ĐỂ THI HSG TP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.38 KB, 5 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009-2010
Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x
3
– 19x -30
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n
3
- n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
Câu 3 : (1,5đ) cho
ABC
∆
vuông tại B,BH
⊥
AC (H
∈
AC),M là trung điểm của BH .Gọi K là
điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM
⊥
KH.
Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC∆
vuông tại A. Chứng minh :
·
2
ABC AC
tg
AB BC
=
+
Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
ay bx a b x y ax by
− = + + − +
Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì
1
1 1 1
a b c
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +
Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) ,(R > r) ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB. (
( ) ( )
; , ',A O R B O r∈ ∈
).Chứng minh rằng :
2AB Rr>
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 (
n N∈
) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P =
5 3 29 12 5− − −
Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n>1 không phải là
số chính phương.
Câu 11 : (2đ ) Cho
ABC∆
(
AB AC≠
).vẽ phân giác AD (
D BC∈
).Ở miền ngoài tam giác vẽ tia
Cx sao cho
·
·
BCx BAD=
và tia Cx cắt tia AD tại I. Chứng minh : AI.AD.DC = AC
2
.DB
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương.
----------- HẾT ----------
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................
Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009-2010
Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x
3
– 19x -30
x
3
– 19x -30 = x
3
– 9x –10x –30 = x(x
2
– 9) – 10(x+3) = x(x-3)(x+3)-10(x+3) 0,75đ
=(x+3)(x
2
–3x-10) = (x+3)(x+2)(x–5) 0,75đ
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n
3
- n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
A= n
3
- n = (n–1)n(n+1) 0,5đ
Chứng minh A
M
2 và A
M
3 0,5đ
=> A
M
6 0,5đ
Câu 3 : (1,5đ) Cho
ABC∆
vuông tại B,BH
⊥
AC (H
∈
AC),M là trung điểm của BH .Gọi K
là điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM
⊥
KH.
Gọi N là trung điểm của HC,chứng minh MN
⊥
AB 0,5đ
Chứng minh M là trực tâm
ABN∆
=>AM
⊥
BN 0,5đ
Chứng minh KH//BN=>AM
⊥
KH 0,5đ
Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC
∆
vuông tại A. Chứng minh :
·
2
ABC AC
tg
AB BC
=
+
Vẽ phân giác BD =>
AD AB AD CD
CD BC AB BC
= ⇒ =
0,5đ
=>
AD AD CD AC
AB AB BC AB BC
+
= =
+ +
(1) 0,5đ
·
·
2
ABC AD
tg tg ABD
AB
= =
(2)
Từ(1) (2) =>
·
2
ABC AC
tg
AB BC
=
+
0,5đ
N
M
K
H
B
A
C
D
A
C
B
Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
ay bx a b x y ax by
− = + + − +
Vế phải :
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b x y ax by a x a y b x b y a x abxy b y
+ + − + = + + + − − −
0,75đ
0,75đ0,75
Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì
1
1 1 1
a b c
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +
Ta có: abc = 1=>
1
a
bc
=
0,5đ
=>
1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
a b c b c
bc
ab a bc b ca c bc b
b c c
bc bc bc
+ + = + +
+ + + + + + + +
+ + + +
0,5đ
1
1 1 1
1
1 1
b c
bc
bc b
c
c bc b
= + +
+ +
+ + + +
1
1 1
1
b c
bc
b bc bc b
bc b
bc b
= + +
+ + + +
+ +
0,5đ
1
1 1 1
b bc
bc b bc b bc b
= + +
+ + + + + +
=
1
1
1
b bc
bc b
+ +
=
+ +
0,5đ
Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB.
(
( ) ( )
; , ',A O R B O r∈ ∈
).Chứng minh rằng :
2AB Rr>
Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C 0,5đ
=>
2 2
' 'O C OO OC= −
=>
( )
2
2
' 'O C OO R r= − −
=>
( )
2
2
'AB OO R r= − −
0,5đ
OO’> R+r => OO’
2
>(R+r)
2
=>
( ) ( )
2 2
AB R r R r> + − −
0,5đ
=>
4 2AB Rr AB Rr> ⇔ >
0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 (
n N∈
) là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Gọi d là ước chung lớn nhất của 9n + 2 và 12n + 3 ;
d N∈
=>
(9n 2) d (36n 8) d
(12n 3) d (36n 9) d
+ +
⇒
+ +
M M
M M
0,5đ
0,5đ
=> 9n + 2 và 12n + 3 (
n N
∈
) là hai số nguyên tố cùng nhau 0,5đ
B
A
C
O
O'
( ) ( )
36 9 36 8 1 1n n d d d
⇒ + − + ⇒ ⇔ =
M M
( )
2
2 2 2 2
2a y b x abxy ay bx
= + − = −
Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P =
5 3 29 12 5− − −
( )
2
29 12 5 2 5 3− = −
5 3 2 5 3 5 6 2 5P⇒ = − − + = − −
0,75đ
( )
2
6 2 5 5 1− = −
5 5 1P⇒ = − +
0,5đ
⇒
P = 1 0,25đ
Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n>1 khơng
phải là số chính phương.
n
6
– n
4
+ 2n
3
+2n
2
= n
2
.( n
4
– n
2
+ 2n +2 ) = n
2
.[ n
2
(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 0,5đ
= n
2
[ (n+1)(n
3
– n
2
+ 2) ] = n
2
(n+1).[ (n
3
+1) – (n
2
-1) ]
= n
2
( n+1 )
2
.( n
2
–2n+2) 0,5đ
Với n
∈
N, n >1 thì n
2
-2n+2 = (n - 1)
2
+ 1 > ( n – 1 )
2
và n
2
– 2n + 2 = n
2
– 2(n - 1) < n
2
Vậy ( n – 1)
2
< n
2
– 2n + 2 < n
2
⇒
n
2
– 2n + 2 khơng phải là một số chính phương. 0,75đ
=> n
6
– n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
với n
∈
N và n>1 khơng phải là số chính phương. 0,25đ
Câu 11 : (2đ ) Cho
ABC
∆
(
AB AC
≠
).vẽ phân giác AD (
D BC
∈
).Ở miền ngồi tam giác vẽ
tia Cx sao cho
·
·
BCx BAD=
và tia Cx cắt tia AD tại I. Chứng minh : AI.AD.DC = AC
2
.DB
AC
AB
DC
DB
=
(doAD là phân giác cuả Â)
⇒
DB.AC = AB.DC (1) 0,75đ
Chứng minh
∆
ADB ~
∆
ACI
⇒
AI
AB
AC
AD
=
⇒
AD.AI = AB.AC (2)
0,75đ
chia từng vế cuả (2) cho(1)ta được:
DCAB
ACAB
ACDB
AIAD
.
.
.
.
=
⇒
AD.AI.DC =AC
2
.DB 0,5đ
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương.
Vì a + 15 và a – 74 là các số chính phương
Đặt a + 15 =
2
m
, a – 74 =
2
n
với m, n
∈
N. 0,25đ
⇒
m
2
– n
2
= 89
⇔
(m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 là số ngun tố và m – n < m + n nên
m n 1
m n 89
− =
+ =
⇔
m 45
n 44
=
=
0,75đ
a +15 = 45
2
⇒
a = 2010 0,25đ
----------- HẾT ----------
Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
D
I
A
B
C
