SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ KIỂM TRA HỌC KỲ II

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2018 – 2019

TRƯỜNG TH, THCS VÀ THPT TÂN PHÚ

MÔN TOÁN – LỚP 11

Ngày KT:6/5/2019

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I: MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
- Nhằm kiểm tra, đánh giá mức độ đạt chuẩn kiến thức, kĩ năng được quy định trong
chương trình học kì II, Toán lớp 11.
- Cụ thể: Nhận biết, thông hiểu các đơn vị kiến thức:
+ Hàm số liên tục
+ Đạo hàm
+ Ý nghĩa và ứng dụng của đạo hàm
+ Quan hệ vuông góc trong không gian.
2. Kỹ năng:
- Tính giới hạn của hàm số.
- Tính chính xác đạo hàm của các hàm số thông thường: hàm đa thức, hàm số mũ, lượng
giác, căn bậc hai.
- Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cho trước.
- Viết được phương trình tiếp tuyến của một đường cong thỏa mãn các điều kiện cho

trước.
- Chứng minh được một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, xác định và tính
được góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
3. Yêu cầu:
- Hình thức kiểm tra: Tự luận.
- Cách tổ chức kiểm tra: Kiểm tra tập trung, thời gian 90 phút.
PHẦN II: MA TRẬN ĐỀ
Vận dụng
Nội dung
Giới hạn

Nhận biết

Thông hiểu

Tính giới hạn hữu Tính giới hạn
0
hạn, giới hạn tại
vô cực của hàm dạng 0

Cấp độ
thấp

Cấp độ cao

Cộng


số.

Số câu
Số điểm
Tỷ lệ

2 câu
1đ
10%

1 câu
0.5đ
5%

3 câu
1,5đ
15%
Chứng minh
phương trình
luôn có nghiệm
với mọi giá trị
của tham số.
1 câu
1đ
10%

Xét tính liên tục
của hàm số tại
một điểm

Hàm số liên
tục


1 câu
1đ
10%

Số câu
Số điểm
Tỷ lệ
Đạo hàm và
ứng dụng của
đạo hàm

Tính đạo hàm các
Viết PTTT
Tính đạo hàm
hàm số cơ bản
của đồ thị .
lượng giác
hàm số.

Số câu
Số điểm
Tỷ lệ

4 câu
2,0đ
20%

1 câu
0,5đ

5%

Quan hệ
vuông góc
trong không
gian

1 câu
1đ
10%

Chứng minh
đường thẳng
vuông góc với
mặt phẳng
1 câu
1đ

Số câu
Số điểm
Tỷ lệ

10%

TỔNG:
- Số câu
- Số điểm
- Tỷ lệ

6,0

3,0
30%

6 câu
3,5đ
35%

Tìm góc
Tính khoảng
giữa
cách từ một
đường
điểm đến một
thẳng và
mặt phẳng
mặt phẳng
1 câu
1 câu
1đ
1đ
10%
10%

4,0
3,0
30%

2,0
2,0
20%


2,0
2,0
20%

PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ THI.
Câu 1 (1.5đ): Tính các giới hạn sau:
3x 4 - 2 x3 + x - 2
4
a x�+� 5 x - 7 x +1
lim

lim ( - 2 x + 3 x +1)
3

2

b. x�- �

2 x 2 - 3 x +1
2
c. x�1 x - 4 x + 3
lim

Câu 2 (2.5đ): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.

f (x) 

2 câu

2đ
20%

2 3 1 2
x  x  3x  2
3
4

b.

f ( x)   2 x 3  1  x 2  1

3 câu
3đ
30%
14
10
100%


c. f (x)  3 x  2 x  5
2

e.

f ( x )  sin 2

f (x) 

d.


x 1
x2

x
2

Câu 3 (1đ): Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 2
�x 2  2 x  8
�
f (x)  � x  2
�
6
�

khi x �2
khi x  2.

3
2
Câu 4 (1đ): Cho hàm số y = f ( x) = x + 3 x - x +1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 .

Câu 5 (3đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA  SB  SC  SD  2a .
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng minh SO  ( ABCD) .
b. Gọi K là trung điểm BC . Tính góc giữa SC và ( SOK ) .
c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) .
2
2n

*
Câu 6 (1đ): Chứng minh rằng phương trình ( m - m + 3) x - 2 x - 4 = 0 với n �� luôn
có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m .

PHẦN IV - HƯỚNG DẪN CHẤM.
Câu
Câu 1
a

b

Nội dung
3x 4  2x 3  x  2
x ��
5x 4  7 x  1
2 1 2
3  3  4
x x
x
 lim
x ��
7 1
5 3  4
x
x
3

5

Điểm


lim

3 1�
�
lim ( 2 x 3  3 x 2  1)  lim x3 �
2   3 �
x ��
x x �
�

0,25đ
0,25đ

x ��

Ta có:
3 1�
�
lim �
2   3 � 2
x x �
�
x ��
;
3 1�
�
lim x 3 �
2   3 � �
x ��

x x �
�
Do đó

lim x3  �

x ��

0.25đ


Vậy
c

Câu 2
a

b

lim ( 2 x 3  3 x 2  1)  �

x ��

2 x 2  3x  1
(x  1)(2 x  1)
 lim
2
x �1 x  4 x  3
x �1 ( x  1)( x  3)
2 x  1 2.1  1

1
 lim


x �1 x  3
13
2

lim

2
1
�
3x2  �
2x  3
3
4
1
 2 x2  x  3
2
3
f ( x)   2 x  1  x 2  1
f '( x) 

 2 x5  2 x3  x 2  1
'
4
2
Do đó f ( x)  10 x  6 x  2 x


c

 3x
f '(x) 



d

e

2

 2 x  5

0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

'

0.25đ

2 3x 2  2 x  5
6x  2


0.25đ

2 3x 2  2 x  5
3x  1

3x 2  2 x  5
( x  1) '( x  2)  ( x  1)( x  2) '
f '( x) 
( x  2) 2
1.( x  2)  1.( x  1)

( x  2) 2
x  2  x 1
3


2
( x  2)
( x  2)2

0.25đ
0.25đ

'

x � x�
f '(x)  2sin . �
sin �
2 � 2�

x 1
x
 2sin � cos
2 2
2
1
 sin x
2

0.25đ
0.25đ

x
x
sin cos
2
2 vẫn được 0.5đ.
Ghi chú: HS làm đến kết quả

Câu 3
Ta có f (2) =- 6

0.25đ
0.25đ


x2  2x  8
(x  2)(x  4)
 lim
x �2

x �2
x 2
x 2
 lim( x  4)  6

lim f (x)  lim
x �2

0.25đ
0.25đ

x �2

Vì
Câu 4

lim f (x) �f (2)
x �2

Gọi

M  a; b 

nên hàm số không liên tục tại điểm x = 2.

là tiếp điểm.

2
Ta có f '(x) = 3 x + 6 x - 1
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 1 nên: f '(a) =- 1 (*)


0.25đ

2

(*) � 3a + 6a - 1 =- 1
� 3a2 + 6a = 0
� 3a (a + 2) = 0
� a = 0 hoặc � a = - 2

TH1: a = 0 � b =1. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm M (0;1)
là: y = f '(0).( x - 0) +1 =- 1.x +1 . Hay y =- x +1.
TH2: a =- 2 � b = 7. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm
M (- 2; 7) là: y = f '(- 2).( x + 2) + 7 =- 1.( x + 2) + 7. Hay y =- x + 5.
Vậy có hai tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng - 1 là:
D 1 : y =- x +1
D 2 y =- x + 5

0.25đ
0.25đ

0.25đ

Câu 5
a

Vì các tam giác SAC và SBD cân tại S và có trung truyến SO nên SO
cũng đồng thời là đường cao.
Ta có
�

�
�
�
SO ^ BD
�
�� SO ^ ( ABCD)
AC �BD = { O} �
�
�
AC , BD �( ABCD)�
�
�
SO ^ AC

b

Ta có

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ


SC�(SOK )   S

(1)
Mặt khác
* CK ^ OK (Do D OCD cân tại O nên trung tuyến OK cũng là đường
cao)

* CK ^ SO (Do SO ^ ( ABCD ) mà CK �( ABCD ) )
0.25đ
Do đó CK ^ ( SOK ) tại K (2)
0.25đ
Từ (1) và (2) suy ra SK là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( SOK )
�

Do đó (SC, (SOK)) = (SC,SK)
Vì CK ^ ( SOK ) nên CK ^ SK . Trong tam giác SCK vuông tại K ta có:
1
1
CD
a
CK
1
2
2
�
sin CSK =
=
=
=
SC
SC
2a 4
0
�
Suy ra CSK ; 14 28'
�
� ; 140 28'

(SC, (SOK)) = (SC,SK)
= CSK

c

Vậy
Ta có

0.25đ
0.25đ

.

CD ^ ( SOK )�
�
�� ( SCD) ^ ( SOK )
CD �( SCD) �
�
theo giao tuyến SK
Trong ( SOK ) vẽ OH ^ SK tại H thì OH ^ ( SCK )

0.25đ

Gọi I = OK �AB thì I là trung điểm của AB .
Trong (SIK) , vẽ IJ / / OH ( J �SK ) . Khi đó
IJ ^ ( SCD) .
AI / / CD �
�
�� AI / /( SCD)
�

Ta có CD �( SCD)�
Do đó d ( A, ( SCD)) = d ( I , ( SCD)) = IJ = 2OH

0.25đ

OH OK 1
=
=
KI
2 )
(Do OH / / IJ nên IJ

Tam

giác

SOK

vuông

tại

O,

có

1
a
OK = AD =
2

2,

0.25đ

2

�a �
a 14
�
SO = SC 2 - OC 2 = (2 a) 2 - �
=
�
�
�
�2�
2

1
1
1
OK .SO
210
=
+ 2 � OH =
=
2
2
2
2
OH

OK
SO
30
OK + SO
Do đó
210
210
d ( A, ( SCD )) = 2OH = 2.
=
30
15
Vậy

0.25đ

Câu 6
2
2n
Đặt f (x) = (m - m + 3) x - 2 x - 4
2
2n
Ta có f (- 2) = (m - m+ 3).(- 2) - 2(- 2) - 4

0.25đ


= (m 2 - m+ 3).22 n > 0 " m ��
f (0) =- 4 < 0 " m ��
Từ đó f (- 2). f (0) < 0 " m �� (1)


Mặt khác, f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên �, do đó f ( x ) cũng
liên tục trên [- 2; 0]
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
(- 2;0) . Do đó phương trình f (x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với
mọi giá trị của m .

0.25đ
0.25đ
0.25đ


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ KIỂM TRA HỌC KỲ II

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2018 – 2019

TRƯỜNG TH, THCS VÀ THPT TÂN PHÚ

MÔN TOÁN – LỚP 11

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút

Ngày KT: 6/5/2019


( đề tự luận gồm 01 tờ giấy A4 - 1 mặt )

Họ, tên thí sinh:........................................................
Số báo danh: ............................................................
Câu 1 (1.5đ): Tính các giới hạn sau:
3x 4 - 2 x3 + x - 2
lim
4
a. x�+� 5 x - 7 x +1

2 x 2 - 3 x +1
lim 2
c. x�1 x - 4 x + 3

lim ( - 2 x + 3 x +1)
3

2

b. x�- �

Câu 2 (2.5đ): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
d.

f (x) 

2 3 1 2
x  x  3x  2
3

4

f (x) 

x 1
x2

b.
e.

f ( x)   2 x3  1  x 2  1

f ( x )  sin 2

2
c. f (x)  3x  2 x  5

x
2

Câu 3 (1đ): Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 2 :
�x 2  2 x  8
�
f (x)  � x  2
�
6
�

khi x �2
khi x  2.


3
2
Câu 4 (1đ): Cho hàm số y = f ( x) = x + 3 x - x +1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 .

Câu 5 (3đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA  SB  SC  SD  2a .
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng minh SO  ( ABCD) .
b. Gọi K là trung điểm BC . Tính góc giữa SC và ( SOK ) .
c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) .
2
2n
*
Câu 6 (1đ): Chứng minh rằng phương trình ( m - m + 3) x - 2 x - 4 = 0 với n �� luôn
có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m .


…..…………..HẾT……………….
(Giáo viên coi kiểm tra không giải thích gì thêm)