Ôn luyện HSG năm 2010-2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (130.96 KB, 3 trang )
Vấn đề 1: Hàm số
Bài 1(HN08): Cho hàm số:
1. Tìm m để hàm số trên có cực đại cực tiểu.
2. CMR với mọi m pt y=0 luôn có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 2(HN09). Cho hàm số ( m là tham số)
1.Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ tương ứng lập thành cấp số công.
Bài 3(HN09). Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số
tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số.
Bài 4(HN06). Gọi
( )
m
C
là đthị của hsố
4 2 2 4
6 4 6y x m x mx m= − + +
( m là tham số)
1. Tìm các giá trị của m để
( )
m
C
có 3 điểm cực trị A, B, C.
2. CMR tam giác ABC có trọng tâm cố định khi tham số m thay đổi.
Bài 5(HN03). Cho đường cong (C) có phương trình
4 2
4 3y x x= − + −
.Tìm m và n để
đường thẳng
y mx n
= +
cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B , C, D ( theo
thứ tự ) sao cho
1
2
AB CD BC= =
.
Bài 6(HN01). Cho hàm số
4 2 2
2y x m x n
= − +
Tìm các giá trị của tham số m và n để đồ thị có 3 điểm cực trị là các đỉnh của
một tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn có tâm là gốc toạ độ.
Bài 7(HN98). Cho họ đường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + −
( m là tham số)
Đường thẳng (d): y = 3 - x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại 3
điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của
(C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác
AMBN là hình thoi.
Vấn đề 2: Phương trình và hệ phương trình
Bài 1(HN08). Giải pt:
Bài 2: Giải phương trình.
Bài 3(HN09). Giải phương trình
Bài 4(NA 08) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm :
Bài 5(HN06). Giải các phương trình sau
a).
5 3
15 11 28 1 3x x x
+ + = −
b).
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x
− + = + +
Vấn đề 3: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – bất đẳng thức
Bài 1(HN08). Cho . Tìm max của
Bài 2(HN08). Cho HHCN với kích thước ba cạnh là a,b,c và độ dài đường chéo là
. CMR:
Bài 3(HN09). Cho hai số thực thỏa mãn chứng minh:
Bài 4(NA 08). Cho hai số thực x , y thoả mãn : . Tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
P =
Bài 5(VP09). Cho x, y, z là các số thức dương thoả mãn: x + y + z = 1.
1 1 1 27
:
1 1 1 8
CMR
xy yz xz
+ + ≤
− − −
Bài 6(HN01). Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện:
1
2
a
−
≥
và
1
a
b
f
sao cho biểu thức
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=
−
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 7(TTH07).
a). Cho a, b là các số thực không âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng
4
5
.
Chứng minh rằng :
1 1 1
1
1 1 1
a b a b
a b a b
− − − −
+ ≤ +
+ + + +
b). Xét các số thực không âm thay đổi
, ,x y z
thỏa điều kiện:
1x y z
+ + =
. Tìm
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:
1 1 1
1 1 1
x y z
S
x y z
− − −
= + +
+ + +
.
Vấn đề 4: Dãy số, giới hạn và đạo hàm
Bài 1(HN08) . Cho dãy số được xác định như sau: và dãy
được xác định . Tính
Bài 2(HN09). Cho dãy số trong đó số chỉnh hợp chập n của (n+2)
phần tử là và là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử với n là số nguyên
dương. Tìm
Bài 3(TTH08). Cho dãy số
2 3
3 7 11 4 1
2 2 2 2
n
n
n
u
−
= + + +×××+
với mọi số nguyên dương
n
.
a). Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của
n
u
lập thành một cấp số
cộng.
b). Hãy biến đổi mỗi số hạng của
( 1)
n
u n ≥
thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng
kế tiếp của nó, từ đó rút gọn
n
u
và tính
lim
n
u
Vấn đề 5: Hình học không gian
Bài 1(HN08). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy là hình chữ nhật và SA
vuông góc với mp đáy và SA=a, AB=b, AD=c.
Qua trọng tâm G của tam giác SBD kẻ 1 đường thẳng d cắt đoạn SB tại M và SD
tại N. Vẽ mp (AMN) cắt SC tại K. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Bài 2(HN09). Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh bằng a .Với M là một
điểm thuộc cạnh AB, Chọn điểm N thuộc cạnh D'C' sao cho AM+D'N=a
1.Chứng minh MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
2.tính thể tích chóp B'.A'MCN theo a. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B'
tới mp(A'MCN) max.Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
3.Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của C xuống MN khi M chạy trên AB.
Bài 3(HN06).Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Các điển M, N lần lượt
chuyển động trên các đoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Đặt AM=x, AN=y.
a). Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một đường phẳng cố định và x + y = 3xy.
b). Xác định vị trí của M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất.Tính các giá trị đó.
Bài 4(TTH08). Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b,
SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.
a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK.
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường
thẳng BM và MN vuông góc với nhau.
Vấn đề 6: đại số tổ hợp.
Bài 1(TTH08).
a). Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4.
b). Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
3 2
3
1
n
x x
x
+
÷
biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là
0 1 2
... 4096
n
a a a a+ + + + =
Vấn đề 7: Phương trình lượng giác
Bài 1(TTH08). Cho phương trình
1 1
cos sin 0 (1)
sin cos
x x m
x x
− + − + =
a). Với
2
3
m =
, tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng
3
;
4 4
π π
−
÷
.
b). Với giá trị nào của
m
thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng
3
;
4 4
π π
−
÷
.
Bài 2. Cho phương trình:
0
2
21
sin
21
cos =+
−
−
−
m
x
x
x
x
. Với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm
)
2
1
;50( −−∈x
của phương trình.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
)
2
1
;
2
1
(
π
+
∈x
.
