tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
khoa toán
*************

ph m th th y

phép quay quanh đi m trong m t ph ng
khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Hình h c

Ng

ih

ng d n khoa h c

Bùi v n bình

Hà N i – 2008
1


L ic m n
Trong th i gian nghiên c u, cùng v i s c g ng c a b n thân, đ c bi t em
đ

h

cs

ng d n t n tình c a th y Bùi V n Bình.
hoàn thành khoá lu n này, em xin chân thành c m n th y Bùi V n Bình

và các th y cô trong t hình h c khoa toán tr
M t l n n a em xin đ

ng HSP Hà N i 2.

c g i l i c m n sâu s c và l i chúc s c kho t i các

th y cô.
Hà N i, tháng 05 n m 2008
Sinh viên

Ph m Th Thu

2


L i cam đoan
Em xin cam đoan b n khoá lu n này đ

c hoàn thành do s n l c tìm hi u,

nghiên c u c a b n thân cùng s giúp đ t n tình c a th y Bùi V n Bình c ng nh
các th y cô trong t hình h c tr

ng HSP Hà N i 2.


B n khoá lu n này không trùng k t qu c a các tác gi khác. N u trùng em
xin hoàn toàn ch u trách nhi m.
Hà N i, tháng 05 n m 2008
Sinh viên

Ph m Th Thu

3


M cl c
Trang
L i c m n……………………………………………………………..
L i cam đoan…………………………………………………………..
Ph n 1: M đ u

1

1. Lí do ch n đ tài…………………………………………........

1

2. Nhi m v nghiên c u………………………………………….

1

3. Ph

1


ng pháp nghiên c u………………………………………
Ph n 2: N i dung

Ch

ng 1: C s c a phép quay quanh đi m trong m t ph ng........
Bài 1:

Ch

nh h

2
2

ng………………………………………………..

2

Bài 2: Phép quay quanh đi m trong m t ph ng………………….

4

ng 2: Phép quay quanh đi m trong m t ph ng và bài t p hình

h c……….……….……….……….……….……….……….……

8

Bài 1: Dùng phép quay đ gi i toán hình h c………………........


8

Bài 2: Xây d ng bài toán m i nh s d ng phép quay…………..

32

Ph n 3: K t lu n
Tài li u tham kh o…………………………………………………….

4

40
41


Ph n 1: m đ u
1. Lí do ch n đ tài
Trong nhà tr

ng ph thông, hình h c luôn là m t môn h c khó đ i v i

h c sinh. B i hình h c có tính ch t ch t ch , tính lôgic và tính tr u t

ng cao

h n các môn h c khác c a toán h c.
Trong ch

ng trình toán


b c trung h c ph thông hi n nay có đ a ra

cho h c sinh m t công c m i đ gi i toán hình h c đó là s d ng phép bi n
hình trong m t ph ng. B i phép bi n hình nói chung và phép quay nói riêng
th hi n tính u vi t rõ r t trong gi i toán.
Là m t giáo viên ph i tu vào trình đ h c sinh c a mình mà đ a ra bài
toán phù h p nên m i giáo viên c n bi t cách xây d ng m t bài toán. S d ng
phép bi n hình nói chung và phép quay nói riêng ta có th xây d ng và sáng
t o các bài toán.
Chính vì v y

khoá lu n này em xin trình bày v “Phép quay quanh

m t đi m trong m t ph ng”.
2. Nhi m v nghiên c u
- Xây d ng và đ a ra c s lí thuy t v phép quay quanh đi m trong
m t ph ng.
- Xây d ng h th ng bài t p ng d ng phép quay đ gi i.
- Xây d ng, sáng t o bài toán b ng cách s d ng phép quay.
3. Ph

ng pháp nghiên c u
Trên c s nghiên c u lí thuy t c a phép quay quanh đi m trong m t

ph ng đ a ra h th ng bài t p phù h p.

5



Ph n 2: N i dung
Ch

ng 1: c s c a phép quay quanh đi m
trong m t ph ng
Bài 1:

nh h

1.

nh h

ng

ng trong m t ph ng

Trong m t ph ng cho đi m O thì xung quanh O có hai chi u quay, n u
ta ch n m t chi u làm chi u d
r ng đã đ nh h
quanh O ng

ng đ

ng và chi u còn l i làm chi u âm thì ta nói

c m t ph ng. Thông th

c chi u kim đ ng h làm chi u d


ng, ta ch n chi u quay xung
ng còn chi u ng

c l i làm

chi u âm.
2. Góc đ nh h

ng gi a hai tia

nh ngh a

2.1.

Trong m t ph ng đ nh h
đ nh h

ng cho hai tia chung g c O: Ox, Oy. Góc

ng có tia đ u là Ox, tia cu i là oy, kí hi u ( Ox, Oy ) là góc thu đ

c

khi ta quay tia đ u Ox t i trùng tia cu i Oy.
* Nh n xét: Giá tr c a góc đ nh h
c giá tr đó là âm hay d
d

ng trên không ph i là duy nh t, ta qui


ng tu theo chi u quay là chi u âm hay chi u

ng c a m t ph ng.
Ta g i

là giá tr đ u c a góc đ nh h

ng, đó là giá tr thu đ

c khi quay

Ox t i trùng Oy theo góc hình h c nh nh t.
N u

là m t giá tr c a góc đ nh h

ng gi a hai tia Ox và Oy thì:

(Ox,Oy)  + k2 (k  Z)

2.2. H th c Sal
Trong m t ph ng đ nh h

ng, cho ba tia chung g c Ox, Oy, Oz. H th c

Sal :
6


(Ox, Oy)  (Oy, Oz)  (Ox, Oz)


* M r ng cho n tia:
Trong m t ph ng đ nh h

ng, cho n tia chung g c: OA 1 , OA 2 , OA 3 ,... ,

OA n . H th c Sal :
(OA1 ,OA 2 ) + (OA 2 ,OA3 ) +......+ (OA n-1 ,OA n ) = (OA1 ,OA n )

7


Bài 2: PHép quay quanh đi m trong m t ph ng
1.

nh ngh a
Trong m t ph ng đã đ

góc đ nh h

ng

c đ nh h

ng, cho m t đi m O c đ nh và m t

sai khác k2 (k  Z) . M t phép quay tâm O v i góc quay

là m t phép bi n hình bi n đi m O thành chính nó và bi n m i đi m M
thành đi m M’ sao cho OM = OM’ và (OM,OM') = .

Kí hi u phép quay tâm O v i góc quay là QO ho c Q(O; ).
Ta th

ng ch n sao cho -   .

* Chú ý:
Theo đ nh ngh a phép quay Q(O; ) v i

=

ho c

= 0 là phép đ ng nh t, còn n u

= - thì đó là phép đ i x ng tâm O.

2. Tính ch t
2.1. Q(O; ) là phép d i hình
CM:
Gi s : Q(O; ) : M  M’
N  N’
Theo đ nh ngh a phép quay ta có :
OM  OM '

ON  ON'

(OM, OM ')  (ON, ON' )




OM  OM'

ON  ON'

(OM, ON)  (OM', ON')
8


OMN = OM'N' (c.g.c)




MN  M ' N'

V y Q(O; ) là phép d i hình.
2.2. Q(O; ) (  k2 , k  Z) có m t đi m b t đ ng duy nh t và là phép
bi n đ i 1-1
CM:
Theo đ nh ngh a ta có O là đi m b t đ ng c a Q(O; ).
Gi s O’ là đi m b t đ ng th hai c a Q(O;
tia OO’ và chính nó b ng

, ngh a là

), khác O. Th thì góc t o b i

= 0 (mâu thu n gi thi t).

i u đó


ch ng t Q(O; ) có đi m O là đi m b t đ ng duy nh t.
Nêú M 1 và M 2 có cùng m t nh là đi m M’ thì
Q(O; - ) : M'  M 1 và M '  M 2
OM1 = OM 2
Khi đó : 
(OM',OM1 ) = (OM',OM 2 ) = -

K t qu đó ch ng t M 1  M 2 .
2.3. Q(O; ) bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o
t n th t c a chúng
CM:
Theo tính ch t 2.1, phép quay Q(O; ) là phép d i hình. Do đó n u A’, B’, C’
l nl

t là nh c a ba đi m th ng hàng theo th t A, B, C thì A’, B’, C’

th ng hàng theo th t đó.
* H qu : Phép quay Q(O; ) bi n:
i)M t đ
hai đ

ng th ng d thành đ

ng th ng đó b ng

ng th ng d’và góc đ nh h

, d  d' khi


= ± 90o .

ii)Bi n tia Sx thành tia S’x’ và góc t o b i hai tia đó b ng
iii)Bi n đo n PQ thành đo n P’Q’ và PQ = P’Q’.
9

ng t o b i

.


iv)Bi n góc xSy thành góc x' S' y' và hai góc đó b ng nhau.
v)Bi n đ

ng tròn (I;R) thành đ

ng tròn (I’;R).

2.4. Tích c a hai phép quay ho c là m t phép t nh ti n ho c m t phép quay
CM:
Xét hai phép quay QO' và QO .

t Q = QO'  QO .

* TH1 : O  O'

OM = OM'
QO:M  M' thì 
(OM,OM') =
OM' = OM''

QO:M'  M'' thì 
(OM',OM'') =
OM = OM''
Do đó : 
(OM,OM'') = (OM,OM') + (OM',OM'') =

+

V y Q = QO+
*TH2: O  O' :
B đ : Tích c a hai phép đ i x ng tr c c t nhau là m t phép quay quanh giao
đi m v i góc quay 2(a, a') (a và a’ là hai tr c).
a  a'  I
a'



a

 Q2I(a,a')

CM:
- N u M  I thì theo tính ch t c a phép
đ i x ng tr c ta có :

I
M
M''

M '  I


M ' '  I

M'
a

10

a'


V y I là đi m b t đ ng c a Q =

a'



a

.

-N u MI:
Theo tính ch t c a phép đ i x ng tr c ta có :

IM  IM '  IM ' '

( IM , IM ' ')  ( IM , IM ')  ( IM ', IM ' ')  2(a, a')
V y Q2I(a,a') 

a'




a.

CM tính ch t:
G i b là đ

ng th ng qua O và O’.

D ng đ

ng th ng a qua O và (a,b) =

D ng đ

ng th ng a’ qua O’ và (b,a') =

2

.

2

.

Khi đó ta có:

QO =


b

QO' =

a'

a



b

+
2

(a,a') =
Có các tr



ng h p:

+) a song song ho c trùng a’, ta có:

Q

O'




Q

O

=

+) a c t a’ t i I, ta có:

a'



a

+
2

= k  + = k2 (k  Z)

=T

+  k2 (k  Z)  Q  Q O =
O'

11

a'




a

=Q

+
I

.


Ch

ng 2: PHéP quay quanh đi m trong m t ph ng v i bài
t p hình h c
Bài 1: Dùng phép quay đ gi i toán hình h c

C ng nh phép bi n hình khác, phép quay là m t công c h u hi u đ gi i
toán hình h c.
gi i m t bài toán hình h c b ng phép quay ta c n chú ý m t s đi m
sau:
- Ch n cách v hình c a bài toán sao cho khi th c hi n t ng h p các phép
quay riêng bi t d quan sát.
- Nh ng bài toán hình h c mà trong gi thi t xu t hi n các y u t góc đ c
bi t nh : góc: 90  , 30  , 60  …và các y u t dài b ng nhau nh : tam giác cân,
tam giác đ u, hình thoi, hình vuông, … th

ng g i cho ta ý t

ng dùng phép


quay đ gi i.
C th ta s nghiên c u h th ng bài t p sau:
1. Bài toán tính toán
1.1. Bài toán tính toán
Trong hình h c ta th

ng g p m t s bài toán tính toán nh : tính đ dài,

tính s đo góc,…
gi i bài toán tính toán ta ph i thi t l p m i quan h gi a nh ng cái đã
bi t và cái c n tìm, sau đó tính toán theo yêu c u bài toán.
1.2. Gi i bài toán tính toán nh phép bi n hình
12


Dùng phép bi n hình đ gi i bài toán tính toán là s d ng các phép bi n
hình đ di chuy n các y u t (các hình)

nh ng v trí không thu n l i cho

vi c tính toán v các v trí thu n l i cho vi c tính toán (cùng m t tam giác,
cùng m t đ

ng tròn,…).

c bi t phép quay là công c

u vi t đ gi i các

bài toán tính toán vì đã bi t s đo góc quay.

Ví d 1:
Cho hai vòng tròn (O) và (O’) mà vòng tròn này đi qua tâm vòng tròn kia. Cát
tuy n qua giao đi m A c a hai vòng tròn c t hai vòng tròn trên t i hai giao
đi m th hai l n l

t là M và M’. Tìm góc gi a hai ti p tuy n Mt và M’t’ c a

(O) và (O’).
Gi i:

B

Ta có:
1
2

AMB = AOB  O'OB
AM'B =

O'

O

1
AO'B = OO'B
2

A

M


M'

 MBM' ฀ OBO'

t'

Do tam giác OBO’ đ u nên tam giác
t

MBM’ đ u.
Do đó:

Q

60o
B

M  M '

: (O)  (O')
Mt  M't'


 (Mt,M't')  60

Ví d 2:
Cho hình vuông ABCD c nh a. G i M là trung đi m c a CD, N là giao đi m
c a c nh BC v i tia phân giác góc BAM. Tính đ dài đo n BN.
A


B

13

N


Gi i:
Th c hi n phép quay: Q-90
A

Q

-90o
A

o

B  D
:
 N  N'

 N'  DC
DN' = BN

Thì: 
DAN'  BAN  MAN
AN'M  ANB  NAD  MAN'
Do đó: Tam giác AMN’ cân t i M, suy ra:


MA = MN' = MD + DN'
 BN = DN' = MA - MD =

5-1
a
2

Ví d 3:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có BAC  80 . Bên trong tam giác ta l y
đi m M sao cho MBC  30 , MCB  10 .Tính góc MAC.
Gi i:
Th c hi n phép quay: Q-60
A

Q

-60o
A

o

A

:C  E

Ta có: CAE  60  80  BAC nên
tia AE n m trong góc BAC. Do đó tia
CB n m trong góc ACE (1).


M
B

C

Tam giác ACE đ u nên: ACE  60 (2)


E

Tam giác BAC cân t i A và

A

BAC  80 nên:

ABC  ACB  50 (3)
14


T (1), (2) và (3) ta có: BCE  10 .
Vì AB = AE = AC nên B, E, C cùng n m trên m t đ

ng tròn tâm A. Do đó:

1
1
EBC  EAC   60  30 .
2
2

M t khác:

BMC  BEC (g.c.g)
 CE = CM = CA
Do đó ba đi m E, M, A cùng n m trên m t đ

ng tròn tâm C nên:

1
1
MAE  MCE   20  10
2
2
 MAC  MAE  EAC  10  60  70

V y MAC  70 .
2. Bài toán c c tr
2.1. Bài toán c c tr
Bài toán c c tr là bài toán liên quan đ n vi c tìm giá tr l n nh t, giá tr
nh nh t c a đ i l

ng nào đó.

2.2. Gi i bài toán c c tr nh phép bi n hình
Gi i bài toán c c tr nh phép bi n hình ta th
xác đ nh v đ i l

ng chuy n đ i l

ng c n


ng đã bi t nh phép bi n hình r i th c hi n yêu c u bài

toán. V i vi c s d ng phép quay ta th

ng đ a v bài toán tính toán tr

c

r i gi i bài toán c c tr .
Ví d 1:
Cho góc xOy và đi m M n m trong góc đó. Tìm trên các c nh Ox, Oy các
đi m A, B sao cho OA = OB và MA + MB nh nh t.
Gi i:
G i

y

 xOy .

M'

Th c hi n phép quay: QO

B

15
M

O


A

x


Ox  Oy
:
Q O M  M'

Khi đó n u OA = OB thì:

Q :A  B
O

 MA = M'B
 MA + MB = M'B + MB  MM'
Do đó MA + MB nh nh t khi B là giao đi m c a Oy v i MM’.
-

Khi đó A = Q (B).
O

Ví d 2:
Tam giác ABC có BC = a, AC = b, C =

( < 120o ) . Tìm đi m M trong

m t ph ng sao cho MA + MB + MC nh nh t và tính giá tr nh nh t đó.
Gi i:


A'

Th c hi n phép quay: Q-60
C

o

M'

A  A'
Q C : M  M'

 MA = M'A'
-60o

Vì CMM' đ u nên: MM’ = CM

C
A

Do đó:

M

MA + MB + MC = BM + MM’ + M’A’.
MA + MB + MC nh nh t ta c n tìm
v trí c a M sao cho đ dài đ

B


ng g p

khúc BMM’A’ ng n nh t.
Ta có trong tam giác A’BC: BC = a, CA’ = b, BCA' = 60o + , áp d ng
đ nh lí hàm s cosin ta đ

c: AB2 = a 2 + b2 - 2abcos  600 +

16




dài đ

ng g p khúc BMM’A’ ng n nh t khi M, M’n m trên BA’. Khi đó

: CMA'  CAA'  60 . Do đó đi m M thu c đ

ng tròn ngo i ti p tam

giác ACA’.
Tóm l i, đi m M c n tìm là giao đi m c a đ

ng th ng BA’ và đ

ng tròn

ngo i ti p tam giác ACA’. Khi đó đ dài ng n nh t c n tìm là:


MA + MB + MC = BA' = a 2 + b2 - 2ab.cos  600 +

1

 2

Ví d 3:
Hai đ

ng tròn b ng nhau (O;R) và (O’;R) c t nhau t i hai đi m A, B sao cho

OAO'  120 . Trên đ

ng tròn (O;R) ta l y đi m M, trên đ

ng tròn (O’;R)

ta l y đi m M’ sao cho MM’ đi qua B. G i S là giao đi m các ti p tuy n c a
hai đ
đ

ng tròn t i M và M’. Xác đ nh v trí c a hai đi m M và M’ đ bán kính

ng tròn ngo i ti p tam giác SMM’ l n nh t.
Gi i

Gi s : AOM =

(0   180 )


Th c hi n phép quay: Q-120
A

Q

-120o
A

S

o

: O  O',M  M''

M

 M''  (O';R), AO'M'' 
x

 ABM'' =

H

B

O

K


M', M''
O'
y

2
 ABM  ABM''  180

A

ngh a là M, B ,M’’ th ng hàng hay M’ trùng M’’.
Ta g i x là ti p tuy n c a (O;R) t i M, y là ti p tuy n c a (O’;R) t i M’ thì:

Q

-120o
A

: x  y.

Do đó góc tù t o b i x và y b ng 120  nên MSM'  60 ,áp d ng đ nh lí sin
cho tam giác SMM’ ta có:
17


MM'
MM'

o
2sin60
3


R' 

V i R’ là bán kính đ

ng tròn ngo i ti p tam giác SMM’.

Do đó R’ l n nh t khi MM’ l n nh t.
G i H, K l n l

t là trung đi m BM, BM’. Khi đó HK là hình chi u c a OO’

trên MM’ nên ta có:

MM' = 2KH  2OO'
V y MM’ l n nh t khi MM’ song song v i OO’.
3. Bài toán qu tích
3.1. Bài toán qu tích
Bài toán qu tích là bài toán tìm m t t p h p đi m (còn g i là m t hình) có
tính ch t

cho tr

c.

Qu tích đi m M có tính ch t

cho tr

c có th là t p r ng, t p h u h n


ho c t p vô h n đi m.
kh ng đ nh qu tích nh ng đi m có tính ch t
th c hi n các b
- B

là hình H nào đó ta ph i

c sau:

c 1 (ph n thu n): Ch ng minh m i đi m có tính ch t

đ u ph i

thu c hình H (nói lên tính không thi u c a qu tích).
-B

c 2 (ph n đ o): Ch ng minh m i ph n t (đi m) thu c hình H đ u có

tính ch t

(nói lên tính không th a c a qu tích).

3.2. Gi i bài toán qu tích nh phép bi n hình
Gi s :

E2  E2
:
là m t phép bi n hình c a m t ph ng thì:
M  M'


N u qu tích di m M là hình H thì ta có qu tích đi m M’ là (H).
N u qu tích đi m M’ là hình H’ thì ta có qu tích đi m M là 1 (H’).
gi i bài toán qu tích, thông th
và ph n đ o. Ph n thu n th

ng ta ph i ch ng minh c ph n thu n

ng d ch ra nh ng ph n đ o th
18

ng khó h n.


Nh ng khi ta gi i bài toán b ng cách s d ng phép bi n hình nói chung, phép
quay nói riêng, nh vào tính ch t 1- 1 mà c ph n thu n và ph n đ o đ

c

gi i quy t cùng lúc. ây là u đi m l n c a vi c s d ng phép bi n hình vào
gi i toán qu tích.
Do đó, mu n s d ng phép bi n hình vào gi i toán tìm t p h p các đi m M
tho mãn tính ch t nào đó, ta có th ch n m t phép bi n hình thích h p bi n
đi m M thành đi m M’ sao cho qu tích di m M’ tìm đ

c d dàng h n, t đó

suy ra qu tích c a đi m M.
Ví d 1:
Cho tam giác đ u ABC. Tìm t p h p đi m M n m trong tam giác sao cho :

MA 2 + MB2 = MC2 .

C

Gi i:
Th c hi n phép quay: Q-60
B

Q

-60o
B

M'

o

: A  C,M  M'

 MA = CM' , MB = MM'

M

 MA 2 + MB2 = MC2
A

 CM'2 + MM'2 = MC2

B


Ngh a là tam giác CMM’ vuông t i M’. Suy ra:
CM'B  CM'M  MM'B  90  60  150

M t khác:

AMB  CM'B(c.c.c)
 AMB  CM'B  150
Ch ng t M thu c cung ch a góc150  d ng trên dây AB. T p h p các đi m
M là cung 150  n m trong tam giác ABC d ng trên dây AB, tr A, B.
o l i, n u M là đi m thu c cung đó thì phép quay

Q

-60o
B

đi m M’ và cung AMB thành cung CM’B có s đo 150  .
19

bi n đi m M thành


Vì tam giác BMM’ đ u nên MM'C  150  60  90 , ngh a là tam giác
CMM’ vuông t i M’. Do đó:

MM'2 + M'C2 = MC2
 MA 2 + MB2 = MC2

Ví d 2:
Cho đ


ng tròn tâm O và dây cung AB có đ dài không đ i. G i M là trung

đi m AB. Ta d ng tam giác đ u OMN. Tìm t p h p đi m N khi các đ u mút
c a dây AB bi n thiên.
Gi i:
Kí hi u 2a là d dài dây AB có đ dài
không đ i, R là bán kính đ

ng tròn tâm

O. Khi đó ta có: OM  R 2 - a 2 không
đ i nên t p h p đi m M là đ
tâm O, bán kính

ng tròn

M

A

B

N

O

R 2 - a 2 v i a < R.

N u a = R thì M trùng v i O.

N u a > R thì dây AB không t n t i.
Th c hi n phép quay: Q60
O

o

Q

60o
O

: M  N,O  O,(O; R 2 - a 2 )  (O; R 2 - a 2 )

V y t p h p các đi m N là đ

ng tròn (O; R 2 - a 2 ) v i a < R, là đi m O v i

a = R, là t p r ng v i a > R.
Ví d 3:

20


Cho đ

ng tròn tâm O, m t đi m A c đ nh và m t góc

. V i m i đi m B

ng tròn ta d ng tam giác cân ABC có A = . Tìm t p h p các


thu c đ

đ nh C khi B thay đ i.
Gi i:
Th c hi n phép quay: QA

Q

A

t p h p đi m C là đ
c ađ

B

C

: B  C,  O    O'

Vì t p h p đi m B là đ

O

O'

ng tròn (O) nên

ng tròn (O’) là nh


ng tròn (O) qua phép quay

Q

A

A

.

4. Bài toán d ng hình
4.1. Bài toán d ng hình
Bài toán d ng hình có d ng sau: “Cho hình H. Hãy d ng hình H’ liên h
v i hình H”.
Bài toán d ng hình th
-B

ng đ

c gi i theo qui trình 4 b

c:

c 1 (phân tích): Gi s đã có hình c n d ng, t đó thi t l p m i liên

h gi a y u t ph i tìm và y u t đã cho đ đ a ra cách d ng.
-B

c 2 (cách d ng): Ch ra h u h n có th t các phép d ng c b n và


bài toán d ng hình c b n c n ph i th c hi n đ có hình c n d ng.
-B

c 3 (ch ng minh): Là vi c ch ra hình c n d ng

b

c 2 đã tho mãn

yêu c u bài toán.
-B

c 4 (bi n lu n): Kh ng đ nh s nghi m c a bài toán.

4.2. Gi i bài toán d ng hình nh phép bi n hình
Gi i bài toán d ng hình nh s d ng phép bi n hình th hi n
tích, ta qui vi c xác đ nh t ng b ph n c a hình c n d ng v
cho qua m t phép bi n hình.
Ví d 1:
21

b

c phân

nh c a hình đã


D ng m t tam giác đ u n i ti p trong m t hình vuông, bi t m t đ nh tam
C


Gi i:
-B

P

Q

giác.

B

c 1 (phân tích):

Gi s đã d ng đ

c tam giác đ u ABC n i

ti p hình vuông MNPQ v i đ nh A cho
tr

c n m trên c nh MN, đ nh B trên c nh

M

MQ, đ nh C trên c nh PN.

A

N


Th c hi n phép quay: Q60
A

o

Q

60o
A

C  B

:  N  N'
P  P'


Vì C n m trên c nh PN nên B n m trên đo n P’N’. Do đó C là giao đi m c a
đo n P’N’ và c nh QM.
-B

c 2 (cách d ng):

D ng N’, P’ l n l

t là nh c a N, P qua phép quay

Q

60o

A

.

D ng giao đi m B c a đo n N’P’ v i c nh MQ.
D ng C là nh c a B qua phép quay
-B

Q

-60o
A

.

c 3 (ch ng minh):

B là giao đi m c a đo n N’P’ v i c nh MQ nên B n m trên c nh MQ
Vì

Q

60o
A

 N  N'
:
nên:
P  P'


Q

-60o
A

 N'  N
:
P'  P

C = -60 (B)

Q A  C   NP
Mà 
B   N'P'
o

Vì C = Q

-60o
A

(B) nên tam giác ABC đ u.
22


V y ta đ
-B

c tam giác ABC tho mãn yêu c u bài toán.


c 4 (bi n lu n):

Bài toán có m t nghi m hình n u đo n N’P’ c t đo n MQ.
Bài toán vô nghi m hình n u đo n N’P’ không c t đo n MQ.
Ví d 2:
Cho ba đ

ng th ng x, y, z đôi m t c t nhau. Hãy d ng tam giác đ u có các

đ nh n m trên ba đ

ng th ng đã cho.

Gi i:
- B

c 1 (phân tích): Gi s đã d ng đ

c tam giác đ u ABC tho mãn:

A  x,B  y,C  z.
o

Xét phép quay: Q60
A

C  B
:
A
z  z'

C  z  B  z'  B = y  z'

Q
-B

60o

c 2 (cách d ng):

L y đi m A b t kì trên x.
D ng nh z’ c a z qua phép quay

Q

60o
A

z'

.

B

D ng giao đi m B c a z’ và y.
D ng nh C c a B qua phép quay

Q

-60o
A


y
A

.

Khi đó ta đ

c tam giác đ u ABC

c n d ng.
-B

z

c 3 (ch ng minh):

Ta có:

Q

-60o
A

: z'  z  C  z .
23

x
C



Theo cách d ng ta có: B  y, A  x .

C=Q

-60o
A

(B)  CBA=60o ,AC=AB  ABC là tam giác đ u.

V y ABC là tam giác đ u c n d ng.
-B

c 4 (bi n lu n):

Bài toán có m t nghi m hình n u z’ c t y.
Bài toán vô nghi m hình n u z’ song song v i y.
Bài toán có vô s nghi m hình n u z’ trùng y.
*Nh n xét: Trong ví d 2, khi ta thay ba đ
h n: ba đ
hai đ

ng th ng b i ba hình khác, ch ng

ng tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, m t đ

ng tròn, m t đ

toán hoàn toàn t


ng tròn và hai đ

ng th ng và

ng th ng,… thì ta đ

c các bài

ng t , s d ng cách gi i nh trên.

Ví d 3:
Hãy d ng m t hình vuông có b n đ nh n m trên b n đ
c nh c a m t hình bình hành khác hình vuông cho tr

ng th ng ch a b n

c.

Gi i:
-B

c 1 (phân tích): Gi s đã d ng đ

n m trên b n đ
tr

c hình vuông ABCD có b n đ nh

ng th ng ch a b n c nh c a hình bình hành MNPQ cho


c v i: A thu c MN, B thu c NP, C thu c PQ, D thu c QM

Ta có: ABCD và MNPQ có chung tâm đ i
x ng O.

N
B

o

Xét phép quay: Q90
O

Q
Gi s đ

90o
O

P
A

:A  D

ng th ng a là nh c a đ

ng

th ng MN qua phép quay đó thì :


a

O

M

C

D
Q

D = a  QM .
24


-B

c 2 (cách d ng):

T vi c phân tích trên ta có cách d ng nh sau:
90o

D ng a = Q (MN) .
O

D ng D = a  QM .
90o

90o


Xác đ nh: C = QO (D),B = QO (C),A =
Ta đ
-B

Q

90o
O

(B) .

c hình vuông ABCD c n d ng.
c 3 (ch ng minh):

Theo cách d ng nh trên thì ABCD là hình vuông.

D = a  QM
 D  QM,a  MN
90o

a
=
(MN)
Q

O
Vì: MN//PQ  a  PQ
90

C = Q (D)  C  PQ

O

90o

Vì B = Q (C) nên B đ i x ng v i D qua O. Do đó: B  NP .
O
90o

Vì A = Q (B) nên A đ i x ng v i C qua O. Do đó: A  MN .
O
V y hình vuông ABCD v a d ng tho mãn đ bài.
-B

c 4 (bi n lu n):

Bài toán có m t nghi m hình.
5. Bài toán ch ng minh
5.1. Bài toán ch ng minh
Bài toán ch ng minh có d ng: A  B , trong đó:
A là gi thi t, bao g m: nh ng y u t đã cho (đi m, đ

ng th ng, đ

ng

tròn,…); nh ng quan h đã bi t (liên thu c, song song, vuông góc,…);nh ng
y ut v l

ng (đ dài, góc,…).


B là k t lu n c n đ

c kh ng đ nh là đúng.
25