ĐA tạp bất BIẾN và PHÉP BIẾN đổi đồ THỊ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (413.01 KB, 39 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Nguyễn Thị Ngọc Huyền

ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Ngành : Toán học
Chương trình đào tạo chuẩn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - 2017

Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS.Lê Huy Tiễn - người đã tận tình giúp đỡ và chỉ
bảo em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà
Nội đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức, dạy bảo em trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ths.Lê Đức nhiên và
các thành viên trong nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý
báu để em hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không thể

tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các
thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Nguyễn Thị Ngọc Huyền

1

Mục lục
Lời nói đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ánh xạ trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Điểm cố định hyperbolic . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Tự đẳng cấu hyperbolic trong không gian Banach
1.3 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
TRÌNH SAI PHÂN
2.1 Đa tạp bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định lý đa tạp bất biến của phương trình sai phân .

2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
TRÌNH VI PHÂN
3.1 Đa tạp bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Định lý đa tạp bất biến của phương trình vi phân .
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
6
6
6
11
12
12
13

CỦA PHƯƠNG
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

14
14
17
24

CỦA PHƯƠNG
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

28
28
29
34
36

Tài liệu tham khảo

36

1

Lời nói đầu
Để nghiên cứu sự tồn tại các đa tạp bất biến của phương trình sai phân và phương
trình vi phân có hai phương pháp chính.
1. Phương pháp của Perron (đặc trưng giải tích) mà sau này nhờ sự cải tiến của
các nhà toán học Xô-viết còn được gọi là phương pháp Lyapunov-Perron vì nó

gắn liền với các phương pháp của Lyapunov.
2. Phương pháp phép biến đổi đồ thị của Hahamard (đặc trưng hình học).
Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển các phương pháp
nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì bài toán tồn
tại của các đa tạp bất biến luôn mang lại bức tranh hình học tổng thể của hệ phương
trình vi phân, phương trình sai phân. Đa số trong các tài liệu hiện nay, người ta phần
lớn sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron.
Trong luận văn này, tác giả xét hệ ô-tô-nôm hữu hạn chiều và sử dụng phương pháp
biến đổi đồ thị Hahamard chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến của:
1. Phương trình sai phân xn+1 = Axn + φ(xn ) với giả thiết phổ của A không giao
hình cầu đơn vị (σ(A) ∩ S 1 = ∅) và nhiễu φ có hệ số Lipschitz nhỏ .
2. Phương trình vi phân x = Ax + f (x) với giả thiết σ(A) ∩ iR = ∅ và nhiễu
Lipschitz nhỏ.
Nội dung chính của khóa luận dựa trên tài liệu [1] và bài báo [3]. Khóa luận gồm phần
mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này dùng để nhắc lại và xây dựng
các kiến thức cơ bản sẽ được áp dụng ở chương sau. Cụ thể, phần đầu nhắc lại một số
kiến thức cơ bản về không gian Banach và ánh xạ co trong không gian Banach. Phần
thứ hai của chương trình bày các kiến thức về hàm Lipschitz, điểm cố định Hyperbolic
và tự đẳng cấu Hyperbolic. Phần cuối gồm một số kiến thức về phương trình vi phân,
bổ đề Gronwall’, họ tiến hóa, nhị phân mũ.
Chương 2. Đa tạp bất biến và phép biến đổi đồ thị của phương trình sai
phân. Dựa vào tài liệu [1], đầu tiên tác giả đưa ra các khái niệm về đa tạp bất biến.
Sau đó, định lý đa tạp bất biến của phương trình sai phân được phát biểu và chứng
minh bằng phương pháp phép biến đổi đồ thị. Cuối cùng là một số ví dụ minh họa.

2

MỤC LỤC

Chương 3. Đa tạp bất biến và phép biến đổi đồ thị của phương trình
vi phân. Chương này có bố cục giống như chương 2, nhưng khác ở chỗ ta sẽ xét với
phương trình vi phân.
Chương 2 và chương 3 là phần chính của khóa luận.
Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để khóa
luận này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Nguyễn Thị Ngọc Huyền

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong phần đầu khóa luận, chúng tôi trình bày lại các khái niệm cơ bản của phương
trình vi phân và phương trình sai phân. Một số khái niệm quan trọng như điểm cố định
hyperbolic, tự đẳng cấu hyperbolic; bổ để Gronwall, họ tiến hóa, nhị phân mũ. Nhưng
trước hết, ta đi nhắc lại một số khái niệm, định lý cơ bản của không gian Banach và
ánh xạ co trong không gian Banach.

1.1

Ánh xạ trong không gian Banach

Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức về không gian
Banach, sau đó ta sẽ nêu ra các định lý, tính chất cơ bản của ánh xạ co được dùng để
chứng minh định lý chính ở chương 2 và chương 3.

1.1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn)
Gọi X là không gian vectơ trên trường vô hướng K, các số thực R hay các số phức C.
Khi đó X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định
một số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x) thỏa mãn các điều kiện sau:
• x

với mọi x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;

0,

• λx = |λ| x ,
• x+y

x + y ,

với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X;
với mọi x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.1.2. (Không gian đầy đủ)
Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ, tức là {xn }∞
n=1
là dãy Cauchy trong X thì tồn tại xo ∈ X mà xn → xo , (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach)
Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, . ) là không gian đầy đủ thì (X, . ) gọi là
không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1 (Không gian Euclide n - chiều)

Với mỗi số tự nhiên n, kí hiệu Kn ( K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng K.
4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ K}
Ta xác định chuẩn . 2 trên K bởi:
n

||x||2 =

|x2i |, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn .

i=1

Trong đó Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn . 2 . Không gian này được gọi
không gian Euclide n - chiều. Ta có thể chứng minh được Kn là không gian Banach,
xem [3] trang 7.

1.1.2

Ánh xạ co

Ánh xạ co là một nguyên lý cơ bản dùng để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của
một toán tử nào đó. Phần này sẽ nêu ra các định lý, tính chất cơ bản của ánh xạ co
được dùng để chứng minh định lý chính ở chương 2 và chương 3. Đầu tiên, ta có định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian Banach. Gọi B là hình cầu đơn vị B =
{x ∈ X : x
1}, ánh xạ f : B → B được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một hằng số

K ∈ (0, 1) sao cho :
f (x) − f (y)

K x − y , ∀x, y ∈ B.

Nhận xét 1.1.1. Nếu f là ánh xạ co thì f liên tục trên X.
Định nghĩa 1.1.5. Cho f : X → X. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của hàm
f nếu f (x) = x.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co)Trong không gian Banach X nếu f là ánh
xạ co thì tồn tại duy nhất một điểm bất động f (x) = x. Cụ thể hơn, nếu ta xét dãy
x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), ..., xn = f (xn−1 ), ... thì xn hội tụ về x.
Định lý 1.1.2. (Định lý ánh xạ ngược) Giả sử hàm f : Rn → Rn khả vi liên tục trong
lân cận mở của điểm xo ∈ Rn và Df (xo ) là khả nghịch. Khi đó tồn tại tồn tại một lân
cận mở V chứa xo và lân cận mở W chứa f (xo ) sao cho ánh xạ f : V → W là khả
nghịch và có ánh xạ ngược f −1 : W → V khả vi với mọi y ∈ W .
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ f được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và ánh xạ ngược
f −1 là ánh xạ liên tục.

1.2

Phương trình sai phân

Trong phần này, ta xét phương trình sai phân
xn+1 = Axn + φ(xn )
với xn ∈ Rn , ma trận Am×n và σ(A) ∩ S 1 = ∅ ( σ(A) là phổ của A và S 1 lhnhcuØnv),
hàm nhiễu φ là liên tục Lipschitz nhỏ .

5

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2.1

Hàm Lipschitz

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X và Y là không gian Metric, một ánh xạ φ : X → Y được
gọi là Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||φ(x) − φ(y)||
Lipφ = inf{L : ||φ(x) − φ(y)||
của φ .

L||x − y|| , ∀x, y ∈ X ;

L||x − y||}, ∀x, y ∈ X được gọi là hằng số Lipschitz

Định lý 1.2.1. Định lý hàm ngược Lipschitz : Nếu A : E → E là ma trận khả
nghịch và φ là hàm Lipschitz với hệ số Lipschitz đủ bé thì A + φ là khả nghịch thực sự
và (A + φ)−1 cũng là hàm Lipschitz.

1.2.2

Điểm cố định hyperbolic

Định nghĩa 1.2.2. (Điểm cố định hyperbolic) Cho U ∈ Rn , ánh xạ f : U → Rn ,
điểm xo ∈ U được gọi là điểm cố định hyperbolic của f nếu f (xo ) = xo và các giá trị
riêng của ma trận Df (xo ) không nằm trên đường tròn đơn vị, tức là (σ(A) ∩ S 1 = ∅) .
Khi đó, tổng của các không gian riêng suy rộng ứng với các giá trị riêng nằm trong
(ngoài) đường tròn đơn vị tương ứng được gọi là không gian con ổn định (không
ổn định) và được kí hiệu là E s (E u ).

1.2.3

Tự đẳng cấu hyperbolic trong không gian Banach

Cho E à một không gian Banach, E s và E u là hai không gian đóng của E. Ta nói E
là tổng trực tiếp của E s và E u , kí hiệu E = E s ⊕ E u nếu v ∈ E có duy nhất v = vs + vu
với vs ∈ E s và vu ∈ E u .
Chuẩn | . | trên E được gọi là chuẩn hộp của E = E s ⊕ E u nếu
|v| = max{|vs |, |vu |}, v ∈ E.
Định lý 1.2.2. Cho (E, |.|) là một không gian Banach, E = E s ⊕ E u . Khi đó, luôn
tồn tại một chuẩn hộp . của E = E s ⊕ E u tương đương với |.|.
Chứng minh. Ta định nghĩa được
||v|| = max{|vs |, vu |}.
Dễ thấy . là một chuẩn hộp của E = E s ⊕ E u .
Từ E s và E u là hai không gian đóng của E, dẫn đến (E, . ) là một không gian Banach.

6

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ta có,
|v| = |vs + vu |

|vs | + |vu |

2||v||.

Do đó, ánh xạ đồng nhất

id : (E, . ) → (E, |.|)
là liên tục. Theo định lý ánh xạ ngược trong không gian Banach, ánh xạ ngược
id : (E, |.|) → (E, . )
liên tục. Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho ||v||

C|v|, ∀v ∈ E.

Xét ánh xạ tuyến tính A : E → E, A được gọi là một tự đẳng cấu trên E
nếu A là song ánh tuyến tính và cả A và A−1 đều liên tục. Khi đó, A cũng là một đồng
phôi tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.3. Một tự đẳng cấu A : E → E được gọi là hyperbolic nếu có phân
tích
E = Es ⊕ Eu ,
A(E s ) = E s , A(E u ) = E u (tức là A là bất biến)
sao cho, với mỗi hằng số C

1 và 0 < λ < 1 thì

|An v|

Cλn |v| , ∀v ∈ E s , n

0 (A|E s là co với n đủ lớn),

|A−n v|

Cλn |v| , ∀v ∈ E u , n

0 (A|E u là giãn với n đủ lớn).

Hình 1.1: Tự đẳng cấu hyperbolic

7

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.2.4. (Nón) Với mỗi r, γ > 0. Kí hiệu
E(r) = B(0, r)
là hình cầu đóng tâm 0, bán kính r. Ta định nghĩa
Cγ (E s ) = {v ∈ E |vu |
u

Cγ (E ) = {v ∈ E |vs |

γ|vs |},
γ|vu |}.

tương ứng là γ - nón trong E s và E u .

Hình 1.2: Nón C1 (E u )
Định lý 1.2.3. Không gian ổn định E s được biểu diễn như sau
E s = {v ∈ E
= v∈E

An v → 0, n → ∞}
∃r > 0 sao cho |An v|
n

r, ∀n

0

s

= {v ∈ E ∃γ > 0 sao cho A v ∈ Cγ (E ), ∀n

0}.

Tương tự với không gian không ổn định E u
E u = {v ∈ E
= {v ∈ E
= {v ∈ E

A−n v → 0, n → ∞}
∃r > 0 sao cho |A−n v|
−n

∃γ > 0 sao cho A

r, ∀n
u

0}

v ∈ Cγ (E ), ∀n

0}.

Đặc biệt, phân tích hyperbolic là duy nhất. Tức là nếu E = Gs ⊕ Gu cũng là phân tích

hyperbolic thì Gs = E s , Gu = E u .
Chứng minh của định lý này xem ở [1], trang 20.
8

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hình 1.3: Không gian E s , E u và không gian Gs , Gu .
Định lý 1.2.4. Cho A là một tự đẳng cấu hyperbolic với phân tích E = E s ⊕ E u , tồn
tại một chuẩn hộp ||.|| của E s ⊕ E u tương đương |.| , với một số 0 < µ < 1 ta có
||Av||

µ||v||, ∀v ∈ E s ,

||Av||

µ||v||, ∀v ∈ E u .

Chứng minh của định lý này xem ở [1], trang 21. Một chuẩn ||.|| của tự đẳng cấu
A thỏa mãn định lý trên được gọi là chuẩn tương thích của A. Trong trường hợp này,
tồn tại một số τ ,
τ (A) = τ (A, ||.||) = max{||A|E s ||, ||A|E u ||} < 1
được gọi là độ lệch của A tương ứng với chuẩn tương thích này.

Chú ý :
• Giả sử πs : E → E s và πu : E → E u là hai phép chiếu .
Với bất kì ánh φ : E → E tuyến tính hoặc không tuyến tính, ta sẽ định nghĩa
được
φs = πs ◦ φ và φu = πu ◦ φ .
• Nếu A : E → E là tuyến tính, ta có

Ass = As |E s và Auu = Au |E u .
• Nếu E s và E u là A-bất biến thì ta có
As v = As vs = Ass vs và Au v = Au vu = Auu vu
9

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

• Từ một ánh xạ Lipeomorphism (vừa là đồng phôi, vừa là Lipschitz), ta có
m(A) = inf{|Av| v ∈ E, |v| = 1}
là một chuẩn mini của ánh xạ A : E → E. Nếu A bất biến thì m(A) = |A−1 |−1 .
Định lý 1.2.5. (Định lý hàm ngược Lipschitz) Cho ánh xạ A : E → E là một
đồng phôi tuyến tính và φ : E → E là Lipschitz. Nếu
Lip(φ) < m(A).
Khi đó , ánh xạ A + φ : E → E là Lipeomorphism và
1
.
m(A) − Lipφ

Lip((A + φ)−1 )

Chú ý, nếu φ là C 1 thực sự, khi đó A + φ : E → E là một đồng phôi. Và nếu φ là tuyến
tính thực sự thì Lip(φ) = |φ|, trong đó | . | là chuẩn toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Với w ∈ E bất kì, ta có phương trình
(A + φ)v = w
⇔v = A−1 w − A−1 φ(v).

(1)

Xét ánh xạ

T :E→E
T (v) = A−1 w − A−1 φv.
Nghiệm của (1) là điểm bất động của T. Ta chứng minh T là ánh xạ co. Với v, v ∈ E
bất kì, ta có
|T v − T v | = |(A−1 w − A−1 φv) − (A−1 w − A−1 φv )|
= |A−1 φv − A−1 φv |
|A−1 ||φv − φv |
|A−1 |Lipφ|v − v |.
trong đó |A−1 |Lipφ < 1. Do đó T là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, với v ∈ E
bất kì thì T có duy nhất điểm bất động. A + φ là Lipschitz với
|A| + Lipφ.

Lip(A + φ)

Ta chứng minh (A + φ)−1 là Lipschitz với hệ số lý thuyết. Với v, v ∈ E bất kì
|(A + φ)v − (A + φ)v | = |Av − Av + φv − φv |
= |A(v − v ) + φ(v − v )|
(m(A) − Lipφ)|v − v |.

10

(2)

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Từ (1) ta có v = (A + φ)−1 w và coi v = (A + φ)−1 w nên (2) tương đương với
|(A + φ)(A + φ)−1 w − (A + φ)(A + φ)−1 w |
= (m(A) − Lipφ)|(A + φ)−1 w − (A + φ)−1 w |
⇔ |w − w | (m(A) − Lipφ)Lip(A + φ)−1 |w − w |
⇔ 1 (m(A) − Lipφ)Lip(A + φ)−1 .

Do vậy Lip((A + φ)−1 )

1
.
m(A) − Lipφ)

Kí hiệu L(E u , E s ) là không gian Banach gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục E u →
E s và L(E u , E s )(1) là hình cầu đơn vị đóng trong không gian L(E u , E s ). Về mặt hình
học, nếu P ∈ L(E u , E s )(1) thì gr(P ) ⊂ C1 (E u ).
Bổ đề 1.2.6. Cho E = E s ⊕ E u là một phân tích với chuẩn hộp, và 0 < λ < 1. Ánh
xạ B : E → E là tự đẳng cấu, được biểu diễn dưới dạng
B=

Buu Bus
ØiviphntchE = E s ⊕ E u
Bsu Bss

(1.1)

đối với phân tích
E = Es ⊕ Eu
, sao cho
−1
max{|Buu
|, |Bss |} < λ,

max{|Bus |, |Bsu |} < ε,
λ + ε < 1,
trong đó Bus = πu ◦ B|E s , Bsu = πs ◦ B|E u ,etc.
Khi đó, tồn tại duy nhất P = PB ∈ L(E u , E s )(1) sao cho không gian con tuyến tính

gr(P ) là B-bất biến và giãn.
Chứng minh của bổ đề này xem ở [1], trang 26-28.

1.3

Phương trình vi phân

Trong phần này, ta xét phương trình vi phân ô-tô-nôm có dạng
x = Ax + f (x)
với giả thiết với giả thiết σ(A) ∩ iR = ∅ và hàm nhiễu f là hàm sô Lipschitz với hệ số
Lipschitz nhỏ.
Phương trình vi phân thuần nhất x = A(t)x có nghiệm là
x(t) = e(t−s)A x

11

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong không gian Banach X với f : X → X là hàm liên tục, xét phương trình vi phân
không thuần nhất
x = Ax + f (t)
(I)
(1.2)
x(s) = xo
ta có công thức biểu diễn (I) là

t
(t−s)A

x(t) = e

eA(t−ξ) f (ξ, x(ξ))dξ

xo +

(*)

s

Hơn nữa, x(t) = X(t,s)x là nghiệm của (*) .
Định nghĩa 1.3.1. Cho điểm xo ∈ Rn là điểm tới hạn hyperbolic của phương trình
x = f (x). Ta định nghĩa không gian ổn định và không gian không ổn định của xo tương
ứng
E s = {x ∈ Rn : eAt x → 0, t → +∞} ,
E u = {x ∈ Rn : eAt x → 0, t → −∞} .
Chú ý, nếu xo ∈ Rn là điểm tới hạn hyperbolic của phương trình x = f (x) thì E s
và E u là không gian con tuyến tính của Rn với Rn = E s ⊕ E u .

1.3.1

Bổ đề Gronwall

Bổ đề 1.3.1. (Gronwall ) Cho u, v : [a, b] → Rn là hàm liên tục với v
Nếu

0 và c ∈ R.

t

u(t)

K + L u(s)d(s)
a

với mọi t ∈ [a, b], khi đó
u(t)

KeL(t−a) .

Xem chứng minh của bổ đề này trong [3], trang 21-22.

1.3.2

Họ tiến hóa

Định nghĩa 1.3.2. Một họ {X(t, s) | t, s ∈ R, t
s} của toán tử tác động trên Rn
được gọi là một họ tiến hóa nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
1. X(s, s)x = x, ∀s ∈ R, x ∈ Rn ,
2. X(t, s)X(s, r) = X(t, r), ∀t s r .
Họ tiến hóa được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
3. ||X(t, s)x − X(t, s)y||

Kew(t−s) ||x − y||, ∀t

4. X(t,s)x là liên tục đồng thời với t,s và x .
12

s và x, y ∈ X, K > 0, w ∈ R,

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.3.3

Nhị phân mũ

Định nghĩa 1.3.3. Ma trận mũ eA(t−s) , σ(A) ∩ iR = ∅ được gọi là nhị phân mũ
nếu tồn tại các hằng số N, α > 0 và toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P(t), t 0 và
các hằng số N, α > 0 tức là
sup P (t) < ∞,
t∈R

sao cho thỏa mãn các điều kiện sau
1. eA(t−s) P (s) = P (t)eA(t−s) , ∀t

s,

2. Ánh xạ hạn chế eA(t−s) |KerP (s) : KerP (s) → KerP (t) là đẳng cấu, t
định nghĩa được eA(s−t) : KerP (t) → KerP (s) là ánh xạ ngược.
3. ||eA(t−s) P (s)x||

N e−α(t−s) ||P (s)x||, ∀t

s, x ∈ Rn ,

||eA(t−s) Q(t)x||

N e−α(s−t) ||Q(s)x||, ∀t

s, x ∈ Rn

s và ta

trong đó Q(s) = I - P(s).
Các hằng số N,α được gọi là hằng số nhị phân và các toán tử chiếu P(t) được gọi là
phép chiếu nhị phân.
Định nghĩa 1.3.4. Cho U là một tập con bất kì trong Rn , một ánh xạ f : U → Rn
gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
||f (t, x) − f (t, y)||
với mỗi (t, x), (t, y) ∈ U.

13

L||x − y||,

Chương 2
ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP
BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Trong chương này chúng tôi trình bày về đa tạp bất biến và phép biến đổi đồ thị
của phương trình sai phân xn+1 = Axn + φ(xn ), với giả thiết phổ của A không giao
vòng tròn đơn vị và hàm nhiễu φ là Lipschitz nhỏ. Chương này chủ yếu tham khảo
sách của G.S Lan Wen [1].

2.1

Đa tạp bất biến

Đầu tiên, ta sẽ nêu ra một số khái niệm, tính chất cơ bản của đa tạp bất biến đối
với phương trình sai phân. Gọi p ∈ E là một điểm cố định hyperbolic của f .
Định nghĩa 2.1.1. (Đa tạp bất biến địa phương của p cỡ r)
Cho r > 0 và B(p, r) là hình cầu tâm p, bán kính r.
Wrs (p, f ) = {v ∈ B(p, r) | f n v ∈ B(p, r), ∀n
Wru (p, f ) = {v ∈ B(p, r) | f −n v ∈ B(p, r), ∀n

0 và lim f n v = p},
n→∞

0 và lim f −n v = p}.
n→∞

Từ định nghĩa ta thấy,
f (Wrs (p)) ⊂ Wrs (p), f (Wru (p)) ⊃ Wru (p).
Định nghĩa 2.1.2. (Đa tạp bất biến toàn cục của p)
W s (p, f ) = {v ∈ E | lim f n v = p},
n→∞

W u (p, f ) = {v ∈ E | lim f −n v = p}.
n→∞

Rõ ràng, cho r > 0 bất kì, khi đó

14

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN

W s (p) =

∞

∞

f −n (Wrs (p)) ; W u (p) =

f n (Wru (p)) .

n=0

n=0

Định lý sau đây cho ta các đặc trưng khác của đồ thị bất biến ổn định.
Định lý 2.1.1. Cho A : E → E là một tự đẳng cấu hyperbolic với độ lệch 0 < τ < 1
và 0 < r ∞; ánh xạ φ : E(r) → E là Lipschitz sao cho
Lipφ < 1 − τ, φ(0) = 0.
Khi đó ,
Wrs (0, A + φ) = {v ∈ E(r)
= {v ∈ E(r)
= {v ∈ E(r)

|(A + φ)n v|

r, ∀n

0}

(A + φ)n v ∈ E(r) ∩ C1 (E s ), ∀n

n

|(A + φ) v|

n

(τ + Lipφ) |v|, ∀n

0}
0}

Tương tự với Wru .
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh hai khẳng định sau.
Khẳng định1. Với v ∈ E(r) bất kì, |(A + φ)s v| (τ + Lipφ)|v| .
Thật vậy, từ φ(0) = 0 ta có
|(A + φ)s (v)| = |Ass vs + φs (v) − φs (0)|
|Ass vs | + |φs (v) − φs (0)|
(τ + Lipφ)|v|.
Khẳng định 2. Nếu v ∈ E(r) − C1 (E s ), khi đó
(A + φ)v ∈
/ C1 (E s ) và |(A + φ)u v| (τ −1 − Lipφ)|v|,
(chú ý τ −1 − Lipφ > 1).
Thật vậy,
|(A + φ)u (v)| = |Auu vu + φu (v) − φu (0)|
τ −1 |vu | − Lipφ|v|.
Vì v ∈
/ C1 (E s ) nên |vu | = |v|, do đó
|(A + φ)u v|

(τ −1 − Lipφ)|v| .

Cuối cùng, ta chứng minh dấu bằng thứ 3. Giả sử với mỗi v ∈ E(r) và m
w = (A + φ)m v ∈
/ E(r) ∩ C1 (E s ). Ta có thể giả sử (A + φ)n w ∈ E(r), ∀n 0 .
Từ khẳng định 2 ta có
|(A + φ)u (w)|

(A + φ)w

0,

(τ −1 − Lipφ)|w|.

Theo quy nạp,
|(A + φ)n w|

(τ −1 − Lipφ)|w|, với n

1 bất kì.

Chú ý, w = 0 khi w ∈
/ C1 (E s ). Điều này mâu thuẫn với (A + φ)n w ∈ E(r), ∀n
Định lý 2.1.2. Cho p ∈ E là một điểm cố định hyperbolic của f. Có r > 0, C
0 < λ < 1 sao cho nếu v ∈ E thỏa mãn
|f n v − p|

r, ∀n

0.
1 và

0

thì
|f n v − p|

Cλn |v − p|, ∀n

0.

Do đó v ∈ Wrs (p, f ). Tương tự với W u .
Chứng minh. Vì kết quả là độc lập với sự lựa chọn chuẩn tương đương của E, ta giả
sử chuẩn | . | của E là tương thích với tự đẳng cấu hyperbolic Df(p), ta chứng minh
các kết quả với C = 1. Không mất tính tổng quát, giả sử p = 0 ; cho 0 < τ < 1 là độ
lệch của Df(0) tương ứng với chuẩn này. Ta viết dưới dạng A + φ và sau đó áp dụng
định lý 2.1.1 . Viết
Df(0) = A
và
φ = f − A : E(r) → E , với mỗi r > 0 được xác định.
Khi đó
φ(0) = 0 .
Với r > 0 sao cho
Lip(φ) < 1 − τ , trên E(r).
Kí hiệu
λ = τ + Lip(φ) .
Sau đó áp dụng định lý 2.1.1 ta có
Wrs (0, A + φ) = {v ∈ E(r) |(A + φ)n v|
Mà p = 0, f = A + φ, C = 1, suy ra

16

(τ + Lipφ)n |v|, ∀n

0}.

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN
Wrs (p, f ) = {v ∈ E(r) |f n v − p|
= {v ∈ E(r) |f n v − p|

λn |v − p|, ∀n

Cλn |v − p|, ∀n

0}
0} .

Do đó v ∈ Wrs (p, f ) . Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.3. Cho p ∈ E là một điểm cố định hyperbolic của f. Có r > 0 sao cho
nếu v ∈ E thỏa mãn
|f n v − p|

r, ∀n ∈ Z,

thì v = p .
Chứng minh. Chú ý p cũng là điểm cố định hyperbolic của f −1 .
Như vậy, tồn tại r > 0, C 1, 0 < λ < 1 sao cho định lý 2.1.2 đúng cho cả f và f −1
Cho v ∈ E thỏa mãn |f n v − p| r, ∀n ∈ Z. Từ định lý 2.1.2, với mọi n 0 ta có
|f n v − p|

Cλn |v − p|.

Áp dụng định lý 2.1.2 cho f −n v tương ứng f −1 , ta có
|v − p| = |f −n (f n v) − p|

Cλn |f n v − p| ,

do đó
|v − p|

Cλn .Cλn |v − p| = C 2 λ2n |v − p|.

Lấy n lớn khi đó v = p.

2.2

Định lý đa tạp bất biến của phương trình sai
phân

Đây là nội dung chính của chương nói về định lý đa tạp bất biến. Mục đích của
phần này là bằng phép biến đổi đồ thị ta chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến của
phương trình sai phân. Dựa trên [1], ta có định lý sau
Định lý 2.2.1. Cho A : E → E là một tự đẳng cấu hyperbolic với độ lệch 0 < τ < 1
và hàm φ : E → E là Lipschitz. Giả sử
Lipφ < min

1−τ
, m(A)
2

, φ(0) = 0.

Khi đó tồn tại đa tạp bất biến
W u (0, A + φ) = gr(σ),
trong đó σ = σφ : E u → E s với Lipσ 1.
Ngoài ra, nếu φ là C 1 thì σ cũng là C 1 . Trong trường hợp này W u là đa tạp con của E,
W u (0, A + φ) tiếp xúc với không gian con không ổn định Gu của tự đẳng cấu hyperbolic
A + Dφ(0) tại gốc tọa độ.
Chú ý

17

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN
• Lipφ < m(A), A + φ là khả nghịch. Do đó W u xác định hợp lý.
• Nếu φ là C 1 , với λ = (1 + τ )/2, A + Dφ(0) là hyperbolic thực sự.
Chứng minh. Cho E = E u ⊕ E s là phân tích hyperbolic của A, được biểu diễn dưới
dạng
Auu Aus
A=
(2.1)
Asu Ass
đối với phân tích trên. Ta chứng minh tồn tại một ánh xạ Lipschitz σ : E u → E s với
Lipσ 1 có đồ thị là bất biến theo A + φ. Để tìm một ánh xạ với đồ thị bất biến ta sử
dụng ý tưởng của phép biến đổi đồ thị, từ đó thấy được gr(σ) = W u (0, A + φ) trong
đó gr(σ) = {(v, σ(v)) : v ∈ E u }.
Lấy v ∈ E u ,
A=

Auu Aus
Asu Ass

v
σ(v)

=

Auu v + Aus σ(v)
.
Asu v + Ass σ(v)

(2.2)

Khi đó, ta xét ánh xạ σ : E u → E s thỏa mãn
(A + φ)(gr(σ)) ⊂ gr(σ).
nếu và chỉ nếu
σ((A + φ)u (v + σv)) = (A + φ)s (v + σv), ∀v ∈ E u
⇔ σ(Au (v) + Au (σv) + φu (v + σv)) = As (v) + As (σv) + φs (v + σv)
Nếu E s và E u là A - bất biến thì ta có As v = As vs = Ass vs và Au v = Au vu = Auu vu
Hơn nữa, Au (σv) = 0, As v = 0. Do đó
σ(Auu v + φu (v + σv)) = Ass (σv) + φs (v + σv)
hoặc
σ = (Ass (σ) + φs (Iu + σ))(Auu + φu (Iu + σ))−1 .
Do ta có
1. m(Auu )

τ −1 , m(Ass )

2. Lip(φu (Iu + σ))

τ

2Lipφ.

Chứng minh.
1) Ta có
A=

Auu Aus
Asu Ass

sao cho max {|A−1
uu |, |Ass |} < τ .

18

(2.3)

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN
Hay m(A−1
uu )
2) Ta có

τ nên m(A−1
uu )

τ −1 .

|φu (Iu + σ)(v)| = |φu (v + σ(v))|
|φu (v)| + |φu (σv)| = |φu (v) − φu (0)| + |φu (σv) − φu (0)|
Lipφ|v| + Lipφ(Lipσ|v|)
Lipφ|v| + Lipφ|v| = 2Lipφ|v|,
(Lipσ 1).
Do vậy, Lip(φu (Iu + σ)) 2Lipφ.
Tiếp tục, ta áp dụng Định lý hàm ngược Lipschitz, Auu + φu (Iu + σ) là khả nghịch thực
sự, điều này cho một ánh xạ của biểu thức
T (σ) = (Ass (σ) + φs (Iu + σ))(Auu + φu (Iu + σ))−1
được gọi là phép biến đổi đồ thi được tạo ra bởi A + φ.
Để tìm σ với
(A + φ)(gr(σ)) ⊂ gr(σ)
dẫn tới việc tìm một điểm bất động của T.

Hình 2.1: Phép biến đổi đồ thị
Ta đi tìm miền xác định thích hợp cho T sao cho T là một ánh xạ co.
Xét không gian
(E u , E s ; 0) = { σ : E u → E s | σ(0) = 0, |σ|∗ < ∞ },
trong đó
|σ|∗ = sup
v=0

|σ(v)|
.
|v|

Nếu σ là tuyến tính, nó chỉ là chuẩn toán tử thông thường. Với chuẩn này thì
là không gian Banach. Kí hiệu

19

(E u , E s ; 0)

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN
(E u , E s ; 0)[1] = { σ ∈

Hình cầu đơn vị :

là một tập con đóng của (E u , E s ; 0) và
cầu đơn vị (E u , E s ; 0) (1).

(E u , E s ; 0)| Lipσ

1 },

(E u , E s ; 0)[1] cũng là một tập con của hình

Phép biến đổi đồ thị sau đó được định nghĩa hợp lý
T = Tφ :

(E u , E s ; 0)[1] →

(E u , E s ; 0),

T (σ) = (Ass (σ) + φs (Iu + σ))(Auu + φu (Iu + σ))−1 .
Ta đi kiểm tra ánh xạ T đi từ
Thật vậy, ∀σ ∈

(E u , E s ; 0)[1] vào chính nó không ?

(E u , E s ; 0)[1]. Hiển nhiên, T (σ) là Lipschitz với (T σ)(0) = 0 và

Lip(T σ)
Do đó, ánh xạ T : (E u , E s ; 0)[1] →
có thỏa mãn chuẩn | . |∗ .
∀σ, σ ∈

τ + 2Lipφ
< 1.
τ −1 − 2Lipφ
(E u , E s ; 0)[1]. Tiếp theo ta đi kiểm tra xem T

(E u , E s ; 0)[1], đặt
g = Auu + φu (Iu + σ) : E u → E u ,
g = Auu + φu (Iu + σ ) : E u → E u .

Ta có
(T σ)(gv) = (Ass σ + φs (Iu + σ))(Auu σ + φu (Iu + σ))−1 (Auu σ + φu (Iu + σ))(v)
= (Ass σ + φs (Iu + σ))(v)
= (Ass σ(v) + φs (v + σv));
tương tự, (T σ )(g v) = (Ass σ (v) + φs (v + σ v)).
Do đó
|(T σ)(gv) − (T σ )(gv)|

|(T σ)(gv) − (T σ )(g v)| + |(T σ )(g v) − (T σ )(gv)|
|Ass (σ(v) − σ (v))| + |φs (v + σ(v)) − φs (v + σ (v))|
+ Lip(T σ )|g v − gv|

τ |σ(v) − σ (v)| + Lipφ|σ(v) − σ (v)| + |g v − gv|
τ |σ(v) − σ (v)| + Lipφ|σ(v) − σ (v)| + |φu ||σ(v) − σ (v)|
τ |σ(v) − σ (v)| + Lipφ|σ(v) − σ (v)| + Lipφ|σ(v) − σ (v)|
(τ + 2Lipφ)|σ(v) − σ (v)|.

20

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN

Mặt khác, từ φ(0) = 0 và σ(0) = 0, Lipσ

1 ta có

|gv| = |Auu v + φu (v + σ(v))|
τ −1 |v| − (Lipφ(|v| + Lipσ|v|)
τ −1 |v| − Lipφ(|v| + |v|) = τ −1 |v| − 2Lipφ|v| = (τ −1 − 2Lipφ)|v|,

suy ra |gv|

(τ −1 − 2Lipφ)|v|.

Xét g : E u → E u là một Lipeomorphism. Do đó
|T (σ) − T (σ )|∗ = sup
v=0

= sup
v=0

|(T σ)(v) − (T σ )(v)|
|v|
|(T σ)(gv) − (T σ )(gv)|
|gv|

|σ(v) − σ (v)|
τ + 2Lipφ
sup
−1
τ − 2Lipφ v=0
|v|
τ + 2Lipφ
= −1
|σ − σ |∗
τ − 2Lipφ

τ + 2Lipφ
< 1, khi đó T = Tφ là ánh xạ co thỏa mãn chuẩn | |∗ . Theo nguyên lý
τ −1 − 2Lipφ
ánh xạ co, T có duy nhất một điểm bất động σ = σφ ∈ (E u , E s ; 0)[1] sao cho
Vì

(A + φ)(gr(σ)) ⊂ gr(σ).
Chú ý, với (v, σ(v)) ∈ gr(σ) bất kì, đặt u = (Auu + φu (Iu + σ))−1 v có
(A + φ)(u, σ(u)) = (v, σ(v)).
Do đó, ta có
(A + σ)(gr(σ)) = gr(σ).
Do σ(0) = 0 và σ ∈ (E u , E s ; 0)[1], Lipφ 1 nên gr(σ) ⊂ C1 (E u ). Từ định lý 2.1.1
(áp dụng cho W u và trường hợp r = ∞) có gr(σ) ⊂ W u (0, A + φ). Ta chứng minh
gr(σ) = W u (0, A + φ).

Thật vậy, giả sử v ∈ W u (0, A + φ) − gr(σ) . Lấy w ∈ gr(σ) là điểm duy nhất với
vu = wu . Khi đó v − w ∈
/ C1 (E u ).
Lập luận tương tự yêu cầu 2 của định lý 2.1.1, do v − w ∈
/ C1 (E u ) ta có
|(A + φ)s (v − w)| = |Ass (v − w)s + φs (v − w) − φ(0)|
τ |(v − w)s | + Lipφ|v − w|.
Mà |(v − w)s | = |v − w| vì v − w ∈
/ C1 (E u ), do đó
|(A + φ)s (v − w)|

(τ + Lipφ)|v − w|

suy ra |(A + φ)−1
s (v − w)|
21

(τ −1 − Lipφ)|v − w|,

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN

khi đó
(τ −1 − Lipφ)n |v − w|

|(A + φ)−n
s (v − w)|
⇔ |(A + φ)−n v − (A + φ)−n w|

(τ −1 − Lipφ)n |v − w| → ∞,

Do đó, (v − w) ∈ W u (0, A + φ) mâu thuẫn vì cả v và w đều nằm trong W u (0, A + φ).
Điều này chứng minh (A + σ)(gr(σ)) = gr(σ). Khi đó W u (0, A + φ) là một đa tạp con
Lipschitz của E.
Bây giờ ta giả sử φ là C 1 , ta chứng minh σ là C 1 . Ta biết theo những điều kiện
trên thì một hàm Lipschitz là khả vi.
Để đơn giản, ta kí hiệu G = grσ và z = (v, σ(v)) với v ∈ E u . Với mỗi h ∈ E u với h = 0
có 1 đường cát tuyến của G qua z, xác định bởi hai điểm z và (v + h, σ(v + h)).
Một đường l ⊂ Tz E qua z được gọi là một đường tiếp tuyến suy rộng của G nếu có
một dãy hn ∈ E u với h = 0 và hn → 0 sao cho dãy các đường cát tuyến ln xác định
bởi z và (v + hn , σ(v + hn )) hội tụ đến l.
Do đó l là một không gian con tuyến tinh 1-chiều Tz E. Ta gọi hợp của tất cả các đường
tiếp tuyến suy rộng của G qua z là tập hợp tiếp tuyến của G tại z, kí hiệu Tz G. (Ví
dụ, cho hàm số σ : R → R, σ(x) = x sin(1/x), T(0,0)gr(σ) là tập tất cả đường trong R2
qua gốc tọa độ với độ dốc 1 trong giá trị tuyệt đối ).
Từ σ là Lipschitz, không có đường tiếp tuyến suy rộng của G song song với E s .
Chính xác hơn, mỗi đường tiếp tuyến suy rộng l của G qua z chiếu lên một đường
của E u qua gốc tọa độ, bởi phép chiếu πu : Tz E → E u . Từ E là hình chiếu và σ là
Lipschitz, với mỗi 0 = e ∈ E u , lấy dãy con hn theo chiều của e có một số đường tiếp
tuyến suy rộng chiếu bởi πu vào khoảng trống của e. Do đó Tz G chiếu vào toàn bộ E u .

Hình 2.2: Tiếp tuyến suy rộng l
Bổ đề 1 ( E hữu hạn chiều). Một ánh xạ Lipschitz σ : E u → E s là khả vi tại
v ∈ E u nếu và chỉ nếu tập hợp tiếp tuyến Tz G là không gian con tuyến tính của Tz E
của không gian hữu hạn chiều E u , trong đó z = (v, σ(v)) và G = gr(σ). Trong trường

22

CHƯƠNG 2. ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN

hợp này, Tz G chỉ là mặt phẳng tiếp tuyến của G tại z.
Chứng minh của bổ đề 1 được đưa ra ở cuối chương này.
Lấy v ∈ E u bất kì. Ta chứng minh σ khả vi tại v. Từ bổ đề trên suy ra tập hợp
tiếp tuyến Tz gr(σ) = Tz G là một không gian con tuyến tính của Tz E của không gian
hữu hạn chiều E u . Đặt g = A + φ : E → E. Do Lip(σ) 1, x ∈ gr(σ) nên mỗi tiếp
tuyến suy rộng trong Tx gr(σ) ∈ C 1 (E u (z)) ⊂ Tx E. Trong đó,
Tx E = Gu (x) ⊕ Gs (x), x ∈ E.
là phân tích hyperbolic của Tg. Chú ý
dimGu (x) = dimE u
vì Gu (x) là đồ thị của ánh xạ tuyến tính từ E u (x) vào E s (x).
Đặc biệt, với mỗi tiếp tuyến suy rộng l ⊂ Tz G, G = gr(σ) bất biến theo g, ta có
T g −n (l) ⊂ C 1 (E u (g −n z)), ∀n

0.

Mệnh đề 1. E s (x) và E u (x) biến thiên liên tục khi x biến thiên.
Mệnh đề 2. Cho Λ ⊂ N là một tập hyperbolic của f với độ lệch 0 < τ < 1 và
0 < r ∞. Hàm φ : TΛ N (r) → TΛ N sao cho Lip2 φ < 1 − τ, φ(0x ) = 0f x , ∀x ∈ Λ
Khi đó với x ∈ Λ bất kì
Wru (0x , T f + φ) = {v ∈ Tx N (r)||(T f + φ)−n | r, ∀n 0}
= {v ∈ Tx N (r)|(T f + φ)−n ∈ Tf n x ∩ C 1 (E u (f n x)), ∀n
= {v ∈ Tx N (r)||(T f + φ)−n | (τ −1 − Lip2 φ)n |v|.

0}

Từ mệnh đề 2 (Trường hợp r = ∞ và T g = T A + T φ, trong đó T A + T φ tương ứng
với T f + φ của mệnh đề 2), ta có

l ⊂ W u (0z , T g).
Mà T g là tuyến tính, do đó W u (0z , T g) = Gu z. Điều này chứng minh
Tz gr(σ) ⊂ Gu z.
Do Tz gr(σ) chiếu lên E u nên ta có
Tz gr(σ) = Gu z.
Từ Bổ đề 1, ta có σ khả vi tại v và grσ tiếp xúc với không gian con không ổn định
Gu (z) của g tại z.
Từ Mệnh đề 1, Gu (z) biến thiên liên tục khi z biến thiên. Do đó, σ là C 1 . Chú ý, tại
gốc tọa độ gr(σ) tiếp xúc với không gian con ổn định Gu của A + Dφ(0) .

23

ĐA tạp bất BIẾN và PHÉP BIẾN đổi đồ THỊ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về