trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
*************

phạm thị thủy

phép quay quanh điểm trong mặt phẳng
khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Bùi văn bình

Hà Nội – 2008
1


Lời cảm ơn
Trong thời gian nghiên cứu, cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt em
được sự hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình.
Để hoàn thành khoá luận này, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình
và các thầy cô trong tổ hình học khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2.
Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khoẻ tới các
thầy cô.
Hà Nội, tháng 05 năm 2008
Sinh viên
Phạm Thị Thuỷ


Lời cam đoan
Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình cũng như
các thầy cô trong tổ hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.
Bản khoá luận này không trùng kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2008
Sinh viên
Phạm Thị Thuỷ


Mục lục
Lời cảm
ơn……………………………………………………………..

Trang
Lời
cam
đoan
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……..
Phần 1: Mở


1
1
.
L
í
d
o
c
h
ọ
n
đ
ề
t
à
i
…
…
…


…………………………………........

1

3
2

2. Nhiệm vụ nghiên
cứu………………………………………….


Phần 3: Kết

1
3. Phương pháp nghiên
cứu………………………………………

1
Phần 2: Nội dung

2
Chương 1: Cơ sở của phép quay quanh điểm trong mặt phẳng........

2
Bài 1: Định
hướng………………………………………………..

2
Bài 2: Phép quay quanh điểm trong mặt
phẳng………………….

4
Chương 2: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng và bài tập hình
học……….……….……….……….……….……….……….……

8
Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình
học………………........

8

Bài 2: Xây dựng bài toán mới nhờ sử dụng phép
quay…………..

40
Tài
liệu
tham
khảo
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…….

41


Phần 1: mở đầu
Trong nhà trường phổ thông, hình học

1. Lí do chọn đề tài

luôn là một môn học khó đối với học sinh. Bởi
hình học có tính chất chặt chẽ, tính lôgic và tính
trừu tượng cao hơn các môn học khác của toán

học.
Trong chương trình toán ở bậc trung học
phổ thông hiện nay có đưa ra cho học sinh một
công cụ mới để giải toán hình học đó là sử
dụng phép biến hình trong mặt phẳng. Bởi phép
biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể
hiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán.
Là một giáo viên phải tuỳ vào trình độ
học sinh của mình mà đưa ra bài toán phù hợp
nên mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một
bài toán. Sử dụng phép biến hình nói chung và
phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và sáng
tạo các bài toán.
Chính vì vậy ở khoá luận này em xin
trình bày về “Phép quay quanh một điểm trong
mặt phẳng”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng và đưa ra cơ sở lí thuyết về phép
quay quanh điểm trong mặt phẳng.
- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phép quay
để giải.
- Xây dựng, sáng tạo bài toán bằng cách sử dụng
phép quay.


3. Phương pháp
nghiên cứu
Trên cơ sở
nghiên


cứu

lí

thuyết của phép
quay quanh điểm
trong mặt phẳng
đưa ra hệ thống bài
tập phù hợp.


Phần 2: Nội dung
Chương 1: cơ sở của phép quay quanh
điểm trong mặt phẳng
Bài 1: Định hướng
1. Định hướng trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu
ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nói
rằng đã định hướng được mặt phẳng. Thông thường, ta chọn chiều quay xung
quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương còn chiều ngược lại làm
chiều âm.
2. Góc định hướng giữa hai tia
2.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy. Góc
định hướng có tia đầu là Ox, tia cuối là oy, kí hiệu ( Ox,Oy ) là góc thu
được khi ta quay tia đầu Ox tới trùng tia cuối Oy.
* Nhận xét: Giá trị của góc định hướng trên không phải là duy nhất, ta qui
ước giá trị đó là âm hay dương tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiều
dương của mặt phẳng.
Ta gọi ỏ là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi quay

Ox tới trùng Oy theo góc hình học nhỏ nhất.
Nếu ỏ là một giá trị của góc định hướng giữa hai tia Ox và Oy thì:
(Ox,Oy) = α + k2π (k ∈Z)
2.2. Hệ thức Salơ
Trong mặt phẳng định hướng, cho ba tia chung gốc Ox, Oy, Oz. Hệ thức
Salơ:


(Ox,Oy) + (Oy,Oz) = (Ox,Oz)
* Mở rộng cho n tia:
Trong mặt phẳng định hướng, cho n tia chung gốc: OA 1 , OA 2 , OA 3 ,...
, OA n . Hệ thức Salơ:
(OA1,OA2 ) + (OA2 ,OA3 ) +......+ (OAn-1,OAn ) = (OA1,OAn )


Bài 2: PHép quay quanh điểm trong mặt phẳng
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một
góc định hướng ỏ sai khác k2π

(k ∈ Z) . Một phép quay tâm O với
góc quay

α là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M

thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM,OM') = α .
α

Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay ỏ là Q O hoặc Q(O; α ).
Ta thường chọn ỏ sao cho -π ≤ α ≤ π .

* Chú ý:
Theo định nghĩa phép quay Q(O;ỏ) với ỏ = 0 là phép đồng nhất, còn nếu

α = π hoặc α = -π thì đó là phép đối xứng tâm O.
2. Tính chất
2.1. Q(O; α ) là phép dời hình
CM:
Giả sử : Q(O;ỏ) :

M  M’
N  N’

Theo định nghĩa phép quay ta có :
OM = OM'

ON = ON'

(OM,OM')
= (ON,ON' )

⇒

OM = OM'

ON = ON'



(OM,ON)
= (OM',ON')



⇒

ΔOMN = ΔOM'N' (c.g.c)

⇒ MN = M' N'
Vậy Q(O; α ) là phép dời
hình.

có một điểm bất động duy nhất và là phép

2.2. Q(O; α ) (α ≠ k2π, k
∈ Z)
biến đổi 1-1
CM:
Theo định nghĩa ta có O là điểm bất động của Q(O; α ).
Giả sử O’ là điểm bất động thứ hai của Q(O; α ), khác O. Thế thì góc tạo bởi
tia OO’ và chính nó bằng α , nghĩa là α = 0 (mâu thuẫn giả thiết). Điều đó
chứng tỏ Q(O; α ) có điểm O là điểm bất động duy nhất.
Nêú M 1 và M 2 có cùng một ảnh là điểm M’ thì
Q(O; - α ) M'  M1
:
và

M'  M 2

Khi đó :  OM = OM
1
2


(OM',OM1 ) = (OM',OM 2 ) = -α
Kết quả đó chứng tỏ M1 ≡ M

2

.

2.3. Q(O; α ) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn
thứ tự của chúng
CM:
Theo tính chất 2.1, phép quay Q(O; α ) là phép dời hình. Do đó nếu A’, B’, C’
lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C thì A’, B’, C’
thẳng hàng theo thứ tự đó.
* Hệ quả: Phép quay Q(O; α ) biến:
i)Một đường thẳng d thành đường thẳng d’và góc định hướng tạo bởi


hai đường thẳng đó bằng α d
,
⊥
d'

khi α = ± 90o .

ii) Biến tia Sx thành tia S’x’ và góc tạo bởi hai tia đó bằng α
. iii)Biến đoạn PQ thành đoạn P’Q’ và PQ = P’Q’.


iv)Biến góc ∠xSy

thành góc

∠x' và hai góc đó bằng nhau.
S' y'
v)Biến đường tròn (I;R)
thành đường tròn
(I’;R).

2.4. Tích của hai phép quay hoặc
là một phép tịnh tiến hoặc một
phép quay
CM:
Xét hai v . Q ○
phép
à Đ=
quay
ặ Q
α
Q
β
Q
t α
O'

β

Q .

O


* O
T≡
H O'
1
: β

O'
O

OM =
OM'
Q
M(OM,OM') = β
M'

thì
O
M
'
α

=
O
M
'
'
Q
M'
(OM',OM'') = α
M''

thì
OM = OM''

Do đó : 


a'

a

Đ QC
OM'')
2M
= ( :
(OM,O
a thì theo tính
M')
Đ, chất của
(OM',O
a
phép
M'')
=' I
β )

*O ≠ O':
T
H
2
:


Vậy Q đ
α+β
=Q 



Bổ đề: Tích của
hai phép đối
xứng trục cắt
nhau là một phép
quay quanh giao

đi 2(a,a') (a và
ể
a’ là hai
m
trục).
v
a∩ a'
ới
g
= I
ó
c
q
ua
y
ế
u

N

M≡ I

M

O

I
a
a'


Vậy I là điểm bất động của Q = Đ a'  Đ a .
- Nếu

M≠ I:

Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có :
IM = IM' = IM''

(IM, IM'') = (IM, IM ') + (IM ', IM'')
= 2(a,a')
Vậy

I
2(a,a')

Q
=


Đ a'  Đ a
.

CM tính chất:

Gọi b là đường thẳng qua O và O’.
Dựng đường thẳng a qua O và

β

(a,b) =

2

Dựng đường thẳng a’ qua O’ và (b,a') =

.
α
2

.

Khi đó ta có:
β

Q =Đ Đ
O

b


a

QαO' = Đ a'  b
Đ
α+β
(a,a') = 2
Có các trường hợp:
+) a song song hoặc trùng a’, ta có:
k2π (k ∈Z)

α+β

= kπ ⇔

α + β=

2

α

β

O'

O

⇒
Q ○Q = Đa'  Đ a = T


α

Q ○Q

+) a cắt a’ tại I, ta có: α + β ≠ k2π (k ∈Z)
⇒

β

O'
O

= Đ a'


○

Đa

α+β

=Q

I

.


Chương 2: PHéP quay quanh điểm trong mặt phẳng với
bài tập hình học

Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình học
Cũng như phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu để giải
toán hình học.
Để giải một bài toán hình học bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm
sau:
- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phép
quay riêng biệt dễ quan sát.
- Những bài toán hình học mà trong giả thiết xuất hiện các yếu tố góc đặc biệt
như: góc: 90  , 30  , 60  …và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác cân,
tam giác đều, hình thoi, hình vuông, … thường gợi cho ta ý tưởng dùng phép
quay để giải.
Cụ thể ta sẽ nghiên cứu hệ thống bài tập sau:
1. Bài toán tính toán
1.1. Bài toán tính toán
Trong hình học ta thường gặp một số bài toán tính toán như: tính độ dài,
tính số đo góc,…
Để giải bài toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ giữa những cái đã
biết và cái cần tìm, sau đó tính toán theo yêu cầu bài toán.
1.2. Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình


Dùng phép biến hình để giải bài toán tính toán là sử dụng các phép biến
hình để di chuyển các yếu tố (các hình) ở những vị trí không thuận lợi cho
việc tính toán về các vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác,
cùng một đường tròn,…). Đặc biệt phép quay là công cụ ưu việt để giải các
bài toán tính toán vì đã biết số đo góc quay.
Ví dụ 1:
Cho hai vòng tròn (O) và (O’) mà vòng tròn này đi qua tâm vòng tròn kia. Cát
tuyến qua giao điểm A của hai vòng tròn cắt hai vòng tròn trên tại hai giao
điểm thứ hai lần lượt là M và M’. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến Mt và M’t’ của

(O) và (O’).
B

Giải:
Ta có:

1

∠AOB = ∠O'OB

∠A 2
MB =

A

M

1

O'

O

∠AO'B = ∠OO'B
∠A
2
M'B =
t'

M'


⇒ ∆MBM'  ∆OBO'

t

Do tam giác OBO’ đều nên tam giác
MBM’ đều.
Do đó:

Q

60o
B

M  M '

: (O) 

(O')
Mt  M't'


⇒ (Mt,M't') = 60



Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD, N là giao điểm
13


của cạnh BC với tia phân giác góc BAM. Tính độ dài đoạn BN.
A

B


N


Giải:

Thực hiện phép quay: Q-90o
A

Q

B 
:
D

N  N'

-90o
A

 N'∈DC

DN' = BN



Thì:
∠DAN ' = ∠BAN = ∠MAN
 ∠AN'M = ∠ANB = ∠NAD =

∠MAN'

Do đó: Tam giác AMN’ cân tại M, suy ra:
MA = MN' = MD + DN'

5-1
2 ⋅a

⇒ BN = DN' =
MA - MD =
Ví dụ 3:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có ∠BAC = 80 . Bên trong tam
giác ta lấy
điểm M sao cho ∠MBC = 30 ,∠MCB = 10 .Tính góc MAC.
Giải:
Thực hiện phép quay: Q-60o
A

Q

-60o
A

A


: C E

Ta có: ∠CAE = 60
< 80 = ∠BAC

nên

tia AE nằm trong góc BAC. Do đó tia
CB nằm trong góc ACE (1).

M
B

C

Tam giác ACE đều nên: ∠ACE = 60 (2)
Tam giác BAC cân tại A và

E




∠BAC = 80 nên:


∠ABC = ∠ACB = 50 (3)
14



Từ (1), (2) và (3) ta có: ∠BCE = 10 .
Vì AB = AE = AC nên B, E, C cùng nằm trên một
đường tròn tâm A. Do đó:
1
1


∠EBC = ∠EAC = ⋅ 60 = 30 .
2
2
Mặt khác:
∆BMC = ∆BEC (g.c.g)
⇒ CE = CM = CA
Do đó ba điểm E, M, A cùng nằm trên một đường
tròn tâm C nên:
∠MAE
1
=
∠M
CE
1
= 
⋅ 20
=
10

2
⇒ ∠MAC
= ∠MAE + ∠EAC




= 10 + 60 = 70
V

ậ ∠MAC = 70 .
y
2. Bài toán cực trị
2.1. Bài toán cực trị
Bài toán cực trị là bài toán liên quan đến việc
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lượng
nào đó.
2.2. Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình
Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình ta
thường chuyển đại lượng cần xác định về đại
lượng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiện
yêu cầu bài toán. Với việc sử dụng phép quay ta


thường đưa về bài
toán tính toán trước
rồi giải bài toán cực
trị.
Ví dụ 1:
Cho góc xOy và
điểm M nằm trong
góc đó. Tìm trên các
cạnh Ox, Oy các
điểm A, B sao cho
OA = OB và MA +

MB nhỏ nhất.
Giải:
y

Gọi α = ∠xOy .

M'

Thực hiện phép quay: QO
α

B

15
O
M

A

x


Q

Ox  Oy

:
O
M  M'
α


Khi đó nếu OA = OB thì:

Q :A  B
α

O

⇒ MA = M'B
⇒ MA + MB =
M'B + MB ≥

MM'

Do đó MA + MB nhỏ nhất khi B là giao điểm của Oy với MM’.
Khi đó A =

Q

-α
O

(B).

Ví dụ 2:
Tam giác ABC có BC = a, AC = b,

∠C = α ( α
o
< 120


) . Tìm điểm M trong

mặt phẳng sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Giải:

A'

-60
C

Thực hiện phép quay: Q o
M'

A  A'
:
QC 
M  M'
⇒ MA = M'A'
-60o

Vì ∆CMM' đều nên: MM’ = CM

C
A

Do đó:

M


MA + MB + MC = BM + MM’ + M’A’.
Để MA + MB + MC nhỏ nhất ta cần tìm

B

vị trí của M sao cho độ dài đường gấp
khúc BMM’A’ ngắn nhất.
Ta có trong tam giác A’BC: BC = a, CA’ = b, ∠BCA' =
60o
25