D06 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng muc do 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.4 KB, 3 trang )
Câu 50: [2H3-2.6-4] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian
3 3 1
với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1; 2; 3 , B ; ; , C 1;1; 4 , D 5;3;0 . Gọi S1 là mặt cầu
2 2 2
3
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp
2
đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C , D .
tâm A bán kính bằng 3 , S2 là mặt cầu tâm B bán kính bằng
xúc với 2 mặt cầu S1 , S2
A. 1 .
B. 2 .
D. Vô số.
C. 4 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Gọi : x ay bz c 0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
CD 4; 2; 4 . CD// CD n CD.n 0 ( n 1; a; b là vecto pháp tuyến của )
4 2a 4b 0 a 2b 2 (1)
tiếp xúc S1 nên
d A; 3
1 2a 3b c
1 a b
2
2
3 1 2a 3b c 3 1 a 2 b 2 (2)
tiếp xúc S2 nên
d B;
3
2
3 3
1
a bc
2 2
2
1 a 2 b2
3
3 3a b 2c 3 1 a 2 b 2 (3)
2
1 2a 3b c 3 3a b 2c
Từ (2) và (3) ta có 1 2a 3b c 3 3a b 2c
1 2a 3b c 3 3a b 2c
a 2b c 2 0 (1) 2b 2 2b c 2 0
c 4b (4)
5a 4b 3c 4 0 10b 10 4b 3c 4 0
c 2 2b (5)
Từ (1), (2), (4) 1 4b 4 3b 4b 3 1 2b 2 b2 3b 3 3 5b 2 8b 5
2
b 2 a 2; c 8
b 2b 1 5b 8b 5 4b 10b 4 0
b 1 a 1; c 2
2
2
2
2
Từ (1), (2), (5) 1 4b 4 3b 2 2b 3 1 2b 2 b2 b 1 3 5b2 8b 5
2
b2 2b 1 9 5b2 8b 5 44b2 74b 44 0 . Phương trình vô nghiệm.
Mặt khác CD // nên C , D nên : x 2 y 2 z 8 0 .
A
B
I
Cách 2:
H
K
Ta có AB
3 9
3 3
mà R1 R2 3 nên hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn giao
2
2 2
tuyến.
Gọi I AB với là mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Hạ BH , AK vuông góc với mặt
phẳng .
Khi đó ta có I nằm ngoài AB và B là trung điểm AI vì R2
3 1
1
R1 BH AK .
2 2
2
Suy ra I 2;1; 2 .
Gọi : a x 2 b y 1 c z 2 0 .
Vì //CD mà CD 4; 2; 4 nên ta có 2a b 2c 0 b 2c 2a
Khi đó
d A; 3
a b 5c
a 2 b2 c 2
3 c a
2
a 2c b 2c
a 2c 2a c
.
a 1 c b c
2
2
2
2
Ta có hai trường hợp :
1) b 2c ; a 2c : 2c x 2 2c y 1 c z 2 0 2 x 2 y z 4 0
Mặt khác CD // nên C , D loại trường hợp trên.
1
1
2) b c ; a c : c x 2 c y 1 c z 2 0 x 2 y 2 z 8 0
2
2
Kiểm tra thấy C , D nên nhận trường hợp này.
Vậy : x 2 y 2 z 8 0 .
----------HẾT----------Câu 390:
[2H3-2.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
A 2;11; 5 và mặt phẳng
P : 2mx m2 1 y m2 1 z 10 0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định
tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó.
B. 5 2 .
A. 2 2 .
D. 12 2 .
C. 7 2 .
Lời giải
Chọn D
Gọi I a; b; c , r lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Do mặt cầu tiếp xúc với P nên ta có
r d I , P
2ma m2 1 b m2 1 c 10
m
2
1 2
b c m2 2ma b c 10 r m2 1
b c m2 2ma b c 10
m
2
1 2
b c r 2 m2 2ma b c r 2 10 0
2
b c r 2 m2 2ma b c r 2 10 0
TH1: b c r 2 m2 2ma b c r 2 10 0
1
1
2
Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với P nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều
kiện a, b, c sao cho 1 không phụ thuộc vào m . Do đó 1 luôn đúng với mọi
b c r 2 0
a 0
b c r 2 10 0
b r 2 5 0
Suy ra I 0;5 r 2; 5 S : x 2 y 5 r 2
a 0
c 5
Lại có A S nên suy ra: 4 11 5 r 2
2
2
z 5 r 2 .
2
r 2 2
r 2 r 2 12 2r 40 0
r 10 2
TH2: b c r 2 m2 2ma b c r 2 10 0 làm tương tự TH1 (trường hợp này không
thỏa đề bài )
Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi
qua A và có tổng bán kính là: 12 2 suy ra
