ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————–

NGUYỄN NGỌC BÌNH

MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN
TRONG H2 × R

LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TÔPÔ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2018


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————–

NGUYỄN NGỌC BÌNH

MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN
TRONG H2 × R
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TÔPÔ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN MINH HOÀNG

Thừa Thiên Huế, năm 2018


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu,
tìm hiểu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Minh Hoàng. Một số kết quả được sử dụng
của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích
nguồn gốc.
Nguyễn Ngọc Bình

i


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giảng viên TS. Nguyễn
Minh Hoàng. Tôi xin cảm ơn cô. Cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy cô tham gia
giảng dạy tại trường và các thầy cô khác đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Hình học - Tôpô vì sự giúp đỡ trong quá
trình học tập vừa qua.
Ngày 15 tháng 11 năm 2018.
Học viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Bình


ii


Lời nói đầu
Cho H2 là mặt phẳng hyperbolic. Khác với hình học trong mặt phẳng Euclid,
trong mặt phẳng hyperbolic, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng hyperbolic, có vô số đường thẳng hyperbolic đi qua nó mà không cắt đường thẳng
đã cho. Xét đa tạp Riemann tích H2 × R của mặt phẳng hyperbolic với đường
thẳng Euclid. Đây là một đa tạp Riemann chiều 3, bên cạnh không gian Euclid
R3 = R2 × R, đa tạp Riemann H2 × R là một trong số 8 mô hình hình học của
Thurston (Các hình học này đóng vai trò như các nguyên tố cơ bản để xây dựng
tất cả các hình học chiều 3).
Lí thuyết về mặt cực tiểu trong H2 × R có lẽ bắt đầu được nghiên cứu bởi
Nelli và Rosenberg năm 2002 và tiếp tục được nghiên cứu rất nhiều trong thời
gian gần đây bởi Rosenberg và nhiều nhà toán học khác.
Khi nghiên cứu mặt cực tiểu trong H2 × R, người ta xây dựng nhiều nhất, và
tường minh nhất có thể các ví dụ về mặt cực tiểu đầy đủ. Một mặt, các ví dụ
này cho thấy sự phong phú của mặt cực tiểu trong H2 × R. Mặt khác, chúng sẽ
đóng vai trò là các mô hình để giải bài toán phân loại mặt cực tiểu. Bên cạnh
đó, một cách kĩ thuật, các mặt cực tiểu cụ thể thường được sử dụng như các
màn chắn để kiểm soát quá trình lấy giới hạn của một dãy các mặt cực tiểu.
Xuất phát từ các lí do trên, chúng tôi chọn đề tài "Một số mặt cực tiểu bất biến
trong H2 × R" để bước đầu tìm hiểu về lí thuyết phong phú và sâu sắc của các
mặt cực tiểu.
Lớp ví dụ đơn giản nhất về mặt cực tiểu trong H2 × R là các mặt cực tiểu bất
biến dưới tác động của một nhóm con một tham số nào đó của các đẳng cự của
H2 × R. Luận văn trình bày cách xác định phương trình mặt cực tiểu cho mỗi
loại mặt để từ đó đưa ra cách xây dựng các mặt cực tiểu cụ thể này.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sử dụng các kĩ thuật của hình học vi
phân và phương trình vi phân thường.
Luận văn được trình bày trong hai chương. Chương đầu là các kiến thức

chuẩn bị về mặt phẳng hyperbolic, trắc địa, đẳng cự và các loại đẳng cự trong
mặt phẳng hyperbolic. Chương sau trình bày các tính chất cơ bản của đa tạp
iii


iv

Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

Riemann tích H2 × R, xây dựng các phương trình mặt cực tiểu cho các họ mặt
cực tiểu bất biến như mặt cực tiểu thẳng đứng, mặt cực tiểu xoắn elliptic, xoắn
parabolic và xoắn hyperbolic, từ đó chúng tôi tìm các mặt cực tiểu bất biến này
nhờ việc giải các phương trình vi phân.


Một số kí hiệu viết tắt
Độ dài hyperbolic.
∇H
Gradien hyperbolic
EllipticE(∗) Tích phân Elliptic (một hàm của ∗)
.

H

v


Danh sách hình vẽ
1.1


Hình minh họa cho chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1
2.2

Mặt cực tiểu xoắn elliptic trong H2 × R (d = l = 1). . . . . . . . . .
Một phần của mặt cực tiểu kiểu Scherk (d = 1, l = 0) trong H2 × R
bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic. . . . . . . . . . . . . . . .
Mặt cực tiểu xoắn parabolic trong H2 × R (d = l = 1). . . . . . . .
Đường sinh của mặt cực tiểu nhúng khi l = d. . . . . . . . . . . . .
Lớp các các đường sinh của mặt cực tiểu nhúng khi thay đổi d và
cố định l = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường sinh của mặt cực tiểu nhúng khi thay đổi l và cố định d = 1.

31

2.3
2.4
2.5
2.6

vi

36
38
39
40
40



Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Lời nói đầu

iii

Một số kí hiệu viết tắt

v

Danh sách hình vẽ

v

1 Mặt phẳng hyperbolic
1.1 Mô hình của mặt phẳng hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Trắc địa hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Đẳng cự hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phân loại các đẳng cự hyperbolic: đẳng cự kiểu parabolic, đẳng
cự kiểu elliptic, đẳng cự kiểu hyperbolic . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Đẳng cự parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đẳng cự hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Đẳng cự elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.

1
1
2
8

.
.
.
.

15
16
16
17

.
.
.
.

.
.
.

18
18
19
22
22
25
27
32

2 Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R
2.1 Đa tạp Riemann H2 × R . . . . . . . . . . .
2.1.1 Một vài tính toán . . . . . . . . . . .
2.1.2 Một số đẳng cự của H2 × R . . . . .
2.2 Đồ thị cực tiểu thẳng đứng trong H2 × R .
2.3 Mặt cực tiểu thẳng đứng . . . . . . . . . . .
2.4 Mặt cực tiểu xoắn elliptic . . . . . . . . . .
2.5 Mặt cực tiểu xoắn hyperbolic . . . . . . . .

vii

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.



Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

viii

2.6

Mặt cực tiểu xoắn parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

MỤC LỤC


Chương 1

Mặt phẳng hyperbolic

Nội dung của các mục 1.1 đến 1.3 được tham khảo và viết lại từ cuốn sách [1].

1.1

Mô hình của mặt phẳng hyperbolic


Hai trong số các mô hình thông dụng nhất của mặt phẳng hyperbolic mà chúng
tôi sẽ sử dụng trong luận văn này là mô hình nửa mặt phẳng Poincaré và mô
hình đĩa Poincaré. Các mô hình này được giới thiệu rộng rãi bởi nhà toán học
người Pháp Henri Poincaré năm 1882 mặc dù cả hai mô hình đã được nhà toán
học người Italia Eugenio Beltrami biết đến từ 1868.
Định nghĩa 1.1.1. Nửa mặt phẳng Poincaré là đa tạp Riemann có đa tạp trơn
nền là đa tạp con mở
H2 = (x, y) ∈ R2 : y > 0
của R2 , trang bị metric Riemann
(dx)2 + (dy)2
.
y2

Bằng cách đồng nhất R2 với mặt phẳng phức C, nửa phẳng Poincaré có thể
được xem như là nửa mặt phẳng phức gồm những số phức có phần ảo dương
H2 = {z ∈ C| z > 0}
với metric Riemann
|dz|2
.
(z)2

(1.1)

Định nghĩa 1.1.2. Đĩa Poincaré là đa tạp Riemann có đa tạp trơn nền là đa
tạp con mở
∆ = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1
1


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R


2

của R2 , trang bị metric Riemann
4[(dx)2 + (dy)2 ]
.
(1 − x2 − y 2 )2

Tương tự như trên, ta có thể xem mô hình này là tập gồm toàn bộ các số
phức với môđun nhỏ hơn 1
∆ = {z ∈ C||z| < 1}

với metric Riemann
4|dz|2
.
(1 − |z|2 )2

(1.2)

Trong mệnh đề (1.3.14), ta sẽ chứng minh nửa mặt phẳng Poincaré đẳng cự
với đĩa Poincaré.
Mỗi mô hình của mặt phẳng hyperbolic có ưu điểm và nhược điểm của nó.
Tùy tình huống cụ thể, chúng ta sẽ chọn làm việc với một mô hình phù hợp.
Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng kết quả hình học đạt được không phụ thuộc
vào việc chọn mô hình, mà mô hình chỉ giúp cho việc mô tả đối tượng hình học
đó đơn giản hơn mà thôi.
Ngoài ra, mặc dù hình học hyperbolic có thể được định nghĩa một cách tiên
đề, giống như cách đã làm đối với hình học Euclid. Tuy nhiên, cách tiếp cận
bằng mô hình cho phép chúng ta nhanh chóng đạt được các kết quả về đẳng cự,
trắc địa,... của hình học hyperbolic.


1.2

Trắc địa hyperbolic

Định nghĩa 1.2.1. Với mỗi đường cong trơn từng khúc γ : [a, b] → H2 trong H2 ,
độ dài hyperbolic của γ cho bởi
b

||γ|| =
a

|γ (t)|
dt.
(γ(t))

Định nghĩa 1.2.2. Khoảng cách hyperbolic giữa hai điểm z; w ∈ H2 được định
nghĩa là
ρ(z; w) = inf ||γ||,

trong đó infimum được lấy trên tất cả các đường tham số trơn từng khúc
γ : [a; b] → H2 thỏa mãn γ(a) = z; γ(b) = w.
Định nghĩa 1.2.3. Một đường γ nối z và w (z, w ∈ H2 ) là đường trắc địa nếu
nó là đường tham số có độ dài ngắn nhất nối z và w, tức là ||γ|| = ρ(z, w), trong
đó ||γ|| là độ dài đường γ tính từ z đến w.
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R


3

Định nghĩa 1.2.4. Cho hai điểm z; w ∈ H2 . Đoạn trắc địa với hai đầu mút z
và w, kí hiệu là [z; w], là đường chính quy chứa trong đường trắc địa duy nhất đi
qua hai điểm z; w và được giới hạn bởi hai điểm z; w.
Mệnh đề dưới đây cho công thức khoảng cách hyperbolic giữa hai điểm nằm
trên trục ảo. Đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng.
Mệnh đề 1.2.5. Cho hai số thực dương p; q . Khoảng cách hyperbolic giữa hai
điểm ip và iq của H2 là
q
p

ρ(ip, iq) = ln

.

Hơn nữa, đường tham số trơn từng khúc γ : [0; 1] → H2 với γ(0) = ip và γ(1) = iq
thỏa mãn ||γ|| = ρ(ip; iq) khi và chỉ khi (γ(t)) = 0 với mọi t và (γ(t)) là một
hàm đơn điệu.
Chứng minh. Giả sử z = ip, w = iq , nếu γ(t) = x(t) + iy(t), 0 ≤ t ≤ 1 là đường
tham số trơn từng khúc, γ(0) = ip, γ(1) = iq thì
1

||γ|| =
0

|x (t) + iy (t)|
dt ≥
y(t)


1
0

= | ln y(1) − ln y(0)| = ln

|y (t)|
dt ≥
y(t)

q
p

1
0

y (t)
dt
y(t)

.

Suy ra
ρ(ip, iq) = ln

q
p

.

(1.3)


Hơn nữa, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x (t) = 0 và |y (t)| > 0, ∀t. Lại có
γ(0) = x(0) + iy(0) = ip nên x(t) = 0. Từ đây suy ra ||γ|| = ρ(ip, iq) khi và chỉ khi
(γ(t)) = 0; (γ(t)) là hàm đơn điệu.
Định lí 1.2.6. Cho z và w là hai điểm trong mặt phẳng hyperbolic. Một đường
γ nối z với w thỏa mãn ||γ|| = ρ(z, w) nếu và chỉ nếu γ là một tham số hóa của
[z, w] với một đường cong không có tính tự cắt.
Chứng minh.
trục ảo.

• Ta chứng minh cho trường hợp z = ip; w = iq là hai điểm trên

Mệnh đề (1.2.5) đã cho ta thấy một đường cong γ nối ip và iq thỏa mãn
||γ|| = ρ(ip, iq) thì γ là tham số hóa của [ip, iq].

CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

4

Ngược lại, giả sử γ là đường tham số trơn từng khúc nối z = ip và w = iq ,
q
p

γ (t)
dt = | ln(q) − ln(p)| = ln
γ(t)


q
p

q

= ρ(ip, iq) = ||γ|| =
p

|γ (t)|
dt,
(γ(t))

tức là γ(t) = (γ(t)) hay γ(t) có dạng γ(t) = i(p + t(q − p)) nên nó là tham
số hóa của [z, w].
• Với trường hợp z, w ∈ H2 bất kỳ ta cũng có chứng minh tương tự sau khi

tác động một đẳng cự thích hợp vào z và w để biến chúng thành hai điểm
nằm trên trục ảo (Xem mệnh đề (1.3.13)).

Mệnh đề 1.2.7. Khi z và w là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng hyperbolic,
ρ(z, w) = ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) ⇔ ξ ∈ [z, w].

Chứng minh. Bây giờ xét ba điểm bất kỳ z, w, ξ . Từ trường hợp đặc biệt (1.3)
nếu ξ nằm trong đoạn nối z và w thì ρ(z, w) = ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w).
Ta có
ρ(z, w) ≤ ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w)∀x, w, ξ ∈ H2 .
Ngược lại, nếu ξ không nằm trong đoạn nối z và w thì đường cong γ bao gồm
đoạn [z, ξ] và [ξ, w] thỏa mãn ||γ|| > ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) ≥ ρ(z, w). Vậy
ρ(z, w) = ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) ⇔ ξ ∈ [z, w].


Với trường hợp tổng quát, theo Mệnh đề (1.3.13), với z, w ∈ H2 tồn tại đẳng cự
g sao cho g(z) = i, g(w) = iβ với β > 1. Khi đó ρ(z, w) = ρ(i, iβ) = ln β . Giả sử
g(ξ) = a + ib. Nếu ξ ∈ [z, w] thì g(ξ) ∈ [g(z), g(w)]. Do đó, a = 0, 1 < b < β và
ρ(z, ξ) = ln b, ρ(ξ, w) = ln βb .
Suy ra ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) = ln b + ln βb = ln β = ρ(z, w).
Ngược lại, giả sử ξ ∈
/ [z, w]. Xét hai trường hợp
• Nếu a = 0, g(ξ) = ib và g(ξ) thuộc trục ảo. Khi đó 0 < b < 1 hoặc b > β .

Nếu 0 < b < 1 thì ρ(z, ξ) = − ln b và ρ(ξ, w) = ln β − ln b. Vì ln b < 0 nên suy
ra
ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) = ln β − 2 ln b = ρ(z, w) − 2 ln b > ρ(z, w).

Nếu b > β thì ρ(z, ξ) = ln b và ρ(ξ, w) = ln b − ln β . Vì ln b > ln β nên
ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w) = 2 ln b − ln β = 2 ln b − ρ(z, w) > ρ(z, w).
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

5

• Nếu a = 0 thì ρ(z, ξ) = ρ(i, a + ib) > ρ(i, ib) và ρ(ξ, w) = ρ(a + ib, w) > ρ(ib, iβ).

Với 1 < b < β thì ρ(z, w) = ρ(i, iβ) = ρ(i, ib) + ρ(ib, iβ) < ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w).
Với 0 < b < 1 thì ρ(z, w) < ρ(z, w) − 2 ln b = ρ(i, ib) + ρ(ib, iβ) < ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w).
Với b > β thì ρ(z, w) < 2 ln b − ρ(z, w) = ρ(i, ib) + ρ(ib, iβ) < ρ(z, ξ) + ρ(ξ, w).
Vậy ξ ∈ [z, w].
Mệnh đề 1.2.8. Cho h là đường tròn Euclid tâm C(c, 0) và bán kính r. Nếu
P và Q là hai điểm thuộc h sao cho bán kính CP và CQ tạo với chiều dương

trục thực hai góc α và β (α < β). Khi đó, độ dài hyperbolic của cung P Q là
ln

(1 − cos β) sin α
.
(1 − cos α) sin β

Chứng minh. Gọi t là góc hợp bởi chiều dương trục thực và bán kính qua điểm
tùy ý thuộc h, khi đó
x = c + r cos t, y = r sin t, x = −r sin t, y = r cos t.

Độ dài hyperbolic của cung P Q là
(−r sin t)2 + (r cos t)2
dt =
r sin t

|(x 2 , y 2 )|H dt =
β

=
α

rdt
r sin t

1
(1 − cos β) sin α
dt = ln
.
sin t

(1 − cos α) sin β

Hình 1.1: Hình minh họa cho chứng minh.

Định lí 1.2.9. Đoạn trắc địa trong mô hình nửa phẳng Poincaré là
i) Một đoạn của đường thẳng Euclid vuông góc với trục thực nằm trong mặt
phẳng hyperbolic.
ii) Những cung tròn của nửa đường tròn Euclid có tâm thuộc trục thực và nằm
trong mặt phẳng hyperbolic.
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

6

Chứng minh. Cho P (x1 , y1 ) và Q(x2 , y2 ) là hai điểm thuộc nửa phẳng Poincaré
và γ là đường trắc địa đi qua chúng.
i) Với x1 = x2 . Lúc này đoạn thẳng Euclid P Q vuông góc với trục thực. Ta
có thể xem đường trắc địa γ có phương trình x = f (y) ⇒ dx = f dy . Độ dài
hyperbolic của γ từ P đến Q là:
x2+y2
dy =
y

(fy y )2 + y 2
dy =
y

Như đã chứng minh trước, ln


y2
y1

fy2 + 1
dy ≥
y

y2
y1

dy
y2
= ln .
y
y1

y2
là độ dài hyperbolic của đoạn Euclid nối P
y1

và Q. Nên những đoạn của đường thẳng Euclid vuông góc với trục thực là
những trắc địa của mô hình nửa phẳng Poincaré.
ii) Với x1 = x2 . Trong trường hợp này, đường thẳng Euclid nối P và Q không
vuông góc với truc thực. Gọi C(c, 0) là giao điểm của đường trung trực của
P Q với trục hoành. Chuyển hệ tọa độ cực ban đầu sang gốc tại C và giữ
nguyên hướng. Đoạn trắc địa h là một đoạn của đường cong có phương
trình r = f (θ). Gọi tọa độ của P và Q lần lượt là (rP , α), (rQ , β). Độ dài
hyperbolic của h là
=

h

x2+y2
.
y

Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Decart là x = c + rcosθ, y = r sin θ, cho
nên
dr
d cos θ
dx
=
cos θ + r
= r cos θ − r sin θ
dθ
dθ
θ

và

dy
dr
d sin θ
=
sin θ + r
= r sin θ + r cos θ
dθ
dθ
dθ
dx2 + dy 2 = (r cos θ − r sin θ)2 dθ2 + (r sin θ + r cos θ)2 dθ2 = (r 2 + r2 )dθ2 .


Nên
=
h

x2+y2
dθ =
y

√
h

r 2 + r2
dθ ≥
rsinθ

√

h

r2
dθ =
r sin θ

β

1
dθ
α sin θ
(1 − cos β) sin α

= ln
.
(1 − cos α) sin β

Theo Mệnh đề (1.2.8), biểu thức này cũng chính là độ dài hyperbolic của
cung tròn Euclid tâm C(c, 0) và CP = CQ bằng bán kính. Vậy đoạn trắc địa
nối P và Q là một phần của cung của nửa đường tròn Eculid có tâm thuộc
trục thực, nó là đoạn trắc địa của nửa phẳng Poincaré.
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

7

Định lí 1.2.10. Trắc địa trong đĩa Poincaré ∆ là các đường kính của nó và
phần cung của đường tròn trực giao với biên của ∆.
Chứng minh. • Từ mục (1.4.3), ta có phép quay tâm gốc tọa độ với một góc
quay bất kỳ là một đẳng cự trong mộ hình đĩa Poincaré, nên mỗi đường kính
bất kỳ của đĩa đơn vị có thể quay đến đường kính dọc trục hoành. Sử dụng
ánh xạ ngược của ánh xạ trong mệnh đề (1.3.14) (C −1 (w) = g(w) = i(1+w)
1−w
với w ∈ ∆), đường kính dọc trục hoành trong ∆ trở thành trục tung trong
H2 . Do đó, vì h(x, y) → (−x, y) là một đẳng cự trong H2 và C = g −1 , C ◦ h ◦ g
là phép đẳng cự của đĩa, đường kính dọc trục hoành sẽ là các điểm bất
động. Do đó, các đường kính của đĩa là tập các điểm bất động của phép
đẳng cự C ◦ h ◦ g . Vậy, toàn bộ các đường kính là trắc địa của đĩa Poincaré.
• Cho C : H2 → ∆ là đẳng cự từ H2 → ∆ như mệnh đề (1.3.14) thì C là ánh
xạ bảo giác biến đường tròn thành đường tròn. Vì C biến biên của H2 tức


là đường thẳng thực thành biên của ∆ tức là đường tròn đơn vị nên C biến
đường tròn trực giao với đường thẳng thực thành đường tròn trực giao với
đường tròn đơn vị, nên C biến các cung tròn trắc địa trong H2 thành các
cung tròn trực giao với biên của đĩa đơn vị. Thế nên, các cung tròn trực
giao với biên của đĩa là các trắc địa trong ∆.

Từ đó, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.2.11. (1) Có duy nhất một đường thẳng hyperbolic đi qua hai điểm
phân biệt của mặt phẳng hyperbolic.
(2) Cho hai đường thẳng hyperbolic bất kỳ, khi đó có 1 ρ- đẳng cự sao cho
g(L1 ) = L2 .
Chứng minh.
cần xét:

1) Với mô hình nửa mặt phẳng Poincaré. Ta có hai trường hợp

• Xét 2 điểm P, Q ∈ H2 . Giả sử
{z ∈

H2 |

(z) =

(P ) =

(Q). Đường thẳng Euclid l1 =

(P )} đi qua P, Q và vuông góc với trục thực, vì đường

thẳng này là duy nhất nên l = H2 ∩ l1 là đường hyperbolic duy nhất đi

qua P và Q.
• Giả sử

(P ) =

(Q). Gọi lP Q là đoạn Euclid nối P và Q và d là đường

trung trực của lP Q . Khi đó d giao trục thực tại duy nhất điểm C sao
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

8

cho CP = CQ. Gọi C là cung tròn Euclid tâm C bán kính CP . l = H2 ∩ C
là đường hyperbolic duy nhất có được.
Với mô hình đĩa Poincaré. Ta cũng có hai trường hợp cần xét:
• Xét 2 điểm P, Q ∈ ∆. Gọi d là đường thẳng Euclid duy nhất đi qua
chúng. Nếu d đi qua gốc tọa độ thì d chính là đường thẳng hyperbolic

duy nhất đi qua P, Q.
• Nếu d không đi qua gốc tọa độ thì. Dựng tia OP rồi xác định đường

vuông góc với OP tại P . Nó cắt đường tròn biên của đĩa tại X và Y .
Dựng tiếp tuyến của đường tròn biên tại X và Y , hai tiếp tuyến này cắt
nhau tại R, đường tròn Ω tâm O đi qua P, Q và R chính là đường tròn
Euclid duy nhất đi qua P, Q, R. Lấy giao của Ω và ∆, ta được đường
thẳng hyperbolic duy nhất đi qua P và Q.
2) Gọi A1 và A2 lần lượt là hai điểm thuộc L1 và L2 . Ta biết rằng, cho hai

đường thẳng hyperbolic bất kỳ cùng đi qua một điểm, lúc đó tồn tại một
đẳng cự là phép quay biến đường này thành đường kia. Bất kỳ ánh xạ thích
hợp s biến A1 thành A2 thì sẽ biến L1 thành L đi qua A2 , tiếp tục thực hiện
phép quay thích hợp r biến L thành L2 . Lấy g = r ◦ s, ta có g(L1 ) = L2 .

1.3

Đẳng cự hyperbolic

Mục tiêu của phần này là tìm hiểu toàn bộ các phép đẳng cự của mặt phẳng
hyperbolic.
Định nghĩa 1.3.1. Một phép biến đổi M¨obius là một ánh xạ khả nghịch trên
C = C ∪ {∞} và có dạng
z→

az + b
.
cz + d

Nghĩa là a, b, c, d là những số phức sao cho ad − bc = 0.
Tuy các hệ số a, b, c, d ở đây là những số phức nhưng về sau ta chỉ làm việc
với những số thực thỏa ad − bc = 1. Ta gọi ad − bc = 1 là định thức của phép biến
đổi M¨obius.
Ta có


 a b

SL(2, R) =
với a, b, c, d ∈ R và ad − bc = 1 .

 c d


CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

9

Vậy từ nay về sau, ta có thể đồng nhất các phép biến đổi M¨obius hệ số thực với
các ma trận trong SL(2, R).
Các phép biến đổi M¨obius lập thành một nhóm đối với phép toán hợp thành
ánh xạ. Bây giờ, ta tìm hiểu cấu trúc nhân của nhóm này thông qua một vài
mệnh đề nói về các tính chất chung của ánh xạ M¨obius.
Mệnh đề 1.3.2. Hợp thành của hai ánh xạ M¨obius cũng là một ánh xạ M¨obius.
Chứng minh. Cho f1 =

a2 z + b 2
a1 z + b1
, f2 =
là hai ánh xạ M¨obius.
c1 z + d1
c2 z + d 2

Ta có
a2 z + b 2
a1 a2 z + b2 + b1 c2 z + b1 d2
+ b1
c2 z+2

c2 z + d 2
(f1 ◦ f2 )(z) = f1 (f2 (z)) =
=
a2 z + b 2
c 1 a2 z + b 2 + d 1 c 2 z + d 1 d 2
+ d1
c1
c2 z + d2
c2 z + d 2
(a1 a2 + b1 c2 )z + (b1 d2 + b2 )
=
.
(c1 a2 + d1 c2 )z + (d1 d2 + b2 )
a1

Mệnh đề 1.3.3. Ánh xạ ngược của một ánh xạ M¨obius cũng là ánh xạ M¨obius.
Chứng minh. Cho f =

az + b
dz − b
là một ánh xạ M¨obius, và g =
. Ta đi chứng
cz + d
−cz + a

minh g cũng là một ánh xạ M¨obius. Thật vậy
az + b
daz + bd − bcz − bd
)−b
daz − bcz

cz + d
cz + d
g(f (z)) =
=
= z.
=
az + b
−acz − bc + acz + ad
da − bc
−c(
)+a
cz + d
cz + d
d(

Do đó g = f −1 và f −1 là ánh xạ M¨obius.
a
b
Mệnh đề 1.3.4. Cho m(z) = az+b
cz+d . Nếu c = 0 thì m(z) = d z + d . Nếu c = 0 thì
m(z) = f (i(g(z))) với g(z) = c2 z + cd, i(z) = z1 và f (z) = −z + ac .

Chứng minh. Giả sử c = 0 thì m(z) =
Giả sử c = 0 thì
m(z) =

az+b
d

= ad z + db .


az + b
(az + b)c
acz + bc
=
= 2
.
cz + d
(cz + d)c
c z + cd

Do ad − bc = 1 nên
m(z) =

acz + bc
acz + ad − (ad − bc)
a
1
=
= − 2
= f (i(g(z))).
2
2
c z + cd
c z + cd
c c z + cd

CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC



Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

10

Mệnh đề 1.3.5. Nhóm các phép biến đổi M¨obius được sinh bởi các phép biến
đổi có dạng đặc biệt sau đây
• Phép vị tự dạng z → kz với k ∈ C.
• Phép tịnh tiến z → z + k với k ∈ C.
• Phép nghịch đảo z → z1 .

Chứng minh. Như đã chứng minh trên, bất kỳ ánh xạ M¨obius nào cũng là hợp
thành của các hàm f (z) = az +b, i(z) = z1 , g(z) = c2 z +cd, f là hợp thành của phép
vị tự và phép tịnh tiến, f1 (z) = az và f2 (z) = z + b, i(z) là ánh xạ nghịch đảo, g(z)
cũng là hợp thành của phép vị tự và tịnh tiến, g1 (z) = c2 z và g2 (z) = z + cd.
Mệnh đề 1.3.6. Cho m1 , m2 là hai trắc địa trên mặt phẳng hyperbolic, p1 , p2
lần lượt là các điểm nằm trên chúng. Khi đó tồn tại phép biến đổi M¨obius A
sao cho A(m1 ) = m2 và A(p1 ) = p2 .
Chứng minh. Với trường hợp m1 là cung tròn có điểm cuối là x1 , x2 trên R,
m2 là trục ảo. Khi đó, có ánh xạ A = az+b
cz+d với ax1 + b = 0, cx2 + d = 0 nên
b = −ax1 , d = −cx2 . Điều này nghĩa là A(x1 ) = 0, A(x2 ) = ∞ nên điểm cuối
của m1 biến thành điểm cuối của m2 . Ta đã biết sự tồn tại trắc địa đi qua hai
điểm là duy nhất và đường thẳng hay cung tròn sẽ là trắc địa trong mặt phẳng
hyperbolic. Từ đó phép biến đổi biến điểm cuối của một trắc địa thành điểm
cuối của một trắc địa khác và A bảo toàn khoảng cách. Nó phải là ánh xạ duy
nhất biến khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm x1 , x2 trên m1 thành khoảng
cách giữa hai điểm 0 và ∞. Ánh xạ biến m2 thành m1 là phép nghịch đảo của
A. Lý luận tương tự cho trường hợp m1 là đường thẳng đứng.
Bây giờ chúng ta có A(p1 ) = q với p1 thuộc m1 và q thuộc m2 . Tuy nhiên, có thể
1


biến q thành một điểm bất kỳ tùy ý p2 trên m2 bởi ánh xạ A1 (q) =

λ 2 q+0
oq+λ

−1
2

= λq

với λ ∈ R. Cả hai trắc địa đều có thể biến thành trục ảo dương bằng lý luận ở
trên. Ta ký hiệụ các phép biến đổi này là B và C , từ đó, một trắc địa có thể
biến thành trắc địa khác bởi C −1 ◦ B , tức là biến một trắc địa thành trục ảo và
sau đó biến thành trắc địa còn lại. Lý luận tương tự cho thấy bất kỳ điểm p1 đã
cho đều có thể biến thành p2 cho trước. Từ đó, tồn tại ánh xạ biến cả hai điểm
cho trước thành những điểm bất kỳ trên trục ảo dương, gọi chúng là r1 và r2 .
Do đó, có thể biến p1 thành r1 , nhân nó với phép nhân vô hướng dương để biến
thành r2 và lấy ánh xạ ngược từ r2 đến p2 .
Định lí 1.3.7. Ánh xạ M¨obius với hệ số thực bảo toàn độ dài hyperbolic.
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

11

Chứng minh. Cho z ∈ H2 và ánh xạ M¨obius f cho bởi f (z) = w =
chứng minh


az+b
cz+d .

Ta đi

|dw|
|dz|
=
w
z

với z = x + iy và |dz| =

dx2 + dy 2 , tương tự cho |dw|. Tương đương ta được
|dw|
=
|dz|

w
.
z

Từ vế trái ta có
(cz + d)a − (az + b)c
ad − bc
1
=
=
.
2

2
(cz + d)
(cz + d)
|cz + d|2

Ta có
w=

nên w =

ac|z|2 + bd + adz + bcz
(az + b).(cz + d)
az + b cz + d
.
=
=
cz + d cz + d
|cz + d|2
|cz + d|2

y
,
|cz+d|2

do đó vế phải là
1
w
=
z
|cz + d|2


(1.4)

và bằng vế trái.
Định nghĩa 1.3.8. Một đẳng cự trong mặt phẳng hyperbolic là một ánh xạ
f : H2 → H2 sao cho với mọi z, w ∈ H2 thì
(1.5)

ρ(f z, f w) = ρ(z, w).

Ví dụ 1. i) Một phép tịnh tiến Ts : H → H2 cho bởi Ts (x, y) = (x + s, y) là một
đẳng cự của H2 .
y
x
ii) Ánh xạ Φ(x, y) = (u, v) = ( x2 +y
2 , x2 +y 2 ) cũng là một đẳng cự của măt phẳng
hyperbolic. Thật vậy, cho r2 = x2 + y 2 , ta có

du2 + dv 2
r4
=
v2
y2
=

=
=

1
r4 y 2


1
y2

r2 dx − 2x2 dx − 2xydy
r4

2

+

r2 dy − 2xydx − 2y 2 dy
r4

2

((y 2 − x2 )dx − 2xydy)2 − ((x2 − y 2 )dy − 2xydx)2
r4

(x4 − 2x2 y 2 + y 4 + 4x2 y 2 )dx2 − (2xy(y 2 − x2 ) + 2xy(x2 − y 2 )dxdy + r4 dy 2

dx2 + dy 2
.
y2
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

12


Định lí 1.3.9. Với ρ như (1.5), z, w ∈ H2 , ta có
1. cosh ρ(z, w) = 1 +
2. sinh

1
ρ(z, w)
2

|z − w|2
.
2 (z) (w)
|z − w|

=

1

.

2[ (z) (w)] 2

Chứng minh. Hai phương trình này tương đương nhau, ta đi chứng minh phương
trình 1. Theo (1.5), ta có vế trái của phương trình 1 bất biến qua g , tức là
cosh ρ(gz, gw) = cosh ρ(z, w).

Áp dụng (1.4), ta có
|g(z) − g(w)|2
=
[g(z)]. [g(w)]

|g(z) − g(w)| =

|g(z) − g(w)|2
.
(z) (w)|g (z)||g (w)|

az + b aw + b
(ad − bc)(z − w)
−
=
.
cz + d cw + d
(cz + d)(cw + d)
|g (z)| =

ad − bc
.
|cz + d|2

Suy ra
|g(z) − g(w)|2
= |z − w|2 .
|g (z)||g (w)|

Từ đó ta có

|g(z) − g(w)|2
|z − w|2
=
,

[g(z)] [g(w)]
(z) (w)

do đó vế phải của phương trình 1 này cũng bất biến qua g . Chọn z và w ∈ H2
phân biệt và L là đường tròn Euclid hoặc đường thẳng đứng đi qua z và w.
L cắt trục thực tại điểm vô cùng α và ta chọn g(z) = −(z − α)−1 + β ( với β
thích hợp) sao cho g là ánh xạ biến L thành trục ảo. Lúc này, theo (1.3), ta có
ρ(ip, iq) = ln

q
p

cosh ρ(z.w) = cosh

. Khi đó

ln

q
p

=

e

ln

=1+

q

p

+e
2

− ln

q
p

=

q
p

+
2

p
q

=

q 2 + p2
2pq + (q − p)2
=
2pq
2pq

|i(p − q)|2

|z − w|2
=1+
.
2pq
2 (z) (w)

Vậy phương trình 1 đúng.

CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

13

Cho z, w, ξ là 3 điểm phân biệt trong H2 , với ξ nằm giữa z và w. Chính hệ quả
trực tiếp của Mệnh đề (1.2.7) cho phép qua bất kỳ đẳng cự φ nào, φ(ξ) nằm
giữa φ(z) và φ(w). Do đó ánh xạ φ biến đoạn [z, w] thành [φ(z), φ(w)], và từ đó,
nó biến đường thẳng hyperbolic thành đường thẳng hyperbolic.
Cụ thể, ta có bổ đề:
Bổ đề 1.3.10. Cho φ là một đẳng cự bất kỳ. Khi đó với mọi trắc địa hyperbolic
bất kỳ l, φ(l) cũng là trắc địa hyperbolic.
Chứng minh. Cho z, w, ξ ∈ H2 , ξ ∈ [z, w] và φ là đẳng cự bất kỳ. Vì φ bảo toàn
khoảng cách nên theo định lý (1.2.7), ta có
ρ(φ(z), φ(ξ)) + ρ(φ(ξ), φ(w)) = ρ(φ(z), φ(w)).

Vì thế nên φ(ξ) ∈ [φ(z), φ(w)]. Suy ra φ là ánh xạ đi từ [z, w] vào [φ(z), φ(w)].
Vậy φ là đẳng cự hyperbolic biến đường thẳng hyperbolic thành đường thẳng
hyperbolic.
Bổ đề 1.3.11. Cho đẳng cự φ bất kỳ, tồn tại đẳng cự

g(z) =

az + b
; (ad − bc > 0)
cz + d

sao cho gφ cố định trục ảo dương. Hơn nữa
(g ◦ φ)(z) = z hoặc (g ◦ φ)(z) = −z.

Chứng minh. Áp dụng phép đẳng cự z → kz k > 0 và z → −1
z , nếu cần ta có thể
cho rằng gφ cố định i và bất biến các tia (i, ∞), (0, i). Nó là một hệ quả có ngay
từ (1.5) rằng gφ cố định mỗi điểm thuộc L.
Bây giờ chọn z ∈ H2 và viết z = x + iy, gφ(z) = u + iv . Cho mọi t > 0, ρ(z, it) =
ρ(gφ(z), gφ(it)) = ρ(u + iv, it) và vì vậy ta có
sinh

1
ρ(z, it)
2

= sinh

1
ρ(gφ(z), gφ(it))
2

⇔

|x + (y − t)i|

2(ty)

1
2

=

|u + (v − t)i|
1

2(vt) 2

⇔ [x2 + (y − t)2 ]v = (u2 + (v − t)2 )y.

Khi cố định với mọi t > 0, ta có y = v và x2 = u2 , do đó
gφ(z) = z hoặc − z.

Lý luận một cách cụ thể cho thấy, một trong những phương trình này giữ cố định
với mọi z ∈ H2 , ví dụ, tập hợp các z trong góc phần tư thứ nhất với gφ(z) = z
vừa mở vừa đóng trong góc phần tư này.
CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

14

Định lí 1.3.12. Nhóm các đẳng cự của (H2 , ρ) chính là nhóm các ánh xạ có
dạng:
z→


a(−z) + b
az + b
;z →
,
cz + d
c(−z) + d

với a, b, c, d ∈ R và ad − bc > 0.
Chứng minh. Cho φ là đẳng cự bất kỳ. Khi đó luôn tồn tại g theo Bổ đề (1.3.11).
• Nếu (g ◦ φ)(z) = z thì
(g ◦ φ)(z) = z ⇔ φ(z) = g −1 (z) =

với
ad −bc =

Nên φ có dạng

1
dz − b
az+b
=
ad − bc −cz + a
cz+d

d
−b
−
(−c) = 1 > 0.
2

(ad − bc) a (ad − bc)2

az + b
.
cz + d

• Nếu (g ◦ φ)(z) = −z . Gọi Si là phép đối xứng qua trục ảo, Si (z) = −z . Khi

đó
(g ◦ φ)(z) = Si (z) ⇔ φ(z) = (g −1 ◦ Si )(z) = g −1 (−z).

Nên φ(z) có dạng
a(−z) + b
,
c(−z) + d

với a, b, c, d ∈ R và ad − bc > 0.

Mệnh đề 1.3.13. Cho z, w là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng hyperbolic H2 .
Tồn tại đẳng cự g sao cho g(z), g(w) là hai điểm thuộc trục ảo.
Chứng minh. Ta có hai trường hợp.
• Khi z và w cùng nằm trên đường thẳng đứng x = α. Phép tịnh tiến Tα =
1.z − α
biến z, w lần lượt thành Tα (z), Tα (w) thuộc trục ảo.
z−α=
0.z + 1
• Khi z và w không cùng nằm trên một đường thẳng đứng. Lúc đó, tồn tại
đường trắc địa đi qua chúng, đó là đường tròn C có tâm nằm trên trục thực.

Qua phép tịnh tiến Tα với α thích hợp đường tròn này trở thành đường tròn

C đi qua gốc tọa độ. Giả sử C có dạng x2 + y 2 − 2rx = 0 và z = x + iy . Khi
đó, xét
f

1.z + 0
0.z + 1

1
1
−x
y
= f (z) = − = −
= 2
+i 2
.
2
z
x + iy
x +y
x + y2

CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC


Một số mặt cực tiểu bất biến trong H2 × R

15

Ta thu được


u(x, y) =
v(x, y) =

−x
x2 +y 2
y
x2 +y 2

=
=

−1
2r ,
1
2r .

Nên f (C ) là đường thẳng d có phương trình x = −1
2r .
Tiếp tục tịnh tiến d thành trục ảo bằng phép tịnh tiến Tβ = z + β với β =
1
Vậy g(z) = (Tβ ◦ f ◦ Tα )(z) = − z+α
+ β.

Mệnh đề 1.3.14. Ánh xạ Caylay C : H2 → ∆ với z →

1
2r .

z−i
là một đẳng cự từ

z+i

H2 vào ∆.
Chứng minh. Đầu tiên ta có C là song ánh giữa H2 và ∆, thật vậy ta có C(∞) =
1, C(1) = −i, C(0) = −1. Cho nên C biến R ∪ ∞ thành đường tròn đi qua 1, −i, −1,
tức là đường tròn đơn vị. Do đó C là ánh xạ biến H2 thành ∆ và ánh xạ ngược
i(w+1)
z = C −1 (w) = 1−w .
2i
dz
=
; (z) =
dw
(1 − w)2

Nên

i(w + 1)
=
1−w

1 − |w|2
i(w + 1)(1 − w)
=
.
|1 − w|2
|1 − w|2

|dz|
2|dw| |1 − w|2

2|dw|
=
.
=
.
2
2
(z)
|1 − w| 1 − |w|
1 − |w|2

Vậy C là đẳng cự từ H2 vào ∆.

1.4

Phân loại các đẳng cự hyperbolic: đẳng cự kiểu parabolic,
đẳng cự kiểu elliptic, đẳng cự kiểu hyperbolic

Nội dung phần này được tham khảo và viết lại từ [7]. Bây giờ, ta sẽ đi phân
loại các phép đẳng cự của mặt phẳng hyperbolic để xem hình dáng của chúng
về mặt hình học.
Định nghĩa 1.4.1. Một phần tử của nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt P SL(2, R)
là phép biến đổi M¨obius, hàm hữu tỉ từ C vào C có dạng z → az+b
cz+d với ad−bc = 1.
∼
Ta có P SL(2, R) = SL(2, R)/{±Id} .
Mệnh đề 1.4.2. Cho T ∈ SL(2, R), T = Id, thì T có 1 hoặc 2 điểm cố định.
Trường hợp có 1 điểm bất động tương đương với T r(T )2 = 4.

CHƯƠNG 1. MẶT PHẲNG HYPERBOLIC