vector tiếp xúc trên M .
• Nếu F (p) ∈ Np M, ∀p ∈ M thì F được gọi là trường pháp vector trên M .
• Nếu F (p) ∈ Np M, |F (p)| = 1, ∀p ∈ M thì F được gọi là trường pháp vector
đơn vị trên M .
Định nghĩa 1.1.6. Một mặt chính quy M được gọi là định hướng được nếu có
một trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó,
trường pháp vector N được gọi là một định hướng của M . Một mặt chính quy
định hướng là mặt chính quy định hướng được cùng hướng xác định N .
Xét M là một mặt chính quy và X là một tham số hóa địa phương của M . Khi
đó, ta chọn vector pháp đơn vị tại mỗi điểm p như sau
N (p) =

Xx ∧ Xy
(p ) .
|Xx ∧ Xy |

Từ đó, ta được một ánh xạ khả vi
N : X (U ) −→ R3
−→ N (p)


p

.

Do đó, ta được N (p) là một pháp vector đơn vị trên X (U ).
Định nghĩa 1.1.7. Ánh xạ N được xác định như trên gọi là ánh xạ Gauss của
mặt M .
Nhận xét 1.1.2. Ánh xạ Gauss là khả vi nên đạo hàm của N tại điểm p ∈ M là
ánh xạ tuyến tính
DNp : Tp M → TN (p) M 2 .
Do Tp M ⊥Np và TN (p) M 2 ⊥Np nên ta có thể đồng nhất Tp M ≡ TN (p) M 2 , ∀p ∈ M
và xem ánh xạ DNp : Tp M → Tp M là tự đồng cấu tuyến tính của Tp M. Khi đó,
DNp được gọi là ánh xạ Weigarten của M tại p.
Kết quả dưới đây là một đặc trưng cơ bản của ánh xạ Gauss.
6


Mệnh đề 1.1.1. Ánh xạ Weigarten DNp : Tp M → Tp M của ánh xạ Gauss là tự
liên hợp, tức là
DNp (α) , β = α, DNp (β ) , ∀α, β ∈ Tp M.
Định nghĩa 1.1.8. Với mỗi không gian tiếp xúc Tp M , ánh xạ
IIp : Tp M −→ R
−→ IIp (α) = − DNp (α) , α

α

,

với , là tích vô hướng trên Tp M cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trong R3 là
dạng song tuyến tính, đối xứng. Ánh xạ IIp được gọi là dạng cơ bản thứ hai của

mặt M tại p.
Các hệ số
b11 = IIp (Xx , Xx ) = − DNp (Xx ) , Xx = − Nx , Xx = N, Xxx ,
b12 = IIp (Xx , Xy ) = − DNp (Xx ) , Xy = − Nx , Xy = N, Xxy ,
b21 = IIp (Xy , Xx ) = − DNp (Xy ) , Xx = − Ny , Xx = N, Xxy ,
b22 = IIp (Xy , Xy ) = − DNp (Xy ) , Xy = − Ny , Xy = N, Xyy
được gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai. Ma trận (bij )2×2 được gọi là ma
trận của dạng cơ bản thứ hai.
Ta kí hiệu e = b11 , f = b12 = b21 , g = b22 .

1.2

Các độ cong trên mặt

Ánh xạ tuyến tính DNp là ánh xạ tự liên hợp của không gian vector Euclide 2−chiều Tp M nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } sao cho DNp (e1 ) =
−k1 e1 , DNp (e2 ) = −k2 e2 . Khi đó, các giá trị k1 , k2 được gọi là các độ cong chính,
còn các vector riêng e1 , e2 xác định các phương gọi là phương chính. Ma trận của
DNp trong cơ sở này có dạng
DNp =

−k1

0

0
−k2

.

Định nghĩa 1.2.1. Cho (M, N ) là mặt chính quy định hướng, p ∈ M và DNp là

đạo hàm của ánh xạ Gauss N tại điểm p. Khi đó, ta gọi:
• Định thức DNp là độ cong Gauss của M tại điểm p, kí hiệu là K (p).

1
• − tr (DNp ) được gọi là độ cong trung bình của mặt M tại p, kí hiệu là H (p).
2
7


Nhận xét 1.2.1. Từ ma trận của DNp ta suy ra được
K = k1 .k2 , H =

k1 + k2
.
2

Xét (M, N ) là mặt chính quy định hướng và X : U → M là một tham số hóa
địa phương của M tại điểm p ∈ M . Ta giả sử định hướng N của M là tương thích
với X có nghĩa là
N=

Xx ∧ Xy
.
|Xx ∧ Xy |

Từ N, N = 0, ta suy ra N, Nx = N, Ny = 0. Khi đó, ta được Nx , Ny ∈ Tp M
và do đó
Nx = a11 Xx + a21 Xy ,
Ny = a12 Xx + a22 Xy .
Ma trận của DNp đối với cơ sở {Xx , Xy } là

a11 a12

.

a21 a22
Ta xét ma trận của dạng cơ bản IIp . Đặt

e = IIp (Xx ) = − DNp (Xx ) , Xx = − Nx , Xx = N, Xxx ,
f = − DNp (Xx ) , Xy = − Ny , Xx = N, Xxy ,
g = IIp (Xy ) = − DNp (Xy ) , Xy = − Ny , Xy = N, Xyy .
Khi đó, ma trận của IIp đối với cơ sở {Xx , Xy } là
e f
f g

.

Từ các đẳng thức
−e = Nx , Xx = a11 Xx + a21 Xy , Xx = a11 E + a21 F,
−f = Nx , Xy = a11 Xx + a21 Xy , Xy = a11 F + a21 G

= Ny , Xx = a12 Xx + a22 Xy , Xx = a12 E + a22 F,
−g = Ny , Xy = a12 Xx + a22 Xy , Xy = a12 F + a22 G,
ta có
−

e f
f g

=


a11 a21

E F

a12 a22

F G

và do đó

,

−1

a11 a21
a12 a22

=−

e f

E F

f g

F G

8

,



với

−1

E F
F G

=

1
EG − F 2

G

−F

−F

E

.

Từ đó, ta có
gF − eG
eF − f G
f F − gG
f F − eG
a11 =

,
a
=
,
a
=
,
a
=
.
12
21
22
EG − F 2
EG − F 2
EG − F 2
EG − F 2
Khi đó, ta được công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt
M
K=

1.3

eg − f 2
1 eG − 2f F + gE
,H = .
.
2
EG − F
2

EG − F 2

Mặt cực tiểu

Định nghĩa 1.3.1. Mặt chính quy M được gọi là mặt cực tiểu nếu có độ cong
trung bình H tại mọi điểm bằng 0.
Ví dụ 1.3.1.
1. Mặt phẳng là mặt cực tiểu.
2. Mặt Catenoid là mặt cực tiểu.
Chứng minh. Xét mặt Catenoid được xác định bởi tham số hóa
X (x, y ) = (a cosh x cos y, a cosh x sin y, ax) ,
với 0 < y < 2π, −∞ < x < +∞, a > 0.
Ta có
Xx = (a sinh x cos y, a sinh x sin y, a) ,
Xy = (−a cosh x sin y, a cosh x cos y, 0) ,
Xxx = (a cosh x cos y, a cosh x sin y, 0) ,
Xyy = (−a cosh x cos y, −a cosh x sin y, 0) ,
Xxy = (−a sinh x sin y, a sinh x cos y, 0) .
Suy ra
E = Xx , Xx = a2 sinh2 xcos2 y + a2 sinh2 xsin2 y + a2 = a2 cosh2 x,
F = Xx , Xy = −a2 cosh x sinh x sin y cos y + a2 cosh x sinh x sin y cos y = 0,
G = Xy , Xy = a2 cosh2 xsin2 y + a2 cosh2 xcos2 y = a2 cosh2 x,
Xx ∧ Xy
cos y
sin y
sinh x
N=
= −
,−
,−

,
|Xx ∧ Xy |
cosh x cosh x cosh x
e = Xxx , N = −acos2 y − asin2 y = −a,
f = Xxy , N = 0,
g = Xyy , N = acos2 y + asin2 y = a.
9


Khi đó, ta được độ cong trung bình H của mặt Catenoid là

1 eG − 2f F + gE
H= .
= 0.
2
EG − F 2
Vậy mặt Catenoid là mặt cực tiểu.

10


Chương 2
MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHÔNG GIAN
EUCLIDE 3-CHIỀU
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của mặt tịnh
tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu và mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian
Euclide 3-chiều, làm rõ một số định lý về mặt tịnh tiến cực tiểu, mặt tịnh tiến với
độ cong Gauss hằng, độ cong trung bình hằng trong không gian Euclide 3-chiều.
Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [4], [7].


2.1

Mặt tịnh tiến

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt tịnh tiến trong không gian
Euclide R3 và một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 2.1.1. Trong không gian Euclide R3 , một mặt M được gọi là mặt
tịnh tiến nếu được xác định bởi một tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3 : (x, y ) → (x, y, z (x, y )) ,
trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Ví dụ 2.1.1.
1. Mặt phẳng trong không gian R3 là một mặt tịnh tiến.
2. Mặt Scherk được xác định bởi ánh xạ
X : U ⊂ R2 −→ R3

(x, y )
trong đó z (x, y ) =

−→ (x, y, z (x, y ))

,

1
cos (ax)
1
1
ln
= ln |cos (ax)| − ln |cos (ay )| với a = 0
a
cos (ay )

a
a

là mặt tịnh tiến.
11


2.2

Mặt tịnh tiến cực tiểu

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt tịnh tiến cực tiểu và một
số ví dụ minh họa trong không gian Euclide R3 .
Định nghĩa 2.2.1. Mặt tịnh tiến M trong không gian Euclide R3 được gọi là mặt
cực tiểu nếu có độ cong trung bình H bằng không tại mọi điểm.
Ví dụ 2.2.1.
1. Mặt phẳng là mặt tịnh tiến cực tiểu.
Chứng minh. Theo Ví dụ 2.1.1 và Ví dụ 1.3.1 ta được mặt phẳng là mặt tịnh
tiến cực tiểu.
2. Mặt Scherk là mặt tịnh tiến cực tiểu.
Chứng minh. Mặt Scherk được xác định bởi ánh xạ
X : U ⊂ R2 −→ R3
−→ (x, y, z (x, y ))

(x, y )

,

1
1

1
cos (ax)
= ln |cos (ax)|− ln |cos (ay )| với a = 0.
ln
a
cos (ay )
a
a
Theo Ví dụ 2.2.1 ta được mặt Scherk là mặt tịnh tiến.

trong đó z (x, y ) =

Ta có
Xx = (1, 0, − tan ax) , Xy = (0, 1, tan ay ) ,
Xxx = 0, 0, −a 1 + tan2 ax

, Xxy = (0, 0, 0) , Xyy = 0, 0, a 1 + tan2 ay

Suy ra
E = Xx , Xx = 1 + tan2 ax,
F = Xx , Xy = − tan ax tan ay,
G = Xy , Xy = 1 + tan2 ay,
1
Xx ∧ Xy
N=
|Xx ∧ Xy |
1
=
(tan ax, − tan ay, 1) ,
2

1 + tan ax + tan2 ay
1
1 + tan2 ax ,
e = Xxx , N = −a
2
2
1 + tan ax + tan ay
f = Xxy , N = 0,
g = Xyy , N = a

1
1 + tan2 ay .
2
1 + tan ax + tan ay
2

12

.


Khi đó, ta được

1
1 + tan ax + tan2 ay
1 + tan2 ax = 0.

Eg − 2f F + Ge = a
− 1 + tan2 ay


2

1 + tan2 ax 1 + tan2 ay

Độ cong trung bình H của mặt Scherk M là
1 Eg − 2f F + Ge
H= .
= 0.
2
EG − F 2
Vậy mặt Scherk là mặt tịnh tiến cực tiểu.
Định lý 2.2.1. Trong không gian Euclide R3 , ngoài mặt phẳng thì mặt Scherk là
mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất.
Chứng minh. Giả sử tồn tại một mặt tịnh tiến cực tiểu M trong không gian Euclide
R3 . Khi đó, mặt M có tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3

(x, y )

−→ (x, y, z (x, y ))

,

trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Ta có
Xx = (1, 0, f ) , Xy = (0, 1, g ) ,
Xxx = (0, 0, f ) , Xxy = (0, 0, 0) , Xxy = (0, 0, g ) .
Suy ra
E = Xx , Xx = 1 + f 2 ,
F = Xx , Xy = f g ,

G = Xy , Xy = 1 + g 2 ,
1
1
N=
Xx ∧ Xy =
(−f , g , 1) ,
|Xx ∧ Xy |
1+f 2+g2
1
e = Xxx , N =
f ,
1+f 2+g2
f = Xxy , N = 0,
g = Xyy , N =

1
g .
1+f 2+g2

Vì M là mặt cực tiểu nên ta có H = 0, ∀ (x, y ) ∈ U . Điều này tương đương với

1 Eg − 2f F + Ge
=0
.
2
EG − F 2
⇔ Eg − 2f F + Ge = 0
1
⇔
1+f 2 g + 1+g2 f

1+f 2+g2
13

=0


⇔ 1+f
⇔−

2

f
1+f

g + 1+g2 f =0
2

g
.
1+g2

=

Đạo hàm hai vế phương trình trên theo biến x ta được
−

f
1+f

= 0.


2

f
g
=
= a.
2
1+f
1+g2
Nếu a = 0, ta suy ra được f = g = 0 hay f = bx + c, g = dy + e với

Suy ra ∃a ∈ R thỏa mãn −
b, c, d, e ∈ R.

Do đó, mặt M có tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3

.

−→ (x, y, bx + dy + c + e)

(x, y )

Suy ra mặt M là mặt phẳng.
f
Nếu a = 0, xét −
= a. Lấy nguyên hàm hai vế theo biến x ta được
1+f 2
−


f
dx =
1+f 2

adx.

(2.2.1)

Đặt f = tan u. Khi đó, phương trình (2.2.1) trở thành
−

du = ax.

1
ln |cos ax| .
a
= a. Lấy nguyên hàm hai vế theo biến y ta được

Giải phương trình trên ta được f =
Xét

g
1+g2

g
dy =
1+g2

ady.


(2.2.2)

Đặt g = tan u. Khi đó, phương trình (2.2.2) trở thành
−

du = ay.

1
Giải phương trình trên ta được g = − ln |cos ay| .
a
Do đó, mặt M có tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3

(x, y )

−→

x, y,

1
cos ax
ln
a
cos ay

.

Suy ra mặt M là mặt Scherk.
Vậy trong không gian Euclide R3 , ngoài mặt phẳng thì mặt Scherk là mặt tịnh

tiến cực tiểu duy nhất.
14


2.3

Mặt tịnh tiến với độ cong hằng

Trong phần này, chúng tôi trình bày các mặt tịnh tiến với độ cong hằng, bao
gồm mặt tịnh tiến với độ cong Gauss hằng K và mặt tịnh tiến với độ cong trung
bình hằng H = 0.
Đối với mặt tịnh tiến với độ cong Gaus hằng K, ta có kết quả sau.
Định lý 2.3.1. Trong không gian Euclide R3 , cho M là một mặt tịnh tiến với độ
cong Gauss hằng K. Khi đó, M là một mặt trụ trong R3 và ta được K = 0.
Chứng minh. Trong không gian Euclide R3 , xét mặt tịnh tiến M với độ cong hằng
K được xác định bởi tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3

(x, y )

−→ (x, y, z (x, y ))

,

trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Theo kết quả tính toán trong chứng minh của Định lý 2.2.1 ta suy ra được độ
cong Gauss K của mặt tịnh tiến M là
eg − f 2
f g
K=

=
.
EG − F 2
(1 + f 2 + g 2 )

(2.3.1)

1. Xét g = 0. Suy ra g = 0.
Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.1) theo biến x ta được
f

1 + f 2 + g 2 − 4f f

2

= 0.

Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.2) theo biến y ta được

2f g g = 0 ⇔ f = 0.
Thay f

= 0 vào phương trình (2.3.2) ta được
− 4f f

2

=0⇔

f =0

f =0

.

Suy ra f = 0.
2. Xét f = 0. Suy ra f = 0.
Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.1) theo biến x ta được
g f 1+f 2+g2

2

− g f .2. 1 + f 2 + g 2 .2.g g = 0.
15

(2.3.2)


Suy ra
g

1 + f 2 + g 2 − 4g g

2

= 0.

(2.3.3)

Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.3) theo biến y ta được


2g f f = 0 ⇔ g = 0.
Thay g = 0 vào (2.3.3) ta được
− 4g g

2

=0⇔

g =0
g =0

.

Khi đó, ta được g = 0.
Do đó, ta luôn có f = 0 hoặc g = 0.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử f = 0.
Suy ra f (x) = ax + b, trong đó a, b ∈ R.
Khi đó mặt tịnh tiến M có tham số hóa
X (x, y ) = (x, y, ax + b + g (y )) = (0, y, g (y )) + x (1, 0, a) .
Do đó mặt tịnh tiến M là một mặt trụ trong R3 .
Thay f = 0 vào phương trình (2.3.1) ta được K = 0.
Đối với các mặt tịnh tiến trong R3 với độ cong trung bình hằng H, Định lý 2.2.1
đã chỉ ra các mặt tịnh tiến cực tiểu (H = 0) khác mặt phẳng là mặt Scherk. Kết
quả dưới đây cho chúng ta xác định lớp các mặt tịnh tiến với độ cong trung bình
hằng H = 0.
Định lý 2.3.2. Trong không gian Euclidean R3 , cho M là một mặt tịnh tiến với
độ cong trung bình hằng H = 0. Khi đó, M là một mặt trong R3 xác định bởi
√
1 + a2
z (x, y ) = −

1 − 4H 2 (x + c1 )2 + ay + c,
2H
trong đó c1 , a, c ∈ R.
Chứng minh. Trong không gian Euclide R3 , xét mặt tịnh tiến M với độ cong trung
bình hằng H = 0 được xác định bởi tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3

(x, y )

−→ (x, y, z (x, y ))
16

,


trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Theo kết quả tính toán trong chứng minh của Định lý 2.2.1 ta suy ra được độ
cong trung bình H của mặt tịnh tiến M là

1 eG − 2f F + gE
1 f (1 + g 2 ) + g (1 + f 2 )
H= .
=
.
.
3
2
EG − F 2
2
2

2
2
(1 + f + g )

(2.3.4)

Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.4) theo biến x, ta được

1+g2 +g

− f

3

1 + g 2 + 2f f g

0= f

1 + g 2 + 2f f g

⇔0= f
− 3. f

1+f 2

1+g2 +g

1+f 2+g2 2
1
3

. . 1 + f 2 + g 2 2 .2.f f
2
−3
1+f 2+g2 2

1+f 2

− 52

1+f 2+g2

⇔ f

1 + g 2 + 2f f g

1+f 2+g2

⇔ f

1 + g 2 + 2f f g

1+f 2+g2

− 23
− 12

ff

= 6.Hf f 1 + f 2 + g 2
= 6.Hf f .


−1

(2.3.5)

Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.5) theo biến y, ta được
−1

0 = (2g g f + 2f f g ) 1 + f 2 + g 2 2
−1
+ f 1 + g 2 + 2f f g .
1+f 2+g2
2
⇔ 0 = (2g g f + 2f f g ) 1 + f 2 + g 2
−gg

f

1 + g 2 + 2f f g

− 32

.2.g g

− 21

1+f 2+g2

− 32


Suy ra

0 = (2g g f + 2f f g ) 1 + f 2 + g 2
⇔ (2g g f + 2f f g ) 1 + f 2 + g 2

1
2

− 12

− 6.Hf f g g 1 + f 2 + g 2

= 6.Hf f g g .

−1

(2.3.6)

Giả sử f = 0 và g = 0. Ta có f = 0 và g = 0.
Khi đó, phương trình (2.3.6) trở thành

3H =

f
g
+
ff
gg

1


1 + f 2 + g 2 2.

(2.3.7)

Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.7) theo biến x, ta được

0=

f
ff

1+f 2+g2

⇔0=

f
ff

1+f 2+g2

⇔0=

f
ff

1+f 2 +d2

1
2


3
2

3
2

+

f
g
+
ff
gg

+

f
g
+
ff
gg

+ 3Hf f .
17

1
. . 1+f 2+g2
2


− 12

.2.f f

1

1 + f 2 + g 2 2f f
(2.3.8)


Đạo hàm hai vế phương trình (2.3.8) theo biến y, ta được

3
2
⇔

f
ff

1

1 + f 2 + g 2 2 .2.g g = 0

f
ff

= 0.

(2.3.9)


Thay (2.3.9) vào (2.3.8) ta được

3Hf f = 0.
Do H = 0, f = 0 nên 3Hf f = 0 (mâu thuẫn ở trên).
Suy ra f = 0 hoặc g = 0.
Không mất tính tổng quát ta giả sử g = 0.
Suy ra g (y ) = ay + b, trong đó a, b ∈ R.
Khi đó, phương trình (2.3.4) trở thành

1 f . (1 + a2 )
H= .
2 (1 + a2 + f 2 ) 32
f . (1 + a2 )

⇔ 2H =
⇔ 2H =

3

(1 + a2 + f 2 ) 2
f . (1 + a2 + f 2 ) − f f 2
3

.

(1 + a2 + f 2 ) 2
Suy ra
f

2H =


1

(1 + a2 + f 2 ) 2
f

⇔

1

(1 + a2 + f 2 ) 2

= 2H (x + c1 ) ,

trong đó c1 ∈ R.
Khi đó, ta được
f2
1 + a2 + f

2

= 4 H 2 (x + c1 )2
2

⇔ f 2 = 4H 2 (x + c1 ) . 1 + a2 + f
2

2

⇔ f 2 = f 2 .4H 2 (x + c1 ) + 4H 2 (x + c1 )

2

⇔ 1 − 4H 2 (x + c1 )

2
2

f 2 = 4H 2 (x + c1 )

4H 2 (x + c1 )2 (1 + a2 )
.
⇔f =
1 − 4H 2 (x + c1 )2
2

18

1 + a2
1 + a2


Do đó, ta có thể chọn
√
f =

1 + a2 .2H (x + c1 )
1−

4H 2 (x


2

.

+ c1 )

Suy ra
√
f=
√

=−

1 + a2 .2H (x + c1 )
1 − 4H 2 (x + c1 )2

1 + a2
2H

√

1 + a2
2H
√
1 + a2
=−
2H

dx


−8H 2 (x + c1 )

2 1−

4H 2 (x

2

dx

+ c1 )

1 − 4H 2 (x + c1 )2 dx

=−

1 − 4H 2 (x + c1 )2 + c2 ,

trong đó c2 ∈ R.
Do đó, ta được
√

1 + a2
z (x, y ) = −
√ 2H
1 + a2
⇔ z (x, y ) = −
2H

1 − 4H 2 (x + c1 )2 + c2 + ay + b

1 − 4H 2 (x + c1 )2 + ay + c,

trong đó c = c2 + b ∈ R.

19


Chương 3
MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHÔNG GIAN
HYPERBOLIC 3-CHIỀU
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về không gian Hyperbolic 3-chiều,
các khái niệm và tính chất của mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu trong không
gian Hyperbolic 3-chiều, làm rõ các định lý xác định mặt tịnh tiến cực tiểu trong
không gian Hyperbolic 3-chiều và mở rộng cho trường hợp các siêu mặt tịnh tiến
cực tiểu trong không gian Hyperbolic (n + 1)-chiều. Các kiến thức trong chương
này được tham khảo từ các tài liệu [5], [6].

3.1

Mặt tịnh tiến trong không gian Hyperbolic

Trong phần này, chúng tôi khảo sát các mặt tịnh tiến trong không gian Hyperbolic 3-chiều H3 thay cho các mặt tịnh tiến trong không gian Euclide R3 đã xét ở
trong chương 2.
Để thuận tiện cho việc khảo sát, chúng tôi xét mô hình nửa không gian trên của
H3 , tức là
R3+ = {(x, y, z ) |z > 0 } ⊂ R3
được trang bị metric Hyperbolic
dx2 + dy 2 + dz 2
ds =
.

z2
2

Trong mô hình này, chúng ta có thể xét các phẳng dưới dạng tổng của hai đường
cong phẳng, tức là các đường cong trong R3+ có vết thuộc mặt phẳng Euclide. Hơn
nữa, có một sự khác biệt giữa mô hình nữa không gian trên với không gian Euclide
R3 do việc chọn tọa độ z > 0 trong R3+ .
Từ đó, chúng ta có hai định nghĩa của các mặt tịnh tiến trong mô hình nữa
không gian trên của H3 như sau.
20


Định nghĩa 3.1.1. Mặt M trong không gian Hyperbolic H3 được gọi là mặt tịnh
tiến loại I nếu có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3+
xác định bởi
X (x, y ) = (x, y, f (x) + g (y )) , ∀ (x, y ) ∈ U,
trong đó f, g là các hàm trơn.
Định nghĩa 3.1.2. Mặt M trong không gian Hyperbolic H3 được gọi là mặt tịnh
tiến loại II nếu có tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3+
xác định bởi
X (x, z ) = (x, f (x) + g (z ), z ) , ∀ (x, z ) ∈ U,
trong đó f, g là các hàm trơn.
Nhận xét 3.1.1. Cho M là mặt trong không gian Hyperbolic H3 xác định bởi
tham số hóa
X : U ⊂ R2 → R3+ .
Do trong R3+ , ngoài mêtric chính tắc Euclide còn được trang bị mêtric Hyperbolic nên phẳng M có hai mêtric cảm sinh. Hơn nữa, từ cách xác định mêtric
Hyperbolic trong R3+ suy ra mỗi trường vector chuẩn tắc đơn vị n trên M tương
ứng với mêtric Hyperbolic xác định một trường vector chuẩn tắc đơn vị N trên M

n
tương ứng với mêtric chính tắc Euclide theo công thức N = .
z
Gọi k1 , k2 là các độ cong chính Hyperbolic và k1e , k2e là các độ cong chính Euclide
của M . Khi đó, ta có hệ thức ki = zkie + N3 , i = 1, 2 với N3 là thành phần thứ 3
của trường vector chuẩn tắc đơn vị N.
Từ đó, kí hiệu H và He lần lượt là độ cong trung bình Hyperbolic và độ cong
trung bình Euclide, ta thu được công thức
H (x, y, z ) = zHe (x, y, z ) + N3 (x, y, z ) .

3.2

Mặt tịnh tiến cực tiểu

Định nghĩa 3.2.1. Mặt tịnh tiến M trong không gian Hyperpolic H3 được gọi là
mặt cực tiểu nếu có độ cong trung bình H bằng không tại mọi điểm.
21


Theo các kết quả đã được chỉ ra ở chương 2, trong không gian Euclide R3 chỉ
có mặt phẳng và mặt Scherk là hai mặt tính tiến cực tiểu. Trong không gian
Hyperpolic H3 mặt tịnh tiến lại được chia làm hai loại I, II và câu hỏi đặt ra là
giữa hai loại mặt tịnh tiến đó có những đặc điểm và tính chất nào khác nhau. Kết
quả dưới đây cho chúng ta đặc trưng của các mặt tịnh tiến loại I.
Định lý 3.2.1. Trong không gian Hyperpolic H3 , mọi mặt tịnh tiến loại I đều
không phải là mặt cực tiểu.
Chứng minh. Giả sử trong không gian Hyperpolic H3 , tồn tại một mặt M tịnh
tiến cực tiểu loại I. Khi đó mặt M có tham số hóa
X : U ⊂ R2 −→ R3+


(x, y )

−→ (x, y, z (x, y ))

,

trong đó z (x, y ) = f (x) + g (y ) và f, g là các hàm trơn.
Theo kết quả tính toán trong chứng minh của Định lý 2.2.1 ta suy ra được độ
cong trung bình He của mặt tịnh tiến M là

1 Eg − 2f F + Ge
He = .
2
EG − F 2
2

1 1+g f + 1+f
= .
3
2
(1 + f 2 + g 2 ) 2
và
N3 =

2

g

1
.

1+f 2+g2

Suy ra độ cong trung bình H của mặt tịnh tiến M là
H = zHe + N3
2

1+g f + 1+f
1
= (f + g ) .
3
2
(1 + f 2 + g 2 ) 2

2

g

+

1
.
1+f 2+g2

Do mặt tịnh tiến M là mặt cực tiểu nên với mọi (x, y ) ∈ U ta có H = 0. Điều
này tương đương với
2

1+g f + 1+f
1
(f + g ) .

3
2
(1 + f 2 + g 2 ) 2
⇔ (f + g )

1+g

2

f + 1+f

2

2

22

g

+
g

1
=0
1+f 2+g2

= −2. 1 + f 2 + g 2 .